סיכום שיעור

מורים למתמטיקה

תיכון MBOU מס' 2, Vorsma

קיסלבה לריסה אלכסייבנה

נושא: "משוואה ריבועית מופחתת. משפט וייטה"

מטרת השיעור:הצגת המושג משוואה ריבועית מופחתת, משפט וייטה ומשפט הפוך שלו.

משימות:

חינוכי:

הצג את הרעיון של משוואה ריבועית מופחתת,

הגזר את הנוסחה עבור השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה,

נסח והוכיח את משפט וייטה,

נסח והוכיח את המשפט בהשוואה למשפט של וייטה,

למד את התלמידים לפתור את המשוואות הריבועיות הנתונות באמצעות המשפט הפוך למשפט של וייטה.

חינוכי:

התפתחות חשיבה לוגית, זיכרון, תשומת לב, מיומנויות חינוכיות כלליות, יכולות השוואה והכללה;

חינוכי:

טיפוח עבודה קשה, עזרה הדדית ותרבות מתמטית.

סוג שיעור:שיעור על הצגת חומר חדש.

צִיוּד:ספר לימוד אלגברה ed. אלימובה ואחרים, מחברת, דפי מידע, מצגת לשיעור.

מערך שיעור.

שלב השיעור

תוכן (מטרה) של הבמה

זמן (דקות)

ארגון זמן

בודק שיעורי בית

עבודת אימות

ניתוח עבודה, תשובות לשאלות.

לימוד חומר חדש

גיבוש ידע בסיסי, ניסוח כללים, פתרון בעיות, ניתוח תוצאות, מענה לשאלות תלמידים.

שליטה בחומר הנלמד על ידי יישומו לפתרון בעיות באנלוגיה בפיקוח מורה.

מסכם את השיעור

הערכת הידע של התלמידים שהגיבו. בדיקת ידע והבנה של ניסוח הכללים בשיטת הסקר הפרונטלי.

שיעורי בית

הכירו לתלמידים את תוכן המשימה וקבלו את ההסברים הנדרשים.

משימות נוספות

משימות רב-שכבתיות להבטחת התפתחות התלמידים.

במהלך השיעורים.

ארגון זמן.הגדרת מטרת השיעור. יצירת תנאים נוחים עבור פעילויות מוצלחות. מוטיבציה ללמידה.

בודק שיעורי בית.בדיקה פרונטלית, פרטנית ותיקון הידע והכישורים של התלמידים.

המשוואה

מספר שורשים

מורה: כיצד ניתן לקבוע את מספר השורשים שלו מבלי לפתור משוואה ריבועית? (תשובות התלמידים)

עבודת אימות.תשובות לשאלות.

טקסט בדיקה:

אופציה 1.

פתרו את המשוואות:

א) ,

ב)

יש לזה:

שורש אחד

שני שורשים שונים.

אפשרות מס' 2.

פתרו את המשוואות:

א) ,

ב)

2.מצא את הערך של פרמטר a שעבורו המשוואה יש לזה:

שורש אחד

שני שורשים שונים.

את עבודת המבחן מסיימים על דפי נייר נפרדים ומועברים למורה לבדיקה.

לאחר הגשת העבודה, הפתרון מוצג על המסך.

לימוד חומר חדש.

4.1. פרנסואה וייט- מתמטיקאי צרפתי מהמאה ה-16. הוא היה עורך דין ואחר כך יועץ למלכי צרפת הנרי השלישי והנרי השני.

פעם הוא הצליח לפענח מכתב ספרדי מורכב מאוד שיירטו הצרפתים. האינקוויזיציה כמעט שרפה אותו על המוקד, והאשימה אותו בקשירת קשר עם השטן.

פרנסואה וייטה מכונה "אבי האלגברה האותיות המודרנית"

כיצד שורשי טרינום ריבועי ומקדמיו p ו-q קשורים זה לזה? התשובה לשאלה זו ניתנת על ידי משפט הנושא את שמו של "אבי האלגברה", המתמטיקאי הצרפתי F. Vieta, אותו נלמד היום.

המשפט המפורסם פורסם ב-1591.

4.2 הבה ננסח את ההגדרה של המשוואה הריבועית המופחתת.

הַגדָרָה. משוואה ריבועית של הצורה נקרא מופחת.

המשמעות היא שהמקדם המוביל של המשוואה שווה לאחד.

דוגמא. .

כל משוואה ריבועית ניתן לצמצם לצורה . כדי לעשות זאת, אתה צריך לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב.

לדוגמה, המשוואה 7Х 2 – 12Х + 14 = 0 על ידי חלוקה ב-7 מצטמצמת לצורה

X 2 – 12/7X + 2 = 0

4.3. הגזר נוסחאות עבור השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה.

א ב ג

a=1 , b=p , c=q

פתרו את המשוואה X 2 – 14X – 15 =0 (התלמיד פותר בלוח)

שאלות:

תן שם את המקדמים p ו-q (-14, -15);

רשום את הנוסחה לשורשים של המשוואה הריבועית הנתונה;

מצא את השורשים של המשוואה הזו (X 1 = 15, X 2 = -1)

4.4. לנסח ולהוכיח את משפט וייטה.

אם והם שורשי המשוואה , אז הנוסחאות תקפות, כלומר. סכום השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת שווה למקדם השני שנלקח עם הסימן ההפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי.

לאחר מכן, המורה מוכיח את המשפט. לאחר מכן, יחד עם התלמידים, הוא מסיק מסקנה.

דוגמא. . p =-5,q =6.

אז מספרים והם מספרים

חִיוּבִי. אתה צריך למצוא שני מספרים חיוביים שהמוצר שלהם הוא

שווה ל-6, והסכום שווה ל-5. =2, =3 הם שורשי המשוואה.

4.5. יישום משפט וייטה .

בעזרתו תוכל:

 מצא את הסכום והמכפלה של השורשים של משוואה ריבועית מבלי לפתור אותה,

 לדעת אחד מהשורשים, למצוא אחר,

 זיהוי סימנים שורשי המשוואה,

 מצא את השורשים של משוואה מבלי לפתור אותה.

4.6. הבה ננסח את המשפט הפוך למשפט של וייטה.

אם המספרים p, q, והם כאלה שהם ממלאים את היחסים, אם כן , הם השורשים של המשוואה הריבועית .

ההוכחה למשפט הפוכה למשפט של וייטה נלקחת הביתה לתלמידים חזקים ללמוד באופן עצמאי.

4.7. שקול את הפתרון לבעיה 5 בעמוד 125 בספר הלימוד.

חיזוק החומר הנלמד

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - בעל פה

№ 452 (בעל פה)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

מסכם את השיעור.

ענה על השאלות:

ציין את משפט וייטה.

 מדוע יש צורך במשפט וייטה?

 ציין את ההיפך של משפט וייטה.

שיעורי בית.

§29 (לפני משימה 6), מס' 450(2,4,6); 455(2.4); 456(2,4,6).

משימות נוספות.

רמה א'.

מצא את הסכום והמכפלה של שורשי המשוואה:

2. בעזרת המשפט ההפוך של משפט וייטה, צור משוואה ריבועית ששורשיה הם 2 ו-5.

רמה ב'.

מצא את הסכום והמכפלה של שורשי המשוואה:

2. בעזרת המשפט הפוך למשפט וייטה, צור משוואה ריבועית ששורשיה שווים ל- ו.

רמה ג'.

1. נתח את הוכחת המשפט בהשוואה למשפט של וייטה

2. פתרו את המשוואה ובדקו באמצעות המשפט ההפוך של משפט וייטה:

דיאגרמת מתאר שיעור

שלבי עבודה

תוכן הבמה

ארגון זמן, לְרַבּוֹת:

הצבת מטרה שתלמידים חייבים להשיג בשלב זהשיעור (מה חייבים לעשות על ידי התלמידים על מנת שהמשך העבודה שלהם בשיעור תהיה יעילה)

תיאור של שיטות לארגון עבודת התלמידים על שלב ראשונישיעור, הכנת תלמידים לפעילויות למידה, נושא ונושא השיעור (בהתחשב תכונות אמיתיותכיתה איתה עובד המורה)

דרישות התכנית להכנה מתמטית של תלמידים בנושא זה היא להציג את המושג משוואה ריבועית מופחתת, משפט וייטה ומשפט הפוך שלו (מתוך התכנית למוסדות חינוך כלליים).

תלמידי כיתה ח' - ילדים גיל ההתבגרות, שמאופיין בחוסר יציבות של תשומת לב. הדרך הטובה ביותר לארגן תשומת לב היא לארגן פעילויות למידה בצורה כזו שלתלמידים אין לא זמן, רצון ולא הזדמנות להסיח את דעתו במשך זמן רב.

בהתבסס על האמור לעיל, מטרת השיעור היא לפתור את הבעיות הבאות:
א) חינוכי: הצגת המושג משוואה ריבועית מופחתת, משפט וייטה ומשפט הפוך שלו.

ב) פיתוח: פיתוח חשיבה לוגית, זיכרון, קשב, מיומנויות חינוכיות כלליות, יכולות השוואה והכללה;
ג) חינוכי: טיפוח עבודה קשה, עזרה הדדית ותרבות מתמטית.

על מנת שהתלמידים יתפסו את השיעור כחלק הגיוני שלם, הוליסטי ומוגבל בזמן של התהליך החינוכי, הוא מתחיל בקביעת הרציונל למשימות ומסתיים בסיכום התוצאות וקביעת המשימות לשיעורים הבאים.

סקר תלמידים על מטלות בית, כולל:

קביעת המטרות שהמורה מציב לתלמידים בשלב זה של השיעור (איזו תוצאה צריכים להגיע לתלמידים);

קביעת המטרות והיעדים שהמורה רוצה להשיג בשלב זה של השיעור;

תיאור שיטות התורמות לפתרון יעדים ויעדים שנקבעו;

תיאור הקריטריונים להשגת המטרות והיעדים של שלב זה של השיעור;

הַגדָרָה פעולות אפשריותהמורה אם הוא או התלמידים לא מצליחים להשיג את מטרותיהם;

תיאור שיטות לארגון פעילויות משותפות של תלמידים, תוך התחשבות במאפייני הכיתה איתה עובד המורה;

תיאור שיטות להנעת (המרצת) פעילות הלמידה של התלמידים במהלך הסקר;

תיאור שיטות וקריטריונים להערכת תשובות התלמידים במהלך הסקר.

בשלב הראשון מתבצעת בדיקה ותיקון פרונטלי, פרטני של הידע והמיומנויות של התלמידים. במקרה זה, הפתרון של משוואות ריבועיות חוזר על עצמו וקביעת מספר השורשים על ידי המבחין שלו מאוחדת. המעבר נעשה להגדרה של המשוואה הריבועית המופחתת.

בשלב השני, נשקלות משוואות משני סוגים. כדי למנוע מהתלמידים להתעייף מעבודה מונוטונית, הם משתמשים צורות שונותאפשרויות עבודה ומשימות, משימות ברמה גבוהה יותר כלולות (עם פרמטר).

עבודתם בעל פה של התלמידים מתחלפת בעבודה בכתב המורכבת מהצדקת בחירת השיטה לפתרון משוואה ריבועית וניתוח הפתרון למשוואה.

אחת השיטות לתמיכה פדגוגית היא השימוש ב טכנולוגיות מידע, המסייעים לתלמידים ברמות מוכנות שונות להטמיע בקלות את החומר, לכן, רגעים מסוימים של השיעור מתנהלים באמצעות מצגת (המציגה את הפתרון עבודה עצמאית, שאלות, שיעורי בית)

ללמוד דברים חדשים חומר חינוכי. שלב זה כולל:

הצגת ההוראות העיקריות של החומר החינוכי החדש שתלמידים חייבים לשלוט בהם;

תיאור צורות ושיטות הצגת (הצגה) של חומר חינוכי חדש;

תיאור הצורות והשיטות העיקריות לארגון פעילויות אישיות וקבוצתיות של תלמידים, תוך התחשבות במאפייני הכיתה בה המורה עובד;

תיאור הקריטריונים לקביעת רמת הקשב והעניין של התלמידים בחומר החינוכי שמציג המורה;

תיאור שיטות להנעת (המרצת) הפעילות החינוכית של התלמידים במהלך פיתוח חומר חינוכי חדש

ניתנת ההגדרה של המשוואה הריבועית המופחתת. המורה, יחד עם התלמידים, גוזר את הנוסחאות לשורשי המשוואה הריבועית הנתונה, התלמידים מבינים את חשיבות החומר החינוכי של השיעור. ניתוח הניסוח וההוכחה למשפט של וייטה מתרחשים גם יחד עם תלמידים

עבודה כזו היא גם גיבוש של לימוד חומר חדש.

שיטות:

חָזוּתִי;

מַעֲשִׂי;

מילולי;

חיפוש חלקי

חיזוק חומר חינוכי, מציע:

הצבת יעד חינוכי ספציפי לתלמידים (איזו תוצאה צריכים להגיע לתלמידים בשלב זה של השיעור);

קביעת המטרות והיעדים שהמורה מציב לעצמו בשלב זה של השיעור;

תיאור של צורות ושיטות להשגת יעדים מוגדרים במהלך איחוד חומר חינוכי חדש, תוך התחשבות מאפיינים אישייםתלמידים איתם עובד המורה.

תיאור הקריטריונים לקביעת מידת השליטה של ​​התלמידים בחומר חינוכי חדש;

תיאור דרכים אפשריותושיטות תגובה למצבים שבהם המורה קובע שחלק מהתלמידים לא שלטו בחומר החינוכי החדש.

חיזוק של חומר חינוכי מתרחש בעת מענה על שאלות ועבודה עם ספר הלימוד:

ניתוח בעיה מס' 5 בעמוד 125;

פתרון תרגילים

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – בעל פה, 452 (בעל פה);

455 (1,3); 456 (1, 3)

לאורך כל השיעור התלמידים פעילים מאוד, למורה יש הזדמנות לראיין את כל תלמידי הכיתה, וחלקם אף יותר מפעם אחת.

השיעור מסוכם בצורה של סקר פרונטלי של התלמידים בשאלות הבאות:

אילו משוואות נקראות מופחתות?

האם ניתן להקטין משוואה ריבועית רגילה?

רשום את הנוסחה של השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה

ציין את משפט וייטה.

מהו הסכום והמכפלה של שורשי המשוואה:

שיעורי בית, כולל:

הגדרת יעדי עבודה עצמאיים לתלמידים (מה התלמידים צריכים לעשות בזמן השלמת שיעורי בית);

קביעת המטרות שהמורה רוצה להשיג באמצעות הקצאת שיעורי בית;

הגדרה והסבר לתלמידים את הקריטריונים להשלמת שיעורי בית בהצלחה.

בשיעורי הבית, התלמידים צפויים לעבוד במסגרת היכולות שלהם. תלמידים חזקים עובדים באופן עצמאי ובסיום העבודה יש ​​אפשרות לבדוק את נכונות הפתרונות שלהם על ידי בדיקתם עם הפתרונות הכתובים על הלוח בתחילת השיעור הבא. תלמידים אחרים יכולים לקבל עצות מחבריהם לכיתה או מהמורה. תלמידים חלשים עובדים על בסיס דוגמאות ומשתמשים בפתרונות למשוואות שנידונו בכיתה. כך נוצרים תנאים לעבודה רמות שונותקשיים.

שלב ראשון

משוואות ריבועיות. מדריך מקיף (2019)

במונח "משוואה ריבועית", מילת המפתח היא "ריבועית". המשמעות היא שהמשוואה חייבת להכיל בהכרח משתנה (אותו x) בריבוע, ואסור שיהיו איקסים בחזקת השלישית (או הגדולה יותר).

הפתרון של משוואות רבות מסתכם בפתרון משוואות ריבועיות.

בואו נלמד לקבוע שזו משוואה ריבועית ולא משוואה אחרת.

דוגמה 1.

בואו נפטר מהמכנה ונכפיל כל איבר של המשוואה ב

בואו נעביר הכל ל צד שמאלולסדר את האיברים בסדר יורד של חזקות x

כעת אנו יכולים לומר בביטחון שהמשוואה הזו היא ריבועית!

דוגמה 2.

בואו נכפיל את השמאל ו צד ימיןעל:

משוואה זו, למרות שהיא הייתה בתוכה במקור, אינה ריבועית!

דוגמה 3.

בואו נכפיל הכל ב:

מַפְחִיד? המעלות הרביעית והשנייה... עם זאת, אם נעשה החלפה, נראה שיש לנו משוואה ריבועית פשוטה:

דוגמה 4.

נראה שזה קיים, אבל בואו נסתכל מקרוב. בואו נעביר הכל לצד שמאל:

תראה, זה מצטמצם - ועכשיו זו משוואה ליניארית פשוטה!

כעת נסו לקבוע בעצמכם אילו מהמשוואות הבאות הן ריבועיות ואילו לא:

דוגמאות:

תשובות:

1. כיכר;
2. כיכר;
3. לא מרובע;
4. לא מרובע;
5. לא מרובע;
6. כיכר;
7. לא מרובע;
8. כיכר.

מתמטיקאים מחלקים באופן מקובל את כל המשוואות הריבועיות לסוגים הבאים:

• השלם משוואות ריבועיות- משוואות שבהן המקדמים וכמו כן האיבר החופשי c אינם שווים לאפס (כמו בדוגמה). בנוסף, בין משוואות ריבועיות שלמות יש נָתוּן- אלו הן משוואות שבהן המקדם (המשוואה מדוגמה אחת לא רק מלאה, אלא גם מופחתת!)

• משוואות ריבועיות לא שלמות- משוואות שבהן המקדם או האיבר החופשי c שווים לאפס:

  הם לא שלמים כי חסר להם אלמנט כלשהו. אבל המשוואה חייבת תמיד להכיל x בריבוע!!! אחרת, זו כבר לא תהיה משוואה ריבועית, אלא משוואה אחרת.

למה הם המציאו חלוקה כזו? נראה שיש איקס בריבוע, וזה בסדר. חלוקה זו נקבעת לפי שיטות הפתרון. בואו נסתכל על כל אחד מהם ביתר פירוט.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

ראשית, בואו נתמקד בפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות – הן הרבה יותר פשוטות!

ישנם סוגים של משוואות ריבועיות לא שלמות:

1. , במשוואה זו המקדם שווה.
2. , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.
3. , במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.

1. אני. כי אנחנו יודעים לחלץ שורש ריבועי, אז בואו נביע מתוך משוואה זו

הביטוי יכול להיות שלילי או חיובי. מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי, כי כשמכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי, אז: אם, אז למשוואה אין פתרונות.

ואם, אז נקבל שני שורשים. אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. העיקר שצריך לדעת ולזכור תמיד שזה לא יכול להיות פחות.

בואו ננסה לפתור כמה דוגמאות.

דוגמה 5:

פתור את המשוואה

כעת כל שנותר הוא לחלץ את השורש מצד שמאל וימין. אחרי הכל, אתה זוכר איך לחלץ שורשים?

תשובה:

לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!!!

דוגמה 6:

פתור את המשוואה

תשובה:

דוגמה 7:

פתור את המשוואה

הו! הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה

ללא שורשים!

עבור משוואות כאלה שאין להן שורשים, המתמטיקאים המציאו אייקון מיוחד - (סט ריק). ואת התשובה אפשר לכתוב כך:

תשובה:

לפיכך, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים. אין כאן הגבלות, כי לא חילצנו את השורש.
דוגמה 8:

פתור את המשוואה

הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:

לכן,

למשוואה זו יש שני שורשים.

תשובה:

הסוג הפשוט ביותר של משוואות ריבועיות לא שלמות (למרות שכולן פשוטות, נכון?). ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:

נפטר כאן מדוגמאות.

פתרון משוואות ריבועיות שלמות

אנו מזכירים לכם שמשוואה ריבועית מלאה היא משוואה של משוואת הצורה שבה

פתרון משוואות ריבועיות שלמות הוא קצת יותר קשה (רק קצת) מאלה.

זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות אבחנה! אפילו לא שלם.

השיטות האחרות יעזרו לך לעשות את זה מהר יותר, אבל אם יש לך בעיות עם משוואות ריבועיות, תחילה שלטו בפתרון באמצעות המבחין.

1. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות אבחנה.

פתרון משוואות ריבועיות בשיטה זו הוא פשוט מאוד; העיקר הוא לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות.

אם, אז למשוואה יש שורש. תשומת - לב מיוחדתלקחת צעד. מאבחן () אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.

• אם, אז הנוסחה בשלב תצטמצם ל. לפיכך, למשוואה יהיה רק ​​שורש.
• אם, אז לא נוכל לחלץ את שורש המבחין במדרגה. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.

נחזור למשוואות שלנו ונסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמה 9:

פתור את המשוואה

שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

זה אומר שלמשוואה יש שני שורשים.

שלב 3.

תשובה:

דוגמה 10:

פתור את המשוואה

המשוואה מוצגת בצורה סטנדרטית, אז שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

זה אומר שלמשוואה יש שורש אחד.

תשובה:

דוגמה 11:

פתור את המשוואה

המשוואה מוצגת בצורה סטנדרטית, אז שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

המשמעות היא שלא נוכל לחלץ את שורשו של המפלה. אין שורשים של המשוואה.

עכשיו אנחנו יודעים איך לרשום נכון תשובות כאלה.

תשובה:ללא שורשים

2. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה.

אם אתה זוכר, יש סוג של משוואה שנקרא מופחת (כאשר מקדם a שווה ל):

קל מאוד לפתור משוואות כאלה באמצעות משפט וייטה:

סכום השורשים נָתוּןהמשוואה הריבועית שווה, ומכפלת השורשים שווה.

דוגמה 12:

פתור את המשוואה

ניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות משפט וייטה כי .

סכום שורשי המשוואה שווה, כלומר. נקבל את המשוואה הראשונה:

והמוצר שווה ל:

בואו נרכיב ונפתור את המערכת:

• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הכמות שווה.

והם הפתרון למערכת:

תשובה: ; .

דוגמה 13:

פתור את המשוואה

תשובה:

דוגמה 14:

פתור את המשוואה

המשוואה ניתנת, כלומר:

תשובה:

משוואות ריבועיות. רמה ממוצעת

מהי משוואה ריבועית?

במילים אחרות, משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה, שבה - הלא נודע, - מספרים מסוימים, ו.

המספר נקרא הגבוה ביותר או מקדם ראשוןמשוואה ריבועית, - מקדם שני, א - חבר חינם.

למה? כי אם המשוואה מיד הופכת לינארית, כי ייעלם.

במקרה זה, והוא יכול להיות שווה לאפס. בכיסא הזה משוואת הכיסא נקראת לא שלמה. אם כל המונחים קיימים, כלומר, המשוואה הושלמה.

פתרונות לסוגים שונים של משוואות ריבועיות

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות:

ראשית, בואו נסתכל על שיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות - הן פשוטות יותר.

אנו יכולים להבחין בין סוגי המשוואות הבאים:

I., במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.

II. , במשוואה זו המקדם שווה.

III. , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.

כעת נסתכל על הפתרון לכל אחד מתתי הסוגים הללו.

ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:

מספר בריבוע אינו יכול להיות שלילי, כי כאשר מכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי. זו הסיבה:

אם, אז למשוואה אין פתרונות;

אם יש לנו שני שורשים

אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. הדבר העיקרי שיש לזכור הוא שזה לא יכול להיות פחות.

דוגמאות:

פתרונות:

תשובה:

לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!

הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה

ללא שורשים.

כדי לרשום בקצרה שלבעיה אין פתרונות, אנו משתמשים בסמל הסט הריק.

תשובה:

אז, למשוואה הזו יש שני שורשים: ו.

תשובה:

הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:

המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. זה אומר שלמשוואה יש פתרון כאשר:

אז, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים: ו.

דוגמא:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

בואו נחשוב על הצד השמאלי של המשוואה ונמצא את השורשים:

תשובה:

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות שלמות:

1. מפלה

פתרון משוואות ריבועיות בדרך זו קל, העיקר לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות. זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות אבחנה! אפילו לא שלם.

שמתם לב לשורש מהאבחנה בנוסחה לשורשים? אבל המאבחן יכול להיות שלילי. מה לעשות? עלינו לשים לב במיוחד לשלב 2. המבחין אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.

• אם, אז למשוואה יש שורשים:
• אם אז יש למשוואה שורשים זהים, אבל בעצם שורש אחד:

  שורשים כאלה נקראים שורשים כפולים.

• אם, אזי שורש המבחין לא נשלף. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.

מדוע אפשר מספר שונה של שורשים? בואו נפנה ל חוש גיאומטרימשוואה ריבועית. הגרף של הפונקציה הוא פרבולה:

במקרה מיוחד, שהוא משוואה ריבועית,. המשמעות היא שהשורשים של משוואה ריבועית הם נקודות החיתוך עם ציר האבשיסה (ציר). פרבולה עשויה שלא לחצות את הציר כלל, או עשויה לחצות אותו באחת (כאשר קודקוד הפרבולה שוכן על הציר) או בשתי נקודות.

בנוסף, המקדם אחראי על כיוון ענפי הפרבולה. אם, אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, ואם, אז מטה.

דוגמאות:

פתרונות:

תשובה:

תשובה: .

תשובה:

זה אומר שאין פתרונות.

תשובה: .

2. משפט וייטה

קל מאוד להשתמש במשפט Vieta: אתה רק צריך לבחור זוג מספרים שהמכפלה שלהם שווה לאיבר החופשי של המשוואה, והסכום שווה למקדם השני שנלקח עם הסימן הנגדי.

חשוב לזכור שניתן ליישם את המשפט של וייטה רק ב משוואות ריבועיות מופחתות ().

בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

דוגמה מס' 1:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

ניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות משפט וייטה כי . מקדמים אחרים: ; .

סכום שורשי המשוואה הוא:

והמוצר שווה ל:

בוא נבחר זוגות מספרים שהמכפלה שלהם שווה ונבדוק אם הסכום שלהם שווה:

• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הכמות שווה.

והם הפתרון למערכת:

כך, והם שורשי המשוואה שלנו.

תשובה: ; .

דוגמה מס' 2:

פִּתָרוֹן:

בוא נבחר זוגות של מספרים שנותנים במכפלה, ואז נבדוק אם הסכום שלהם שווה:

וכן: הם נותנים בסך הכל.

וכן: הם נותנים בסך הכל. כדי להשיג, זה מספיק פשוט לשנות את הסימנים של השורשים כביכול: ואחרי הכל, את המוצר.

תשובה:

דוגמה מס' 3:

פִּתָרוֹן:

האיבר החופשי של המשוואה הוא שלילי, ולכן מכפלת השורשים היא מספר שלילי. זה אפשרי רק אם אחד השורשים שלילי והשני חיובי. לכן סכום השורשים שווה ל הבדלים של המודולים שלהם.

הבה נבחר זוגות של מספרים שנותנים במוצר, ושההפרש ביניהם שווה ל:

וכן: ההבדל ביניהם שווה - אינו מתאים;

וכן: - לא מתאים;

וכן: - לא מתאים;

ו: - מתאים. כל מה שנותר הוא לזכור שאחד השורשים הוא שלילי. מכיוון שהסכום שלהם חייב להיות שווה, השורש בעל המודולוס הקטן יותר חייב להיות שלילי: . אנחנו בודקים:

תשובה:

דוגמה מס' 4:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

המשוואה ניתנת, כלומר:

המונח החופשי הוא שלילי, ולכן מכפלת השורשים היא שלילית. וזה אפשרי רק כאשר שורש אחד של המשוואה שלילי והשני חיובי.

בואו נבחר זוגות של מספרים שהמכפלה שלהם שווה, ולאחר מכן נקבע לאילו שורשים יש סימן שלילי:

ברור שרק השורשים ומתאימים למצב הראשון:

תשובה:

דוגמה מס' 5:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

המשוואה ניתנת, כלומר:

סכום השורשים הוא שלילי, כלומר, לפי לפחות, אחד השורשים הוא שלילי. אבל מכיוון שהמוצר שלהם חיובי, זה אומר שלשני השורשים יש סימן מינוס.

הבה נבחר זוגות של מספרים שהמכפלה שלהם שווה ל:

ברור שהשורשים הם המספרים ו.

תשובה:

מסכים, זה מאוד נוח להמציא שורשים בעל פה, במקום לספור את המבחין המגעיל הזה. נסו להשתמש במשפט של וייטה לעתים קרובות ככל האפשר.

אבל המשפט של וייטה נחוץ על מנת להקל ולהאיץ את מציאת השורשים. כדי שתוכל להפיק תועלת מהשימוש בו, עליך להביא את הפעולות לאוטומטיות. ולשם כך פתרו עוד חמש דוגמאות. אבל אל תרמות: אתה לא יכול להשתמש בגורם מפלה! רק משפט וייטה:

פתרונות למשימות לעבודה עצמאית:

משימה 1. ((x)^(2))-8x+12=0

לפי משפט וייטה:

כרגיל, אנחנו מתחילים את הבחירה עם היצירה:

לא מתאים בגלל הכמות;

: הכמות היא בדיוק מה שאתה צריך.

תשובה: ; .

משימה 2.

ושוב משפט וייטה האהוב עלינו: הסכום חייב להיות שווה, והמכפלה חייבת להיות שווה.

אבל הואיל ודאי לא, אלא, אנו משנים את סימני השורשים: ו (בסך הכל).

תשובה: ; .

משימה 3.

הממ... איפה זה?

עליך להעביר את כל המונחים לחלק אחד:

סכום השורשים שווה למוצר.

בסדר, תפסיק! המשוואה לא ניתנת. אבל המשפט של Vieta ישים רק במשוואות הנתונות. אז קודם כל צריך לתת משוואה. אם אינך יכול להוביל, וותר על הרעיון הזה ופתור אותו בדרך אחרת (למשל, באמצעות מפלה). הרשו לי להזכיר לכם כי לתת משוואה ריבועית פירושו להפוך את המקדם המוביל לשווה:

גדול. אז סכום השורשים שווה למכפלה.

כאן זה קל כמו הפגזת אגסים לבחור: אחרי הכל, זה מספר ראשוני (סליחה על הטאוטולוגיה).

תשובה: ; .

משימה 4.

החבר החופשי הוא שלילי. מה מיוחד בזה? והעובדה היא שלשורשים יהיו סימנים שונים. ועכשיו, במהלך הבחירה, אנו בודקים לא את סכום השורשים, אלא את ההבדל במודולים שלהם: ההבדל הזה שווה, אבל מוצר.

אז, השורשים שווים ו, ​​אבל אחד מהם הוא מינוס. משפט וייטה אומר לנו שסכום השורשים שווה למקדם השני עם הסימן ההפוך, כלומר. זה אומר שלשורש הקטן יותר יהיה מינוס: ו, מאז.

תשובה: ; .

משימה 5.

מה כדאי לעשות קודם? נכון, תן את המשוואה:

שוב: אנו בוחרים את הגורמים של המספר, וההבדל שלהם צריך להיות שווה ל:

השורשים שווים ו, ​​אבל אחד מהם הוא מינוס. איזה? הסכום שלהם צריך להיות שווה, כלומר למינוס יהיה שורש גדול יותר.

תשובה: ; .

תן לי לסכם:

1. משפט וייטה משמש רק במשוואות הריבועיות שניתנו.
2. באמצעות משפט וייטה, אתה יכול למצוא את השורשים לפי בחירה, בעל פה.
3. אם המשוואה לא ניתנת או שלא נמצא צמד גורמים מתאים של המונח החופשי, אז אין שורשים שלמים, וצריך לפתור את זה בדרך אחרת (למשל, באמצעות אבחנה).

3. שיטה לבחירת ריבוע שלם

אם כל האיברים המכילים את הלא נודע מיוצגים בצורה של איברים מנוסחאות כפל מקוצר - ריבוע הסכום או ההפרש - אז לאחר החלפת משתנים, ניתן להציג את המשוואה בצורה של משוואה ריבועית לא שלמה מהסוג.

לדוגמה:

דוגמה 1:

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

תשובה:

דוגמה 2:

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

תשובה:

באופן כללי, השינוי ייראה כך:

זה מרמז: .

לא מזכיר לך כלום? זה דבר מפלה! בדיוק כך קיבלנו את נוסחת ההבחנה.

משוואות ריבועיות. בקצרה על הדברים העיקריים

משוואה ריבועית- זוהי משוואה של הצורה, שבה - הלא נודע, - המקדמים של המשוואה הריבועית, - האיבר החופשי.

שלם משוואה ריבועית- משוואה שבה המקדמים אינם שווים לאפס.

משוואה ריבועית מופחתת- משוואה שבה המקדם, כלומר: .

משוואה ריבועית לא שלמה- משוואה שבה המקדם או האיבר החופשי c שווים לאפס:

• אם המקדם, המשוואה נראית כך: ,
• אם יש מונח חופשי, למשוואה יש את הצורה: ,
• אם וכן, המשוואה נראית כך: .

1. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

1.1. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :

1) בואו נביע את הלא נודע: ,

2) בדוק את הסימן של הביטוי:

• אם, אז למשוואה אין פתרונות,
• אם, אז למשוואה יש שני שורשים.

1.2. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :

1) הבה נוציא את הגורם המשותף בין סוגריים: ,

2) המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. לכן, למשוואה יש שני שורשים:

1.3. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה:

למשוואה הזו יש תמיד רק שורש אחד: .

2. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות שלמות של הצורה איפה

2.1. פתרון באמצעות אבחנה

1) בואו נביא את המשוואה לצורה סטנדרטית: ,

2) בוא נחשב את המבחין באמצעות הנוסחה: , המציינת את מספר השורשים של המשוואה:

3) מצא את שורשי המשוואה:

• אם, אז למשוואה יש שורשים, שנמצאים על ידי הנוסחה:
• אם, אז למשוואה יש שורש, שנמצא על ידי הנוסחה:
• אם, אז למשוואה אין שורשים.

2.2. פתרון באמצעות משפט וייטה

סכום השורשים של המשוואה הריבועית המוקטנת (משוואת הצורה שבו) שווה, ומכפלת השורשים שווה, כלומר. , א.

2.3. פתרון בשיטת בחירת ריבוע שלם

משוואות ריבועיות לומדים בכיתה ח', אז אין כאן שום דבר מסובך. היכולת לפתור אותם היא הכרחית לחלוטין.

משוואה ריבועית היא משוואה בצורת ax 2 + bx + c = 0, כאשר המקדמים a, b ו-c הם מספרים שרירותיים, ו- a ≠ 0.

לפני לימוד שיטות פתרון ספציפיות, שים לב שניתן לחלק את כל המשוואות הריבועיות לשלוש מחלקות:

1. אין שורשים;
2. יש בדיוק שורש אחד;
3. יש להם שני שורשים שונים.

זהו הבדל חשוב בין משוואות ריבועיות ללינאריות, שבהן השורש תמיד קיים והוא ייחודי. כיצד לקבוע כמה שורשים יש למשוואה? יש דבר נפלא לזה - מפלה.

מפלה

תינתן את המשוואה הריבועית ax 2 + bx + c = 0. אז המבחין הוא פשוט המספר D = b 2 − 4ac.

אתה צריך לדעת את הנוסחה הזו בעל פה. מאיפה זה בא זה לא חשוב עכשיו. דבר נוסף חשוב: לפי הסימן של המבחין אפשר לקבוע כמה שורשים יש למשוואה ריבועית. כלומר:

1. אם ד< 0, корней нет;
2. אם D = 0, יש בדיוק שורש אחד;
3. אם D > 0, יהיו שני שורשים.

שימו לב: המבדיל מציין את מספר השורשים, וכלל לא את הסימנים שלהם, כפי שמשום מה סבורים רבים. תסתכל על הדוגמאות ותבין הכל בעצמך:

מְשִׁימָה. כמה שורשים יש למשוואות ריבועיות:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

הבה נכתוב את המקדמים עבור המשוואה הראשונה ונמצא את המבחין:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

אז המבחין חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים שונים. אנו מנתחים את המשוואה השנייה באופן דומה:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

המפלה היא שלילית, אין שורשים. המשוואה האחרונה שנותרה היא:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

המבחין הוא אפס - השורש יהיה אחד.

שימו לב שנכתבו מקדמים לכל משוואה. כן, זה ארוך, כן, זה מייגע, אבל אתה לא תערבב את הסיכויים ותעשה טעויות מטופשות. בחרו בעצמכם: מהירות או איכות.

אגב, אם אתה מבין, לאחר זמן מה לא תצטרך לרשום את כל המקדמים. אתה תבצע פעולות כאלה בראש שלך. רוב האנשים מתחילים לעשות את זה איפשהו אחרי 50-70 משוואות שנפתרו - באופן כללי, לא כל כך.

שורשים של משוואה ריבועית

כעת נעבור לפתרון עצמו. אם המבחין D > 0, ניתן למצוא את השורשים באמצעות הנוסחאות:

נוסחה בסיסית לשורשים של משוואה ריבועית

כאשר D = 0, אתה יכול להשתמש בכל אחת מהנוסחאות האלה - תקבל את אותו מספר, וזה יהיה התשובה. לבסוף, אם ד< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

המשוואה הראשונה:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ למשוואה יש שני שורשים. בוא נמצא אותם:

משוואה שנייה:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ למשוואה שוב יש שני שורשים. בואו נמצא אותם

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

לבסוף, המשוואה השלישית:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ למשוואה יש שורש אחד. ניתן להשתמש בכל נוסחה. לדוגמה, הראשון:

כפי שניתן לראות מהדוגמאות, הכל מאוד פשוט. אם אתה יודע את הנוסחאות ויכול לספור, לא יהיו בעיות. לרוב, שגיאות מתרחשות בעת החלפת מקדמים שליליים בנוסחה. גם כאן, הטכניקה שתוארה לעיל תעזור: תסתכל על הנוסחה פשוטו כמשמעו, רשום כל שלב - ובקרוב מאוד תיפטר משגיאות.

משוואות ריבועיות לא שלמות

קורה שמשוואה ריבועית שונה במקצת ממה שניתן בהגדרה. לדוגמה:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

קל להבחין שבמשוואות הללו חסר אחד המונחים. משוואות ריבועיות כאלה קלות אפילו יותר לפתרון מאשר משוואות סטנדרטיות: הן אפילו לא דורשות חישוב של המבחין. אז בואו נציג קונספט חדש:

המשוואה ax 2 + bx + c = 0 נקראת משוואה ריבועית לא שלמה אם b = 0 או c = 0, כלומר. המקדם של המשתנה x או האלמנט החופשי שווה לאפס.

כמובן, זה אפשרי לחלוטין מקרה קשה, כאשר שני המקדמים הללו שווים לאפס: b = c = 0. במקרה זה, המשוואה מקבלת את הצורה ax 2 = 0. ברור שלמשוואה כזו יש שורש בודד: x = 0.

הבה נשקול את המקרים הנותרים. נניח b = 0, ואז נקבל משוואה ריבועית לא שלמה בצורת ax 2 + c = 0. הבה נמיר אותה מעט:

מכיוון שהשורש הריבועי האריתמטי קיים רק ממספר לא שלילי, השוויון האחרון הגיוני רק עבור (−c /a) ≥ 0. מסקנה:

1. אם במשוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 + c = 0 מתקיים אי השוויון (−c /a) ≥ 0, יהיו שני שורשים. הנוסחה ניתנת לעיל;
2. אם (-c /a)< 0, корней нет.

כפי שאתה יכול לראות, לא נדרש אבחנה - אין חישובים מורכבים כלל במשוואות ריבועיות לא שלמות. למעשה, אפילו אין צורך לזכור את אי השוויון (−c /a) ≥ 0. מספיק לבטא את הערך x 2 ולראות מה נמצא בצד השני של סימן השוויון. אם יש מספר חיובי, יהיו שני שורשים. אם זה שלילי, לא יהיו שורשים בכלל.

כעת נסתכל על משוואות בצורה ax 2 + bx = 0, שבהן האלמנט החופשי שווה לאפס. הכל פשוט כאן: תמיד יהיו שני שורשים. די לפקח את הפולינום:

הוצאת הגורם המשותף מסוגריים

התוצר הוא אפס כאשר לפחות אחד מהגורמים הוא אפס. מכאן מגיעים השורשים. לסיכום, בואו נסתכל על כמה מהמשוואות האלה:

מְשִׁימָה. לפתור משוואות ריבועיות:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. אין שורשים, כי ריבוע אינו יכול להיות שווה למספר שלילי.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 מוסד חינוכי תקציבי עירוני בית ספר תיכון מס' 11

טקסט העבודה מתפרסם ללא תמונות ונוסחאות.
גרסה מלאההעבודה זמינה בלשונית "קבצי עבודה" בפורמט PDF

היסטוריה של משוואות ריבועיות

בָּבֶל

הצורך לפתור משוואות לא רק מהדרגה הראשונה, אלא גם מהשנייה, בימי קדם נגרם מהצורך לפתור בעיות הקשורות במציאת שטחי חלקות האדמה, עם התפתחות האסטרונומיה והמתמטיקה עצמה. ניתן לפתור משוואות ריבועיות בסביבות שנת 2000 לפני הספירה. ה. בבל. הכללים לפתרון המשוואות הללו, שנקבעו בטקסטים הבבליים, עולים בקנה אחד עם אלה המודרניים, אך בטקסטים אלה אין מושג של מספר שלילי ו שיטות כלליותפתרון משוואות ריבועיות.

יוון העתיקה

פתרון משוואות ריבועיות נעשה גם ב יוון העתיקהמדענים כמו דיופנטוס, אוקלידס והרון. דיופנטוס דיופנטוס מאלכסנדריה הוא מתמטיקאי יווני עתיק שחי ככל הנראה במאה ה-3 לספירה. עבודתו העיקרית של דיופנטוס היא "אריתמטיקה" ב-13 ספרים. אוקלידס. אוקלידס הוא מתמטיקאי יווני עתיק, מחברו של החיבור התיאורטי הראשון על מתמטיקה שהגיע אלינו, הרון. הרון - מתמטיקאי ומהנדס יווני הראשון ביוון במאה ה-1 לספירה. נותן נקי שיטה אלגבריתפתרונות למשוואות ריבועיות

הוֹדוּ

בעיות במשוואות ריבועיות נמצאות כבר בחיבור האסטרונומי "אריאבהטיאם", שחיבר בשנת 499 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבהאטה. מדען הודי אחר, Brahmagupta (המאה השביעית), תיאר חוק כלליפתרונות של משוואות ריבועיות מופחתות לצורה קנונית אחת: ax2 + bx = c, a> 0. (1) במשוואה (1) המקדמים יכולים להיות שליליים. השלטון של ברהמגופטה זהה למעשה לשלנו. תחרויות ציבוריות בפתרון בעיות קשות היו נפוצות בהודו. אחד הספרים ההודיים הישנים אומר את הדברים הבאים על תחרויות כאלה: "כפי שהשמש מאפילה על הכוכבים בזוהר שלה, כך איש מלומדיאפיל על תהילתו באסיפות ציבוריות על ידי הצעת ופתרון בעיות אלגבריות". בעיות הוצגו לעתים קרובות בצורה פואטית.

זו אחת הבעיות של המתמטיקאי ההודי המפורסם של המאה ה-12. בהסקרס.

"להקה של קופים עליזים

ושתים עשרה לאורך הגפנים, לאחר שאכלו לשביעות רצוני, נהנו

הם התחילו לקפוץ, תלויים

חלק שמיני מהם בריבוע

כמה קופים היו שם?

נהניתי בקרחת היער

תגיד לי, בחבילה הזו?

הפתרון של בהסקרה מצביע על כך שהמחבר ידע שהשורשים של משוואות ריבועיות הם דו-ערכיים. בהסקר כותב את המשוואה המתאימה לבעיה כ-x2 - 64x = - 768, וכדי להשלים את הצד השמאלי של המשוואה הזו לריבוע, מוסיף 322 לשני הצדדים, ואז משיג: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

משוואות ריבועיות באירופה של המאה ה-17

נוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות בנוסח אל-חורזמי באירופה פורסמו לראשונה בספר אבקסיס, שנכתב ב-1202 על ידי המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י. יצירה עשירה זו, המשקפת את השפעת המתמטיקה, הן מארצות האסלאם והן מיוון העתיקה, נבדלת בשלמותה ובבהירות ההצגה שלה. המחבר פיתח באופן עצמאי כמה חדשים דוגמאות אלגבריותפתרון בעיות והיה הראשון באירופה שהציג מספרים שליליים. ספרו תרם להפצת הידע האלגברי לא רק באיטליה, אלא גם בגרמניה, צרפת ומדינות אחרות באירופה. בעיות רבות מתוך ספר אבקסיס שימשו כמעט בכל ספרי הלימוד האירופיים של המאות ה-16-17. ובחלקו XVIII. הגזירה של הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית בצורה כללית זמינה מ-Viète, אך Viète זיהה רק שורשים חיוביים. המתמטיקאים האיטלקיים טרטליה, קרדנו, בומבלי היו בין הראשונים במאה ה-16. בנוסף לחיוביים, נלקחים בחשבון גם שורשים שליליים. רק במאה ה-17. הודות לעבודתם של ז'ירארד, דקארט, ניוטון ומדענים אחרים, השיטה לפתרון משוואות ריבועיות מקבלת צורה מודרנית.

הגדרה של משוואה ריבועית

משוואה בצורה ax 2 + bx + c = 0, כאשר a, b, c הם מספרים, נקראת ריבועית.

מקדמי משוואה ריבועית

המספרים a, b, c הם המקדמים של המשוואה הריבועית. a הוא המקדם הראשון (לפני x²), a ≠ 0; b הוא המקדם השני (לפני x); c הוא האיבר החופשי (ללא x).

אילו מהמשוואות הללו אינן ריבועיות??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

סוגי משוואות ריבועיות

שֵׁם	צורה כללית של המשוואה	תכונה (מהם המקדמים)	דוגמאות למשוואות
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - מספרים שאינם 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
לא שלם
			x 2 - 1/5x = 0
נָתוּן	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

מופחת היא משוואה ריבועית שבה המקדם המוביל שווה לאחד. ניתן לקבל משוואה כזו על ידי חלוקת הביטוי כולו במקדם המוביל א:

איקס 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

משוואה ריבועית נקראת שלמה אם כל המקדמים שלה אינם אפס.

משוואה ריבועית נקראת לא שלמה שבה לפחות אחד מהמקדמים, מלבד המוביל (או המקדם השני או האיבר החופשי), שווה לאפס.

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

שיטה I נוסחה כללית לחישוב שורשים

למצוא את השורשים של משוואה ריבועית גַרזֶן 2 + b + c = 0באופן כללי, עליך להשתמש באלגוריתם הבא:

חשב את הערך של המבחין של משוואה ריבועית: זה הביטוי שלה D=ב 2 - 4ac

גזירת הנוסחה:

הערה:ברור שהנוסחה לשורש של ריבוי 2 היא מקרה מיוחד של הנוסחה הכללית, המתקבלת על ידי החלפת השוויון D=0 לתוכה, והמסקנה לגבי היעדר שורשים אמיתיים ב-D0, ו- (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

השיטה המוצגת היא אוניברסלית, אבל היא רחוקה מלהיות היחידה. ניתן לגשת לפתרון משוואה בודדת במגוון דרכים, כאשר העדפות בדרך כלל תלויות בפותר. בנוסף, לעיתים קרובות למטרה זו חלק מהשיטות מתבררות כהרבה יותר אלגנטיות, פשוטות ופחות מצריכות עבודה מהסטנדרטית.

שיטה II. שורשים של משוואה ריבועית עם מקדם זוגיב שיטת III. פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

שיטת IV. שימוש ביחסים חלקיים של מקדמים

ישנם מקרים מיוחדים של משוואות ריבועיות בהן המקדמים נמצאים ביחסים זה עם זה, מה שהופך אותם להרבה יותר קלים לפתרון.

שורשים של משוואה ריבועית שבה סכום המקדם המוביל והאיבר החופשי שווה למקדם השני

אם במשוואה ריבועית גַרזֶן 2 + bx + c = 0הסכום של המקדם הראשון והאיבר החופשי שווה למקדם השני: a+b=c, אז השורשים שלו הם -1 והמספר המנוגד ליחס בין האיבר החופשי למקדם המוביל ( -c/a).

לפיכך, לפני פתרון משוואה ריבועית כלשהי, כדאי לבדוק את האפשרות ליישם עליה את המשפט הזה: השוו את סכום המקדם המוביל והאיבר החופשי עם המקדם השני.

שורשים של משוואה ריבועית שסכום כל המקדמים שלה הוא אפס

אם במשוואה ריבועית סכום כל המקדמים שלה הוא אפס, אז השורשים של משוואה כזו הם 1 והיחס בין האיבר החופשי למקדם המוביל ( c/a).

לפיכך, לפני פתרון המשוואה שיטות סטנדרטיות, כדאי לבדוק את הישימות של המשפט הזה עליו: חברו את כל המקדמים של המשוואה הזו ותראו אם הסכום הזה לא שווה לאפס.

שיטת V. חלוקת טרינום ריבועי לגורמים ליניאריים

אם הטרינום הוא מהצורה (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)איכשהו יכול להיות מיוצג כמכפלה של גורמים ליניאריים (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx +n), אז נוכל למצוא את שורשי המשוואה גַרזֶן 2 + bx + c = 0- הם יהיו -m/k ו-n/l, אכן, אחרי הכל (סגנון תצוגה (kx+m)(lx+n)=0חץ ימינה ארוך-שמאלה kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, ולאחר שפתרנו את המשוואות הליניאריות המצוינות, נקבל את האמור לעיל. ציין זאת טרינום ריבועילא תמיד מתפרק לגורמים ליניאריים עם מקדמים ממשיים: זה אפשרי אם למשוואה המתאימה יש שורשים אמיתיים.

בואו ניקח בחשבון כמה מקרים מיוחדים

שימוש בנוסחת הסכום בריבוע (הפרש).

אם לטרינום הריבועי יש את הצורה (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2, אז על ידי החלת הנוסחה לעיל עליו, נוכל לחלק אותו לגורמים ליניאריים ו לכן, מצא שורשים:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

בידוד הריבוע המלא של הסכום (הפרש)

הנוסחה לעיל משמשת גם בשיטה הנקראת "בחירת הריבוע המלא של הסכום (ההפרש)." ביחס למשוואה הריבועית לעיל עם התווית שהוצגה קודם לכן, משמעות הדבר היא הבאה:

הערה:אם תשים לב, נוסחה זו עולה בקנה אחד עם זו המוצעת בסעיף "שורשי המשוואה הריבועית המופחתת", אשר, בתורה, ניתן לקבל מהנוסחה הכללית (1) על ידי החלפת השוויון a=1. עובדה זו אינה רק צירוף מקרים: בשיטה המתוארת, אם כי בהיגיון נוסף, ניתן לגזור נוסחה כללית וגם להוכיח את תכונותיו של המבחין.

שיטת VI. שימוש במשפט Vieta הישיר וההפוך

המשפט הישיר של וייטה (ראה להלן בסעיף באותו שם) והמשפט ההפוך שלו מאפשרים לך לפתור את המשוואות הריבועיות לעיל בעל פה, מבלי להזדקק לחישובים מסורבלים למדי באמצעות נוסחה (1).

לפי המשפט ההפוך, כל זוג מספרים (מספר) (סגנון תצוגה x_(1),x_(2))x 1, x 2, בהיותו פתרון למערכת המשוואות למטה, הם שורשי המשוואה

במקרה הכללי, כלומר, עבור משוואה ריבועית לא מופחתת ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

משפט ישיר יעזור לך למצוא מספרים שעונים על המשוואות הללו בעל פה. בעזרתו ניתן לקבוע את סימני השורשים מבלי להכיר את השורשים עצמם. כדי לעשות זאת, עליך לפעול לפי הכלל:

1) אם המונח החופשי שלילי, אז לשורשים יש סימן שונה, והמודלוס הגדול ביותר של השורשים הוא הסימן המנוגד לסימן המקדם השני של המשוואה;

2) אם האיבר החופשי חיובי, אז לשני השורשים יש אותו סימן, וזהו הסימן המנוגד לסימן המקדם השני.

שיטת VII. שיטת העברה

שיטת "העברה" כביכול מאפשרת לצמצם את הפתרון של משוואות בלתי מופחתות ובלתי ניתנות לצמצום לצורה של משוואות מופחתות עם מקדמים שלמים על ידי חלוקתן במקדם המוביל לפתרון משוואות מופחתות עם מקדמים שלמים. זה כדלקמן:

לאחר מכן, המשוואה נפתרת בעל פה באופן שתואר לעיל, ואז הם חוזרים למשתנה המקורי ומוצאים את שורשי המשוואות (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 =גרזן 1 ו y 2 =גרזן 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

משמעות גיאומטרית

הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. הפתרונות (השורשים) של משוואה ריבועית הם האבססיס של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר האבשיסה. אם הפרבולה המתוארת פונקציה ריבועית, אינו מצטלב עם ציר ה-x, למשוואה אין שורשים ממשיים. אם פרבולה חותכת את ציר ה-x בנקודה אחת (בקודקוד הפרבולה), למשוואה יש שורש ממשי אחד (אומרים שגם למשוואה יש שני שורשים חופפים). אם הפרבולה חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות, למשוואה יש שני שורשים אמיתיים (ראה תמונה מימין).

אם מקדם (סגנון תצוגה a) אחיובי, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה ולהיפך. אם המקדם (סגנון תצוגה ב) bpositive (אם חיובי (displaystyle a) א, אם שלילי, להיפך), אז קודקוד הפרבולה נמצא בחצי המישור השמאלי ולהיפך.

יישום משוואות ריבועיות בחיים

המשוואה הריבועית נמצאת בשימוש נרחב. הוא משמש בהרבה חישובים, מבנים, ספורט, וגם סביבנו.

הבה נבחן וניתן כמה דוגמאות ליישום המשוואה הריבועית.

ספּוֹרט. קפיצות לגובה: במהלך הריצה של הקופץ, נעשה שימוש בחישובים הקשורים לפרבולה כדי להשיג את ההשפעה הברורה ביותר האפשרית על סרגל ההמראה והטיסה הגבוהה.

כמו כן, יש צורך בחישובים דומים בזריקה. טווח הטיסה של עצם תלוי במשוואה הריבועית.

אַסטרוֹנוֹמִיָה. ניתן למצוא את מסלול כוכבי הלכת באמצעות משוואה ריבועית.

טיסה במטוס. המראה של מטוס הוא המרכיב העיקרי בטיסה. כאן ניקח את החישוב עבור התנגדות נמוכה והאצת ההמראה.

משוואות ריבועיות משמשות גם בדיסציפלינות כלכליות שונות, בתוכנות לעיבוד אודיו, וידאו, גרפיקה וקטורית ורסטר.

סיכום

כתוצאה מהעבודה שנעשתה, התברר שמשוואות ריבועיות משכו מדענים עוד בימי קדם; הם כבר נתקלו בהן כשפתרו כמה בעיות וניסו לפתור אותן. לוקח בחשבון דרכים שונותבפתרון משוואות ריבועיות, הגעתי למסקנה שלא כולן פשוטות. לדעתי הכי הרבה הדרך הכי טובהפתרון משוואות ריבועיות הוא פתרון באמצעות נוסחאות. קל לזכור את הנוסחאות, שיטה זו היא אוניברסלית. ההשערה שהמשוואות נמצאות בשימוש נרחב בחיים ובמתמטיקה אוששה. לאחר שלמדתי את הנושא, למדתי הרבה עובדות מעניינותעל משוואות ריבועיות, השימוש בהן, היישום, הסוגים, הפתרונות. ואשמח להמשיך ללמוד אותם. אני מקווה שזה יעזור לי להצליח בבחינות שלי.

רשימת ספרות משומשת

חומרי האתר:

ויקיפדיה

פתח שיעור.rf

מדריך למתמטיקה יסודית Vygodsky M. Ya.

", כלומר, משוואות מהמעלה הראשונה. בשיעור זה נתבונן מה שנקרא משוואה ריבועיתואיך לפתור את זה.

מהי משוואה ריבועית?

חָשׁוּב!

דרגת המשוואה נקבעת לפי המדרגה הגבוהה ביותר שבה עומד הלא נודע.

אם ההספק המרבי שבו הלא נודע הוא "2", אז יש לך משוואה ריבועית.

דוגמאות למשוואות ריבועיות

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

חָשׁוּב! הצורה הכללית של משוואה ריבועית נראית כך:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" ו- "c" ניתנים למספרים.

• "a" הוא המקדם הראשון או הגבוה ביותר;
• "b" הוא המקדם השני;
• "c" הוא חבר חינם.

כדי למצוא "a", "b" ו- "c" אתה צריך להשוות את המשוואה שלך עם הצורה הכללית של המשוואה הריבועית "ax 2 + bx + c = 0".

נתאמן בקביעת המקדמים "a", "b" ו- "c" במשוואות ריבועיות.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

המשוואה	קְטָטָה
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

כיצד לפתור משוואות ריבועיות

בניגוד משוואות ליניאריותלפתור משוואות ריבועיות, מיוחד נוסחה למציאת שורשים.

זכור!

כדי לפתור משוואה ריבועית אתה צריך:

• להפחית את המשוואה הריבועית ל הופעה כללית"ax 2 + bx + c = 0". כלומר, רק "0" צריך להישאר בצד ימין;
• השתמש בנוסחה לשורשים:

בואו נסתכל על דוגמה כיצד להשתמש בנוסחה כדי למצוא את השורשים של משוואה ריבועית. בואו נפתור משוואה ריבועית.

X 2 − 3x − 4 = 0

המשוואה "x 2 − 3x − 4 = 0" כבר הצטמצמה לצורה הכללית "ax 2 + bx + c = 0" ואינה דורשת הפשטות נוספות. כדי לפתור את זה, אנחנו רק צריכים ליישם נוסחה למציאת השורשים של משוואה ריבועית.

הבה נקבע את המקדמים "a", "b" ו- "c" עבור המשוואה הזו.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

זה יכול לשמש כדי לפתור כל משוואה ריבועית.

בנוסחה "x 1;2 = "הביטוי הרדיקלי מוחלף לעתים קרובות
"b 2 − 4ac" עבור האות "D" והוא נקרא discriminant. המושג מפלה נדון ביתר פירוט בשיעור "מהו מפלה".

בואו נסתכל על דוגמה נוספת של משוואה ריבועית.

x 2 + 9 + x = 7x

בצורה זו, די קשה לקבוע את המקדמים "a", "b" ו- "c". בוא נצמצם תחילה את המשוואה לצורה הכללית "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

עכשיו אתה יכול להשתמש בנוסחה עבור השורשים.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
תשובה: x = 3

יש מקרים שבהם למשוואות ריבועיות אין שורשים. מצב זה מתרחש כאשר הנוסחה מכילה מספר שלילי מתחת לשורש.