Katetov שווה לריבוע של תת התחתון. דרכים שונות להוכיח את משפט פיתגורס

27.09.2019

משפט פיתגורס הוא המשפט החשוב ביותר בגיאומטריה. המשפט מנוסח כך: שטחו של ריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על רגליו.

גילוי ההצהרה הזו מיוחס בדרך כלל לפילוסוף והמתמטיקאי היווני הקדום פיתגורס (המאה השישית לפני הספירה). אבל מחקר של לוחות בבלי כתב יתדות וכתבי יד סיניים עתיקים (עותקים של כתבי יד עתיקים אף יותר) הראה שהאמירה הזו הייתה ידועה הרבה לפני פיתגורס, אולי אלפיים לפניו. הכשרון של פיתגורס היה בכך שהוא גילה את ההוכחה למשפט זה.

סביר להניח שהעובדה הנאמרת במשפט פיתגורס נקבעה לראשונה עבור משולשים ישרים שוקיים. רק תסתכל על הפסיפס של משולשים שחורים ובהירים שמוצג באיור. 1, כדי לאמת את תקפות המשפט למשולש: ריבוע הבנוי על התחתון מכיל 4 משולשים, וריבוע המכיל 2 משולשים נבנה בכל צד. כדי להוכיח את המקרה הכללי בהודו העתיקה, הם השתמשו בשתי שיטות: בריבוע עם צלע, הם תיארו ארבעה משולשים ישרים עם רגליים באורך (איור 2, a ו-2, ב), שלאחר מכן הם כתבו מילה אחת " תראה!" ואכן, בהסתכלות על השרטוטים הללו, אנו רואים שמשמאל יש דמות נקייה ממשולשים, המורכבת משני ריבועים עם צלעות ובהתאם, שטחה שווה ל-, ומימין יש ריבוע עם צלעות - שטחו שווה ל. זה אומר שזה מהווה את ההצהרה של משפט פיתגורס.

עם זאת, במשך אלפיים שנה, לא השתמשו בהוכחה החזותית הזו, אלא בהוכחה מורכבת יותר שהמציא אוקלידס, שנמצאת בספרו המפורסם "אלמנטים" (ראה אוקלידס ו"האלמנטים" שלו), אוקלידס הוריד את הגובה מלמעלה זווית נכונהעל התחתון והוכיח שהמשכו מחלק את הריבוע הבנוי על התחתון לשני מלבנים, ששטחיהם שווים לשטחי הריבועים המקבילים הבנויים על הרגליים (איור 3). הציור המשמש להוכחת המשפט הזה נקרא בצחוק "מכנסיים פיתגוריים". במשך זמן רב זה נחשב לאחד הסמלים של המדע המתמטי.

כיום ידועות כמה עשרות הוכחות שונות למשפט פיתגורס. חלקם מבוססים על מחיצת ריבועים, שבה ריבוע הבנוי על התחתון מורכב מחלקים הנכללים במחיצות של ריבועים הבנויים על הרגליים; אחרים - על ההשלמה לדמויות שוות; השלישית - על כך שהגובה הנמוך מקודקוד זווית ישרה אל התחתון מחלק משולש ישר זווית לשני משולשים הדומים לו.

משפט פיתגורס עומד בבסיס רוב החישובים הגיאומטריים. אפילו בבבל הקדומה הוא שימש לחישוב אורך גובהו של משולש שווה שוקיים מאורכי הבסיס והצלע, חץ קטע מקוטר המעגל ואורך האקורד, וקבע את היחסים בין האלמנטים של כמה מצולעים רגילים. באמצעות משפט פיתגורס, אנו מוכיחים את ההכללה שלו, המאפשרת לנו לחשב את אורך הצלע המונחת מול זווית חדה או קהה:

מהכללה זו עולה כי נוכחות של זווית ישרה בפנים אינה רק מספיקה, אלא גם תנאי הכרחי להתקיים השוויון. מנוסחה (1) מגיע היחס בין אורכי האלכסונים והצלעות של מקבילית, בעזרתה קל למצוא את אורך חציון המשולש מאורכי צלעותיו.

בהתבסס על משפט פיתגורס, נגזרת נוסחה המבטאת את שטחו של כל משולש לאורך צלעותיו (ראה נוסחת הרון). כמובן, משפט פיתגורס שימש גם לפתרון בעיות מעשיות שונות.

במקום ריבועים, אפשר לבנות כל דמויות דומות (משולשים שווי צלעות, חצאי מעגלים וכו') בצידי משולש ישר זווית. במקרה זה, השטח של הדמות הבנויה על התחתון שווה לסכום שטחי הדמויות הבנויות על הרגליים. הכללה נוספת קשורה למעבר ממישור לחלל. הוא מנוסח כך: ריבוע האורך האלכסוני של מקבילי מלבני שווה לסכום ריבועי מידותיו (אורך, רוחב וגובה). משפט דומה נכון במקרים רב-ממדיים ואפילו אינסופיים.

משפט פיתגורס קיים רק בגיאומטריה האוקלידית. היא אינה מתרחשת לא בגיאומטריה של לובצ'בסקי ולא בגיאומטריות אחרות שאינן אוקלידיות. אין אנלוגי למשפט פיתגורס על הכדור. שני מרידיאנים היוצרים זווית של 90° וקו המשווה קושר על כדור משולש כדורי שווה צלעות, שכל שלוש הזוויות שלו ישרות זוויות. מבחינתו, לא כמו במטוס.

באמצעות משפט פיתגורס, חשב את המרחק בין נקודות ו מישור קואורדינטותלפי הנוסחה

לאחר שמשפט פיתגורס התגלה, עלתה השאלה כיצד למצוא את כל השלשות של המספרים הטבעיים שיכולים להיות צלעות של משולשים ישרים-זויים (ראה המשפט האחרון של פרמה). הם התגלו על ידי הפיתגוראים, אבל כמה שיטות כלליות למציאת שלישיות מספרים כאלה כבר היו ידועות לבבלים. אחת מטבליות כתב היתדות מכילה 15 שלישיות. ביניהם יש שלישיות המורכבות ממספרים כה גדולים עד שלא יכולה להיות שאלה של מציאתן על ידי בחירה.

פוסה היפוקרטית

יונים היפוקרטים הם דמויות התחום בקשתות של שני מעגלים, ויתרה מכך, כאלה שבאמצעות רדיוסים ואורך האקורד המשותף של מעגלים אלה, באמצעות מצפן וסרגל, ניתן לבנות ריבועים בגודל שווה להם.

מההכללה של משפט פיתגורס לחצי מעגלים, יוצא שסכום שטחי הגושים הוורודים המוצגים באיור משמאל שווה לשטח המשולש הכחול. לכן, אם אתה לוקח משולש ישר זווית, תקבל שני חורים, ששטחם של כל אחד מהם יהיה שווה לחצי משטח המשולש. בניסיון לפתור את בעיית ריבוע המעגל (ראה בעיות קלאסיות של העת העתיקה), מצא המתמטיקאי היווני הקדום היפוקרטס (המאה ה-5 לפני הספירה) עוד כמה חורים, ששטחיהם באים לידי ביטוי במונחים של שטחים של דמויות ישניות.

רשימה מלאה של lunulae hippomarginal התקבלה רק במאות ה-19-20. הודות לשימוש בשיטות התיאוריה של גלואה.

משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הנשענים על הרגליים ( או ב), שווה לשטח הריבוע שנבנה על התחתון ( ג).

ניסוח גיאומטרי:

המשפט נוסח במקור כך:

ניסוח אלגברי:

כלומר, מציינים את אורך התחתון של המשולש ב ג, ואורכי הרגליים דרך או ב :

א 2 + ב 2 = ג 2

שני הניסוחים של המשפט שווים, אבל הניסוח השני הוא יותר יסודי; הוא אינו מצריך את מושג השטח. כלומר, ניתן לאמת את המשפט השני מבלי לדעת דבר על השטח ועל ידי מדידת אורכי הצלעות של משולש ישר זווית בלבד.

משפט פיתגורס הפוך:

הוכחה

כרגע, 367 הוכחות למשפט זה נרשמו בספרות המדעית. כנראה, משפט פיתגורס הוא המשפט היחיד עם מספר כה מרשים של הוכחות. גיוון כזה יכול להיות מוסבר רק על ידי המשמעות הבסיסית של המשפט לגיאומטריה.

כמובן, מבחינה רעיונית ניתן לחלק את כולם למספר קטן של כיתות. המפורסמות שבהן: הוכחות בשיטת שטח, הוכחות אקסיומטיות ואקזוטיות (למשל באמצעות משוואות דיפרנציאליות).

דרך משולשים דומים

ההוכחה הבאה לניסוח האלגברי היא הפשוטה מבין ההוכחות, הבנויה ישירות מהאקסיומות. בפרט, הוא אינו משתמש במושג שטח של דמות.

לתת א ב גיש משולש ישר זווית עם זווית ישרה ג. בוא נצייר את הגובה מ גוסמן את הבסיס שלו ב ח. משולש ACHדומה למשולש א ב גבשתי פינות. כמו כן, משולש CBHדוֹמֶה א ב ג. על ידי הצגת הסימון

אנחנו מקבלים

מה שווה ערך

אם נוסיף את זה, אנחנו מבינים

הוכחות בשיטת שטח

ההוכחות להלן, למרות פשטותן לכאורה, אינן כל כך פשוטות כלל וכלל. כולם משתמשים במאפיינים של שטח, שההוכחה לכך מורכבת יותר מההוכחה של משפט פיתגורס עצמו.

הוכחה באמצעות equicomplementation

בואו נסדר ארבעה משולשים ישרים שווים כפי שמוצג באיור 1.
מרובע עם צלעות גהוא ריבוע, שכן הסכום של שניים פינות חדות 90°, והזווית הנפרשת היא 180°.
שטח הדמות כולה שווה, מצד אחד, לשטח של ריבוע עם צלע (a + b), ומצד שני, לסכום השטחים של ארבעה משולשים ושניים פנימיים. ריבועים.

Q.E.D.

הוכחות באמצעות שקילות

הוכחה אלגנטית באמצעות תמורה

דוגמה להוכחה אחת כזו מוצגת בשרטוט מימין, שם ריבוע שנבנה על התחתון מסודר מחדש לשני ריבועים הבנויים על הרגליים.

ההוכחה של אוקלידס

ציור להוכחה של אוקלידס

איור להוכחה של אוקלידס

הרעיון של ההוכחה של אוקלידס הוא כדלקמן: בוא ננסה להוכיח שמחצית משטח הריבוע הבנוי על היריעה שווה לסכום חצאי השטחים של הריבועים הבנויים על הרגליים, ולאחר מכן השטחים של הריבוע הגדול ושני הריבועים הקטנים שווים.

בואו נסתכל על הציור בצד שמאל. עליו בנינו ריבועים על צלעות משולש ישר זווית ושרטטנו קרן s מקודקוד הזווית הישרה C בניצב לתחתית AB, היא חותכת את הריבוע ABIK, הבנוי על התחתון, לשני מלבנים - BHJI ו- HAKJ, בהתאמה. מסתבר ששטחי המלבנים הללו שווים בדיוק לשטחי הריבועים הבנויים על הרגליים המתאימות.

בואו ננסה להוכיח ששטח הריבוע DECA שווה לשטח המלבן AHJK. לשם כך נשתמש בתצפית עזר: שטח משולש בעל אותו גובה ובסיס כמו המלבן הנתון שווה למחצית השטח של המלבן הנתון. זוהי תוצאה של הגדרת שטח המשולש כמחצית מכפלת הבסיס והגובה. מתצפית זו נובע ששטח המשולש ACK שווה לשטח המשולש AHK (לא מוצג באיור), שבתורו שווה למחצית משטח המלבן AHJK.

הבה נוכיח כעת ששטח המשולש ACK שווה גם הוא לחצי משטח ה-DECA הריבוע. הדבר היחיד שצריך לעשות בשביל זה הוא להוכיח את השוויון של המשולשים ACK ו-BDA (מאחר ששטח המשולש BDA שווה לחצי משטח הריבוע לפי התכונה הנ"ל). השוויון הזה ברור, המשולשים שווים משני הצדדים והזווית ביניהם. כלומר - AB=AK,AD=AC - קל להוכיח את השוויון של הזוויות CAK ו-BAD בשיטת התנועה: אנחנו מסובבים את המשולש CAK 90° נגד כיוון השעון, אז ברור שהצלעות המתאימות של שני המשולשים ב השאלה תתאים (בשל העובדה שהזווית בקודקוד הריבוע היא 90°).

הנימוק לשוויון השטחים של הריבוע BCFG והמלבן BHJI דומה לחלוטין.

כך הוכחנו ששטח ריבוע שנבנה על התחתית מורכב משטחי הריבועים הבנויים על הרגליים. הרעיון מאחורי ההוכחה הזו מומחש עוד יותר על ידי האנימציה למעלה.

הוכחה של ליאונרדו דה וינצ'י

המרכיבים העיקריים של ההוכחה הם סימטריה ותנועה.

הבה נשקול את הציור, כפי שניתן לראות מהסימטריה, קטע גאניחותך את הריבוע אבחי לשני חלקים זהים (מאז משולשים אבגו יחאנישווה בבנייה). באמצעות סיבוב של 90 מעלות נגד כיוון השעון, אנו רואים את השוויון של הדמויות המוצללות גאיאני ו גדאב . כעת ברור ששטח הדמות שהצללנו שווה לסכום של מחצית משטחי הריבועים הבנויים על הרגליים ושטח המשולש המקורי. מצד שני, זה שווה לחצי משטח הריבוע שנבנה על התחתון, בתוספת שטח המשולש המקורי. השלב האחרון בהוכחה נותר לקורא.

הוכחה בשיטה האינפיניטסימלית

ההוכחה הבאה באמצעות משוואות דיפרנציאליות מיוחסת לרוב למתמטיקאי האנגלי המפורסם הארדי, שחי במחצית הראשונה של המאה ה-20.

מסתכלים על הציור המוצג באיור ומתבוננים בשינוי הצד א, נוכל לכתוב את היחס הבא עבור מרווחי צד אינסופיים עםו א(באמצעות דמיון משולש):

הוכחה בשיטה האינפיניטסימלית

באמצעות שיטת ההפרדה של משתנים, אנו מוצאים

ביטוי כללי יותר לשינוי בתת התחתון במקרה של מרווחים משני הצדדים

על ידי שילוב משוואה זו ושימוש תנאים התחלתיים, אנחנו מקבלים

ג 2 = א 2 + ב 2 + קבוע.

כך אנו מגיעים לתשובה הרצויה

ג 2 = א 2 + ב 2 .

כפי שקל לראות, התלות הריבועית בנוסחה הסופית מופיעה עקב מידתיות ליניאריתבין צלעות המשולש לבין המרווחים, בעוד שהסכום קשור לתרומות עצמאיות מהעלייה של רגליים שונות.

ניתן להשיג הוכחה פשוטה יותר אם נניח שאחת מהרגליים לא חווה עלייה (ב במקרה הזהרגל ב). ואז עבור קבוע האינטגרציה שאנו מקבלים

וריאציות והכללות

אם במקום ריבועים אנו בונים דמויות דומות אחרות על הצדדים, אז ההכללה הבאה של משפט פיתגורס נכונה: במשולש ישר זווית, סכום השטחים של דמויות דומות הבנויות בצדדים שווה לשטח הדמות הבנויה על תחתית האדמה.באופן מיוחד:
- סכום השטחים של משולשים רגילים הבנויים על הרגליים שווה לשטח של משולש רגיל הבנוי על התחתון.
- סכום שטחי חצי המעגל הבנויים על הרגליים (כמו בקוטר) שווה לשטח חצי המעגל שנבנה על התחתון. דוגמה זו משמשת להוכחת תכונותיהן של דמויות התחום בקשתות של שני מעגלים ונקראות lunulae Hippocratic.

כַּתָבָה

צ'ו-פיי 500-200 לפני הספירה. בצד שמאל הכתובת: סכום הריבועים של אורכי הגובה והבסיס הוא ריבוע אורך התחתון.

הספר הסיני העתיק Chu-pei מדבר על משולש פיתגורי עם הצלעות 3, 4 ו-5: אותו ספר מציע ציור החופף לאחד הרישומים של הגיאומטריה ההינדית של בשארה.

קנטור (ההיסטוריון הגרמני הגדול ביותר למתמטיקה) מאמין שהשוויון 3² + 4² = 5² היה ידוע למצרים כבר בסביבות 2300 לפני הספירה. ה., בתקופת המלך אמנמחט הראשון (על פי פפירוס 6619 של מוזיאון ברלין). לפי קנטור, ה-harpedonaptes, או "מושכי החבלים", בנו זוויות ישרות באמצעות משולשים ישרים עם צלעות של 3, 4 ו-5.

קל מאוד לשחזר את שיטת הבנייה שלהם. ניקח חבל באורך 12 מ' ונקשור אליו פס צבעוני במרחק של 3 מ'. מקצה אחד ו-4 מטרים מהקצה השני. הזווית הישרה תהיה סגורה בין צלעות באורך 3 ו-4 מטרים. אפשר להתנגד להרפדונפטיאנים ששיטת הבנייה שלהם הופכת למיותרת אם משתמשים, למשל, בריבוע עץ, המשמש את כל הנגרים. ואכן, ידועים רישומים מצריים שבהם נמצא כלי כזה, למשל רישומים המתארים בית מלאכה של נגר.

קצת יותר ידוע על משפט פיתגורס בקרב הבבלים. בטקסט אחד המתוארך לתקופת חמורבי, כלומר לשנת 2000 לפני הספירה. ה., ניתן חישוב משוער של תחתית המשולש ישר זווית. מכאן ניתן להסיק שבמסופוטמיה הצליחו לבצע חישובים עם משולשים ישרים, לפחות בחלק מהמקרים. בהתבסס, מצד אחד, על רמת הידע הנוכחית על מתמטיקה מצרית ובבל, ומצד שני, על מחקר ביקורתי של מקורות יווניים, הגיע ואן דר וירדן (מתמטיקאי הולנדי) למסקנה הבאה:

סִפְרוּת

ברוסית

סקופץ ז.א.מיניאטורות גיאומטריות. מ', 1990
אלנסקי שצ.בעקבות פיתגורס. מ', 1961
ואן דר וירדן ב.ל.מדע התעוררות. מתמטיקה של מצרים העתיקה, בבל ויוון. מ', 1959
גלזר ג.י.היסטוריה של המתמטיקה בבית הספר. מ', 1982
וו. ליצמן, "משפט פיתגורס" מ', 1960.
- אתר על משפט פיתגורס עם מספר רב של הוכחות, חומר שנלקח מספרו של ו' ליצמן, מספר גדולהציורים מוצגים בצורה של קבצים גרפיים נפרדים.
משפט פיתגורס והפרק השלשות של פיתגורס מתוך ספרו של D.V. Anosov "מבט על מתמטיקה ומשהו ממנה"
על משפט פיתגורס ושיטות הוכחתו ג' גלזר, אקדמאי של האקדמיה הרוסית לחינוך, מוסקבה

באנגלית

משפט פיתגורס ב-WolframMathWorld
Cut-The-Knot, קטע על משפט פיתגורס, כ-70 הוכחות ומידע נוסף נרחב (אנגלית)

קרן ויקימדיה. 2010.

(לפי פפירוס 6619 של מוזיאון ברלין). לפי קנטור, הרפדונפטס, או "מושכי חבלים", בנו זוויות ישרות באמצעות משולשים ישרים עם צלעות של 3, 4 ו-5.

קל מאוד לשחזר את שיטת הבנייה שלהם. ניקח חבל באורך 12 מ' ונקשור אליו רצועה צבעונית במרחק של 3 מ' מקצה אחד ו-4 מטר מהקצה השני. הזווית הישרה תהיה בין הצדדים באורך 3 ו-4 מטרים. אפשר להתנגד להרפדונפטיאנים ששיטת הבנייה שלהם הופכת למיותרת אם משתמשים, למשל, בריבוע עץ, המשמש את כל הנגרים. ואכן, ידועים רישומים מצריים שבהם נמצא כלי כזה, למשל רישומים המתארים נגריה.

קצת יותר ידוע על משפט פיתגורס בקרב הבבלים. בטקסט אחד המתוארך לתקופת חמורבי, כלומר לשנת 2000 לפני הספירה. ה. , ניתן חישוב משוער של תחתית המשולש ישר זווית. מכאן ניתן להסיק שבמסופוטמיה הצליחו לבצע חישובים עם משולשים ישרים, לפחות בחלק מהמקרים. בהתבסס, מצד אחד, על רמת הידע הנוכחית על מתמטיקה מצרית ובבל, ומצד שני, על מחקר ביקורתי של מקורות יווניים, הגיע ואן דר וירדן (מתמטיקאי הולנדי) למסקנה שקיימת סבירות גבוהה שה- משפט על ריבוע התחתון היה ידוע בהודו כבר בסביבות המאה ה-18 לפני הספירה. ה.

בסביבות 400 לפני הספירה. לפני הספירה, לפי פרוקלוס, אפלטון נתן שיטה למציאת שלישיות פיתגורס, בשילוב אלגברה וגיאומטריה. בסביבות 300 לפני הספירה. ה. ההוכחה האקסיומטית העתיקה ביותר למשפט פיתגורס הופיעה ב-Euclid's Elements.

ניסוחים

ניסוח גיאומטרי:

המשפט נוסח במקור כך:

ניסוח אלגברי:

כלומר, מציינים את אורך התחתון של המשולש ב-, ואת אורכי הרגליים ב- ו:

משפט פיתגורס הפוך:

הוכחה

דרך משולשים דומים

אנחנו מקבלים

מה שווה ערך

אם נוסיף את זה, אנחנו מבינים

, וזה מה שהיה צריך להוכיח

הוכחות בשיטת שטח

הוכחה באמצעות equicomplementation

בואו נסדר ארבעה משולשים ישרים שווים כפי שמוצג באיור 1.
מרובע עם צלעות גהוא ריבוע, שכן הסכום של שתי זוויות חדות הוא 90°, והזווית הישר היא 180°.
שטח הדמות כולה שווה, מצד אחד, לשטח של ריבוע עם צלע (a + b), ומצד שני, לסכום השטחים של ארבעת המשולשים וה- שטח הריבוע הפנימי.

Q.E.D.

ההוכחה של אוקלידס

הבה נוכיח כעת ששטח המשולש ACK שווה גם הוא לחצי משטח ה-DECA הריבוע. הדבר היחיד שצריך לעשות בשביל זה הוא להוכיח את השוויון של המשולשים ACK ו-BDA (מאחר ששטח המשולש BDA שווה לחצי משטח הריבוע לפי התכונה הנ"ל). השוויון הזה ברור: המשולשים שווים משני הצדדים והזווית ביניהם. כלומר - AB=AK, AD=AC - קל להוכיח את השוויון של הזוויות CAK ו-BAD בשיטת התנועה: אנחנו מסובבים את המשולש CAK 90° נגד כיוון השעון, אז ברור שהצלעות המתאימות של שני המשולשים ב השאלה תתאים (בשל העובדה שהזווית בקודקוד הריבוע היא 90°).

הנימוק לשוויון השטחים של הריבוע BCFG והמלבן BHJI דומה לחלוטין.

הוכחה של ליאונרדו דה וינצ'י

המרכיבים העיקריים של ההוכחה הם סימטריה ותנועה.

הבה נבחן את הציור, כפי שניתן לראות מהסימטריה, הקטע חותך את הריבוע לשני חלקים זהים (מכיוון שהמשולשים שווים בבנייה).

באמצעות סיבוב של 90 מעלות נגד כיוון השעון סביב הנקודה, אנו רואים את השוויון של הדמויות המוצללות ו.

כעת ברור ששטח הדמות שהצללנו שווה לסכום של מחצית משטחי הריבועים הקטנים (הבנויים על הרגליים) ושטח המשולש המקורי. מצד שני, זה שווה לחצי משטח הריבוע הגדול (הנבנה על התחתון) בתוספת שטח המשולש המקורי. לפיכך, מחצית מסכום שטחי הריבועים הקטנים שווה למחצית משטח הריבוע הגדול, ולכן סכום שטחי הריבועים הבנויים על הרגליים שווה לשטח הריבוע הבנוי על הרגליים. אֲלַכסוֹן.

הוכחה בשיטה האינפיניטסימלית

באמצעות שיטת ההפרדה של משתנים, אנו מוצאים

ביטוי כללי יותר לשינוי בתת התחתון במקרה של מרווחים משני הצדדים

שילוב משוואה זו ושימוש בתנאים ההתחלתיים, אנו מקבלים

כך אנו מגיעים לתשובה הרצויה

כפי שקל לראות, התלות הריבועית בנוסחה הסופית מופיעה עקב המידתיות הליניארית בין צלעות המשולש לבין המרווחים, בעוד הסכום קשור לתרומות עצמאיות מהתוספת של רגליים שונות.

ניתן לקבל הוכחה פשוטה יותר אם נניח שאחת מהרגליים לא חווה עלייה (במקרה זה רגל). ואז עבור קבוע האינטגרציה שאנו מקבלים

וריאציות והכללות

צורות גיאומטריות דומות בשלושה צדדים

הכללה למשולשים דומים, שטח של צורות ירוקות A + B = שטח של כחול C

משפט פיתגורס באמצעות משולשים ישרים דומים

אוקלידס הכליל את משפט פיתגורס בעבודתו התחלות, הרחבת שטחי הריבועים בצדדים לשטחים של דמויות גיאומטריות דומות:

אם נבנה דמויות גיאומטריות דומות (ראה גיאומטריה אוקלידית) על צלעותיו של משולש ישר זווית, אז הסכום של שתי הדמויות הקטנות יותר יהיה שווה לשטח הדמות הגדולה יותר.

הרעיון המרכזי של הכללה זו הוא שהשטח של דמות גיאומטרית כזו הוא פרופורציונלי לריבוע של כל אחד מהממדים הליניאריים שלו, ובפרט, לריבוע של אורך כל צד. לכן, עבור דמויות דומות עם שטחים א, בו גבנוי על דפנות עם אורך א, בו ג, יש לנו:

אבל לפי משפט פיתגורס, א 2 + ב 2 = ג 2 אז א + ב = ג.

לעומת זאת, אם נוכל להוכיח זאת א + ב = געבור שלוש דמויות גיאומטריות דומות מבלי להשתמש במשפט פיתגורס, אז נוכל להוכיח את המשפט עצמו, לנוע בכיוון ההפוך. לדוגמה, ניתן לעשות שימוש חוזר במשולש מרכז ההתחלה כמשולש געל התחתון, ושני משולשים ישרים דומים ( או ב), שנבנו על שני הצדדים האחרים, שנוצרים על ידי חלוקת המשולש המרכזי בגובהו. אז הסכום של שני המשולשים הקטנים יותר שווה אז לשטח השלישי, אם כן א + ב = גובביצוע ההוכחה הקודמת בסדר הפוך, נקבל את משפט פיתגורס a 2 + b 2 = c 2 .

משפט קוסינוס

משפט פיתגורס הוא מקרה מיוחדיותר משפט כלליקוסינוס, המקשר את אורכי הצלעות במשולש שרירותי:

כאשר θ היא הזווית בין הצדדים או ב.

אם θ הוא 90 מעלות אז cos θ = 0 והנוסחה מפשטת למשפט פיתגורס הרגיל.

משולש חופשי

לכל פינה נבחרת של משולש שרירותי עם צלעות א ב גלרשום משולש שווה שוקיים באופן כזה זוויות שוותבבסיסו θ היה שווה לזווית שנבחרה. הבה נניח שהזווית שנבחרה θ ממוקמת מול הצלע המיועדת ג. כתוצאה מכך, קיבלנו משולש ABD עם זווית θ, שנמצא מול הצלע אומסיבות ר. המשולש השני נוצר מהזווית θ, שנמצאת מול הצלע בומסיבות עםאורך ס, כפי שמוצג בתמונה. תאב אבן קורה טען שהצלעות בשלושת המשולשים הללו קשורות באופן הבא:

ככל שהזווית θ מתקרבת ל-π/2, בסיס המשולש שווה שוקיים הולך וקטן ושתי הצלעות r ו-s חופפות זו את זו פחות ופחות. כאשר θ = π/2, ADB הופך למשולש ישר זווית, ר + ס = גונקבל את משפט פיתגורס הראשוני.

בואו נבחן את אחד הטיעונים. למשולש ABC יש את אותן זוויות כמו למשולש ABD, אבל בסדר הפוך. (לשני המשולשים יש זווית משותפת בקודקוד B, לשניהם זווית θ וגם יש להם את אותה זווית שלישית, על סמך סכום הזוויות של המשולש) בהתאם, ABC דומה להחזר ABD של המשולש DBA, שכן מוצג באיור התחתון. הבה נכתוב את הקשר בין הצלעות הנגדיות לאלו הסמוכות לזווית θ,

גם השתקפות של משולש אחר,

נכפיל את השברים ונוסיף את שני היחסים הבאים:

Q.E.D.

הכללה למשולשים שרירותיים באמצעות מקביליות

הכללה למשולשים שרירותיים,
אזור ירוק חלקה = שטחכְּחוֹל

הוכחה לתזה שבאיור למעלה

בואו נעשה הכללה נוספת למשולשים לא ישרים על ידי שימוש במקביליות בשלוש צלעות במקום בריבועים. (ריבועים הם מקרה מיוחד.) האיור העליון מראה שבמשולש חד, שטח המקבילית בצד הארוך שווה לסכום המקביליות בשתי הצלעות האחרות, בתנאי שהמקבילית בצד הארוכה. הצד בנוי כפי שמוצג באיור (המידות המצוינות על ידי החצים זהות וקובעות את הצדדים של המקבילה התחתונה). להחלפה זו של ריבועים במקביליות יש דמיון ברור למשפט הראשוני של פיתגורס, שחשב שנוסח על ידי פאפוס מאלכסנדריה בשנת 4 לספירה. ה.

האיור התחתון מציג את התקדמות ההוכחה. בואו נסתכל על הצד השמאלי של המשולש. המקבילית הירוקה השמאלית היא בעלת אותו שטח כמו הצד השמאלי של המקבילית הכחולה מכיוון שיש להן אותו בסיס בוגובה ח. בנוסף, למקבילית הירוקה השמאלית יש את אותו שטח כמו המקבילית הירוקה השמאלית בתמונה העליונה מכיוון שהם חולקים בסיס משותף (הצד השמאלי העליון של המשולש) וגובה משותף המאונך לצד זה של המשולש. בעזרת נימוק דומה לצד הימני של המשולש, נוכיח שלמקבילית התחתונה יש את אותו שטח כמו שתי המקביליות הירוקות.

מספרים מסובכים

משפט פיתגורס משמש למציאת המרחק בין שתי נקודות במערכת קואורדינטות קרטזית, ומשפט זה תקף לכל הקואורדינטות האמיתיות: מרחק סבין שתי נקודות ( א, ב) ו ( ג, ד) שווים

אין בעיות עם הנוסחה אם מתייחסים למספרים מרוכבים כאל וקטורים עם רכיבים אמיתיים איקס + אני י = (איקס, y). . למשל מרחק סבין 0 + 1 אניו-1+0 אנימחושב כמודולוס של הווקטור (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), אוֹ

עם זאת, עבור פעולות עם וקטורים עם קואורדינטות מורכבות, יש צורך לבצע כמה שיפורים בנוסחה הפיתגורית. מרחק בין נקודות עם מספרים מרוכבים ( א, ב) ו ( ג, ד); א, ב, ג, ו דהכל מורכב, אנו מנסחים באמצעות ערכים מוחלטים. מֶרְחָק סמבוסס על הבדל וקטור (א − ג, ב − ד) בצורה הבאה: תן את ההבדל א − ג = ע+i ש, איפה ע- חלק אמיתי מההבדל, שהוא החלק הדמיוני, ו-i = √(−1). כמו כן, תן ב − ד = ר+i ס. לאחר מכן:

איפה המספר המצומד המורכב עבור . לדוגמה, המרחק בין נקודות (א, ב) = (0, 1) ו (ג, ד) = (אני, 0) , בוא נחשב את ההפרש (א − ג, ב − ד) = (−אני, 1) והתוצאה תהיה 0 אם לא נעשה שימוש בצמודים מורכבים. לכן, באמצעות הנוסחה המשופרת, אנו מקבלים

המודול מוגדר כדלקמן:

סטריאומטריה

הכללה משמעותית של משפט פיתגורס עבור מרחב תלת מימדי היא משפט דה גוי, הקרוי על שם J.-P. de Gois: אם לטטרהדרון יש זווית (כמו בקוביה), הריבוע של שטח הפנים מול הזווית הישרה שווה לסכום הריבועים של שטחי שלושת הפרצופים האחרים. ניתן לסכם מסקנה זו כ" נ-משפט פיתגורס ממדי":

משפט פיתגורס במרחב התלת מימדי מקשר את האלכסון AD לשלושה צדדים.

הכללה נוספת: ניתן ליישם את משפט פיתגורס על סטריאומטריה בצורה הבאה. שקול מקבילי מלבני כפי שמוצג באיור. בואו נמצא את אורך האלכסון BD באמצעות משפט פיתגורס:

כאשר שלוש הצלעות יוצרות משולש ישר זווית. אנו משתמשים באלכסון האופקי BD ובקצה האנכי AB כדי למצוא את אורך האלכסון AD, לשם כך נשתמש שוב במשפט פיתגורס:

או, אם נכתוב הכל במשוואה אחת:

תוצאה זו היא ביטוי תלת מימדי לקביעת גודל הווקטור v(אלכסון AD), מבוטא במונחים של מרכיביו הניצבים ( vיא) (שלוש צלעות מאונכות זו לזו):

ניתן להתייחס למשוואה זו כהכללה של משפט פיתגורס למרחב רב-ממדי. עם זאת, התוצאה היא למעשה לא יותר מאשר יישום חוזר ונשנה של משפט פיתגורס על רצף של משולשים ישרים זויים במישורים מאונכים ברציפות.

חלל וקטור

במקרה של מערכת אורתוגונלית של וקטורים, יש שוויון, הנקרא גם משפט פיתגורס:

אם - אלו היטל של הווקטור על צירי הקואורדינטות, אזי נוסחה זו חופפת למרחק האוקלידי - ומשמעותה שאורך הווקטור שווה לשורש הריבועי של סכום ריבועי מרכיביו.

האנלוגי של השוויון הזה במקרה של מערכת אינסופית של וקטורים נקרא השוויון של Parseval.

גיאומטריה לא אוקלידית

משפט פיתגורס נגזר מהאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית ולמעשה אינו תקף לגיאומטריה שאינה אוקלידית, בצורה שבה הוא כתוב למעלה. (כלומר, משפט פיתגורס מתגלה כסוג של מקבילה להנחת ההקבלה של אוקלידס) במילים אחרות, בגיאומטריה לא אוקלידית הקשר בין צלעות המשולש יהיה בהכרח בצורה שונה ממשפט פיתגורס. לדוגמה, בגיאומטריה כדורית, כל שלוש הצלעות של משולש ישר זווית (נניח א, בו ג), המגבילים את האוקטנט (החלק השמיני) של כדור היחידה, באורך של π/2, מה שסותר את משפט פיתגורס, מכיוון א 2 + ב 2 ≠ ג 2 .

הבה נבחן כאן שני מקרים של גיאומטריה לא אוקלידית - גיאומטריה כדורית והיפרבולית; בשני המקרים, באשר למרחב האוקלידי למשולשים ישרים, התוצאה, המחליפה את משפט פיתגורס, נובעת ממשפט הקוסינוס.

עם זאת, משפט פיתגורס נשאר תקף עבור גיאומטריה היפרבולית ואליפטית אם הדרישה שהמשולש יהיה מלבני מוחלפת בתנאי שסכום שתי זוויות המשולש חייב להיות שווה לשלישית, למשל. א+ב = ג. ואז היחס בין הצדדים נראה כך: סכום שטחי העיגולים בקטרים או בשווה לשטח של מעגל בקוטר ג.

גיאומטריה כדורית

לכל משולש ישר זווית על כדור עם רדיוס ר(לדוגמה, אם הזווית γ במשולש ישרה) עם צלעות א, ב, גהיחסים בין הצדדים ייראו כך:

ניתן לגזור את השוויון הזה כ מקרה מיוחדמשפט קוסינוס כדורי, אשר תקף עבור כל המשולשים הכדוריים:

כאשר cosh הוא הקוסינוס ההיפרבולי. נוסחה זו היא מקרה מיוחד של משפט הקוסינוס ההיפרבולי, אשר תקף עבור כל המשולשים:

כאשר γ היא הזווית שקודקודה מנוגד לצלע ג.

איפה ז ijנקרא טנזור מטרי. זה יכול להיות פונקציה של מיקום. חללים מעוקלים כאלה כוללים גיאומטריה רימניאנית כדוגמה כללית. ניסוח זה מתאים גם למרחב אוקלידי בעת שימוש בקואורדינטות עקומות. לדוגמה, עבור קואורדינטות קוטביות:

יצירות אמנות וקטוריות

משפט פיתגורס מחבר בין שני ביטויים לגודל מכפלה וקטורית. גישה אחת להגדרת מוצר צולב דורשת שהוא יעמוד במשוואה:

נוסחה זו משתמשת במוצר הנקודה. צד ימיןהמשוואה נקראת הקובע גראם עבור או ב, השווה לשטח המקבילית שנוצרה על ידי שני הוקטורים הללו. בהתבסס על דרישה זו, כמו גם הדרישה שהמוצר הווקטור יהיה מאונך למרכיביו או במכאן נובע שלמעט מקרים טריוויאליים ממרחב 0 ו-1 ממדי, תוצר הצלב מוגדר רק בשלושה ושבעה ממדים. אנו משתמשים בהגדרה של הזווית ב נ-מרחב ממדי:

תכונה זו של מוצר צולב נותנת את גודלו באופן הבא:

דרך יסוד זהות טריגונומטריתפיתגורס אנו מקבלים צורה אחרת של כתיבת ערכו:

גישה חלופית להגדרת מוצר צולב היא להשתמש בביטוי לגודלו. ואז, בהיגיון בסדר הפוך, אנו מקבלים קשר עם התוצר הסקלרי:

ראה גם

הערות

נושא ההיסטוריה: משפט פיתגורס במתמטיקה הבבלית
( , עמ' 351) עמ' 351
(, כרך א', עמ' 144)
דיון בעובדות היסטוריות ניתן ב (, עמ' 351) עמ' 351
קורט פון פריץ (אפריל, 1945). "הגילוי של חוסר ההשוואה על ידי היפסוס ממטאפונטום". דברי הימים למתמטיקה, סדרה שנייה(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
לואיס קרול, "הסיפור עם הקשרים", M., Mir, 1985, p. 7
אסגר אבואהפרקים מההיסטוריה המוקדמת של המתמטיקה. - האגודה המתמטית של אמריקה, 1997. - עמ' 51. - ISBN 0883856131
הצעת פייתוןמאת אלישע סקוט לומיס
של אוקלידס אלמנטים: ספר ו', הצעה VI 31: "במשולשים ישרי זווית הדמות בצד המושך את הזווית הישרה שווה לדמויות הדומות ומתוארות באופן דומה בצדדים המכילים את הזווית הישרה."
לורנס ס. לף עבודה מצוטטת. - סדרת החינוך של בארון. - עמ' 326. - ISBN 0764128922
הווארד וויטלי איבס§4.8:...הכללה של משפט פיתגורס // רגעים גדולים במתמטיקה (לפני 1650). - האגודה המתמטית של אמריקה, 1983. - עמ' 41. - ISBN 0883853108
טבית בן קורה (שם מלא ת'ביט בן קורה בן מרואן אל-חאראני) (826-901 לספירה) היה רופא שחי בבגדד שכתב רבות על היסודות של אוקלידס ונושאים מתמטיים אחרים.
Aydin Sayili (מרס 1960). "הכללת משפט פיתגורס של ת'אבית בן קורה." המדינה האסלאמית 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
ג'ודית ד' סאלי, פול סאליתרגיל 2.10 (ii) // עבודה מצוטטת. - עמ' 62. - ISBN 0821844032
לפרטים על בנייה כזו, ראה ג'ורג' ג'נינגסאיור 1.32: משפט פיתגורס המוכלל // גיאומטריה מודרנית עם יישומים: עם 150 דמויות. - 3. - Springer, 1997. - עמ' 23. - ISBN 038794222X
ארלן בראון, קארל מ. פירסיפריט ג: נורמה עבור שרירותי נ-tuple ... // מבוא לניתוח . - Springer, 1995. - עמ' 124. - ISBN 0387943692ראה גם עמודים 47-50.
אלפרד גריי, אלזה אבנה, סיימון סלמוןגיאומטריה דיפרנציאלית מודרנית של עקומות ומשטחים עם Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - עמ' 194. - ISBN 1584884487
ראג'נדרה בהטיהניתוח מטריקס. - Springer, 1997. - עמ' 21. - ISBN 0387948465
סטיבן וו. הוקינג עבודה מצוטטת. - 2005. - עמ' 4. - ISBN 0762419229
אריק וו. וייסשטיין CRC אנציקלופדיה תמציתית למתמטיקה. - 2. - 2003. - עמ' 2147. - ISBN 1584883472
אלכסנדר ר פרוס

גיאומטריה היא לא מדע פשוט. זה יכול להיות שימושי הן עבור תוכנית הלימודים בבית הספר והן עבור החיים האמיתיים. ידע בנוסחאות ומשפטים רבים יפשט חישובים גיאומטריים. אחד ה דמויות פשוטותבגיאומטריה זה משולש. לאחד מזני המשולשים, שווי צלעות, יש מאפיינים משלו.

תכונות של משולש שווה צלעות

בהגדרה, משולש הוא פולידרון שיש לו שלוש זוויות ושלוש צלעות. זוהי דמות דו-ממדית שטוחה, תכונותיה נלמדות בתיכון. בהתבסס על סוג הזווית, ישנם משולשים חדים, קהים וישרים. משולש ישר זווית הוא דמות גיאומטרית שבה אחת מהזוויות היא 90º. למשולש כזה יש שתי רגליים (הן יוצרות זווית ישרה) ותחתית אחת (הוא ממול לזווית הישרה). תלוי באילו כמויות ידועות, יש שלוש דרכים פשוטותחשב את גובה המשולש ישר זווית.

הדרך הראשונה היא למצוא את תחתית המשולש ישר זווית. משפט פיתגורס

משפט פיתגורס הוא הדרך העתיקה ביותר לחישוב כל אחת מהצלעות של משולש ישר זווית. זה נשמע כך: "במשולש ישר זווית, ריבוע התחתון שווה לסכום ריבועי הרגליים." לפיכך, כדי לחשב את היפוטנוזה, יש לגזור שורש ריבועימסכום שתי רגליים בריבוע. לשם הבהירות, ניתנות נוסחאות ותרשים.

דרך שניה. חישוב התחתון באמצעות 2 כמויות ידועות: רגל וזווית סמוכה

אחת המאפיינים של משולש ישר זווית קובעת שהיחס בין אורך הרגל לאורך התחתון שווה ערך לקוסינוס הזווית בין רגל זו לתחתית. בואו נקרא לזווית המוכרת לנו α. כעת, הודות להגדרה הידועה, ניתן בקלות לנסח נוסחה לחישוב התחתון: Hypotenuse = leg/cos(α)

דרך שלישית. חישוב התחתון באמצעות 2 כמויות ידועות: רגל וזווית הפוכה

אם הזווית ההפוכה ידועה, אפשר להשתמש שוב במאפיינים של משולש ישר זווית. היחס בין אורך הרגל והתחתון שווה לסינוס של הזווית הנגדית. הבה נקרא שוב לזווית הידועה α. כעת לחישובים נשתמש בנוסחה מעט שונה:
hypotenuse = רגל/חטא (α)

דוגמאות שיעזרו לך להבין נוסחאות

להבנה מעמיקה יותר של כל אחת מהנוסחאות, כדאי לשקול דוגמאות להמחשה. אז, נניח שניתן לך משולש ישר זווית, שבו יש את הנתונים הבאים:

רגל - 8 ס"מ.
הזווית הסמוכה cosα1 היא 0.8.
הזווית ההפוכה sinα2 היא 0.8.

לפי משפט פיתגורס: Hypotenuse = שורש ריבועי של (36+64) = 10 ס"מ.
לפי גודל הרגל והזווית הסמוכה: 8/0.8 = 10 ס"מ.
לפי גודל הרגל והזווית ההפוכה: 8/0.8 = 10 ס"מ.

לאחר שתבינו את הנוסחה, תוכלו לחשב בקלות את השערה עם כל נתונים.

וידאו: משפט פיתגורס

הפוטנציאל ליצירתיות מיוחס בדרך כלל למדעי הרוח, ומשאיר את מדעי הטבע לניתוח, גישה מעשית והשפה היבשה של נוסחאות ומספרים. לא ניתן לסווג מתמטיקה כמקצוע מדעי הרוח. אבל בלי יצירתיות לא תגיע רחוק ב"מלכת כל המדעים" - אנשים יודעים את זה כבר הרבה זמן. מאז תקופת פיתגורס, למשל.

ספרי לימוד בבית הספר, למרבה הצער, בדרך כלל לא מסבירים שבמתמטיקה חשוב לא רק לדחוס משפטים, אקסיומות ונוסחאות. חשוב להבין ולהרגיש את עקרונות היסוד שלה. ובמקביל נסו לשחרר את דעתכם מקלישאות ו אמיתות אלמנטריות- רק בתנאים כאלה נולדות כל התגליות הגדולות.

תגליות כאלה כוללות את מה שאנו מכירים כיום כמשפט פיתגורס. בעזרתו, ננסה להראות שמתמטיקה לא רק יכולה, אלא צריכה להיות מרגשת. ושההרפתקה הזו מתאימה לא רק לחנון עם משקפיים עבות, אלא לכל מי שחזק בנפשו וחזק ברוחו.

מההיסטוריה של הנושא

למען האמת, למרות שהמשפט מכונה "משפט פיתגורס", פיתגורס עצמו לא גילה אותו. המשולש הימני ותכונותיו המיוחדות נחקרו הרבה לפניו. ישנן שתי נקודות מבט קוטביות בנושא זה. לפי גרסה אחת, פיתגורס היה הראשון שמצא הוכחה מלאה למשפט. לפי אחר, ההוכחה אינה שייכת למחברו של פיתגורס.

היום כבר אי אפשר לבדוק מי צודק ומי לא. מה שידוע הוא שההוכחה של פיתגורס, אם הייתה קיימת אי פעם, לא שרדה. עם זאת, ישנן הצעות לכך שההוכחה המפורסמת מהיסודות של אוקלידס עשויה להיות שייכת לפיתגורס, ואוקלידס רק הקליט אותה.

כמו כן, ידוע היום שבעיות לגבי משולש ישר זווית נמצאות במקורות מצריים מתקופת פרעה אמנמחת הראשון, על לוחות חימר בבליים מתקופת המלך חמורבי, בחיבור ההודי הקדום "סולבה סוטרה" וביצירה הסינית העתיקה " ג'ו-בי סואן ג'ין".

כפי שאתה יכול לראות, משפט פיתגורס מעסיק את מוחותיהם של מתמטיקאים מאז ימי קדם. זה מאושש על ידי כ-367 עדויות שונות הקיימות כיום. בזה, שום משפט אחר לא יכול להתחרות בו. בין מחברי ההוכחות המפורסמים נוכל להיזכר בליאונרדו דה וינצ'י ובנשיא ארצות הברית העשרים ג'יימס גארפילד. כל זה מדבר על החשיבות המופלגת של המשפט הזה למתמטיקה: רוב משפטי הגיאומטריה נגזרים ממנו או קשורים אליו איכשהו.

הוכחות למשפט פיתגורס

ספרי לימוד נותנים לרוב הוכחות אלגבריות. אבל המהות של המשפט היא בגיאומטריה, אז בואו נבחן תחילה את ההוכחות למשפט המפורסם המבוססות על המדע הזה.

עדות 1

להוכחה הפשוטה ביותר של משפט פיתגורס למשולש ישר זווית, עליך לקבוע תנאים אידיאליים: תנו למשולש להיות לא רק ישר זווית, אלא גם שווה שוקיים. יש סיבה להאמין שדווקא מסוג זה של משולש שקלו בתחילה מתמטיקאים עתיקים.

הַצהָרָה "ריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום הריבועים הבנויים על רגליו"ניתן להמחיש באמצעות הציור הבא:

הסתכלו על המשולש הישר שווה שוקיים ABC: על תחתית AC, ניתן לבנות ריבוע המורכב מארבעה משולשים השווים ל-ABC המקורי. ובצלעות AB ו-BC בנוי ריבוע שכל אחד מהם מכיל שני משולשים דומים.

אגב, ציור זה היווה בסיס לבדיחות וקריקטורות רבות שהוקדשו למשפט פיתגורס. המפורסם ביותר הוא כנראה "מכנסיים פיתגורים שווים לכל הכיוונים":

עדות 2

שיטה זו משלבת אלגברה וגיאומטריה ויכולה להיחשב כגרסה של ההוכחה ההודית העתיקה של המתמטיקאי בהסקארי.

בנה משולש ישר זווית עם צלעות א, ב ו-ג(איור 1). לאחר מכן בנה שני ריבועים עם צלעות שוות לסכום אורכי שתי הרגליים - (א+ב). בכל אחד מהריבועים, צור קונסטרוקציות כמו באיורים 2 ו-3.

בריבוע הראשון, בנה ארבעה משולשים דומים לאלה באיור 1. התוצאה היא שני ריבועים: האחד עם צד a, השני עם צלעות ב.

בריבוע השני, ארבעה משולשים דומים הבנויים יוצרים ריבוע עם צלע השווה לתחתית ג.

סכום שטחי הריבועים הבנויים באיור 2 שווה לשטח הריבוע שבנינו עם הצלע c באיור 3. ניתן לבדוק זאת בקלות על ידי חישוב שטח הריבועים באיור. 2 לפי הנוסחה. ושטח הריבוע הכתוב באיור 3. על ידי הפחתת השטחים של ארבעה משולשים ישרים שווים הרשומים בריבוע משטחו של ריבוע גדול עם צלע (א+ב).

כותבים את כל זה, יש לנו: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. פתח את הסוגריים, בצע את כל החישובים האלגבריים הדרושים וקבל את זה a 2 +b 2 = a 2 +b 2. במקרה זה, השטח הרשום באיור 3. ניתן לחשב ריבוע גם באמצעות הנוסחה המסורתית S=c 2. הָהֵן. a 2 +b 2 =c 2- הוכחת את משפט פיתגורס.

עדות 3

ההוכחה ההודית העתיקה עצמה תוארה במאה ה-12 במסכת "כתר הידע" ("Siddhanta Shiromani") וכטענה העיקרית משתמש המחבר בפנייה המופנית לכשרונות המתמטיים וכישורי ההתבוננות של תלמידים וחסידים: " תראה!"

אבל ננתח את ההוכחה הזו ביתר פירוט:

בתוך הריבוע, בנה ארבעה משולשים ישרים כמצוין בשרטוט. הבה נסמן את הצלע של הריבוע הגדול, הידוע גם בשם היפוטנוזה, עם. בואו נקרא לרגלי המשולש או ב. לפי השרטוט, הצד של הריבוע הפנימי הוא (א-ב).

השתמש בנוסחה עבור שטח של ריבוע S=c 2כדי לחשב את שטח הריבוע החיצוני. ובאותו זמן חשב את אותו הערך על ידי הוספת שטח הריבוע הפנימי והשטחים של כל ארבעת המשולשים הישרים: (א-ב) 2 2+4*1\2*א*ב.

אתה יכול להשתמש בשתי האפשרויות לחישוב שטח של ריבוע כדי לוודא שהן נותנות את אותה תוצאה. וזה נותן לך את הזכות לכתוב את זה c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. כתוצאה מהפתרון תקבלו את הנוסחה של משפט פיתגורס c 2 =a 2 +b 2. המשפט הוכח.

הוכחה 4

הוכחה סינית עתיקה מוזרה זו נקראה "כיסא הכלה" - בגלל הדמות דמוית הכיסא הנובעת מכל הקונסטרוקציות:

הוא משתמש בציור שכבר ראינו באיור 3 בהוכחה השנייה. והריבוע הפנימי עם הצלע c בנוי באותו אופן כמו בהוכחה ההודית העתיקה שניתנה לעיל.

אם תנתק מנטלית שני משולשים מלבניים ירוקים מהציור באיור 1, תעביר אותם לצדדים הנגדיים של הריבוע עם הצלע c ותחבר את התחתונים לתחתיות של משולשי הלילך, תקבל דמות שנקראת "כיסא כלה". (איור 2). למען הבהירות, אתה יכול לעשות את אותו הדבר עם ריבועי נייר ומשולשים. אתה תוודא ש"כיסא הכלה" נוצר על ידי שני ריבועים: קטנים עם צד בוגדול עם צד א.

המבנים הללו אפשרו למתמטיקאים הסינים הקדמונים ולנו, בעקבותיהם, להגיע למסקנה ש c 2 =a 2 +b 2.

עדות 5

זוהי דרך נוספת למצוא פתרון למשפט פיתגורס באמצעות גיאומטריה. זה נקרא שיטת גארפילד.

בנה משולש ישר זווית א ב ג. אנחנו צריכים להוכיח את זה BC 2 = AC 2 + AB 2.

כדי לעשות זאת, המשך את הרגל ACולבנות קטע CD, איזה שווה לרגל א.ב. מורידים את הניצב מוֹדָעָהקטע קו ED. פלחים EDו ACשווים. חבר את הנקודות הו IN, ו הו עםוקבלו ציור כמו בתמונה למטה:

כדי להוכיח את המגדל, אנו שוב פונים לשיטה שכבר ניסינו: אנו מוצאים את שטח הדמות המתקבלת בשתי דרכים ומשווים את הביטויים זה לזה.

מצא את השטח של מצולע מיטהניתן לעשות על ידי חיבור השטחים של שלושת המשולשים היוצרים אותו. ואחד מהם, ERU, הוא לא רק מלבני, אלא גם שווה שוקיים. בואו גם לא נשכח את זה AB=CD, AC=EDו BC=SE- זה יאפשר לנו לפשט את ההקלטה ולא להעמיס עליה. כך, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

יחד עם זאת, זה ברור מיטה- זה טרפז. לכן, אנו מחשבים את שטחו באמצעות הנוסחה: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. לחישובים שלנו, נוח וברור יותר לייצג את הקטע מוֹדָעָהכסכום המקטעים ACו CD.

נרשום את שתי הדרכים לחישוב השטח של דמות, ונשים ביניהן סימן שוויון: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). אנו משתמשים בשוויון של קטעים שכבר ידועים לנו ומתוארים לעיל כדי לפשט צד ימיןערכים: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. עכשיו בואו נפתח את הסוגריים ונשנה את השוויון: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. לאחר השלמת כל השינויים, אנחנו מקבלים בדיוק את מה שאנחנו צריכים: BC 2 = AC 2 + AB 2. הוכחנו את המשפט.

כמובן שרשימת הראיות הזו רחוקה מלהיות מלאה. ניתן להוכיח את משפט פיתגורס גם באמצעות וקטורים, מספרים מרוכבים, משוואות דיפרנציאליות, סטריאומטריה וכו'. ואפילו פיזיקאים: אם, למשל, נוזל נשפך לנפחים מרובעים ומשולשים דומים לאלה המוצגים בציורים. על ידי יציקת נוזל, ניתן להוכיח את שוויון השטחים ואת המשפט עצמו כתוצאה מכך.

כמה מילים על שלישיות פיתגורס

נושא זה נלמד מעט או לא נלמד כלל בתכנית הלימודים בבית הספר. בינתיים, הוא מאוד מעניין ויש לו חשיבות רבהבגיאומטריה. שלשות פיתגורס משמשות לפתרון בעיות מתמטיות רבות. הבנתם עשויה להיות שימושית עבורכם בהשכלה נוספת.

אז מהן שלישיות פיתגורס? זהו השם למספרים טבעיים שנאספו בקבוצות של שלושה, שסכום הריבועים של שניים מהם שווה למספר השלישי בריבוע.

שלשות פיתגורס יכולות להיות:

פרימיטיבי (כל שלושת המספרים הם ראשוניים יחסית);
לא פרימיטיבי (אם כל מספר של משולש מוכפל באותו מספר, מקבלים משולש חדש, שאינו פרימיטיבי).

עוד לפני תקופתנו, המצרים הקדמונים היו מוקסמים מהמאניה למספרים של שלישיות פיתגוריות: בבעיות הם חשבו כמשולש ישר זווית עם צלעות של 3, 4 ו-5 יחידות. אגב, כל משולש שצלעותיו שוות למספרים מהמשולש של פיתגורס הוא מלבני כברירת מחדל.

דוגמאות לשלישיות פיתגורס: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) וכו'.

יישום מעשי של המשפט

משפט פיתגורס משמש לא רק במתמטיקה, אלא גם באדריכלות ובנייה, אסטרונומיה ואפילו ספרות.

ראשית על הבנייה: משפט פיתגורס מוצא בו יישום רחבבמשימות ברמות שונות של מורכבות. לדוגמה, התבונן בחלון רומנסקי:

הבה נסמן את רוחב החלון בתור ב, אז ניתן לסמן את הרדיוס של חצי המעגל הראשי כ רולהביע דרך b: R=b/2. ניתן לבטא גם את הרדיוס של חצאי מעגלים קטנים יותר b: r=b/4. בבעיה זו אנו מעוניינים ברדיוס של המעגל הפנימי של החלון (בואו נקרא לזה ע).

משפט פיתגורס פשוט שימושי לחישוב ר. לשם כך, אנו משתמשים במשולש ישר זווית, אשר מסומן על ידי קו מנוקד באיור. תחתית המשולש מורכבת משני רדיוסים: b/4+p. רגל אחת מייצגת את הרדיוס b/4, אחר b/2-p. בעזרת משפט פיתגורס, אנו כותבים: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. לאחר מכן, אנו פותחים את הסוגריים ומקבלים b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. בואו נהפוך את הביטוי הזה ל bp/2=b 2 /4-bp. ואז אנחנו מחלקים את כל האיברים ב ב, אנו מציגים דומים לקבל 3/2*p=b/4. ובסוף אנחנו מוצאים את זה p=b/6- וזה מה שהיינו צריכים.

באמצעות המשפט, אתה יכול לחשב את אורך הקורות עבור גג גמלון. קבע כמה גובה המגדל תקשורת סלולריתיש צורך שהאות יגיע לאזור מיושב מסוים. ואפילו להתקין עץ חג המולד באופן בר קיימא בכיכר העיר. כפי שאתה יכול לראות, המשפט הזה חי לא רק על דפי ספרי הלימוד, אלא הוא לעתים קרובות שימושי בחיים האמיתיים.

בספרות, משפט פיתגורס היווה השראה לסופרים מאז ימי קדם וממשיך לעשות זאת בתקופתנו. לדוגמה, הסופר הגרמני בן המאה התשע-עשרה אדלברט פון שאמיסו קיבל השראה לכתוב סונטה:

אור האמת לא יתפוגג בקרוב,
אבל, לאחר שהאיר, לא סביר שהוא יתפוגג
וכמו לפני אלפי שנים,
זה לא יגרום לספקות או מחלוקות.

הכי חכם כשזה נוגע במבטך
אור האמת, תודה לאלים;
ומאה שוורים, שחוטים, שקרים -
מתנה חזרה מפיתגורס בר המזל.

מאז שואגים השוורים נואשות:
לנצח הבהיל את שבט השוורים
אירוע שהוזכר כאן.

נראה להם שהזמן עומד לבוא,
ושוב יוקרבו
איזה משפט נהדר.

(תרגום ויקטור טופורוב)

ובמאה העשרים הקדיש הסופר הסובייטי יבגני ולטיסטוב, בספרו "הרפתקאות האלקטרוניקה", פרק שלם להוכחות למשפט פיתגורס. ועוד חצי פרק לסיפור על העולם הדו-ממדי שיכול להתקיים אם משפט פיתגורס יהפוך לחוק יסוד ואפילו לדת לעולם יחיד. לחיות שם יהיה הרבה יותר קל, אבל גם הרבה יותר משעמם: למשל, אף אחד שם לא מבין את המשמעות של המילים "עגול" ו"רכותי".

ובספר "הרפתקאות האלקטרוניקה", המחבר, מפיו של המורה למתמטיקה טרטר, אומר: "הדבר העיקרי במתמטיקה הוא תנועת המחשבה, רעיונות חדשים." בדיוק מעוף המחשבה היצירתי הזה מולידה את משפט פיתגורס - לא בכדי יש לו כל כך הרבה הוכחות מגוונות. זה עוזר לך לצאת מגבולות המוכר ולהסתכל על דברים מוכרים בצורה חדשה.

סיכום

מאמר זה נוצר כדי שתוכלו להסתכל מעבר לתכנית הלימודים בבית הספר במתמטיקה וללמוד לא רק את ההוכחות למשפט פיתגורס הניתנות בספרי הלימוד "גיאומטריה 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ו-"Geometry 7" - 11" (A.V. Pogorelov), אבל גם דרכים מעניינות אחרות להוכיח את המשפט המפורסם. וראה גם דוגמאות כיצד ניתן ליישם את משפט פיתגורס בחיי היומיום.

ראשית, מידע זה יאפשר לך להעפיל לציונים גבוהים יותר בשיעורי מתמטיקה - מידע בנושא ממקורות נוספים תמיד זוכה להערכה רבה.

שנית, רצינו לעזור לך להבין איך מתמטיקה מדע מעניין. לוודא דוגמאות ספציפיותשתמיד יש בו מקום ליצירתיות. אנו מקווים שמשפט פיתגורס והמאמר הזה יעוררו אותך לחקור באופן עצמאי ולגלות תגליות מרגשות במתמטיקה ובמדעים אחרים.

ספר לנו בתגובות אם מצאתם את העדויות שהוצגו במאמר מעניינות. האם מצאתם מידע זה שימושי בלימודים? כתבו לנו מה דעתכם על משפט פיתגורס ועל המאמר הזה – נשמח לדון אתכם בכל זה.

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור.

מאמרים דומים: