דוגמאות למטריצה ​​הפוכה מסדר שלישי עם פתרון. מטריצה ​​הפוכה

מצא את ההגדרה של כל מטריצה ​​2x2.כל רכיב של כל מטריצה, כולל אחת שעברה טרנספוזיה, משויך למטריצה ​​2x2 מתאימה. כדי למצוא מטריצה ​​2x2 המתאימה לאלמנט מסוים, חוצים את השורה והעמודה שבהן נמצא האלמנט הנתון, כלומר, עליך לחצות חמישה אלמנטים של המטריצה ​​המקורית של 3x3. ארבעה אלמנטים יישארו לא מוצלבים, שהם אלמנטים של המטריצה ​​2x2 המתאימה.

• לדוגמה, כדי למצוא מטריצה ​​של 2x2 עבור האלמנט שנמצא במפגש בין השורה השנייה והעמודה הראשונה, חוצים את חמשת האלמנטים שנמצאים בשורה השנייה ובעמודה הראשונה. ארבעת האלמנטים הנותרים הם אלמנטים של מטריצת 2x2 המתאימה.
• מצא את הקובע של כל מטריצה ​​2x2. לשם כך, יש להחסיר את מכפלת האלמנטים של האלכסון המשני ממכפלת האלמנטים של האלכסון הראשי (ראה איור).
• מידע מפורט על מטריצות 2x2 התואמות לאלמנטים ספציפיים של מטריצה ​​3x3 ניתן למצוא באינטרנט.

צור מטריצת קו-פקטור.כתוב את התוצאות שהושגו קודם לכן בצורה של מטריצה ​​קופקטור חדשה. לשם כך, כתוב את הקובע שנמצא של כל מטריצת 2x2 היכן שהרכיב המתאים של המטריצה ​​3x3 נמצא. לדוגמה, אם אתה שוקל מטריצה ​​2x2 עבור אלמנט (1,1), כתוב את הקובע שלו במיקום (1,1). לאחר מכן שנה את הסימנים של האלמנטים המתאימים לפי סכימה מסוימת, שמוצגת באיור.

• תכנית לשינוי סימנים: הסימן של האלמנט הראשון של השורה הראשונה אינו משתנה; הסימן של האלמנט השני של השורה הראשונה הפוך; הסימן של האלמנט השלישי של השורה הראשונה אינו משתנה, וכך הלאה שורה אחר שורה. שימו לב שהסימנים "+" ו-"-" המוצגים בתרשים (ראה איור) אינם מציינים שהאלמנט המתאים יהיה חיובי או שלילי. IN במקרה הזההסימן "+" מציין שהסימן של האלמנט אינו משתנה, והסימן "-" מציין שינוי בסימן האלמנט.
• מידע מפורט על מטריצות קופקטור ניתן למצוא באינטרנט.
• כך תמצאו את המטריצה ​​הצמודה של המטריצה ​​המקורית. לפעמים זה נקרא מטריצה ​​מצומדת מורכבת. מטריצה ​​כזו מסומנת כ-adj(M).

חלקו כל רכיב של המטריצה ​​הצמודה לפי הקובע שלו.הקובע של המטריצה ​​M חושב כבר בהתחלה כדי לבדוק אם המטריצה ​​ההפוכה קיימת. כעת חלקו כל רכיב של המטריצה ​​הצמודה בקביעה זו. כתוב את התוצאה של כל פעולת חלוקה שבה נמצא האלמנט המתאים. כך תמצאו את המטריצה ​​הפוכה לזו המקורית.

• הקובע של המטריצה ​​שמוצג באיור הוא 1. לכן, כאן המטריצה ​​הצמודה היא המטריצה ​​ההפוכה (מכיוון שכאשר מספר כלשהו מחולק ב-1, הוא לא משתנה).
• במקורות מסוימים, פעולת החלוקה מוחלפת בפעולת הכפל ב-1/det(M). עם זאת, התוצאה הסופית לא משתנה.

כתוב את המטריצה ​​ההפוכה.כתוב את האלמנטים הממוקמים בחצי הימני של המטריצה ​​הגדולה כמטריצה ​​נפרדת, שהיא המטריצה ​​ההפוכה.

הזינו את המטריצה ​​המקורית לזיכרון המחשבון.כדי לעשות זאת, לחץ על כפתור מטריקס, אם זמין. עבור מחשבון Texas Instruments, ייתכן שתצטרך ללחוץ על הלחצנים השניה והמטריקס.

בחר בתפריט עריכה.עשה זאת באמצעות לחצני החצים או כפתור הפונקציה המתאים הממוקם בחלק העליון של המקלדת של המחשבון (מיקום הכפתור משתנה בהתאם לדגם המחשבון).

הזן את סימון המטריצה.רוב המחשבונים הגרפיים יכולים לעבוד עם 3-10 מטריצות, שניתן לייעד אותן אותיות א-י. בדרך כלל, פשוט בחר [A] כדי לייעד את המטריצה ​​המקורית. לאחר מכן לחץ על הלחצן Enter.

הזן את גודל המטריצה.מאמר זה מדבר על מטריצות 3x3. אבל מחשבונים גרפיים יכולים לעבוד עם מטריצות מידות גדולות. הזן את מספר השורות, הקש על Enter ולאחר מכן הזן את מספר העמודות והקש שוב על Enter.

הזן כל אלמנט מטריצה.מטריצה ​​תוצג על מסך המחשבון. אם הזנת בעבר מטריצה ​​למחשבון, היא תופיע על המסך. הסמן ידגיש את האלמנט הראשון של המטריצה. הזן את הערך עבור האלמנט הראשון והקש Enter. הסמן יעבור אוטומטית לרכיב המטריצה ​​הבא.

דרכים למצוא מטריצה ​​הפוכה, . שקול מטריצה ​​מרובעת

נסמן את Δ =det A.

המטריצה ​​הריבועית A נקראת לא מנוון,אוֹ לא מיוחד, אם הקובע שלו אינו אפס, ו דֵגֵנֵרָט,אוֹ מיוחד, אםΔ = 0.

מטריצה ​​מרובעת B היא עבור מטריצה ​​מרובעת A באותו סדר אם המכפלה שלהם היא A B = B A = E, כאשר E היא מטריצת הזהות באותו סדר כמו המטריצות A ו-B.

מִשׁפָּט . כדי שלמטריקס A תהיה מטריצה ​​הפוכה, יש צורך ומספיק שהקביעה שלה תהיה שונה מאפס.

המטריצה ​​ההפוכה של מטריצה ​​A, מסומנת על ידי A- 1, אז B = A - 1 ומחושב לפי הנוסחה

, (1)

כאשר A i j הם משלימים אלגבריים של אלמנטים a i j של מטריצה ​​A..

חישוב A -1 באמצעות נוסחה (1) למטריצות מסדר גבוה הוא מאוד אינטנסיבי, ולכן בפועל נוח למצוא את A -1 בשיטת טרנספורמציות אלמנטריות (ET). ניתן לצמצם כל מטריצה ​​לא יחידה A למטריצת הזהות E באמצעות ED של עמודות בלבד (או רק שורות). אם ה-EDs המשוכללים על מטריצה ​​A מיושמים באותו סדר על מטריצת הזהות E, אז התוצאה היא מטריצה ​​הפוכה. נוח לבצע EP על מטריצות A ו-E בו זמנית, לכתוב את שתי המטריצות זו לצד זו דרך קו. נציין שוב שכאשר מחפשים את הצורה הקנונית של מטריצה, כדי למצוא אותה, ניתן להשתמש בטרנספורמציות של שורות ועמודות. אם אתה צריך למצוא את היפוך של מטריצה, עליך להשתמש רק בשורות או רק בעמודות במהלך תהליך השינוי.

דוגמה 2.10. למטריצה מצא את A-1.

פִּתָרוֹן.ראשית נמצא את הקובע של מטריצה ​​A
המשמעות היא שהמטריקס ההפוכה קיימת ונוכל למצוא אותה באמצעות הנוסחה: , כאשר A i j (i,j=1,2,3) הן תוספות אלגבריות של אלמנטים a i j של המטריצה ​​המקורית.

איפה .

דוגמה 2.11. בעזרת השיטה של ​​טרנספורמציות יסודיות, מצא את A -1 עבור המטריצה: A = .

פִּתָרוֹן.אנו מקצים למטריצה ​​המקורית מימין מטריצת זהות באותו סדר: . באמצעות טרנספורמציות יסודיות של העמודות, נצמצם את ה"חצי" השמאלי לזהות, ובמקביל נבצע בדיוק את אותן טרנספורמציות במטריצה ​​הימנית.
כדי לעשות זאת, החלף את העמודה הראשונה והשנייה: ~ . לעמוד השלישי נוסיף את הראשון, ולשני - הראשון, כפול -2: . מהעמודה הראשונה נחסר את השני כפול, ומהשלישי - השני כפול 6; . בואו נוסיף את העמודה השלישית לעמודה הראשונה והשנייה: . הכפל את העמודה האחרונה ב-1: . המטריצה ​​הריבועית המתקבלת מימין לסרגל האנכי היא המטריצה ​​ההפוכה של המטריצה ​​הנתונה A. אז,
.

לכל מטריצה ​​לא יחידה A יש מטריצה ​​ייחודית A -1 כזו

A*A -1 =A -1 *A = E,

כאשר E היא מטריצת הזהות מאותם סדרים כמו A. המטריצה ​​A -1 נקראת היפוך של מטריצה ​​A.

במקרה שמישהו שכח, במטריצת הזהות, פרט לאלכסון המלא באחדים, כל שאר המיקומים מלאים באפסים, דוגמה למטריצת זהות:

מציאת המטריצה ​​ההפוכה בשיטת המטריצה ​​הסמוכה

המטריצה ​​ההפוכה מוגדרת על ידי הנוסחה:

כאשר A ij - אלמנטים a ij.

הָהֵן. כדי לחשב את המטריצה ​​ההפוכה, עליך לחשב את הקובע של המטריצה ​​הזו. לאחר מכן מצא את המשלים האלגבריים עבור כל האלמנטים שלו והרכיב מהם מטריצה ​​חדשה. בשלב הבא אתה צריך להעביר את המטריצה ​​הזו. ומחלקים כל רכיב של המטריצה ​​החדשה בדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​המקורית.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

מצא את A -1 עבור מטריצה

פתרון בוא נמצא את A -1 בשיטת המטריצה ​​הסמוכה. יש לנו det A = 2. הבה נמצא את ההשלמות האלגבריות של המרכיבים של מטריצה ​​A. במקרה זה, ההשלמות האלגבריות של מרכיבי המטריצה ​​יהיו האלמנטים התואמים של המטריצה ​​עצמה, שנלקחו עם סימן בהתאם לנוסחה

יש לנו A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. אנחנו יוצרים את המטריצה ​​הצמודה

אנו מעבירים את המטריצה ​​A*:

אנו מוצאים את המטריצה ​​ההפוכה באמצעות הנוסחה:

אנחנו מקבלים:

באמצעות שיטת המטריצה ​​הסמוכה, מצא את A -1 if

פתרון קודם כל, אנו מחשבים את ההגדרה של המטריצה ​​הזו כדי לוודא את קיומה של המטריצה ​​ההפוכה. יש לנו

כאן הוספנו לאלמנטים של השורה השנייה את האלמנטים של השורה השלישית, שהוכפל קודם לכן ב- (-1), ולאחר מכן הרחבנו את הקובע לשורה השנייה. מכיוון שההגדרה של מטריצה ​​זו אינה אפס, המטריצה ​​ההפוכה שלה קיימת. כדי לבנות את המטריצה ​​הצמודה, אנו מוצאים את ההשלמות האלגבריות של האלמנטים של המטריצה ​​הזו. יש לנו

לפי הנוסחה

מטריצת תחבורה A*:

ואז לפי הנוסחה

מציאת המטריצה ​​ההפוכה בשיטת טרנספורמציות יסודיות

בנוסף לשיטת מציאת המטריצה ​​ההפוכה, הנובעת מהנוסחה (שיטת המטריצה ​​הסמוכה), קיימת שיטה למציאת המטריצה ​​ההפוכה, הנקראת שיטת התמרות היסודיות.

טרנספורמציות מטריצות אלמנטריות

התמורות הבאות נקראות טרנספורמציות מטריצות אלמנטריות:

1) סידור מחדש של שורות (עמודות);

2) הכפלת שורה (עמודה) במספר שאינו אפס;

3) הוספת לרכיבים של שורה (עמודה) את האלמנטים המקבילים של שורה אחרת (עמודה), המוכפלים קודם לכן במספר מסוים.

כדי למצוא את המטריצה ​​A -1, אנו בונים מטריצה ​​מלבנית B = (A|E) של סדרים (n; 2n), ומקצים למטריצה ​​A בצד ימין את מטריצת הזהות E דרך קו הפרדה:

בואו נסתכל על דוגמה.

בעזרת השיטה של ​​טרנספורמציות יסודיות, מצא את A -1 if

פתרון. אנו יוצרים מטריצה ​​B:

נסמן את השורות של מטריצה ​​B ב-α 1, α 2, α 3. הבה נבצע את התמורות הבאות בשורות של מטריצה ​​B.

הנושא הזה הוא אחד השנואים ביותר בקרב תלמידים. גרוע מכך, כנראה, הם המוקדמות.

החוכמה היא שעצם הרעיון של אלמנט הפוך (ואני לא מדבר רק על מטריצות) מפנה אותנו לפעולת הכפל. אפילו ב מערכת של ביהסספירות הכפל פעולה מורכבת, וכפל מטריצה ​​הוא נושא נפרד לגמרי, שאליו מוקדש פסקה שלמה ומדריך וידאו.

היום לא ניכנס לפרטים של חישובי מטריצה. בואו רק נזכור: איך מטריצות מיועדות, איך הן מוכפלות ומה נובע מכך.

סקירה: כפל מטריקס

קודם כל, בואו נסכים על סימון. מטריצה ​​$A$ בגודל $\left[ m\times n \right]$ היא פשוט טבלה של מספרים עם בדיוק $m$ שורות ועמודות $n$:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( א)_(21)) & ((א)_(22)) & ... & ((א)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

כדי למנוע ערבוב בטעות בין שורות ועמודות (תאמין לי, בבחינה אתה יכול לבלבל בין אחד לשתיים, שלא לדבר על כמה שורות), פשוט תסתכל על התמונה:

מה קורה? אם תציב את מערכת הקואורדינטות הסטנדרטית $OXY$ בפינה השמאלית העליונה ותכוון את הצירים כך שיכסו את כל המטריצה, אז כל תא של המטריצה ​​הזו יכול להיות משויך באופן ייחודי לקואורדינטות $\left(x;y \right)$ - זה יהיה מספר השורה ומספר העמודה.

מדוע מערכת הקואורדינטות ממוקמת בפינה השמאלית העליונה? כן, כי משם אנחנו מתחילים לקרוא כל טקסט. קל מאוד לזכור.

מדוע ציר $x$ מופנה כלפי מטה ולא ימינה? שוב, זה פשוט: קחו מערכת קואורדינטות רגילה (הציר $x$ הולך ימינה, ציר $y$ עולה) וסובבו אותה כך שתכסה את המטריצה. זהו סיבוב של 90 מעלות עם כיוון השעון - אנו רואים את התוצאה בתמונה.

באופן כללי, הבנו כיצד לקבוע את המדדים של רכיבי מטריצה. עכשיו בואו נסתכל על הכפל.

הַגדָרָה. מטריצות $A=\left[ m\times n \right]$ ו-$B=\left[ n\times k \right]$, כאשר מספר העמודות בראשון עולה בקנה אחד עם מספר השורות בשני, הם נקרא עקבי.

בדיוק בסדר הזה. אפשר להתבלבל ולומר שהמטריצות $A$ ו-$B$ יוצרות זוג מסודר $\left(A;B \right)$: אם הן עקביות בסדר הזה, אז בכלל אין צורך ש-$B $ ו$A$ אלה. גם הזוג $\left(B;A \right)$ עקבי.

ניתן להכפיל רק מטריצות מותאמות.

הַגדָרָה. המכפלה של מטריצות מותאמות $A=\left[ m\times n \right]$ ו-$B=\left[ n\times k \right]$ היא המטריצה ​​החדשה $C=\left[ m\times k \right ]$ , האלמנטים שבהם $((c)_(ij))$ מחושבים לפי הנוסחה:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

במילים אחרות: כדי לקבל את האלמנט $((c)_(ij))$ של המטריצה ​​$C=A\cdot B$, עליך לקחת את השורה $i$ של המטריצה ​​הראשונה, את $j$ -העמודה של המטריצה ​​השנייה, ולאחר מכן הכפל בזוגות אלמנטים מהשורה והעמודה הזו. תחבר את התוצאות.

כן, זו הגדרה כל כך קשה. מספר עובדות נובעות ממנו מיד:

1. כפל מטריצה, באופן כללי, אינו קומוטטיבי: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. עם זאת, הכפל הוא אסוציאטיבי: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. ואפילו בהפצה: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. ושוב בחלוקה: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

את ההתפלגות של הכפל היה צריך לתאר בנפרד עבור גורם הסכום השמאלי והימני בדיוק בגלל אי-הקומוטטיביות של פעולת הכפל.

אם יתברר ש$A\cdot B=B\cdot A$, מטריצות כאלה נקראות קומוטטיביות.

בין כל המטריצות שמוכפלות שם במשהו, יש מיוחדות - כאלו שכאשר מכפילים אותן בכל מטריצה ​​$A$, שוב נותנות $A$:

הַגדָרָה. מטריצה ​​$E$ נקראת זהות אם $A\cdot E=A$ או $E\cdot A=A$. במקרה של מטריצה ​​מרובעת $A$ נוכל לכתוב:

מטריצת הזהות היא אורח תדיר בפתרון משוואות מטריקס. ובכלל, אורח תדיר בעולם המטריצות. :)

ובגלל ה$E$ הזה מישהו עלה על כל השטויות שיכתבו בהמשך.

מהי מטריצה ​​הפוכה

מכיוון שכפל מטריצה ​​היא פעולה עתירת עבודה (צריך להכפיל חבורה של שורות ועמודות), גם הרעיון של מטריצה ​​הפוכה מתברר כלא טריוויאלי. ודורש קצת הסבר.

הגדרת מפתח

ובכן, הגיע הזמן לדעת את האמת.

הַגדָרָה. מטריצה ​​$B$ נקראת היפוך של מטריצה ​​$A$ if

המטריצה ​​ההפוכה מסומנת ב-$((A)^(-1))$ (לא להתבלבל עם התואר!), כך שניתן לשכתב את ההגדרה באופן הבא:

נראה שהכל פשוט וברור ביותר. אך כאשר מנתחים הגדרה זו, עולות מיד מספר שאלות:

1. האם תמיד קיימת מטריצה ​​הפוכה? ואם לא תמיד, אז איך לקבוע: מתי זה קיים ומתי לא?
2. ומי אמר שיש בדיוק מטריצה ​​אחת כזו? מה אם עבור איזו מטריצה ​​ראשונית $A$ יש המון שלם של הפוך?
3. איך נראים כל ה"היפוכים" האלה? ואיך בדיוק עלינו לספור אותם?

לגבי אלגוריתמי חישוב, נדבר על זה מעט מאוחר יותר. אבל על השאלות הנותרות נענה כבר עכשיו. הבה ננסח אותם בצורה של הצהרות-למות נפרדות.

מאפיינים בסיסיים

נתחיל עם איך המטריצה ​​$A$ צריכה להיראות באופן עקרוני כדי ש-$((A)^(-1))$ תתקיים עבורה. כעת נוודא ששתי המטריצות הללו חייבות להיות מרובעות, ובאותו גודל: $\left[ n\times n \right]$.

למה 1. נתון מטריצה ​​$A$ והיפוך שלה $((A)^(-1))$. אז שתי המטריצות הללו הן מרובעות, ובאותו סדר $n$.

הוכחה. זה פשוט. תן למטריצה ​​$A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. מכיוון שהמוצר $A\cdot ((A)^(-1))=E$ קיים בהגדרה, המטריצות $A$ ו-$((A)^(-1))$ עקביות בסדר המוצג:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( יישר)\]

זוהי תוצאה ישירה של אלגוריתם הכפל המטריצה: המקדמים $n$ ו-$a$ הם "טרנזיט" וחייבים להיות שווים.

במקביל, גם הכפל ההפוך מוגדר: $((A)^(-1))\cdot A=E$, לכן המטריצות $((A)^(-1))$ ו-$A$ הן עקבי גם בסדר שצוין:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( יישר)\]

לפיכך, ללא אובדן כלליות, אנו יכולים להניח ש$A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. עם זאת, לפי ההגדרה של $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, לכן הגדלים של המטריצות תואמים לחלוטין:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

אז מסתבר שכל שלוש המטריצות - $A$, $((A)^(-1))$ ו-$E$ - הן מטריצות מרובעות בגודל $\left[ n\times n \right]$. הלמה מוכחת.

טוב, זה כבר טוב. אנו רואים שרק מטריצות מרובעות ניתנות להפיכה. עכשיו בואו נוודא שהמטריקס ההפוכה תמיד זהה.

למה 2. נתון מטריצה ​​$A$ והיפוך שלה $((A)^(-1))$. אז המטריצה ​​ההפוכה הזו היא היחידה.

הוכחה. בוא נלך לפי סתירה: תן למטריצה ​​$A$ להיות לפחות שני הפוך - $B$ ו-$C$. אז, על פי ההגדרה, השוויון הבא נכונים:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

מלמה 1 אנו מסיקים שכל ארבע המטריצות - $A$, $B$, $C$ ו-$E$ - הן ריבועים באותו סדר: $\left[ n\times n \right]$. לכן, המוצר מוגדר:

מכיוון שכפל מטריצה ​​הוא אסוציאטיבי (אך לא קומוטטיבי!), אנו יכולים לכתוב:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

קיבלנו את היחיד גרסה אפשרית: שני מופעים של המטריצה ​​ההפוכה שווים. הלמה מוכחת.

הטיעונים שלעיל חוזרים כמעט מילה במילה על ההוכחה לייחודיות של האלמנט ההפוך עבור כל המספרים הממשיים $b\ne 0$. התוספת המשמעותית היחידה היא לקחת בחשבון את מימד המטריצות.

עם זאת, אנחנו עדיין לא יודעים כלום אם כל מטריצה ​​מרובעת ניתנת להפיכה. כאן בא לעזרתנו קובע - זה מאפיין מפתחעבור כל המטריצות המרובעות.

למה 3. נתון מטריצה ​​$A$. אם המטריצה ​​ההפוכה שלו $((A)^(-1))$ קיימת, אזי הקובע של המטריצה ​​המקורית אינו אפס:

\[\left| A\right|\ne 0\]

הוכחה. אנחנו כבר יודעים ש$A$ ו-$((A)^(-1))$ הם מטריצות מרובעות בגודל $\left[ n\times n \right]$. לכן, עבור כל אחד מהם נוכל לחשב את הקובע: $\left| A\right|$ ו-$\left| ((A)^(-1)) \right|$. עם זאת, הקובע של מכפלה שווה למכפלת הקובעים:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| \right|\cdot \left| B \right|\rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

אבל לפי ההגדרה, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, והקביעה של $E$ תמיד שווה ל-1, אז

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

המכפלה של שני מספרים שווה לאחד רק אם כל אחד מהמספרים הללו אינו אפס:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

אז מסתבר ש$\left| \right|\ne 0$. הלמה מוכחת.

למעשה, דרישה זו הגיונית למדי. כעת ננתח את האלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה - ויתברר לחלוטין מדוע, עם דטרמיננטה אפס, לא יכולה להתקיים מטריצה ​​הפוכה באופן עקרוני.

אבל ראשית, בואו ננסח הגדרה "עזר":

הַגדָרָה. מטריצה ​​יחידה היא מטריצה ​​מרובעת בגודל $\left[ n\times n \right]$ שהקביעה שלה היא אפס.

לפיכך, אנו יכולים לטעון שכל מטריצה ​​הפיכה אינה יחידה.

כיצד למצוא את היפוך של מטריצה

כעת נשקול אלגוריתם אוניברסלי למציאת מטריצות הפוכות. באופן כללי, ישנם שני אלגוריתמים מקובלים, וגם את השני נשקול היום.

זה שיידון כעת יעיל מאוד עבור מטריצות בגודל $\left[ 2\times 2 \right]$ ו- חלקית - גודל $\left[ 3\times 3 \right]$. אבל החל מהגודל $\left[ 4\times 4 \right]$ עדיף לא להשתמש בו. למה - עכשיו תבין הכל בעצמך.

תוספות אלגבריות

להתכונן. עכשיו יהיה כאב. לא, אל דאגה: אחות יפה בחצאית, גרביים עם תחרה לא יבואו אליך ויתנו לך זריקה בישבן. הכל הרבה יותר פרוזאי: תוספות אלגבריות והוד מלכותה "מטריקס האיחוד" מגיעים אליכם.

נתחיל מהעיקר. תהיה מטריצה ​​מרובעת בגודל $A=\left[ n\times n \right]$, שהאלמנטים שלה נקראים $((a)_(ij))$. אז עבור כל אלמנט כזה נוכל להגדיר משלים אלגברי:

הַגדָרָה. משלים אלגברי $((A)_(ij))$ לאלמנט $((a)_(ij))$ הממוקם בשורה $i$th ובעמודה $j$th של המטריצה ​​$A=\left[ n \times n \right]$ הוא בנייה של הצורה

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

כאשר $M_(ij)^(*)$ הוא הקובע של המטריצה ​​המתקבלת מה-$A$ המקורי על ידי מחיקת אותה שורה $i$th ועמודה $j$th.

שוב. המשלים האלגברי לאלמנט מטריצה ​​עם קואורדינטות $\left(i;j \right)$ מסומן כ-$((A)_(ij))$ ומחושב לפי הסכמה:

1. ראשית, אנו מוחקים את השורה $i$ ואת העמודה $j$-th מהמטריצה ​​המקורית. נקבל מטריצה ​​מרובעת חדשה, ונסמן את הקובע שלה בתור $M_(ij)^(*)$.
2. לאחר מכן נכפיל את הקובע הזה ב-$((\left(-1 \right))^(i+j))$ - בהתחלה הביטוי הזה אולי נראה מדהים, אבל בעצם אנחנו פשוט מבינים את הסימן שלפניו $M_(ij)^(*) $.
3. אנחנו סופרים ומקבלים מספר מסוים. הָהֵן. התוספת האלגברית היא בדיוק מספר, ולא איזו מטריצה ​​חדשה וכו'.

המטריצה ​​$M_(ij)^(*)$ עצמה נקראת מינור נוסף לאלמנט $((a)_(ij))$. ובמובן זה, ההגדרה לעיל של משלים אלגברי היא מקרה מיוחד של הגדרה מורכבת יותר - מה שהסתכלנו עליו בשיעור על הקובע.

הערה חשובה. למעשה, במתמטיקה "למבוגרים", תוספות אלגבריות מוגדרות כדלקמן:

1. אנחנו לוקחים $k$ שורות ו$k$ עמודות במטריצה ​​מרובעת. בצומת שלהם נקבל מטריצה ​​בגודל $\left[ k\times k \right]$ - הקובע שלה נקרא מינור בסדר $k$ ומסומן $((M)_(k))$.
2. לאחר מכן אנו חוצים את שורות $k$ ה"נבחרות" ועמודות $k$ אלה. שוב מקבלים מטריצה ​​מרובעת - הקובע שלה נקרא מינור נוסף ומסומן $M_(k)^(*)$.
3. הכפל $M_(k)^(*)$ ב-$((\left(-1 \right))^(t))$, כאשר $t$ הוא (שים לב עכשיו!) סכום המספרים של כל השורות שנבחרו ועמודות . זו תהיה התוספת האלגברית.

תסתכל על השלב השלישי: יש למעשה סכום של $2k$ מונחים! דבר נוסף הוא שעבור $k=1$ נקבל רק 2 איברים - אלה יהיו אותם $i+j$ - ה"קואורדינטות" של האלמנט $((a)_(ij))$ שעבורו אנחנו נמצאים מחפש משלים אלגברי.

אז היום אנחנו משתמשים בהגדרה מעט פשוטה. אבל כפי שנראה בהמשך, זה יהיה די והותר. הדבר הבא חשוב הרבה יותר:

הַגדָרָה. מטריצת הברית $S$ למטריצה ​​המרובעת $A=\left[ n\times n \right]$ היא מטריצה ​​חדשה בגודל $\left[ n\times n \right]$, המתקבלת מ-$A$ על ידי החלפת $(( a)_(ij))$ בתוספות אלגבריות $((A)_(ij))$:

\\rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(מטריקס) \right]\]

המחשבה הראשונה שעולה ברגע מימוש ההגדרה הזו היא "כמה צריך לספור!" תירגע: תצטרך לספור, אבל לא כל כך. :)

ובכן, כל זה נחמד מאוד, אבל למה זה נחוץ? אבל למה.

משפט ראשי

בוא נחזור קצת אחורה. כזכור, בלמה 3 נאמר שהמטריקס ההפוכה $A$ היא תמיד לא יחידה (כלומר, הקובע שלה אינו אפס: $\left| A \right|\ne 0$).

אז, ההפך הוא גם נכון: אם המטריצה ​​$A$ אינה יחידה, אז היא תמיד ניתנת להפיכה. ויש אפילו סכימת חיפוש עבור $((A)^(-1))$. תבדוק את זה:

משפט המטריצה ​​ההפוכה. נותנים מטריצה ​​מרובעת $A=\left[ n\times n \right]$, והקובע שלה אינו אפס: $\left| \right|\ne 0$. אז המטריצה ​​ההפוכה $((A)^(-1))$ קיימת ומחושבת על ידי הנוסחה:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

ועכשיו - הכל אותו דבר, אבל בכתב יד קריא. כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה, אתה צריך:

1. חשב את הקובע $\left| A \right|$ וודא שהוא לא אפס.
2. בנה את מטריצת האיחוד $S$, כלומר. ספור 100500 תוספות אלגבריות $((A)_(ij))$ והצב אותן במקום $((a)_(ij))$.
3. העבר את המטריצה ​​הזו $S$, ולאחר מכן הכפל אותה במספר כלשהו $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

זה הכל! נמצאה המטריצה ​​ההפוכה $((A)^(-1))$. בואו נסתכל על דוגמאות:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

פִּתָרוֹן. בוא נבדוק את ההפיכות. בוא נחשב את הקובע:

\[\left| A\right|=\left| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

הקובע שונה מאפס. זה אומר שהמטריקס ניתנת להפיכה. בואו ניצור מטריצת איחוד:

בוא נחשב את התוספות האלגבריות:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\ימין|=3. \\ \end(align)\]

שימו לב: הקובעים |2|, |5|, |1| ו |3| הם קובעים של מטריצות בגודל $\left[ 1\x1 \right]$, ולא מודולים. הָהֵן. אם כללו את המוקדמות מספרים שליליים, אין צורך להסיר את ה"מינוס".

בסך הכל, מטריצת האיחוד שלנו נראית כך:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (מערך)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(מערך) \right]\]

בסדר הכל נגמר עכשיו. הבעיה נפתרה.

תשובה. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

מְשִׁימָה. מצא את המטריצה ​​ההפוכה:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

פִּתָרוֹן. אנו מחשבים שוב את הקובע:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

הקובע אינו אפס - המטריצה ​​ניתנת להפיכה. אבל עכשיו זה הולך להיות ממש קשה: אנחנו צריכים לספור עד 9 (תשע, לעזאזל!) תוספות אלגבריות. וכל אחד מהם יכיל את הקובע $\left[ 2\times 2 \right]$. טס:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(מטריקס)\]

בקיצור, מטריצת האיחוד תיראה כך:

לכן, המטריצה ​​ההפוכה תהיה:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(מערך) \right]\]

זהו זה. הנה התשובה.

תשובה. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

כפי שניתן לראות, בסוף כל דוגמה ביצענו בדיקה. בהקשר זה, הערה חשובה:

אל תתעצלו לבדוק. הכפל את המטריצה ​​המקורית במטריצה ​​ההפוכה שנמצאה - אתה אמור לקבל $E$.

ביצוע בדיקה זו הוא הרבה יותר קל ומהיר מאשר לחפש שגיאה בחישובים נוספים כאשר, למשל, אתה פותר משוואת מטריצה.

דרך חלופית

כפי שאמרתי, משפט המטריצה ​​ההפוכה עובד מצוין עבור גדלים $\left[ 2\x2\right]$ ו-$\left[ 3\xtime 3 \right]$ (ב המקרה האחרון- כבר לא כל כך "נפלא"), אבל עבור מטריצות בגודל גדול מתחיל העצב.

אבל אל דאגה: יש אלגוריתם חלופי שבעזרתו תוכלו למצוא ברוגע את היפוך גם עבור המטריצה ​​$\left[ 10\times 10 \right]$. אבל, כפי שקורה לעתים קרובות, כדי לשקול את האלגוריתם הזה אנחנו צריכים רקע תיאורטי קטן.

טרנספורמציות אלמנטריות

בין כל התמורות המטריצות האפשריות, יש כמה מיוחדות - הן נקראות יסודיות. יש בדיוק שלוש טרנספורמציות כאלה:

1. כֶּפֶל. אתה יכול לקחת את השורה $i$th (עמודה) ולהכפיל אותה בכל מספר $k\ne 0$;
2. חיבור. הוסף לשורה $i$-th (עמודה) כל שורה אחרת $j$-th (עמודה) כפול כל מספר $k\ne 0$ (אתה יכול, כמובן, לעשות $k=0$, אבל מה זה נקודה? שום דבר לא ישתנה).
3. סידור מחדש. קח את השורות (עמודות) $i$th ו-$j$th והחליפו מקומות.

מדוע הטרנספורמציות הללו נקראות אלמנטריות (עבור מטריצות גדולות הן לא נראות כל כך אלמנטריות) ומדוע יש רק שלוש מהן - השאלות הללו הן מעבר להיקף השיעור של היום. לכן לא ניכנס לפרטים.

דבר נוסף חשוב: עלינו לבצע את כל ההסטות הללו על המטריצה ​​הצמודה. כן, כן: שמעתם נכון. עכשיו תהיה עוד הגדרה אחת - האחרונה בשיעור של היום.

מטריצה ​​צמודה

בטח בבית הספר פתרת מערכות משוואות בשיטת החיבור. ובכן, הנה, תחסיר עוד אחד משורה אחת, תכפיל שורה כלשהי במספר - זה הכל.

אז: עכשיו הכל יהיה אותו דבר, אבל בצורה "מבוגרת". מוּכָן?

הַגדָרָה. ניתן לתת מטריצה ​​$A=\left[ n\times n \right]$ ומטריצת זהות $E$ באותו גודל $n$. ואז המטריצה ​​הצמודה $\left[ A\left| נכון. \right]$ היא מטריצה ​​חדשה בגודל $\left[ n\times 2n \right]$ שנראית כך:

\[\left[ A\left| נכון. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((א)_(21)) & ((א)_(22)) & ... & ((א)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(מערך) \right]\]

בקיצור, אנחנו לוקחים את המטריצה ​​$A$, בצד ימין אנחנו מקצים לה את מטריצת הזהות $E$ בגודל הנדרש, אנחנו מפרידים אותם עם פס אנכי ליופי - הנה לך את התוספת. :)

מה המלכוד? הנה מה:

מִשׁפָּט. תן למטריצה ​​$A$ להיות הפיכה. שקול את המטריצה ​​הצמודה $\left[ A\left| נכון. \right]$. אם משתמשים המרות מחרוזות יסודיותהביאו אותו לצורה $\left[ E\left| בָּהִיר. \right]$, כלומר. על ידי הכפלה, חיסור וסידור מחדש של שורות כדי לקבל מ-$A$ את המטריצה ​​$E$ מימין, ואז המטריצה ​​$B$ המתקבלת משמאל היא ההיפוך של $A$:

\[\left[ A\left| נכון. \right]\to \left[ E\left| בָּהִיר. \right]\rightarrow B=((A)^(-1))\]

זה כזה פשוט! בקיצור, האלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה נראה כך:

1. כתוב את המטריצה ​​הצמודה $\left[ A\left| נכון. \right]$;
2. בצע המרות מחרוזות יסודיות עד שיופיע $E$ במקום $A$;
3. כמובן שיופיע גם משהו בצד שמאל - מטריצה ​​מסוימת $B$. זה יהיה ההפך;
4. רווח!:)

כמובן, זה הרבה יותר קל לומר מאשר לעשות. אז בואו נסתכל על כמה דוגמאות: עבור הגדלים $\left[ 3\times 3 \right]$ ו-$\left[ 4\times 4 \right]$.

מְשִׁימָה. מצא את המטריצה ​​ההפוכה:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

פִּתָרוֹן. אנו יוצרים את המטריצה ​​הצמודה:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 ו-1 \\\end(מערך) \right]\]

מכיוון שהעמודה האחרונה של המטריצה ​​המקורית מלאה באחדים, החסר את השורה הראשונה מהשאר:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

אין יותר יחידות, מלבד השורה הראשונה. אבל אנחנו לא נוגעים בזה, אחרת היחידות שהוסרו לאחרונה יתחילו "להתרבות" בעמודה השלישית.

אבל אנחנו יכולים להחסיר את השורה השנייה פעמיים מהאחרונה - נקבל אחת בפינה השמאלית התחתונה:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

כעת נוכל להחסיר את השורה האחרונה מהראשונה ופעמיים מהשנייה - כך אנו "מאפסים" את העמודה הראשונה:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ ל-\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

הכפלו את השורה השנייה ב-1, ואז הפחיתו אותה 6 פעמים מהראשונה והוסיפו פעם אחת לאחרון:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(מטריקס) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(מטריקס)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(מטריקס) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (מטריקס)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

כל מה שנותר הוא להחליף שורות 1 ו-3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(מערך) \right]\]

מוּכָן! מימין נמצאת המטריצה ​​ההפוכה הנדרשת.

תשובה. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

מְשִׁימָה. מצא את המטריצה ​​ההפוכה:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(מטריקס) \right]\]

פִּתָרוֹן. אנו מחברים שוב את התוספת:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right]\]

בואו נבכה קצת, נהיה עצובים על כמה אנחנו צריכים לספור עכשיו... ונתחיל לספור. ראשית, בואו "נאפס" את העמודה הראשונה על ידי הפחתת שורה 1 משורות 2 ו-3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

אנו רואים יותר מדי "חסרונות" בשורות 2-4. הכפל את כל שלוש השורות ב-1, ולאחר מכן שרוף את העמודה השלישית על ידי הפחתת שורה 3 מהשאר:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(מערך) \right]\begin(מטריקס) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (מערך) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

עכשיו זה הזמן "לטגן" את העמודה האחרונה של המטריצה ​​המקורית: הורידו שורה 4 מהשאר:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

זריקה אחרונה: "לשרוף" את העמודה השנייה על ידי הפחתת שורה 2 משורות 1 ו-3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

ושוב מטריצת הזהות נמצאת בצד שמאל, מה שאומר שההיפוך נמצא בצד ימין. :)

תשובה. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(מטריקס) \right]$

בואו נמשיך את השיחה על פעולות עם מטריצות. כלומר, במהלך לימוד הרצאה זו תלמד כיצד למצוא את המטריצה ​​ההפוכה. לִלמוֹד. גם אם מתמטיקה קשה.

מהי מטריצה ​​הפוכה? כאן נוכל לצייר אנלוגיה למספרים הפוכים: קחו למשל את המספר האופטימי 5 ואת המספר ההפוכי שלו. המכפלה של המספרים האלה שווה לאחד: . הכל דומה עם מטריצות! המכפלה של מטריצה ​​והמטריצה ​​ההפוכה שלה שווה ל- מטריצת זהות, שהוא האנלוג המטריצה ​​של היחידה המספרית. עם זאת, דבר ראשון - בואו נפתור את החשוב קודם. שאלה מעשיתכלומר, נלמד כיצד למצוא את המטריצה ​​ההפוכה מאוד.

מה אתה צריך לדעת ולהיות מסוגל לעשות כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה? אתה חייב להיות מסוגל להחליט מוקדמות. אתה חייב להבין מה זה מַטרִיצָהולהיות מסוגל לבצע איתם כמה פעולות.

ישנן שתי שיטות עיקריות למציאת המטריצה ​​ההפוכה:
על ידי שימוש ב תוספות אלגבריותו באמצעות טרנספורמציות יסודיות.

היום נלמד את השיטה הראשונה והפשוטה יותר.

נתחיל עם הכי נורא ובלתי מובן. בואו נשקול כיכרמַטרִיצָה. ניתן למצוא את המטריצה ​​ההפוכה על ידי הנוסחה הבאה :

היכן נמצא הקובע של המטריצה, האם המטריצה ​​המוטרפת של משלימים אלגבריים של האלמנטים המתאימים של המטריצה.

הרעיון של מטריצה ​​הפוכה קיים רק עבור מטריצות מרובעות, מטריצות "שתיים על שתיים", "שלוש על שלוש" וכו'.

ייעודים: כפי שאולי כבר שמתם לב, המטריצה ​​ההפוכה מסומנת בכתב עילי

נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר - מטריצה ​​שתיים על שתיים. לרוב, כמובן, נדרש "שלוש על שלוש", אך עם זאת, אני ממליץ בחום ללמוד משימה פשוטה יותר כדי לשלוט עיקרון כלליפתרונות.

דוגמא:

מצא את היפוך של מטריצה

בואו נחליט. נוח לפרק את רצף הפעולות נקודה אחר נקודה.

1) ראשית נמצא את הקובע של המטריצה.

אם הבנתך את הפעולה הזו לא טובה, קרא את החומר איך מחשבים את הקובע?

חָשׁוּב!אם הקובע של המטריצה ​​שווה ל אֶפֶס- מטריצה ​​הפוכה לא קיים.

בדוגמה הנבדקת, כפי שהתברר, , כלומר הכל מסודר.

2) מצא את מטריצת הקטינים.

כדי לפתור את הבעיה שלנו, אין צורך לדעת מה זה קטין, עם זאת, רצוי לקרוא את המאמר כיצד לחשב את הקובע.

למטריצה ​​של קטינים יש מימדים זהים למטריצה, כלומר במקרה זה.
הדבר היחיד שנותר לעשות הוא למצוא ארבעה מספרים ולשים אותם במקום כוכביות.

בואו נחזור למטריצה ​​שלנו
בואו נסתכל תחילה על האלמנט השמאלי העליון:

איך למצוא את זה קַטִין?
וזה נעשה כך: חוצה מנטלית את השורה והעמודה שבהן נמצא האלמנט הזה:

המספר הנותר הוא קַטִין של אלמנט זה , שאנו כותבים במטריצת הקטינים שלנו:

שקול את רכיב המטריצה ​​הבא:

חוצים מנטלית את השורה והעמודה שבהן מופיע אלמנט זה:

מה שנשאר הוא המינור של האלמנט הזה, אותו אנו כותבים במטריצה ​​שלנו:

באופן דומה, אנו רואים את המרכיבים של השורה השנייה ומוצאים את הקטינים שלהם:


מוּכָן.

זה פשוט. במטריצה ​​של קטינים אתה צריך שנה סימניםשני מספרים:

אלה המספרים שהקפתי בעיגול!

– מטריצה ​​של תוספות אלגבריות של האלמנטים המתאימים של המטריצה.

ורק...

4) מצא את המטריצה ​​המוטרפת של תוספות אלגבריות.

- מטריצה ​​מוטרפת של משלים אלגבריים של האלמנטים המתאימים של המטריצה.

5) תשובה.

בואו נזכור את הנוסחה שלנו
הכל נמצא!

אז המטריצה ​​ההפוכה היא:

עדיף להשאיר את התשובה כפי שהיא. אין צורךמחלקים כל רכיב של המטריצה ​​ב-2, מכיוון שהתוצאה היא מספרים שברים. ניואנס זה נדון בפירוט רב יותר באותו מאמר. פעולות עם מטריצות.

איך בודקים את הפתרון?

אתה צריך לבצע כפל מטריצה ​​או

בְּדִיקָה:

התקבל כבר מוזכר מטריצת זהותהוא מטריצה ​​עם אלה על ידי אלכסון ראשיואפסים במקומות אחרים.

לפיכך, המטריצה ​​ההפוכה נמצאה בצורה נכונה.

אם תבצע את הפעולה, התוצאה תהיה גם מטריצת זהות. זהו אחד המקרים הבודדים בהם הכפל המטריצה ​​ניתן לשינוי, יותר מידע מפורטניתן למצוא במאמר מאפייני פעולות על מטריצות. ביטויי מטריקס. שימו לב גם שבמהלך הבדיקה הקבוע (שבר) מוקדם ומעובד ממש בסוף - לאחר הכפל המטריצה. זוהי טכניקה סטנדרטית.

נעבור למקרה נפוץ יותר בפועל - מטריצת שלוש על שלוש:

דוגמא:

מצא את היפוך של מטריצה

האלגוריתם זהה לחלוטין למקרה של "שניים על שניים".

אנו מוצאים את המטריצה ​​ההפוכה באמצעות הנוסחה: , היכן היא המטריצה ​​המוטרפת של משלימים אלגבריים של האלמנטים המתאימים של המטריצה.

1) מצא את הקובע של המטריצה.

כאן מתגלה הקובע בשורה הראשונה.

כמו כן, אל תשכח את זה, מה שאומר שהכל בסדר - מטריצה ​​הפוכה קיימת.

2) מצא את מטריצת הקטינים.

למטריצת הקטינים יש מימד של "שלוש על שלוש" , ואנחנו צריכים למצוא תשעה מספרים.

אני אסתכל בפירוט על כמה קטינים:

שקול את רכיב המטריצה ​​הבא:

חוצה מנטלית את השורה והעמודה שבהן נמצא האלמנט הזה:

אנו כותבים את ארבעת המספרים הנותרים בקובע "שניים על שניים".

זה שניים על שניים הקובע ו הוא הקטין של יסוד זה. צריך לחשב את זה:


זהו, הקטין נמצא, אנחנו כותבים את זה במטריצת הקטינים שלנו:

כפי שבטח ניחשתם, עליכם לחשב תשעה דטרמיננטים שניים על שניים. התהליך, כמובן, מייגע, אבל המקרה הוא לא החמור ביותר, הוא יכול להיות גרוע יותר.

ובכן, כדי לאחד - למצוא קטין אחר בתמונות:

נסה לחשב את הקטינים הנותרים בעצמך.

תוצאה סופית:
– מטריצה ​​של קטינים של המרכיבים התואמים של המטריצה.

העובדה שכל הקטינים התבררו כשליליים היא תאונה גרידא.

3) מצא את המטריצה ​​של תוספות אלגבריות.

במטריצה ​​של קטינים זה הכרחי שנה סימניםאך ורק עבור המרכיבים הבאים:

במקרה הזה:

איננו שוקלים למצוא את המטריצה ​​ההפוכה עבור מטריצת "ארבע על ארבע", שכן משימה כזו יכולה להינתן רק על ידי מורה סדיסט (כדי שהתלמיד יחשב קובע "ארבע על ארבע" אחד ו-16 דטרמיננטים "שלוש על שלוש" ). בפרקטיקה שלי, היה רק ​​מקרה אחד כזה, והלקוח עבודת מבחןשילם די ביוקר על הייסורים שלי =).

במספר ספרי לימוד ומדריכים ניתן למצוא גישה מעט שונה למציאת המטריצה ​​ההפוכה, אך אני ממליץ להשתמש באלגוריתם הפתרונות המתואר לעיל. למה? כי הסבירות להתבלבל בחישובים ובסימנים היא הרבה פחות.