Jednadžba tangente na graf zadane funkcije. Tangenta na graf funkcije u točki

27.09.2019

Ovaj matematički program pronalazi jednadžbu tangente na graf funkcije $f(x)$ u točki $a$ koju odredi korisnik.

Program ne prikazuje samo jednadžbu tangente, već prikazuje i proces rješavanja problema.

Ovaj online kalkulator može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje da kontroliraju rješavanje mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je brže moguće? domaća zadaća u matematici ili algebri? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina edukacije u području rješavanja problema povećava.

Ako trebate pronaći derivaciju funkcije, onda za to imamo zadatak Nađi derivaciju.

Ukoliko niste upoznati s pravilima za unos funkcija, preporučamo da se s njima upoznate.

Unesite izraz funkcije $f(x)$ i broj $a$ Pronađite jednadžbu tangente

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Izravni nagib

Prisjetimo se tog rasporeda linearna funkcija$y=kx+b$ je ravna linija. Poziva se broj $k=tg \alpha $. nagib ravne linije, a kut $\alpha $ je kut između ove linije i osi Ox

Ako $k>0$, onda \(0 Ako \(kJednadžba tangente na graf funkcije

Ako točka M(a; f(a)) pripada grafu funkcije y = f(x) i ako se u toj točki može povući tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-os, tada iz geometrijskog značenja izvoda slijedi da je kutni koeficijent tangente jednak f "(a). Zatim ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe za tangentu na graf bilo koje funkcije.

Neka je na grafu te funkcije zadana funkcija y = f(x) i točka M(a; f(a)); neka se zna da f"(a) postoji. Sastavimo jednadžbu za tangentu na graf dane funkcije u danoj točki. Ova jednadžba, kao i jednadžba bilo koje ravne linije, nije paralelna os ordinate ima oblik y = kx + b, pa je zadatak pronaći vrijednosti koeficijenata k i b.

S kutnim koeficijentom k sve je jasno: poznato je da je k = f"(a). Za izračun vrijednosti b koristimo se činjenicom da željena ravna linija prolazi točkom M(a; f(a)) To znači da ako koordinate točke M zamijenimo u jednadžbu pravca, dobivamo ispravnu jednakost: $f(a)=ka+b$, tj. $b = f(a) - ka$.

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata k i b u jednadžbu ravne linije:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

Primili smo jednadžba tangente na graf funkcije$y = f(x) $ u točki $x=a $.

Algoritam za pronalaženje jednadžbe tangente na graf funkcije $y=f(x)$
1. Apscisu tangente označimo slovom $a$
2. Izračunajte $f(a)$
3. Pronađite $f"(x)$ i izračunajte $f"(a)$
4. Pronađene brojeve $a, f(a), f"(a) $ zamijenite formulom $y=f(a)+ f"(a)(x-a) $

Knjige (udžbenici) Sažeci jedinstvenog državnog ispita i testovi jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Crtanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih ustanova Rusije Katalog ruskih sveučilišta Popis problema Nalaženje GCD i LCM Pojednostavljenje polinoma (množenje polinoma)

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, V suđenje, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Y = f(x) i ako je u ovoj točki moguće povući tangentu na graf funkcije koja nije okomita na apscisnu os, tada nagib tangenta je jednaka f "(a). To smo već nekoliko puta upotrijebili. Na primjer, u § 33 utvrđeno je da graf funkcije y = sin x (sinusoida) u ishodištu tvori kut od 45° s apscisna os (točnije, tangenta na graf u ishodištu koordinata zaklapa s pozitivnim smjerom osi x kut od 45°), au primjeru 5. § 33 točke pronađene su na grafu zadane funkcije, u kojem je tangenta paralelna s x-osi. U primjeru 2 § 33 sastavljena je jednadžba za tangentu na graf funkcije y = x 2 u točki x = 1 (točnije, u točki (1; 1), ali češće je samo vrijednost apscise navedeno, vjerujući da ako je poznata vrijednost apscise, tada se vrijednost ordinate može pronaći iz jednadžbe y = f(x)). U ovom odjeljku ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf bilo koje funkcije.

Neka je dana funkcija y = f(x) i točka M (a; f(a)), a poznato je i da f"(a) postoji. Sastavimo jednadžbu za tangentu na graf a zadana funkcija u zadanoj točki. Ova jednadžba je kao jednadžba bilo kojeg pravca koji nije paralelan s osi ordinata ima oblik y = kx+m, pa je zadatak pronaći vrijednosti koeficijenata k i m.

Nema problema s kutnim koeficijentom k: znamo da je k = f "(a). Za izračun vrijednosti m koristimo se činjenicom da željena ravna linija prolazi točkom M(a; f (a)) To znači da ako koordinatne točke M zamijenimo u jednadžbu pravca, dobivamo ispravnu jednakost: f(a) = ka+m, iz koje dobivamo da je m = f(a) - ka.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata kompleta u jednadžba ravno:

Dobili smo jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = f(x) u točki x=a.
ako, recimo,
Zamjenom pronađenih vrijednosti a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 u jednadžbu (1) dobivamo: y = 1+2(x-f), tj. y = 2x-1.
Usporedite ovaj rezultat s onim dobivenim u primjeru 2 iz § 33. Naravno, dogodilo se isto.
Napravimo jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = tan x u ishodištu. Imamo: to znači cos x f"(0) = 1. Zamjenom pronađenih vrijednosti a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 u jednadžbu (1), dobivamo: y = x.
Zato smo tangentoid u § 15 (vidi sl. 62) povukli kroz ishodište koordinata pod kutom od 45° na apscisnu os.
Rješavanje ovih dovoljno jednostavni primjeri, koristili smo zapravo određeni algoritam, koji je sadržan u formuli (1). Učinimo ovaj algoritam eksplicitnim.

ALGORITAM ZA RAZVOJ JEDNADŽBE ZA TANGENTU NA GRAF FUNKCIJE y = f(x)

1) Apscisu tangente označimo slovom a.
2) Izračunajte 1 (a).
3) Nađite f"(x) i izračunajte f"(a).
4) Pronađene brojeve a, f(a), (a) zamijenite u formulu (1).

Primjer 1. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki x = 1.
Upotrijebimo algoritam, uzimajući u obzir da u ovom primjeru

Na sl. 126 prikazana je hiperbola, konstruirana je pravac y = 2.
Crtež potvrđuje gornje izračune: doista, pravac y = 2 dodiruje hiperbolu u točki (1; 1).

Odgovor: y = 2- x.
Primjer 2. Nacrtajte tangentu na graf funkcije tako da bude paralelna s pravcem y = 4x - 5.
Pojasnimo formulaciju problema. Zahtjev da se "nacrta tangenta" obično znači "formirati jednadžba za tangentu". To je logično, jer ako je osoba bila u stanju stvoriti jednadžbu za tangentu, tada vjerojatno neće imati poteškoća s konstruiranjem na koordinatna ravnina ravna crta prema njezinoj jednadžbi.
Poslužimo se algoritmom za sastavljanje jednadžbe tangente, vodeći računa da u ovom primjeru Ali, za razliku od prethodnog primjera, postoji nejasnoća: apscisa tangentne točke nije eksplicitno naznačena.
Počnimo razmišljati ovako. Željena tangenta mora biti paralelna s pravom y = 4x-5. Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im nagibi jednaki. To znači da kutni koeficijent tangente mora biti jednak kutnom koeficijentu zadane ravne linije: Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednadžbe f"(a) = 4.
Imamo:
Iz jednadžbe To znači da postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uvjete problema: jedna u točki s apscisom 2, druga u točki s apscisom -2.
Sada možete slijediti algoritam.

Primjer 3. Iz točke (0; 1) povući tangentu na graf funkcije
Poslužimo se algoritmom za sastavljanje jednadžbe tangente, vodeći računa da u ovom primjeru, Primijetimo da ovdje, kao i u primjeru 2, apscisa tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, slijedimo algoritam.

Prema uvjetu, tangenta prolazi točkom (0; 1). Zamjenom vrijednosti x = 0, y = 1 u jednadžbu (2), dobivamo:
Kao što vidite, u ovom primjeru tek smo u četvrtom koraku algoritma uspjeli pronaći apscisu tangente. Zamjenom vrijednosti a =4 u jednadžbu (2) dobivamo:

Na sl. 127 predstavljena je geometrijska ilustracija razmatranog primjera: nacrtan je graf funkcije

U § 32 primijetili smo da za funkciju y = f(x) koja ima derivaciju u fiksnoj točki x vrijedi približna jednakost:

Radi lakšeg daljnjeg razmišljanja, promijenimo zapis: umjesto x napisat ćemo a, umjesto x i, prema tome, umjesto x-a. Tada će gore napisana približna jednakost imati oblik:

Sada pogledajte sl. 128. Na graf funkcije y = f(x) u točki M (a; f (a)) povučena je tangenta. Točka x je označena na x-osi blizu a. Jasno je da je f(x) ordinata grafa funkcije u navedenoj točki x. Koliko je f(a) + f"(a) (x-a)? Ovo je ordinata tangente koja odgovara istoj točki x - vidi formulu (1). Koje je značenje približne jednakosti (3)? Činjenica da Za izračunavanje približne vrijednosti funkcije uzmite ordinatnu vrijednost tangente.

Primjer 4. Pronađite približnu vrijednost brojčani izraz 1,02 7 .
Govorimo o pronalaženju vrijednosti funkcije y = x 7 u točki x = 1,02. Upotrijebimo formulu (3) uzimajući u obzir da u ovom primjeru
Kao rezultat dobivamo:

Ako koristimo kalkulator, dobivamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Kao što vidite, točnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.
Odgovor: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download

Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije

Neka je dana funkcija f koja u nekoj točki x 0 ima konačnu derivaciju f (x 0). Tada se pravac koji prolazi točkom (x 0 ; f (x 0)) i ima kutni koeficijent f ’(x 0) naziva tangentom.

Što se događa ako derivacija ne postoji u točki x 0? Postoje dvije mogućnosti:

Nema ni tangente na graf. Klasičan primjer je funkcija y = |x | u točki (0; 0).
Tangenta postaje okomita. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u točki (1; π /2).

Jednadžba tangente

Bilo koja ravna linija koja nije okomita dana je jednadžbom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangens nije iznimka, a da bi se stvorila njegova jednadžba u nekoj točki x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj točki.

Dakle, neka je dana funkcija y = f (x) koja ima derivaciju y = f ’(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj točki x 0 ∈ (a ; b) može povući tangenta na graf te funkcije, koja je dana jednadžbom:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Ovdje je f ’(x 0) vrijednost derivacije u točki x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadana je funkcija y = x 3 . Napišite jednadžbu za tangentu na graf ove funkcije u točki x 0 = 2.

Jednadžba tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Točka x 0 = 2 nam je dana, ali će se morati izračunati vrijednosti f (x 0) i f ’(x 0).

Prvo, pronađimo vrijednost funkcije. Ovdje je sve jednostavno: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Nađimo sada izvod: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Zamjenjujemo x 0 = 2 u izvod: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Ukupno dobijemo: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Ovo je jednadžba tangente.

Zadatak. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije f (x) = 2sin x + 5 u točki x 0 = π /2.

Ovog puta nećemo detaljno opisivati svaku akciju – samo ćemo naznačiti ključne korake. Imamo:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Tangentna jednadžba:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

U potonji slučaj ravna linija se pokazala vodoravnom, jer njegov kutni koeficijent k = 0. Nema ništa loše u ovome - samo smo naletjeli na točku ekstrema.

U ovom ćemo članku analizirati sve vrste problema koje treba pronaći

Prisjetimo se geometrijsko značenje izvedenice: ako se tangenta povuče na graf funkcije u točki, tada je koeficijent nagiba tangente (jednak tangensu kuta između tangente i pozitivnog smjera osi) jednak izvodnici funkcije u točki.

Uzmimo proizvoljnu točku na tangenti s koordinatama:

I razmislite o pravokutnom trokutu:

U ovom trokutu

Odavde

Ovo je jednadžba tangente povučene na graf funkcije u točki.

Da bismo napisali jednadžbu tangente, trebamo znati samo jednadžbu funkcije i točku u kojoj je povučena tangenta. Tada možemo pronaći i .

Postoje tri glavne vrste problema jednadžbe tangente.

1. S obzirom na točku kontakta

2. Zadan je koeficijent nagiba tangente, odnosno vrijednost derivacije funkcije u točki.

3. Zadane su koordinate točke kroz koju je povučena tangenta, ali koja nije dodirna točka.

Pogledajmo svaku vrstu zadatka.

1 . Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki .

b) Odredite vrijednost derivacije u točki . Najprije nađimo izvod funkcije

Zamijenimo pronađene vrijednosti u jednadžbu tangente:

Otvorimo zagrade na desnoj strani jednadžbe. Dobivamo:

Odgovor: .

2. Odredite apscisu točaka u kojima funkcije dodiruju graf paralelno s x-osi.

Ako je tangenta paralelna s x-osi, stoga je kut između tangente i pozitivnog smjera osi jednak nuli, stoga je tangens kuta tangente jednak nuli. To znači da vrijednost derivacije funkcije na dodirnim točkama je nula.

a) Pronađite izvod funkcije .

b) Izjednačimo derivaciju s nulom i pronađemo vrijednosti u kojima je tangenta paralelna s osi:

Izjednačavajući svaki faktor s nulom, dobivamo:

Odgovor: 0;3;5

3. Napišite jednadžbe za tangente na graf funkcije , paralelno ravno .

Tangenta je paralelna s pravcem. Nagib ove linije je -1. Budući da je tangenta paralelna s ovom linijom, stoga je nagib tangente također -1. To je znamo nagib tangente, i time, izvedena vrijednost u točki dodira.

Ovo je druga vrsta problema za pronalaženje jednadžbe tangente.

Dakle, dana nam je funkcija i vrijednost derivacije u točki dodirivanja.

a) Pronađite točke u kojima je derivacija funkcije jednaka -1.

Prvo, pronađimo jednadžbu derivacije.

Izjednačimo izvod s brojem -1.

Nađimo vrijednost funkcije u točki.

(po uvjetu)

b) Pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki .

Nađimo vrijednost funkcije u točki.

(po uvjetu).

Zamijenimo ove vrijednosti u jednadžbu tangente:

Odgovor:

4 . Napišite jednadžbu tangente na krivulju , prolazeći kroz točku

Prvo provjerimo je li točka tangenta. Ako je točka tangenta, tada pripada grafu funkcije, a njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu funkcije. Zamijenimo koordinate točke u jednadžbu funkcije.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nije točka kontakta.

Ovo je posljednja vrsta problema za pronalaženje jednadžbe tangente. Prva stvar trebamo pronaći apscisu tangente.

Pronađimo vrijednost.

Neka bude točka kontakta. Točka pripada tangenti na graf funkcije. Ako koordinate ove točke zamijenimo u jednadžbu tangente, dobit ćemo ispravnu jednakost: