Sažetak lekcije

profesori matematike

MBOU Srednja škola br. 2, Vorsma

Kiseljeva Larisa Aleksejevna

Tema: “Redukirana kvadratna jednadžba. Vietin teorem"

Svrha lekcije: Uvod u pojam reducirane kvadratne jednadžbe, Vietin teorem i njemu obrnuti teorem.

Zadaci:

Obrazovni:

Uvesti koncept reducirane kvadratne jednadžbe,

Izvedite formulu za korijene zadane kvadratne jednadžbe,

Formulirajte i dokažite Vietin teorem,

Formulirajte i dokažite teorem suprotan Vietinom teoremu,

Naučite učenike rješavati zadane kvadratne jednadžbe koristeći teorem inverzan Vietinom teoremu.

Obrazovni:

razvoj logično mišljenje, pamćenje, pažnja, opće obrazovne vještine, sposobnosti uspoređivanja i generaliziranja;

Obrazovni:

poticanje marljivosti, međusobnog pomaganja i matematičke kulture.

Vrsta lekcije: lekcija uvođenja novog gradiva.

Oprema: algebra udžbenik izd. Alimova i drugi, bilježnica, materijali, prezentacija za lekciju.

Plan učenja.

Faza lekcije

Sadržaj (cilj) pozornice

Vrijeme (min)

Organiziranje vremena

Provjera domaće zadaće

Rad na provjeri

Analiza rada, odgovori na pitanja.

Učenje novog gradiva

Formiranje temeljnih znanja, formuliranje pravila, rješavanje zadataka, analiza rezultata, odgovaranje na pitanja učenika.

Svladavanje naučenog gradiva primjenom u rješavanju zadataka analogijom uz nadzor nastavnika.

Sažimanje lekcije

Ocjenjivanje znanja učenika koji su odgovorili. Provjera znanja i razumijevanja teksta pravila metodom frontalnog anketiranja.

Domaća zadaća

Upoznati učenike sa sadržajem zadatka i dobiti potrebna objašnjenja.

Dodatni zadaci

Višerazinski zadaci koji osiguravaju razvoj učenika.

Tijekom nastave.

Organiziranje vremena. Postavljanje cilja lekcije. Stvaranje povoljnih uvjeta za uspješne aktivnosti. Motivacija za učenje.

Provjera domaće zadaće. Frontalna, individualna provjera i korekcija znanja i vještina učenika.

Jednadžba

Broj korijena

Učitelj: Kako možete odrediti broj njegovih korijena bez rješavanja kvadratne jednadžbe? (odgovori učenika)

Rad na provjeri. Odgovori na pitanja.

Testni tekst:

Opcija 1.

Riješite jednadžbe:

A) ,

B)

Ima:

Jedan korijen

Dva različita korijena.

Opcija #2.

Riješite jednadžbe:

A) ,

B)

2.Nađite vrijednost parametra a za koju je jednadžba Ima:

Jedan korijen

Dva različita korijena.

Testni rad se izrađuje na posebnim listovima i predaje nastavniku na provjeru.

Nakon predaje rada rješenje se ispisuje na ekranu.

Učenje novog gradiva.

4.1. Francois Viet- francuski matematičar iz 16. stoljeća. Bio je odvjetnik, a kasnije i savjetnik francuskih kraljeva Henrika III. i Henrika II.

Jednom je uspio dešifrirati vrlo složeno španjolsko pismo koje su presreli Francuzi. Inkvizicija ga je gotovo spalila na lomači, optuživši ga za urotu s vragom.

François Vieta se naziva "ocem moderne algebre slova"

Kako su korijeni kvadratnog trinoma i njegovi koeficijenti p i q međusobno povezani? Odgovor na ovo pitanje daje teorem koji nosi ime “oca algebre”, francuskog matematičara F. Vieta, a koji ćemo danas proučavati.

Poznati teorem objavljen je 1591.

4.2 Formulirajmo definiciju reducirane kvadratne jednadžbe.

Definicija. Kvadratna jednadžba oblika naziva se smanjena.

To znači da je vodeći koeficijent jednadžbe jednako jedan.

Primjer. .

Bilo koja kvadratna jednadžba može se svesti na formu . Da biste to učinili, trebate obje strane jednadžbe podijeliti s.

Na primjer, jednadžba 7H 2 – 12H + 14 = 0 dijeljenjem sa 7 svodi se na oblik

X 2 – 12/7X + 2 = 0

4.3. Izvedite formule za korijene zadane kvadratne jednadžbe.

a, b, c

a=1, b=p, c=q

Riješite jednadžbu X 2 – 14X – 15 =0 (Učenik rješava za pločom)

Pitanja:

Navedite koeficijente p i q (-14, -15);

Napiši formulu za korijene zadane kvadratne jednadžbe;

Pronađite korijene ove jednadžbe (X 1 = 15, X 2 = -1)

4.4. formulirati i dokazati Vietin teorem.

Ako su i korijeni jednadžbe , tada vrijede formule, tj. zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Nakon toga nastavnik dokazuje teorem. Zatim zajedno s učenicima donosi zaključak.

Primjer. . p = -5,q =6.

Dakle, brojevi i jesu brojevi

pozitivan. Treba pronaći dva pozitivna broja čiji je umnožak

jednako je 6, a zbroj je jednak 5. =2, =3 su korijeni jednadžbe.

4.5. Primjena Vietaovog teorema .

Uz njegovu pomoć možete:

 Pronađite zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe bez njezinog rješavanja,

 Poznavajući jedan od korijena, nađi drugi,

 Prepoznajte znakove korijeni jednadžbe,

 Pronađite korijene jednadžbe bez rješavanja.

4.6. Formulirajmo teorem inverzan Vietinom teoremu.

Ako brojevi p, q i takvi su da zadovoljavaju relacije, tada su korijeni kvadratne jednadžbe .

Dokaz teorema koji je suprotan Vietinom teoremu nosi se kući kako bi ga jaki učenici samostalno proučavali.

4.7. Razmotrite rješenje zadatka 5 na 125. stranici udžbenika.

Učvršćivanje naučenog gradiva

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - usmeno

№ 452 (usmeno)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

Sažimanje lekcije.

Odgovori na pitanja:

Navedite Vietin teorem.

 Zašto je potreban Vietin teorem?

 Navedite obrnuto od Vietinog teorema.

Domaća zadaća.

§29 (prije zadatka 6), br. 450(2,4,6); 455(2,4); 456(2,4,6).

Dodatni zadaci.

Razina A.

Pronađite zbroj i umnožak korijena jednadžbe:

2. Koristeći inverzni teorem Vietinog teorema, izradite kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni 2 i 5.

Razina B.

1. Nađite zbroj i umnožak korijena jednadžbe:

2. Koristeći teorem inverzan Vietinom teoremu, izradite kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni jednaki i .

Razina C.

1. Analizirajte dokaz teorema suprotno Vietinom teoremu

2. Riješite jednadžbu i provjerite koristeći inverzni teorem Vietinog teorema:

Okvirni dijagram lekcije

Faze rada

Sadržaj pozornice

Organiziranje vremena, uključujući:

postavljanje cilja koji učenici moraju ostvariti u ovoj fazi sat (što učenici moraju učiniti da bi njihov daljnji rad na satu bio učinkovit)

opis metoda organiziranja rada učenika na početno stanje lekcija, priprema učenika za aktivnosti učenja, predmet i tema lekcije (uzimajući u obzir stvarne osobine razred s kojim nastavnik radi)

Programski zahtjev za matematičku pripremu učenika za ovu temu je uvođenje pojma reducirane kvadratne jednadžbe, Vietinog teorema i njegovog inverznog teorema (iz programa za općeobrazovne ustanove).

Učenici 8. razreda – djeca mladost, koji karakterizira nestabilnost pažnje. Najbolji način organiziranja pažnje je organiziranje aktivnosti učenja na takav način da učenici nemaju ni vremena, ni želje, ni mogućnosti da budu ometeni na duže vrijeme.

Na temelju navedenog, svrha lekcije je riješiti sljedeće probleme:
a) obrazovni: uvođenje pojma reducirane kvadratne jednadžbe, Vietin teorem i njemu obrnuti teorem.

b) razvijanje: razvoj logičkog mišljenja, pamćenja, pažnje, općeobrazovnih sposobnosti, sposobnosti uspoređivanja i generaliziranja;
c) odgojni: njegovanje marljivosti, međusobnog pomaganja i matematičke kulture.

Kako bi učenici nastavni sat shvatili kao logički cjelovit, cjelovit, vremenski ograničen segment odgojno-obrazovnog procesa, on počinje postavljanjem obrazloženja zadataka, a završava zbrajanjem rezultata i postavljanjem zadataka za sljedeće sate.

Anketiranje učenika o domaćim zadaćama, uključujući:

određivanje ciljeva koje učitelj postavlja učenicima u ovoj fazi sata (kakav rezultat učenici trebaju postići);

određivanje ciljeva i zadataka koje učitelj želi postići u ovoj fazi sata;

opis metoda koje doprinose rješavanju postavljenih ciljeva i zadataka;

opis kriterija za postizanje ciljeva i zadataka ove faze lekcije;

definicija moguće akcije nastavnik ako on ili učenici ne postignu svoje ciljeve;

opis metoda za organiziranje zajedničkih aktivnosti učenika, uzimajući u obzir karakteristike razreda s kojim nastavnik radi;

opis metoda motiviranja (poticanja) učeničke aktivnosti učenika tijekom anketiranja;

opis metoda i kriterija za ocjenjivanje studentskih odgovora tijekom anketiranja.

U prvoj fazi provodi se frontalna, individualna provjera i korekcija znanja i vještina učenika. U tom se slučaju ponavlja rješavanje kvadratnih jednadžbi i utvrđuje se određivanje broja korijena pomoću diskriminante. Prelazi se na definiciju reducirane kvadratne jednadžbe.

U drugoj fazi razmatraju se jednadžbe dvije vrste. Kako se učenici ne bi zamarali monotonim radom, koriste se raznih oblika opcije rada i zadatka, uključeni su zadaci više razine (s parametrom).

Usmeni rad učenika izmjenjuje se s pismenim radom koji se sastoji od obrazloženja izbora metode rješavanja kvadratne jednadžbe i analize rješenja jednadžbe

Jedan od načina pedagoške podrške je korištenje informacijske tehnologije, koji pomažu učenicima različitih razina pripremljenosti da lakše asimiliraju gradivo, stoga se određeni trenuci sata izvode pomoću prezentacije (pokazuje rješenje samostalan rad, pitanja, domaća zadaća)

Učenje novih stvari obrazovni materijal. Ova faza uključuje:

predstavljanje glavnih odredbi novog obrazovnog materijala koji studenti moraju savladati;

opis oblika i metoda prezentacije (prezentacije) novog obrazovnog materijala;

opis glavnih oblika i metoda organiziranja individualnih i grupnih aktivnosti učenika, uzimajući u obzir karakteristike razreda u kojem nastavnik radi;

opis kriterija za određivanje razine pažnje i interesa učenika za nastavni materijal koji prezentira nastavnik;

opis metoda motiviranja (poticanja) obrazovne aktivnosti učenika tijekom izrade novog obrazovnog materijala

Dana je definicija reducirane kvadratne jednadžbe. Nastavnik zajedno s učenicima izvodi formule za korijene zadane kvadratne jednadžbe, učenici shvaćaju važnost nastavnog materijala lekcije. Analiza formulacije i dokaz Vietinog teorema također se odvija zajedno s učenicima

Takav je rad ujedno i konsolidacija proučavanja novog gradiva.

Metode:

vizualni;

praktično;

verbalno;

djelomično pretraživanje

Učvršćivanje obrazovnog materijala, predlažući:

postavljanje određenog obrazovnog cilja za učenike (kakav rezultat učenici trebaju postići u ovoj fazi sata);

određivanje ciljeva i zadataka koje učitelj postavlja za sebe u ovoj fazi lekcije;

opis oblika i metoda postizanja postavljenih ciljeva tijekom konsolidacije novog obrazovnog materijala, uzimajući u obzir individualne karakteristike učenika s kojima nastavnik radi.

opis kriterija za određivanje stupnja do kojeg su učenici svladali novo obrazovno gradivo;

opis moguće načine te načini postupanja u situacijama kada nastavnik utvrdi da neki učenici nisu savladali novo nastavno gradivo.

Učvršćivanje nastavnog materijala događa se prilikom odgovaranja na pitanja i rada s udžbenikom:

Analiza zadatka br. 5 na stranici 125;

Rješenje vježbi

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – usmeno, 452 (usmeno);

455 (1,3); 456 (1, 3)

Tijekom sata učenici su vrlo aktivni, nastavnik ima priliku intervjuirati sve učenike u razredu, a neke čak i više puta.

Lekcija je sažeta u obliku frontalne ankete učenika na sljedeća pitanja:

Koje se jednadžbe nazivaju reduciranim?

Može li se obična kvadratna jednadžba reducirati?

Napiši formulu za korijene zadane kvadratne jednadžbe

Navedite Vietin teorem.

Koliki je zbroj i umnožak korijena jednadžbe:

Domaća zadaća, uključujući:

postavljanje ciljeva samostalnog rada učenika (što učenici trebaju raditi dok rade domaću zadaću);

određivanje ciljeva koje učitelj želi postići zadavanjem domaće zadaće;

definiranje i objašnjavanje učenicima kriterija za uspješno rješavanje domaće zadaće.

U domaćim zadaćama od učenika se očekuje da rade u okviru svojih mogućnosti. Jaki učenici rade samostalno i na kraju rada imaju priliku provjeriti točnost svojih rješenja provjeravajući ih rješenjima ispisanima na ploči na početku sljedećeg sata. Ostali učenici mogu dobiti savjet od svojih kolega ili nastavnika. Slabi učenici rade na temelju primjera i koriste rješenja jednadžbi o kojima se raspravljalo u razredu. Tako se stvaraju uvjeti za daljnji rad razne razine poteškoće.

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U izrazu "kvadratna jednadžba", ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednadžba nužno mora sadržavati varijablu (taj isti x) na kvadrat i ne smije biti x-ova na treću (ili veću) potenciju.

Rješavanje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednadžba, a ne neka druga jednadžba.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednadžbe s

Premjestimo sve na lijeva strana i rasporedite članove u silazni red potencija od x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožimo lijevo i desna strana na:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, to je reducirano - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Oni su nepotpuni jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! Inače, to više neće biti kvadratna jednadžba, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela određena je metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Jer mi znamo izvlačiti Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje samo izvaditi korijen s lijeve i desne strane. Uostalom, sjećate se kako vaditi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijene matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo odustati od primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

Zapamtiti, Bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom vrlo je jednostavno, glavno je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen. Posebna pažnja koraknuti. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da nećemo moći izdvojiti korijen diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako pravilno zapisati takve odgovore.

Odgovor: bez korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se naziva reducirana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer .

Zbroj korijena jednadžbe je jednak, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sustav:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Dana je jednadžba, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznata, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - slobodan član.

Zašto? Jer ako jednadžba odmah postane linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj stolici jednadžba se naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Razlikujemo sljedeće vrste jednadžbi:

I., u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada pogledajmo rješenje za svaku od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Kvadrat broja ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Rastavimo lijevu stranu jednadžbe i pronađimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen iz diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. Što uraditi? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijene:
• Ako tada jednadžba ima identični korijeni, ali u biti jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguć različit broj korijena? Obratimo se geometrijski smisao kvadratna jednadžba. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s osi apscisa (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Vrlo je jednostavno koristiti Vietin teorem: potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je umnožak jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo u reducirane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Za dobivanje je dovoljno jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbroj korijena jednak razlike njihovih modula.

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: razlika im je jednaka – ne pristaje;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Sve što ostaje je zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, korijen s manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da, prema barem, jedan od korijena je negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Kako biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naš omiljeni Vieta teorem: zbroj mora biti jednak, a umnožak mora biti jednak.

Ali budući da mora biti ne, ali, mijenjamo predznake korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Sve pojmove trebate premjestiti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

U redu, stani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate dati jednadžbu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Sjajno. Tada je zbroj korijena jednak i umnošku.

Ovdje je odabir jednostavan kao guljenje krušaka: ipak je to prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodan član je negativan. Što je posebno u vezi ovoga? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku u njihovim modulima: ta je razlika jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što trebate učiniti prvo? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u danim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vietinog teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cijelih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira cijelog kvadrata

Ako su svi članovi koji sadrže nepoznanicu prikazani u obliku članova iz skraćenih formula množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon zamjene varijabli može prikazati u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća te ni na što? Ovo je diskriminirajuća stvar! Upravo tako smo dobili formulu diskriminacije.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba- ovo je jednadžba oblika, gdje - nepoznanica, - koeficijenti kvadratne jednadžbe, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba izgleda ovako: ,
• ako postoji slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika gdje) je jednak, a umnožak korijena je jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata

Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijenje;
2. Imati točno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratnih jednadžbi i linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.

Diskriminirajući

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema predznaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:

1. Ako D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, bit će dva korijena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napišimo koeficijente za prvu jednadžbu i pronađimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanta je negativna, nema korijena. Zadnja preostala jednadžba je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati izglede i činiti glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.

Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati ​​sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada prijeđimo na samo rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju pri zamjeni negativnih koeficijenata u formulu. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: promatrajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti pogrešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Događa se da se kvadratna jednadžba malo razlikuje od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Lako je uočiti da ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe čak je lakše riješiti od standardnih: one čak ne zahtijevaju izračun diskriminante. Dakle, predstavimo novi koncept:

Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, potpuno je moguće Težak slučaj, kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 = 0. Očito, takva jednadžba ima jedan korijen: x = 0.

Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0. Malo je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 zadovoljena nejednakost (−c /a) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
2. Ako (−c /a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što se nalazi s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.

Pogledajmo sada jednadžbe oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada

Umnožak je nula kada je barem jedan faktor jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednadžbi:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Općinska proračunska obrazovna ustanova Srednja škola br. 11

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija Rad je dostupan u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu

Povijest kvadratnih jednadžbi

Babilon

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog stupnja, već i drugog, u davna vremena bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina zemljišnih čestica, razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe mogle su se riješiti oko 2000. pr. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednadžbi, izložena u babilonskim tekstovima, u biti se podudaraju sa suvremenim, ali u tim tekstovima nema koncepta negativnog broja i opće metode rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Drevna grčka

Rješavanje kvadratnih jednadžbi također je rađeno u Drevna grčka znanstvenici kao što su Diofant, Euklid i Heron. Diofant Diofant iz Aleksandrije starogrčki je matematičar koji je vjerojatno živio u 3. stoljeću nove ere. Glavno Diofantovo djelo je “Aritmetika” u 13 knjiga. Euklid. Euklid je starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je došla do nas, Heron. Heron - grčki matematičar i inženjer prvi u Grčkoj u 1. stoljeću nove ere. daje čisto algebarska metoda rješenja kvadratnih jednadžbi

Indija

Problemi o kvadratnim jednadžbama nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), ocrtao je opće pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik: ax2 + bx = c, a> 0. (1) U jednadžbi (1) koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptina vladavina je u biti ista kao naša. Javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem pomračuje zvijezde, tako učen čovjek zasjenit će njegovu slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su se često iznosili u poetskom obliku.

To je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća. Bhaskars.

“Jato živahnih majmuna

A dvanaestorica uz trsove, najevši se do mile volje, zabavila su se

Počeli su skakati, viseći

Osmi dio njih na kvadrat

Koliko je bilo majmuna?

Zabavljao sam se na čistini

Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. Bhaskar zapisuje jednadžbu koja odgovara problemu kao x2 - 64x = - 768 i, kako bi dovršio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 objema stranama, a zatim dobiva: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratne jednadžbe u Europi 17. stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po uzoru na Al-Khorezmija u Europi prvi su put navedene u Knjizi o abaku, koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, u kojem se odražava utjecaj matematike, kako iz zemalja islama, tako i iz antičke Grčke, odlikuje se cjelovitošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje zadataka i prvi u Europi uveo negativne brojeve. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz Abakove knjige korišteni su u gotovo svim europskim udžbenicima 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII. Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupan je od Viètea, ali Viète je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17.st. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan oblik.

Definicija kvadratne jednadžbe

Jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c brojevi, naziva se kvadratnom.

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

Brojevi a, b, c su koeficijenti kvadratne jednadžbe, a je prvi koeficijent (ispred x²), a ≠ 0, b je drugi koeficijent (ispred x), c je slobodni član (bez x).

Koja od ovih jednadžbi nije kvadratna??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Vrste kvadratnih jednadžbi

Ime	Opći oblik jednadžbe	Značajka (koji su koeficijenti)	Primjeri jednadžbi
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - brojevi različiti od 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Nepotpun
			x 2 - 1/5x = 0
S obzirom	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Reducirana je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent jednak jedan. Takva se jednadžba može dobiti dijeljenjem cijelog izraza s vodećim koeficijentom a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadratna jednadžba se naziva potpunom ako su svi njeni koeficijenti različiti od nule.

Nepotpunom se naziva kvadratna jednadžba u kojoj je barem jedan od koeficijenata, osim vodećeg (bilo drugi koeficijent ili slobodni član), jednak nuli.

Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Metoda I Opća formula za izračunavanje korijena

Naći korijene kvadratne jednadžbe sjekira 2 + b + c = 0 Općenito, trebali biste koristiti algoritam u nastavku:

Izračunajte vrijednost diskriminante kvadratne jednadžbe: ovo je izraz za nju D= b 2 - 4ac

Izvođenje formule:

Bilješka: Očito je da je formula za korijen višestrukosti 2 poseban slučaj opće formule, dobiven supstitucijom jednakosti D=0 u nju i zaključka o nepostojanju pravih korijena na D0, te (stil prikaza (sqrt ( -1))=i) = i.

Prikazana metoda je univerzalna, ali daleko od jedine. Rješavanju jedne jednadžbe može se pristupiti na različite načine, a preferencije obično ovise o rješavatelju. Osim toga, često se u tu svrhu neka od metoda pokaže mnogo elegantnijom, jednostavnijom i manje radno zahtjevnom od standardne.

II metoda. Korijeni kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom b III metoda. Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

IV metoda. Korištenje parcijalnih omjera koeficijenata

Postoje posebni slučajevi kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti u međusobnom odnosu, što ih čini mnogo lakšim za rješavanje.

Korijeni kvadratne jednadžbe u kojoj je zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana jednak drugom koeficijentu

Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2 + bx + c = 0 zbroj prvog koeficijenta i slobodnog člana jednak je drugom koeficijentu: a+b=c, tada su njegovi korijeni -1 i broj suprotan omjeru slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( -c/a).

Stoga, prije rješavanja bilo koje kvadratne jednadžbe, trebali biste provjeriti mogućnost primjene ovog teorema na nju: usporedite zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana s drugim koeficijentom.

Korijeni kvadratne jednadžbe čiji je zbroj svih koeficijenata nula

Ako je u kvadratnoj jednadžbi zbroj svih njezinih koeficijenata nula, tada su korijeni takve jednadžbe 1 i omjer slobodnog člana prema vodećem koeficijentu ( c/a).

Dakle, prije rješavanja jednadžbe standardne metode, trebali biste provjeriti primjenjivost ovog teorema na njega: zbrojite sve koeficijente ove jednadžbe i provjerite nije li taj zbroj jednak nuli.

V metoda. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne faktore

Ako je trinom oblika (stil prikaza ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) može se nekako predstaviti kao produkt linearnih faktora (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tada možemo pronaći korijene jednadžbe sjekira 2 + bx + c = 0- bit će -m/k i n/l, doista, ipak (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0dugalijeva desna strelica kx+m=0čaša lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a rješavanjem navedenih linearnih jednadžbi dobivamo gore navedeno. Imajte na umu da kvadratni trinom ne rastavlja uvijek na linearne faktore s realnim koeficijentima: to je moguće ako odgovarajuća jednadžba ima realne korijene.

Razmotrimo neke posebne slučajeve

Korištenje formule kvadrata zbroja (razlike).

Ako kvadratni trinom ima oblik (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , tada ga primjenom gornje formule na njega možemo rastaviti na linearne faktore i , dakle, pronađite korijene:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izdvajanje punog kvadrata zbroja (razlike)

Gornja formula također se koristi pomoću metode koja se zove "odabir punog kvadrata zbroja (razlike)". U odnosu na gornju kvadratnu jednadžbu s prethodno uvedenim oznakama, to znači sljedeće:

Bilješka: Ako primijetite, ova se formula podudara s onom predloženom u odjeljku "Korijeni reducirane kvadratne jednadžbe", koja se pak može dobiti iz opće formule (1) zamjenom jednakosti a=1. Ova činjenica nije samo slučajnost: pomoću opisane metode, iako uz dodatno obrazloženje, može se izvesti opća formula i također dokazati svojstva diskriminante.

VI metoda. Korištenje izravnog i inverznog Vieta teorema

Vietin izravni teorem (vidi dolje u istoimenom odjeljku) i njegov inverzni teorem omogućuju usmeno rješavanje gornjih kvadratnih jednadžbi, bez pribjegavanja prilično glomaznim izračunima pomoću formule (1).

Prema obrnutom teoremu, svaki par brojeva (broj) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, budući da je rješenje sustava jednadžbi u nastavku, korijeni su jednadžbe

U općem slučaju, tj. za nereduciranu kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Izravni teorem pomoći će vam usmeno pronaći brojeve koji zadovoljavaju ove jednadžbe. Uz njegovu pomoć možete odrediti znakove korijena bez poznavanja samih korijena. Da biste to učinili, trebali biste slijediti pravilo:

1) ako je slobodni član negativan, tada korijeni imaju drugačiji znak, a najveći modul korijena je predznak suprotan predznaku drugog koeficijenta jednadžbe;

2) ako je slobodni član pozitivan, tada oba korijena imaju isti predznak, a to je predznak suprotan predznaku drugog koeficijenta.

VII metoda. Način prijenosa

Takozvana metoda "prijenosa" omogućuje smanjenje rješenja nereduciranih i nesvodljivih jednadžbi na oblik reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima dijeljenjem s vodećim koeficijentom na rješenje reduciranih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima. To je kako slijedi:

Zatim se jednadžba usmeno rješava na gore opisani način, zatim se vraćaju na izvornu varijablu i pronalaze korijene jednadžbi (stil prikaza y_(1)=ax_(1)) g 1 = sjekira 1 I g 2 = sjekira 2 .(stil prikaza y_(2)=ax_(2))

Geometrijsko značenje

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su apscise točaka presjeka parabole s osi apscisa. Ako je opisana parabola kvadratna funkcija, ne siječe se s x-osom, jednadžba nema pravih korijena. Ako parabola siječe os x u jednoj točki (na vrhu parabole), jednadžba ima jedan pravi korijen (također se kaže da jednadžba ima dva korijena koja se podudaraju). Ako parabola siječe x-os u dvije točke, jednadžba ima dva stvarna korijena (vidi sliku desno.)

Ako koeficijent (stil prikaza a) a pozitivni, grane parabole su usmjerene prema gore i obrnuto. Ako koeficijent (stil prikaza b) bpozitivno (ako je pozitivno (stil prikaza a) a, ako je negativan, obrnuto), tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini i obrnuto.

Primjena kvadratnih jednadžbi u životu

Kvadratna jednadžba se široko koristi. Koristi se u mnogim izračunima, strukturama, sportovima, a također i oko nas.

Razmotrimo i navedimo neke primjere primjene kvadratne jednadžbe.

Sport. Visoki skokovi: tijekom zaleta skakača koriste se izračuni vezani uz parabolu kako bi se postigao najjasniji mogući udar na zalet i visoki let.

Također, slični izračuni su potrebni u bacanju. Domet leta objekta ovisi o kvadratnoj jednadžbi.

Astronomija. Putanje planeta mogu se pronaći pomoću kvadratne jednadžbe.

Let zrakoplovom. Polijetanje zrakoplova glavna je komponenta leta. Ovdje uzimamo izračun za mali otpor i ubrzanje polijetanja.

Kvadratne jednadžbe također se koriste u raznim ekonomskim disciplinama, u programima za obradu zvuka, videa, vektorske i rasterske grafike.

Zaključak

Kao rezultat obavljenog rada pokazalo se da su kvadratne jednadžbe privukle znanstvenike još u davna vremena, već su se s njima susreli pri rješavanju nekih problema i pokušavali ih riješiti. S obzirom razne načine rješavajući kvadratne jednadžbe, došao sam do zaključka da nisu sve jednostavne. Po mom mišljenju najviše najbolji način rješavanje kvadratnih jednadžbi je rješavanje formulama. Formule se lako pamte, ova metoda je univerzalna. Potvrđena je hipoteza da se jednadžbe široko koriste u životu i matematici. Nakon proučavanja teme naučio sam mnogo Zanimljivosti o kvadratnim jednadžbama, njihovoj uporabi, primjeni, vrstama, rješenjima. I rado ću ih nastaviti proučavati. Nadam se da će mi ovo pomoći da dobro položim ispite.

Popis korištene literature

Materijali stranice:

Wikipedia

Otvorena lekcija.rf

Priručnik za elementarnu matematiku Vygodsky M. Ya.

“, odnosno jednadžbe prvog stupnja. U ovoj lekciji ćemo pogledati ono što se zove kvadratna jednadžba i kako to riješiti.

Što je kvadratna jednadžba?

Važno!

Stupanj jednadžbe određen je najvišim stupnjem do kojeg stoji nepoznanica.

Ako je najveća snaga u kojoj je nepoznata "2", tada imate kvadratnu jednadžbu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Važno! Opći oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” i “c” su dani brojevi.

• "a" je prvi ili najviši koeficijent;
• "b" je drugi koeficijent;
• “c” je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c", morate svoju jednadžbu usporediti s općim oblikom kvadratne jednadžbe "ax 2 + bx + c = 0".

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednadžbama.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednadžba	Izgledi
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25 x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearne jednadžbe rješavati kvadratne jednadžbe, poseban formula za pronalaženje korijena.

Zapamtiti!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• svesti kvadratnu jednadžbu na Opća pojava"ax 2 + bx + c = 0". To jest, samo "0" treba ostati na desnoj strani;
• koristiti formulu za korijenje:

Pogledajmo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Riješimo kvadratnu jednadžbu.

X 2 − 3x − 4 = 0

Jednadžba “x 2 − 3x − 4 = 0” već je svedena na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0” i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Odredimo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednadžbu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

U formuli “x 1;2 = ” radikalni izraz se često zamjenjuje
“b 2 − 4ac” za slovo “D” i naziva se diskriminanta. O konceptu diskriminanta detaljnije se govori u lekciji "Što je diskriminant".

Pogledajmo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku vrlo je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c". Najprije svedimo jednadžbu na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijenje.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada kvadratne jednadžbe nemaju korijena. Ova situacija se događa kada formula sadrži negativan broj ispod korijena.