כיצד לפתור משוואות ריבועיות אם המבחין שלילי. משוואות ריבועיות

המבחין, כמו משוואות ריבועיות, מתחילים ללמוד בקורס אלגברה בכיתה ח'. לְהַחלִיט משוואה ריבועיתזה אפשרי באמצעות אבחנה ושימוש במשפט של וייטה. השיטה של ​​לימוד משוואות ריבועיות, כמו גם נוסחאות מבדילות, נלמדת בצורה לא מוצלחת לתלמידי בית הספר, כמו הרבה דברים בחינוך האמיתי. לכן הם עוברים שנות בית ספר, החינוך בכיתות ט'-י"א מחליף את " השכלה גבוהה"וכולם מסתכלים שוב - "איך פותרים משוואה ריבועית?", "איך למצוא את שורשי המשוואה?", "איך למצוא את המבחין?" ו...

נוסחה מפלה

המבחין D של המשוואה הריבועית a*x^2+bx+c=0 שווה ל-D=b^2–4*a*c.
השורשים (הפתרונות) של משוואה ריבועית תלויים בסימן המבחין (D):
D>0 – למשוואה יש 2 שורשים אמיתיים שונים;
D=0 - למשוואה יש שורש אחד (2 שורשים תואמים):
ד<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
הנוסחה לחישוב ההבחנה היא פשוטה למדי, ולכן אתרי אינטרנט רבים מציעים מחשבון מבחנה מקוון. עוד לא הבנו סוג זה של סקריפטים, אז אם מישהו יודע איך ליישם את זה, אנא כתוב לנו במייל כתובת דוא"ל זו מוגנת מפני ספבוטים. עליך להפעיל JavaScript כדי לצפות בו. .

נוסחה כללית למציאת השורשים של משוואה ריבועית:

אנו מוצאים את שורשי המשוואה באמצעות הנוסחה
אם המקדם של משתנה בריבוע מזווג, אז רצוי לחשב לא את המבחין, אלא את החלק הרביעי שלו.
במקרים כאלה, שורשי המשוואה נמצאים באמצעות הנוסחה

הדרך השנייה למצוא שורשים היא משפט וייטה.

המשפט מנוסח לא רק עבור משוואות ריבועיות, אלא גם עבור פולינומים. אתה יכול לקרוא את זה בוויקיפדיה או במשאבים אלקטרוניים אחרים. עם זאת, כדי לפשט, הבה נבחן את החלק הנוגע למשוואות הריבועיות לעיל, כלומר, משוואות הצורה (a=1)
המהות של הנוסחאות של וייטה היא שסכום שורשי המשוואה שווה למקדם המשתנה, בסימן ההפוך. מכפלת שורשי המשוואה שווה לאיבר החופשי. ניתן לכתוב את המשפט של וייטה בנוסחאות.
הגזירה של הנוסחה של Vieta היא די פשוטה. בוא נכתוב את המשוואה הריבועית באמצעות גורמים פשוטים
כפי שאתה יכול לראות, הכל גאוני הוא פשוט בו זמנית. יעיל להשתמש בנוסחה של Vieta כאשר ההבדל במודול השורשים או ההבדל במודולים של השורשים הוא 1, 2. לדוגמה, למשוואות הבאות, לפי המשפט של Vieta, יש שורשים




עד משוואה 4, הניתוח אמור להיראות כך. המכפלה של שורשי המשוואה היא 6, לכן השורשים יכולים להיות הערכים (1, 6) ו- (2, 3) או זוגות עם סימנים מנוגדים. סכום השורשים הוא 7 (מקדם המשתנה עם הסימן ההפוך). מכאן אנו מסיקים שהפתרונות למשוואה הריבועית הם x=2; x=3.
קל יותר לבחור את שורשי המשוואה בין המחלקים של המונח החופשי, תוך התאמת הסימן שלהם על מנת להגשים את נוסחאות ה-Vieta. בהתחלה זה נראה קשה לביצוע, אבל עם תרגול על מספר משוואות ריבועיות, טכניקה זו תתברר כיעילה יותר מאשר חישוב המבחין ומציאת שורשי המשוואה הריבועית בדרך הקלאסית.
כפי שניתן לראות, תורת בית הספר של לימוד המבחין ושיטות מציאת פתרונות למשוואה נטולת משמעות מעשית - "מדוע תלמידי בית ספר צריכים משוואה ריבועית?", "מהי המשמעות הפיזית של המבחין?"

בואו ננסה להבין את זה מה מתאר המאבחן?

בקורס אלגברה לומדים פונקציות, סכמות ללימוד פונקציות ובניית גרף של פונקציות. מכל הפונקציות תופסת הפרבולה מקום חשוב, שאת המשוואה שלה ניתן לכתוב בצורה
אז המשמעות הפיזיקלית של המשוואה הריבועית היא האפסים של הפרבולה, כלומר, נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר האבשיסה Ox
אני מבקש מכם לזכור את תכונות הפרבולות המתוארות להלן. יגיע הזמן לגשת למבחנים, מבחנים או מבחני כניסה ותהיה אסיר תודה על חומר העזר. הסימן של המשתנה בריבוע מתאים לשאלה האם הענפים של הפרבולה בגרף יעלו למעלה (a>0),

או פרבולה עם ענפים למטה (א<0) .

קודקוד הפרבולה נמצא באמצע הדרך בין השורשים

המשמעות הפיזית של המבדיל:

אם המבחין גדול מאפס (D>0) לפרבולה יש שתי נקודות חיתוך עם ציר השור.
אם המבחין הוא אפס (D=0) אז הפרבולה בקודקוד נוגעת בציר ה-x.
ו מקרה אחרוןכאשר המפלה פחות מאפס(ד<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

משוואות ריבועיות לא שלמות

בואו נשקול את הבעיה. בסיס המלבן גדול מגובהו ב-10 ס"מ ושטחו 24 ס"מ. מצא את גובה המלבן. לתת איקססנטימטרים הוא גובה המלבן, ואז הבסיס שלו שווה ל- איקס+10) ס"מ. השטח של מלבן זה הוא איקס(איקס+ 10) cm². לפי תנאי הבעיה איקס(איקס+ 10) = 24. פתיחת הסוגריים והזזת המספר 24 עם הסימן הנגדי לצד שמאל של המשוואה, נקבל: איקס² + 10 איקס-24 = 0. כשפותרים בעיה זו התקבלה משוואה שנקראת ריבועית.

משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה

גַרזֶן ²+ bx+c= 0

איפה א ב ג- מספרים נתונים, ו א≠ 0, ו איקס- לא ידוע.

קְטָטָה א ב גהמשוואה הריבועית נקראת בדרך כלל: א- המקדם הראשון או הגבוה ביותר, ב- מקדם שני, ג- חבר חינם. לדוגמה, בבעיה שלנו, המקדם המוביל הוא 1, המקדם השני הוא 10, והמונח החופשי הוא -24. פתרון בעיות רבות במתמטיקה ובפיזיקה מסתכם בפתרון משוואות ריבועיות.

פתרון משוואות ריבועיות

השלם משוואות ריבועיות. הצעד הראשון הוא להביא את המשוואה הנתונה לצורה סטנדרטית גַרזֶן²+ bx+ c = 0. נחזור לבעיה שלנו, שבה ניתן לכתוב את המשוואה כ איקס(איקס+ 10) = 24 בואו נביא את זה לצורה סטנדרטית, פתח את הסוגריים איקס² + 10 איקס- 24 = 0, אנו פותרים את המשוואה הזו באמצעות הנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית כללית.

הביטוי מתחת לסימן השורש בנוסחה זו נקרא המבחין D = ב² - 4 ac

אם D>0, אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים שונים, אותם ניתן למצוא באמצעות הנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית.

אם D=0, אז למשוואה הריבועית יש שורש אחד.

אם ד<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

בואו נחליף את הערכים בנוסחה שלנו א= 1, ב= 10, ג= -24.

נקבל D>0, לכן נקבל שני שורשים.

הבה נבחן דוגמה שבה D=0, בתנאי זה צריך להיות שורש אחד.

25איקס² - 30 איקס+ 9 = 0

שקול דוגמה שבה D<0, при этом условии решения не должно быть.

2איקס² + 3 איקס+ 4 = 0

המספר מתחת לסימן השורש (מבחין) הוא שלילי; אנו כותבים את התשובה באופן הבא: למשוואה אין שורשים אמיתיים.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

משוואה ריבועית גַרזֶן² + bx+ ג= 0 נקרא לא שלם אם לפחות אחד מהמקדמים באוֹ גשווה לאפס. משוואה ריבועית לא שלמה היא משוואה מאחד מהסוגים הבאים:

גַרזֶן² = 0,

גַרזֶן² + ג= 0, ג≠ 0,

גַרזֶן² + bx= 0, ב≠ 0.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות ונפתור את המשוואה

חלוקת שני הצדדים של המשוואה ב-5 נותנת את המשוואה איקס² = 0, לתשובה יהיה שורש אחד איקס= 0.

שקול משוואה של הצורה

3איקס² - 27 = 0

מחלקים את שני הצדדים ב-3, נקבל את המשוואה איקס² - 9 = 0, או שאפשר לכתוב אותו איקס² = 9, לתשובה יהיו שני שורשים איקס= 3 ו איקס= -3.

שקול משוואה של הצורה

2איקס² + 7 = 0

מחלקים את שני הצדדים ב-2, נקבל את המשוואה איקס² = -7/2. למשוואה זו אין שורשים אמיתיים, שכן איקס² ≥ 0 עבור כל מספר ממשי איקס.

שקול משוואה של הצורה

3איקס² + 5 איקס= 0

אם נחשוב על הצד השמאלי של המשוואה, נקבל איקס(3איקס+ 5) = 0, לתשובה יהיו שני שורשים איקס= 0, איקס=-5/3.

הדבר החשוב ביותר בפתרון משוואות ריבועיות הוא להביא את המשוואה הריבועית לצורה סטנדרטית, לשנן את הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית כללית ולא להתבלבל בסימנים.

במונח "משוואה ריבועית", מילת המפתח היא "ריבועית". המשמעות היא שהמשוואה חייבת להכיל בהכרח משתנה (אותו x) בריבוע, ואסור שיהיו איקסים בחזקת השלישית (או הגדולה יותר).

הפתרון של משוואות רבות מסתכם בפתרון משוואות ריבועיות.

בואו נלמד לקבוע שזו משוואה ריבועית ולא משוואה אחרת.

דוגמה 1.

בואו נפטר מהמכנה ונכפיל כל איבר של המשוואה ב

נזיז הכל לצד שמאל ונסדר את האיברים בסדר יורד של חזקה של X

כעת אנו יכולים לומר בביטחון שהמשוואה הזו היא ריבועית!

דוגמה 2.

הכפל את הצד השמאלי והימין ב:

משוואה זו, למרות שהיא הייתה בתוכה במקור, אינה ריבועית!

דוגמה 3.

בואו נכפיל הכל ב:

מַפְחִיד? המעלות הרביעית והשנייה... עם זאת, אם נעשה החלפה, נראה שיש לנו משוואה ריבועית פשוטה:

דוגמה 4.

נראה שזה קיים, אבל בואו נסתכל מקרוב. בואו נעביר הכל לצד שמאל:

תראה, זה מצטמצם - ועכשיו זו משוואה ליניארית פשוטה!

כעת נסו לקבוע בעצמכם אילו מהמשוואות הבאות הן ריבועיות ואילו לא:

דוגמאות:

תשובות:

1. כיכר;
2. כיכר;
3. לא מרובע;
4. לא מרובע;
5. לא מרובע;
6. כיכר;
7. לא מרובע;
8. כיכר.

מתמטיקאים מחלקים באופן מקובל את כל המשוואות הריבועיות לסוגים הבאים:

• השלם משוואות ריבועיות- משוואות שבהן המקדמים וכמו כן האיבר החופשי c אינם שווים לאפס (כמו בדוגמה). בנוסף, בין משוואות ריבועיות שלמות יש נָתוּן- אלו הן משוואות שבהן המקדם (המשוואה מדוגמה אחת לא רק מלאה, אלא גם מופחתת!)

• משוואות ריבועיות לא שלמות- משוואות שבהן המקדם או האיבר החופשי c שווים לאפס:

  הם לא שלמים כי חסר להם אלמנט כלשהו. אבל המשוואה חייבת תמיד להכיל x בריבוע!!! אחרת, זו כבר לא תהיה משוואה ריבועית, אלא משוואה אחרת.

למה הם המציאו חלוקה כזו? נראה שיש איקס בריבוע, וזה בסדר. חלוקה זו נקבעת לפי שיטות הפתרון. בואו נסתכל על כל אחד מהם ביתר פירוט.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

ראשית, בואו נתמקד בפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות – הן הרבה יותר פשוטות!

ישנם סוגים של משוואות ריבועיות לא שלמות:

1. , במשוואה זו המקדם שווה.
2. , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.
3. , במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.

1. אני. מכיוון שאנו יודעים לקחת את השורש הריבועי, בואו נבטא מהמשוואה הזו

הביטוי יכול להיות שלילי או חיובי. מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי, כי כשמכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי, אז: אם, אז למשוואה אין פתרונות.

ואם, אז נקבל שני שורשים. אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. העיקר שצריך לדעת ולזכור תמיד שזה לא יכול להיות פחות.

בואו ננסה לפתור כמה דוגמאות.

דוגמה 5:

פתור את המשוואה

כעת כל שנותר הוא לחלץ את השורש מצד שמאל וימין. אחרי הכל, אתה זוכר איך לחלץ שורשים?

תשובה:

לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!!!

דוגמה 6:

פתור את המשוואה

תשובה:

דוגמה 7:

פתור את המשוואה

הו! הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה

ללא שורשים!

עבור משוואות כאלה שאין להן שורשים, המתמטיקאים המציאו אייקון מיוחד - (סט ריק). ואת התשובה אפשר לכתוב כך:

תשובה:

לפיכך, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים. אין כאן הגבלות, כי לא חילצנו את השורש.
דוגמה 8:

פתור את המשוואה

הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:

לכן,

למשוואה זו יש שני שורשים.

תשובה:

הסוג הפשוט ביותר של משוואות ריבועיות לא שלמות (למרות שכולן פשוטות, נכון?). ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:

נפטר כאן מדוגמאות.

פתרון משוואות ריבועיות שלמות

אנו מזכירים לכם שמשוואה ריבועית מלאה היא משוואה של משוואת הצורה שבה

פתרון משוואות ריבועיות שלמות הוא קצת יותר קשה (רק קצת) מאלה.

זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות אבחנה! אפילו לא שלם.

השיטות האחרות יעזרו לך לעשות את זה מהר יותר, אבל אם יש לך בעיות עם משוואות ריבועיות, תחילה שלטו בפתרון באמצעות המבחין.

1. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות אבחנה.

פתרון משוואות ריבועיות בשיטה זו הוא פשוט מאוד; העיקר הוא לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות.

אם, אז למשוואה יש שורש. אתה צריך לשים לב במיוחד לשלב. מאבחן () אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.

• אם, אז הנוסחה בשלב תצטמצם ל. לפיכך, למשוואה יהיה רק ​​שורש.
• אם, אז לא נוכל לחלץ את שורש המבחין במדרגה. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.

נחזור למשוואות שלנו ונסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמה 9:

פתור את המשוואה

שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

זה אומר שלמשוואה יש שני שורשים.

שלב 3.

תשובה:

דוגמה 10:

פתור את המשוואה

המשוואה מוצגת בצורה סטנדרטית, אז שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

זה אומר שלמשוואה יש שורש אחד.

תשובה:

דוגמה 11:

פתור את המשוואה

המשוואה מוצגת בצורה סטנדרטית, אז שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

המשמעות היא שלא נוכל לחלץ את שורשו של המפלה. אין שורשים של המשוואה.

עכשיו אנחנו יודעים איך לרשום נכון תשובות כאלה.

תשובה:ללא שורשים

2. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה.

אם אתה זוכר, יש סוג של משוואה שנקרא מופחת (כאשר מקדם a שווה ל):

קל מאוד לפתור משוואות כאלה באמצעות משפט וייטה:

סכום השורשים נָתוּןהמשוואה הריבועית שווה, ומכפלת השורשים שווה.

דוגמה 12:

פתור את המשוואה

ניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות משפט וייטה כי .

סכום שורשי המשוואה שווה, כלומר. נקבל את המשוואה הראשונה:

והמוצר שווה ל:

בואו נרכיב ונפתור את המערכת:

• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הכמות שווה.

והם הפתרון למערכת:

תשובה: ; .

דוגמה 13:

פתור את המשוואה

תשובה:

דוגמה 14:

פתור את המשוואה

המשוואה ניתנת, כלומר:

תשובה:

משוואות ריבועיות. רמה ממוצעת

מהי משוואה ריבועית?

במילים אחרות, משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה, שבה - הלא נודע, - מספרים מסוימים, ו.

המספר נקרא הגבוה ביותר או מקדם ראשוןמשוואה ריבועית, - מקדם שני, א - חבר חינם.

למה? כי אם המשוואה מיד הופכת לינארית, כי ייעלם.

במקרה זה, והוא יכול להיות שווה לאפס. בכיסא הזה משוואת הכיסא נקראת לא שלמה. אם כל המונחים קיימים, כלומר, המשוואה הושלמה.

פתרונות לסוגים שונים של משוואות ריבועיות

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות:

ראשית, בואו נסתכל על שיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות - הן פשוטות יותר.

אנו יכולים להבחין בין סוגי המשוואות הבאים:

I., במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.

II. , במשוואה זו המקדם שווה.

III. , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.

כעת נסתכל על הפתרון לכל אחד מתתי הסוגים הללו.

ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:

מספר בריבוע אינו יכול להיות שלילי, כי כאשר מכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי. זו הסיבה:

אם, אז למשוואה אין פתרונות;

אם יש לנו שני שורשים

אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. הדבר העיקרי שיש לזכור הוא שזה לא יכול להיות פחות.

דוגמאות:

פתרונות:

תשובה:

לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!

הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה

ללא שורשים.

כדי לרשום בקצרה שלבעיה אין פתרונות, אנו משתמשים בסמל הסט הריק.

תשובה:

אז, למשוואה הזו יש שני שורשים: ו.

תשובה:

הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:

המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. זה אומר שלמשוואה יש פתרון כאשר:

אז, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים: ו.

דוגמא:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

בואו נחשוב על הצד השמאלי של המשוואה ונמצא את השורשים:

תשובה:

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות שלמות:

1. מפלה

פתרון משוואות ריבועיות בדרך זו קל, העיקר לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות. זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות אבחנה! אפילו לא שלם.

שמתם לב לשורש מהאבחנה בנוסחה לשורשים? אבל המאבחן יכול להיות שלילי. מה לעשות? עלינו לשים לב במיוחד לשלב 2. המבחין אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.

• אם, אז למשוואה יש שורשים:
• אם, אז למשוואה יש אותם שורשים, ולמעשה, שורש אחד:

  שורשים כאלה נקראים שורשים כפולים.

• אם, אזי שורש המבחין לא נשלף. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.

מדוע אפשר מספר שונה של שורשים? הבה נפנה למשמעות הגאומטרית של המשוואה הריבועית. הגרף של הפונקציה הוא פרבולה:

במקרה מיוחד, שהוא משוואה ריבועית,. המשמעות היא שהשורשים של משוואה ריבועית הם נקודות החיתוך עם ציר האבשיסה (ציר). פרבולה עשויה שלא לחצות את הציר כלל, או עשויה לחצות אותו באחת (כאשר קודקוד הפרבולה שוכן על הציר) או בשתי נקודות.

בנוסף, המקדם אחראי על כיוון ענפי הפרבולה. אם, אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, ואם, אז מטה.

דוגמאות:

פתרונות:

תשובה:

תשובה: .

תשובה:

זה אומר שאין פתרונות.

תשובה: .

2. משפט וייטה

קל מאוד להשתמש במשפט Vieta: אתה רק צריך לבחור זוג מספרים שהמכפלה שלהם שווה לאיבר החופשי של המשוואה, והסכום שווה למקדם השני שנלקח עם הסימן הנגדי.

חשוב לזכור שניתן ליישם את המשפט של וייטה רק ב משוואות ריבועיות מופחתות ().

בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

דוגמה מס' 1:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

ניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות משפט וייטה כי . מקדמים אחרים: ; .

סכום שורשי המשוואה הוא:

והמוצר שווה ל:

בוא נבחר זוגות מספרים שהמכפלה שלהם שווה ונבדוק אם הסכום שלהם שווה:

• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הכמות שווה.

והם הפתרון למערכת:

כך, והם שורשי המשוואה שלנו.

תשובה: ; .

דוגמה מס' 2:

פִּתָרוֹן:

בוא נבחר זוגות של מספרים שנותנים במכפלה, ואז נבדוק אם הסכום שלהם שווה:

וכן: הם נותנים בסך הכל.

וכן: הם נותנים בסך הכל. כדי להשיג, זה מספיק פשוט לשנות את הסימנים של השורשים כביכול: ואחרי הכל, את המוצר.

תשובה:

דוגמה מס' 3:

פִּתָרוֹן:

האיבר החופשי של המשוואה הוא שלילי, ולכן מכפלת השורשים היא מספר שלילי. זה אפשרי רק אם אחד השורשים שלילי והשני חיובי. לכן סכום השורשים שווה ל הבדלים של המודולים שלהם.

הבה נבחר זוגות של מספרים שנותנים במוצר, ושההפרש ביניהם שווה ל:

וכן: ההבדל ביניהם שווה - אינו מתאים;

וכן: - לא מתאים;

וכן: - לא מתאים;

ו: - מתאים. כל מה שנותר הוא לזכור שאחד השורשים הוא שלילי. מכיוון שהסכום שלהם חייב להיות שווה, השורש בעל המודולוס הקטן יותר חייב להיות שלילי: . אנחנו בודקים:

תשובה:

דוגמה מס' 4:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

המשוואה ניתנת, כלומר:

המונח החופשי הוא שלילי, ולכן מכפלת השורשים היא שלילית. וזה אפשרי רק כאשר שורש אחד של המשוואה שלילי והשני חיובי.

בואו נבחר זוגות של מספרים שהמכפלה שלהם שווה, ולאחר מכן נקבע לאילו שורשים יש סימן שלילי:

ברור שרק השורשים ומתאימים למצב הראשון:

תשובה:

דוגמה מס' 5:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

המשוואה ניתנת, כלומר:

סכום השורשים הוא שלילי, כלומר, לפי לפחות, אחד השורשים הוא שלילי. אבל מכיוון שהמוצר שלהם חיובי, זה אומר שלשני השורשים יש סימן מינוס.

הבה נבחר זוגות של מספרים שהמכפלה שלהם שווה ל:

ברור שהשורשים הם המספרים ו.

תשובה:

מסכים, זה מאוד נוח להמציא שורשים בעל פה, במקום לספור את המבחין המגעיל הזה. נסו להשתמש במשפט של וייטה לעתים קרובות ככל האפשר.

אבל המשפט של וייטה נחוץ על מנת להקל ולהאיץ את מציאת השורשים. כדי שתוכל להפיק תועלת מהשימוש בו, עליך להביא את הפעולות לאוטומטיות. ולשם כך פתרו עוד חמש דוגמאות. אבל אל תרמות: אתה לא יכול להשתמש בגורם מפלה! רק משפט וייטה:

פתרונות למשימות לעבודה עצמאית:

משימה 1. ((x)^(2))-8x+12=0

לפי משפט וייטה:

כרגיל, אנחנו מתחילים את הבחירה עם היצירה:

לא מתאים בגלל הכמות;

: הכמות היא בדיוק מה שאתה צריך.

תשובה: ; .

משימה 2.

ושוב משפט וייטה האהוב עלינו: הסכום חייב להיות שווה, והמכפלה חייבת להיות שווה.

אבל כיון שחייב לא, אלא, אנו משנים את סימני השורשים: ו (בסך הכל).

תשובה: ; .

משימה 3.

הממ... איפה זה?

עליך להעביר את כל המונחים לחלק אחד:

סכום השורשים שווה למוצר.

בסדר, תפסיק! המשוואה לא ניתנת. אבל המשפט של Vieta ישים רק במשוואות הנתונות. אז קודם כל צריך לתת משוואה. אם אינך יכול להוביל, וותר על הרעיון הזה ופתור אותו בדרך אחרת (למשל, באמצעות מפלה). הרשו לי להזכיר לכם כי לתת משוואה ריבועית פירושו להפוך את המקדם המוביל לשווה:

גדול. אז סכום השורשים שווה למכפלה.

כאן זה קל כמו הפגזת אגסים לבחור: אחרי הכל, זה מספר ראשוני (סליחה על הטאוטולוגיה).

תשובה: ; .

משימה 4.

החבר החופשי הוא שלילי. מה מיוחד בזה? והעובדה היא שלשורשים יהיו סימנים שונים. ועכשיו, במהלך הבחירה, אנו בודקים לא את סכום השורשים, אלא את ההבדל במודולים שלהם: ההבדל הזה שווה, אבל מוצר.

אז, השורשים שווים ו, ​​אבל אחד מהם הוא מינוס. משפט וייטה אומר לנו שסכום השורשים שווה למקדם השני עם הסימן ההפוך, כלומר. זה אומר שלשורש הקטן יותר יהיה מינוס: ו, מאז.

תשובה: ; .

משימה 5.

מה כדאי לעשות קודם? נכון, תן את המשוואה:

שוב: אנו בוחרים את הגורמים של המספר, וההבדל שלהם צריך להיות שווה ל:

השורשים שווים ו, ​​אבל אחד מהם הוא מינוס. איזה? הסכום שלהם צריך להיות שווה, כלומר למינוס יהיה שורש גדול יותר.

תשובה: ; .

תן לי לסכם:

1. משפט וייטה משמש רק במשוואות הריבועיות שניתנו.
2. באמצעות משפט וייטה, אתה יכול למצוא את השורשים לפי בחירה, בעל פה.
3. אם המשוואה לא ניתנת או שלא נמצא צמד גורמים מתאים של המונח החופשי, אז אין שורשים שלמים, וצריך לפתור את זה בדרך אחרת (למשל, באמצעות אבחנה).

3. שיטה לבחירת ריבוע שלם

אם כל האיברים המכילים את הלא נודע מיוצגים בצורה של איברים מנוסחאות כפל מקוצר - ריבוע הסכום או ההפרש - אז לאחר החלפת משתנים, ניתן להציג את המשוואה בצורה של משוואה ריבועית לא שלמה מהסוג.

לדוגמה:

דוגמה 1:

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

תשובה:

דוגמה 2:

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

תשובה:

באופן כללי, השינוי ייראה כך:

זה מרמז: .

לא מזכיר לך כלום? זה דבר מפלה! בדיוק כך קיבלנו את נוסחת ההבחנה.

משוואות ריבועיות. בקצרה על הדברים העיקריים

משוואה ריבועית- זוהי משוואה של הצורה, שבה - הלא נודע, - המקדמים של המשוואה הריבועית, - האיבר החופשי.

שלם משוואה ריבועית- משוואה שבה המקדמים אינם שווים לאפס.

משוואה ריבועית מופחתת- משוואה שבה המקדם, כלומר: .

משוואה ריבועית לא שלמה- משוואה שבה המקדם או האיבר החופשי c שווים לאפס:

• אם המקדם, המשוואה נראית כך: ,
• אם יש מונח חופשי, למשוואה יש את הצורה: ,
• אם וכן, המשוואה נראית כך: .

1. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

1.1. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :

1) בואו נביע את הלא נודע: ,

2) בדוק את הסימן של הביטוי:

• אם, אז למשוואה אין פתרונות,
• אם, אז למשוואה יש שני שורשים.

1.2. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :

1) הבה נוציא את הגורם המשותף בין סוגריים: ,

2) המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. לכן, למשוואה יש שני שורשים:

1.3. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה:

למשוואה הזו יש תמיד רק שורש אחד: .

2. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות שלמות של הצורה איפה

2.1. פתרון באמצעות אבחנה

1) בואו נביא את המשוואה לצורה סטנדרטית: ,

2) בוא נחשב את המבחין באמצעות הנוסחה: , המציינת את מספר השורשים של המשוואה:

3) מצא את שורשי המשוואה:

• אם, אז למשוואה יש שורשים, שנמצאים על ידי הנוסחה:
• אם, אז למשוואה יש שורש, שנמצא על ידי הנוסחה:
• אם, אז למשוואה אין שורשים.

2.2. פתרון באמצעות משפט וייטה

סכום השורשים של המשוואה הריבועית המוקטנת (משוואת הצורה שבו) שווה, ומכפלת השורשים שווה, כלומר. , א.

2.3. פתרון בשיטת בחירת ריבוע שלם

אם למשוואה ריבועית של הצורה יש שורשים, אז ניתן לכתוב אותה בצורה: .

ובכן, הנושא הסתיים. אם אתה קורא שורות אלה, זה אומר שאתה מאוד מגניב.

כי רק 5% מהאנשים מסוגלים לשלוט במשהו בעצמם. ואם קראתם עד הסוף, אז אתם ב-5% האלה!

עכשיו הדבר הכי חשוב.

הבנת את התיאוריה בנושא זה. ואני חוזר, זה... זה פשוט מעולה! אתה כבר יותר טוב מהרוב המכריע של עמיתיך.

הבעיה היא שאולי זה לא מספיק...

בשביל מה?

על שעבר בהצלחה את מבחן המדינה המאוחדת, על כניסה לקולג' בתקציב ובעיקר, לכל החיים.

אני לא אשכנע אותך בכלום, אני רק אגיד דבר אחד...

אנשים שקיבלו חינוך טוב מרוויחים הרבה יותר מאלה שלא קיבלו אותו. זו סטטיסטיקה.

אבל זה לא העיקר.

העיקר שהם יותר שמחים (יש מחקרים כאלה). אולי בגלל שהזדמנויות רבות נוספות נפתחות בפניהן והחיים נעשים בהירים יותר? לא יודע...

אבל תחשוב בעצמך...

מה צריך כדי להיות בטוח להיות טוב יותר מאחרים בבחינת המדינה המאוחדת ובסופו של דבר להיות... מאושר יותר?

השג את ידך על ידי פתרון בעיות בנושא זה.

לא תבקשו מכם תיאוריה במהלך הבחינה.

אתה תצטרך לפתור בעיות מול הזמן.

ואם לא פתרת אותם (הרבה!), אתה בהחלט תעשה טעות מטופשת איפשהו או פשוט לא יהיה לך זמן.

זה כמו בספורט - צריך לחזור על זה הרבה פעמים כדי לנצח בוודאות.

מצא את האוסף היכן שתרצה, בהכרח עם פתרונות, ניתוח מפורטולהחליט, להחליט, להחליט!

אתה יכול להשתמש במשימות שלנו (לא חובה) ואנחנו כמובן ממליצים עליהן.

כדי להשתפר בשימוש במשימות שלנו, אתה צריך לעזור להאריך את חיי ספר הלימוד של YouClever שאתה קורא כעת.

אֵיך? ישנן שתי אפשרויות:

1. בטל את הנעילה של כל המשימות הנסתרות במאמר זה - 299 לשפשף.
2. בטל את הנעילה של גישה לכל המשימות הנסתרות בכל 99 המאמרים של ספר הלימוד - 499 לשפשף.

כן, יש לנו 99 מאמרים כאלה בספר הלימוד שלנו וניתן לפתוח מיד גישה לכל המשימות ולכל הטקסטים המוסתרים שבהם.

גישה לכל המשימות הנסתרות ניתנת לכל החיים של האתר.

לסיכום...

אם אתה לא אוהב את המשימות שלנו, מצא אחרים. רק אל תפסיק בתיאוריה.

"מובן" ו"אני יכול לפתור" הם כישורים שונים לחלוטין. אתה צריך את שניהם.

מצא בעיות ופתור אותן!

אני מקווה שלאחר לימוד מאמר זה תלמד כיצד למצוא את השורשים של משוואה ריבועית שלמה.

באמצעות המבחין נפתרות רק משוואות ריבועיות שלמות; כדי לפתור משוואות ריבועיות לא שלמות, משתמשים בשיטות אחרות, אותן תמצאו במאמר "פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות".

אילו משוואות ריבועיות נקראות שלמות? זֶה משוואות בצורה ax 2 + b x + c = 0, כאשר המקדמים a, b ו-c אינם שווים לאפס. לכן, כדי לפתור משוואה ריבועית מלאה, עלינו לחשב את המבחין D.

D = b 2 – 4ac.

בהתאם לערך המפלה, נכתוב את התשובה.

אם המבחין הוא מספר שלילי (D< 0),то корней нет.

אם המבחין הוא אפס, אז x = (-b)/2a. כאשר המבחין הוא מספר חיובי (D > 0),

ואז x 1 = (-b - √D)/2a, ו-x 2 = (-b + √D)/2a.

לדוגמה. פתור את המשוואה x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

תשובה: 2.

פתור משוואה 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

תשובה: אין שורשים.

פתור משוואה 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

תשובה: – 3.5; 1.

אז בואו נדמיין את הפתרון של משוואות ריבועיות שלמות באמצעות הדיאגרמה באיור 1.

באמצעות נוסחאות אלו תוכלו לפתור כל משוואה ריבועית שלמה. אתה רק צריך להיזהר המשוואה נכתבה כפולינום של הצורה הסטנדרטית

א x 2 + bx + c,אחרת אתה עלול לעשות טעות. לדוגמה, בכתיבת המשוואה x + 3 + 2x 2 = 0, אתה יכול להחליט בטעות

a = 1, b = 3 ו-c = 2. לאחר מכן

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ואז למשוואה יש שני שורשים. וזה לא נכון. (ראה פתרון לדוגמה 2 לעיל).

לכן, אם המשוואה לא כתובה כפולינום של הצורה הסטנדרטית, ראשית יש לכתוב את המשוואה הריבועית השלמה כפולינום של הצורה הסטנדרטית (המונום בעל המעריך הגדול ביותר צריך לבוא קודם, כלומר א x 2 ואז עם פחות – bxולאחר מכן חבר חינם עם.

כשפותרים את המשוואה הריבועית המוקטנת ומשוואה ריבועית עם מקדם זוגי במונח השני, אפשר להשתמש בנוסחאות אחרות. בואו נכיר את הנוסחאות הללו. אם במשוואה ריבועית שלמה לאיבר השני יש מקדם זוגי (b = 2k), אז אתה יכול לפתור את המשוואה באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים באיור 2.

משוואה ריבועית מלאה נקראת מופחתת אם המקדם ב x 2 שווה לאחדוהמשוואה תקבל את הצורה x 2 + px + q = 0. ניתן לתת משוואה כזו לפתרון, או שניתן לקבל אותה על ידי חלוקת כל המקדמים של המשוואה במקדם א, עומד ב x 2 .

איור 3 מציג תרשים לפתרון הריבוע המופחת
משוואות. הבה נסתכל על דוגמה ליישום הנוסחאות הנדונות במאמר זה.

דוגמא. פתור את המשוואה

3x 2 + 6x – 6 = 0.

בואו נפתור את המשוואה הזו באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים באיור 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

תשובה: –1 – √3; –1 + √3

ניתן לשים לב שמקדם x במשוואה זו הוא מספר זוגי, כלומר b = 6 או b = 2k, ומכאן k = 3. לאחר מכן ננסה לפתור את המשוואה באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים של האיור D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

תשובה: –1 – √3; –1 + √3. כששמים לב שכל המקדמים במשוואה ריבועית זו מתחלקים ב-3 ומבצעים את החלוקה, נקבל את המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + 2x – 2 = 0 נפתור את המשוואה הזו באמצעות הנוסחאות של הריבוע המופחת
משוואות איור 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

תשובה: –1 – √3; –1 + √3.

כפי שאנו רואים, כאשר פותרים את המשוואה הזו על ידי נוסחאות שונותקיבלנו את אותה תשובה. לכן, לאחר שליטת ביסודיות בנוסחאות המוצגות בתרשים באיור 1, תמיד תוכל לפתור כל משוואה ריבועית שלמה.

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור.

קומפלקס מספרים XI

§ 253. חילוץ שורשים מרובעים ממספרים שליליים.
פתרון משוואות ריבועיות עם מבחנים שליליים

כידוע,

אני 2 = - 1.

באותו הזמן

(- אני ) 2 = (- 1 אני ) 2 = (- 1) 2 אני 2 = -1.

לפיכך, ישנם לפחות שני ערכים של השורש הריבועי של - 1, כלומר אני וגם - אני . אבל אולי יש עוד מספרים מרוכבים שהריבועים שלהם שווים ל-1?

כדי להבהיר שאלה זו, נניח שהריבוע של מספר מרוכב a + bi שווה ל- 1. אז

(a + bi ) 2 = - 1,

א 2 + 2аbi - ב 2 = - 1

שני מספרים מרוכבים שווים אם ורק אם חלקיהם הממשיים ומקדמים של חלקיהם הדמיוניים שווים. בגלל זה

{	א 2 - ב 2 = - 1 אב = 0 (1)

לפי המשוואה השנייה של המערכת (1), לפחות אחד מהמספרים א ו ב חייב להיות אפס. אם ב = 0, אז מהמשוואה הראשונה נקבל א 2 = - 1. מספר א אמיתי, ולכן א 2 > 0. מספר לא שלילי א 2 לא יכול להשתוות מספר שלילי- 1. לכן שוויון ב = 0 הוא בלתי אפשרי במקרה זה. נותר להודות בכך א = 0, אבל אז מהמשוואה הראשונה של המערכת נקבל: - ב 2 = - 1, ב = ± 1.

לכן, המספרים המרוכבים היחידים שהריבועים שלהם הם -1 הם אני וגם - אני , באופן קונבנציונלי, זה כתוב בצורה:

√-1 = ± אני .

בעזרת נימוק דומה, התלמידים יכולים להשתכנע שיש בדיוק שני מספרים שהריבועים שלהם שווים למספר שלילי - א . מספרים כאלה הם √ א אני ו -√ א אני . באופן קונבנציונלי, זה כתוב כך:

√- א = ± √ א אני .

תחת √ א כאן אנו מתכוונים לאריתמטיקה, כלומר חיובית, שורש. לדוגמה, √4 = 2, √9 =.3; בגלל זה

√-4 = + 2אני , √-9 = ± 3 אני

אם קודם לכן, כשבחנו משוואות ריבועיות עם מבחנים שליליים, אמרנו שלמשוואות כאלה אין שורשים, עכשיו אנחנו כבר לא יכולים לומר זאת. למשוואות ריבועיות עם מבחנים שליליים יש שורשים מורכבים. שורשים אלו מתקבלים לפי הנוסחאות המוכרות לנו. ניתן, למשל, את המשוואה איקס 2 + 2איקס + 5 = 0; לאחר מכן

איקס 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 אני .

אז, למשוואה הזו יש שני שורשים: איקס 1 = - 1 +2אני , איקס 2 = - 1 - 2אני . שורשים אלו מצומדים הדדית. מעניין לציין שהסכום שלהם הוא - 2, והמכפלה שלהם היא 5, כך שמשפט וייטה מתקיים.

תרגילים

2022. (מספר סט) פתרו את המשוואות:

א) איקס 2 = - 16; ב) איקס 2 = - 2; ב 3 איקס 2 = - 5.

2023. מצא את כל המספרים המרוכבים שהריבועים שלהם שווים:

א) אני ; ב) 1/2 - √ 3/2 אני ;

2024. פתרו משוואות ריבועיות:

א) איקס 2 - 2איקס + 2 = 0; ב) 4 איקס 2 + 4איקס + 5 = 0; V) איקס 2 - 14איקס + 74 = 0.

פתרו מערכות משוואות (מס' 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2איקס- 3y = 1 xy = 1

2027. הוכיחו שהשורשים של משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים ומבחין שלילי מצומדים הדדית.

2028. הוכיחו שמשפט וייטה נכון לכל משוואות ריבועיות, ולא רק למשוואות עם מבחין לא שלילי.

2029. חבר משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים, ששורשיה הם:

א) איקס 1 = 5 - אני , איקס 2 = 5 + אני ; ב) איקס 1 = 3אני , איקס 2 = - 3אני .

2030. חבר משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים, שאחד משורשיה שווה ל- (3 - אני ) (2אני - 4).

2031. חבר משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים, שאחד משורשיה שווה ל 32 - אני
1- 3אני .