ייעוד כמויות בפיזיקה. תכנית הלימודים בבית הספר: מה זה נ' בפיזיקה

לימודי פיזיקה בבית הספר נמשכים מספר שנים. יחד עם זאת, התלמידים מתמודדים עם הבעיה שאותן אותיות מייצגות כמויות שונות לחלוטין. לרוב עובדה זו נוגעת לאותיות לטיניות. אז איך לפתור בעיות?

אין צורך לפחד מחזרה כזו. מדענים ניסו להכניס אותם לסימון כך שאותיות זהות לא יופיעו באותה נוסחה. לרוב, תלמידים נתקלים ב-n הלטינית. זה יכול להיות אותיות קטנות או גדולות. לכן, באופן הגיוני, עולה השאלה מהו n בפיזיקה, כלומר בנוסחה מסוימת בה נתקל התלמיד.

מה מסמלת האות הגדולה N בפיזיקה?

לרוב בקורסים בבית הספר זה מתרחש כאשר לומדים מכניקה. אחרי הכל, שם זה יכול להיות מיד במשמעויות רוחניות - כוח וחוזק תגובה נורמליתתומך. מטבע הדברים, מושגים אלה אינם חופפים, מכיוון שהם משמשים בסעיפים שונים של מכניקה ונמדדים ביחידות שונות. לכן, אתה תמיד צריך להגדיר בדיוק מה זה n בפיזיקה.

כוח הוא קצב השינוי של האנרגיה במערכת. זוהי כמות סקלרית, כלומר רק מספר. יחידת המידה שלו היא וואט (W).

כוח התגובה הרגיל של הקרקע הוא הכוח המופעל על הגוף על ידי התמיכה או ההשעיה. מלבד ערך מספרי, יש לו כיוון, כלומר, זוהי כמות וקטורית. יתר על כן, הוא תמיד מאונך למשטח עליו הוא מיוצר. השפעה חיצונית. היחידה של N זה היא ניוטון (N).

מהו N בפיזיקה, בנוסף לכמויות שכבר צוינו? זה יכול להיות:

הקבוע של אבוגדרו;

הגדלה של המכשיר האופטי;

ריכוז החומר;

מספר דביי;

כוח קרינה כולל.

מה מסמלת האות הקטנה n בפיזיקה?

רשימת השמות שעלולים להסתתר מאחוריו היא די נרחבת. הסימון n בפיזיקה משמש למושגים הבאים:

מקדם השבירה, והוא יכול להיות מוחלט או יחסי;

נויטרון - חלקיק יסודי נייטרלי בעל מסה מעט גדולה מזו של פרוטון;

תדירות סיבוב (משמשת להחלפת האות היוונית "נו", שכן היא דומה מאוד ל"ve" הלטינית) - מספר החזרות של סיבובים ליחידת זמן, הנמדד בהרץ (הרץ).

מה המשמעות של n בפיזיקה, מלבד הכמויות שכבר צוינו? מסתבר שמאחוריו מסתתר המספר הקוונטי הבסיסי ( הפיזיקה הקוונטית), ריכוז וקבוע של לושמידט (פיזיקה מולקולרית). אגב, בעת חישוב ריכוז של חומר, אתה צריך לדעת את הערך, אשר כתוב גם עם "en" הלטינית. זה יידון להלן.

איזו כמות פיזיקלית יכולה להיות מסומנת על ידי n ו-N?

שמו בא מהמילה הלטינית numerus, המתורגמת כ"מספר", "כמות". לכן, התשובה לשאלה מה n אומר בפיזיקה היא די פשוטה. זה המספר של כל חפצים, גופים, חלקיקים - כל מה שנדון במשימה מסוימת.

יתרה מכך, "כמות" היא אחת הכמויות הפיזיקליות הבודדות שאין להן יחידת מדידה. זה רק מספר, בלי שם. לדוגמה, אם הבעיה כוללת 10 חלקיקים, אז n פשוט יהיה שווה ל-10. אבל אם יתברר שהאות הקטנה "en" כבר נלקחה, אז אתה צריך להשתמש באות גדולה.

נוסחאות המכילות N

הראשון שבהם קובע כוח, ששווה ליחס העבודה לזמן:

בפיזיקה מולקולרית יש דבר כזה כמו הכמות הכימית של חומר. מסומן באות היוונית "נו". כדי לספור אותו, עליך לחלק את מספר החלקיקים במספר של אבוגדרו:

אגב, הערך האחרון מסומן גם באות נ' הפופולרית כל כך. רק שיש לו תמיד מנוי - א'.

כדי לקבוע את המטען החשמלי, תזדקק לנוסחה:

נוסחה נוספת עם N בפיזיקה - תדר תנודות. כדי לספור אותו, עליך לחלק את מספרם בזמן:

האות "en" מופיעה בנוסחה לתקופת התפוצה:

נוסחאות המכילות אותיות קטנות n

בקורס פיזיקה בבית הספר, אות זו קשורה לרוב למקדם השבירה של חומר. לכן, חשוב להכיר את הנוסחאות עם היישום שלה.

אז, עבור אינדקס השבירה המוחלט הנוסחה כתובה כך:

כאן c היא מהירות האור בוואקום, v היא מהירותו במדיום שבירה.

הנוסחה של מקדם השבירה היחסי היא קצת יותר מסובכת:

n 21 = v 1: v 2 = n 2: n 1,

כאשר n 1 ו-n 2 הם מדדי השבירה המוחלטים של המדיום הראשון והשני, v 1 ו-v 2 הם המהירויות של גל האור בחומרים אלו.

איך למצוא n בפיזיקה? תעזור לנו בכך נוסחה המחייבת לדעת את זוויות הפגיעה והשבירה של האלומה, כלומר n 21 = sin α: sin γ.

למה שווה n בפיזיקה אם זה מקדם השבירה?

בדרך כלל, טבלאות נותנות ערכים עבור מדדי השבירה המוחלטים של חומרים שונים. אל תשכח שערך זה תלוי לא רק בתכונות המדיום, אלא גם באורך הגל. ערכי טבלה של מקדם השבירה ניתנים עבור הטווח האופטי.

אז, התברר מה זה n בפיזיקה. כדי למנוע שאלות, כדאי לשקול כמה דוגמאות.

משימת כוח

№1. במהלך החריש, הטרקטור מושך את המחרשה באופן שווה. במקביל, הוא מפעיל כוח של 10 קילוואן. עם תנועה זו, הוא מכסה 1.2 ק"מ תוך 10 דקות. יש צורך לקבוע את הכוח שהוא מפתח.

המרת יחידות ל-SI.אתה יכול להתחיל בכוח, 10 N שווה 10,000 N. ואז המרחק: 1.2 × 1000 = 1200 מ' זמן שנותר - 10 × 60 = 600 שניות.

בחירת נוסחאות.כפי שהוזכר לעיל, N = A: t. אבל למשימה אין משמעות לעבודה. כדי לחשב אותה, שימושית נוספת בנוסחה: A = F × S. הצורה הסופית של הנוסחה לעוצמה נראית כך: N = (F × S) : t.

פִּתָרוֹן.קודם כל נחשב את העבודה ואחר כך את ההספק. ואז הפעולה הראשונה נותנת 10,000 × 1,200 = 12,000,000 J. הפעולה השנייה נותנת 12,000,000: 600 = 20,000 W.

תשובה.הספק הטרקטור הוא 20,000 וואט.

בעיות באינדקס השבירה

№2. אינדיקטור מוחלטמקדם השבירה של זכוכית הוא 1.5. מהירות התפשטות האור בזכוכית קטנה מאשר בוואקום. אתה צריך לקבוע כמה פעמים.

אין צורך להמיר נתונים ל-SI.

בעת בחירת נוסחאות, עליך להתמקד בנוסחאות זו: n = c: v.

פִּתָרוֹן.מנוסחה זו ברור כי v = c: n. המשמעות היא שמהירות האור בזכוכית שווה למהירות האור בוואקום חלקי מקדם השבירה. כלומר, הוא יורד פי אחד וחצי.

תשובה.מהירות התפשטות האור בזכוכית קטנה פי 1.5 מאשר בוואקום.

№3. יש שני מדיה שקופה. מהירות האור בראשון שבהם היא 225,000 קמ"ש, בשני היא פחותה ב-25,000 קמ"ש. קרן אור עוברת מהמדיום הראשון לשני. זווית הפגיעה α היא 30º. חשב את הערך של זווית השבירה.

האם אני צריך להמיר ל-SI? המהירויות ניתנות ביחידות שאינן מערכתיות. עם זאת, כאשר יוחלפו לנוסחאות, הן יצטמצמו. לכן, אין צורך להמיר מהירויות ל-m/s.

בחירת הנוסחאות הדרושות לפתרון הבעיה.תצטרך להשתמש בחוק שבירת האור: n 21 = sin α: sin γ. וגם: n = с: v.

פִּתָרוֹן.בנוסחה הראשונה, n 21 הוא היחס בין שני מדדי השבירה של החומרים המדוברים, כלומר n 2 ו-n 1. אם נרשום את הנוסחה המצוינת השנייה עבור המדיה המוצעת, נקבל את הדברים הבאים: n 1 = c: v 1 ו-n 2 = c: v 2. אם נעשה את היחס בין שני הביטויים האחרונים, יתברר ש n 21 = v 1: v 2. החלפתו בנוסחה של חוק השבירה, נוכל לגזור את הביטוי הבא עבור הסינוס של זווית השבירה: sin γ = sin α × (v 2: v 1).

אנו מחליפים את ערכי המהירויות המצוינות ואת הסינוס של 30º (שווה ל-0.5) בנוסחה, מסתבר שהסינוס של זווית השבירה שווה ל-0.44. לפי טבלת ברדיס, מתברר שהזווית γ שווה ל-26º.

תשובה.זווית השבירה היא 26º.

משימות לתקופת התפוצה

№4. להבי טחנת רוח מסתובבים בפרק זמן של 5 שניות. חשב את מספר הסיבובים של להבים אלה בשעה אחת.

אתה רק צריך להמיר זמן ליחידות SI למשך שעה. זה יהיה שווה ל-3,600 שניות.

בחירת נוסחאות. תקופת הסיבוב ומספר הסיבובים קשורים בנוסחה T = t: N.

פִּתָרוֹן.מהנוסחה לעיל, מספר המהפכות נקבע על פי היחס בין זמן לתקופה. לפיכך, N = 3600: 5 = 720.

תשובה.מספר הסיבובים של להבי הטחנה הוא 720.

№5. מדחף מטוס מסתובב בתדר של 25 הרץ. כמה זמן ייקח למדחף לעשות 3,000 סיבובים?

כל הנתונים ניתנים ב-SI, כך שאין צורך לתרגם דבר.

נוסחה נדרשת: תדר ν = N: t. ממנו אתה רק צריך לגזור את הנוסחה עבור הזמן הלא ידוע. זה מחלק, אז זה אמור להימצא על ידי חלוקת N ב- ν.

פִּתָרוֹן.חלוקת 3,000 ב-25 נותנת את המספר 120. הוא יימדד בשניות.

תשובה.מדחף של מטוס עושה 3000 סיבובים ב-120 שניות.

בואו נסכם את זה

כאשר תלמיד נתקל בנוסחה המכילה n או N בבעיית פיזיקה, הוא צריך להתמודד עם שתי נקודות. הראשון הוא מאיזה ענף בפיזיקה ניתן השוויון. זה עשוי להיות ברור מהכותרת בספר הלימוד, בספר העיון או מדברי המורה. אז אתה צריך להחליט מה מסתתר מאחורי ה"en" הרב צדדי. יתרה מכך, שם יחידות המדידה עוזר בכך, אם כמובן ניתן ערכה.מותרת גם אפשרות נוספת: הסתכלו היטב על האותיות הנותרות בנוסחה. אולי הם יתבררו כמוכרים ויתנו רמז על הנושא שעל הפרק.

בניית שרטוטים היא לא משימה קלה, אבל בלעדיה עולם מודרניאין סיכוי. אחרי הכל, כדי ליצור אפילו את הפריט הרגיל ביותר (בורג או אום זעיר, מדף לספרים, עיצוב שמלה חדשה וכו'), תחילה עליך לבצע את החישובים המתאימים ולשרטט ציור של מוצר עתידי. עם זאת, לעתים קרובות אדם אחד מצייר את זה, ואדם אחר מייצר משהו לפי תוכנית זו.

כדי למנוע בלבול בהבנת האובייקט המתואר והפרמטרים שלו, הוא מקובל בכל העולם סמליםאורך, רוחב, גובה וכמויות אחרות המשמשות בעיצוב. מה הם? בוא נגלה.

כמיות

שטח, גובה ושאר ייעודים בעלי אופי דומה הם לא רק גדלים פיזיקליים, אלא גם מתמטיים.

ייעוד האות הבודדת שלהם (בשימוש כל המדינות) הוקם באמצע המאה העשרים על ידי מערכת היחידות הבינלאומית (SI) והוא נמצא בשימוש עד היום. מסיבה זו כל הפרמטרים הללו מצוינים בלטינית, ולא באותיות קיריליות או בכתב ערבי. כדי לא ליצור קשיים אינדיבידואליים, בעת פיתוח תקני תיעוד עיצוב ברוב מדינות מודרניותהוחלט להשתמש כמעט באותם סמלים המשמשים בפיזיקה או בגיאומטריה.

כל בוגר בית ספר זוכר שבהתאם לשאלה אם דמות דו-ממדית או תלת-ממדית (מוצר) מתוארת בשרטוט, יש לה קבוצה של פרמטרים בסיסיים. אם יש שתי מידות, אלה רוחב ואורך, אם יש שלוש, נוסף גם גובה.

אז, ראשית, בואו לגלות כיצד לציין נכון אורך, רוחב, גובה בציורים.

רוֹחַב

כפי שהוזכר לעיל, במתמטיקה הכמות המדוברת היא אחד משלושת הממדים המרחביים של כל עצם, בתנאי שמדידתו נעשית בכיוון הרוחבי. אז במה מפורסם הרוחב? זה מסומן באות "ב". זה ידוע בכל העולם. יתרה מכך, על פי GOST, מותר להשתמש באותיות גדולות וגם באותיות לטיניות קטנות. לעתים קרובות עולה השאלה מדוע נבחר דווקא המכתב הזה. הרי הקיצור נעשה בדרך כלל לפי היוונית הראשונה או שם אנגליכמיות. במקרה זה, הרוחב באנגלית ייראה כמו "רוחב".

כנראה הנקודה כאן היא שהפרמטר הזה הוא הכי הרבה יישום רחבבמקור היה בגיאומטריה. במדע זה, כאשר מתארים דמויות, אורך, רוחב, גובה מסומנים לעתים קרובות באותיות "א", "ב", "ג". לפי מסורת זו, בעת הבחירה הושאלה האות "B" (או "ב") ממערכת ה-SI (אם כי החלו להשתמש בסמלים שאינם גיאומטריים עבור שני הממדים האחרים).

רובם סבורים שזה נעשה כדי לא לבלבל בין רוחב (המסומן באות "ב"/"ב") לבין משקל. העובדה היא שהאחרון מכונה לפעמים "W" (קיצור של השם האנגלי משקל), אם כי השימוש באותיות אחרות ("G" ו-"P") מקובל גם כן. על פי תקנים בינלאומיים של מערכת SI, רוחב נמדד במטרים או בכפולות (כפולות) של היחידות שלהם. ראוי לציין שבגיאומטריה מקובל לפעמים גם להשתמש ב- "w" לציון רוחב, אבל בפיזיקה ועוד. מדעים מדויקיםבדרך כלל לא נעשה שימוש בכינוי זה.

אורך

כפי שכבר צוין, במתמטיקה, אורך, גובה, רוחב הם שלושה ממדים מרחביים. יתרה מכך, אם הרוחב הוא ממד ליניארי בכיוון הרוחבי, אז האורך הוא בכיוון האורך. בהתחשב בזה ככמות של פיזיקה, אפשר להבין שמילה זו פירושה מאפיין מספרי של אורך השורות.

IN שפה אנגליתמונח זה נקרא אורך. זה בגלל זה כי ערך זה מסומן באות גדולה או קטנה של המילה - "L". כמו רוחב, אורך נמדד במטרים או בכפולות שלהם (כפולות).

גוֹבַה

נוכחותו של ערך זה מצביעה על כך שעלינו להתמודד עם מרחב מורכב יותר - תלת מימדי. בניגוד לאורך ורוחב, הגובה מאפיין מספרית את גודלו של אובייקט בכיוון האנכי.

באנגלית כתוב "גובה". לכן, על פי סטנדרטים בינלאומיים, הוא מסומן באות הלטינית "H" / "h". בנוסף לגובה, בציורים לפעמים האות הזו משמשת גם כינוי לעומק. גובה, רוחב ואורך – כל הפרמטרים הללו נמדדים במטרים וכפולותיהם ותת-הכפלות שלהם (קילומטרים, סנטימטרים, מילימטרים וכו').

רדיוס וקוטר

בנוסף לפרמטרים שנדונו, בעת יצירת שרטוטים אתה צריך להתמודד עם אחרים.

לדוגמה, כאשר עובדים עם עיגולים, יש צורך לקבוע את הרדיוס שלהם. זה השם של הקטע שמחבר בין שתי נקודות. הראשון שבהם הוא המרכז. השני ממוקם ישירות על המעגל עצמו. בלטינית מילה זו נראית כמו "רדיוס". מכאן באותיות קטנות או גדולות "R"/"r".

כאשר מציירים עיגולים, בנוסף לרדיוס, לעיתים קרובות צריך להתמודד עם תופעה קרובה אליו - קוטר. זהו גם קטע קו המחבר שתי נקודות במעגל. במקרה זה, זה בהכרח עובר דרך המרכז.

מבחינה מספרית, הקוטר שווה לשני רדיוסים. באנגלית המילה הזו כתובה כך: "קוטר". מכאן הקיצור - אות לטינית גדולה או קטנה "D" / "d". לעתים קרובות הקוטר בציורים מצוין באמצעות עיגול מוצלב - "Ø".

למרות שזהו קיצור נפוץ, כדאי לזכור ש- GOST מספק שימוש רק ב- "D" / "d" הלטינית.

עוֹבִי

רובנו זוכרים את שיעורי המתמטיקה בבית הספר. כבר אז, מורים אמרו לנו שמקובל להשתמש באות הלטינית "s" לציון כמות כמו שטח. אולם לפי הסטנדרטים המקובלים בדרך זו נכתב בשרטוטים פרמטר שונה לחלוטין - עובי.

למה? ידוע שבמקרה של גובה, רוחב, אורך, ניתן להסביר את הייעוד באותיות על ידי כתיבתם או מסורת. רק שעובי באנגלית נראה כמו "עובי", ובלטינית זה נראה כמו "קריסטיות". לא ברור גם מדוע, בניגוד לכמויות אחרות, ניתן לציין עובי רק באותיות קטנות. הסימון "s" משמש גם לתיאור עובי של דפים, קירות, צלעות וכו'.

היקף ושטח

בניגוד לכל הכמויות המפורטות לעיל, המילה "פרימטר" לא באה מלטינית או אנגלית, אלא מ שפה יוונית. הוא נגזר מ"περιμετρέο" ("למדוד את ההיקף"). והיום המונח הזה שמר על משמעותו (האורך הכולל של גבולות הדמות). לאחר מכן, המילה נכנסה לשפה האנגלית ("פרימטר") ותוקנתה במערכת SI בצורה של קיצור עם האות "P".

שטח הוא כמות המראה מאפיין כמותי דמות גיאומטריתבעל שני מימדים (אורך ורוחב). שלא כמו כל מה שרשום קודם לכן, הוא נמדד ב מ"ר(וכן בתת-כפולות וכפולות שלהן). באשר לייעוד האותיות של האזור, ב אזורים שוניםזה שונה. לדוגמה, במתמטיקה זו האות הלטינית "S", המוכרת לכולם מילדות. למה זה כך - אין מידע.

יש אנשים שחושבים שלא ביודעין שזה נובע מכך איות באנגליתהמילים "מרובע". אולם, בו השטח המתמטי הוא "שטח", ו"מרובע" הוא השטח במובן האדריכלי. אגב, כדאי לזכור ש"מרובע" הוא שמה של הדמות הגיאומטרית "מרובע". אז אתה צריך להיות זהיר בעת לימוד ציורים באנגלית. בשל התרגום של "שטח" בדיסציפלינות מסוימות, האות "A" משמשת כינוי. במקרים נדירים משתמשים גם ב-"F", אך בפיזיקה האות הזו מייצגת כמות שנקראת "כוח" ("פורטיס").

קיצורים נפוצים אחרים

הכינויים לגובה, רוחב, אורך, עובי, רדיוס וקוטר הם הנפוצים ביותר בעת שרטוט שרטוטים. עם זאת, ישנן כמויות אחרות שגם נמצאות בהן לרוב. לדוגמה, "t" באותיות קטנות. בפיזיקה זה אומר "טמפרטורה", אבל על פי GOST מערכת מאוחדתתיעוד עיצוב, מכתב זה הוא צעד (קפיצי סליל וכו'). עם זאת, זה לא בשימוש כשמדובר גלגלי שיניים וחוטים.

האות הגדולה והקטנה "A"/"a" (בהתאם לאותם סטנדרטים) בציורים משמשת לציון לא את השטח, אלא את המרחק ממרכז למרכז ומרכז למרכז. בנוסף לכמויות שונות, בציורים לעתים קרובות יש צורך לציין זוויות מידות שונות. לשם כך נהוג להשתמש באותיות קטנות של האלפבית היווני. השימושים הנפוצים ביותר הם "α", "β", "γ" ו-"δ". עם זאת, מקובל להשתמש באחרים.

איזה תקן מגדיר את ייעוד האותיות של אורך, רוחב, גובה, שטח וכמויות אחרות?

כאמור לעיל, כדי שלא תהיה אי הבנה בעת קריאת הציור, נציגים עמים שוניםאומצו תקני אותיות נפוצות. במילים אחרות, אם יש לך ספק לגבי הפרשנות של קיצור מסוים, תסתכל על GOSTs. כך תלמדו כיצד לציין נכון גובה, רוחב, אורך, קוטר, רדיוס וכדומה.

נעבור ליישומים פיזיים של הנגזרת, נשתמש בסימונים מעט שונים מאלה המקובלים בפיזיקה.

ראשית, ייעוד הפונקציות משתנה. באמת, אילו תכונות אנחנו הולכים להבדיל? פונקציות אלו הן כמויות פיזיות התלויות בזמן. לדוגמה, ניתן לתת את הקואורדינטה של ​​גוף x(t) ומהירותו v(t) באמצעות הנוסחאות:

(קרא ¾ix עם נקודה¿).

ישנו סימון נוסף לנגזרות, נפוץ מאוד הן במתמטיקה והן בפיזיקה:

(קרא את ¾de x מאת de te¿).

הבה נתעכב ביתר פירוט על משמעות הסימון (1.16). המתמטיקאי מבין זאת בשתי דרכים, או כגבול:

או כשבר, שהמכנה שלו הוא תוספת הזמן dt, והמונה הוא מה שנקרא דיפרנציאלי dx של הפונקציה x(t). מושג הדיפרנציאל אינו מסובך, אך לא נדון בו כעת; זה מחכה לך בשנה הראשונה שלך.

פיזיקאי, שאינו מוגבל על ידי הדרישות של קפדנות מתמטית, מבין את הסימון (1.16) בצורה לא פורמלית יותר. תן dx להיות השינוי בקואורדינטה לאורך זמן dt. ניקח את המרווח dt כל כך קטן שהיחס dx=dt קרוב לגבול שלו (1.17) בדיוק שמתאים לנו.

ואז, יאמר הפיזיקאי, הנגזרת של הקואורדינטה ביחס לזמן היא פשוט שבר, שהמונה שלו מכיל שינוי קטן מספיק בקואורדינטה dx, והמכנה פרק זמן קטן מספיק של dt שבמהלכו השינוי הזה התרחשה בקואורדינטה.

הבנה כה רופפת של הנגזרת אופיינית להיגיון בפיזיקה. בהמשך נקפיד על רמת קפדנות פיזית זו.

הנגזרת x(t) של הגודל הפיזיקלי x(t) היא שוב פונקציה של זמן, וניתן שוב להבדיל פונקציה זו כדי למצוא את הנגזרת של הנגזרת, או הנגזרת השנייה של הפונקציה x(t). הנה סימון אחד לנגזרת השנייה:

הנגזרת השנייה של הפונקציה x(t) מסומנת ב-x (t)

(קרא ¾ix עם שתי נקודות¿), אבל הנה עוד אחד:

הנגזרת השנייה של הפונקציה x(t) מסומנת dt 2

(קראו את ¾de two x ב-de te square¿ או ¾de two x by de te פעמיים¿).

נחזור לדוגמא המקורית (1.13) ונחשב את הנגזרת של הקואורדינטה, ובמקביל נסתכל על השימוש המשותף בסימון (1.15) ו-(1.16):

x(t) = 1 + 12t 3t2 )

x(t) = dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(סמל ההבחנה dt d לפני הסוגריים זהה לראשית שמאחורי הסוגריים בסימון הקודם.)

שימו לב שהנגזרת של הקואורדינטה התבררה כשווה למהירות (1.14). זה לא צירוף מקרים. הקשר בין נגזרת הקואורדינטה למהירות הגוף יובהר בסעיף הבא "תנועה מכנית".

1.1.7 מגבלת גודל וקטור

כמויות פיזיות אינן רק סקלריות, אלא גם וקטוריות. בהתאם לכך, לעתים קרובות אנו מתעניינים בקצב השינוי של כמות וקטורית, כלומר הנגזרת של הווקטור. עם זאת, לפני שנדבר על הנגזרת, עלינו להבין את מושג הגבול של כמות וקטורית.

שקול את רצף הוקטורים ~u1 ; ~u2 ; ~u3 ; : : : לאחר שעשינו, במידת הצורך, תרגום מקביל, אנו מביאים את המקורות שלהם לנקודה אחת O (איור 1.5):

נניח שרצף הנקודות הוא A1; A2 ; A3; : : : ¾זורם¿2 לנקודה B:

lim An = B:

הבה נסמן ~v = OB. נגיד אז שרצף הוקטורים הכחולים ~un נוטה לוקטור האדום ~v, או שהווקטור ~v הוא הגבול של רצף הוקטורים ~un:

~v = lim ~un:

2 הבנה אינטואיטיבית של ה"זרימה פנימה" זה מספיקה, אבל אולי אתה מעוניין בהסבר קפדני יותר? אז הנה זה.

תן לדברים לקרות במטוס. ¾זרימה¿ של רצף A1 ; A2 ; A3; : : : לנקודה B פירושו הדבר הבא: לא משנה כמה קטן מעגל עם מרכז בנקודה B ניקח, כל נקודות הרצף, החל מנקודה כלשהי, ייפלו בתוך המעגל הזה. במילים אחרות, מחוץ לכל מעגל עם מרכז B יש רק מספר סופי של נקודות ברצף שלנו.

מה אם זה יקרה בחלל? ההגדרה של "זורם פנימה" שונה מעט: אתה רק צריך להחליף את המילה "מעגל" במילה "כדור".

הבה נניח כעת שהקצוות של הוקטורים הכחולים באיור. 1.5 הרץ לא קבוצת ערכים בדיד, אלא עקומה רציפה (לדוגמה, מסומן בקו מקווקו). לפיכך, אין אנו עוסקים ברצף של וקטורים ~un, אלא בוקטור ~u(t), המשתנה עם הזמן. זה בדיוק מה שאנחנו צריכים בפיזיקה!

ההסבר הנוסף הוא כמעט זהה. תן ל-t לכוון לערך כלשהו t0. אם

במקרה זה, הקצוות של הוקטורים ~u(t) זורמים לנקודה B כלשהי, ואז נאמר שהווקטור

~v = OB הוא הגבול של כמות הווקטור ~u(t):

t!t0

1.1.8 דיפרנציאציה של וקטורים

לאחר שקבענו מהו הגבול של כמות וקטור, אנו מוכנים לעשות את הצעד הבא של הצגת המושג נגזרת של וקטור.

הבה נניח שיש איזה וקטור ~u(t) בהתאם לזמן. המשמעות היא שאורכו של וקטור נתון והכיוון שלו יכולים להשתנות עם הזמן.

באנלוגיה לפונקציה (סקלרית) רגילה, המושג של שינוי (או תוספת) של וקטור מוצג. השינוי בוקטור ~u לאורך זמן t הוא כמות וקטורית:

~u = ~u(t + t) ~u(t):

שימו לב שבצד ימין של יחס זה יש הבדל וקטורי. השינוי בוקטור ~u מוצג באיור. 1.6 (זכור שכאשר מחסירים וקטורים, אנו מביאים את ההתחלה שלהם לנקודה אחת, מחברים את הקצוות ו"דוקרים" עם חץ את הווקטור שממנו מתבצע החיסור).

~u(t) ~u

אורז. 1.6. שינוי וקטור

אם מרווח הזמן t קטן מספיק, אז הווקטור ~u משתנה מעט במהלך הזמן הזה (בפיסיקה, לפי לפחות, זה תמיד נחשב). בהתאם לכך, אם ב-t! 0 היחס ~u= t שואף לגבול מסוים, אז הגבול הזה נקרא הנגזרת של הווקטור ~u:

כשמסמנים את הנגזרת של וקטור, לא נשתמש בנקודה למעלה (מכיוון שהסמל ~u_ לא נראה טוב במיוחד) ונגביל את עצמנו לסימון (1.18). אבל עבור נגזרת של סקלרית אנחנו, כמובן, משתמשים בחופשיות בשני התווים.

זכור כי d~u=dt הוא סמל נגזרת. אפשר גם להבין אותו כשבר, שהמונה שלו מכיל את ההפרש של הווקטור ~u, המתאים למרווח הזמן dt. לא דנו לעיל במושג הדיפרנציאל, שכן הוא אינו נלמד בבית הספר; גם כאן לא נדון בהפרש.

עם זאת, על רמה פיזיתלמעשה, הנגזרת d~u=dt יכולה להיחשב כשבר, שהמכנה שלה מכיל מרווח זמן קטן מאוד dt, והמונה מכיל את השינוי הקטן המקביל d~u של הווקטור ~u. ב-dt קטן מספיק, הערך של שבר זה שונה מ

הגבול בצד ימין של (1.18) הוא כל כך קטן שלוקח בחשבון את דיוק המדידה הזמין, ניתן להזניח את ההבדל הזה.

ההבנה הפיזית הזו (הלא לגמרי קפדנית) של הנגזרת תספיק לנו בהחלט.

הכללים להבחנה בין ביטויים וקטוריים דומים במובנים רבים לכללים להבחנה בין סקלרים. אנחנו צריכים רק את הכללים הפשוטים ביותר.

1. מוציאים את הגורם הסקלרי הקבוע מהסימן של הנגזרת: אם c = const, אז

d(c~u) = c d~u: dt dt

אנו משתמשים בכלל זה בסעיף ¾מומנטום¿ כאשר החוק השני של ניוטון

2. מכפיל הווקטור הקבוע נלקח מהסימן הנגזר: אם ~c = const, אז dt d (x(t)~c) = x(t)~c:

3. הנגזרת של סכום הוקטורים שווה לסכום הנגזרות שלהם:

dt d (~u + ~v) =d~u dt +d~v dt :

נשתמש בשני הכללים האחרונים שוב ושוב. בואו נראה איך הם עובדים במצב החשוב ביותר של בידול וקטור בנוכחות מערכת קואורדינטות מלבנית OXY Z במרחב (איור 1.7).

אורז. 1.7. פירוק של וקטור לבסיס

כידוע, כל וקטור ~u ניתן להרחבה באופן ייחודי בבסיס היחידה

וקטורים ~ ,~ ,~ : i j k

~u = ux i + uy j + uz k:

כאן ux, uy, uz הם השלכות של הווקטור ~u על צירי הקואורדינטות. הן גם הקואורדינטות של הווקטור ~u בבסיס זה.

וקטור ~u במקרה שלנו תלוי בזמן, כלומר הקואורדינטות שלו ux, uy, uz הן פונקציות של זמן:

בואו נבדיל את השוויון הזה. ראשית נשתמש בכלל להבדיל בין הסכום:

לפיכך, אם לוקטור ~u יש קואורדינטות (ux; uy; uz), אז הקואורדינטות של הנגזרת d~u=dt הן נגזרות של הקואורדינטות של הווקטור ~u, כלומר (ux; uy; uz).

לאור חשיבותה המיוחדת של נוסחה (1.20), ניתן גזירה ישירה יותר. בזמן t + t לפי (1.19) יש לנו:

~u(t + t) = ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k:

בוא נכתוב את השינוי בווקטור ~u:

~u = ~u(t + t) ~u(t) =

Ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k ux (t) i + uy (t) j + uz (t)k =

בגבול ב-t! 0 שברים ux = t, uy = t, uz = t הופכים בהתאמה לנגזרות ux, uy, uz, ושוב נקבל יחס (1.20):

Ux i + uy j + uz k.