זהויות טריגונומטריות מורכבות. זהויות טריגונומטריות בסיסיות: ניסוחן וגזירתן

בקשת ה"חטא" מנותבת לכאן; ראה גם משמעויות אחרות. בקשת ה-"sec" מנותבת לכאן; ראה גם משמעויות אחרות. בקשת "סינוס" מנותבת לכאן; ראה גם משמעויות אחרות... ויקיפדיה

אורז. 1 גרפים של פונקציות טריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס, סקאנט, קוסקונט, קוטנגנט פונקציות טריגונומטריות הן סוג של פונקציות יסודיות. בדרך כלל אלה כוללים סינוס (sin x), קוסינוס (cos x), טנגנס (tg x), קוטנגנט (ctg x), ... ... ויקיפדיה

אורז. 1 גרפים של פונקציות טריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס, סקאנט, קוסקונט, קוטנגנט פונקציות טריגונומטריות הן סוג של פונקציות יסודיות. בדרך כלל אלה כוללים סינוס (sin x), קוסינוס (cos x), טנגנס (tg x), קוטנגנט (ctg x), ... ... ויקיפדיה

אורז. 1 גרפים של פונקציות טריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס, סקאנט, קוסקונט, קוטנגנט פונקציות טריגונומטריות הן סוג של פונקציות יסודיות. בדרך כלל אלה כוללים סינוס (sin x), קוסינוס (cos x), טנגנס (tg x), קוטנגנט (ctg x), ... ... ויקיפדיה

אורז. 1 גרפים של פונקציות טריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס, סקאנט, קוסקונט, קוטנגנט פונקציות טריגונומטריות הן סוג של פונקציות יסודיות. בדרך כלל אלה כוללים סינוס (sin x), קוסינוס (cos x), טנגנס (tg x), קוטנגנט (ctg x), ... ... ויקיפדיה

מדידות גאודטיות (מאה XVII) ... ויקיפדיה

בטריגונומטריה, נוסחת חצי הזווית השזוף מקשרת בין חצי הזווית השזוף לפונקציות הטריגונומטריות של הזווית המלאה: וריאציות של נוסחה זו הן כדלקמן... ויקיפדיה

- (מהיוונית τρίγονο (משולש) ומהיוונית μετρειν (למדוד), כלומר מדידת משולשים) ענף במתמטיקה בו נלמדות פונקציות טריגונומטריות ויישומין בגיאומטריה. מונח זה הופיע לראשונה בשנת 1595 בתור... ... ויקיפדיה

- (lat. solutio triangulorum) מונח היסטורי שפירושו פתרון הבעיה הטריגונומטרית העיקרית: שימוש בנתונים ידועים על משולש (צלעות, זוויות וכו') מצא את שאר המאפיינים שלו. ניתן לאתר את המשולש ב... ... ויקיפדיה

ספרים

• סט שולחנות. אלגברה והתחלות הניתוח. כיתה י'. 17 טבלאות + מתודולוגיה,. השולחנות מודפסים על קרטון מודפס עבה בגודל 680 על 980 מ"מ. הערכה כוללת חוברת עם המלצות מתודולוגיותעבור המורה. אלבום חינוכי של 17 גיליונות.…
• טבלאות אינטגרלים ונוסחאות מתמטיות אחרות, Dwight G.B. המהדורה העשירית של ספר העיון המפורסם מכילה טבלאות מפורטות מאוד של בלתי מוגדר ו אינטגרלים מוגדרים, ו מספר גדולנוסחאות מתמטיות אחרות: הרחבות סדרות,...

ממש בתחילת מאמר זה, בחנו את הרעיון של פונקציות טריגונומטריות. מטרתם העיקרית היא ללמוד את יסודות הטריגונומטריה ולחקור תהליכים תקופתיים. ולא בכדי ציירנו את המעגל הטריגונומטרי, כי ברוב המקרים פונקציות טריגונומטריות מוגדרות כיחס בין צלעות משולש או קטעים מסוימים שלו במעגל יחידה. הזכרתי גם את החשיבות העצומה של טריגונומטריה ללא ספק חיים מודרנים. אבל המדע אינו עומד במקום, כתוצאה מכך נוכל להרחיב משמעותית את היקף הטריגונומטריה ולהעביר את הוראותיה למספרים ממשיים ולעיתים מורכבים.

נוסחאות טריגונומטריהישנם מספר סוגים. בואו נסתכל עליהם לפי הסדר.

1. יחסים של פונקציות טריגונומטריות של אותה זווית

כאן אנו באים לשקול מושג כזה כמו בסיסי זהויות טריגונומטריות .

זהות טריגונומטרית היא שוויון המורכב מיחסים טריגונומטריים ואשר מתקיים בכל ערכי הזוויות הנכללות בה.

בואו נסתכל על הזהויות הטריגונומטריות החשובות ביותר והוכחותיהן:

הזהות הראשונה נובעת מעצם ההגדרה של משיק.

קח משולש ישר זווית שיש לו פינה חדה x בקודקוד A.



כדי להוכיח את הזהויות, עליך להשתמש במשפט פיתגורס:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

כעת אנו מחלקים את שני הצדדים של השוויון ב-(AB) 2 ונזכרים בהגדרות של חטא וזווית קוס, נקבל את הזהות השנייה:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

כדי להוכיח את הזהות השלישית והרביעית, אנו משתמשים בהוכחה הקודמת.

כדי לעשות זאת, חלקו את שני הצדדים של הזהות השנייה ב-cos 2 x:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

בהתבסס על הזהות הראשונה tg x = sin x /cos x נקבל את השלישית:

1 + שזוף 2 x = 1/cos 2 x

כעת נחלק את הזהות השנייה בחטא 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x הוא לא יותר מ-1/tg 2 x, אז נקבל את הזהות הרביעית:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

הגיע הזמן לזכור את משפט הסכום פינות פנימיותמשולש, האומר שסכום הזוויות של משולש = 180 0. מסתבר שבקודקוד B של המשולש יש זווית שערכה הוא 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



הבה נזכור שוב את ההגדרות לחטא ולקוס ונשיג את הזהות החמישית והשישית:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

עכשיו בוא נעשה את הדברים הבאים:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

כפי שאתה יכול לראות, הכל אלמנטרי כאן.

ישנן זהויות אחרות המשמשות בפתרון זהויות מתמטיות, אני אתן אותן בפשטות בצורה מידע התייחסות, כי כולם נובעים מהנ"ל.



2. הבעת פונקציות טריגונומטריות זו דרך זו

   (בחירת השלט מול השורש נקבעת לפי באיזה מרבעי המעגל נמצאת הפינה?)







3. להלן הנוסחאות לחיבור והפחתה של זוויות:



4. נוסחאות לזווית כפולה, משולשת וחצי.

   אני מציין שכולם נובעים מהנוסחאות הקודמות.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. נוסחאות להמרת ביטויים טריגונומטריים:

אתה יכול להזמין פתרון מפורטהמשימה שלך!!!

שוויון המכיל את הלא נודע מתחת לשלט פונקציה טריגונומטרית(`sin x, cos x, tan x` או `ctg x`) נקרא משוואה טריגונומטרית, והנוסחאות שלהם נשקול עוד יותר.

המשוואות הפשוטות ביותר הן `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, כאשר `x` היא הזווית שיש למצוא, `a` הוא כל מספר. הבה נכתוב את נוסחאות השורש עבור כל אחת מהן.

1. משוואה `sin x=a`.

עבור `|a|>1` אין לו פתרונות.

כאשר `|a| ל-\leq 1` יש מספר אינסופי של פתרונות.

נוסחת שורש: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. משוואה `cos x=a`

עבור `|a|>1` - כמו במקרה של סינוס, אין לו פתרונות בין מספרים ממשיים.

כאשר `|a| ל-\leq 1` יש מספר אינסופי של פתרונות.

נוסחת שורש: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

מקרים מיוחדים עבור סינוס וקוסינוס בגרפים.

3. משוואה `tg x=a`

יש מספר אינסופי של פתרונות עבור כל ערכים של `a`.

נוסחת שורש: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. משוואה `ctg x=a`

יש גם אינסוף פתרונות לכל ערכים של `a`.

נוסחת שורש: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

נוסחאות לשורשים של משוואות טריגונומטריות בטבלה

עבור סינוס:
עבור קוסינוס:
למשיק וקוטנגנטי:
נוסחאות לפתרון משוואות המכילות פונקציות טריגונומטריות הפוכות:

שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות

פתרון כל משוואה טריגונומטרית מורכב משני שלבים:

• בעזרת הפיכתו לפשוטה ביותר;
• לפתור את המשוואה הפשוטה ביותר שהתקבלה באמצעות נוסחאות השורש והטבלאות שנכתבו למעלה.

בואו נסתכל על שיטות הפתרון העיקריות באמצעות דוגמאות.

שיטה אלגברית.

שיטה זו כוללת החלפת משתנה והחלפתו בשוויון.

דוגמא. פתרו את המשוואה: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

בצע החלפה: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ואז `2y^2-3y+1=0`,

אנו מוצאים את השורשים: `y_1=1, y_2=1/2`, שמהם מגיעים שני מקרים:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

תשובה: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

פירוק לגורמים.

דוגמא. פתרו את המשוואה: `sin x+cos x=1`.

פִּתָרוֹן. נזיז את כל האיברים של השוויון שמאלה: `sin x+cos x-1=0`. באמצעות , אנו משנים ומפרקים את הצד השמאלי:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

תשובה: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

הפחתה למשוואה הומוגנית

ראשית, עליך לצמצם את המשוואה הטריגונומטרית לאחת משתי צורות:

`a sin x+b cos x=0` (משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה) או `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה).

לאחר מכן חלקו את שני החלקים ב- `cos x \ne 0` - עבור המקרה הראשון, וב- `cos^2 x \ne 0` - עבור השני. נקבל משוואות עבור `tg x`: `a tg x+b=0` ו-`a tg^2 x + b tg x +c =0`, אותם יש לפתור באמצעות שיטות ידועות.

דוגמא. פתרו את המשוואה: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

פִּתָרוֹן. בוא נכתוב את זה צד ימיןכמו `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

זוהי משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השנייה, נחלק את הצדדים השמאלי והימני שלה ב-`cos^2 x \ne 0`, נקבל:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. הבה נציג את התחליף `tg x=t`, וכתוצאה מכך `t^2 + t - 2=0`. השורשים של משוואה זו הם `t_1=-2` ו-`t_2=1`. לאחר מכן:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

תשובה. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

עוברים לחצי זווית

דוגמא. פתרו את המשוואה: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

פִּתָרוֹן. הבה נחיל את נוסחאות הזווית הכפולה, וכתוצאה מכך: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

יישום השיטה האלגברית שתוארה לעיל, נקבל:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

תשובה. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

מבוא של זווית עזר

במשוואה הטריגונומטרית `a sin x + b cos x =c`, כאשר a,b,c הם מקדמים ו-x הוא משתנה, חלקו את שתי הצדדים ב-`sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

למקדמים בצד שמאל יש את המאפיינים של סינוס וקוסינוס, כלומר סכום הריבועים שלהם שווה ל-1 והמודולים שלהם אינם גדולים מ-1. הבה נסמן אותם כך: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, ואז:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

בואו נסתכל מקרוב על הדוגמה הבאה:

דוגמא. פתרו את המשוואה: `3 sin x+4 cos x=2`.

פִּתָרוֹן. נחלק את שני הצדדים של השוויון ב-`sqrt (3^2+4^2)`, נקבל:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))'

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

נסמן `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. מאז `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, אז ניקח את `\varphi=arcsin 4/5` בתור זווית עזר. לאחר מכן אנו כותבים את השוויון שלנו בצורה:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

יישום הנוסחה של סכום הזוויות עבור הסינוס, אנו כותבים את השוויון שלנו בצורה הבאה:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

תשובה. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

משוואות טריגונומטריות רציונליות חלקיות

מדובר בשוויון עם שברים שהמונים והמכנים שלהם מכילים פונקציות טריגונומטריות.

דוגמא. פתור את המשוואה. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

פִּתָרוֹן. הכפלו וחלקו את הצד הימני של השוויון ב-`(1+cos x)`. כתוצאה מכך אנו מקבלים:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

בהתחשב בכך שהמכנה לא יכול להיות שווה לאפס, נקבל `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

נשווה את המונה של השבר לאפס: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. ואז `sin x=0` או `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

בהתחשב בכך ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, הפתרונות הם `x=2\pi n, n \in Z` ו-`x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

תשובה. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

טריגונומטריה, ומשוואות טריגונומטריות בפרט, משמשות כמעט בכל תחומי הגיאומטריה, הפיזיקה וההנדסה. הלימודים מתחילים בכיתה י', תמיד יש משימות לבחינת המדינה המאוחדת, אז נסו לזכור את כל הנוסחאות משוואות טריגונומטריות- הם בהחלט יהיו שימושיים עבורך!

עם זאת, אתה אפילו לא צריך לשנן אותם, העיקר הוא להבין את המהות ולהיות מסוגל להפיק אותה. זה לא כל כך קשה כמו שזה נראה. ראה בעצמך על ידי צפייה בסרטון.

המאמר מתאר בפירוט את הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות השוויוניות הללו מבססות את הקשר בין sin, cos, t g, c t g של זווית נתונה. אם פונקציה אחת ידועה, ניתן למצוא דרכה אחרת.

זהויות טריגונומטריות שיש לקחת בחשבון במאמר זה. להלן אנו מציגים דוגמה לגזירתם עם הסבר.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Yandex.RTB R-A-339285-1

בואו נדבר על זהות טריגונומטרית חשובה, הנחשבת לבסיס הטריגונומטריה.

sin 2 α + cos 2 α = 1

השוויון הנתון t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α נגזרים מהראשי על ידי חלוקת שני החלקים ב-sin 2 α ו-cos 2 α. לאחר מכן נקבל t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α ו-t g α · c t g α = 1 - זו תוצאה של ההגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי.

השוויון sin 2 α + cos 2 α = 1 הוא הזהות הטריגונומטרית העיקרית. כדי להוכיח זאת, עליך לפנות לנושא מעגל היחידה.

תנו את הקואורדינטות של נקודה A (1, 0), אשר לאחר סיבוב בזווית α הופכת לנקודה A 1. לפי ההגדרה של sin ו-cos, נקודה A 1 תקבל קואורדינטות (cos α, sin α). מכיוון ש-A 1 נמצא בתוך מעגל היחידה, זה אומר שהקואורדינטות חייבות לעמוד בתנאי x 2 + y 2 = 1 של מעגל זה. הביטוי cos 2 α + sin 2 α = 1 צריך להיות תקף. לשם כך, יש צורך להוכיח את הזהות הטריגונומטרית העיקרית עבור כל זוויות הסיבוב α.

בטריגונומטריה, הביטוי sin 2 α + cos 2 α = 1 משמש כמשפט פיתגורס בטריגונומטריה. לשם כך, שקול הוכחה מפורטת.

בעזרת מעגל יחידה, אנו מסובבים את נקודה A עם קואורדינטות (1, 0) סביב הנקודה המרכזית O בזווית α. לאחר הסיבוב, הנקודה משנה קואורדינטות והופכת שווה ל-A 1 (x, y). מורידים את הקו הניצב A 1 H ל- O x מנקודה A 1.

האיור מראה בבירור שנוצר משולש ישר זווית O A 1 N מודול הרגליים O A 1 N ו- O N שווים, הערך יקבל את הצורה הבאה: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . לתחתית O A 1 יש ערך השווה לרדיוס מעגל היחידה, | O A 1 | = 1 . באמצעות ביטוי זה, נוכל לכתוב את השוויון באמצעות משפט פיתגורס: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. הבה נכתוב את השוויון הזה בתור | y | 2 + | x | 2 = 1 2, כלומר y 2 + x 2 = 1.

בעזרת ההגדרה של sin α = y ו- cos α = x, נחליף את נתוני הזווית במקום את הקואורדינטות של הנקודות ונעבור לאי השוויון sin 2 α + cos 2 α = 1.

הקשר הבסיסי בין חטא וקוס של זווית אפשרי באמצעות זהות טריגונומטרית זו. לפיכך, אנו יכולים לחשב את החטא של זווית עם קוס ידוע ולהיפך. לשם כך, יש צורך לפתור את sin 2 α + cos 2 = 1 ביחס ל-sin ו-cos, ואז נקבל ביטויים של הצורה sin α = ± 1 - cos 2 α ו-cos α = ± 1 - sin 2 α , בהתאמה. גודל הזווית α קובע את הסימן מול שורש הביטוי. להסבר מפורט, עליך לקרוא את הסעיף חישוב סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט באמצעות נוסחאות טריגונומטריות.

לרוב, הנוסחה הבסיסית משמשת כדי להפוך או לפשט ביטויים טריגונומטריים. אפשר להחליף את סכום הריבועים של סינוס וקוסינוס ב-1. החלפת זהות יכולה להיות ישירה או בסדר הפוך: היחידה מוחלפת בביטוי של סכום הריבועים של סינוס וקוסינוס.

טנגנט וקוטנגנט דרך סינוס וקוסינוס

מההגדרה של קוסינוס וסינוס, טנגנס וקוטנגנט, ברור שהם מחוברים זה לזה, מה שמאפשר להמיר בנפרד את הכמויות הדרושות.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

לפי ההגדרה, סינוס הוא הסמין של y, וקוסינוס הוא האבשסיס של x. טנג'נט הוא היחס בין הסמיכה לאבשיסה. כך יש לנו:

t g α = y x = sin α cos α , ולביטוי הקוטנגנטי יש משמעות הפוכה, כלומר

c t g α = x y = cos α sin α .

מכאן נובע שהזהויות המתקבלות t g α = sin α cos α ו-c t g α = cos α sin α מוגדרות באמצעות זוויות sin ו- cos. הטנגנס נחשב ליחס בין הסינוס לקוסינוס של הזווית ביניהם, והקוטנגנט הוא הפוך.

שימו לב ש-t g α = sin α cos α ו-c t g α = cos α sin α נכונים לכל ערך של הזווית α, שהערכים שלה כלולים בטווח. מהנוסחה t g α = sin α cos α הערך של הזווית α שונה מ-π 2 + π · z, ו-c t g α = cos α sin α לוקח את הערך של הזווית α שונה מ-π · z, z לוקח את ערך של כל מספר שלם.

הקשר בין משיק לקוטנגנטי

יש נוסחה שמראה את הקשר בין זוויות דרך משיק וקוטנגנט. זהות טריגונומטרית זו חשובה בטריגונומטריה והיא מסומנת כ-t g α · c t g α = 1. זה הגיוני עבור α עם כל ערך אחר מלבד π 2 · z, אחרת הפונקציות לא יוגדרו.

לנוסחה t g α · c t g α = 1 יש מוזרויות משלה בהוכחה. מההגדרה יש לנו ש-t g α = y x ו-c t g α = x y, מכאן שנקבל t g α · c t g α = y x · x y = 1. שינוי הביטוי והחלפת t g α = sin α cos α ו-c t g α = cos α sin α, נקבל t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.

אז לביטוי של משיק וקוטנגנט יש משמעות של מתי אנחנו מקבלים בסופו של דבר מספרים הפוכים זה לזה.

טנגנט וקוסינוס, קוטנגנט וסינוס

לאחר ששינו את הזהויות העיקריות, אנו מגיעים למסקנה שהטנגנס קשור דרך הקוסינוס, והקוטנגנט דרך הסינוס. ניתן לראות זאת מהנוסחאות t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.

ההגדרה היא כדלקמן: סכום ריבוע הטנגנס של זווית ו-1 משווה לשבר, כאשר במונה יש לנו 1, ובמכנה ריבוע הקוסינוס של זווית נתונה, והסכום של ריבוע הקוטנגנט של הזווית הוא הפוך. הודות לזהות הטריגונומטרית sin 2 α + cos 2 α = 1, נוכל לחלק את הצלעות המתאימות ב-cos 2 α ולקבל t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, כאשר הערך של cos 2 α לא אמור להיות שווה ל אֶפֶס. כאשר מחלקים ב-sin 2 α, נקבל את הזהות 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, כאשר הערך של sin 2 α לא צריך להיות שווה לאפס.

מהביטויים לעיל מצאנו שהזהות t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α נכונה לכל ערכי הזווית α שאינם שייכים לπ 2 + π · z, ו- 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α עבור ערכים של α שאינם שייכים למרווח π · z.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter