Hajdemo raditi s kvadratne jednadžbe. Ovo su vrlo popularne jednadžbe! U samom opći pogled kvadratna jednadžba izgleda ovako:

Na primjer:

Ovdje A =1; b = 3; c = -4

Ovdje A =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje A =-3; b = 6; c = -18

Pa razumiješ...

Kako odlučiti kvadratne jednadžbe? Ako pred sobom imate kvadratnu jednadžbu u ovom obliku, onda je sve jednostavno. Zapamtite čarobnu riječ diskriminirajući . Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz "rješavamo pomoću diskriminatora" ulijeva povjerenje i umiruje. Jer od diskriminanta ne treba očekivati ​​trikove! Korištenje je jednostavno i bez problema. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena je onaj diskriminirajući. Kao što vidite, za pronalaženje X koristimo samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Ovo je formula koju izračunavamo. Zamijenimo s vlastitim znakovima! Na primjer, za prvu jednadžbu A =1; b = 3; c= -4. Ovdje zapisujemo:

Primjer je gotovo riješen:

To je sve.

Koji su slučajevi mogući pri korištenju ove formule? Postoje samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se iz njega može izvući korijen. Da li se korijen dobro ili loše vadi, drugo je pitanje. Bitno je ono što se u principu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali to igra ulogu u nejednakostima, gdje ćemo to pitanje detaljnije proučiti.

3. Diskriminant je negativan. Od negativnog broja Korijen nije izvađen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Sve je vrlo jednostavno. I što, mislite da je nemoguće pogriješiti? Pa da, kako...
Najčešće pogreške su zabune s vrijednostima predznaka a, b i c. Ili bolje rečeno, ne s njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje pomaže detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, učiniti!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa, ne budi lijen. Trebat će vam oko 30 sekundi da napišete dodatni red. I broj pogrešaka naglo će se smanjiti. Dakle, pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Pokušati. Pa, ili izaberite. Što je bolje, brzo ili točno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena više neće biti potrebno sve tako pažljivo zapisivati. Sve će se riješiti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike koje su opisane u nastavku. Ovaj opaki primjer s hrpom minusa može se lako i bez grešaka riješiti!

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminant koji smo zapamtili. Ili su naučili, što je također dobro. Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znaš li kako? pozorno zamijenite ih u korijensku formulu i pozorno računati rezultat. Jeste li to razumjeli ključna riječ ovdje - pažljivo?

Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Ovaj nepotpune kvadratne jednadžbe . Također se mogu riješiti pomoću diskriminante. Samo trebate ispravno razumjeti čemu su oni ovdje jednaki. a, b i c.

Jeste li skužili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? Nema ga uopće! Pa da, tako je. U matematici to znači c = 0 ! To je sve. Umjesto toga zamijenite nulu u formulu c, i uspjet ćemo. Isto s drugim primjerom. Samo što mi ovdje nemamo nulu S, A b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo jednostavnije. Bez ikakve diskriminacije. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što možete učiniti na lijevoj strani? Možete uzeti X iz zagrada! Izvadimo ga.

I što iz ovoga? I činjenica da je umnožak jednak nuli ako i samo ako je bilo koji faktor jednak nuli! Ne vjeruješ mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x = 0, ili x = 4

Svi. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su prikladna. Zamjenom bilo kojeg od njih u izvornu jednadžbu dobivamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je puno jednostavnije od korištenja diskriminante.

Druga se jednadžba također može jednostavno riješiti. Premjesti 9 na desna strana. Dobivamo:

Ostaje samo izvući korijen iz 9, i to je to. Ispostavit će se:

Također dva korijena . x = +3 i x = -3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada ili jednostavnim pomicanjem broja udesno i zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X-a, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema se što izbaciti iz zagrade...

Sada zabilježite praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Iste one koje su zbog nepažnje... Za koje kasnije bude bolno i uvredljivo...

Prvi termin. Nemojte biti lijeni prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu i dovedete je u standardni oblik. Što to znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c. Ispravno konstruirajte primjer. Prvo X na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

I opet, nemojte žuriti! Minus ispred X na kvadrat može vas jako uzrujati. Lako se zaboravi... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami. Sada biste trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijenje! Prema Vietinom teoremu. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravanje zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj koji smo koristili za zapis formule korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je jednostavna. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti besplatan član, tj. u našem slučaju -2. Napomena, ne 2, već -2! Besplatan član s tvojim znakom . Ako ne ide, znači da su već negdje zeznuli. Potražite grešku. Ako radi, morate dodati korijenje. Posljednja i konačna provjera. Koeficijent bi trebao biti b S suprotan poznato. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je točno!
Šteta je što je ovo tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Grešaka će biti sve manje.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u prethodni odjeljak. Kada radite s razlomcima, pogreške se stalno pojavljuju iz nekog razloga...

Usput, obećao sam pojednostaviti zao primjer s hrpom minusa. Molim! Evo ga.

Kako se ne bi zbunili minusima, jednadžbu množimo s -1. Dobivamo:

To je sve! Rješavanje je zadovoljstvo!

Dakle, rezimiramo temu.

Praktičan savjet:

1. Kvadratnu jednadžbu prije rješavanja dovodimo u standardni oblik i gradimo Pravo.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent jednako jedan, rješenje se lako može provjeriti pomoću Vietinog teorema. Učini to!

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Nastavljamo svladavati jednadžbe. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednadžbama. Preostala posljednji pogled – frakcijske jednadžbe. Ili se zovu i puno uglednije - frakcijske racionalne jednadžbe. To je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, nego razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Dopustite mi da vas podsjetim da ako su nazivnici samo brojevima, to su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcijske jednadžbe? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga jednadžba najčešće prelazi u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo što nam je činiti... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, kao što je 5=5 ili netočan izraz, kao što je 7=2. Ali to se rijetko događa. Spomenut ću ovo u nastavku.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Jako jednostavno. Primjenom istih identičnih transformacija.

Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s istim izrazom. Tako da su svi nazivnici svedeni! Sve će odmah postati lakše. Dopustite mi da objasnim na primjeru. Trebamo riješiti jednadžbu:

Kako je učio u mlađi razredi? Sve pomaknemo na jednu stranu, dovedemo do zajednički nazivnik itd. Zaboravite kako užasan san! To je ono što trebate učiniti kada zbrajate ili oduzimate razlomke. Ili radite s nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo obje strane s izrazom koji će nam dati priliku svesti sve nazivnike (tj., u biti, zajedničkim nazivnikom). A koji je to izraz?

S lijeve strane, smanjenje nazivnika zahtijeva množenje sa x+2. A s desne strane potrebno je množenje s 2. To znači da se jednadžba mora pomnožiti s 2(x+2). Pomnožiti:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću ga detaljno opisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagradu (x + 2)! Dakle, u cijelosti pišem:

Na lijevoj strani se skroz skuplja (x+2), a desno 2. Što se i tražilo! Nakon redukcije dobivamo linearni jednadžba:

I svatko može riješiti ovu jednadžbu! x = 2.

Riješimo još jedan primjer, malo kompliciraniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1, možemo napisati:

I opet se rješavamo onoga što nam se baš ne sviđa - razlomaka.

Vidimo da za smanjenje nazivnika s X, trebamo pomnožiti razlomak s (x – 2). A nekolicina nam nije smetnja. Pa, ajmo množiti. svi lijeva strana I svi desna strana:

Opet zagrade (x – 2) Ne otkrivam. Zagradu radim kao cjelinu kao da je jedan broj! To se uvijek mora učiniti, inače se ništa neće smanjiti.

Uz osjećaj dubokog zadovoljstva smanjujemo (x – 2) i dobijemo jednadžbu bez razlomaka, s ravnalom!

Sada otvorimo zagrade:

Donosimo slične, pomaknemo sve na lijevu stranu i dobijemo:

Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus naprijed nije dobar. Uvijek ga se možete riješiti množenjem ili dijeljenjem s -1. Ali ako pažljivo pogledate primjer, primijetit ćete da je ovu jednadžbu najbolje podijeliti s -2! Jednim potezom minus će nestati, a kvote će postati atraktivnije! Podijelite s -2. S lijeve strane - pojam po pojam, a s desne - jednostavno podijelimo nulu s -2, nulu i dobijemo:

Rješavamo preko diskriminante i provjeravamo pomoću Vietinog teorema. Dobivamo x = 1 i x = 3. Dva korijena.

Kao što vidite, u prvom slučaju jednadžba je nakon transformacije postala linearna, ali ovdje postaje kvadratna. Događa se da se nakon uklanjanja razlomaka svi X-ovi smanjuju. Nešto ostaje, kao 5=5. To znači da x može biti bilo što. Što god bilo, svejedno će se smanjiti. I pokazalo se da je čista istina 5=5. No, nakon što se riješimo razlomaka, može se pokazati da je potpuno neistinito, poput 2=7. A ovo znači to nema rješenja! Svaki X se pokaže neistinitim.

Shvatio glavni put rješenja frakcijske jednadžbe? Jednostavno je i logično. Mijenjamo izvorni izraz tako da sve što nam se ne sviđa nestane. Ili smeta. U u ovom slučaju ovo su razlomci. Isto ćemo učiniti sa svim vrstama složeni primjeri s logaritmima, sinusima i ostalim strahotama. Mi Stalno Riješimo se svega ovoga.

Međutim, moramo promijeniti izvorni izraz u smjeru koji nam je potreban prema pravilima, da... Majstorstvo koje je priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike. Dakle, mi to svladavamo.

Sada ćemo naučiti kako zaobići jedan od glavne zasjede na jedinstvenom državnom ispitu! Ali prvo, da vidimo padate li u to ili ne?

Pogledajmo jednostavan primjer:

Stvar je već poznata, množimo obje strane (x – 2), dobivamo:

Podsjećam, sa zagradama (x – 2) Radimo kao s jednim, integralnim izrazom!

Evo, nisam više pisao jedno u nazivnicima, to je nedostojno... I nisam povlačio zagrade u nazivnicima, osim x – 2 nema ništa, ne morate crtati. Da skratimo:

Otvorite zagrade, pomaknite sve ulijevo i dajte slične:

Rješavamo, provjeravamo, dobivamo dva korijena. x = 2 I x = 3. Sjajno.

Pretpostavimo da zadatak kaže da se zapiše korijen ili njihov zbroj ako postoji više od jednog korijena. Što ćemo napisati?

Ako odlučite da je odgovor 5, vi upali u zasjedu. I zadatak vam neće biti priznat. Uzalud su se trudili... Točan odgovor je 3.

Što je bilo?! I pokušajte napraviti provjeru. Zamijenite vrijednosti nepoznatog u izvornik primjer. A ako na x = 3 sve će divno srasti, dobijemo 9 = 9, pa kad x = 2 Bit će to dijeljenje s nulom! Ono što apsolutno ne možete učiniti. Sredstva x = 2 nije rješenje i ne uzima se u obzir u odgovoru. Ovo je takozvani strani ili dodatni korijen. Jednostavno ga odbacujemo. Konačni korijen je jedan. x = 3.

Kako to?! – čujem ogorčene uzvike. Učili su nas da se jednadžba može pomnožiti s izrazom! Ovo je identična transformacija!

Da, identično. Pod malim uvjetom - izraz kojim množimo (dijelimo) - različit od nule. A x – 2 na x = 2 jednako nuli! Dakle, sve je pošteno.

I što ja sad mogu?! Ne množite izrazom? Trebam li svaki put provjeriti? Opet nejasno!

Mirno! Nemojte paničariti!

U ovoj teškoj situaciji spasit će nas tri čarobna slova. Znam što misliš. Pravo! Ovaj ODZ . Područje prihvatljivih vrijednosti.

Nastavljajući temu "Rješavanje jednadžbi", materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Pogledajmo sve detaljno: bit i snimanje kvadratne jednadžbe, definiramo pridružene pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpune jednadžbe, upoznajmo se s formulom korijena i diskriminante, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, a naravno da ćemo vizualno riješiti praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je u biti kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Navedimo primjer za ilustraciju date definicije: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. To su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su negativni, tada se koristi kratki oblik oblika 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na temelju vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba gdje je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Navedimo primjere: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 u kojima je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i dana nereducirana jednadžba ili također neće imati korijene.

Obzir konkretan primjer omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6. Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da je na a = 0 bitno se pretvara u Linearna jednadžba b x + c = 0.

U slučaju kada koeficijenti b I c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednadžba u kojoj svi brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se vrstama kvadratnih jednadžbi daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbe – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, ova jednadžba odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
• a · x 2 + c = 0 pri b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 pri c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 =0

Kao što je gore spomenuto, ova jednadžba odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x 2 = 0, koju dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može objasniti svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignuto.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedan korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednadžbe a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu premještanjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotni i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

• prijenos c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe s a, završavamo s x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne; prema tome, rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a ovisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 = - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 = - c a. Nije teško razumjeti da je broj - - c a također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a.

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati metodom kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za gore navedene korijene kao x 1 I − x 1. Uzmimo da i jednadžba x 2 = - c a ima korijen x 2, koji se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , a za x 2- x 2 2 = - c a . Na temelju svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan točan član po član jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizlazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema korijena osim x = - c a i x = - - c a.

Sažmimo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Riješenje

Pomaknimo slobodni član na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane dobivene jednadžbe s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Jednadžbu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x 2 = 36. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega možemo zaključiti da x = 36 ili x = - 36 .
Izvucimo korijen i zapišimo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = − 6.

Odgovor: x=6 ili x = − 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristit ćemo se metodom faktorizacije. Faktorizirajmo polinom koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x = 0 I a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riješenje

Izvadit ćemo ga x izvan zagrada dobivamo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminanta, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c– tzv. diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u biti znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različit od nule, dobivamo sljedeću kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani dobivene jednadžbe:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Na kraju transformiramo izraz napisan s desne strane posljednje jednakosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Tako dolazimo do jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednadžbi ispitali smo u prethodnim odlomcima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c naveden je naziv - diskriminant kvadratne jednadžbe i slovo D definirano kao njegova oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - na temelju njene vrijednosti i predznaka mogu zaključiti hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koji je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminantni zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulirajmo ponovno naše zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. I, kada otvorimo module i dovedemo razlomke na zajednički nazivnik, dobijemo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju određivanje oba stvarna korijena kada je diskriminant veći od nule. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo upotrijebiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom vađenja kvadratnog korijena negativnog broja, što će nas odvesti izvan dosega realnih brojeva. Na negativna diskriminacija To jest, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah pomoću formule za korijen, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne složenih, već stvarnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe najprije odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračun vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminirajuću vrijednost;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0, pronađite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - b 2 · a ;
• za D > 0 odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe pomoću formule x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Dajmo rješenja primjerima za različite vrijednosti diskriminante.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobivamo D > 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x = - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo dobiveni izraz izuzimanjem faktora iz predznaka korijena i zatim smanjenjem razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Treba riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednadžbu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminanta je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema pravih korijena.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći akcije s kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školski plan i program Ne postoji standardni zahtjev za traženje kompleksnih korijena, stoga, ako se tijekom rješavanja utvrdi da je diskriminant negativan, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili s koeficijentom oblika 2 · n, npr. 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo formulu korijena:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra s drugim koeficijentom 2 · n imati oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, odnosno D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• nađi D 1 = n 2 − a · c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 = 0, odredite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - n a;
• za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent dane jednadžbe možemo prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 očito je prikladnije riješiti nego 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe provodi množenjem ili dijeljenjem njezinih obje strane s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivene dijeljenjem obje strane sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno povezani primarni brojevi. Zatim obično obje strane jednadžbe podijelimo s najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njezinih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se riješite frakcijskih koeficijenata. U tom se slučaju množe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti zapisan u više u jednostavnom obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se gotovo uvijek rješavamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane s −1. Na primjer, od kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, nama već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Na temelju ove formule imamo priliku specificirati druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule su Vietin teorem:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći brojne druge veze između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U izrazu "kvadratna jednadžba", ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednadžba nužno mora sadržavati varijablu (taj isti x) na kvadrat i ne smije biti x-ova na treću (ili veću) potenciju.

Rješavanje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednadžba, a ne neka druga jednadžba.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednadžbe s

Pomaknimo sve na lijevu stranu i posložimo članove u silazni red potencija X

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožite lijevu i desnu stranu s:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, to je reducirano - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Oni su nepotpuni jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! Inače, to više neće biti kvadratna jednadžba, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela određena je metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Budući da znamo kako izvući kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje samo izvaditi korijen s lijeve i desne strane. Uostalom, sjećate se kako vaditi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijene matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo odustati od primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

Zapamtiti, Bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom vrlo je jednostavno, glavno je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen. Posebna pažnja koraknuti. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da nećemo moći izdvojiti korijen diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako pravilno zapisati takve odgovore.

Odgovor: bez korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se naziva reducirana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer .

Zbroj korijena jednadžbe je jednak, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sustav:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Dana je jednadžba, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznata, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - slobodan član.

Zašto? Jer ako jednadžba odmah postane linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj stolici jednadžba se naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Razlikujemo sljedeće vrste jednadžbi:

I., u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada pogledajmo rješenje za svaku od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Kvadrat broja ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Rastavimo lijevu stranu jednadžbe i pronađimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen iz diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. Što uraditi? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijene:
• Ako tada jednadžba ima identični korijeni, ali u biti jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguć različit broj korijena? Obratimo se geometrijski smisao kvadratna jednadžba. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s osi apscisa (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Vrlo je jednostavno koristiti Vietin teorem: potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je umnožak jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo u reducirane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Za dobivanje je dovoljno jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbroj korijena jednak razlike njihovih modula.

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: razlika im je jednaka – ne pristaje;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Sve što ostaje je zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, korijen s manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da, prema barem, jedan od korijena je negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Kako biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naš omiljeni Vieta teorem: zbroj mora biti jednak, a umnožak mora biti jednak.

Ali budući da mora biti ne, ali, mijenjamo predznake korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Sve pojmove trebate premjestiti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

U redu, stani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate dati jednadžbu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Sjajno. Tada je zbroj korijena jednak i umnošku.

Ovdje je odabir jednostavan kao guljenje krušaka: ipak je to prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodan član je negativan. Što je posebno u vezi ovoga? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku u njihovim modulima: ta je razlika jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što trebate učiniti prvo? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u danim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vietinog teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cijelih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira cijelog kvadrata

Ako su svi članovi koji sadrže nepoznanicu prikazani u obliku članova iz skraćenih formula množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon zamjene varijabli može prikazati u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća te ni na što? Ovo je diskriminirajuća stvar! Upravo tako smo dobili formulu diskriminacije.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba- ovo je jednadžba oblika, gdje su - nepoznanica, - koeficijenti kvadratne jednadžbe, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba izgleda ovako: ,
• ako postoji slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika gdje) je jednak, a umnožak korijena je jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata

Problemi s kvadratnom jednadžbom proučavaju se iu školskom kurikulumu i na sveučilištima. One znače jednadžbe oblika a*x^2 + b*x + c = 0, gdje x- varijabla, a, b, c – konstante; a<>0 . Zadatak je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednadžbe

Graf funkcije koja je predstavljena kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su točke presjeka parabole s osi apscisa (x). Slijedi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema sjecišta s osi apscisa. To znači da je u gornjoj ravnini s granama prema gore ili na dnu s granama prema dolje. U takvim slučajevima kvadratna jednadžba nema pravih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu sjecišnu točku s osi Ox. Takva se točka naziva vrhom parabole, a kvadratna jednadžba u njoj dobiva svoju najmanju ili najveću vrijednost. U ovom slučaju kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva jednaka korijena).

3) Zadnji slučaj u praksi je zanimljivije - postoje dvije točke presjeka parabole s osi apscisa. To znači da postoje dva stvarna korijena jednadžbe.

Na temelju analize koeficijenata potencije varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o postavljanju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, tada su grane parabole usmjerene prema gore, ako je negativan, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini ako je negativno značenje- zatim desno.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Prenesimo konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti dobivamo izraz

Pomnožite obje strane s 4a

Da biste dobili cijeli kvadrat s lijeve strane, dodajte b^2 na obje strane i provedite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula za diskriminantu i korijene kvadratne jednadžbe

Diskriminanta je vrijednost radikalnog izraza. Ako je pozitivna, onda jednadžba ima dva realna korijena, izračunata formulom Kada je diskriminant nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva korijena koja se podudaraju), što se lako može dobiti iz gornje formule za D = 0. Kada je diskriminant negativan, jednadžba nema pravih korijena. Međutim, rješenja kvadratne jednadžbe nalaze se u kompleksnoj ravnini, a njihova se vrijednost izračunava pomoću formule

Vietin teorem

Promotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i na temelju njih konstruirajmo kvadratnu jednadžbu. Sam Vietin teorem lako slijedi iz oznake: ako imamo kvadratnu jednadžbu oblika tada je zbroj njezinih korijena jednak koeficijentu p uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formulski prikaz gornjeg izgledat će ovako: Ako je u klasičnoj jednadžbi konstanta a različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednadžbu s njom, a zatim primijeniti Vietin teorem.

Raspored kvadratne jednadžbe faktoringa

Neka je postavljen zadatak: faktoriziraj kvadratnu jednadžbu. Da bismo to učinili, najprije riješimo jednadžbu (pronađemo korijene). Zatim ćemo zamijeniti pronađene korijene u formulu za proširenje kvadratne jednadžbe. To će riješiti problem.

Problemi s kvadratnom jednadžbom

Zadatak 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x^2-26x+120=0 .

Rješenje: Zapišite koeficijente i zamijenite ih u formulu za diskriminaciju

Korijen od dana vrijednost je jednako 14, lako ga je pronaći kalkulatorom ili zapamtiti kada česta uporaba, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka dat ću vam popis kvadrata brojeva koji se često mogu susresti u takvim problemima.
Pronađenu vrijednost zamijenimo u korijensku formulu

i dobivamo

Zadatak 2. Riješite jednadžbu

2x 2 +x-3=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu, ispišite koeficijente i pronađite diskriminant


Koristeći poznate formule nalazimo korijene kvadratne jednadžbe

Zadatak 3. Riješite jednadžbu

9x 2 -12x+4=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu. Određivanje diskriminante

Imamo slučaj u kojem se korijeni podudaraju. Pronađite vrijednosti korijena pomoću formule

Zadatak 4. Riješite jednadžbu

x^2+x-6=0 .

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti za x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Njegovim uvjetom dobivamo dvije jednadžbe

Iz drugog uvjeta nalazimo da umnožak mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja (-3;2), (3;-2) . Uzimajući u obzir prvi uvjet, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednadžbe su jednaki

Zadatak 5. Odredite duljine stranica pravokutnika ako mu je opseg 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Polovica opsega pravokutnika jednaka je zbroju njegovih susjednih stranica. Označimo x kao veću stranicu, tada je 18-x njegova manja stranica. Površina pravokutnika jednaka je umnošku ovih duljina:
x(18-x)=77;
ili
x 2 -18x+77=0.
Nađimo diskriminant jednadžbe

Izračunavanje korijena jednadžbe

Ako x=11, Da 18 = 7 , suprotno je također točno (ako je x=7, tada je 21's=9).

Zadatak 6. Faktoriziraj kvadratnu jednadžbu 10x 2 -11x+3=0.

Rješenje: Izračunajmo korijene jednadžbe, da bismo to učinili, pronađimo diskriminant

Pronađenu vrijednost zamijenimo u korijensku formulu i izračunamo

Primjenjujemo formulu za rastavljanje kvadratne jednadžbe na korijene

Otvaranjem zagrada dobivamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Pri kojim vrijednostima parametara A , ima li jednadžba (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 jedan korijen?

Rješenje: Izravnom zamjenom vrijednosti a=3 vidimo da ona nema rješenja. Zatim ćemo se poslužiti činjenicom da s diskriminantom nula jednadžba ima jedan korijen višestrukosti 2. Napišimo diskriminantu

Pojednostavimo to i izjednačimo s nulom

Dobili smo kvadratnu jednadžbu s obzirom na parametar a, čije se rješenje lako može dobiti pomoću Vietinog teorema. Zbroj korijena je 7, a njihov umnožak 12. Jednostavnim pretraživanjem utvrđujemo da će brojevi 3,4 biti korijeni jednadžbe. Kako smo rješenje a=3 već odbacili na početku izračuna, jedino ispravno bit će - a=4. Dakle, za a=4 jednadžba ima jedan korijen.

Primjer 2. Pri kojim vrijednostima parametara A , jednadžba a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Razmotrimo prvo singularne točke, one će biti vrijednosti a=0 i a=-3. Kada je a=0, jednadžba će biti pojednostavljena na oblik 6x-9=0; x=3/2 i bit će jedan korijen. Za a= -3 dobivamo identitet 0=0.
Izračunajmo diskriminantu

i pronađite vrijednost a pri kojoj je on pozitivan

Iz prvog uvjeta dobivamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminant i korijene jednadžbe


Definirajmo intervale u kojima funkcija traje pozitivne vrijednosti. Zamjenom točke a=0 dobivamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3;1/3) funkcija je negativna. Ne zaboravite poantu a=0, koju treba isključiti jer izvorna jednadžba ima jedan korijen u sebi.
Kao rezultat toga, dobivamo dva intervala koji zadovoljavaju uvjete problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte sami odgonetnuti zadatke i ne zaboravite uzeti u obzir uvjete koji se međusobno isključuju. Dobro proučite formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi; često su potrebne u proračunima u raznim problemima i znanostima.

Seoska srednja škola Kopyevskaya

10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesorica matematike

selo Kopevo, 2007. (enciklopedijska natuknica).

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe od al-Khorezmija

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

1.6 O Vietinom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja, čak iu davnim vremenima, bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema povezanih s pronalaženjem područja zemljišnih parcela i iskopavanja vojne prirode, kao i kao i s razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe mogle su se riješiti oko 2000. pr. e. Babilonci.

Koristeći suvremeni algebarski zapis, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima postoje, osim nepotpunih, i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, izneseno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Unatoč visokom stupnju razvoja algebre u Babilonu, klinasti tekstovi ne sadrže koncept negativnog broja i opće metode rješavanje kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe.

Diofantova Aritmetika ne sadrži sustavni prikaz algebre, ali sadrži sustavan niz zadataka, popraćenih objašnjenjima i riješenih konstruiranjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Pri sastavljanju jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Problem 11.“Nađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96”

Diofant razmišlja na sljedeći način: iz uvjeta zadatka proizlazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, njihov umnožak ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih bit će veći od pola njihovog zbroja, tj. 10 + x, drugi je manji, tj. 10-ice. Razlika među njima 2x .

Otuda jednadžba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od traženih brojeva jednak je 12 , ostalo 8 . Riješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj zadatak riješimo odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznanicu, tada ćemo doći do rješenja jednadžbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da odabirom polurazlike traženih brojeva kao nepoznanice Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednadžbama nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), ocrtao je opće pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

U jednadžbi (1), koeficijenti, osim A, također može biti negativan. Brahmaguptina vladavina je u biti ista kao naša.

U staroj su Indiji javna natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem pomračuje zvijezde, tako učen čovjek zasjeniti slavu drugoga u narodnim skupštinama predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su se često iznosili u poetskom obliku.

To je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća. Bhaskars.

Problem 13.

“Jato žustrih majmuna, a dvanaest uz vinove loze...

Vlasti su se, nakon što su jele, zabavljale. Počeli su skakati, visjeti...

Eno ih na trgu osmi dio Koliko je bilo majmuna?

Zabavljao sam se na čistini. Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je on znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni (slika 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = -768

i, da dovršite lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje objema stranama 32 2 , zatim dobivanje:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmi

U algebarskoj raspravi al-Khorezmija dana je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

2) “Kvadrati su jednaki brojevima”, tj. sjekira 2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ah = s.

4) “Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima,” tj. sjekira 2 + c = b X.

5) “Kvadrati i korijeni su jednaki brojevima”, tj. ah 2 + bx = s.

6) “Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima”, tj. bx + c = sjekira 2 .

Za al-Khorezmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su pribrojnici, a ne oduzimači. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednadžbi korištenjem tehnika al-jabr i al-muqabala. Njegove se odluke, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našima. Da ne spominjemo da je čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Khorezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što u konkretnim praktičnim problemima ono nije važno. Prilikom rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim geometrijske dokaze.

Problem 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (podrazumijeva korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje ide otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 samim sobom, od umnoška oduzmite 21, ostaje 4. Izvadite korijen iz 4, dobit ćete 2. Oduzmite 2 od 5 , dobijete 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 na 5, što daje 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khorezmija je prva knjiga koja je došla do nas, koja sustavno postavlja klasifikaciju kvadratnih jednadžbi i daje formule za njihovo rješenje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII bb

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po uzoru na al-Khwarizmija u Europi prvi su put navedene u Knjizi o abaku, koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako islamskih zemalja tako i Drevna grčka, odlikuje se i cjelovitošću i jasnoćom prikaza. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje zadataka i prvi u Europi uveo negativne brojeve. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz Abakove knjige korišteni su u gotovo svim europskim udžbenicima 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2 + bx = c,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , S formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.

Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupan je od Vietha, ali Vieth je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17.st. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan oblik.

1.6 O Vietinom teoremu

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, nazvan po Vieti, formulirao je prvi put 1591. godine na sljedeći način: “Ako B + D, pomnoženo s A - A 2 , jednako BD, To A jednaki U i jednaki D ».

Da bismo razumjeli Vietu, trebali bismo to zapamtiti A, kao i svako samoglasno slovo, značilo je nepoznato (naše x), samoglasnici U, D- koeficijenti za nepoznato. Jezikom moderne algebre gornja Vieta formulacija znači: ako postoji

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednadžbi općim formulama napisanim pomoću simbola, Viète je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolika Vieta još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznavao negativne brojeve i stoga je pri rješavanju jednadžbi razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni bili pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstvena građevina algebre. Nalaze se kvadratne jednadžbe široka primjena pri rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentnih jednadžbi i nejednadžbi. Svi znamo rješavati kvadratne jednadžbe od škole (8. razred) pa do mature.