Sustavno rješenje Cramer. Cramerova metoda: rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (slau)

Cramerova metoda ili tzv. Cramerovo pravilo je metoda traženja nepoznatih veličina iz sustava jednadžbi. Može se koristiti samo ako je broj traženih vrijednosti ekvivalentan broju algebarske jednadžbe u sustavu, odnosno glavna matrica formirana iz sustava mora biti kvadratna i ne sadržavati nula redaka, a također ako njena determinanta ne smije biti nula.

Teorem 1

Cramerov teorem Ako glavna determinanta $D$ glavne matrice, sastavljene na temelju koeficijenata jednadžbi, nije jednaka nuli, tada je sustav jednadžbi konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Rješenje takvog sustava izračunava se pomoću tzv. Cramerovih formula za rješavanje sustava linearne jednadžbe: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Što je Cramerova metoda?

Suština Cramerove metode je sljedeća:

1. Da bismo pronašli rješenje sustava pomoću Cramerove metode, prvo izračunamo glavnu determinantu matrice $D$. Kada se izračunata determinanta glavne matrice, izračunata Cramerovom metodom, pokaže jednakom nuli, tada sustav nema niti jedno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, za pronalaženje općeg ili nekog osnovnog odgovora za sustav, preporučuje se korištenje Gaussove metode.
2. Zatim trebate zamijeniti najudaljeniji stupac glavne matrice stupcem slobodnih članova i izračunati determinantu $D_1$.
3. Ponovite isto za sve stupce, dobivajući determinante od $D_1$ do $D_n$, gdje je $n$ broj krajnjeg desnog stupca.
4. Nakon što su pronađene sve determinante $D_1$...$D_n$, nepoznate varijable mogu se izračunati pomoću formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tehnike za izračunavanje determinante matrice

Za izračun determinante matrice s dimenzijom većom od 2 puta 2, možete koristiti nekoliko metoda:

• Pravilo trokuta, ili Sarrusovo pravilo, podsjeća na isto pravilo. Bit metode trokuta je da se pri izračunavanju determinante umnošci svih brojeva koji su na slici povezani crvenom crtom s desne strane zapišu znakom plus, a svi brojevi povezani na sličan način na slici s lijeve strane pišu se sa znakom minus. Oba pravila su prikladna za matrice veličine 3 x 3. U slučaju Sarrusovog pravila, prvo se prepisuje sama matrica, a do nje ponovno prepisuju njen prvi i drugi stupac. Kroz matricu i te dodatne stupce povlače se dijagonale; članovi matrice koji leže na glavnoj dijagonali ili paralelno s njom pišu se znakom plus, a elementi koji leže na sporednoj dijagonali ili paralelno s njom pišu se znakom minus.

Slika 1. Pravilo trokuta za izračun determinante za Cramerovu metodu

• Koristeći metodu poznatu kao Gaussova metoda, ova se metoda ponekad naziva i smanjenje reda determinante. U ovom slučaju, matrica se transformira i reducira u trokutasti oblik, a zatim se množe svi brojevi na glavnoj dijagonali. Treba imati na umu da kada tražite determinantu na ovaj način, ne možete množiti ili dijeliti retke ili stupce brojevima, a da ih ne izvadite kao množitelj ili djelitelj. U slučaju traženja determinante, moguće je jedino oduzimati i zbrajati retke i stupce jedan drugome, prethodno pomnoživši oduzeti red s faktorom koji nije nula. Također, kad god preuređujete retke ili stupce matrice, trebali biste zapamtiti potrebu da promijenite konačni predznak matrice.
• Kada rješavate SLAE s 4 nepoznanice pomoću Cramerove metode, najbolje je koristiti Gaussovu metodu za pretraživanje i pronalaženje determinanti ili odrediti determinantu traženjem minora.

Rješavanje sustava jednadžbi Cramerovom metodom

Primijenimo Cramerovu metodu za sustav od 2 jednadžbe i dvije tražene veličine:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Prikažimo ga u proširenom obliku radi praktičnosti:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Nađimo determinantu glavne matrice, koja se naziva i glavna determinanta sustava:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ako glavna determinanta nije jednaka nuli, tada je za rješavanje slougha Cramerovom metodom potrebno izračunati još nekoliko determinanti iz dvije matrice sa stupcima glavne matrice zamijenjenim nizom slobodnih članova:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Pronađimo sada nepoznanice $x_1$ i $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Primjer 1

Cramerova metoda za rješavanje SLAE s glavnom matricom 3. reda (3 x 3) i tri nepoznate.

Riješite sustav jednadžbi:

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Izračunajmo glavnu determinantu matrice pomoću pravila navedenog gore pod točkom broj 1:

$D = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

A sada još tri odrednice:

$D_1 = \begin(niz)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(niz) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 USD

Pronađimo potrebne količine:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Uz isti broj jednadžbi kao i broj nepoznanica s glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sustava (za takve jednadžbe postoji rješenje i postoji samo jedno).

Cramerov teorem.

Kada je determinanta matrice kvadratnog sustava različita od nule, to znači da je sustav konzistentan i da ima jedno rješenje koje se može pronaći pomoću Cramerove formule:

gdje je Δ - determinanta matrice sustava,

Δ ja je determinanta matrice sustava, u kojoj umjesto ja Stupac th sadrži stupac desnih strana.

Kada je determinanta sustava nula, to znači da sustav može postati kooperativan ili nekompatibilan.

Ova metoda se obično koristi za male sustave s opsežnim proračunima i ako je potrebno odrediti jednu od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnoge determinante.

Opis Cramerove metode.

Postoji sustav jednadžbi:

Sustav od 3 jednadžbe može se riješiti pomoću Cramerove metode, o kojoj je bilo riječi gore za sustav od 2 jednadžbe.

Sastavljamo determinantu od koeficijenata nepoznanica:

Biti će sustavna odrednica. Kada D≠0, što znači da je sustav konzistentan. Kreirajmo sada 3 dodatne determinante:

,,

Sustav rješavamo pomoću Cramerove formule:

Primjeri rješavanja sustava jednadžbi Cramerovom metodom.

Primjer 1.

Zadani sustav:

Riješimo to Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu matrice sustava:

Jer Δ≠0, što znači da je iz Cramerovog teorema sustav konzistentan i ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 dobiva se iz determinante Δ zamjenom njenog prvog stupca stupcem slobodnih koeficijenata. Dobivamo:

Na isti način determinantu Δ 2 dobivamo iz determinante matrice sustava zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih koeficijenata:

Da biste svladali ovaj paragraf, morate znati otkriti odrednice “dva po dva” i “tri po tri”. Ako ste loši s kvalifikacijama, proučite lekciju Kako izračunati determinantu?

Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Za što? – Uostalom, najjednostavniji sustav se može riješiti školska metoda, metodom zbrajanja pojam!

Činjenica je da se, iako ponekad, dogodi takav zadatak - riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer pomoći će vam da shvatite kako više koristiti Cramerovo pravilo složen slučaj– sustavi triju jednadžbi s tri nepoznanice.

Osim toga, postoje sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable, koje je preporučljivo rješavati pomoću Cramerovog pravila!

Razmotrimo sustav jednadžbi

U prvom koraku izračunavamo determinantu, tzv glavna odrednica sustava.

Gaussova metoda.

Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I

U praksi se gornji kvalifikatori mogu označavati i latiničnim slovom.

Korijene jednadžbe nalazimo pomoću formula:
,

Primjer 7

Riješite sustav linearnih jednadžbi

Riješenje: Vidimo da su koeficijenti jednadžbe prilično veliki, na desnoj strani ih ima decimale sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike, ja sam ovaj sustav preuzeo iz jednog ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sustav? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju vjerojatno ćete završiti s užasnim otmjenim razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja izgledat će jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednadžbu sa 6 i oduzimati član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.

Što uraditi? U takvim slučajevima u pomoć dolaze Cramerove formule.

;

;

Odgovor: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, ali postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obvezno Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: "To znači da sustav ima jedinstveno rješenje". U protivnom vas recenzent može kazniti zbog nepoštivanja Cramerovog teorema.

Ne bi bilo suvišno provjeriti, što je prikladno izvesti na kalkulatoru: zamijenimo približne vrijednosti u lijeva strana svaku jednadžbu sustava. Kao rezultat toga, s malom greškom, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnim stranama.

Primjer 8

Odgovor predstavite običnim nepravi razlomci. Provjerite.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Prijeđimo na razmatranje Cramerovog pravila za sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Nalazimo glavnu odrednicu sustava:

Ako je , tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.

Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I na kraju, odgovor se izračunava pomoću formula:

Kao što vidite, slučaj "tri po tri" u osnovi se ne razlikuje od slučaja "dva po dva"; stupac slobodnih pojmova uzastopno "šeta" slijeva nadesno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sustav pomoću Cramerovih formula.

Riješenje: Riješimo sustav pomoću Cramerovih formula.

, što znači da sustav ima jedinstveno rješenje.

Odgovor: .

Zapravo, ovdje se opet nema što posebno komentirati, budući da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.

Događa se da se kao rezultat izračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računalo pri ruci, učinite ovo:

1) Možda postoji greška u izračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Je li uvjet ispravno prepisan?. Ako je uvjet prepisan bez grešaka, tada trebate ponovno izračunati determinante koristeći proširenje u drugom retku (stupcu).

2) Ako se kao rezultat provjere ne otkriju greške, najvjerojatnije je došlo do tipfelera u uvjetima zadatka. U tom slučaju smireno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim svakako provjerite a mi ga nakon odluke sastavljamo na čistom listu. Naravno, provjera razlomka je neugodan zadatak, ali će biti razoružavajući argument za nastavnika koji jako voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.

Ako imate računalo pri ruci, upotrijebite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Usput, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja), odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sustava matrična metoda.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sustavi u kojima neke varijable nedostaju, na primjer:

Ovdje u prvoj jednadžbi nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima vrlo je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante s nulama prema retku (stupcu) u kojem se nalazi nula, jer je primjetno manje izračuna.

Primjer 10

Riješite sustav pomoću Cramerovih formula.

Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sustava od 4 jednadžbe s 4 nepoznanice, Cramerove formule su napisane prema sličnim principima. Živi primjer možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante – pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorovu cipelu na prsima sretnog studenta.

Rješavanje sustava pomoću inverzne matrice

metoda inverzna matrica- ovo je u biti poseban slučaj matrična jednadžba(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti sposobni proširiti determinante, pronaći inverz matrice i izvesti množenje matrice. Relevantne poveznice bit će davane kako objašnjenja budu napredovala.

Primjer 11

Riješite sustav matričnom metodom

Riješenje: Zapišimo sustav u matričnom obliku:
, Gdje

Molimo pogledajte sustav jednadžbi i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem zapisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbama, onda bi se nule morale staviti na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu nalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

Prvo, pogledajmo determinantu:

Ovdje je determinanta proširena na prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i sustav je nemoguće riješiti matričnom metodom. U ovom slučaju sustav se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

Referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj retka u kojem je ovaj element. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

To jest, dvostruki indeks označava da je element u prvom retku, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 retku, 2 stupcu

Tijekom rješenja bolje je detaljno opisati izračun minora, iako se s određenim iskustvom možete naviknuti usmeno ih izračunavati s pogreškama.

Cramerova metoda temelji se na korištenju determinanti u rješavanju sustava linearnih jednadžbi. To značajno ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava onoliko linearnih jednadžbi koliko ima nepoznanica u svakoj jednadžbi. Ako determinanta sustava nije jednaka nuli, onda se Cramerova metoda može koristiti u rješenju, ali ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznanice naziva se determinanta sustava i označava se (delta).

Odrednice

dobivaju se zamjenom koeficijenata odgovarajućih nepoznanica slobodnim članovima:

;

.

Cramerov teorem. Ako je determinanta sustava različita od nule, tada sustav linearnih jednadžbi ima jedno jedinstveno rješenje, a nepoznanica je jednaka omjeru determinanti. Nazivnik sadrži determinantu sustava, a brojnik determinantu dobivenu iz determinante sustava zamjenom koeficijenata te nepoznanice slobodnim članovima. Ovaj teorem vrijedi za sustav linearnih jednadžbi bilo kojeg reda.

Primjer 1. Riješite sustav linearnih jednadžbi:

Prema Cramerov teorem imamo:

Dakle, rješenje sustava (2):

online kalkulator, odlučna metoda Kramer.

Tri slučaja rješavanja sustava linearnih jednadžbi

Kao što je jasno iz Cramerov teorem, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje

(sustav je dosljedan i određen)

Drugi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja

(sustav je konzistentan i nesiguran)

** ,

oni. koeficijenti nepoznanica i slobodni članovi su proporcionalni.

Treći slučaj: sustav linearnih jednadžbi nema rješenja

(sustav je nedosljedan)

Dakle sustav m linearne jednadžbe sa n nazvane varijable nezglobni, ako ona nema niti jedno rješenje, i spojnica, ako ima barem jedno rješenje. Simultani sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje naziva se određeni, i više od jednog – neizvjestan.

Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom

Neka sustav bude dan

.

Na temelju Cramerovog teorema

………….
,

Gdje
-

sustavna odrednica. Ostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznato) slobodnim članovima:

Primjer 2.

.

Dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sustava.

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sustavu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednadžbi, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:

.

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Pažljivo pogledajte sustav jednadžbi i determinantu sustava te ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednako nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, stoga je sustav određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznanice

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, rješenje sustava je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo zajedno rješavati sustave Cramerovom metodom

Kao što je već rečeno, ako je determinanta sustava jednaka nuli, a determinante nepoznanica nisu jednake nuli, sustav je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Determinanta sustava jednaka je nuli, stoga je sustav linearnih jednadžbi ili nekonzistentan i određen, ili je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznanice

Determinante nepoznanica nisu jednake nuli, dakle sustav je nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima koji uključuju sustave linearnih jednadžbi postoje i oni u kojima se uz slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova predstavljaju broj, najčešće pravi. U praksi problemi pretraživanja dovode do takvih jednadžbi i sustava jednadžbi opća svojstva bilo kakve pojave ili objekte. Odnosno, jeste li izmislili koji novi materijal ili uređaj, a za opis njegovih svojstava, koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj instance, potrebno je riješiti sustav linearnih jednadžbi, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable stoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednadžbi, varijabli i slova koja označavaju određeni realni broj.

Primjer 8. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Pronalaženje determinanti za nepoznanice

Neka sustav linearnih jednadžbi sadrži onoliko jednadžbi koliko je nezavisnih varijabli, tj. izgleda kao

Takvi sustavi linearnih jednadžbi nazivaju se kvadratni. Determinanta, sastavljena od koeficijenata za nezavisne varijable sustava (1.5), naziva se glavna determinanta sustava. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako glavna determinanta sadrži proizvoljan ( j th) stupac, zamijenite stupcem slobodnih uvjeta sustava (1.5), tada možete dobiti n pomoćni kvalifikatori:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnih sustava linearnih jednadžbi je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sustava (1.5) različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula:

(1.8)

Primjer 1.5. Riješite sustav jednadžbi Cramerovom metodom

.

Izračunajmo glavnu determinantu sustava:

Od D¹0 sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

Tako,

Akcije na matricama

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste pomnožili matricu s brojem, morate pomnožiti sve njezine elemente s tim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Zbrajanje matrice.

Ova operacija se uvodi samo za matrice istog reda.

Da bi se zbrojile dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija zbrajanja matrica ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj stupaca matrice A poklapa se s brojem redaka matrice U, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, pri množenju matrice A dimenzije m´ n na matricu U dimenzije n´ k dobijemo matricu S dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice S izračunato po sljedeće formule:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, umnožak matrica AB I B.A.:

Riješenje. 1) Da biste pronašli posao AB, trebate redove matrice A množenje stupcima matrice B:

2) Rad B.A. ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redaka matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrica A- 1 naziva se inverzom kvadratne matrice A, ako je jednakost zadovoljena:

gdje kroz ja označava matricu identiteta istog reda kao i matrica A:

.

Da bi kvadratna matrica imala inverz, potrebno je i dovoljno da njezina determinanta bude različita od nule. Inverzna matrica se nalazi pomoću formule:

, (1.13)

Gdje A ij- algebarski dodaci elementima a ij matrice A(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice A nalaze se u inverznoj matrici u obliku odgovarajućih stupaca).

Primjer 1.9. Nađi inverznu matricu A- 1 u matricu

.

Inverznu matricu nalazimo pomoću formule (1.13), koja za slučaj n= 3 ima oblik:

.

Pronađimo det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Budući da je determinanta izvorne matrice različita od nule, inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske komplemente A ij:

Radi lakšeg pronalaženja inverzne matrice, postavili smo algebarske dodatke recima izvorne matrice u odgovarajuće stupce.

Od dobivenih algebarskih zbrajanja sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Dakle, dobivamo inverznu matricu:

Kvadratni sustavi linearnih jednadžbi s glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti pomoću inverzne matrice. Da bismo to učinili, sustav (1.5) je napisan u matričnom obliku:

Gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) slijeva s A- 1, dobivamo rješenje sustava:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje kvadratnog sustava, trebate pronaći inverznu matricu glavne matrice sustava i pomnožiti je s desne strane s matricom stupca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješite sustav linearnih jednadžbi

pomoću inverzne matrice.

Riješenje. Napišimo sustav u matričnom obliku: ,

Gdje - glavna matrica sustava, - stupac nepoznanica i - stupac slobodnih članova. Budući da je glavna odrednica sustava , zatim glavna matrica sustava A ima inverznu matricu A-1 . Za pronalaženje inverzne matrice A-1 , izračunavamo algebarske komplemente svim elementima matrice A:

Od dobivenih brojeva ćemo sastaviti matricu (i algebarske dodatke redovima matrice A upisati u odgovarajuće stupce) i podijeliti s determinantom D. Dakle, dobili smo inverznu matricu:

Rješenje sustava nalazimo pomoću formule (1.15):

Tako,

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi običnom Jordanovom metodom eliminacije

Neka je zadan proizvoljan (ne nužno kvadratni) sustav linearnih jednadžbi:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sustava, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sustava (1.16). U općem slučaju sustav (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i bezbroj rješenja. Također možda uopće nema rješenja.

Pri rješavanju ovakvih zadataka koristi se poznata školska metoda eliminacije nepoznanica, koja se naziva i obična Jordanova metoda eliminacije. Suština ovu metodu leži u činjenici da je u jednoj od jednadžbi sustava (1.16) jedna od varijabli izražena kroz druge varijable. Ta se varijabla zatim zamjenjuje u druge jednadžbe u sustavu. Rezultat je sustav koji sadrži jednu jednadžbu i jednu varijablu manje od izvornog sustava. Pamti se jednadžba iz koje je varijabla izražena.

Ovaj se proces ponavlja sve dok u sustavu ne ostane posljednja jednadžba. Kroz proces eliminiranja nepoznanica, neke jednadžbe mogu postati pravi identiteti, npr. Takve jednadžbe su isključene iz sustava, budući da su zadovoljene za bilo koju vrijednost varijabli i stoga ne utječu na rješenje sustava. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer), tada zaključujemo da sustav nema rješenja.

Ako se tijekom rješavanja ne pojave kontradiktorne jednadžbe, tada se jedna od preostalih varijabli u njoj nalazi iz posljednje jednadžbe. Ako je u posljednjoj jednadžbi ostala samo jedna varijabla, ona se izražava brojem. Ako ostale varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, tada se one smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija tih parametara. Tada dolazi do takozvanog "obrnutog poteza". Pronađena varijabla zamjenjuje se u posljednju zapamćenu jednadžbu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memoriranu jednadžbu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorirane jednadžbe.

Kao rezultat toga dobivamo rješenje sustava. Ovo će rješenje biti jedinstveno ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a potom i sve ostale, ovise o parametrima, tada će sustav imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje vam omogućuju pronalaženje rješenja sustava ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sustava.

Primjer 1.11.

x

Nakon što je zapamtio prvu jednadžbu i dovođenjem sličnih članova u drugu i treću jednadžbu dolazimo do sustava:

Izrazimo se g iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednadžbu:

Sjetimo se druge jednadžbe, a iz prve nalazimo z:

Radeći unatrag, dosljedno nalazimo g I z. Da bismo to učinili, prvo zamijenimo u posljednju zapamćenu jednadžbu, odakle nalazimo g:

.

Zatim ćemo to zamijeniti u prvu zapamćenu jednadžbu gdje ga možemo naći x:

Problem 1.12. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminirajući nepoznanice:

. (1.17)

Riješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijenite ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Sjetimo se prve jednadžbe

U ovom sustavu prva i druga jednadžba proturječe jedna drugoj. Doista, izražavanje g , dobivamo da je 14 = 17. Ova jednakost ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli x, g, I z. Prema tome, sustav (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenja.

Pozivamo čitatelje da se sami uvjere da je glavna determinanta izvornog sustava (1.17) jednaka nuli.

Promotrimo sustav koji se od sustava (1.17) razlikuje samo jednim slobodnim članom.

Problem 1.13. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminirajući nepoznanice:

. (1.18)

Riješenje. Kao i prije, izražavamo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijenite ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Sjetimo se prve jednadžbe i prikazati slične članove u drugoj i trećoj jednadžbi. Dolazimo do sustava:

Izražavanje g iz prve jednadžbe i zamjenom u drugu jednadžbu , dobivamo identitet 14 = 14, koji ne utječe na rješenje sustava, pa se stoga može isključiti iz sustava.

U posljednjoj zapamćenoj jednakosti, varijabla z smatrat ćemo ga parametrom. Vjerujemo. Zatim

Zamijenimo g I z u prvu zapamćenu jednakost i pronađi x:

.

Dakle, sustav (1.18) ima beskonačan broj rješenja, a svako rješenje se može pronaći pomoću formula (1.19), odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Tako su rješenja sustava, na primjer, sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju opće (bilo koje) rješenje sustava (1.18). ).

U slučaju kada izvorni sustav (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, naznačena metoda obične Jordanove eliminacije čini se glomaznom. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za preračunavanje koeficijenata sustava u jednom koraku u opći pogled a rješenje problema formulirati u obliku posebnih Jordanovih tablica.

Neka je zadan sustav linearnih formi (jednadžbi):

, (1.20)
Gdje x j- nezavisne (tražene) varijable, a ij- konstantni koeficijenti
(ja = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni dijelovi sustava y i (ja = 1, 2,…, m) mogu biti varijable (ovisne) ili konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sustav eliminacijom nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, ubuduće nazvanu "jedan korak običnih Jordanovih eliminacija". Od proizvoljnih ( r th) jednakost izražavamo proizvoljnu varijablu ( xs) i zamijeniti u sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs koji se naziva rješavajući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobit ćemo sljedeći sustav:

. (1.21)

Iz s- jednakosti sustava (1.21), naknadno nalazimo varijablu xs(nakon što su pronađene preostale varijable). S-ti redak se pamti i naknadno isključuje iz sustava. Preostali sustav će sadržavati jednu jednadžbu i jednu manje nezavisne varijable od originalnog sustava.

Izračunajmo koeficijente dobivenog sustava (1.21) preko koeficijenata izvornog sustava (1.20). Počnimo s r th jednadžbe, koja nakon izražavanja varijable xs kroz preostale varijable to će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžbe se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(ja¹ r) proizvoljne jednadžbe. Da bismo to učinili, zamijenimo varijablu izraženu u (1.22) xs V ja jednadžba sustava (1.20):

Nakon dovođenja sličnih uvjeta dobivamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobivamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sustava (1.21) (osim r jednadžba):

(1.25)
Transformacija sustava linearnih jednadžbi metodom obične Jordanove eliminacije prikazana je u obliku tablica (matrica). Ove tablice nazivaju se "jordanske tablice".

Stoga je problem (1.20) povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tablica 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
g 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a ja 1	a ja 2		a ij		a je		in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Jordanova tablica 1.1 sadrži lijevi zaglavni stupac u kojem su ispisani desni dijelovi sustava (1.20) i gornji zaglavni redak u kojem su ispisane nezavisne varijable.

Ostali elementi tablice čine glavnu matricu koeficijenata sustava (1.20). Ako pomnožite matricu A na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg naslovnog retka, dobivate matricu koja se sastoji od elemenata lijevog naslovnog stupca. To jest, u biti, Jordanova tablica je matrični oblik pisanja sustava linearnih jednadžbi: . Sustav (1.21) odgovara sljedećoj Jordanovoj tablici:

Tablica 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
g 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permisivni element a rs Istaknut ćemo ih masnim slovima. Podsjetimo se da za provedbu jednog koraka Jordanove eliminacije razlučni element mora biti različit od nule. Red tablice koji sadrži element omogućavanja naziva se redom omogućavanja. Stupac koji sadrži element enable naziva se stupac enable. Prilikom prelaska iz dane tablice u sljedeću tablicu, jedna varijabla ( xs) iz retka gornjeg zaglavlja tablice premješta se u lijevi stupac zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sustava ( y r) pomiče se iz lijevog glavnog stupca tablice u gornji glavni redak.

Opišimo algoritam za preračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tablice (1.1) u tablicu (1.2), koji proizlazi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Element razrješenja zamjenjuje se inverznim brojem:

2. Preostali elementi razlučujućeg niza dijele se na razlučujući element i mijenjaju predznak na suprotan:

3. Preostali elementi stupca rezolucije dijele se na element rezolucije:

4. Elementi koji nisu uključeni u dopušteni redak i dopušteni stupac ponovno se izračunavaju pomoću formula:

Posljednju formulu lako je zapamtiti ako primijetite da elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrižju ja-oh i r th linije i j th i s th stupaca (razlučujući redak, razlučujući stupac te redak i stupac na čijem se sjecištu nalazi preračunati element). Točnije, kod pamćenja formule možete koristiti sljedeći dijagram:

-21 -26 -13 -37

Prilikom izvođenja prvog koraka Jordanovih iznimaka, možete odabrati bilo koji element tablice 1.3 koji se nalazi u stupcima kao element za rješavanje x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu nula). Samo nemojte odabrati element za omogućavanje u zadnjem stupcu, jer trebate pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Na primjer, biramo koeficijent 1 s varijablom x 3 u trećem retku tablice 1.3 (element omogućavanja prikazan je podebljano). Kada prijeđete na tablicu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se s konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). U ovom slučaju varijabla x 3 se izražava kroz preostale varijable.

Niz x 3 (Tablica 1.4) može se, nakon prethodnog prisjećanja, isključiti iz Tablice 1.4. Treći stupac s nulom u gornjem retku naslova također je isključen iz tablice 1.4. Stvar je u tome da bez obzira na koeficijente danog stupca b i 3 svi odgovarajući članovi svake jednadžbe 0 b i 3 sustava bit će jednaka nuli. Stoga te koeficijente nije potrebno izračunavati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sjećajući se jedne od jednadžbi, dolazimo do sustava koji odgovara tablici 1.4 (s prekriženom crtom x 3). Odabir u tablici 1.4 kao razrješavajućeg elementa b 14 = -5, idite na tablicu 1.5. U tablici 1.5 zapamtite prvi redak i isključite ga iz tablice zajedno s četvrtim stupcem (s nulom na vrhu).

Tablica 1.5 Tablica 1.6

Iz posljednje tablice 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Dosljedno zamjenjujući već pronađene varijable u zapamćene retke, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Varijabilna x 5, mogu se dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sustava i pronašli je zajednička odluka:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Davanje parametra t različite vrijednosti, dobit ćemo beskonačan broj rješenja izvornog sustava. Tako je, na primjer, rješenje sustava sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).