כאשר התחלת ללמוד לראשונה על שורשים מרובעים וכיצד לפתור משוואות אי-רציונליות (שוויון הכולל לא ידוע תחת סימן השורש), כנראה קיבלת את הטעם הראשון שלך מהם. שימוש מעשי. היכולת לקחת את השורש הריבועי של מספרים נחוצה גם כדי לפתור בעיות באמצעות משפט פיתגורס. משפט זה מתייחס לאורכי הצלעות של כל משולש ישר זווית.

תנו לאורכי הרגליים של משולש ישר זווית (שתי הצלעות הנפגשות בזוויות ישרות) להיות מסומנים על ידי האותיות, ואורך התחתון (הצלע הארוכה ביותר של המשולש הממוקמת מול הזווית הישרה) יסומן על ידי האות. אז האורכים המתאימים קשורים בקשר הבא:

משוואה זו מאפשרת לך למצוא את אורך הצלע במשולש ישר זווית כאשר אורך שתי הצלעות האחרות ידוע. בנוסף, הוא מאפשר לקבוע האם המשולש המדובר הוא משולש ישר זווית, בתנאי שאורכים של כל שלוש הצלעות ידועים מראש.

פתרון בעיות באמצעות משפט פיתגורס

כדי לגבש את החומר, נפתור את הבעיות הבאות באמצעות משפט פיתגורס.

אז בהינתן:

1. אורכה של אחת הרגליים הוא 48, התחתון הוא 80.
2. אורך הרגל הוא 84, התחתון הוא 91.

בואו נגיע לפתרון:

א) החלפת הנתונים במשוואה לעיל נותנת את התוצאות הבאות:

48 2 + ב 2 = 80 2

2304 + ב 2 = 6400

ב 2 = 4096

ב= 64 או ב = -64

מכיוון שלא ניתן לבטא את אורך הצלע של משולש מספר שלילי, האפשרות השנייה נמחקת אוטומטית.

תשובה לתמונה הראשונה: ב = 64.

ב) אורך הרגל של המשולש השני נמצא באותו אופן:

84 2 + ב 2 = 91 2

7056 + ב 2 = 8281

ב 2 = 1225

ב= 35 או ב = -35

כמו במקרה הקודם, החלטה שליליתמוּשׁלָך.

תשובה לתמונה השנייה: ב = 35

ניתן לנו:

1. אורכי הצלעות הקטנות יותר של המשולש הם 45 ו-55, בהתאמה, והצלעות הגדולות יותר הן 75.
2. אורכי הצלעות הקטנות יותר של המשולש הם 28 ו-45, בהתאמה, והצלעות הגדולות יותר הן 53.

בואו נפתור את הבעיה:

א) יש לבדוק האם סכום הריבועים של אורכי הצלעות הקצרות יותר של משולש נתון שווה לריבוע האורך של הגדול יותר:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

לכן, המשולש הראשון אינו משולש ישר זווית.

ב) מתבצעת אותה פעולה:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

לכן, המשולש השני הוא משולש ישר זווית.

ראשית, בואו נמצא את אורך הקטע הגדול ביותר שנוצר על ידי נקודות עם קואורדינטות (-2, -3) ו- (5, -2). לשם כך, אנו משתמשים בנוסחה הידועה למציאת המרחק בין נקודות במערכת קואורדינטות מלבנית:

באופן דומה, אנו מוצאים את אורך הקטע המוקף בין נקודות עם קואורדינטות (-2, -3) ו- (2, 1):

לבסוף, אנו קובעים את אורך הקטע בין נקודות עם קואורדינטות (2, 1) ו- (5, -2):

מאחר והשוויון מתקיים:

אז המשולש המתאים הוא ישר זווית.

כך נוכל לנסח את התשובה לבעיה: מכיוון שסכום ריבועי הצלעות באורך הקצר ביותר שווה לריבוע הצלע בעלת האורך הארוך ביותר, הנקודות הן קודקודים של משולש ישר זווית.

הבסיס (הממוקם באופן אופקי לחלוטין), המשקוף (הממוקם באופן אנכי לחלוטין) והכבל (המתוח באלכסון) יוצרים משולש ישר זווית, בהתאמה, כדי למצוא את אורך הכבל ניתן להשתמש במשפט פיתגורס:

לפיכך, אורך הכבל יהיה כ-3.6 מטר.

נתון: המרחק מנקודה R לנקודה P (רגל המשולש) הוא 24, מנקודה R לנקודה Q (היפוטנוז) הוא 26.

אז בואו נעזור ל-Vita לפתור את הבעיה. מכיוון שצלעות המשולש המוצגות באיור אמורות ליצור משולש ישר זווית, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את אורך הצלע השלישית:

אז, רוחב הבריכה הוא 10 מטרים.

סרגיי ולרייביץ'

הוראות

אם אתה צריך לחשב באמצעות משפט פיתגורס, השתמש באלגוריתם הבא: - קבע במשולש אילו צלעות הן הרגליים ואיזה הירוק. שני הצדדים היוצרים זווית של תשעים מעלות הם הרגליים, השליש הנותר הוא התחתון. (ס"מ) - הרימו כל רגל במשולש זה בחזקת השנייה, כלומר, הכפלו בעצמו. דוגמה 1. נניח שעלינו לחשב את התחתון אם רגל אחת במשולש היא 12 ס"מ והשנייה היא 5 ס"מ. ראשית, ריבועי הרגליים שווים: 12 * 12 = 144 ס"מ ו- 5 * 5 = 25 ס"מ. לאחר מכן, קבע את סכום רגלי הריבועים. מספר מסוים הוא אֲלַכסוֹן, עליך להיפטר מהחזקה השנייה של המספר כדי למצוא אורךצד זה של המשולש. כדי לעשות זאת, הסר מלמטה שורש ריבועיהערך של סכום הריבועים של הרגליים. דוגמה 1. 144+25=169. השורש הריבועי של 169 הוא 13. לכן, האורך של זה אֲלַכסוֹןשווה ל-13 ס"מ.

דרך נוספת לחישוב אורך אֲלַכסוֹןטמון בטרמינולוגיה של סינוס וזוויות במשולש. בהגדרה: הסינוס של הזווית אלפא - הרגל הנגדית לתחתית. כלומר, בהסתכלות על הדמות, sin a = CB / AB. מכאן שתחתון AB = CB / sin a. דוגמה 2. תנו לזווית להיות 30 מעלות, והצלע הנגדי 4 ס"מ. אנחנו צריכים למצוא את התחתון. פתרון: AB = 4 ס"מ / חטא 30 = 4 ס"מ / 0.5 = 8 ס"מ. תשובה: אורך אֲלַכסוֹןשווה ל-8 ס"מ.

דרך דומה למצוא אֲלַכסוֹןמההגדרה של קוסינוס של זווית. הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הצלע הסמוכה לה ו אֲלַכסוֹן. כלומר, cos a = AC/AB, ומכאן AB = AC/cos a. דוגמה 3. במשולש ABC, AB הוא התחתון, זווית BAC היא 60 מעלות, רגל AC היא 2 ס"מ. מצא AB.
פתרון: AB = AC/cos 60 = 2/0.5 = 4 ס"מ תשובה: אורך התחתון הוא 4 ס"מ.

עצה מועילה

כשמוצאים את הערך של הסינוס או הקוסינוס של זווית, השתמש בטבלת הסינוסים והקוסינוסים או בטבלת ברדיס.

טיפ 2: כיצד למצוא את אורך התחתון במשולש ישר זווית

התחתון הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית, אז זה לא מפתיע שפה יווניתמילה זו מתורגמת כ"צמוד". צד זה תמיד נמצא מול זווית 90°, והצלעות היוצרות זווית זו נקראות רגליים. הכרת אורכי הצדדים הללו והגדלים פינות חדותבשילובים שונים של ערכים אלה, ניתן לחשב את אורך התחתון.

הוראות

אם אורכי שני המשולשים (A ו-B) ידועים, אז השתמשו באורכי התחתון (C), אולי ההנחה המתמטית המפורסמת ביותר - משפט פיתגורס. הוא קובע שריבוע אורך התחתון הוא סכום ריבועי אורכי הרגליים, וממנו נובע שצריך לחשב את שורש סכום האורכי בריבוע של שתי הצלעות: C = √ ( A² + B²). לדוגמה, אם אורך רגל אחת הוא 15 ו- 10 סנטימטרים, אזי אורך התחתון יהיה בערך 18.0277564 סנטימטרים, שכן √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564.

אם ידוע אורך רק אחת מהרגליים (A) במשולש ישר זווית, כמו גם ערך הזווית שממול (α), אזי ניתן להשתמש באורך התחתון (C) באמצעות אחד מהטריגונומטרים פונקציות - הסינוס. כדי לעשות זאת, חלק את האורך מפלגה ידועהלפי הסינוס של זווית ידועה: C=A/sin(α). לדוגמה, אם אורך אחת הרגליים הוא 15 סנטימטר, והזווית בקודקוד הנגדי של המשולש היא 30°, אזי אורך התחתון יהיה שווה ל-30 סנטימטרים, שכן 15/sin(30°) =15/0.5=30.

אם במשולש ישר זווית ידוע גודלה של אחת מהזוויות החדות (α) ואורך הרגל הסמוכה (B), אזי כדי לחשב את אורך התחתון (C) ניתן להשתמש באחרת. פונקציה טריגונומטרית- קוסינוס. עליך לחלק את אורך הרגל הידועה בקוסינוס של הזווית הידועה: C=B/ cos(α). לדוגמה, אם אורכה של רגל זו הוא 15 סנטימטרים, והזווית החדה הסמוכה לה היא 30°, אזי אורך התחתון יהיה בערך 17.3205081 סנטימטרים, שכן 15/cos(30°)=15/(0.5* √3)=30/√3≈17.3205081.

אורך משמש בדרך כלל לציון המרחק בין שתי נקודות על קטע קו. זה יכול להיות קו ישר, שבור או סגור. אתה יכול לחשב את האורך די פשוט אם אתה יודע כמה אינדיקטורים אחרים של הקטע.

הוראות

אם אתה צריך למצוא את אורך הצלע של ריבוע, אז זה לא יהיה , אם אתה יודע את שטחו S. בשל העובדה שלכל הצדדים של הריבוע יש

דבר אחד שאתה יכול להיות בטוח בו במאה אחוז הוא שכששואלים אותך מהו ריבוע התחתון, כל מבוגר יענה באומץ: "סכום ריבועי הרגליים". המשפט הזה טבוע היטב במוחו של כל אדם משכיל, אבל אתה רק צריך לבקש ממישהו שיוכיח זאת, וקשיים יכולים להתעורר. אז בואו נזכור ונשקול דרכים שונותהוכחה למשפט פיתגורס.

ביוגרפיה קצרה

משפט פיתגורס מוכר כמעט לכולם, אבל מסיבה כלשהי הביוגרפיה של האדם שהביא אותו לעולם לא כל כך פופולרית. ניתן לתקן זאת. לכן, לפני שתחקור את הדרכים השונות להוכיח את משפט פיתגורס, עליך להכיר בקצרה את אישיותו.

פיתגורס - פילוסוף, מתמטיקאי, הוגה דעות במקור מהיום קשה מאוד להבחין בין הביוגרפיה שלו לבין האגדות שהתפתחו לזכרו של האיש הגדול הזה. אך כפועל יוצא מעבודותיהם של חסידיו, פיתגורס מסאמוס נולד באי סאמוס. אביו היה חוצב אבנים רגיל, אך אמו באה ממשפחת אצילים.

אם לשפוט לפי האגדה, את לידתו של פיתגורס חזתה אישה בשם פיתיה, שלכבודה נקרא הילד. לפי תחזיתה, הילד שנולד היה אמור להביא הרבה תועלת וטובה לאנושות. וזה בדיוק מה שהוא עשה.

לידה של המשפט

בצעירותו עבר פיתגורס למצרים כדי לפגוש שם חכמים מצריים מפורסמים. לאחר שנפגש איתם, הותר לו ללמוד, שם למד את כל ההישגים הגדולים של הפילוסופיה, המתמטיקה והרפואה המצרית.

כנראה במצרים קיבל פיתגורס השראה מהוד והיופי של הפירמידות ויצר את התיאוריה הגדולה שלו. זה עשוי לזעזע את הקוראים, אבל היסטוריונים מודרניים מאמינים שפיתגורס לא הוכיח את התיאוריה שלו. אבל הוא רק העביר את הידע שלו לחסידיו, שלימים השלימו את כל החישובים המתמטיים הדרושים.

כך או כך, כיום לא ידועה שיטה אחת להוכחת המשפט הזה, אלא כמה בבת אחת. היום אנחנו יכולים רק לנחש איך בדיוק ביצעו היוונים הקדמונים את החישובים שלהם, אז כאן נבחן דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס.

משפט פיתגורס

לפני שתתחיל בחישובים כלשהם, אתה צריך להבין איזו תיאוריה אתה רוצה להוכיח. משפט פיתגורס הולך כך: "במשולש שבו אחת מהזוויות היא 90°, סכום ריבועי הרגליים שווה לריבוע התחתון".

ישנן בסך הכל 15 דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס. זהו מספר גדול למדי, ולכן נשים לב לפופולריים שבהם.

שיטה ראשונה

ראשית, בוא נגדיר מה קיבלנו. נתונים אלה יחולו גם על שיטות אחרות להוכחת משפט פיתגורס, ולכן כדאי לזכור מיד את כל הסימונים הזמינים.

נניח שניתן לנו משולש ישר זווית עם רגליים a, b ותחתית שווים ל-c. שיטת ההוכחה הראשונה מבוססת על העובדה שאתה צריך לצייר ריבוע ממשולש ישר זווית.

לשם כך, עליך להוסיף קטע לרגל באורך a שווה לרגלב, ולהיפך. זה אמור לגרום לשתי צלעות שוות של הריבוע. כל שנותר הוא לצייר שני קווים מקבילים, והריבוע מוכן.

בתוך הדמות המתקבלת, אתה צריך לצייר ריבוע נוסף עם צלע שווה לתחתית המשולש המקורי. לשם כך, מהקודקודים ас ו- св עליך לצייר שני קטעים מקבילים השווים ל- с. לפיכך, נקבל שלוש צלעות של הריבוע, שאחת מהן היא התחתון של המשולש הישר הזווית המקורית. כל שנותר הוא לצייר את הקטע הרביעי.

בהתבסס על הנתון המתקבל, אנו יכולים להסיק ששטח הריבוע החיצוני הוא (a + b) 2. אם מסתכלים בתוך הדמות, אפשר לראות שבנוסף לריבוע הפנימי יש ארבעה משולשים ישרים. השטח של כל אחד מהם הוא 0.5 אב.

לכן, השטח שווה ל: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

לפיכך (a+c) 2 =2ab+c 2

ולכן, c 2 =a 2 +b 2

המשפט הוכח.

שיטה שניה: משולשים דומים

נוסחה זו להוכחת משפט פיתגורס נגזרה על סמך הצהרה מקטע הגיאומטריה על משולשים דומים. הוא קובע שהרגל של משולש ישר זווית היא הממוצע פרופורציונלי לתחתית שלו ולקטע התחתון היוצא מקודקוד זווית 90°.

הנתונים הראשוניים נשארים זהים, אז בואו נתחיל מיד עם ההוכחה. הבה נצייר קטע CD מאונך לצד AB. בהתבסס על ההצהרה לעיל, צלעות המשולשים שוות:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

כדי לענות על השאלה כיצד להוכיח את משפט פיתגורס, יש להשלים את ההוכחה על ידי ריבוע שני אי השוויון.

AC 2 = AB * AD ו-CB 2 = AB * DV

כעת עלינו לחבר את אי השוויון שנוצר.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), כאשר AD + DV = AB

מסתבר ש:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

ולכן:

AC 2 + CB 2 = AB 2

הוכחה למשפט פיתגורס ו דרכים שונותהפתרונות שלה דורשים גישה רב-גונית לבעיה זו. עם זאת, אפשרות זו היא אחת הפשוטות ביותר.

שיטת חישוב נוספת

ייתכן שלתיאורים של שיטות שונות להוכחת משפט פיתגורס אין משמעות עד שתתחיל להתאמן בעצמך. טכניקות רבות כוללות לא רק חישובים מתמטיים, אלא גם בנייה של דמויות חדשות מהמשולש המקורי.

IN במקרה הזהיש צורך להשלים עוד משולש ישר זווית VSD מהצד BC. לפיכך, כעת ישנם שני משולשים עם רגל משותפת לפני הספירה.

בידיעה שלשטחים של דמויות דומות יש יחס כמו הריבועים של הממדים הליניאריים הדומים שלהם, אז:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(מ-2 - ל-2) = a 2 *(S avd -S vsd)

מ-2 - ל-2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

מכיוון שמתוך השיטות השונות להוכחת משפט פיתגורס לכיתה ח', אפשרות זו בקושי מתאימה, ניתן להשתמש בשיטה הבאה.

הדרך הקלה ביותר להוכיח את משפט פיתגורס. ביקורות

לפי היסטוריונים, שיטה זו שימשה לראשונה כדי להוכיח את המשפט בחזרה יוון העתיקה. זה הפשוט ביותר, מכיוון שהוא אינו דורש חישובים כלל. אם תצייר נכון את התמונה, אזי ההוכחה לאמירה ש-a 2 + b 2 = c 2 תהיה גלויה בבירור.

תנאים עבור השיטה הזאתיהיה מעט שונה מהקודם. כדי להוכיח את המשפט, נניח שמשולש ישר זווית ABC הוא שווה שוקיים.

ניקח את ההיפוטנוז AC כצד של הריבוע ונצייר את שלוש צלעותיו. בנוסף, יש צורך לצייר שני קווים אלכסוניים בריבוע המתקבל. כך שבתוכה מקבלים ארבעה משולשים שווה שוקיים.

אתה גם צריך לצייר ריבוע לרגליים AB ו-CB ולצייר קו ישר אלכסוני אחד בכל אחת מהן. אנו מציירים את הקו הראשון מקודקוד A, השני מ-C.

עכשיו אתה צריך להסתכל בזהירות על הציור שהתקבל. מכיוון שעל היריעה AC יש ארבעה משולשים השווים לזה המקורי, ובצלעות יש שניים, זה מעיד על אמיתות המשפט הזה.

אגב, הודות לשיטה זו להוכחת משפט פיתגורס, נולד המשפט המפורסם: "מכנסיים פיתגוראים שווים לכל הכיוונים".

הוכחה מאת ג'יי גארפילד

ג'יימס גארפילד הוא הנשיא העשרים של ארצות הברית של אמריקה. בנוסף להטביע את חותמו על ההיסטוריה כשליט ארצות הברית, הוא היה גם אוטודידקט מחונן.

בתחילת דרכו היה מורה מן השורה בבית ספר ממלכתי, אך עד מהרה הפך למנהל של אחד מהגבוהים מוסדות חינוך. השאיפה להתפתחות עצמית אפשרה לו להציע תיאוריה חדשההוכחה למשפט פיתגורס. המשפט ודוגמה לפתרון שלו הם כדלקמן.

ראשית עליך לצייר שני משולשים ישרים על פיסת נייר כך שהרגל של אחד מהם תהיה המשך של השני. צריך לחבר את הקודקודים של המשולשים האלה כדי ליצור טרפז.

כפי שאתה יודע, שטחו של טרפז שווה למכפלה של מחצית מסכום הבסיסים שלו וגובהו.

S=a+b/2 * (a+b)

אם ניקח בחשבון את הטרפז המתקבל כדמות המורכבת משלושה משולשים, אזי ניתן למצוא את השטח שלה כדלקמן:

S=av/2 *2 + s 2 /2

כעת עלינו להשוות את שני הביטויים המקוריים

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

ניתן לכתוב יותר מכרך אחד על משפט פיתגורס ושיטות הוכחתו. עוזר הוראה. אבל האם יש בזה טעם כשלא ניתן ליישם את הידע הזה בפועל?

יישום מעשי של משפט פיתגורס

למרבה הצער, במודרני תוכניות בית ספרמשפט זה נועד לשמש רק בבעיות גיאומטריות. בוגרים יעזבו בקרוב את בית הספר מבלי לדעת כיצד הם יכולים ליישם את הידע והכישורים שלהם בפועל.

למעשה, השתמש במשפט פיתגורס במשפט שלך חיי היום - יוםכולם יכולים. ולא רק ב פעילות מקצועית, אבל גם בעבודות הבית הרגילות. הבה נבחן מספר מקרים שבהם משפט פיתגורס ושיטות הוכחתו עשויים להיות נחוצים ביותר.

הקשר בין המשפט לאסטרונומיה

זה נראה איך כוכבים ומשולשים על הנייר יכולים להיות מחוברים. למעשה, אסטרונומיה כן תחום מדעי, שעושה שימוש נרחב במשפט פיתגורס.

לדוגמה, שקול את התנועה של קרן אור בחלל. ידוע שאור נע בשני הכיוונים באותה מהירות. נקרא למסלול AB שלאורכו נעה קרן האור ל. ונקרא חצי מהזמן שלוקח אור להגיע מנקודה א' לנקודה ב' ט. ומהירות הקרן - ג. מסתבר ש: c*t=l

אם אתה מסתכל על אותה קרן ממישור אחר, למשל, מספינת חלל שנעה במהירות v, אז כאשר צופים בגופים בצורה זו, המהירות שלהם תשתנה. במקרה זה, אפילו אלמנטים נייחים יתחילו לנוע במהירות v בכיוון ההפוך.

נניח שהאניה הקומית מפליגה ימינה. לאחר מכן נקודות A ו-B, שביניהן שועטת הקורה, יתחילו לנוע שמאלה. יתרה מכך, כאשר האלומה נעה מנקודה A לנקודה B, לנקודה A יש זמן לנוע ובהתאם, האור כבר יגיע לנקודה C חדשה. כדי למצוא חצי מהמרחק שבו נעה נקודה A, צריך להכפיל מהירות האנייה במחצית מזמן הנסיעה של הקורה (t ").

וכדי לגלות עד כמה קרן אור יכולה לעבור בזמן הזה, צריך לסמן חצי מהנתיב באות s חדשה ולקבל את הביטוי הבא:

אם נדמיין שנקודות האור C ו-B, כמו גם קו המרחב, הם קודקודים של משולש שווה שוקיים, אז הקטע מנקודה A לקוה יחלק אותו לשני משולשים ישרים. לכן, הודות למשפט פיתגורס, אתה יכול למצוא את המרחק שקרן אור יכולה לעבור.

דוגמה זו, כמובן, אינה המוצלחת ביותר, מכיוון שרק מעטים יכולים להיות ברי מזל מספיק כדי לנסות אותה בפועל. לכן, הבה נשקול יישומים ארציים יותר של המשפט הזה.

טווח העברת אותות נייד

לא ניתן עוד לדמיין את החיים המודרניים ללא קיומם של סמארטפונים. אבל האם הם היו מועילים הרבה אם הם לא יוכלו לחבר מנויים באמצעות תקשורת סלולרית?!

איכות התקשורת הסלולרית תלויה ישירות בגובה שבו ממוקמת האנטנה של המפעיל הסלולרי. על מנת לחשב כמה רחוק ממגדל נייד טלפון יכול לקבל אות, אתה יכול ליישם את משפט פיתגורס.

נניח שאתה צריך למצוא את הגובה המשוער של מגדל נייח כדי שיוכל להפיץ אות ברדיוס של 200 קילומטרים.

AB (גובה מגדל) = x;

BC (רדיוס העברת אות) = 200 ק"מ;

מערכת הפעלה (רדיוס של כדור הארץ) = 6380 ק"מ;

OB=OA+ABOB=r+x

תוך יישום משפט פיתגורס, אנו מגלים שהגובה המינימלי של המגדל צריך להיות 2.3 קילומטרים.

משפט פיתגורס בחיי היומיום

באופן מוזר, משפט פיתגורס יכול להיות שימושי אפילו בעניינים יומיומיים, כמו קביעת גובה ארון בגדים, למשל. במבט ראשון, אין צורך להשתמש בחישובים מורכבים כאלה, כי אתה יכול פשוט לבצע מדידות באמצעות סרט מדידה. אבל אנשים רבים תוהים מדוע מתעוררות בעיות מסוימות במהלך תהליך ההרכבה אם כל המדידות נלקחו יותר ממדויק.

העובדה היא כי ארון הבגדים מורכב במצב אופקי ורק אז מורם ומותקן על הקיר. לכן, במהלך תהליך הרמת המבנה, צד הארון חייב לנוע בחופשיות הן לאורך גובה החדר והן באלכסון.

נניח שיש ארון בגדים בעומק של 800 מ"מ. מרחק מהרצפה לתקרה - 2600 מ"מ. יצרן רהיטים מנוסה יגיד שגובה הארון צריך להיות 126 מ"מ פחות מגובה החדר. אבל למה בדיוק 126 מ"מ? בואו נסתכל על דוגמה.

עם ממדי ארון אידיאליים, בואו נבדוק את פעולתו של משפט פיתגורס:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 מ"מ - הכל מתאים.

נניח שגובה הארון אינו 2474 מ"מ, אלא 2505 מ"מ. לאחר מכן:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 מ"מ.

לכן, ארון זה אינו מתאים להתקנה בחדר זה. מכיוון שהרמתו למצב אנכי עלולה לגרום נזק לגופו.

אולי, לאחר ששקלנו דרכים שונות להוכחת משפט פיתגורס על ידי מדענים שונים, נוכל להסיק שזה יותר מנכון. עכשיו אתה יכול להשתמש במידע שהתקבל בחיי היומיום שלך ולהיות בטוח לחלוטין שכל החישובים יהיו לא רק שימושיים, אלא גם נכונים.

משפט פיתגורס- אחד ממשפטי היסוד של הגיאומטריה האוקלידית, המבסס את הקשר

בין צלעות משולש ישר זווית.

הוא האמין שזה הוכח על ידי המתמטיקאי היווני פיתגורס, שעל שמו נקרא.

ניסוח גיאומטרי של משפט פיתגורס.

המשפט נוסח במקור כך:

במשולש ישר זווית, שטח הריבוע שנבנה על תחתית הקרקע שווה לסכום שטחי הריבועים,

בנוי על רגליים.

ניסוח אלגברי של משפט פיתגורס.

במשולש ישר זווית ריבוע אורך התחתון שווה לסכום ריבועי אורכי הרגליים.

כלומר, מציינים את אורך התחתון של המשולש ב ג, ואורכי הרגליים דרך או ב:

שני הניסוחים משפט פיתגורסשוות ערך, אבל הניסוח השני אלמנטרי יותר, הוא לא

דורש מושג של שטח. כלומר, ניתן לאמת את ההצהרה השנייה מבלי לדעת דבר על האזור ו

על ידי מדידת אורכי הצלעות של משולש ישר זווית בלבד.

משפט פיתגורס הפוך.

אם הריבוע של צלע אחת של משולש שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות, אז

משולש ישר זווית.

או, במילים אחרות:

על כל משולש של מספרים חיוביים א, בו ג, כך ש

יש משולש ישר זווית עם רגליים או בוהתחתון ג.

משפט פיתגורס למשולש שווה שוקיים.

משפט פיתגורס למשולש שווה צלעות.

הוכחות למשפט פיתגורס.

נכון לעכשיו, 367 הוכחות למשפט זה נרשמו בספרות המדעית. כנראה המשפט

פיתגורס הוא המשפט היחיד עם מספר כה מרשים של הוכחות. גיוון כזה

ניתן להסביר רק על ידי המשמעות הבסיסית של המשפט לגיאומטריה.

כמובן, מבחינה רעיונית ניתן לחלק את כולם למספר קטן של כיתות. המפורסם שבהם:

הוכחה שיטת שטח, אַקסִיוֹמָתִיו עדויות אקזוטיות(לדוגמה,

על ידי שימוש ב משוואות דיפרנציאליות ).

1. הוכחה למשפט פיתגורס באמצעות משולשים דומים.

ההוכחה הבאה לניסוח האלגברי היא הפשוטה מבין ההוכחות שנבנו

ישירות מהאקסיומות. בפרט, הוא אינו משתמש במושג שטח של דמות.

לתת א ב גיש משולש ישר זווית עם זווית ישרה ג. בוא נצייר את הגובה מ גולסמן

הבסיס שלה דרך ח.

משולש ACHדומה למשולש א.ב C בשתי פינות. כמו כן, משולש CBHדוֹמֶה א ב ג.

על ידי הצגת הסימון:

אנחנו מקבלים:

,

שמתאים ל -

מְקוּפָּל א 2 ו ב 2, אנחנו מקבלים:

או , וזה מה שהיה צריך להוכיח.

2. הוכחה למשפט פיתגורס בשיטת שטח.

ההוכחות להלן, למרות פשטותן לכאורה, אינן כל כך פשוטות כלל וכלל. כולם

להשתמש במאפייני שטח, שההוכחות שלהם מורכבות יותר מההוכחה של משפט פיתגורס עצמו.

• הוכחה באמצעות השלמה שוויונית.

בואו נסדר ארבעה מלבניים שווים

משולש כפי שמוצג באיור

בצד ימין.

מרובע עם צלעות ג- כיכר,

שכן הסכום של שתי זוויות חדות הוא 90°, ו

זווית פרושה - 180°.

השטח של כל הדמות שווה, מצד אחד,

שטח של ריבוע עם צד ( א+ב), ומצד שני, סכום השטחים של ארבעה משולשים ו

Q.E.D.

3. הוכחה למשפט פיתגורס בשיטה האינפיניטסימלית.

​

מסתכלים על הציור המוצג באיור ו

לראות את הצד משתנהא, אנחנו יכולים

כתוב את היחס הבא לאינסוף

קָטָן עליות צדעםו א(באמצעות דמיון

משולשים):

באמצעות שיטת ההפרדה המשתנים, אנו מוצאים:

ביטוי כללי יותר לשינוי בתחתית החזה במקרה של עליות משני הצדדים:

על ידי שילוב משוואה זו ושימוש תנאים התחלתיים, אנחנו מקבלים:

כך אנו מגיעים לתשובה הרצויה:

כפי שקל לראות, התלות הריבועית בנוסחה הסופית מופיעה בשל הליניארי

מידתיות בין צלעות המשולש לבין המרווחים, בעוד הסכום קשור לבלתי תלוי

תרומות מגידול של רגליים שונות.

הוכחה פשוטה יותר ניתן לקבל אם נניח שאחת מהרגליים לא חווה עלייה

(במקרה זה הרגל ב). ואז עבור קבוע האינטגרציה נקבל:

(לפי פפירוס 6619 של מוזיאון ברלין). לפי קנטור, הרפדונפטס, או "מושכי חבלים", בנו זוויות ישרות באמצעות משולשים ישרים עם צלעות של 3, 4 ו-5.

קל מאוד לשחזר את שיטת הבנייה שלהם. ניקח חבל באורך 12 מ' ונקשור אליו רצועה צבעונית במרחק של 3 מ' מקצה אחד ו-4 מטר מהקצה השני. הזווית הישרה תהיה בין הצדדים באורך 3 ו-4 מטרים. אפשר להתנגד להרפדונפטיאנים ששיטת הבנייה שלהם הופכת למיותרת אם משתמשים, למשל, בריבוע עץ, המשמש את כל הנגרים. ואכן, ידועים רישומים מצריים שבהם נמצא כלי כזה, למשל רישומים המתארים נגריה.

קצת יותר ידוע על משפט פיתגורס בקרב הבבלים. בטקסט אחד המתוארך לתקופת חמורבי, כלומר לשנת 2000 לפני הספירה. ה. , ניתן חישוב משוער של תחתית המשולש ישר זווית. מכאן ניתן להסיק שבמסופוטמיה הצליחו לבצע חישובים עם משולשים ישרים, לפי לפחותבמקרים מסוימים. בהתבסס, מצד אחד, על רמת הידע הנוכחית על מתמטיקה מצרית ובבל, ומצד שני, על מחקר ביקורתי של מקורות יווניים, הגיע ואן דר וירדן (מתמטיקאי הולנדי) למסקנה שקיימת סבירות גבוהה שה- משפט על ריבוע התחתון היה ידוע בהודו כבר בסביבות המאה ה-18 לפני הספירה. ה.

בסביבות 400 לפני הספירה. לפני הספירה, לפי פרוקלוס, אפלטון נתן שיטה למציאת שלישיות פיתגורס, בשילוב אלגברה וגיאומטריה. בסביבות 300 לפני הספירה. ה. ההוכחה האקסיומטית העתיקה ביותר למשפט פיתגורס הופיעה ב-Euclid's Elements.

ניסוחים

ניסוח גיאומטרי:

המשפט נוסח במקור כך:

ניסוח אלגברי:

כלומר, מציינים את אורך התחתון של המשולש ב-, ואת אורכי הרגליים ב- ו:

שני הניסוחים של המשפט שווים, אבל הניסוח השני הוא יותר יסודי; הוא אינו מצריך את מושג השטח. כלומר, ניתן לאמת את המשפט השני מבלי לדעת דבר על השטח ועל ידי מדידת אורכי הצלעות של משולש ישר זווית בלבד.

משפט פיתגורס הפוך:

הוכחה

כרגע, 367 הוכחות למשפט זה נרשמו בספרות המדעית. כנראה, משפט פיתגורס הוא המשפט היחיד עם מספר כה מרשים של הוכחות. גיוון כזה יכול להיות מוסבר רק על ידי המשמעות הבסיסית של המשפט לגיאומטריה.

כמובן, מבחינה רעיונית ניתן לחלק את כולם למספר קטן של כיתות. המפורסמות שבהן: הוכחות בשיטת שטח, הוכחות אקסיומטיות ואקזוטיות (למשל באמצעות משוואות דיפרנציאליות).

דרך משולשים דומים

ההוכחה הבאה לניסוח האלגברי היא הפשוטה מבין ההוכחות, הבנויה ישירות מהאקסיומות. בפרט, הוא אינו משתמש במושג שטח של דמות.

לתת א ב גיש משולש ישר זווית עם זווית ישרה ג. בוא נצייר את הגובה מ גוסמן את הבסיס שלו ב ח. משולש ACHדומה למשולש א ב גבשתי פינות. כמו כן, משולש CBHדוֹמֶה א ב ג. על ידי הצגת הסימון

אנחנו מקבלים

מה שווה ערך

אם נוסיף את זה, אנחנו מבינים

, וזה מה שהיה צריך להוכיח

הוכחות בשיטת שטח

ההוכחות להלן, למרות פשטותן לכאורה, אינן כל כך פשוטות כלל וכלל. כולם משתמשים במאפיינים של שטח, שההוכחה לכך מורכבת יותר מההוכחה של משפט פיתגורס עצמו.

הוכחה באמצעות equicomplementation

1. בואו נסדר ארבעה משולשים ישרים שווים כפי שמוצג באיור 1.
2. מרובע עם צלעות גהוא ריבוע, שכן הסכום של שתי זוויות חדות הוא 90°, והזווית הישר היא 180°.
3. שטח הדמות כולה שווה, מצד אחד, לשטח של ריבוע עם צלע (a + b), ומצד שני, לסכום השטחים של ארבעת המשולשים וה- שטח הריבוע הפנימי.

Q.E.D.

ההוכחה של אוקלידס

הרעיון של ההוכחה של אוקלידס הוא כדלקמן: בוא ננסה להוכיח שמחצית משטח הריבוע הבנוי על היריעה שווה לסכום חצאי השטחים של הריבועים הבנויים על הרגליים, ולאחר מכן השטחים של הריבוע הגדול ושני הריבועים הקטנים שווים.

בואו נסתכל על הציור בצד שמאל. עליו בנינו ריבועים על צלעות משולש ישר זווית ושרטטנו קרן s מקודקוד הזווית הישרה C בניצב לתחתית AB, היא חותכת את הריבוע ABIK, הבנוי על התחתון, לשני מלבנים - BHJI ו- HAKJ, בהתאמה. מסתבר ששטחי המלבנים הללו שווים בדיוק לשטחי הריבועים הבנויים על הרגליים המתאימות.

בואו ננסה להוכיח ששטח הריבוע DECA שווה לשטח המלבן AHJK. לשם כך נשתמש בתצפית עזר: שטח משולש בעל אותו גובה ובסיס כמו המלבן הנתון שווה למחצית השטח של המלבן הנתון. זוהי תוצאה של הגדרת שטח המשולש כמחצית מכפלת הבסיס והגובה. מתצפית זו נובע ששטח המשולש ACK שווה לשטח המשולש AHK (לא מוצג באיור), שבתורו שווה למחצית משטח המלבן AHJK.

הבה נוכיח כעת ששטח המשולש ACK שווה גם הוא לחצי משטח ה-DECA הריבוע. הדבר היחיד שצריך לעשות בשביל זה הוא להוכיח את השוויון של המשולשים ACK ו-BDA (מאחר ששטח המשולש BDA שווה לחצי משטח הריבוע לפי התכונה הנ"ל). השוויון הזה ברור: המשולשים שווים משני הצדדים והזווית ביניהם. כלומר - AB=AK, AD=AC - קל להוכיח את השוויון של הזוויות CAK ו-BAD בשיטת התנועה: אנחנו מסובבים את המשולש CAK 90° נגד כיוון השעון, אז ברור שהצלעות המתאימות של שני המשולשים ב השאלה תתאים (בשל העובדה שהזווית בקודקוד הריבוע היא 90°).

הנימוק לשוויון השטחים של הריבוע BCFG והמלבן BHJI דומה לחלוטין.

כך הוכחנו ששטח ריבוע שנבנה על התחתית מורכב משטחי הריבועים הבנויים על הרגליים. הרעיון מאחורי ההוכחה הזו מומחש עוד יותר על ידי האנימציה למעלה.

הוכחה של ליאונרדו דה וינצ'י

המרכיבים העיקריים של ההוכחה הם סימטריה ותנועה.

הבה נבחן את הציור, כפי שניתן לראות מהסימטריה, הקטע חותך את הריבוע לשני חלקים זהים (מכיוון שהמשולשים שווים בבנייה).

באמצעות סיבוב של 90 מעלות נגד כיוון השעון סביב הנקודה, אנו רואים את השוויון של הדמויות המוצללות ו.

כעת ברור ששטח הדמות שהצללנו שווה לסכום של מחצית משטחי הריבועים הקטנים (הבנויים על הרגליים) ושטח המשולש המקורי. מצד שני, זה שווה לחצי משטח הריבוע הגדול (הנבנה על התחתון) בתוספת שטח המשולש המקורי. לפיכך, מחצית מסכום שטחי הריבועים הקטנים שווה למחצית משטח הריבוע הגדול, ולכן סכום שטחי הריבועים הבנויים על הרגליים שווה לשטח הריבוע הבנוי על הרגליים. אֲלַכסוֹן.

הוכחה בשיטה האינפיניטסימלית

ההוכחה הבאה באמצעות משוואות דיפרנציאליות מיוחסת לרוב למתמטיקאי האנגלי המפורסם הארדי, שחי במחצית הראשונה של המאה ה-20.

מסתכלים על הציור המוצג באיור ומתבוננים בשינוי הצד א, נוכל לכתוב את היחס הבא עבור מרווחי צד אינסופיים עםו א(באמצעות דמיון משולש):

באמצעות שיטת ההפרדה של משתנים, אנו מוצאים

ביטוי כללי יותר לשינוי בתת התחתון במקרה של מרווחים משני הצדדים

שילוב משוואה זו ושימוש בתנאים ההתחלתיים, אנו מקבלים

כך אנו מגיעים לתשובה הרצויה

כפי שקל לראות, התלות הריבועית בנוסחה הסופית מופיעה עקב המידתיות הליניארית בין צלעות המשולש לבין המרווחים, בעוד הסכום קשור לתרומות עצמאיות מהתוספת של רגליים שונות.

ניתן לקבל הוכחה פשוטה יותר אם נניח שאחת מהרגליים לא חווה עלייה (במקרה זה רגל). ואז עבור קבוע האינטגרציה שאנו מקבלים

וריאציות והכללות

צורות גיאומטריות דומות בשלושה צדדים

הכללה למשולשים דומים, שטח של צורות ירוקות A + B = שטח של כחול C

משפט פיתגורס באמצעות משולשים ישרים דומים

אוקלידס הכליל את משפט פיתגורס בעבודתו התחלות, הרחבת שטחי הריבועים בצדדים לאזורים דומים צורות גיאומטריות :

אם נבנה דמויות גיאומטריות דומות (ראה גיאומטריה אוקלידית) על צלעותיו של משולש ישר זווית, אז הסכום של שתי הדמויות הקטנות יותר יהיה שווה לשטח הדמות הגדולה יותר.

הרעיון המרכזי של הכללה זו הוא שהשטח של דמות גיאומטרית כזו הוא פרופורציונלי לריבוע של כל אחד מהממדים הליניאריים שלו, ובפרט, לריבוע של אורך כל צד. לכן, עבור דמויות דומות עם שטחים א, בו גבנוי על דפנות עם אורך א, בו ג, יש לנו:

אבל לפי משפט פיתגורס, א 2 + ב 2 = ג 2 אז א + ב = ג.

לעומת זאת, אם נוכל להוכיח זאת א + ב = געבור שלוש דמויות גיאומטריות דומות מבלי להשתמש במשפט פיתגורס, אז נוכל להוכיח את המשפט עצמו, לנוע בכיוון ההפוך. לדוגמה, ניתן לעשות שימוש חוזר במשולש מרכז ההתחלה כמשולש געל התחתון, ושני משולשים ישרים דומים ( או ב), שנבנו על שני הצדדים האחרים, שנוצרים על ידי חלוקת המשולש המרכזי בגובהו. אז הסכום של שני המשולשים הקטנים יותר שווה אז לשטח השלישי, אם כן א + ב = גוכן, מילוי ההוכחה הקודמת ב בסדר הפוך, נקבל את משפט פיתגורס a 2 + b 2 = c 2 .

משפט קוסינוס

משפט פיתגורס הוא מקרה מיוחדמשפט כללי יותר של קוסינוס, המקשר את אורכי הצלעות במשולש שרירותי:

כאשר θ היא הזווית בין הצדדים או ב.

אם θ הוא 90 מעלות אז cos θ = 0 והנוסחה מפשטת למשפט פיתגורס הרגיל.

משולש חופשי

לכל פינה נבחרת של משולש שרירותי עם צלעות א ב גלרשום משולש שווה שוקיים באופן כזה זוויות שוותבבסיסו θ היה שווה לזווית שנבחרה. הבה נניח שהזווית שנבחרה θ ממוקמת מול הצלע המיועדת ג. כתוצאה מכך, קיבלנו משולש ABD עם זווית θ, שנמצא מול הצלע אומסיבות ר. המשולש השני נוצר מהזווית θ, שנמצאת מול הצלע בומסיבות עםאורך ס, כפי שמוצג בתמונה. תאב אבן קורה טען שהצלעות בשלושת המשולשים הללו קשורות באופן הבא:

ככל שהזווית θ מתקרבת ל-π/2, בסיס המשולש שווה שוקיים הולך וקטן ושתי הצלעות r ו-s חופפות זו את זו פחות ופחות. כאשר θ = π/2, ADB הופך למשולש ישר זווית, ר + ס = גונקבל את משפט פיתגורס הראשוני.

בואו נבחן את אחד הטיעונים. למשולש ABC יש את אותן זוויות כמו למשולש ABD, אבל בסדר הפוך. (לשני המשולשים יש זווית משותפת בקודקוד B, לשניהם זווית θ וגם יש להם את אותה זווית שלישית, על סמך סכום הזוויות של המשולש) בהתאם, ABC דומה להחזר ABD של המשולש DBA, שכן מוצג באיור התחתון. הבה נכתוב את הקשר בין הצלעות הנגדיות לאלו הסמוכות לזווית θ,

גם השתקפות של משולש אחר,

נכפיל את השברים ונוסיף את שני היחסים הבאים:

Q.E.D.

הכללה למשולשים שרירותיים באמצעות מקביליות

הכללה למשולשים שרירותיים,
אזור ירוק חלקה = שטחכְּחוֹל

הוכחה לתזה שבאיור למעלה

בואו נעשה הכללה נוספת למשולשים לא ישרים על ידי שימוש במקביליות בשלוש צלעות במקום בריבועים. (ריבועים הם מקרה מיוחד.) האיור העליון מראה שבמשולש חד, שטח המקבילית בצד הארוך שווה לסכום המקביליות בשתי הצלעות האחרות, בתנאי שהמקבילית בצד הארוכה. הצד בנוי כפי שמוצג באיור (המידות המצוינות על ידי החצים זהות וקובעות את הצדדים של המקבילה התחתונה). החלפה זו של ריבועים במקביליות מזכירה דמיון ברור למשפט הראשוני של פיתגורס, שחשב שנוסח על ידי פאפוס מאלכסנדריה בשנת 4 לספירה. ה.

האיור התחתון מציג את התקדמות ההוכחה. בואו נסתכל על הצד השמאלי של המשולש. המקבילית הירוקה השמאלית בעלת אותו שטח כמו צד שמאלמקבילית כחולה כי יש להם אותו בסיס בוגובה ח. כמו כן, למקבילית הירוקה השמאלית יש את אותו שטח כמו המקבילית הירוקה השמאלית בתמונה העליונה מכיוון שהם חולקים בסיס משותף (למעלה צד שמאלמשולש) והגובה הכולל בניצב לאותה צד של המשולש. בעזרת נימוק דומה לצד הימני של המשולש, נוכיח שלמקבילית התחתונה יש אותו שטח כמו שתי המקביליות הירוקות.

מספרים מסובכים

משפט פיתגורס משמש למציאת המרחק בין שתי נקודות במערכת קואורדינטות קרטזית, ומשפט זה תקף לכל הקואורדינטות האמיתיות: מרחק סבין שתי נקודות ( א, ב) ו( CD) שווים

אין בעיות עם הנוסחה אם מתייחסים למספרים מרוכבים כאל וקטורים עם רכיבים אמיתיים איקס + אני י = (איקס, y). . למשל מרחק סבין 0 + 1 אניו-1+0 אנימחושב כמודולוס של הווקטור (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), אוֹ

עם זאת, עבור פעולות עם וקטורים עם קואורדינטות מורכבות, יש צורך לבצע כמה שיפורים בנוסחה הפיתגורית. מרחק בין נקודות עם מספרים מרוכבים ( א, ב) ו( ג, ד); א, ב, ג, ו דהכל מורכב, אנו מנסחים באמצעות ערכים מוחלטים. מֶרְחָק סמבוסס על הבדל וקטור (א − ג, ב − ד) בצורה הבאה: תן את ההבדל א − ג = ע+i ש, איפה ע- חלק אמיתי מההבדל, שהוא החלק הדמיוני, ו-i = √(−1). כמו כן, תן ב − ד = ר+i ס. לאחר מכן:

איפה המספר המצומד המורכב עבור . לדוגמה, המרחק בין נקודות (א, ב) = (0, 1) ו (ג, ד) = (אני, 0) , בוא נחשב את ההפרש (א − ג, ב − ד) = (−אני, 1) והתוצאה תהיה 0 אם לא נעשה שימוש בצמודים מורכבים. לכן, באמצעות הנוסחה המשופרת, אנו מקבלים

המודול מוגדר כדלקמן:

סטריאומטריה

הכללה משמעותית של משפט פיתגורס עבור מרחב תלת מימדי היא משפט דה גוי, הקרוי על שם J.-P. de Gois: אם לטטרהדרון יש זווית (כמו בקוביה), הריבוע של שטח הפנים מול הזווית הישרה שווה לסכום הריבועים של שטחי שלושת הפרצופים האחרים. ניתן לסכם מסקנה זו כ" נ-משפט פיתגורס ממדי":

משפט פיתגורס במרחב התלת מימדי מקשר את האלכסון AD לשלושה צדדים.

הכללה נוספת: ניתן ליישם את משפט פיתגורס על סטריאומטריה בצורה הבאה. שקול מקבילי מלבני כפי שמוצג באיור. בואו נמצא את אורך האלכסון BD באמצעות משפט פיתגורס:

כאשר שלוש הצלעות יוצרות משולש ישר זווית. אנו משתמשים באלכסון האופקי BD ובקצה האנכי AB כדי למצוא את אורך האלכסון AD, לשם כך נשתמש שוב במשפט פיתגורס:

או, אם נכתוב הכל במשוואה אחת:

תוצאה זו היא ביטוי תלת מימדי לקביעת גודל הווקטור v(אלכסון AD), מבוטא במונחים של מרכיביו הניצבים ( vיא) (שלוש צלעות מאונכות זו לזו):

ניתן להתייחס למשוואה זו כהכללה של משפט פיתגורס למרחב רב-ממדי. עם זאת, התוצאה היא למעשה לא יותר מאשר יישום חוזר ונשנה של משפט פיתגורס על רצף של משולשים ישרים זויים במישורים מאונכים ברציפות.

חלל וקטור

במקרה של מערכת אורתוגונלית של וקטורים, יש שוויון, הנקרא גם משפט פיתגורס:

אם - אלו היטל של הווקטור על צירי הקואורדינטות, אזי נוסחה זו חופפת למרחק האוקלידי - ומשמעותה שאורך הווקטור שווה לשורש הריבועי של סכום ריבועי מרכיביו.

האנלוגי של השוויון הזה במקרה של מערכת אינסופית של וקטורים נקרא השוויון של Parseval.

גיאומטריה לא אוקלידית

משפט פיתגורס נגזר מהאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית ולמעשה אינו תקף לגיאומטריה שאינה אוקלידית, בצורה שבה הוא כתוב למעלה. (כלומר, משפט פיתגורס מתגלה כסוג של מקבילה להנחת ההקבלה של אוקלידס) במילים אחרות, בגיאומטריה לא אוקלידית הקשר בין צלעות המשולש יהיה בהכרח בצורה שונה ממשפט פיתגורס. לדוגמה, בגיאומטריה כדורית, כל שלוש הצלעות של משולש ישר זווית (נניח א, בו ג), המגבילים את האוקטנט (החלק השמיני) של כדור היחידה, באורך של π/2, מה שסותר את משפט פיתגורס, מכיוון א 2 + ב 2 ≠ ג 2 .

הבה נבחן כאן שני מקרים של גיאומטריה לא אוקלידית - גיאומטריה כדורית והיפרבולית; בשני המקרים, באשר למרחב האוקלידי למשולשים ישרים, התוצאה, המחליפה את משפט פיתגורס, נובעת ממשפט הקוסינוס.

עם זאת, משפט פיתגורס נשאר תקף עבור גיאומטריה היפרבולית ואליפטית אם הדרישה שהמשולש יהיה מלבני מוחלפת בתנאי שסכום שתי הזוויות של המשולש חייב להיות שווה לשלישית, למשל. א+ב = ג. ואז היחס בין הצדדים נראה כך: סכום שטחי העיגולים בקטרים או בשווה לשטח של מעגל בקוטר ג.

גיאומטריה כדורית

לכל משולש ישר זווית על כדור עם רדיוס ר(לדוגמה, אם הזווית γ במשולש ישרה) עם צלעות א, ב, גהיחסים בין הצדדים ייראו כך:

ניתן לגזור את השוויון הזה כ מקרה מיוחדמשפט קוסינוס כדורי, אשר תקף עבור כל המשולשים הכדוריים:

כאשר cosh הוא הקוסינוס ההיפרבולי. נוסחה זו היא מקרה מיוחד של משפט הקוסינוס ההיפרבולי, אשר תקף עבור כל המשולשים:

כאשר γ היא הזווית שקודקודה מנוגד לצלע ג.

איפה ז ijנקרא טנזור מטרי. זה יכול להיות פונקציה של מיקום. חללים מעוקלים כאלה כוללים גיאומטריה רימניאנית כדוגמה כללית. ניסוח זה מתאים גם למרחב אוקלידי בעת שימוש בקואורדינטות עקומות. לדוגמה, עבור קואורדינטות קוטביות:

יצירות אמנות וקטוריות

משפט פיתגורס מחבר בין שני ביטויים לגודל מכפלה וקטורית. גישה אחת להגדרת מוצר צולב דורשת שהוא יעמוד במשוואה:

נוסחה זו משתמשת במוצר הנקודה. הצד הימני של המשוואה נקרא דטרמיננט גראם עבור או ב, השווה לשטח המקבילית שנוצרה על ידי שני הוקטורים הללו. בהתבסס על דרישה זו, כמו גם הדרישה שהמוצר הווקטור יהיה מאונך למרכיביו או במכאן נובע שלמעט מקרים טריוויאליים ממרחב 0 ו-1 ממדי, תוצר הצלב מוגדר רק בשלושה ושבעה ממדים. אנו משתמשים בהגדרה של הזווית ב נ-מרחב ממדי:

תכונה זו של מוצר צולב נותנת את גודלו באופן הבא:

דרך יסוד זהות טריגונומטריתפיתגורס אנו מקבלים צורה אחרת של כתיבת ערכו:

גישה חלופית להגדרת מוצר צולב היא להשתמש בביטוי לגודלו. ואז, בהיגיון בסדר הפוך, אנו מקבלים קשר עם התוצר הסקלרי:

ראה גם

הערות

1. נושא ההיסטוריה: משפט פיתגורס במתמטיקה הבבלית
2. ( , עמ' 351) עמ' 351
3. (, כרך א', עמ' 144)
4. דִיוּן עובדות היסטוריותניתן ב (, עמ' 351) עמ' 351
5. קורט פון פריץ (אפריל, 1945). "הגילוי של חוסר ההשוואה על ידי היפסוס ממטאפונטום". דברי הימים למתמטיקה, סדרה שנייה(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. לואיס קרול, "הסיפור עם הקשרים", M., Mir, 1985, p. 7
7. אסגר אבואהפרקים מההיסטוריה המוקדמת של המתמטיקה. - האגודה המתמטית של אמריקה, 1997. - עמ' 51. - ISBN 0883856131
8. הצעת פייתוןמאת אלישע סקוט לומיס
9. של אוקלידס אלמנטים: ספר ו', הצעה VI 31: "במשולשים ישרי זווית הדמות בצד המושך את הזווית הישרה שווה לדמויות הדומות ומתוארות באופן דומה בצדדים המכילים את הזווית הישרה."
10. לורנס ס. לף עבודה מצוטטת. - סדרת החינוך של בארון. - עמ' 326. - ISBN 0764128922
11. הווארד וויטלי איבס§4.8:...הכללה של משפט פיתגורס // רגעים גדולים במתמטיקה (לפני 1650). - האגודה המתמטית של אמריקה, 1983. - עמ' 41. - ISBN 0883853108
12. טבית בן קורה (שם מלא ת'ביט בן קורה בן מרואן אל-חאראני) (826-901 לספירה) היה רופא שחי בבגדד שכתב רבות על היסודות של אוקלידס ונושאים מתמטיים אחרים.
13. Aydin Sayili (מרס 1960). "הכללת משפט פיתגורס של ת'אבית בן קורה." המדינה האסלאמית 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. ג'ודית ד' סאלי, פול סאליתרגיל 2.10 (ii) // עבודה מצוטטת. - עמ' 62. - ISBN 0821844032
15. לפרטים על בנייה כזו, ראה ג'ורג' ג'נינגסאיור 1.32: משפט פיתגורס המוכלל // גיאומטריה מודרנית עם יישומים: עם 150 דמויות. - 3. - Springer, 1997. - עמ' 23. - ISBN 038794222X
16. ארלן בראון, קארל מ. פירסיפריט ג: נורמה עבור שרירותי נ-tuple ... // מבוא לניתוח . - Springer, 1995. - עמ' 124. - ISBN 0387943692ראה גם עמודים 47-50.
17. אלפרד גריי, אלזה אבנה, סיימון סלמוןגיאומטריה דיפרנציאלית מודרנית של עקומות ומשטחים עם Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - עמ' 194. - ISBN 1584884487
18. ראג'נדרה בהטיהניתוח מטריקס. - Springer, 1997. - עמ' 21. - ISBN 0387948465
19. סטיבן וו. הוקינג עבודה מצוטטת. - 2005. - עמ' 4. - ISBN 0762419229
20. אריק וו. וייסשטיין CRC אנציקלופדיה תמציתית למתמטיקה. - 2. - 2003. - עמ' 2147. - ISBN 1584883472
21. אלכסנדר ר פרוס