מצא פתרון כללי למשוואה דיפרנציאלית; דוגמאות לפתרונות. משוואות דיפרנציאליות באינטרנט

הבה ניזכר במשימה שעמדה בפנינו בעת מציאת אינטגרלים מוגדרים:

או dy = f(x)dx. הפתרון שלה:

וזה מסתכם בחישוב אינטגרל בלתי מוגבל. בפועל, לעתים קרובות יותר נתקלים במשימה מורכבת יותר: מציאת הפונקציה y, אם ידוע שהוא מקיים יחס של הצורה

קשר זה מתייחס למשתנה הבלתי תלוי איקס, פונקציה לא ידועה yונגזרותיו עד הסדר נכולל, נקראים .

IN משוואה דיפרנציאליתכולל פונקציה בסימן של נגזרות (או דיפרנציאלים) מסדר זה או אחר. הסדר הגבוה ביותר נקרא סדר (9.1) .

משוואות דיפרנציאליות:

- הזמנה ראשונה,

הזמנה שנייה

- סדר חמישי וכו'.

הפונקציה שעונה על משוואת דיפרנציאלית נתונה נקראת הפתרון שלה , או אינטגרלי . לפתור אותו פירושו למצוא את כל הפתרונות שלו. אם לפונקציה הנדרשת yהצליח להשיג נוסחה שנותנת את כל הפתרונות, אז אנחנו אומרים שמצאנו אותה החלטה משותפת, או אינטגרל כללי .

החלטה משותפת מכיל נקבועים שרירותיים ונראה כמו

אם מתקבל יחס זה מתייחס x, yו נקבועים שרירותיים, בצורה שאינה מותרת לגבי y -

אז יחס כזה נקרא האינטגרל הכללי של המשוואה (9.1).

בעיה קוצנית

כל פתרון ספציפי, כלומר כל פונקציה ספציפית שעונה על משוואת דיפרנציאלית נתונה ואינה תלויה בקבועים שרירותיים, נקראת פתרון מסוים , או אינטגרל חלקי. כדי לקבל פתרונות מסוימים (אינטגרלים) מאלה הכלליים, יש צורך לתת קבועים ספציפיים ערכים מספריים.

הגרף של פתרון מסוים נקרא עקומה אינטגרלית. הפתרון הכללי, המכיל את כל הפתרונות החלקיים, הוא משפחה של עקומות אינטגרליות. עבור משוואה מסדר ראשון משפחה זו תלויה בקבוע שרירותי אחד, עבור המשוואה נ-הסדר - מ נקבועים שרירותיים.

בעיית קאוצ'י היא למצוא פתרון מסוים למשוואה נהסדר, מספק נ תנאים התחלתיים:

לפיהם נקבעים n קבועים c 1, c 2,..., c n.

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

עבור משוואה דיפרנציאלית מסדר 1 שאינה פתורה ביחס לנגזרת, יש לה את הצורה

או למותר יחסית

דוגמה 3.46. מצא את הפתרון הכללי למשוואה

פִּתָרוֹן.שילוב, אנחנו מקבלים

כאשר C הוא קבוע שרירותי. אם אנו מקצים ערכים מספריים ספציפיים ל-C, נקבל פתרונות מסוימים, למשל,

דוגמה 3.47. קחו בחשבון כמות גדלה של כסף שהופקדה בבנק בכפוף לצבירה של 100 r ריבית דריבית לשנה. תן Yo להיות הסכום הראשוני של הכסף, ו-Yx - בסוף איקסשנים. אם מחשבים ריבית פעם בשנה, אנחנו מקבלים

כאשר x = 0, 1, 2, 3,.... כאשר מחשבים ריבית פעמיים בשנה, נקבל

כאשר x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... בעת חישוב הריבית נפעם בשנה ו אם xלוקח ערכים עוקבים 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., אז

ציין 1/n = h, ואז השוויון הקודם ייראה כך:

עם הגדלה בלתי מוגבלת נ(בְּ ) במגבלה אנו מגיעים לתהליך של הגדלת כמות הכסף עם צבירת ריבית מתמשכת:

לפיכך ברור שעם שינוי מתמשך איקסחוק השינוי בהיצע הכסף מתבטא במשוואה דיפרנציאלית מסדר 1. כאשר Y x היא פונקציה לא ידועה, איקס- משתנה בלתי תלוי, ר- קבוע. בואו נפתור את המשוואה הזו, כדי לעשות זאת נכתוב אותה מחדש באופן הבא:

איפה , או , כאשר P מציין e C .

מתנאי ההתחלה Y(0) = Yo, אנו מוצאים P: Yo = Pe o, מאיפה, Yo = P. לכן, לפתרון יש את הצורה:

הבה נבחן את הבעיה הכלכלית השנייה. מודלים מאקרו-כלכליים מתוארים גם על ידי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר 1, המתארות שינויים בהכנסה או בתפוקה Y כפונקציות של זמן.

דוגמה 3.48. תן להכנסה הלאומית Y לגדול בשיעור יחסי לערכה:

ולתת לגירעון בהוצאות הממשלה להיות פרופורציונלי ישיר להכנסה Y עם מקדם המידתיות ש. גירעון בהוצאות מוביל לעלייה בחוב הלאומי D:

תנאים התחלתיים Y = Yo ו-D = Do ב-t = 0. מהמשוואה הראשונה Y= Yoe kt. בהחלפת Y נקבל dD/dt = qYoe kt . לפתרון הכללי יש את הצורה
D = (q/ k) Yoe kt +С, כאשר С = const, שנקבע מהתנאים ההתחלתיים. בהחלפת התנאים ההתחלתיים, נקבל Do = (q/k)Yo + C. אז, לבסוף,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

זה מראה שהחוב הלאומי גדל באותו שיעור יחסי ק, זהה להכנסה הלאומית.

הבה נבחן את משוואות הדיפרנציאל הפשוטות ביותר נהסדר, אלו הן משוואות הצורה

ניתן להשיג את הפתרון הכללי שלו באמצעות נפעמים אינטגרציות.

דוגמה 3.49.שקול את הדוגמה y """ = cos x.

פִּתָרוֹן.שילוב, אנו מוצאים

לפתרון הכללי יש את הצורה

משוואות דיפרנציאליות לינאריות

בכלכלה אפליקציה נהדרתיש , שקול לפתור משוואות כאלה. אם (9.1) יש את הטופס:

אז הוא נקרא ליניארי, כאשר рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) ניתנות לפונקציות. אם f(x) = 0, אז (9.2) נקרא הומוגנית, אחרת הוא נקרא לא הומוגנית. הפתרון הכללי של המשוואה (9.2) שווה לסכום כל אחד מהפתרונות המיוחדים שלו y(x)והפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה לו:

אם המקדמים р o (x), р 1 (x),..., р n (x) קבועים, אז (9.2)

(9.4) נקראת משוואה דיפרנציאלית ליניארית עם מקדמי סדר קבועים נ .

עבור (9.4) יש את הצורה:

ללא אובדן כלליות, נוכל להגדיר p o = 1 ולכתוב (9.5) בצורה

נחפש פתרון (9.6) בצורה y = e kx, כאשר k הוא קבוע. יש לנו: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . אם תחליף את הביטויים המתקבלים לתוך (9.6), יהיה לנו:

(9.7) כן משוואה אלגברית, הלא ידוע שלו הוא ק, זה נקרא מאפיין. למשוואה האופיינית יש תואר נו נשורשים, ביניהם יכולים להיות מרובים ומורכבים. תנו ל- k 1 , k 2 ,..., k n להיות אמיתי ומובחן, אם כן - פתרונות מיוחדים (9.7), וכלליים

שקול משוואת דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית מסדר שני עם מקדמים קבועים:

למשוואה האופיינית שלו יש את הצורה

(9.9)

המבחין שלו D = p 2 - 4q, תלוי בסימן D, שלושה מקרים אפשריים.

1. אם D>0, אז השורשים k 1 ו-k 2 (9.9) הם אמיתיים ושונים, ולפתרון הכללי יש את הצורה:

פִּתָרוֹן.משוואה אופיינית: k 2 + 9 = 0, כאשר k = ± 3i, a = 0, b = 3, לפתרון הכללי יש את הצורה:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר 2 משמשות בעת לימוד מודל כלכלי מסוג אינטרנט עם מלאי סחורות, כאשר קצב השינוי במחיר P תלוי בגודל המלאי (ראה סעיף 10). במקרה שהיצע וביקוש כן פונקציות ליניאריותמחירים, כלומר

a הוא קבוע שקובע את קצב התגובה, ואז תהליך שינוי המחיר מתואר על ידי משוואת הדיפרנציאל:

עבור פתרון מסוים אנחנו יכולים לקחת קבוע

מחיר שיווי משקל משמעותי. חֲרִיגָה עונה על המשוואה ההומוגנית

(9.10)

המשוואה האופיינית תהיה כדלקמן:

במקרה שהמונח חיובי. בואו נסמן . שורשי המשוואה האופיינית k 1,2 = ± i w, לכן לפתרון הכללי (9.10) יש את הצורה:

כאשר C והם קבועים שרירותיים, הם נקבעים מהתנאים ההתחלתיים. קיבלנו את חוק שינוי המחירים לאורך זמן:

הזן את המשוואה הדיפרנציאלית שלך, האפוסרה "" משמשת להכנסת הנגזרת, לחץ על שלח כדי לקבל את הפתרון

משוואה דיפרנציאלית (DE) - זו המשוואה,
היכן הם המשתנים הבלתי תלויים, y היא הפונקציה והם הנגזרות החלקיות.

משוואת דיפרנציאלית רגילה היא משוואה דיפרנציאלית שיש לה רק משתנה בלתי תלוי אחד, .

משוואה דיפרנציאלית חלקית היא משוואה דיפרנציאלית שיש לה שני משתנים בלתי תלויים או יותר.

ניתן להשמיט את המילים "רגילות" ו"נגזרים חלקיים" אם ברור איזו משוואה נחשבת. בהמשך, נלקחות בחשבון משוואות דיפרנציאליות רגילות.

סדר המשוואה הדיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר.

הנה דוגמה למשוואה מסדר ראשון:

הנה דוגמה למשוואה מסדר רביעי:

לפעמים נכתבת משוואת דיפרנציאל מסדר ראשון במונחים של דיפרנציאלים:

במקרה זה, המשתנים x ו-y שווים. כלומר, המשתנה הבלתי תלוי יכול להיות x או y. במקרה הראשון, y היא פונקציה של x. במקרה השני, x הוא פונקציה של y. במידת הצורך, נוכל לצמצם את המשוואה הזו לצורה הכוללת במפורש את הנגזרת y′.
מחלקים את המשוואה ב-dx נקבל:
.
מאז ו, זה נובע מכך
.

פתרון משוואות דיפרנציאליות

נגזרות של פונקציות אלמנטריות מתבטאות באמצעות פונקציות אלמנטריות. אינטגרלים של פונקציות אלמנטריות לרוב אינם מתבטאים במונחים של פונקציות אלמנטריות. עם משוואות דיפרנציאליות המצב גרוע עוד יותר. כתוצאה מהפתרון אתה יכול לקבל:

• תלות מפורשת של פונקציה במשתנה;

  פתרון משוואה דיפרנציאלית היא הפונקציה y = u (איקס), אשר מוגדר, n פעמים ניתן להבדיל, ו.

• תלות מרומזת בצורה של משוואה מסוג Φ (x, y) = 0או מערכות משוואות;

  אינטגרל של משוואה דיפרנציאלית הוא פתרון למשוואה דיפרנציאלית שיש לה צורה מרומזת.

• תלות המתבטאת באמצעות פונקציות אלמנטריות ואינטגרלים מהן;

  פתרון משוואת דיפרנציאלית בריבועים - זה מציאת פתרון בצורה של שילוב של פונקציות אלמנטריות ואינטגרלים שלהן.

• ייתכן שהפתרון לא יבוא לידי ביטוי באמצעות פונקציות אלמנטריות.

מכיוון שפתרון משוואות דיפרנציאליות מסתכם בחישוב אינטגרלים, הפתרון כולל קבוצה של קבועים C 1, C 2, C 3, ... C n. מספר הקבועים שווה לסדר המשוואה. אינטגרל חלקי של משוואה דיפרנציאלית הוא האינטגרל הכללי עבור ערכים נתונים של הקבועים C 1, C 2, C 3, ..., C n.

הפניות:
V.V. סטפנוב, קורס משוואות דיפרנציאליות, "LKI", 2015.
נ.מ. גינטר, ר.ו. קוזמין, אוסף בעיות במתמטיקה גבוהה יותר, "לאן", 2003.

משוואת דיפרנציאלית רגילה היא משוואה המתייחסת למשתנה בלתי תלוי, פונקציה לא ידועה של משתנה זה ונגזרותיו (או ההפרשים) מסדרים שונים.

סדר המשוואה הדיפרנציאלית נקרא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר הכלולה בו.

בנוסף לאלה הרגילים, נלמדות גם משוואות דיפרנציאליות חלקיות. אלו הן משוואות המתייחסות למשתנים בלתי תלויים, פונקציה לא ידועה של משתנים אלו ונגזרותיהם החלקיות ביחס לאותם משתנים. אבל נשקול רק משוואות דיפרנציאליות רגילות ולפיכך, למען הקיצור, נשמיט את המילה "רגיל".

דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

משוואה (1) היא מסדר רביעי, משוואה (2) היא מסדר שלישי, משוואות (3) ו- (4) הן מסדר שני, משוואה (5) היא מסדר ראשון.

משוואה דיפרנציאלית נהסדר לא בהכרח חייב להכיל פונקציה מפורשת, כל הנגזרות שלו מהראשון ועד נ-הסדר ומשתנה בלתי תלוי. ייתכן שהוא לא יכיל במפורש נגזרות של סדרים מסוימים, פונקציה או משתנה בלתי תלוי.

לדוגמה, במשוואה (1) ברור שאין נגזרות מסדר שלישי ושני, כמו גם פונקציה; במשוואה (2) - הנגזרת מסדר שני והפונקציה; במשוואה (4) - המשתנה הבלתי תלוי; במשוואה (5) - פונקציות. רק משוואה (3) מכילה במפורש את כל הנגזרות, הפונקציה והמשתנה הבלתי תלוי.

פתרון משוואה דיפרנציאלית כל פונקציה נקראת y = f(x), כאשר מחליפים אותו לתוך המשוואה זה הופך לזהות.

תהליך מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית נקרא שלו שילוב.

דוגמה 1.מצא את הפתרון למשוואת הדיפרנציאל.

פִּתָרוֹן. בוא נכתוב את המשוואה הזו בצורה . הפתרון הוא למצוא את הפונקציה מהנגזרת שלה. הפונקציה המקורית, כידוע מחשבון אינטגרלי, היא אנטי נגזרת עבור, כלומר.

זה מה שזה פתרון למשוואה דיפרנציאלית זו . משתנה בו ג, אנחנו נקבל פתרונות שונים. גילינו שיש אינסוף פתרונות למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון.

פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית נהסדר הוא הפתרון שלו, המתבטא במפורש ביחס לפונקציה הלא ידועה ומכיל נקבועים שרירותיים בלתי תלויים, כלומר.

הפתרון למשוואת הדיפרנציאל בדוגמה 1 הוא כללי.

פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאלית פתרון שבו קבועים שרירותיים מקבלים ערכים מספריים ספציפיים נקרא.

דוגמה 2.מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית ופתרון מסוים עבור .

פִּתָרוֹן. בוא נשלב את שני הצדדים של המשוואה מספר פעמים שווה לסדר המשוואה הדיפרנציאלית.

,

.

כתוצאה מכך, קיבלנו פתרון כללי -

של משוואה דיפרנציאלית נתונה מסדר שלישי.

עכשיו בואו נמצא פתרון מסוים בתנאים שצוינו. כדי לעשות זאת, החלף את הערכים שלהם במקום מקדמים שרירותיים וקבל

.

אם, בנוסף למשוואת הדיפרנציאלית, התנאי ההתחלתי ניתן בצורה , אז בעיה כזו נקראת בעיה קוצנית . החלף את הערכים ולפתרון הכללי של המשוואה ומצא את הערך של קבוע שרירותי ג, ולאחר מכן פתרון מסוים של המשוואה עבור הערך שנמצא ג. זה הפתרון לבעיית קאוצ'י.

דוגמה 3.פתור את בעיית Cauchy עבור המשוואה הדיפרנציאלית מדוגמה 1 בכפוף ל.

פִּתָרוֹן. הבה נחליף את הערכים מהמצב ההתחלתי לפתרון הכללי y = 3, איקס= 1. אנחנו מקבלים

אנו רושמים את הפתרון לבעיית Cauchy עבור משוואת דיפרנציאלית זו מסדר ראשון:

פתרון משוואות דיפרנציאליות, אפילו הפשוטות שבהן, דורש אינטגרציה טובה ומיומנויות נגזרות, כולל פונקציות מורכבות. ניתן לראות זאת בדוגמה הבאה.

דוגמה 4.מצא את הפתרון הכללי למשוואת הדיפרנציאל.

פִּתָרוֹן. המשוואה כתובה בצורה כזו שניתן לשלב מיד את שני הצדדים.

.

אנו מיישמים את שיטת האינטגרציה על ידי שינוי משתנה (החלפה). תן לזה להיות אז.

חובה לקחת dxועכשיו - תשומת לב - אנו עושים זאת על פי כללי הבידול של פונקציה מורכבת, שכן איקסויש פונקציה מורכבת ("תפוח" - תמצית שורש ריבועיאו, מה זה אותו דבר - העלאת כוח "חצי", ו"בשר טחון" הוא עצם הביטוי מתחת לשורש):

אנו מוצאים את האינטגרל:

חוזרים למשתנה איקס, אנחנו מקבלים:

.

זהו הפתרון הכללי למשוואה דיפרנציאלית מדרגה ראשונה זו.

לא רק את הכישורים מ סעיפים קודמיםתידרש מתמטיקה גבוהה יותר בפתרון משוואות דיפרנציאליות, אבל גם מיומנויות מהיסודי, כלומר מתמטיקה בבית הספר. כפי שכבר צוין, במשוואה דיפרנציאלית בכל סדר יתכן שלא יהיה משתנה בלתי תלוי, כלומר משתנה איקס. ידע על פרופורציות מבית הספר שלא נשכח (עם זאת תלוי מי) מבית הספר יעזור לפתור בעיה זו. זו הדוגמה הבאה.

מאמר זה מהווה נקודת מוצא ללימוד תורת משוואות דיפרנציאליות. להלן ההגדרות והמושגים הבסיסיים שיופיעו כל הזמן בטקסט. ל ספיגה טובה יותרוהבנת ההגדרה מסופקות עם דוגמאות.

משוואה דיפרנציאלית (DE)היא משוואה הכוללת פונקציה לא ידועה תחת סימן הנגזרת או ההפרש.

אם הפונקציה הלא ידועה היא פונקציה של משתנה אחד, אזי נקראת המשוואה הדיפרנציאלית רגיל(בקיצור ODE - משוואת דיפרנציאלית רגילה). אם הפונקציה הלא ידועה היא פונקציה של משתנים רבים, אזי נקראת המשוואה הדיפרנציאלית משוואה דיפרנציאלית חלקית.

הסדר המקסימלי של הנגזרת של פונקציה לא ידועה הנכנסת למשוואה דיפרנציאלית נקרא סדר המשוואה הדיפרנציאלית.

הנה דוגמאות של ODEs מהסדר הראשון, השני והחמישי, בהתאמה

כדוגמאות למשוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר שני, אנו נותנים

בהמשך נשקול רק משוואות דיפרנציאליות רגילות מהסדר ה-n של הצורה אוֹ , כאשר Ф(x, y) = 0 היא פונקציה לא ידועה שצוינה באופן מרומז (כאשר ניתן, נכתוב אותה בייצוג מפורש y = f(x) ).

תהליך מציאת פתרונות למשוואה דיפרנציאלית נקרא על ידי שילוב המשוואה הדיפרנציאלית.

פתרון משוואה דיפרנציאליתהיא פונקציה שצוינה במרומז Ф(x, y) = 0 (במקרים מסוימים, ניתן לבטא את הפונקציה y במפורש באמצעות הארגומנט x), מה שהופך את המשוואה הדיפרנציאלית לזהות.

הערה.

הפתרון למשוואה דיפרנציאלית תמיד מחפש במרווח X שנקבע מראש.

למה אנחנו מדברים על זה בנפרד? כן, כי בבעיות רבות המרווח X אינו מוזכר. כלומר, בדרך כלל מצב הבעיות מנוסח כך: "מצא פתרון למשוואה הדיפרנציאלית הרגילה " במקרה זה, משתמע שיש לחפש את הפתרון עבור כל ה-x שעבורם הן הפונקציה הרצויה y והן המשוואה המקורית הגיוניות.

הפתרון למשוואה דיפרנציאלית נקרא לעתים קרובות אינטגרל של המשוואה הדיפרנציאלית.

מתפקד או יכול להיקרא פתרון של משוואה דיפרנציאלית.

אחד הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית הוא הפונקציה. ואכן, החלפת פונקציה זו במשוואה המקורית, נקבל את הזהות . קל לראות שפתרון נוסף ל-ODE זה הוא, למשל, . לפיכך, למשוואות דיפרנציאליות יכולות להיות פתרונות רבים.

פתרון כללי של משוואה דיפרנציאליתהוא קבוצה של פתרונות המכילה את כל, ללא יוצא מן הכלל, הפתרונות למשוואה דיפרנציאלית זו.

הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית נקרא גם אינטגרל כללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

נחזור לדוגמא. לפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית יש את הצורה או , כאשר C הוא קבוע שרירותי. לעיל ציינו שני פתרונות ל-ODE זה, המתקבלים מהאינטגרל הכללי של משוואת הדיפרנציאל על ידי החלפת C = 0 ו- C = 1, בהתאמה.

אם הפתרון למשוואת הדיפרנציאלית עונה על המצוין בתחילה תנאים נוספים, אז זה נקרא פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאלית.

פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאלית העומדת בתנאי y(1)=1 הוא . בֶּאֱמֶת, ו .

הבעיות העיקריות של תורת המשוואות הדיפרנציאליות הן בעיות Cauchy, בעיות ערך גבול ובעיות של מציאת פתרון כללי למשוואה דיפרנציאלית בכל מרווח X נתון.

בעיה קוצניתהיא הבעיה של מציאת פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית שעונה על הנתון תנאים התחלתיים, איפה מספרים.

בעיית ערך גבולהיא הבעיה של מציאת פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית מסדר שני המקיימת תנאים נוספים בנקודות הגבול x 0 ו-x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, כאשר f 0 ו-f 1 נתונים למספרים.

בעיית ערך הגבול נקראת לעתים קרובות בעיית גבול.

משוואת דיפרנציאלית רגילה מסדר n נקראת ליניארי, אם יש לו את הצורה , והמקדמים הם פונקציות רציפות של הארגומנט x על מרווח האינטגרציה.

I. משוואות דיפרנציאליות רגילות

1.1. מושגי יסוד והגדרות

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המתייחסת למשתנה בלתי תלוי איקס, הפונקציה הנדרשת yוהנגזרות או ההפרשים שלה.

באופן סמלי, המשוואה הדיפרנציאלית כתובה כך:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

משוואת דיפרנציאלית נקראת רגילה אם הפונקציה הנדרשת תלויה במשתנה בלתי תלוי אחד.

פתרון משוואה דיפרנציאליתנקראת פונקציה שהופכת את המשוואה הזו לזהות.

סדר המשוואה הדיפרנציאליתהוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר הכלולה במשוואה זו

דוגמאות.

1. שקול משוואת דיפרנציאלית מסדר ראשון

הפתרון למשוואה זו הוא הפונקציה y = 5 ln x. אכן, מחליף y"לתוך המשוואה, אנו מקבלים את הזהות.

וזה אומר שהפונקציה y = 5 ln x– היא פתרון למשוואה דיפרנציאלית זו.

2. שקול את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני y" - 5y" +6y = 0. הפונקציה היא הפתרון למשוואה זו.

באמת, .

החלפת ביטויים אלו במשוואה, נקבל: , – זהות.

וזה אומר שהפונקציה היא הפתרון למשוואה דיפרנציאלית זו.

שילוב משוואות דיפרנציאליותהוא תהליך מציאת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאליתנקרא פונקציה של הצורה , הכולל קבועים שרירותיים בלתי תלויים כמו סדר המשוואה.

פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאליתהוא פתרון המתקבל מפתרון כללי לערכים מספריים שונים של קבועים שרירותיים. הערכים של קבועים שרירותיים נמצאים בערכים ראשוניים מסוימים של הארגומנט והפונקציה.

הגרף של פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית נקרא עקומה אינטגרלית.

דוגמאות

1. מצא פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון

xdx + ydy = 0, אם y= 4 ב איקס = 3.

פִּתָרוֹן. שילוב שני הצדדים של המשוואה, נקבל

תגובה. קבוע C שרירותי המתקבל כתוצאה מאינטגרציה יכול להיות מיוצג בכל צורה הנוחה לטרנספורמציות נוספות. במקרה זה, תוך התחשבות במשוואה הקנונית של מעגל, נוח לייצג קבוע C שרירותי בצורה .

- פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

פתרון מיוחד של המשוואה העומדת בתנאי ההתחלה y = 4 ב איקס = 3 נמצא מהכלל על ידי החלפת התנאים ההתחלתיים בפתרון הכללי: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

החלפת C=5 בפתרון הכללי, נקבל x 2 +y 2 = 5 2 .

זהו פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית המתקבלת מפתרון כללי בתנאים התחלתיים נתונים.

2. מצא את הפתרון הכללי למשוואת הדיפרנציאל

הפתרון למשוואה זו הוא כל פונקציה של הצורה, כאשר C הוא קבוע שרירותי. ואכן, החלפה לתוך המשוואות, נקבל: , .

כתוצאה מכך, למשוואה דיפרנציאלית זו יש מספר אינסופי של פתרונות, שכן עבור ערכים שונים של הקבוע C, השוויון קובע פתרונות שונים למשוואה.

לדוגמה, על ידי החלפה ישירה אתה יכול לוודא שהפונקציות הם פתרונות למשוואה.

בעיה שבה אתה צריך למצוא פתרון מסוים למשוואה y" = f(x,y)עמידה בתנאי ההתחלה y(x 0) = y 0, נקראת בעיית Cauchy.

פתרון המשוואה y" = f(x,y), עמידה בתנאי ההתחלתי, y(x 0) = y 0, נקרא פתרון לבעיית Cauchy.

לפתרון לבעיית קאוצ'י יש משמעות גיאומטרית פשוטה. אכן, לפי הגדרות אלו, לפתור את בעיית קאוצ'י y" = f(x,y)בהתחשב בכך ש y(x 0) = y 0, פירושו למצוא את העקומה האינטגרלית של המשוואה y" = f(x,y)שעובר דרך נקודה נתונה M 0 (x 0,y 0).

II. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

2.1. מושגים בסיסיים

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון היא משוואה של הצורה F(x,y,y") = 0.

משוואת דיפרנציאלית מסדר ראשון כוללת את הנגזרת הראשונה ואינה כוללת נגזרות מסדר גבוה יותר.

המשוואה y" = f(x,y)נקרא משוואה מסדר ראשון שנפתרה ביחס לנגזרת.

הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון הוא פונקציה של הצורה , המכילה קבוע שרירותי אחד.

דוגמא.שקול משוואת דיפרנציאלית מסדר ראשון.

הפתרון למשוואה זו הוא הפונקציה.

ואכן, החלפת המשוואה הזו בערכה, אנו מקבלים

זה 3x=3x

לכן, הפונקציה היא פתרון כללי למשוואה עבור כל קבוע C.

מצא פתרון מסוים למשוואה זו המקיים את התנאי ההתחלתי y(1)=1החלפת תנאים ראשוניים x = 1, y = 1לתוך הפתרון הכללי של המשוואה, נגיע מאיפה C=0.

לפיכך, אנו מקבלים פתרון מסוים מהכללי על ידי החלפת הערך המתקבל במשוואה זו C=0- פתרון פרטי.

2.2. משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה

משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה היא משוואה בצורה: y"=f(x)g(y)או דרך דיפרנציאלים, איפה f(x)ו g(y)- פונקציות שצוינו.

לאלה y, עבורו , המשוואה y"=f(x)g(y)שווה למשוואה, שבו המשתנה yקיים רק בצד שמאל, והמשתנה x נמצא רק בצד ימין. הם אומרים, "ב Eq. y"=f(x)g(yבואו נפריד בין המשתנים".

משוואה של הצורה נקרא משוואת משתנה מופרד.

שילוב שני הצדדים של המשוואה על ידי איקס, אנחנו מקבלים G(y) = F(x) + Cהוא הפתרון הכללי של המשוואה, איפה G(y)ו F(x)– כמה נגזרות אנטי, בהתאמה, של פונקציות ו f(x), גקבוע שרירותי.

אלגוריתם לפתרון משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון עם משתנים הניתנים להפרדה

דוגמה 1

פתור את המשוואה y" = xy

פִּתָרוֹן. נגזרת של פונקציה y"להחליף אותו ב

בואו נפריד בין המשתנים

בואו נשלב את שני הצדדים של השוויון:

דוגמה 2

2yy" = 1- 3x 2, אם y 0 = 3בְּ- x 0 = 1

זוהי משוואת משתנה מופרדת. בואו נדמיין את זה בהפרשים. לשם כך, נכתוב מחדש את המשוואה הזו בטופס מכאן

אנו מוצאים שילוב של שני הצדדים של השוויון האחרון

החלפת הערכים ההתחלתיים x 0 = 1, y 0 = 3אנחנו נמצא עם 9=1-1+ג, כלומר C = 9.

לכן, האינטגרל החלקי הנדרש יהיה אוֹ

דוגמה 3

כתבו משוואה לעקומה העוברת דרך נקודה M(2;-3)ובעל משיק עם מקדם זוויתי

פִּתָרוֹן. לפי התנאי

זוהי משוואה עם משתנים הניתנים להפרדה. מחלקים את המשתנים, נקבל:

שילוב שני הצדדים של המשוואה, נקבל:

תוך שימוש בתנאים ההתחלתיים, x = 2ו y = - 3אנחנו נמצא ג:

לכן, למשוואה הנדרשת יש את הצורה

2.3. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון

משוואה דיפרנציאלית לינארית מהסדר הראשון היא משוואה של הצורה y" = f(x)y + g(x)

איפה f(x)ו g(x)- כמה פונקציות שצוינו.

אם g(x)=0אז המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית נקראת הומוגנית ויש לה את הצורה: y" = f(x)y

אם אז המשוואה y" = f(x)y + g(x)נקרא הטרוגני.

פתרון כללי של משוואת דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית y" = f(x)yניתן על ידי הנוסחה: איפה עם- קבוע שרירותי.

בפרט, אם C =0,אז הפתרון הוא y = 0אם למשוואה הומוגנית ליניארית יש את הצורה y" = kyאיפה קהוא קבוע כלשהו, ​​אז לפתרון הכללי שלו יש את הצורה: .

פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית y" = f(x)y + g(x)ניתן על ידי הנוסחה ,

הָהֵן. שווה לסכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית הליניארית המתאימה והפתרון המסוים של משוואה זו.

עבור משוואה לא הומוגנית ליניארית של הצורה y" = kx + b,

איפה קו ב- מספרים מסוימים ופתרון מסוים יהיו פונקציה קבועה. לכן, לפתרון הכללי יש את הצורה .

דוגמא. פתור את המשוואה y" + 2y +3 = 0

פִּתָרוֹן. בואו נציג את המשוואה בצורה y" = -2y - 3איפה k = -2, b= -3הפתרון הכללי ניתן על ידי הנוסחה.

לכן, כאשר C הוא קבוע שרירותי.

2.4. פתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון בשיטת ברנולי

מציאת פתרון כללי למשוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון y" = f(x)y + g(x)מפחית לפתרון שתי משוואות דיפרנציאליות עם משתנים מופרדים באמצעות החלפה y=uv, איפה uו v- פונקציות לא ידועות מ איקס. שיטת פתרון זו נקראת שיטת ברנולי.

אלגוריתם לפתרון משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון

y" = f(x)y + g(x)

1. הזן החלפה y=uv.

2. להבדיל את השוויון הזה y" = u"v + uv"

3. מחליף yו y"לתוך המשוואה הזו: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)אוֹ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. קבץ את מונחי המשוואה כך uתוציא את זה מהסוגריים:

5. מהסוגר, משווה אותו לאפס, מצא את הפונקציה

זוהי משוואה ניתנת להפרדה:

בואו נחלק את המשתנים ונקבל:

איפה . .

6. החלף את הערך המתקבל vלתוך המשוואה (משלב 4):

ומצא את הפונקציה זוהי משוואה עם משתנים הניתנים להפרדה:

7. כתבו את הפתרון הכללי בטופס: , כלומר .

דוגמה 1

מצא פתרון מסוים למשוואה y" = -2y +3 = 0אם y =1בְּ- x = 0

פִּתָרוֹן. בוא נפתור את זה באמצעות החלפה y=uv,.y" = u"v + uv"

מחליף yו y"לתוך המשוואה הזו, אנחנו מקבלים

על ידי קיבוץ האיברים השני והשלישי בצד שמאל של המשוואה, אנו מוציאים את הגורם המשותף u מחוץ לסוגריים

נשווה את הביטוי בסוגריים לאפס ולאחר שפתרנו את המשוואה שהתקבלה, נמצא את הפונקציה v = v(x)

נקבל משוואה עם משתנים מופרדים. בואו נשלב את שני הצדדים של המשוואה הזו: מצא את הפונקציה v:

בואו נחליף את הערך המתקבל vלתוך המשוואה נקבל:

זוהי משוואת משתנה מופרדת. בואו נשלב את שני הצדדים של המשוואה: בוא נמצא את הפונקציה u = u(x,c) בוא נמצא פתרון כללי: הבה נמצא פתרון מסוים למשוואה העונה על התנאים ההתחלתיים y = 1בְּ- x = 0:

III. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה יותר

3.1. מושגי יסוד והגדרות

משוואת דיפרנציאלית מסדר שני היא משוואה המכילה נגזרות שאינן גבוהות מסדר שני. במקרה הכללי, משוואה דיפרנציאלית מסדר שני כתובה כך: F(x,y,y",y") = 0

הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית מסדר שני הוא פונקציה של הצורה , הכוללת שני קבועים שרירותיים C 1ו C 2.

פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית מסדר שני הוא פתרון המתקבל מפתרון כללי עבור ערכים מסוימים של קבועים שרירותיים C 1ו C 2.

3.2. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות מהסדר השני עם מקדמים קבועים.

משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית מהסדר השני עם מקדמים קבועיםנקרא משוואה של הצורה y" + py" +qy = 0, איפה עו ש- ערכים קבועים.

אלגוריתם לפתרון משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים

1. כתוב את המשוואה הדיפרנציאלית בצורה: y" + py" +qy = 0.

2. צור את המשוואה האופיינית שלו, מציינת y"דרך r 2, y"דרך ר, yב-1: r 2 + pr +q = 0