Zadaci za aritmetička progresija postojao već u antičko doba. Pojavili su se i tražili rješenje jer su imali praktičnu potrebu.

Tako jedan od staroegipatskih papirusa matematičkog sadržaja, Rhindov papirus (19. st. pr. Kr.), sadrži sljedeći zadatak: podijeliti deset mjera kruha na desetero ljudi, s tim da razlika između svakog od njih bude jedna osmina mjera."

I u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantni teoremi vezani uz aritmetičku progresiju. Tako je Hipsikle iz Aleksandrije (2. stoljeće, koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao četrnaestu knjigu Euklidovim elementima), formulirao ideju: “U aritmetičkoj progresiji koja ima paran broj članova, zbroj članova 2. polovine je veći od zbroja članova 1. na kvadrat 1/ 2 broja članova."

Niz je označen sa an. Brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju slovima s indeksima koji označavaju redni broj tog člana (a1, a2, a3 ... čitaj: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” i tako dalje ).

Niz može biti beskonačan ili konačan.

Što je aritmetička progresija? Pod njim podrazumijevamo onaj dobiven zbrajanjem prethodnog člana (n) s istim brojem d, koji je razlika progresije.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada se ova progresija smatra rastućom.

Aritmetička progresija se naziva konačnom ako se u obzir uzme samo nekoliko njenih prvih članova. Na vrlo velike količinečlanova već je beskonačan napredak.

Svaka aritmetička progresija definirana je sljedećom formulom:

an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.

Suprotna tvrdnja je apsolutno točna: ako je niz zadan sličnom formulom, onda je to upravo aritmetička progresija koja ima svojstva:

1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana.
2. Obrnuto: ako je, počevši od 2., svaki član aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana, tj. ako je uvjet ispunjen, onda je ovaj niz aritmetička progresija. Ova jednakost je također znak progresije, zbog čega se obično naziva karakteristično svojstvo progresije.
   Na isti način, teorem koji odražava ovo svojstvo je istinit: niz je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost istinita za bilo koji od članova niza, počevši od drugog.

Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al, ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji potrebni (N-ti) član može se pronaći pomoću sljedeće formule:

Na primjer: prvi član (a1) u aritmetičkoj progresiji je dan i jednak je tri, a razlika (d) je jednaka četiri. Morate pronaći četrdeset peti član ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) omogućuje nam određivanje n-ti pojam aritmetička progresija kroz bilo koji od svojih k-tih članova, pod uvjetom da je poznat.

Zbroj članova aritmetičke progresije (što znači prvih n članova konačne progresije) izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1+an) n/2.

Ako je poznat i 1. član, tada je druga formula prikladna za izračunavanje:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Zbroj aritmetičke progresije koja sadrži n članova izračunava se na sljedeći način:

Izbor formula za izračun ovisi o uvjetima problema i početnim podacima.

Prirodni nizovi bilo kojih brojeva, kao što su 1,2,3,...,n,...- najjednostavniji primjer aritmetička progresija.

Osim aritmetičke progresije, postoji i geometrijska progresija, koja ima svoja svojstva i karakteristike.

Prva razina

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019.)

Niz brojeva

Dakle, sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva napisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Niz brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj specifičan je samo za jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema tri druga broja. Drugi broj (kao i th broj) uvijek je isti.
Broj s brojem naziva se th član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član tog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju tog člana: .

U našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva, u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski pisac Boetije još u 6. stoljeću i shvaćao ga je u širem smislu kao beskonačni numerički niz. Naziv "aritmetika" prenesen je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

kužiš Usporedimo naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njenog th člana. postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Broj progresije možemo dodavati prethodnoj vrijednosti dok ne dođemo do 5. člana progresije. Dobro je što nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Što ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri zbrajanju brojeva.
Naravno, matematičari su se dosjetili kako prethodnoj vrijednosti nije potrebno dodavati razliku aritmetičke progresije. Pogledajte malo bolje nacrtanu sliku... Sigurno ste već uočili određeni obrazac, a to je:

Na primjer, pogledajmo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami na taj način pronaći vrijednost člana zadane aritmetičke progresije.

Jeste li izračunali? Usporedite svoje bilješke s odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti uzastopno dodali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - uvedimo je opći oblik i dobivamo:

Jednadžba aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećavajući se- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost članova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula koristi se u izračunu članova u rastućim i opadajućim članovima aritmetičke progresije.
Provjerimo ovo u praksi.
Dana nam je aritmetička progresija koja se sastoji od sljedeće brojeve: Provjerimo koji će biti th broj ove aritmetičke progresije ako upotrijebimo našu formulu za izračun:

Od tad:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo problem – izvest ćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počnete brojati po formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda tu nema ništa komplicirano, ali što ako su nam u uvjetu dati brojevi? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da da, i to je ono što ćemo sada pokušati iznijeti.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njegovo pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

• prethodni izraz progresije je:
• sljedeći član progresije je:

Sažmimo prethodne i sljedeće uvjete napredovanja:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećeg člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresivnog člana s poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih zbrojiti i podijeliti s.

Tako je, dobili smo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost progresije, nije nimalo teško.

Dobro napravljeno! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostalo je otkriti samo jednu formulu koju je, prema legendi, lako izveo jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kad je Carl Gauss imao 9 godina, učitelj, zauzet provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadao je sljedeći zadatak u razredu: "Izračunaj zbroj svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo." Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) minutu kasnije dao točan odgovor na zadatak, dok je većina drznikovih kolega nakon dugih računanja dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi lako možete uočiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -tih članova: Moramo pronaći zbroj ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbroja njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Oslikajmo napredak koji nam je dan. Pažljivije promotri označene brojeve i pokušaj s njima izvoditi razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Što ste primijetili? Pravo! Njihovi zbrojevi su jednaki

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobivamo da je ukupni zbroj jednak:
.
Stoga će formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije biti:

U nekim problemima ne znamo th član, ali znamo razliku progresije. Pokušajte formulu th člana zamijeniti formulom zbroja.
Što si dobio?

Dobro napravljeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gaussu: izračunajte sami čemu je jednak zbroj brojeva koji počinju od th i zbroj brojeva koji počinju od th.

Koliko ste dobili?
Gauss je utvrdio da je zbroj članova jednak, a zbroj članova. Jesi li tako odlučio?

Zapravo, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a cijelo to vrijeme duhoviti ljudi u potpunosti iskoristio svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Drevni Egipt i najvećeg graditeljskog poduhvata tog vremena – izgradnje piramide... Na slici je prikazana jedna njezina strana.

Gdje je tu progresija, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju blokova pijeska u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko blokova je potrebno za izgradnju jednog zida ako se blok opeke postavljaju na podnožje. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U u ovom slučaju Progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. kužiš Bravo, savladali ste zbroj n-tih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u bazi, ali od? Pokušajte izračunati koliko je opeka od pijeska potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Točan odgovor je blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša se sprema za ljeto. Svakog dana povećava broj čučnjeva za. Koliko će puta Maša raditi čučnjeva u tjednu ako je čučnjeve radila na prvom treningu?
2. Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom pohranjivanja cjepanica, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jednu cjepanicu manje od prethodne. Koliko je balvana u jednom zidu, ako su temelj zida balvani?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (tjedni = dani).

   Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je polovica, međutim, provjerimo ovu činjenicu pomoću formule za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Sjetimo se problema o piramidama. Za naš slučaj, a , budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, tada ukupno postoji hrpa slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   Odgovor: U zidanju su balvani.

Sažmimo to

1. - brojčani niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Treći član aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČNA RAZINA

Niz brojeva

Sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi i tako dalje, odnosno možemo ih pobrojati. Ovo je primjer niza brojeva.

Niz brojeva je skup brojeva od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svakom broju se može pridružiti određeni prirodni broj, i to jedinstven. I nećemo ovaj broj dodijeliti nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se th član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član tog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju tog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može odrediti nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

formula n-tog člana

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali ti član, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, ti član progresije pomoću ove formule, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

Pa je li sad jasno koja je formula?

U svakom retku dodajemo, pomnožimo s nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo praktičnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Riješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo što:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je taj iznos u nekoliko minuta. Uočio je da je zbroj prvog i zadnjeg broja jednak, zbroj drugog i pretposljednjeg jednak, zbroj trećeg i 3. od kraja isti itd. Koliko je ukupno takvih parova? Tako je, točno polovica svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Nađi zbroj svih dvoznamenkasti brojevi, višestruki.

Riješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći broj dobiva se zbrajanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju tvore aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svaki dan sportaš pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u tjednu ako je prvi dan pretrčao km m?
2. Biciklist svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko mu dana treba putovati da prijeđe kilometar? Koliko kilometara će prijeći tijekom zadnjeg dana svog putovanja?
3. Cijena hladnjaka u trgovini svake godine pada za isti iznos. Odredite koliko je cijena hladnjaka padala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
   .
   Odgovor:
2. Ovdje je dano: , mora se pronaći.
   Očito, trebate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Root očito ne odgovara, pa je odgovor.
   Izračunajmo put koji smo prošli prošli dan pomoću formule th člana:
   (km).
   Odgovor:

3. Dano: . Pronaći: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (trljati).
   Odgovor:

ARITMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

zapisuje se formulom, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućuje vam da lako pronađete član progresije ako su njegovi susjedni članovi poznati - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina za pronalaženje iznosa:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Ili je aritmetika vrsta uređenog numeričkog niza, čija se svojstva proučavaju u školskom tečaju algebre. Ovaj članak detaljno raspravlja o tome kako pronaći zbroj aritmetičke progresije.

Kakvo je to napredovanje?

Prije nego što prijeđemo na pitanje (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu govorimo.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarskom (aritmetičkom) progresijom. Ova definicija, kada se prevede na matematički jezik, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa retka a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, možete lako vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da za razmatrani niz brojeva vrijedi sljedeća jednakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, trebali biste dodati razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Koliki je zbroj aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavnu poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate pronaći njihov zbroj. Budući da ima malo članova u progresiji (10), moguće je problem riješiti direktno, odnosno zbrojiti sve elemente redom.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vrijedno je razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d = 1, tada će zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat. Stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, postoji samo 5 ovih zbrojeva, odnosno točno dva puta manje od broja elemenata niza. Zatim množenjem broja zbrojeva (5) s rezultatom svakog zbroja (11) doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generaliziramo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n , kao i ukupni broj n uvjeti.

Smatra se da se Gauss prvi sjetio ove jednakosti kada je tražio rješenje zadanog problema. školski učitelj zadatak: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbroj elemenata od m do n: formula

Formula navedena u prethodnom odlomku odgovara na pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije (prvi elementi), no često je u zadacima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako to učiniti?

Na ovo pitanje najlakše ćemo odgovoriti na sljedećem primjeru: neka je potrebno pronaći zbroj članova od m-tog do n-tog. Da biste riješili problem, trebali biste dati segment od m do n progresije prikazati kao novi serije brojeva. U ovom pogledu mj. termin a m će biti prvi, a a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbroj njegovih članova, počevši od 5. i završavajući s 12.:

Zadani brojevi pokazuju da je razlika d jednaka 3. Pomoću izraza za n-ti element možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznavajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, kao i znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom odlomku. Ispostavit će se:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vrijedno je napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbroj prvih 12 elemenata pomoću standardne formule, zatim izračunajte zbroj prva 4 elementa koristeći istu formulu, zatim oduzmite drugi od prvog zbroja.

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uvjeti progresije)

U kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog novim pojmom koji se također naziva razlika u koraku ili progresiji.

Dakle, određivanjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji od njegovih elemenata pomoću formule

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije.

Vrijedi i obrnuto. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, tada je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Pomoću ove izjave vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, pomoću svojstva aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeću

To je lako provjeriti ako izraze napišete desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule

Zapamtite dobro formulu za zbroj aritmetičke progresije, nezamjenjiva je u izračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbroj, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam trebati sljedeća formula iznose

4) Od praktičnog je interesa pronalaženje zbroja n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, upotrijebite formulu

Time je teorijski materijal završen i prelazi se na rješavanje uobičajenih problema u praksi.

Primjer 1. Nađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Riješenje:

Prema stanju koje imamo

Odredimo korak napredovanja

Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer 2. Aritmetička progresija dana je njegovim trećim i sedmim članom. Nađi prvi član progresije i zbroj desetica.

Riješenje:

Zapišimo zadane elemente progresije pomoću formula

Oduzimamo prvu od druge jednadžbe, kao rezultat nalazimo korak progresije

Zamjenjujemo pronađenu vrijednost u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije

Izračunavamo zbroj prvih deset članova progresije

Bez korištenja složenih izračuna pronašli smo sve potrebne količine.

Primjer 3. Aritmetička progresija dana je nazivnikom i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbroj njegovih 50 članova počevši od 50 i zbroj prvih 100.

Riješenje:

Zapišimo formulu za stoti element progresije

i pronađite prvu

Na temelju prvog nalazimo 50. član progresije

Pronalaženje zbroja dijela progresije

i zbroj prvih 100

Iznos napredovanja je 250.

Primjer 4.

Odredite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Riješenje:

Napišimo jednadžbe u smislu prvog člana i koraka progresije i odredimo ih

Dobivene vrijednosti zamijenimo formulom zbroja kako bismo odredili broj članova u zbroju

Provodimo pojednostavljenja

i riješiti kvadratnu jednadžbu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo broj 8 odgovara uvjetima problema. Dakle, zbroj prvih osam članova progresije je 111.

Primjer 5.

Riješite jednadžbu

1+3+5+...+x=307.

Rješenje: Ova jednadžba je zbroj aritmetičke progresije. Napišimo njegov prvi član i pronađimo razliku u progresiji

Zbroj aritmetičke progresije.

Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje količine jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodavanje je dosadno.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.

Formula za iznos je jednostavna:

Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.

S n - zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svatkočlanova, sa prvi Po posljednji. To je važno. Točno se zbrajaju svičlanova u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, upravo, počevši od prvi. U problemima kao što je pronalaženje zbroja trećeg i osmog člana ili zbroja od petog do dvadesetog člana, izravna primjena formule će razočarati.)

a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.

a n- posljednjičlan progresije. Zadnji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primijeni na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n - broj posljednjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih pojmova.

Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Varljivo pitanje: koji će član biti zadnji ako je dano beskrajan aritmetička progresija?)

Za pouzdan odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje je svejedno je li zadana progresija: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.

Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo te tajne.)

Primjeri zadataka o zbroju aritmetičke progresije.

Kao prvo, korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbroj aritmetičke progresije je ispravna definicija elementi formule.

Pisci zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo detaljno nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj njegovih prvih 10 članova.

Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili iznos pomoću formule? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj posljednjeg člana n.

Gdje mogu dobiti broj posljednjeg člana? n? Da, tu, pod uvjetom! Kaže: nađi zbroj prvih 10 članova. Pa, s kojim će brojem biti? posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n Zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj posljednjeg člana poklapa se s brojem članova.

Ostaje utvrditi a 1 I a 10. To se lako izračuna pomoću formule za n-ti član, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Prisustvujte prethodnoj lekciji, bez ove nema načina.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Sve što ostaje je zamijeniti ih i prebrojati:

To je to. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:

2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2,3. Pronađite zbroj njegovih prvih 15 članova.

Odmah napišemo formulu zbroja:

Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:

Navedimo slične i dobijmo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, n-ti član ovdje nije potreban a n. U nekim problemima ova formula jako pomaže, da... Možete se sjetiti ove formule. Ili ga jednostavno možete prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Uostalom, uvijek morate zapamtiti formulu za zbroj i formulu za n-ti član.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Odredi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici tri.

Wow! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredak uopće... Kako živjeti!?

Morat ćete misliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Znamo što su dvoznamenkasti brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) A zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Za njim će i troznamenkaste...

Višekratnici od tri... Hm... Ovo su brojevi djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uvjetima problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Sigurno! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako izrazu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će vam doći!)

Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj? n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojke uvijek idu u nizu, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete zapisivati ​​progresiju, cijeli niz brojeva, prstom brojati članove.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Primijenimo li formulu na naš problem, otkrit ćemo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.

Pogledajmo formulu za zbroj aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz izjave problema izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamijenimo brojeve u formulu i izračunamo:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularne zagonetke:

4. S obzirom na aritmetičku progresiju:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Pronađite zbroj članova od dvadesetog do trideset i četvrtog.

Gledamo formulu za iznos i... uzrujavamo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, napisati cijelu progresiju u nizu i dodati članove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju u dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, zbrojimo ga sa zbrojem članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz ovoga možemo vidjeti da se nalazi zbroj S 20-34 može se izvršiti jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uzimaju se u obzir oba iznosa s desne strane iz prvečlan, tj. sasvim primjenjivo na njih standardna formula iznose. Započnimo?

Ekstrahiramo parametre progresije iz izjave problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbrojeve prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih pomoću formule za n-ti član, kao u problemu 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ništa nije ostalo. Od zbroja 34 člana oduzmi zbroj 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što bi se činilo nepotrebnim - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacivanje nepotrebnog iz cjelovitog rezultata. Ova vrsta “finte ušima” često vas spašava u gadnim problemima.)

U ovoj smo lekciji razmatrali probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktičan savjet:

Prilikom rješavanja bilo kojeg problema koji uključuje zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula za n-ti član:

Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti iu kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.

Cool?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađite zbroj njegovih prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi se problemi često nalaze u Državnoj akademiji znanosti.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučila sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?

Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz zadatka 2.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.