Je li moguće zbrajati identične korijene? Kako od broja oduzeti korijen

Sadržaj:

Možete zbrajati i oduzimati kvadratne korijene samo ako imaju isti radikalni izraz, to jest, možete zbrajati ili oduzimati 2√3 i 4√3, ali ne i 2√3 i 2√5. Možete pojednostaviti radikalne izraze da ih svedete na korijene s istim radikalnim izrazima (a zatim ih dodati ili oduzeti).

Koraci

1. dio Razumijevanje osnova

1. 1 (izraz pod znakom korijena). Da biste to učinili, rastavite radikalni broj na dva faktora, od kojih je jedan kvadratni broj (broj iz kojeg možete izvaditi cijeli korijen, na primjer, 25 ili 9). Nakon toga izvucite korijen kvadrata broja i nađenu vrijednost upišite ispred znaka korijena (drugi faktor će ostati ispod znaka korijena). Na primjer, 6√50 - 2√8 + 5√12. Brojevi ispred znaka korijena su faktori odgovarajućih korijena, a brojevi ispod znaka korijena su radikalni brojevi (izrazi). Evo kako riješiti ovaj problem:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Ovdje rastavljate 50 na faktore 25 i 2; onda iz 25 izvadiš korijen jednak 5, a 5 izvadiš ispod korijena. Zatim pomnožite 5 sa 6 (množenik u korijenu) i dobijete 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Ovdje rastavljate 8 na faktore 4 i 2; onda iz 4 izvadiš korijen jednak 2, i izvadiš 2 ispod korijena. Zatim pomnožite 2 sa 2 (množenik u korijenu) i dobijete 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Ovdje rastavljate 12 na faktore 4 i 3; onda iz 4 izvadiš korijen jednak 2, i izvadiš 2 ispod korijena. Zatim pomnožite 2 sa 5 (množenik u korijenu) i dobijete 10√3.
2. 2 Podcrtajte korijene čiji su radikalni izrazi jednaki. U našem primjeru, pojednostavljeni izraz izgleda ovako: 30√2 - 4√2 + 10√3. U njemu morate podcrtati prvi i drugi član ( 30√2 I 4√2 ), budući da imaju isti radikalni broj 2. Samo takve korijene možete zbrajati i oduzimati.
3. 3 Ako vam je dan izraz s veliki iznos pojmovi, od kojih mnogi imaju iste radikalne izraze, koriste jednostruku, dvostruku, trostruku podvlaku za označavanje takvih pojmova kako bi olakšali rješavanje ovog izraza.
4. 4 Za korijene čiji su radikalni izrazi isti, dodajte ili oduzmite faktore ispred znaka korijena, a radikalni izraz ostavite istim (nemojte zbrajati ili oduzimati radikalne brojeve!). Ideja je pokazati koliko je korijena s određenim radikalnim izrazom sadržano u danom izrazu.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

2. dio Vježbajmo s primjerima

1. 1 Primjer 1: √(45) + 4√5.
   • Pojednostavite √(45). Faktor 45: √(45) = √(9 x 5).
   • Izvadite 3 ispod korijena (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Sada zbrojite faktore u korijenima: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Primjer 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Pojednostavite 6√(40). Faktor 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Izvadite 2 ispod korijena (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Pomnožite faktore prije korijena i dobit ćete 12√10.
   • Sada se izraz može napisati kao 12√10 - 3√(10) + √5. Budući da prva dva člana imaju isti radikal, možete oduzeti drugi član od prvog i ostaviti prvi nepromijenjen.
   • Dobit ćete: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Primjer 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Ovdje se nijedan od radikalnih izraza ne može faktorizirati, tako da se ovaj izraz ne može pojednostaviti. Možete oduzeti treći član od prvog (budući da imaju iste radikale) i ostaviti drugi član nepromijenjen. Dobit ćete: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Primjer 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Sada možete jednostavno zbrojiti 3 + 2 da biste dobili 5.
   • Konačni odgovor: 5 - 3√2.
5. 5 Primjer 5. Riješite izraz koji sadrži korijene i razlomke. Možete samo zbrajati i izračunavati razlomke koji imaju zajednički (isti) nazivnik. Dan je izraz (√2)/4 + (√2)/2.
   • Nađite najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka. Ovo je broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svakim nazivnikom. U našem primjeru, broj 4 je djeljiv sa 4 i 2.
   • Sada pomnožite drugi razlomak s 2/2 (da biste ga doveli do zajednički nazivnik; prvi razlomak je već sveden na njega): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Zbrojite brojnike razlomaka i ostavite nazivnik istim: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Prije zbrajanja ili oduzimanja korijena, svakako pojednostavite (ako je moguće) radikalne izraze.

Upozorenja

• Nikada nemojte dodavati ili oduzimati korijene s različitim radikalnim izrazima.
• Nikada nemojte zbrajati ili oduzimati cijeli broj i korijen, npr. 3 + (2x) 1/2 .
  • Napomena: "x" na drugu potenciju i kvadratni korijen iz "x" su ista stvar (to jest, x 1/2 = √x).

U našem vremenu s modernim elektroničkim računalima, izračunavanje korijena broja ne izgleda kao težak zadatak. Na primjer, √2704=52, svaki kalkulator će to izračunati umjesto vas. Srećom, kalkulator je dostupan ne samo u sustavu Windows, već iu običnom, čak i najjednostavnijem telefonu. Istina, ako se iznenada (s malim stupnjem vjerojatnosti, čiji izračun, usput, uključuje dodavanje korijena) nađete bez raspoloživa sredstva, onda ćete se, nažalost, morati osloniti samo na svoj mozak.

Trening uma nikada ne zakaže. Pogotovo za one koji ne rade tako često s brojevima, a još manje s korijenima. Zbrajanje i oduzimanje korijena dobra je vježba za dosadan um. Također ću vam pokazati kako dodati korijene korak po korak. Primjeri izraza mogu biti sljedeći.

Jednadžba za pojednostavljenje:

√2+3√48-4×√27+√128

Ovo je iracionalan izraz. Kako biste ga pojednostavili, morate sve radikalne izraze svesti na Opća pojava. Radimo to korak po korak:

Prvi broj se više ne može pojednostaviti. Prijeđimo na drugi termin.

3√48 rastavljamo 48 na faktore: 48=2×24 ili 48=3×16. od 24 nije cijeli broj, tj. ima razlomački ostatak. Jer trebamo točna vrijednost, onda nam približni korijeni nisu prikladni. Kvadratni korijen iz 16 je 4, izvadite ga ispod Dobivamo: 3×4×√3=12×√3

Naš sljedeći izraz je negativan, tj. napisano sa znakom minus -4×√(27.) Rastavljamo 27. Dobivamo 27=3×9. Ne koristimo frakcijske faktore jer je teže izračunati kvadratni korijen razlomaka. Izvadimo 9 ispod znaka, tj. izračunati kvadratni korijen. Dobivamo sljedeći izraz: -4×3×√3 = -12×√3

Sljedeći izraz √128 izračunava dio koji se može izvaditi ispod korijena. 128=64×2, gdje je √64=8. Ako vam je lakše, možete zamisliti ovaj izraz ovako: √128=√(8^2×2)

Prepisujemo izraz s pojednostavljenim pojmovima:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Sada zbrajamo brojeve koristeći isti radikalni izraz. Ne možete zbrajati ili oduzimati izraze s različitim radikalnim izrazima. Dodavanje korijena zahtijeva poštivanje ovog pravila.

Dobijamo sljedeći odgovor:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Nadam se da vam činjenica da je u algebri uobičajeno izostavljati takve elemente neće biti novost.

Izrazi se mogu prikazati ne samo kvadratnim korijenom, već i kubičnim ili n-tim korijenom.

Zbrajanje i oduzimanje korijena s različitim eksponentima, ali s ekvivalentnim radikalnim izrazom, događa se na sljedeći način:

Ako imamo izraz u obliku √a+∛b+∜b, tada možemo pojednostaviti ovaj izraz na sljedeći način:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Dva slična člana sveli smo na eksponent zajedničkog korijena. Ovdje je korišteno svojstvo korijena koje glasi: ako se broj stupnja radikalnog izraza i broj eksponenta korijena pomnože istim brojem, tada će njegov izračun ostati nepromijenjen.

Napomena: eksponenti se zbrajaju samo pri množenju.

Razmotrimo primjer kada izraz sadrži razlomke.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Odlučit ćemo u fazama:

5√8=5*2√2 - izvadimo izvađeni dio ispod korijena.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Ako je tijelo korijena predstavljeno razlomkom, tada se taj razlomak često neće promijeniti ako izvadite kvadratni korijen iz dividende i djelitelja. Kao rezultat toga, dobili smo gore opisanu jednakost.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Evo odgovora.

Glavno je zapamtiti da negativni brojevi Korijen s parnim eksponentom ne može se izvući. Ako je radikalni izraz parnog stupnja negativan, onda je izraz nerješiv.

Dodavanje korijena moguće je samo ako se radikalni izrazi podudaraju, budući da jesu slični pojmovi. Isto vrijedi i za razliku.

Zbrajanje korijena s različitim numeričkim eksponentima provodi se svođenjem oba člana na stupanj zajedničkog korijena. Ovaj zakon funkcionira na isti način kao svođenje na zajednički nazivnik pri zbrajanju ili oduzimanju razlomaka.

Ako radikalni izraz sadrži broj podignut na potenciju, tada se taj izraz može pojednostaviti pod uvjetom da postoji zajednički nazivnik između eksponenta korijena i potencije.

U matematici korijeni mogu biti kvadratni, kubični ili imati bilo koji drugi eksponent (potencija) koji se piše lijevo iznad znaka korijena. Izraz pod znakom korijena naziva se radikalni izraz. Dodavanje korijena je kao dodavanje udova algebarski izraz, odnosno zahtijeva određivanje sličnih korijena.

Koraci

Označavanje korijena. Izraz pod znakom korijena () znači da je iz ovog izraza potrebno izdvojiti korijen određenog stupnja.

• Korijen je označen znakom.
• Eksponent (stupanj) korijena piše se lijevo iznad znaka korijena. Na primjer, kubni korijen od 27 zapisan je kao: (27)
• Ako nedostaje indeks (stupanj) korijena, tada se eksponent smatra jednakim 2, odnosno kvadratni je korijen (ili korijen drugog stupnja).
• Broj napisan prije znaka korijena naziva se množitelj (to jest, taj se broj množi korijenom), na primjer 5 (2)
• Ako ispred korijena nema faktora, onda je on jednak 1 (zapamtite da je svaki broj pomnožen s 1 jednak sam sebi).
• Ako vam je ovo prvi put da radite s korijenima, napravite odgovarajuće bilješke o množitelju i eksponentu korijena kako biste izbjegli zabunu i bolje razumjeli njihovu svrhu.

Zapamtite koji se korijeni mogu savijati, a koji ne. Kao što ne možete dodati različite članove izraza, na primjer, 2a + 2b 4ab, ne možete dodati različite korijene.

Prepoznajte i grupirajte slične korijene. Slični korijeni su korijeni koji imaju iste indikatore i iste radikalne izraze. Na primjer, razmotrite izraz:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Prvo prepišite izraz tako da korijeni s istim indeksom budu smješteni jedan za drugim.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Zatim prepišite izraz tako da korijeni s istim eksponentom i s istim radikalnim izrazom budu smješteni jedan za drugim.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Pojednostavite korijenje. Da biste to učinili, rastavite (gdje je moguće) radikalne izraze na dva faktora, od kojih je jedan izvađen ispod korijena. U tom se slučaju množe uklonjeni broj i faktor korijena.

Zbrojite faktore sličnih korijena. U našem primjeru postoje slični kvadratni korijeni iz 2 (mogu se zbrajati) i slični kvadratni korijeni iz 3 (također se mogu zbrajati). Kubni korijen iz 3 nema takvih korijena.

• Ne postoje općeprihvaćena pravila za redoslijed ispisivanja korijena u izrazu. Stoga korijene možete pisati uzlaznim redoslijedom njihovih indikatora i uzlaznim redoslijedom radikalnih izraza.

Sve zanimljivo

Broj koji je ispod znaka korijena često ometa rješavanje jednadžbe i nezgodan je za rad. Čak i ako je podignut na potenciju, razlomak ili se ne može predstaviti kao cijeli broj na određenu potenciju, možete je pokušati izvesti iz...

Korijen broja x je broj koji je, kada se podigne na potenciju korijena, jednak x. Množilac je broj koji se množi. To jest, u izrazu oblika x*ª-&radic-y trebate unijeti x ispod korijena. Upute 1 Odredite stupanj...

Ako radikalni izraz sadrži skup matematičkih operacija s varijablama, tada je ponekad kao rezultat njegovog pojednostavljenja moguće dobiti relativno jednostavnu vrijednost, čiji se dio može izvaditi ispod korijena. Ovo pojednostavljenje može biti korisno...

Aritmetičke operacije s korijenima različitih stupnjeva mogu značajno pojednostaviti izračune u fizici i tehnologiji i učiniti ih točnijima. Pri množenju i dijeljenju zgodnije je ne izvlačiti korijen svakog faktora ili djelitelja i djelitelja, nego prvo...

Kvadratni korijen broja x je broj a, koji kada se pomnoži sam sa sobom daje broj x: a * a = a^2 = x, x = a. Kao i sa svim brojevima, možete izvoditi aritmetičke operacije zbrajanja i oduzimanja s kvadratnim korijenom. Upute...

Korijen u matematici može imati dva značenja: to je aritmetička operacija i svako od rješenja jednadžbe, algebarske, parametarske, diferencijalne ili bilo koje druge. Upute 1 n-ti korijen od a je broj takav da...

Prilikom izvođenja raznih aritmetičke operacije Kod korijena je često neophodna sposobnost transformacije radikalnih izraza. Da biste pojednostavili izračune, možda ćete morati premjestiti množitelj izvan predznaka radikala ili ga dodati ispod njega. Ova akcija može...

Korijen je ikona koja označava matematičku operaciju pronalaženja broja čijim podizanjem na potenciju naznačenu ispred znaka korijena treba dobiti broj koji je naveden upravo pod ovim znakom. Često, za rješavanje problema koji uključuju...

Znak korijena u matematičke znanosti nazvao simbol za korijenje. Broj ispod znaka korijena naziva se radikalni izraz. Ako nema eksponenta, korijen je kvadratni korijen, inače znamenka označava...

Aritmetički korijen n-ti stupanj od realnog broja a naziva se nenegativan broj x, n-ti stupanj koji je jednak broju a. Oni. (n) a = x, x^n = a. postojati razne načine dodatak aritmetički korijen i racionalan broj...

N-ti korijen realnog broja a je broj b za koji vrijedi jednakost b^n = a. Neparni korijeni postoje za negativne i pozitivne brojeve, ali parni korijeni postoje samo za pozitivne brojeve.…

U matematici, svaka radnja ima svoj suprotni par - u biti, ovo je jedna od manifestacija Hegelovog zakona dijalektike: "jedinstvo i borba suprotnosti". Jedna od radnji u takvom "paru" usmjerena je na povećanje broja, a druga, njezina suprotnost, usmjerena je na njegovo smanjenje. Na primjer, suprotno od zbrajanja je oduzimanje, a dijeljenje je suprotno od množenja. Potenciranje također ima svoj dijalektički suprotni par. Govorimo o vađenju korijena.

Izvući korijen te i takve potencije iz broja znači izračunati koji se broj mora podići na odgovarajuću potenciju da bi se dobio zadani broj. Dva stupnja imaju svoja zasebna imena: drugi stupanj se zove "kvadrat", a treći se zove "kocka". Prema tome, lijepo je korijene ovih potencija nazvati kvadratnim i kubičnim korijenom. Akcije s kubnim korijenima su tema za zasebnu raspravu, ali sada razgovarajmo o zbrajanju kvadratni korijeni.

Počnimo s činjenicom da je u nekim slučajevima lakše prvo izvući kvadratne korijene, a zatim zbrojiti rezultate. Pretpostavimo da trebamo pronaći vrijednost sljedećeg izraza:

Uostalom, uopće nije teško izračunati da je kvadratni korijen iz 16 4, a iz 121 11. Dakle,

√16+√121=4+11=15

Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj - ovdje je riječ o potpunim kvadratima, tj. o onim brojevima koji se dobivaju kvadriranjem cijelih brojeva. Ali to se ne događa uvijek. Na primjer, broj 24 nije potpuni kvadrat (ne postoji cijeli broj koji bi, kada se digne na drugu potenciju, dao 24). Isto se odnosi na broj poput 54... Što ako trebamo zbrojiti kvadratne korijene ovih brojeva?

U ovom slučaju u odgovoru nećemo dobiti broj, već drugi izraz. Maksimalno što ovdje možemo učiniti je pojednostaviti izvorni izraz što je više moguće. Da biste to učinili, morat ćete izvaditi faktore ispod kvadratnog korijena. Pogledajmo kako se to radi koristeći gore navedene brojeve kao primjer:

Za početak, rastavimo 24 na faktore tako da se jedan od njih može lako izvući kao kvadratni korijen (tj. da bude savršen kvadrat). Postoji takav broj - to je 4:

Sada učinimo isto s 54. U svom sastavu, ovaj broj će biti 9:

Dakle, dobivamo sljedeće:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Izvucimo sada korijene iz onoga iz čega ih možemo izdvojiti: 2*√6+3*√6

Ovdje postoji zajednički faktor koji možemo izdvojiti iz zagrada:

(2+3)* √6=5*√6

Ovo će biti rezultat zbrajanja - ovdje se više ništa ne može izdvojiti.

Istina, možete se poslužiti kalkulatorom - međutim, rezultat će biti približan i s velikim brojem decimalnih mjesta:

√6=2,449489742783178

Postupno zaokružujući, dobivamo otprilike 2,5. Ako ipak želimo dovesti rješenje prethodnog primjera do logičnog završetka, možemo ovaj rezultat pomnožiti s 5 - i dobit ćemo 12,5. S takvim početnim podacima nemoguće je dobiti točniji rezultat.

Kvadratni korijen broja x je broj a, koji kada se pomnoži sam sa sobom daje broj x: a * a = a^2 = x, √x = a. Kao i sa svim brojevima, možete izvoditi aritmetičke operacije zbrajanja i oduzimanja s kvadratnim korijenom.

upute

• Prvo, kada dodajete kvadratne korijene, pokušajte izvući te korijene. To će biti moguće ako su brojevi ispod znaka korijena potpuni kvadrati. Na primjer, neka je dan izraz √4 + √9. Prvi broj 4 je kvadrat broja 2. Drugi broj 9 je kvadrat broja 3. Dakle, ispada da je: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ako ispod znaka korijena nema cijelih kvadrata, pokušajte ukloniti množitelj broja ispod znaka korijena. Na primjer, neka je dan izraz √24 + √54. Faktoriziraj brojeve: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Broj 24 ima faktor 4, koji se može izvaditi ispod znaka kvadratnog korijena. Broj 54 ima faktor 9. Dakle, ispada da je: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . U ovom primjeru, kao rezultat uklanjanja množitelja ispod znaka korijena, bilo je moguće pojednostaviti zadani izraz.
• Neka zbroj dvaju kvadratnih korijena bude nazivnik razlomka, na primjer, A / (√a + √b). I neka vaš zadatak bude “osloboditi se iracionalnosti u nazivniku”. Zatim možete koristiti sljedeću metodu. Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s izrazom √a - √b. Tako u nazivniku dobivamo skraćenu formulu množenja: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Analogno tome, ako nazivnik sadrži razliku između korijena: √a - √b, tada se brojnik i nazivnik razlomka moraju pomnožiti s izrazom √a + √b. Na primjer, neka je razlomak 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Razmotrite više složen primjer oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku. Neka je dan razlomak 12 / (√2 + √3 + √5). Potrebno je brojnik i nazivnik razlomka pomnožiti s izrazom √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Konačno, ako trebate samo približnu vrijednost, možete upotrijebiti kalkulator za izračun kvadratnih korijena. Izračunajte vrijednosti zasebno za svaki broj i zapišite ih s potrebnom preciznošću (na primjer, dvije decimale). Zatim izvršite potrebne aritmetičke operacije, kao s običnim brojevima. Na primjer, recimo da trebate znati približnu vrijednost izraza √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.