Kalkulator svođenja razlomaka na zajednički nazivnik. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik (Moskalenko M.V.)

Najmanji zajednički nazivnik (LCD) ovih nesvodivih razlomaka je najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika ovih razlomaka. ( pogledajte temu "Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika":

Za svođenje razlomaka na najmanje zajednički nazivnik, trebate: 1) pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka, to će biti najmanji zajednički nazivnik. 2) pronađite dodatni faktor za svaki razlomak dijeljenjem novog nazivnika s nazivnikom svakog razlomka. 3) pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

Primjeri. Svedite sljedeće razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik.

Nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika: LCM(5; 4) = 20, budući da je 20 najmanji broj koji je djeljiv i s 5 i s 4. Nađite za 1. razlomak dodatni faktor 4 (20 : 5=4). Za 2. razlomak dodatni faktor je 5 (20 : 4=5). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo s 4, a brojnik i nazivnik 2. razlomka s 5. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 20 ).

Najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka je broj 8, jer je 8 djeljiv sa 4 i sa samim sobom. Neće biti dodatnog faktora za 1. razlomak (ili možemo reći da je jednako jedan), 2. razlomku dodatni faktor je 2 (8 : 4=2). Brojnik i nazivnik 2. razlomka množimo s 2. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 8 ).

Ovi razlomci nisu nesvodivi.

Smanjimo 1. razlomak za 4, a 2. razlomak za 2. ( vidi primjere za kratice obični razlomci: Karta stranice → 5.4.2. Primjeri skraćivanja običnih razlomaka). Pronađite LOC (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatni množitelj za 1. razlomak je 5 (80 : 16=5). Dodatni faktor za 2. razlomak je 4 (80 : 20=4). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo s 5, a brojnik i nazivnik 2. razlomka s 4. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 80 ).

Nalazimo najmanji zajednički nazivnik NCD (5 ; 6 i 15)=NOK(5 ; 6 i 15)=30. Dodatni faktor prvom razlomku je 6 (30 : 5=6), dodatni faktor 2. razlomku je 5 (30 : 6=5), dodatni faktor trećem razlomku je 2 (30 : 15=2). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo sa 6, brojnik i nazivnik 2. razlomka s 5, brojnik i nazivnik 3. razlomka s 2. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 30 ).

Da biste razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik, trebate: 1) pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika zadanih razlomaka, to će biti najmanji zajednički nazivnik. 2) pronađite dodatni faktor za svaki razlomak dijeljenjem novog nazivnika s nazivnikom svakog razlomka. 3) pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

Primjeri. Svedite sljedeće razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik.

Nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika: LCM(5; 4) = 20, budući da je 20 najmanji broj koji je djeljiv i s 5 i s 4. Nađite za 1. razlomak dodatni faktor 4 (20 : 5=4). Za 2. razlomak dodatni faktor je 5 (20 : 4=5). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo s 4, a brojnik i nazivnik 2. razlomka s 5. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 20 ).

Najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka je broj 8, jer je 8 djeljiv sa 4 i sa samim sobom. Za 1. razlomak neće biti dodatnog faktora (ili možemo reći da je jednak jedinici), za 2. razlomak dodatni faktor je 2 (8 : 4=2). Brojnik i nazivnik 2. razlomka množimo s 2. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 8 ).

Ovi razlomci nisu nesvodivi.

Smanjimo 1. razlomak za 4, a 2. razlomak za 2. ( vidi primjere smanjivanja običnih razlomaka: Karta stranice → 5.4.2. Primjeri skraćivanja običnih razlomaka). Pronađite LOC (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatni množitelj za 1. razlomak je 5 (80 : 16=5). Dodatni faktor za 2. razlomak je 4 (80 : 20=4). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo s 5, a brojnik i nazivnik 2. razlomka s 4. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 80 ).

Nalazimo najmanji zajednički nazivnik NCD (5 ; 6 i 15)=NOK(5 ; 6 i 15)=30. Dodatni faktor prvom razlomku je 6 (30 : 5=6), dodatni faktor 2. razlomku je 5 (30 : 6=5), dodatni faktor trećem razlomku je 2 (30 : 15=2). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo sa 6, brojnik i nazivnik 2. razlomka s 5, brojnik i nazivnik 3. razlomka s 2. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 30 ).

Stranica 1 od 1 1

Prvotno sam želio uključiti tehnike zajedničkog nazivnika u odjeljak Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Ali informacija je bilo toliko, a njihova važnost bila je tako velika (uostalom, ne samo brojčani razlomci), da je bolje proučiti ovo pitanje odvojeno.

Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različite nazivnike. I želimo biti sigurni da nazivnici postanu isti. U pomoć priskače osnovno svojstvo razlomka, koje, da vas podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako pravilno odaberete faktore, nazivnici razlomaka postat će jednaki - taj se proces naziva svođenje na zajednički nazivnik. A traženi brojevi, koji "izjednačavaju" nazivnike, nazivaju se dodatnim faktorima.

Zašto moramo razlomke svesti na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
2. Uspoređivanje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
3. Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i postotke. Postoci su zapravo obični izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji će, kada se pomnože s njima, učiniti nazivnike razlomaka jednakima. Razmotrit ćemo samo tri od njih - prema rastućoj složenosti i, u određenom smislu, učinkovitosti.

Unakrsno množenje

Najjednostavniji i pouzdan način, koji će zajamčeno izjednačiti nazivnike. Postupit ćemo "glavoglavo": prvi razlomak pomnožimo s nazivnikom drugog razlomka, a drugi s nazivnikom prvog. Kao rezultat toga, nazivnici obaju razlomaka postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika. Pogledaj:

Kao dodatne faktore, razmotrite nazivnike susjednih razlomaka. Dobivamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi ovom metodom - na taj način ćete se osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ovu metodu- morate puno računati, jer se nazivnici množe "u cijelosti", a rezultat može biti vrlo velike brojke. Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže značajno smanjiti izračune, ali se, nažalost, koristi vrlo rijetko. Metoda je sljedeća:

1. Prije nego što krenete ravno naprijed (tj. koristeći metodu križanja), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj veći) podijeljen na drugi.
2. Broj dobiven ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak s manjim nazivnikom.
3. U ovom slučaju razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti s ničime – tu leži ušteda. U isto vrijeme, vjerojatnost pogreške je oštro smanjena.

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da je 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Budući da se u oba slučaja jedan nazivnik dijeli bez ostatka s drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni s čim. Zapravo, prepolovili smo količinu izračuna!

Inače, razlomke u ovom primjeru nisam uzeo slučajno. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom križanja. Nakon redukcije, odgovori će biti isti, ali bit će puno više posla.

Ovo je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, može se koristiti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što se događa dosta rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svodimo na zajednički nazivnik, zapravo pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika. Zatim ovom broju privedemo nazivnike obaju razlomaka.

Postoji mnogo takvih brojeva, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnošku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križanog križanja".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, budući da je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od umnoška 8 · 12 = 96.

Najmanji broj, koji je djeljiv sa svakim od nazivnika, naziva se njihov najmanji zajednički višekratnik (LCM).

Napomena: Najmanji zajednički višekratnik a i b označava se s LCM(a ; b) . Na primjer, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Primijetimo da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktori 2 i 3 su prosti (nemaju zajedničkih faktora osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Isto tako, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktori 3 i 4 su prosti, a faktor 5 je zajednički. Stoga je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Dovedimo sada razlomke do zajedničkih nazivnika:

Primijetite koliko je korisno bilo faktorizirati izvorne nazivnike:

1. Nakon što smo otkrili identične faktore, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, općenito govoreći, netrivijalan problem;
2. Iz rezultirajuće ekspanzije možete saznati koji faktori "nedostaju" u svakom razlomku. Na primjer, 234 · 3 = 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Da biste shvatili koliku razliku čini metoda najmanjeg zajedničkog višestruka, pokušajte izračunati ove iste primjere pomoću metode križanja. Naravno, bez kalkulatora. Mislim da će nakon ovoga komentari biti nepotrebni.

Nemojte misliti da takvih ima složeni razlomci neće biti slučaj u stvarnim primjerima. Susreću se cijelo vrijeme, a gore navedeni zadaci nisu granica!

Jedini problem je kako pronaći baš ovaj NOC. Ponekad se sve može pronaći u nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali općenito je to složen računalni zadatak koji zahtijeva zasebno razmatranje. Toga se ovdje nećemo doticati.

U ovoj lekciji ćemo pogledati svođenje razlomaka na zajednički nazivnik i riješiti zadatke na ovu temu. Definirajmo koncept zajedničkog nazivnika i dodatnog faktora, prisjetimo se međusobnog primarni brojevi. Definirajmo koncept najmanjeg zajedničkog nazivnika (LCD) i riješimo niz problema kako bismo ga pronašli.

Tema: Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Lekcija: Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Ponavljanje. Glavno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, dobiva se jednak razlomak.

Na primjer, brojnik i nazivnik razlomka mogu se podijeliti s 2. Dobivamo razlomak. Ova se operacija naziva redukcija razlomaka. Također možete izvršiti inverznu transformaciju množenjem brojnika i nazivnika razlomka s 2. U ovom slučaju kažemo da smo razlomak sveli na novi nazivnik. Broj 2 nazivamo dodatni faktor.

Zaključak. Razlomak se može svesti na bilo koji nazivnik koji je višekratnik nazivnika danog razlomka. Da bi se razlomak doveo do novog nazivnika, njegov se brojnik i nazivnik množe s dodatnim faktorom.

1. Skratite razlomak na nazivnik 35.

Broj 35 je višekratnik broja 7, odnosno 35 je djeljiv sa 7 bez ostatka. To znači da je ova transformacija moguća. Pronađimo dodatni faktor. Da biste to učinili, podijelite 35 sa 7. Dobit ćemo 5. Pomnožite brojnik i nazivnik izvornog razlomka s 5.

2. Skratite razlomak na nazivnik 18.

Pronađimo dodatni faktor. Da biste to učinili, podijelite novi nazivnik s izvornim. Dobivamo 3. Brojnik i nazivnik ovog razlomka pomnožimo s 3.

3. Skratite razlomak na nazivnik 60.

Dijeljenje 60 sa 15 daje dodatni faktor. Jednako je 4. Pomnožite brojnik i nazivnik s 4.

4. Skratite razlomak na nazivnik 24

U jednostavnim slučajevima redukcija na novi nazivnik izvodi se mentalno. Uobičajeno je samo naznačiti dodatni faktor iza zagrade malo udesno i iznad izvornog razlomka.

Razlomak se može svesti na nazivnik 15, a razlomak se može svesti na nazivnik 15. Razlomci također imaju zajednički nazivnik 15.

Zajednički nazivnik razlomaka može biti bilo koji zajednički višekratnik njihovih nazivnika. Radi jednostavnosti, razlomci su svedeni na njihov najmanji zajednički nazivnik. Jednak je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika zadanih razlomaka.

Primjer. Svedi na najmanji zajednički nazivnik razlomka i .

Najprije pronađimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka. Ovaj broj je 12. Nađimo dodatni faktor za prvi i drugi razlomak. Da biste to učinili, podijelite 12 s 4 i 6. Tri je dodatni faktor za prvi razlomak, a dva je za drugi. Dovedimo razlomke do nazivnika 12.

Razlomke smo doveli na zajednički nazivnik, odnosno pronašli smo jednake razlomke koji imaju isti nazivnik.

Pravilo. Da biste razlomke sveli na njihov najmanji zajednički nazivnik, morate

Najprije pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka, to će biti njihov najmanji zajednički nazivnik;

Drugo, podijelite najmanji zajednički nazivnik s nazivnicima tih razlomaka, tj. pronađite dodatni faktor za svaki razlomak.

Treće, pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

a) Svedi razlomke i na zajednički nazivnik.

Najmanji zajednički nazivnik je 12. Dodatni faktor za prvi razlomak je 4, za drugi - 3. Razlomke svodimo na nazivnik 24.

b) Svedi razlomke i na zajednički nazivnik.

Najmanji zajednički nazivnik je 45. Dijeljenjem 45 s 9 s 15 dobivamo 5 odnosno 3. Razlomke svodimo na nazivnik 45.

c) Razlomke i svedi na zajednički nazivnik.

Zajednički nazivnik je 24. Dodatni faktori su 2 odnosno 3.

Ponekad može biti teško verbalno pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika zadanih razlomaka. Zatim se zajednički nazivnik i dodatni faktori pronađu korištenjem proste faktorizacije.

Svedi razlomke i na zajednički nazivnik.

Rastavimo brojeve 60 i 168 na proste faktore. Napišimo proširenje broja 60 i dodajmo faktore 2 i 7 koji nedostaju iz drugog proširenja. Pomnožimo 60 sa 14 i dobijemo zajednički nazivnik 840. Dodatni faktor za prvi razlomak je 14. Dodatni faktor za drugi razlomak je 5. Dovedimo razlomke na zajednički nazivnik 840.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006. (monografija).

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjeta, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadatci za kolegij matematike za 5.-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. i dr. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednje škole. Knjižnica nastavnika matematike. - Prosvjeta, 1989.

Možete preuzeti knjige navedene u točki 1.2. ove lekcije.

Domaća zadaća

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vidi 1.2)

Domaća zadaća: br. 297, br. 298, br. 300.

Ostali zadaci: br.270, br.290

Shema svođenja na zajednički nazivnik

1. Morate odrediti koji će biti najmanji zajednički višekratnik nazivnika razlomaka. Ako imate posla s mješovitim ili cijelim brojem, tada ga prvo morate pretvoriti u razlomak, a tek onda odrediti najmanji zajednički višekratnik. Da biste cijeli broj pretvorili u razlomak, morate sam broj napisati u brojnik, a jedan u nazivnik. Na primjer, broj 5 kao razlomak bi izgledao ovako: 5/1. Da biste mješoviti broj pretvorili u razlomak, morate cijeli broj pomnožiti s nazivnikom i dodati mu brojnik. Primjer: 8 cijelih brojeva i 3/5 kao razlomak = 8x5+3/5 = 43/5.
2. Nakon toga potrebno je pronaći dodatni faktor koji se određuje dijeljenjem NZ s nazivnikom svakog razlomka.
3. Zadnji korak je množenje razlomka s dodatnim faktorom.

Važno je zapamtiti da je svođenje na zajednički nazivnik potrebno ne samo za zbrajanje ili oduzimanje. Da biste usporedili nekoliko razlomaka s različitim nazivnicima, morate svaki od njih prvo svesti na zajednički nazivnik.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Da biste razumjeli kako razlomak svesti na zajednički nazivnik, morate razumjeti neka svojstva razlomaka. Tako, važna imovina, koji se koristi za svođenje na NOS, je jednakost razlomaka. Drugim riječima, ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože s brojem, rezultat je razlomak jednak prethodnom. Uzmimo sljedeći primjer kao primjer. Da biste razlomke 5/9 i 5/6 sveli na njihov najmanji zajednički nazivnik, trebate učiniti sljedeće radnje:

1. Prvo nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika. U u ovom slučaju za brojeve 9 i 6 LCM će biti jednak 18.
2. Određujemo dodatne faktore za svaki od razlomaka. To se radi na sljedeći način. Podijelimo LCM s nazivnikom svake frakcije, kao rezultat dobivamo 18: 9 = 2 i 18: 6 = 3. Ovi brojevi će biti dodatni faktori.
3. Donosimo dvije frakcije u NOS. Kada množite razlomak s brojem, morate pomnožiti i brojnik i nazivnik. Razlomak 5/9 može se pomnožiti s dodatnim faktorom 2, što rezultira razlomkom jednakim zadanom - 10/18. Isto radimo s drugim razlomkom: pomnožimo 5/6 s 3, što rezultira 15/18.

Kao što možemo vidjeti iz gornjeg primjera, oba su razlomka svedena na najmanji zajednički nazivnik. Da biste konačno razumjeli kako pronaći zajednički nazivnik, morate svladati još jedno svojstvo razlomaka. Leži u činjenici da se brojnik i nazivnik razlomka mogu smanjiti za isti broj, koji se zove zajednički djelitelj. Na primjer, razlomak 12/30 može se svesti na 2/5 ako se podijeli sa svojim zajedničkim djeliteljem - brojem 6.