איך למצוא מספר בחזקת שלילי. תואר ותכונותיו

מבית הספר, כולנו מכירים את הכלל לגבי אקספונציה: כל מספר עם מעריך N שווה לתוצאה של הכפלת המספר הזה בעצמו N מספר פעמים. במילים אחרות, 7 בחזקת 3 הוא 7 מוכפל בעצמו שלוש פעמים, כלומר 343. כלל נוסף הוא שהעלאת כל כמות בחזקת 0 נותנת אחד, והעלאת כמות שלילית היא תוצאה של העלאה רגילה ל ההספק אם הוא זוגי, ואותה תוצאה עם סימן מינוס אם הוא אי זוגי.

הכללים גם נותנים את התשובה כיצד להעלות מספר ל דרגה שלילית. כדי לעשות זאת אתה צריך לבנות בדרך הרגילההערך הנדרש לכל מודול של המחוון, ולאחר מכן חלק את היחידה בתוצאה.

מכללים אלו מתברר כי ביצוע משימות אמיתיות הכרוכות בכמויות גדולות ידרוש נוכחות של אמצעים טכניים. באופן ידני אתה יכול להכפיל בעצמך טווח מקסימלי של מספרים עד עשרים עד שלושים, ולאחר מכן לא יותר משלוש או ארבע פעמים. אין להזכיר אז לחלק אחד בתוצאה. לכן, למי שאין ביד מחשבון הנדסי מיוחד, נספר לכם כיצד להעלות מספר לחזק שלילי באקסל.

פתרון בעיות באקסל

כדי לפתור בעיות הכרוכות באקספונציה, Excel מאפשר לך להשתמש באחת משתי אפשרויות.

הראשון הוא השימוש בנוסחה עם סימן "מכסה" סטנדרטי. הזן את הנתונים הבאים בתאי גליון העבודה:

באותו אופן, אתה יכול להעלות את הערך הרצוי לכל כוח - שלילי, שבר. בוא נעשה את זה את הפעולות הבאותוענו על השאלה איך מעלים מספר לחזקה שלילית. דוגמא:

אתה יכול לתקן את =B2^-C2 ישירות בנוסחה.

האפשרות השנייה היא להשתמש בפונקציית "תואר" המוכנה, אשר לוקחת שני ארגומנטים נדרשים - מספר ומעריך. כדי להתחיל להשתמש בו, פשוט הכנס את סימן השוויון (=) בכל תא פנוי, המציין את תחילת הנוסחה, והזן את המילים לעיל. כל שנותר הוא לבחור שני תאים שישתתפו בפעולה (או לציין מספרים ספציפיים באופן ידני) וללחוץ על מקש Enter. בואו נסתכל על כמה דוגמאות פשוטות.

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך כיצד להעלות מספר לחזק שלילי ולחזק רגיל באמצעות אקסל. אחרי הכל, כדי לפתור בעיה זו, אתה יכול להשתמש גם בסמל "המכסה" המוכר וגם בפונקציה המובנית של התוכנית, שקל לזכור. זה יתרון מובהק!

בואו נעבור לעוד דוגמאות מורכבות. בואו נזכור את הכלל לגבי איך להעלות מספר לחזקת שבר שלילי, ונראה שהבעיה הזו נפתרת בקלות רבה באקסל.

אינדיקטורים שברים

בקיצור, האלגוריתם לחישוב מספר עם מעריך שבר הוא כדלקמן.

1. המרת שבר לשבר תקין או לא תקין.
2. נעלה את המספר שלנו למונה של השבר המרה שנוצר.
3. מתוך המספר שהתקבל בפסקה הקודמת, חשב את השורש, בתנאי שהמעריך של השורש יהיה המכנה של השבר המתקבל בשלב הראשון.

מסכים שגם כאשר פועלים עם מספרים קטנים ו שברים נכוניםחישובים כאלה יכולים לקחת הרבה זמן. טוב שלמעבד הגיליון האלקטרוני של Excel לא אכפת איזה מספר מועלה לאיזה כוח. נסה לפתור את הדוגמה הבאה בגליון עבודה של Excel:

באמצעות הכללים הנ"ל ניתן לבדוק ולוודא שהחישוב נעשה נכון.

בסוף מאמרנו נציג בצורה של טבלה עם נוסחאות ותוצאות מספר דוגמאות כיצד להעלות מספר לחזקה שלילית, וכן מספר דוגמאות להפעלה עם מספרים ועצמות שבריות.

טבלה לדוגמה

בדוק את הדוגמאות הבאות בגיליון העבודה שלך ב-Excel. כדי שהכל יעבוד כמו שצריך, עליך להשתמש בהתייחסות מעורבת בעת העתקת הנוסחה. תקן את מספר העמודה המכילה את המספר המועלה ואת מספר השורה המכילה את המחוון. הנוסחה שלך צריכה להיראות בערך כך: "=$B4^C$3."

שימו לב שניתן לחשב מספרים חיוביים (אפילו שאינם מספרים שלמים) ללא בעיות עבור כל מעריך. אין בעיות עם העלאת מספרים כלשהם למספרים שלמים. אבל העלאת מספר שלילי לחזקת שבר תתברר כטעות עבורך, שכן אי אפשר לפעול לפי הכלל המצוין בתחילת המאמר שלנו לגבי העלאת מספרים שליליים, כי זוגיות היא מאפיין בלעדי של מספר שלם.

במאמר זה נבין במה מדובר תואר ב. כאן ניתן הגדרות של כוחו של מספר, בעוד שנבחן בפירוט את כל המעריכים האפשריים, החל מהמעריך הטבעי וכלה באי-רציונלי. בחומר תמצאו הרבה דוגמאות לתארים, המכסים את כל הדקויות שעולות.

ניווט בדף.

כוח עם מעריך טבעי, ריבוע של מספר, קובייה של מספר

בוא נתחיל עם . במבט קדימה, נניח שהגדרת החזקה של מספר a עם מעריך טבעי n ניתנת עבור a, שנכנה אותו. בסיס תואר, ו-n, אשר נקרא מַעֲרִיך. כמו כן, נציין שתואר עם מעריך טבעי נקבע באמצעות מכפלה, כך שכדי להבין את החומר שלמטה יש צורך בהבנה של הכפלת מספרים.

הַגדָרָה.

חזקה של מספר עם מעריך טבעי nהוא ביטוי לצורה a n, שערכה שווה למכפלת n גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-a, כלומר .
בפרט, החזקה של מספר a עם מעריך 1 הוא המספר a עצמו, כלומר, a 1 =a.

כדאי להזכיר מיד על הכללים לקריאת תארים. הדרך האוניברסלית לקרוא את הסימון a n היא: "a בחזקת n". במקרים מסוימים, האפשרויות הבאות מקובלות גם: "א בחזקת n" ו"חזק n של א". לדוגמה, ניקח את החזקה 8 12, זה "שמונה בחזקת שתים עשרה", או "שמונה בחזקת שתים עשרה", או "שמונה בחזקת שמונה".

לחזקה השנייה של מספר, כמו גם לחזקה השלישית של מספר, יש שמות משלהם. החזקה השנייה של מספר נקראת בריבוע המספר, לדוגמה, 7 2 נקרא "שבעה בריבוע" או "ריבוע המספר שבע". החזקה השלישית של מספר נקראת מספרים בקוביות, לדוגמה, ניתן לקרוא את 5 3 כ"חמש קוביות" או שאתה יכול לומר "קובייה של המספר 5".

הגיע הזמן להביא דוגמאות לתארים עם אקספוננטים טבעיים. נתחיל עם התואר 5 7, כאן 5 הוא הבסיס של התואר, ו-7 הוא המעריך. בוא ניתן דוגמה נוספת: 4.32 הוא הבסיס, והמספר הטבעי 9 הוא המעריך (4.32) 9 .

שימו לב שבדוגמה האחרונה, בסיס החזקה 4.32 כתוב בסוגריים: כדי למנוע פערים, נכניס בסוגריים את כל בסיסי החזקה השונים ממספרים טבעיים. כדוגמה, אנו נותנים את התארים הבאים עם אקספוננטים טבעיים , הבסיסים שלהם אינם מספרים טבעיים, ולכן הם כתובים בסוגריים. ובכן, למען הבהירות המלאה, בשלב זה נציג את ההבדל הכלול ברשומות של הצורה (-2) 3 ו--2 3. הביטוי (−2) 3 הוא חזקת −2 עם מעריך טבעי של 3, והביטוי −2 3 (ניתן לכתוב אותו כ-(2 3) ) מתאים למספר, ערך החזקה 2 3 .

שימו לב שיש סימון לחזקת מספר a עם מעריך n מהצורה a^n. יתרה מכך, אם n הוא מספר טבעי רב-ערכי, אזי המעריך נלקח בסוגריים. לדוגמה, 4^9 הוא סימון נוסף לחזקת 4 9. והנה עוד כמה דוגמאות לכתיבת מעלות באמצעות הסמל "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . בהמשך, נשתמש בעיקר בסימון מעלות של הצורה a n .

אחת הבעיות ההפוכות להעלאה לחזקה עם מעריך טבעי היא הבעיה של מציאת בסיס החזקה על ידי ערך ידועתואר ומחוון ידוע. משימה זו מובילה ל.

זה ידוע שרבים מספר רציונלימורכב ממספרים שלמים ושברים, וכל מספר שבר יכול להיות מיוצג כחיובי או שלילי שבר נפוץ. הגדרנו תואר עם מעריך שלם בפסקה הקודמת, לכן, כדי להשלים את ההגדרה של תואר עם מעריך רציונלי, עלינו לתת משמעות לדרגת המספר a עם מעריך שבר m/n, כאשר m הוא מספר שלם ו-n הוא מספר טבעי. בוא נעשה את זה.

הבה נשקול תואר עם מעריך שבר של הצורה . כדי שנכס כוח לכוח יישאר תקף, השוויון חייב להתקיים . אם ניקח בחשבון את השוויון שנוצר ואת האופן שבו קבענו , אז זה הגיוני לקבל את זה בתנאי שעבור m, n ו-a הביטוי הגיוני.

קל לבדוק שלכל המאפיינים של תואר עם מעריך שלם תקפים (זה נעשה בסעיף מאפייני תואר עם מעריך רציונלי).

ההנמקה לעיל מאפשרת לנו לעשות את הדברים הבאים סיכום: אם ניתן m, n ו-a הביטוי הגיוני, אז החזקה של a עם מעריך שבר m/n נקראת השורש ה-n של a בחזקת m.

הצהרה זו מקרבת אותנו להגדרה של תואר עם מעריך שבר. כל שנותר הוא לתאר באיזה m, n ו-a הביטוי הגיוני. בהתאם להגבלות המוטלות על m, n ו-a, ישנן שתי גישות עיקריות.

הדרך הקלה ביותר היא להטיל אילוץ על a על ידי לקיחת a≥0 עבור m חיובי ו-a>0 עבור m שלילי (מכיוון שעבור m≤0 המדרגה 0 של m אינה מוגדרת). אז נקבל את ההגדרה הבאה של תואר עם מעריך שבר.

הַגדָרָה.

חזקת מספר חיובי a עם מעריך שבר m/n, כאשר m הוא מספר שלם ו-n הוא מספר טבעי, נקרא השורש ה-n של המספר a בחזקת m, כלומר.

העוצמה השברית של אפס נקבעת גם עם האזהרה היחידה שהמחוון חייב להיות חיובי.

הַגדָרָה.

חזקת אפס עם מעריך חיובי שבר m/n, כאשר m הוא מספר שלם חיובי ו-n הוא מספר טבעי, מוגדר כ .
כאשר המידה אינה נקבעת, כלומר, המדרגה של המספר אפס עם מעריך שלילי שבריר אינה הגיונית.

יש לציין כי עם הגדרה זו של תואר עם מעריך שבר, יש הסתייגות אחת: עבור חלק a שלילי וחלק m ו-n, הביטוי הגיוני, וזרקנו את המקרים הללו על ידי הכנסת התנאי a≥0. לדוגמה, הערכים הגיוניים או , וההגדרה שניתנה לעיל מאלצת אותנו לומר שחזקות עם מעריך שבר של הצורה לא הגיוני, מכיוון שהבסיס לא צריך להיות שלילי.

גישה נוספת לקביעת תואר עם מעריך שבריר m/n היא לשקול בנפרד מעריכים זוגיים ואי-זוגיים של השורש. גישה זו דורשת תנאי נוסף: החזקה של המספר a, שהמעריך שלו הוא, נחשבת לחזקת המספר a, שהמעריך שלו הוא השבר הבלתי ניתן לצמצום המתאים (נסביר להלן את חשיבותו של תנאי זה). כלומר, אם m/n הוא שבר בלתי ניתן לצמצום, אז עבור כל מספר טבעי k התואר מוחלף תחילה ב-.

עבור n אפילו ו-m חיובי, הביטוי הגיוני עבור כל a לא שלילי (שורש זוגי של מספר שלילי אינו הגיוני); עבור m שלילי, המספר a עדיין חייב להיות שונה מאפס (אחרת תהיה חלוקה באפס). ועבור n אי-זוגי ו-m חיובי, המספר a יכול להיות כל (השורש של מעלה אי-זוגית מוגדר לכל מספר ממשי), ול-m שלילי המספר a חייב להיות שונה מאפס (כדי שלא תהיה חלוקה ב- אֶפֶס).

ההיגיון לעיל מוביל אותנו להגדרה זו של תואר עם מעריך שבר.

הַגדָרָה.

תנו ל-m/n להיות שבר בלתי ניתן לצמצום, m מספר שלם ו-n מספר טבעי. עבור כל שבר שניתן להפחית, התואר מוחלף ב-. החזקה של מספר עם מעריך שבר בלתי ניתן לצמצום m/n היא עבור



הבה נסביר מדוע תואר עם מערך שבר ניתן להפחתה מוחלפת תחילה במעלה עם מעריך בלתי ניתן לצמצום. אם היינו פשוט מגדירים את התואר כ- , ולא נעשה הסתייגות לגבי אי-הצמצום של השבר m/n, אז היינו מתמודדים עם מצבים דומים לאלה: מכיוון ש-6/10 = 3/5, אז השוויון חייב להתקיים , אבל , א .

העלאה לעוצמה שלילית היא אחד המרכיבים הבסיסיים של המתמטיקה ולעתים קרובות נתקלים בה בפתרון בעיות אלגבריות. להלן הנחיות מפורטות.

איך להעלות לכוח שלילי - תיאוריה

כאשר אנו מעלים מספר לחזקה רגילה, אנו מכפילים את ערכו מספר פעמים. לדוגמה, 3 3 = 3×3×3 = 27. עם שבר שלילי ההפך הוא הנכון. טופס כללילפי הנוסחה זה ייראה כך: a -n = 1/a n. לפיכך, כדי להעלות מספר לחזקה שלילית, אתה צריך לחלק אחד במספר הנתון, אבל לחזקה חיובית.

איך להעלות לחזקה שלילית - דוגמאות על מספרים רגילים

תוך שמירה על הכלל לעיל, בואו נפתור כמה דוגמאות.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
תשובה: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
תשובה -4 -2 = 1/16.

אבל מדוע התשובות בדוגמה הראשונה והשנייה זהות? העובדה היא שכאשר מספר שלילי מועלה לחזקה זוגית (2, 4, 6 וכו'), הסימן הופך לחיובי. אם התואר היה שווה, אז המינוס היה נשאר:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

איך להעלות לחזקה שלילית - מספרים מ-0 עד 1

נזכיר שכאשר מספר בין 0 ל-1 מועלה לחזקה חיובית, הערך יורד ככל שהחזקה עולה. כך למשל, 0.5 2 = 0.25. 0.25

דוגמה 3: חשב 0.5 -2
פתרון: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
תשובה: 0.5 -2 = 4

ניתוח (רצף פעולות):

• אנחנו מתרגמים נקודה 0.5 עד חלקי 1/2. יותר קל ככה.
  העלה 1/2 לעוצמה שלילית. 1/(2) -2 . נחלק 1 ב-1/(2) 2, נקבל 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

דוגמה 4: חשב 0.5 -3
פתרון: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

דוגמה 5: חשב -0.5 -3
פתרון: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
תשובה: -0.5 -3 = -8

בהתבסס על הדוגמאות הרביעית והחמישית, אנו יכולים להסיק מספר מסקנות:

• עבור מספר חיובי בטווח שבין 0 ל-1 (דוגמה 4), שהועלה לחזקה שלילית, לא חשוב אם החזקה זוגית או אי זוגית, ערך הביטוי יהיה חיובי. יתרה מכך, ככל שהדרגה גדולה יותר, כך הערך גדול יותר.
• עבור מספר שלילי בטווח שבין 0 ל-1 (דוגמה 5), שהועלה לחזקה שלילית, לא חשוב אם החזקה זוגית או אי-זוגית, ערך הביטוי יהיה שלילי. במקרה זה, ככל שהדרגה גבוהה יותר, כך הערך נמוך יותר.

איך מעלים לחזקה שלילית - חזקה בצורת מספר שבריר

לביטויים מסוג זה יש את הצורה הבאה: a -m/n, כאשר a הוא מספר רגיל, m הוא המונה של התואר, n הוא המכנה של התואר.

בואו נסתכל על דוגמה:
חשב: 8 -1/3

פתרון (רצף פעולות):

• בואו נזכור את הכלל להעלאת מספר לחזקה שלילית. נקבל: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• שימו לב שלמכנה יש את המספר 8 בחזקת שבר. הצורה הכללית של חישוב כוח שבר היא כדלקמן: a m/n = n √8 m.
• לפיכך, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). נקבל את שורש הקובייה של שמונה, ששווה ל-2. מכאן, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• תשובה: 8 -1/3 = 2

מבית הספר, כולנו מכירים את הכלל לגבי אקספונציה: כל מספר עם מעריך N שווה לתוצאה של הכפלת המספר הזה בעצמו N מספר פעמים. במילים אחרות, 7 בחזקת 3 הוא 7 מוכפל בעצמו שלוש פעמים, כלומר 343. כלל נוסף הוא שהעלאת כל כמות בחזקת 0 נותנת אחד, והעלאת כמות שלילית היא תוצאה של העלאה רגילה ל ההספק אם הוא זוגי, ואותה תוצאה עם סימן מינוס אם הוא אי זוגי.

הכללים גם נותנים את התשובה כיצד להעלות מספר לחזקה שלילית. כדי לעשות זאת, אתה צריך להעלות את הערך הנדרש על ידי מודול המחוון בדרך הרגילה, ולאחר מכן לחלק את היחידה בתוצאה.

מכללים אלו מתברר כי ביצוע משימות אמיתיות הכרוכות בכמויות גדולות ידרוש זמינות של אמצעים טכניים. באופן ידני אתה יכול להכפיל בעצמך טווח מקסימלי של מספרים עד עשרים עד שלושים, ולאחר מכן לא יותר משלוש או ארבע פעמים. אין להזכיר אז לחלק אחד בתוצאה. לכן, למי שאין ביד מחשבון הנדסי מיוחד, נספר לכם כיצד להעלות מספר לחזק שלילי באקסל.

פתרון בעיות באקסל

כדי לפתור בעיות הכרוכות באקספונציה, Excel מאפשר לך להשתמש באחת משתי אפשרויות.

הראשון הוא השימוש בנוסחה עם סימן "מכסה" סטנדרטי. הזן את הנתונים הבאים בתאי גליון העבודה:

באותו אופן, אתה יכול להעלות את הערך הרצוי לכל כוח - שלילי, שבר. בואו נבצע את השלבים הבאים ונענה על השאלה איך מעלים מספר לחזק שלילי. דוגמא:

אתה יכול לתקן את =B2^-C2 ישירות בנוסחה.

האפשרות השנייה היא להשתמש בפונקציית "תואר" המוכנה, אשר לוקחת שני ארגומנטים נדרשים - מספר ומעריך. כדי להתחיל להשתמש בו, פשוט הכנס את סימן השוויון (=) בכל תא פנוי, המציין את תחילת הנוסחה, והזן את המילים לעיל. כל שנותר הוא לבחור שני תאים שישתתפו בפעולה (או לציין מספרים ספציפיים באופן ידני) וללחוץ על מקש Enter. בואו נסתכל על כמה דוגמאות פשוטות.

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך כיצד להעלות מספר לחזק שלילי ולחזק רגיל באמצעות אקסל. אחרי הכל, כדי לפתור בעיה זו, אתה יכול להשתמש גם בסמל "המכסה" המוכר וגם בפונקציה המובנית של התוכנית, שקל לזכור. זה יתרון מובהק!

נעבור לדוגמאות מורכבות יותר. בואו נזכור את הכלל לגבי איך להעלות מספר לחזקת שבר שלילי, ונראה שהבעיה הזו נפתרת בקלות רבה באקסל.

אינדיקטורים שברים

בקיצור, האלגוריתם לחישוב מספר עם מעריך שבר הוא כדלקמן.

1. המרת שבר לשבר תקין או לא תקין.
2. נעלה את המספר שלנו למונה של השבר המרה שנוצר.
3. מתוך המספר שהתקבל בפסקה הקודמת, חשב את השורש, בתנאי שהמעריך של השורש יהיה המכנה של השבר המתקבל בשלב הראשון.

מסכים שגם כאשר עובדים עם מספרים קטנים ושברים נאותים, חישובים כאלה יכולים לקחת הרבה זמן. טוב שלמעבד הגיליון האלקטרוני של Excel לא אכפת איזה מספר מועלה לאיזה כוח. נסה לפתור את הדוגמה הבאה בגליון עבודה של Excel:

באמצעות הכללים הנ"ל ניתן לבדוק ולוודא שהחישוב נעשה נכון.

בסוף מאמרנו נציג בצורה של טבלה עם נוסחאות ותוצאות מספר דוגמאות כיצד להעלות מספר לחזקה שלילית, וכן מספר דוגמאות להפעלה עם מספרים ועצמות שבריות.

טבלה לדוגמה

בדוק את הדוגמאות הבאות בגיליון העבודה שלך ב-Excel. כדי שהכל יעבוד כמו שצריך, עליך להשתמש בהתייחסות מעורבת בעת העתקת הנוסחה. תקן את מספר העמודה המכילה את המספר המועלה ואת מספר השורה המכילה את המחוון. הנוסחה שלך צריכה להיראות בערך כך: "=$B4^C$3."

שימו לב שניתן לחשב מספרים חיוביים (אפילו שאינם מספרים שלמים) ללא בעיות עבור כל מעריך. אין בעיות עם העלאת מספרים כלשהם למספרים שלמים. אבל העלאת מספר שלילי לחזקת שבר תתברר כטעות עבורך, שכן אי אפשר לפעול לפי הכלל המצוין בתחילת המאמר שלנו לגבי העלאת מספרים שליליים, כי זוגיות היא מאפיין בלעדי של מספר שלם.

מספר שהועלה לעוצמההם מתקשרים למספר שמוכפל בעצמו כמה פעמים.

כוח של מספר עם ערך שלילי (א - נ) ניתן לקבוע באופן דומה לאופן שבו נקבעת העוצמה של אותו מספר עם מעריך חיובי (א n) . עם זאת, זה דורש גם הגדרה נוספת. הנוסחה מוגדרת כך:

א-נ = (1/a n)

התכונות של חזקות שליליות של מספרים דומות לחזקות עם מעריך חיובי. מוצגת משוואה א m/a n= א מ-נ עשוי להיות הוגן כמו

« בשום מקום, כמו במתמטיקה, הבהירות והדיוק של המסקנה לא מאפשרים לאדם להתפתל מתוך תשובה על ידי דיבור סביב השאלה».

א.ד. אלכסנדרוב

בְּ- נ יותר M , ועם M יותר נ . בואו נסתכל על דוגמה: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

ראשית עליך לקבוע את המספר המשמש כהגדרה של התואר. b=a(-n) . בדוגמה זו -נ הוא מעריך ב - הערך המספרי הרצוי, א - בסיס התואר בצורת טבעי ערך מספרי. לאחר מכן קבע את המודול, כלומר הערך המוחלט של מספר שלילי, שפועל כמעריך. חשב את המידה של מספר נתון ביחס למספר מוחלט, כאינדיקטור. ערך התואר נמצא על ידי חלוקת אחד במספר המתקבל.

אורז. 1

שקול את העוצמה של מספר עם מעריך שבר שלילי. בואו נדמיין שהמספר a הוא כל מספר חיובי, מספרים נ ו M - מספרים שלמים. לפי ההגדרה א , המועלים לשלטון - שווה לאחד חלקי אותו מספר בעל חזקה חיובית (איור 1). כאשר החזקה של מספר היא שבר, אז במקרים כאלה משתמשים רק במספרים עם מעריכים חיוביים.

כדאי לזכורשאפס לעולם לא יכול להיות מעריך של מספר (כלל החלוקה באפס).

התפשטות מושג כזה כמו מספר הפכה למניפולציות כמו חישובי מדידה, כמו גם להתפתחות המתמטיקה כמדע. הכנסת ערכים שליליים נבעה מהתפתחות האלגברה, שנתנה פתרונות כלליים בעיות חשבון, ללא קשר למשמעות הספציפית שלהם ולנתונים המספריים הראשוניים שלהם. בהודו עוד במאות ה-6-11 ערכים שלילייםמספרים שימשו באופן שיטתי במהלך פתרון בעיות ופורשו באותו אופן כמו היום. במדע האירופי, מספרים שליליים החלו להיות בשימוש נרחב הודות לר' דקארט, שנתן פרשנות גיאומטרית מספרים שליליים, ככיווני הקטעים. דקארט הוא שהציע את ייעודו של מספר שהועלה לעוצמה שיוצג כנוסחה דו-קומתית א n .

נוסחאות לתוארמשמש בתהליך של צמצום ופישוט ביטויים מורכבים, בפתרון משוואות ואי-שוויון.

מספר גהוא נ-חזק של מספר אמתי:

פעולות עם תארים.

1. על ידי הכפלת מעלות עם אותו בסיס, האינדיקטורים שלהם מתווספים:

א מ·a n = a m + n .

2. כאשר מחלקים מעלות עם אותו בסיס, המעריכים שלהן מוחסרים:

3. כוח המכפלה של 2 או יותרגורמים שווה למכפלת הכוחות של גורמים אלה:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. דרגת השבר שווה ליחס בין דרגות הדיבידנד והמחלק:

(a/b) n = a n /b n .

5. העלאת חזקה לחזקה, המעריכים מוכפלים:

(a m) n = a m n .

כל נוסחה למעלה נכונה לכיוונים משמאל לימין ולהיפך.

לדוגמה. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

פעולות עם שורשים.

1. שורש המכפלה של מספר גורמים שווה למכפלת השורשים של גורמים אלה:

2. שורש יחס שווה ליחס הדיבידנד ומחלק השורשים:

3. כשמעלים שורש לחזקה, מספיק להעלות את המספר הרדיקלי לעוצמה זו:

4. אם מגדילים את מידת השורש פנימה נפעם אחת ובו זמנית לבנות לתוך נהחזקה היא מספר רדיקלי, אז הערך של השורש לא ישתנה:

5. אם מורידים את מידת השורש פנימה נלחלץ את השורש בו זמנית נהחזקה של מספר רדיקלי, אז הערך של השורש לא ישתנה:

תואר עם מעריך שלילי.החזקה של מספר מסוים עם מעריך לא חיובי (מספר שלם) מוגדרת כאחד מחולק בחזקת אותו מספר עם מעריך שווה לערך המוחלט של המעריך הלא חיובי:

נוּסחָה א מ:a n =a m - nיכול לשמש לא רק עבור M> נ, אבל גם עם M< נ.

לדוגמה. א4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

לנוסחה א מ:a n =a m - nהפך להיות הוגן מתי m=n, נדרשת נוכחות של תואר אפס.

תואר עם מדד אפס.החזקה של כל מספר שאינו שווה לאפס עם מעריך אפס שווה לאחד.

לדוגמה. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

תואר עם מעריך שבר.להעלות מספר אמיתי אלתואר m/n, אתה צריך לחלץ את השורש נהתואר של Mהחזקה של מספר זה א.

מספר שהועלה לעוצמההם מתקשרים למספר שמוכפל בעצמו כמה פעמים.

כוח של מספר עם ערך שלילי (א - נ) ניתן לקבוע באופן דומה לאופן שבו נקבעת העוצמה של אותו מספר עם מעריך חיובי (א n) . עם זאת, זה דורש גם הגדרה נוספת. הנוסחה מוגדרת כך:

א-נ = (1/a n)

התכונות של חזקות שליליות של מספרים דומות לחזקות עם מעריך חיובי. מוצגת משוואה א m/a n= א מ-נ עשוי להיות הוגן כמו

« בשום מקום, כמו במתמטיקה, הבהירות והדיוק של המסקנה לא מאפשרים לאדם להתפתל מתוך תשובה על ידי דיבור סביב השאלה».

א.ד. אלכסנדרוב

בְּ- נ יותר M , ועם M יותר נ . בואו נסתכל על דוגמה: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

ראשית עליך לקבוע את המספר המשמש כהגדרה של התואר. b=a(-n) . בדוגמה זו -נ הוא מעריך ב - הערך המספרי הרצוי, א - בסיס התואר בצורת ערך מספרי טבעי. לאחר מכן קבע את המודול, כלומר הערך המוחלט של מספר שלילי, שפועל כמעריך. חשב את המידה של מספר נתון ביחס למספר מוחלט, כאינדיקטור. ערך התואר נמצא על ידי חלוקת אחד במספר המתקבל.

אורז. 1

שקול את העוצמה של מספר עם מעריך שבר שלילי. בואו נדמיין שהמספר a הוא כל מספר חיובי, מספרים נ ו M - מספרים שלמים. לפי ההגדרה א , המועלים לשלטון - שווה לאחד חלקי אותו מספר בעל חזקה חיובית (איור 1). כאשר החזקה של מספר היא שבר, אז במקרים כאלה משתמשים רק במספרים עם מעריכים חיוביים.

כדאי לזכורשאפס לעולם לא יכול להיות מעריך של מספר (כלל החלוקה באפס).

התפשטות מושג כזה כמו מספר הפכה למניפולציות כמו חישובי מדידה, כמו גם להתפתחות המתמטיקה כמדע. הכנסת ערכים שליליים נבעה מהתפתחות האלגברה, שנתנה פתרונות כלליים לבעיות אריתמטיות, ללא קשר למשמעותן הספציפית ולנתונים המספריים המקוריים. בהודו, עוד במאות ה-6-11, נעשה שימוש שיטתי במספרים שליליים בעת פתרון בעיות והתפרשו באותו אופן כמו היום. במדע האירופי, מספרים שליליים החלו להיות בשימוש נרחב הודות לר' דקארט, שנתן פרשנות גיאומטרית למספרים שליליים ככיווני המקטעים. דקארט הוא שהציע את ייעודו של מספר שהועלה לעוצמה שיוצג כנוסחה דו-קומתית א n .