במשולש רגיל, כל הזוויות שוות. משולש רגיל

בקורס גיאומטריה בית ספרי מוקדש זמן עצום ללימוד משולשים. התלמידים מחשבים זוויות, בונים חצויים וגבהים, מגלים כיצד צורות שונות זו מזו, והדרך הקלה ביותר למצוא את השטח וההיקף שלהן. נראה שזה לא יועיל בחיים, אבל לפעמים עדיין כדאי ללמוד, למשל, כיצד לקבוע אם משולש שווה צלעות או קהה. איך לעשות את זה?

סוגי משולשים

שלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו, והקטעים המחברים ביניהן. נראה שהנתון הזה הוא הפשוט ביותר. איזה סוג של משולשים הם יכולים להיות אם יש להם רק שלוש צלעות? למעשה יש לא מעט אפשרויות. מספר גדול של, וחלקם ניתנים תשומת - לב מיוחדתבמסגרת קורס גיאומטריה בבית הספר. משולש רגיל הוא שווה צלעות, כלומר כל הזוויות והצלעות שלו שוות. יש לו מספר מאפיינים יוצאי דופן, אשר יידונו בהמשך.

שווה שוקיים יש רק שתי צלעות שוות, והוא גם די מעניין. במלבני, כפי שניתן לנחש, אחת מהזוויות היא ישרה או קהה, בהתאמה. יתר על כן, הם יכולים להיות גם שווה שוקיים.

יש גם אחד מיוחד שנקרא מצרי. הצדדים שלו הם 3, 4 ו-5 יחידות. יתר על כן, הוא מלבני. הוא האמין כי הוא שימש באופן פעיל על ידי מודדים ואדריכלים מצריים לבניית זוויות ישרות. הוא האמין כי הפירמידות המפורסמות נבנו בעזרתה.

ובכל זאת כל הקודקודים של משולש יכולים לשכב על אותו קו ישר. במקרה זה, זה ייקרא מנוון, ואילו כל האחרים ייקראו לא מנוונים. הם אחד המקצועות של לימוד גיאומטריה.

משולש שווה צלעות

כמובן שהנתונים הנכונים תמיד גורמים לעניין הגדול ביותר. הם נראים מושלמים יותר, חינניים יותר. הנוסחאות לחישוב המאפיינים שלהן לרוב פשוטות וקצרות יותר מאשר לדמויות רגילות. זה חל גם על משולשים. אין זה מפתיע שכאשר לומדים גיאומטריה הם מקבלים די הרבה תשומת לב: תלמידי בית ספר לומדים להבחין בין הדמויות הנכונות מהשאר, וגם מספרים על כמה מהמאפיינים המעניינים שלהם.

סימנים ומאפיינים

כפי שניתן לנחש מהשם, כל צלע של משולש שווה צלעות שווה לשניים האחרים. בנוסף, יש לו מספר תכונות שעוזרות לך לקבוע אם הנתון נכון או לא.

אם נצפה לפחות אחד מהסימנים לעיל, אז המשולש הוא שווה צלעות. ל הדמות הנכונהכל האמירות לעיל נכונות.

לכל המשולשים יש מספר תכונות יוצאות דופן. קוֹדֶם כֹּל, קו אמצעי, כלומר, קטע המחלק שתי צלעות לשניים ומקביל לשלישית, שווה למחצית הבסיס. שנית, סכום כל הזוויות של דמות זו תמיד שווה ל-180 מעלות. בנוסף, יש עוד קשר מעניין במשולשים. אז, מול הצד הגדול יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר ולהיפך. אבל זה, כמובן, לא קשור למשולש שווה צלעות, כי כל הזוויות שלו שוות.

עיגולים כתובים ותוחמים

לעתים קרובות בקורס גיאומטריה, התלמידים גם לומדים כיצד צורות יכולות לתקשר זו עם זו. בפרט, לומדים עיגולים הכתובים במצולעים או מתוארים סביבם. על מה זה?

עיגול רשום הוא עיגול שכל צלעות המצולע משיקות עבורו. מתואר - זה שיש לו נקודות מגע עם כל הפינות. עבור כל משולש, אתה תמיד יכול לבנות את המעגל הראשון והשני, אבל רק אחד מכל סוג. עדות לשני אלה

משפטים ניתנים בקורס גיאומטריה בבית הספר.

בנוסף לחישוב הפרמטרים של המשולשים עצמם, חלק מהבעיות כרוכות גם בחישוב הרדיוסים של המעגלים הללו. ונוסחאות ל
משולש שווה צלעות נראה כך:

כאשר r הוא רדיוס המעגל הכתוב, R הוא רדיוס המעגל המוקף, a הוא אורך הצלע של המשולש.

חישוב גובה, היקף ושטח

הפרמטרים הבסיסיים שתלמידי בית הספר מחשבים תוך כדי לימוד גיאומטריה נשארים ללא שינוי כמעט עבור כל נתון. אלה הם היקף, שטח וגובה. כדי לפשט את החישובים, ישנן נוסחאות שונות.

אז, ההיקף, כלומר אורך כל הצדדים, מחושב בדרכים הבאות:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, כאשר a היא הצלע של משולש שווה צלעות, R הוא רדיוס המעגל המוקף, r הוא המעגל הכתוב.

h = (√ ̅3/2)*a, כאשר a הוא אורך הצלע.

לבסוף, הנוסחה נגזרת מהנוסחה הסטנדרטית, כלומר מכפלה של מחצית הבסיס וגובהו.

S = (√ ̅3/4)*a 2, כאשר a הוא אורך הצלע.

ניתן לחשב ערך זה גם באמצעות הפרמטרים של עיגול מוקף או רשום. ישנן גם נוסחאות מיוחדות לכך:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, כאשר r ו-R הם הרדיוסים של המעגלים הכתובים והמעגלים המוקפים, בהתאמה.

בְּנִיָה

סוג מעניין נוסף של בעיה, כולל משולשים, כרוך בצורך לצייר דמות מסוימת באמצעות סט מינימלי

כלים: מצפן וסרגל ללא חלוקות.

על מנת לבנות משולש רגיל באמצעות מכשירים אלו בלבד, עליך לבצע מספר שלבים.

1. אתה צריך לצייר עיגול עם כל רדיוס ועם מרכז בנקודה שרירותית A. זה חייב להיות מסומן.
2. הבא אתה צריך לצייר קו ישר דרך נקודה זו.
3. יש להגדיר את הצלבות של מעגל וקו ישר כ-B ו-C. כל הקונסטרוקציות חייבות להתבצע בדיוק מירבי.
4. לאחר מכן, עליך לבנות מעגל נוסף עם אותו רדיוס ומרכז בנקודה C או קשת עם הפרמטרים המתאימים. נקודות ההצטלבות יסומנו D ו-F.
5. נקודות B, F, D חייבות להיות מחוברות בקטעים. בנוי משולש שווה צלעות.

פתרון בעיות כאלה הוא בדרך כלל בעיה עבור תלמידי בית הספר, אבל מיומנות זו יכולה להיות שימושית בחיי היומיום.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובתך אימיילוכו '

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך, בהתאם לחוק, הליך שיפוטי,V ניסוי, ו/או בהתבסס על בקשות ציבוריות או בקשות של סוכנויות ממשלתיות בפדרציה הרוסית - חשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

הגדרה 7. כל משולש ששתי צלעותיו שוות נקרא שווה שוקיים.
שתי צלעות שוות נקראות לרוחב, השלישית נקראת בסיס.
הגדרה 8. אם כל שלוש הצלעות של משולש שוות, אז המשולש נקרא שווה צלעות.
זהו סוג מיוחד של משולש שווה שוקיים.
משפט 18. גובהו של משולש שווה שוקיים, הנמוך לבסיס, הוא בו-זמנית חוצה של הזווית בין צלעות שוות, החציון וציר הסימטריה של הבסיס.
הוכחה. הבה נוריד את הגובה לבסיס המשולש שווה שוקיים. הוא יחלק אותו לשני משולשים ישרים שווים (לאורך הרגל והתחתון). זוויות A ו-C שוות, והגובה גם מחלק את הבסיס לשניים ויהיה ציר הסימטריה של כל הדמות הנבדקת.
ניתן לנסח משפט זה גם כך:
משפט 18.1. החציון של משולש שווה שוקיים, הנמוך לבסיס, הוא גם חוצה של הזווית בין צלעות שוות, הגובה וציר הסימטריה של הבסיס.
משפט 18.2. חציו של משולש שווה שוקיים, הנמוך לבסיס, הוא בו זמנית הגובה, החציון וציר הסימטריה של הבסיס.
משפט 18.3. ציר הסימטריה של משולש שווה שוקיים הוא בו זמנית חוצה הזווית בין צלעות שוות, החציון והגובה.
ההוכחה להשלכות אלו נובעת גם משוויון המשולשים שאליהם מחולק משולש שווה שוקיים.

משפט 19. הזוויות בבסיס משולש שווה שוקיים שוות.
הוכחה. הבה נוריד את הגובה לבסיס המשולש שווה שוקיים. הוא יחלק אותו לשני משולשים ישרים שווים (לאורך הרגל והתחתון), כלומר הזוויות המתאימות שוות, כלומר. ∠ A=∠ C
הקריטריונים למשולש שווה שוקיים מגיעים ממשפט 1 ומסקנותיו וממשפט 2.
משפט 20. אם שניים מתוך ארבעת הקווים המצוינים (גובה, חציון, חצוי, ציר סימטריה) עולים בקנה אחד, אז המשולש יהיה שווה שוקיים (מה שאומר שכל ארבעת הקווים יחפפו).
משפט 21. אם שתי זוויות של משולש שוות, אז הוא שווה שוקיים.

הוכחה:בדומה להוכחת המשפט הישיר, אך תוך שימוש בקריטריון השני לשוויון משולשים. מרכז הכובד, מרכזי המעגל והמעגל, ונקודת החיתוך של גבהים של משולש שווה שוקיים כולם שוכנים על ציר הסימטריה שלו, כלומר. על גבוה.
משולש שווה שוקיים הוא שווה שוקיים לכל זוג צלעותיו. בשל השוויון של כל צלעותיו, כל שלוש הזוויות של משולש כזה שוות. בהתחשב בכך שסכום הזוויות של כל משולש שווה לשתי זוויות ישרות, אנו רואים שכל אחת מהזוויות של משולש שווה צלעות שווה ל-60°. לעומת זאת, כדי לוודא שכל צלעות המשולש שוות, מספיק לבדוק ששתיים משלוש הזוויות שלו שוות ל-60°.
משפט 22 . במשולש שווה צלעות, כל הנקודות המדהימות חופפות: מרכז הכובד, מרכזי המעגלים הכתובים והמוקפים, נקודת החיתוך של הגבהים (הנקראת האורתוסנטר של המשולש).
משפט 23 . אם שתיים מארבע הנקודות המצוינות חופפות, אזי המשולש יהיה שווה צלעות, וכתוצאה מכך, כל ארבע הנקודות הנקובות יתאימו.
ואכן, משולש כזה יתברר, על פי הקודם, שווה שוקיים ביחס לכל זוג צלעות, כלומר. שְׁוֵה צְלָעוֹת. משולש שווה צלעות נקרא גם משולש רגיל. שטחו של משולש שווה שוקיים שווה למחצית המכפלה של ריבוע הצלע והסינוס של הזווית בין הצלעות
שקול את הנוסחה הזו למשולש שווה צלעות, ואז זווית האלפא תהיה שווה ל-60 מעלות. אז הנוסחה תשתנה לזה:

משפט ד1 . במשולש שווה שוקיים, החציונים הנמשכים לצדדים שווים.

הוכחה:תנו ל-ABC להיות משולש שווה שוקיים (AC = BC), AK ו-BL החציונים שלו. אז המשולשים AKB ו-ALB שווים לפי הקריטריון השני לשוויון המשולשים. יש להם צלעות משותפות AB, הצלעות AL ו-BK שוות כחצאי הצלעות הרוחביות של משולש שווה שוקיים, וזוויות LAB ו-KBA שוות לזוויות הבסיס של משולש שווה שוקיים. מכיוון שהמשולשים חופפים, הצלעות שלהם AK ו-LB שוות. אבל AK ו-LB הם החציונים של משולש שווה שוקיים הנמשכים לצדדים הרוחביים שלו.
משפט ד2 . במשולש שווה שוקיים, החצויים הנמשכים לצדדים הרוחביים שווים.

הוכחה:תנו ל-ABC להיות משולש שווה שוקיים (AC = BC), AK ו-BL חצויים שלו. משולשים AKB ו-ALB שווים לפי הקריטריון השני לשוויון המשולשים. יש להם צלע משותפת AB, זוויות LAB ו-KBA שוות לזוויות הבסיס של משולש שווה שוקיים, וזוויות LBA ו-KAB שוות לחצי מזוויות הבסיס של משולש שווה שוקיים. מכיוון שהמשולשים חופפים, הצלעות שלהם AK ו-LB - חצויות המשולש ABC - חופפות. המשפט הוכח.
משפט ד3 . במשולש שווה שוקיים, הגבהים הנמוכים לצדדים שווים.

הוכחה:תנו ל-ABC להיות משולש שווה שוקיים (AC = BC), AK ו-BL לגבהים שלו. אז הזוויות ABL ו-KAB שוות, שכן הזוויות ALB ו-AKB הן זוויות ישרות, וזוויות LAB ו-ABK שוות כזוויות הבסיס של משולש שווה שוקיים. כתוצאה מכך, המשולשים ALB ו-AKB שווים לפי הקריטריון השני לשוויון המשולשים: יש להם צלע משותפת AB, הזוויות KAB ו-LBA שוות לפי האמור לעיל, וזוויות LAB ו-KBA שוות כזוויות הבסיס של משולש שווה שוקיים. אם המשולשים חופפים, גם הצלעות שלהם AK ו-BL חופפות. Q.E.D.

קורס הווידאו "קבל א'" כולל את כל הנושאים הדרושים להצלחה לעבור את מבחן המדינה המאוחדתבמתמטיקה עבור 60-65 נקודות. מלא את כל המשימות 1-13 של בחינת המדינה המאוחדת בפרופיל במתמטיקה. מתאים גם למעבר בבחינת המדינה המאוחדת הבסיסית במתמטיקה. אם אתה רוצה לעבור את מבחן המדינה המאוחדת עם 90-100 נקודות, אתה צריך לפתור את חלק 1 תוך 30 דקות וללא טעויות!

קורס הכנה לבחינת המדינה המאוחדת לכיתות י'-י"א וכן למורים. כל מה שאתה צריך כדי לפתור את חלק 1 של בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה (12 הבעיות הראשונות) ואת בעיה 13 (טריגונומטריה). וזה יותר מ-70 נקודות בבחינת המדינה המאוחדת, וגם סטודנט של 100 נקודות וגם סטודנט למדעי הרוח לא יכולים בלעדיהם.

כל התיאוריה הדרושה. דרכים מהירותפתרונות, מלכודות וסודות של בחינת המדינה המאוחדת. כל המשימות הנוכחיות של חלק 1 מבנק המשימות של FIPI נותחו. הקורס עומד במלואו בדרישות של בחינת המדינה המאוחדת 2018.

הקורס מכיל 5 נושאים גדולים, 2.5 שעות כל אחד. כל נושא ניתן מאפס, פשוט וברור.

מאות משימות בחינות המדינה המאוחדת. בעיות מילים ותורת ההסתברות. אלגוריתמים פשוטים וקלים לזיכרון לפתרון בעיות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תיאוריה, חומר עזר, ניתוח של כל סוגי משימות בחינות המדינה המאוחדת. סטריאומטריה. פתרונות מסובכים, דפי רמאות שימושיים, פיתוח דמיון מרחבי. טריגונומטריה מאפס לבעיה 13. הבנה במקום לדחוס. הסברים ברורים של מושגים מורכבים. אַלגֶבּרָה. שורשים, חזקות ולוגריתמים, פונקציה ונגזרת. בסיס לפתרון בעיות מורכבות של חלק 2 של בחינת המדינה המאוחדת.