Kako riješiti kvadratne jednadžbe 8. Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Općinska proračunska obrazovna ustanova Srednja škola br. 11

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija Rad je dostupan u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu

Povijest kvadratnih jednadžbi

Babilon

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog stupnja, već i drugog, u davna vremena bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina zemljišnih čestica, razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe znao riješiti oko 2000 pr. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednadžbi, izložena u babilonskim tekstovima, u biti se podudaraju sa suvremenim, ali u tim tekstovima nema pojma negativan broj I opće metode rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Drevna grčka

Rješavanje kvadratnih jednadžbi također je rađeno u Drevna grčka znanstvenici kao što su Diofant, Euklid i Heron. Diofant Diofant iz Aleksandrije starogrčki je matematičar koji je vjerojatno živio u 3. stoljeću nove ere. Glavno Diofantovo djelo je “Aritmetika” u 13 knjiga. Euklid. Euklid je starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je došla do nas, Heron. Heron - grčki matematičar i inženjer prvi u Grčkoj u 1. stoljeću nove ere. daje čisto algebarska metoda rješenja kvadratnih jednadžbi

Indija

Problemi o kvadratnim jednadžbama nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), ocrtao je opće pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik: ax2 + bx = c, a> 0. (1) U jednadžbi (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptina vladavina je u biti ista kao naša. Javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem pomračuje zvijezde, tako učen čovjek zasjenit će njegovu slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su se često iznosili u poetskom obliku.

To je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća. Bhaskars.

“Jato živahnih majmuna

A dvanaestorica uz trsove, najevši se do mile volje, zabavila su se

Počeli su skakati, viseći

Osmi dio njih na kvadrat

Koliko je bilo majmuna?

Zabavljao sam se na čistini

Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. Bhaskar zapisuje jednadžbu koja odgovara problemu kao x2 - 64x = - 768 i, kako bi dovršio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 objema stranama, a zatim dobiva: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratne jednadžbe u Europi 17. stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po uzoru na Al-Khorezmija u Europi prvi su put navedene u Knjizi o abaku, koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, u kojem se odražava utjecaj matematike, kako iz zemalja islama, tako i iz antičke Grčke, odlikuje se cjelovitošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje zadataka i prvi u Europi uveo negativne brojeve. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz Abakove knjige korišteni su u gotovo svim europskim udžbenicima 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII. Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opći pogled Viet ga ima, ali Viet je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17.st. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan oblik.

Definicija kvadratne jednadžbe

Jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c brojevi, naziva se kvadratnom.

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

Brojevi a, b, c su koeficijenti kvadratne jednadžbe, a je prvi koeficijent (ispred x²), a ≠ 0, b je drugi koeficijent (ispred x), c je slobodni član (bez x).

Koja od ovih jednadžbi nije kvadratna??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Vrste kvadratnih jednadžbi

Ime	Opći oblik jednadžbe	Značajka (koji su koeficijenti)	Primjeri jednadžbi
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - brojevi različiti od 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Nepotpun
			x 2 - 1/5x = 0
S obzirom	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Reducirana je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent jednako jedan. Takva se jednadžba može dobiti dijeljenjem cijelog izraza s vodećim koeficijentom a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadratna jednadžba se naziva potpunom ako su svi njeni koeficijenti različiti od nule.

Nepotpunom se naziva kvadratna jednadžba u kojoj je barem jedan od koeficijenata, osim vodećeg (bilo drugi koeficijent ili slobodni član), jednak nuli.

Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Metoda I Opća formula za izračunavanje korijena

Naći korijene kvadratne jednadžbe sjekira 2 + b + c = 0 Općenito, trebali biste koristiti algoritam u nastavku:

Izračunajte vrijednost diskriminante kvadratne jednadžbe: ovo je izraz za nju D= b 2 - 4ac

Izvođenje formule:

Bilješka: Očito je da je formula za korijen višestrukosti 2 poseban slučaj opće formule, dobiven supstitucijom jednakosti D=0 u nju i zaključka o nepostojanju pravih korijena na D0, te (stil prikaza (sqrt ( -1))=i) = i.

Prikazana metoda je univerzalna, ali daleko od jedine. Rješavanju jedne jednadžbe može se pristupiti na različite načine, a preferencije obično ovise o rješavatelju. Osim toga, često se u tu svrhu neka od metoda pokaže mnogo elegantnijom, jednostavnijom i manje radno zahtjevnom od standardne.

II metoda. Korijeni kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom b III metoda. Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

IV metoda. Korištenje parcijalnih omjera koeficijenata

Postoje posebni slučajevi kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti u međusobnom odnosu, što ih čini mnogo lakšim za rješavanje.

Korijeni kvadratne jednadžbe u kojoj je zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana jednak drugom koeficijentu

Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2 + bx + c = 0 zbroj prvog koeficijenta i slobodnog člana jednak je drugom koeficijentu: a+b=c, tada su njegovi korijeni -1 i broj suprotan omjeru slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( -c/a).

Stoga, prije rješavanja bilo koje kvadratne jednadžbe, trebali biste provjeriti mogućnost primjene ovog teorema na nju: usporedite zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana s drugim koeficijentom.

Korijeni kvadratne jednadžbe čiji je zbroj svih koeficijenata nula

Ako je u kvadratnoj jednadžbi zbroj svih njezinih koeficijenata nula, tada su korijeni takve jednadžbe 1 i omjer slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( c/a).

Dakle, prije rješavanja jednadžbe standardne metode, trebali biste provjeriti primjenjivost ovog teorema na njega: zbrojite sve koeficijente ove jednadžbe i provjerite nije li taj zbroj jednak nuli.

V metoda. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne faktore

Ako je trinom oblika (stil prikaza ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) može se nekako predstaviti kao produkt linearnih faktora (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tada možemo pronaći korijene jednadžbe sjekira 2 + bx + c = 0- bit će -m/k i n/l, doista, ipak (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0dugalijeva desna strelica kx+m=0čaša lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a rješavanjem navedenih linearnih jednadžbi dobivamo gore navedeno. Imajte na umu da kvadratni trinom ne rastavlja uvijek na linearne faktore s realnim koeficijentima: to je moguće ako odgovarajuća jednadžba ima realne korijene.

Razmotrimo neke posebne slučajeve

Korištenje formule kvadrata zbroja (razlike).

Ako kvadratni trinom ima oblik (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , tada ga primjenom gornje formule na njega možemo rastaviti na linearne faktore i , dakle, pronađite korijene:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izdvajanje punog kvadrata zbroja (razlike)

Gornja formula također se koristi pomoću metode koja se zove "odabir punog kvadrata zbroja (razlike)". U odnosu na gornju kvadratnu jednadžbu s prethodno uvedenim oznakama, to znači sljedeće:

Bilješka: Ako primijetite, ova se formula podudara s onom predloženom u odjeljku "Korijeni reducirane kvadratne jednadžbe", koja se pak može dobiti iz opće formule (1) zamjenom jednakosti a=1. Ova činjenica nije samo slučajnost: pomoću opisane metode, iako uz dodatno obrazloženje, može se izvesti opća formula i također dokazati svojstva diskriminante.

VI metoda. Korištenje izravnog i inverznog Vieta teorema

Vietin izravni teorem (vidi dolje u istoimenom odjeljku) i njegov inverzni teorem omogućuju usmeno rješavanje gornjih kvadratnih jednadžbi, bez pribjegavanja prilično glomaznim izračunima pomoću formule (1).

Prema obrnutom teoremu, svaki par brojeva (broj) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, budući da je rješenje sustava jednadžbi u nastavku, korijeni su jednadžbe

U općem slučaju, tj. za nereduciranu kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Izravni teorem pomoći će vam usmeno pronaći brojeve koji zadovoljavaju ove jednadžbe. Uz njegovu pomoć možete odrediti znakove korijena bez poznavanja samih korijena. Da biste to učinili, trebali biste slijediti pravilo:

1) ako je slobodni član negativan, tada korijeni imaju drugačiji znak, a najveći modul korijena je predznak suprotan predznaku drugog koeficijenta jednadžbe;

2) ako je slobodni član pozitivan, tada oba korijena imaju isti predznak, a to je predznak suprotan predznaku drugog koeficijenta.

VII metoda. Način prijenosa

Takozvana metoda "prijenosa" omogućuje smanjenje rješenja nereduciranih i nesvodljivih jednadžbi na oblik reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima dijeljenjem s vodećim koeficijentom na rješenje reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima. To je kako slijedi:

Zatim se jednadžba usmeno rješava na gore opisani način, zatim se vraćaju na izvornu varijablu i pronalaze korijene jednadžbi (stil prikaza y_(1)=ax_(1)) g 1 = sjekira 1 I g 2 = sjekira 2 .(stil prikaza y_(2)=ax_(2))

Geometrijsko značenje

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su apscise točaka presjeka parabole s osi apscisa. Ako je opisana parabola kvadratna funkcija, ne siječe se s x-osom, jednadžba nema pravih korijena. Ako parabola siječe os x u jednoj točki (na vrhu parabole), jednadžba ima jedan pravi korijen (također se kaže da jednadžba ima dva korijena koja se podudaraju). Ako parabola siječe x-os u dvije točke, jednadžba ima dva stvarna korijena (vidi sliku desno.)

Ako koeficijent (stil prikaza a) a pozitivni, grane parabole su usmjerene prema gore i obrnuto. Ako koeficijent (stil prikaza b) bpozitivno (ako je pozitivno (stil prikaza a) a, ako je negativan, obrnuto), tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini i obrnuto.

Primjena kvadratnih jednadžbi u životu

Kvadratna jednadžba se široko koristi. Koristi se u mnogim izračunima, strukturama, sportovima, a također i oko nas.

Razmotrimo i navedimo neke primjere primjene kvadratne jednadžbe.

Sport. Visoki skokovi: tijekom zaleta skakača koriste se izračuni vezani uz parabolu kako bi se postigao najjasniji mogući udar na zalet i visoki let.

Također, slični izračuni su potrebni u bacanju. Domet leta objekta ovisi o kvadratnoj jednadžbi.

Astronomija. Putanje planeta mogu se pronaći pomoću kvadratne jednadžbe.

Let zrakoplovom. Polijetanje zrakoplova glavna je komponenta leta. Ovdje uzimamo izračun za mali otpor i ubrzanje polijetanja.

Kvadratne jednadžbe također se koriste u raznim ekonomskim disciplinama, u programima za obradu zvuka, videa, vektorske i rasterske grafike.

Zaključak

Kao rezultat obavljenog rada pokazalo se da su kvadratne jednadžbe privukle znanstvenike još u davna vremena, već su se s njima susreli pri rješavanju nekih problema i pokušavali ih riješiti. S obzirom razne načine rješavajući kvadratne jednadžbe, došao sam do zaključka da nisu sve jednostavne. Po mom mišljenju najviše najbolji način rješavanje kvadratnih jednadžbi je rješavanje formulama. Formule se lako pamte, ova metoda je univerzalna. Potvrđena je hipoteza da se jednadžbe široko koriste u životu i matematici. Nakon proučavanja teme naučio sam mnogo Zanimljivosti o kvadratnim jednadžbama, njihovoj uporabi, primjeni, vrstama, rješenjima. I rado ću ih nastaviti proučavati. Nadam se da će mi ovo pomoći da dobro položim ispite.

Popis korištene literature

Materijali stranice:

Wikipedia

Otvorena lekcija.rf

Priručnik za elementarnu matematiku Vygodsky M. Ya.

Nastavljajući temu "Rješavanje jednadžbi", materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Pogledajmo sve potanko: bit i zapis kvadratne jednadžbe, definirajmo popratne pojmove, analizirajmo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznajmo se s formulom korijena i diskriminante, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno dat ćemo vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je u biti kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Navedimo primjer za ilustraciju date definicije: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. To su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su negativni, tada se koristi kratki oblik oblika 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na temelju vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba gdje je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Navedimo primjere: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 u kojima je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i zadana nereducirana jednadžba ili također nemaju korijena uopće.

Obzir konkretan primjer omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6. Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da je na a = 0 bitno se pretvara u Linearna jednadžba b x + c = 0.

U slučaju kada koeficijenti b I c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednadžba u kojoj svi brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se tipovima kvadratnih jednadžbi daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbe – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, ova jednadžba odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
• a · x 2 + c = 0 pri b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 pri c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 =0

Kao što je gore spomenuto, ova jednadžba odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x 2 = 0, koju dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može objasniti svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignuto.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedinstveni korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednadžbe a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu premještanjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotni i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

• prijenos c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe s a, završavamo s x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne; prema tome, rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a ovisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 = - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 = - c a. Nije teško razumjeti da je broj - - c a također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a.

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati metodom kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za gore navedene korijene kao x 1 I − x 1. Uzmimo da i jednadžba x 2 = - c a ima korijen x 2, koji se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , a za x 2- x 2 2 = - c a . Na temelju svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan točan član po član jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizlazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema korijena osim x = - c a i x = - - c a.

Sažmimo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Riješenje

Pomaknimo slobodni član na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane dobivene jednadžbe s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Jednadžbu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x 2 = 36. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega možemo zaključiti da x = 36 ili x = - 36 .
Izvucimo korijen i zapišimo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = − 6.

Odgovor: x=6 ili x = − 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristit ćemo se metodom faktorizacije. Faktorizirajmo polinom koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x = 0 I a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riješenje

Izvadit ćemo ga x izvan zagrada dobivamo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminanta, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c– tzv. diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u biti znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različit od nule, dobivamo sljedeću kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani dobivene jednadžbe:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Na kraju transformiramo izraz napisan s desne strane posljednje jednakosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Tako dolazimo do jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednadžbi ispitali smo u prethodnim odlomcima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c naveden je naziv - diskriminant kvadratne jednadžbe i slovo D definirano kao njegova oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - na temelju njene vrijednosti i predznaka mogu zaključiti hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koji je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminantni zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulirajmo ponovno naše zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. I, kada proširimo module i smanjimo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju određivanje oba stvarna korijena kada je diskriminant veći od nule. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo upotrijebiti formulu za korijen kvadratne jednadžbe, suočit ćemo se s potrebom izdvajanja Korijen od negativnog broja, što će nas odvesti dalje od stvarnih brojeva. Na negativna diskriminacija Kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksno konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah pomoću formule za korijen, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne složenih, već stvarnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe najprije odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračun vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminirajuću vrijednost;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0, pronađite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - b 2 · a ;
• za D > 0, odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe pomoću formule x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Dajmo rješenja primjerima za različite vrijednosti diskriminante.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobivamo D > 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x = - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo dobiveni izraz izuzimanjem faktora iz znaka korijena i zatim smanjenjem razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Treba riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednadžbu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminanta je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema pravih korijena.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći akcije s kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školski plan i program Ne postoji standardni zahtjev za traženje kompleksnih korijena, stoga, ako se tijekom rješavanja utvrdi da je diskriminant negativan, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili s koeficijentom oblika 2 · n, npr. 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo formulu korijena:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra s drugim koeficijentom 2 · n imati oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, odnosno D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• nađi D 1 = n 2 − a · c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 = 0, odredite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - n a;
• za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent dane jednadžbe možemo prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 očito je prikladnije riješiti nego 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe provodi množenjem ili dijeljenjem njezinih obje strane s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivene dijeljenjem obje strane sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno povezani primarni brojevi. Zatim obično obje strane jednadžbe podijelimo s najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njezinih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se riješite frakcijskih koeficijenata. U tom se slučaju množe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti zapisan u više u jednostavnom obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se gotovo uvijek rješavamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane s −1. Na primjer, od kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, nama već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Na temelju ove formule imamo priliku specificirati druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule su Vietin teorem:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći brojne druge veze između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U moderno društvo sposobnost izvođenja operacija s jednadžbama koje sadrže varijablu na kvadrat može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i naširoko se koristi u praksi u znanstvenim i tehnički razvoj. Dokazi za to mogu se naći u dizajnu morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Koristeći takve izračune, putanje kretanja većine različita tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Možda će biti potrebni u planinarski izleti, na sportskim događanjima, u trgovinama tijekom kupovine i u drugim vrlo uobičajenim situacijama.

Rastavimo izraz na sastavne faktore

Stupanj jednadžbe određen je maksimalnom vrijednošću stupnja varijable koju izraz sadrži. Ako je jednak 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratnom.

Ako govorimo jezikom formula, tada se naznačeni izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti u oblik kada lijeva strana izraz se sastoji od tri pojma. Među njima su: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznanica bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takvom polinomu nedostaje jedan od njegovih sastavnih članova, s izuzetkom osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Prvo treba razmotriti primjere s rješenjem takvih problema, vrijednosti varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani, točnije ax 2 i bx, najlakši način da pronađete x je stavljanjem varijable izvan zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Dalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora daje 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Ovakvim jednadžbama može se opisati kretanje tijela pod utjecajem gravitacije, koja su se počela kretati od određene točke uzete kao ishodište koordinata. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje protekne od trenutka kada se tijelo digne do trenutka kada padne, kao i mnoge druge veličine. Ali o ovome ćemo kasnije.

Rastavljanje izraza na faktore

Gore opisano pravilo omogućuje više rješavanja ovih problema teški slučajevi. Pogledajmo primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo transformirajmo izraz i faktoriziraj ga. Dva su: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada desnu stranu rastavljamo na faktore s varijablom, postoje tri faktora, to jest (x+1), (x-3) i (x+ 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -1; 3.

Korijen

Još jedan slučaj nepotpuna jednadžba drugi red je izraz predstavljen u jeziku slova na takav način da desni dio je izgrađen od komponenti ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni izraz prenosi u desna strana, a nakon toga se vadi kvadratni korijen s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da je u u ovom slučaju Obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka mogu biti jednakosti koje uopće ne sadrže član s, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada desna strana ispadne negativna. U potonji slučaj Ne postoje nikakva rješenja, budući da se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Izračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima uvelike određen potrebom da se s najvećom točnošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Također bismo trebali razmotriti primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutna parcela zemlje čija je duljina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta ako znate da je njegova površina 612 m2.

Za početak, kreirajmo potrebnu jednadžbu. Označimo s x širinu površine, tada će njezina duljina biti (x+16). Iz napisanog proizlazi da je površina određena izrazom x(x+16) koji prema uvjetima našeg zadatka iznosi 612. To znači da je x(x+16) = 612.

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se raditi na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste različite metode.

Diskriminirajući

Prije svega, napravimo potrebne transformacije izgled ovog izraza će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo bi mogao biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante. Ovdje se izrađuju potrebni izračuni prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina ne samo da omogućuje pronalaženje potrebnih veličina u jednadžbi drugog reda, ona određuje količinu moguće opcije. Ako je D>0, dva su; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je jednak: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo sugerira da naš problem ima odgovor. Ako znate k, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću donje formule. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj nedoumici ne može biti rješenje, jer se dimenzije parcele ne mogu mjeriti u negativnim veličinama, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18 m. +16=34, a opseg 2(34+ 18)=104(m2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. U nastavku će biti navedeni primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Premjestimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobit ćemo onu vrstu jednadžbe koja se obično naziva standardnom i izjednačimo je s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Zbrajajući slične, određujemo diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znači da će naša jednadžba imati dva korijena. Izračunajmo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada riješimo misterije druge vrste.

Saznajmo ima li ovdje korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili opsežan odgovor, svedimo polinom na odgovarajući uobičajeni oblik i izračunajmo diskriminant. U gornjem primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer to uopće nije bit problema. U ovom slučaju, D = 16 - 20 = -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Prikladno je rješavati kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminante, kada se kvadratni korijen uzima iz vrijednosti potonje. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli u ovom slučaju. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobila po čovjeku koji je živio u 16. stoljeću u Francuskoj i napravio briljantnu karijeru zahvaljujući matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret možete vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz primijetio bio je sljedeći. Dokazao je da se korijeni jednadžbe numerički zbrajaju na -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Sada pogledajmo konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Upotrijebimo Vietin teorem, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se te vrijednosti varijable doista uklapaju u izraz.

Parabolni graf i jednadžba

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratnih jednadžbi usko su povezani. Primjeri toga već su navedeni ranije. Pogledajmo sada malo detaljnije neke matematičke zagonetke. Bilo koja jednadžba opisane vrste može se prikazati vizualno. Takav odnos, nacrtan kao grafikon, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njeni ogranci. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći pomoću upravo navedene formule x 0 = -b/2a. I zamjenom dobivene vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole, koja pripada osi ordinata.

Sjecište grana parabole s osi apscisa

Postoji mnogo primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Pogledajmo ih. Jasno je da je sjecište grafa s osi 0x za a>0 moguće samo ako y 0 uzima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole također možete odrediti korijene. Vrijedi i suprotno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. A znajući točke sjecišta s osi 0x, lakše je konstruirati grafikon.

Iz povijesti

Koristeći jednadžbe koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima nisu samo radili matematičke izračune i određivali površine geometrijskih figura. Drevnima su takvi izračuni bili potrebni za velika otkrića u poljima fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što moderni znanstvenici sugeriraju, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. To se dogodilo četiri stoljeća prije naše ere. Naravno, njihovi izračuni bili su radikalno drugačiji od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima koje svaki moderni školarac zna.

Možda čak i prije babilonskih znanstvenika, indijski mudrac Baudhayama počeo je rješavati kvadratne jednadžbe. To se dogodilo oko osam stoljeća prije Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje kojih je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u davna vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svojim radovima koristili veliki znanstvenici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Poznato je da je to posebna verzija jednakosti ax 2 + bx + c = o, gdje su a, b i c realni koeficijenti za nepoznati x, a gdje je a ≠ o, a b i c će biti nule - istovremeno ili odvojeno. Na primjer, c = o, b ≠ o ili obrnuto. Skoro smo se sjetili definicije kvadratne jednadžbe.

Trinom drugog stupnja je nula. Njegov prvi koeficijent a ≠ o, b i c mogu poprimiti bilo koje vrijednosti. Vrijednost varijable x tada će biti kada je supstitucija pretvori u ispravnu numeričku jednakost. Usredotočimo se na stvarne korijene, iako jednadžbe mogu biti i rješenja.Uobičajeno je da se jednadžba naziva potpunom u kojoj niti jedan koeficijent nije jednak o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Riješimo primjer. 2x 2 -9x-5 = oh, nalazimo
D = 81+40 = 121,
D je pozitivan, što znači da postoje korijeni, x 1 = (9+√121):4 = 5, a drugi x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Provjerom ćete se uvjeriti da su ispravni.

Ovdje je korak po korak rješenje kvadratne jednadžbe

Pomoću diskriminante možete riješiti bilo koju jednadžbu na čijoj lijevoj strani postoji poznati kvadratni trinom za a ≠ o. U našem primjeru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Razmotrimo što su nepotpune jednadžbe drugog stupnja

1. sjekira 2 +in = o. Slobodni član, koeficijent c pri x 0, ovdje je jednak nuli, u ≠ o.
   Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu ovog tipa? Izvadimo x iz zagrada. Prisjetimo se kada je umnožak dva faktora jednak nuli.
   x(ax+b) = o, to može biti kada je x = o ili kada je ax+b = o.
   Nakon što smo riješili 2. imamo x = -v/a.
   Kao rezultat, imamo korijene x 1 = 0, prema izračunima x 2 = -b/a.
2. Sada je koeficijent x jednak o, a c nije jednak (≠) o.
   x 2 +c = o. Pomaknimo c na desnu stranu jednakosti, dobit ćemo x 2 = -s. Ova jednadžba ima prave korijene samo kada je -c pozitivan broj (c ‹ o),
   x 1 je tada jednako √(-c), respektivno, x 2 je -√(-c). Inače, jednadžba uopće nema korijena.
3. Posljednja opcija: b = c = o, odnosno sjekira 2 = o. Naravno, tako jednostavna jednadžba ima jedan korijen, x = o.

Posebni slučajevi

Pogledali smo kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu, a sada uzmimo bilo koju vrstu.

• U potpunoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent od x je paran broj.
  Neka je k = o.5b. Imamo formule za izračunavanje diskriminante i korijena.
  D/4 = k 2 - ac, korijeni se izračunavaju kao x 1,2 = (-k±√(D/4))/a za D › o.
  x = -k/a pri D = o.
  Nema korijena za D ‹ o.
• Zadane su kvadratne jednadžbe, kada je koeficijent x na kvadrat jednak 1, obično se pišu x 2 + rh + q = o. Sve gore navedene formule vrijede za njih, ali su izračuni nešto jednostavniji.
  Primjer, x 2 -4x-9 = 0. Izračunajte D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Osim toga, lako ga je primijeniti na dane. Kaže da je zbroj korijena jednadžbe jednak -p, drugi koeficijent s minusom (što znači suprotni predznak), a umnožak tih istih korijena će biti jednak q, slobodnom članu. Vidite kako bi bilo jednostavno verbalno odrediti korijene ove jednadžbe. Za nereducirane koeficijente (za sve koeficijente koji nisu jednaki nuli), ovaj je teorem primjenjiv na sljedeći način: zbroj x 1 + x 2 jednak je -b/a, umnožak x 1 · x 2 jednak je c/a.

Zbroj slobodnog člana c i prvog koeficijenta a jednak je koeficijentu b. U ovoj situaciji jednadžba ima barem jedan korijen (lako se dokazuje), prvi je nužno jednak -1, a drugi -c/a, ako postoji. Možete sami provjeriti kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu. Lako kao pita. Koeficijenti mogu biti u određenim međusobnim odnosima

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Zbroj svih koeficijenata jednak je o.
  Korijeni takve jednadžbe su 1 i c/a. Primjer, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Postoji niz drugih načina rješavanja raznih jednadžbi drugog stupnja. Evo, na primjer, metode za izdvajanje cijelog kvadrata iz zadanog polinoma. Postoji nekoliko grafičkih metoda. Kad često budete imali posla s takvim primjerima, naučit ćete ih "klikati" kao sjemenke, jer vam sve metode automatski padaju na pamet.

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Diskriminantom se rješavaju samo potpune kvadratne jednadžbe, dok se za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednadžbe nazivaju potpunima? Ovaj jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, gdje koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili kompletnu kvadratnu jednadžbu, moramo izračunati diskriminantu D.

D = b 2 – 4ac.

Ovisno o vrijednosti diskriminante, zapisat ćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminant nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednadžbu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi pomoću dijagrama na slici 1.

Pomoću ovih formula možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo trebaš paziti da jednadžba je napisana kao polinom standardnog oblika

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, kada pišete jednadžbu x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno zaključiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada je

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A ovo nije istina. (Pogledajte rješenje za primjer 2 gore).

Dakle, ako jednadžba nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednadžba mora napisati kao polinom standardnog oblika (monom s najvećim eksponentom treba biti prvi, tj. A x 2 , zatim s manje – bx a zatim slobodan član S.

Kod rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Upoznajmo se s ovim formulama. Ako u potpunoj kvadratnoj jednadžbi drugi član ima paran koeficijent (b = 2k), tada možete riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih u dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se reduciranom ako je koeficijent pri x 2 jednak je jedan i jednadžba poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva se jednadžba može dati za rješenje ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednadžbe s koeficijentom A, stoji na x 2 .

Slika 3 prikazuje dijagram za rješavanje reduciranog kvadrata
jednadžbe. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednadžbu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočimo da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi s 3 i izvođenjem dijeljenja dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednadžbu pomoću formula za reduciranu kvadratnu jednadžbu
jednadžbe slika 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidimo, pri rješavanju ove jednadžbe prema razne formule dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito svladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.