Formula diskriminacijske kvadratne jednadžbe. Kvadratne jednadžbe - primjeri s rješenjima, značajkama i formulama

Kvadratna jednadžba - jednostavno za riješiti! *U daljnjem tekstu "KU". Prijatelji, čini se da u matematici ne može biti ništa jednostavnije od rješavanja takve jednadžbe. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam vidjeti koliko impresija na zahtjev Yandex daje mjesečno. Evo što se dogodilo, pogledajte:

Što to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ova informacija, što ovo ljeto ima s tim, i što će se dogoditi među Školska godina— bit će dvostruko više zahtjeva. To ne čudi, jer oni dečki i djevojke koji su davno završili školu i pripremaju se za Jedinstveni državni ispit traže te informacije, a školarci također nastoje osvježiti svoje pamćenje.

Unatoč činjenici da postoji mnogo stranica koje vam govore kako riješiti ovu jednadžbu, odlučio sam također dati doprinos i objaviti materijal. Prvo, želim da posjetitelji dođu na moju stranicu na temelju ovog zahtjeva; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi tema "KU", dat ću poveznicu na ovaj članak; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Započnimo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

gdje su koeficijenti a,bi c su proizvoljni brojevi, s a≠0.

U školskom tečaju gradivo se daje u sljedećem obliku - jednadžbe su podijeljene u tri razreda:

1. Imaju dva korijena.

2. *Imati samo jedan korijen.

3. Nemaju korijenje. Ovdje vrijedi posebno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminantu. Ispod ove "užasne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule morate znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

Primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednadžba ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednadžba ima jedan korijen.

3. Ako je D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednadžbu:

U tom smislu, kada je diskriminant jednak nuli, školski tečaj kaže da se dobiva jedan korijen, ovdje je jednak devet. Sve je točno, tako je, ali...

Ova ideja je donekle netočna. Zapravo, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, dobili ste dva jednaka korijena, a da budemo matematički precizni, onda odgovor treba pisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali to je tako - mala digresija. U školi možete to napisati i reći da je jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen od negativan broj nije ekstrahiran, pa rješenja u u ovom slučaju Ne.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Ovo pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je iznimno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednadžbe).

Ovo je funkcija obrasca:

gdje su x i y varijable

a, b, c – zadani brojevi, pri čemu je a ≠ 0

Graf je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe s "y" jednakim nuli, nalazimo točke sjecišta parabole s osi x. Ove točke mogu biti dvije (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminacija je negativna). Pojedinosti o kvadratna funkcija Možete pogledatičlanak Inne Feldman.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1: Riješite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = –12

*Moglo se odmah lijevu i desnu stranu jednadžbe podijeliti s 2, odnosno pojednostaviti. Izračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odlučiti x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Utvrdili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dopušteno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odlučiti x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanta je negativna, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada je dobivena negativna diskriminacija. Znate li nešto o kompleksnim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto su i gdje nastali te koja je njihova konkretna uloga i potreba u matematici, to je tema za veliki zaseban članak.

Pojam kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi – ovo je JEDAN BROJ, a ne zbrajanje.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu iz minus jedan:

Sada razmotrite jednadžbu:

Dobivamo dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent “b” ili “c” jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Mogu se jednostavno riješiti bez ikakvih diskriminatora.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednadžba postaje:

Preobrazimo se:

Primjer:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednadžba postaje:

Transformirajmo i faktorizirajmo:

*Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja vam omogućuju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

Ax 2 + bx+ c=0 jednakost vrijedi

a + b+ c = 0, Da

- ako za koeficijente jednadžbe Ax 2 + bx+ c=0 jednakost vrijedi

a+ c =b, Da

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbi.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbroj kvota je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, što znači

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost vrijedi a+ c =b, Sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su joj korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 – bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su joj korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx – c = 0 koeficijent “b” jednako je (a 2 – 1), i koeficijent “c” je brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su mu korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 – bx – c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 – 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su joj korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Primjer. Razmotrite jednadžbu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietin teorem.

Vietin teorem je dobio ime po poznatom francuskom matematičaru Francoisu Vieti. Koristeći Vietin teorem, možemo izraziti zbroj i umnožak korijena proizvoljnog KU u smislu njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukupno, broj 14 daje samo 5 i 9. To su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazani teorem, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Vietin teorem, osim toga. zgodno po tome što nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajeni način(kroz diskriminantu) mogu se provjeriti rezultirajući korijeni. Preporučujem da to radite uvijek.

NAČIN TRANSPORTA

Ovom metodom, koeficijent "a" se množi sa slobodnim članom, kao da je "bačen" na njega, zbog čega se naziva metoda "transfera". Ova se metoda koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći korištenjem Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Ako A± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Koristeći Vietin teorem u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se podijeliti s 2 (budući da su dva "bačena" iz x 2), dobivamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Koje je obrazloženje? Pogledaj što se događa.

Diskriminanti jednadžbi (1) i (2) su jednaki:

Ako pogledate korijene jednadžbi, dobit ćete samo različite nazivnike, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu x 2:

Drugi (modificirani) ima korijenje koje je 2 puta veće.

Stoga rezultat dijelimo s 2.

*Ako ponovno bacimo trojku, rezultat ćemo podijeliti s 3, itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

trg ur-ie i Jedinstveni državni ispit.

Reći ću vam ukratko o njegovoj važnosti - MORATE BITI SPOSOBNI ODLUČIVATI brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanata napamet. Mnogi problemi uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Nešto vrijedno pažnje!

1. Oblik pisanja jednadžbe može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (kako se ne biste zbunili prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i da se može označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i dr.

U moderno društvo sposobnost izvođenja operacija s jednadžbama koje sadrže varijablu na kvadrat može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i naširoko se koristi u praksi u znanstvenim i tehnički razvoj. Dokazi za to mogu se naći u dizajnu morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Koristeći takve izračune, putanje kretanja većine različita tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Možda će biti potrebni u planinarski izleti, na sportskim događanjima, u trgovinama tijekom kupovine i u drugim vrlo uobičajenim situacijama.

Rastavimo izraz na sastavne faktore

Stupanj jednadžbe određen je maksimalnom vrijednošću stupnja varijable koju izraz sadrži. Ako je jednak 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratnom.

Ako govorimo jezikom formula, tada se naznačeni izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti u oblik kada lijeva strana izraz se sastoji od tri pojma. Među njima su: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznanica bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takvom polinomu nedostaje jedan od njegovih sastavnih članova, s izuzetkom osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Prvo treba razmotriti primjere s rješenjem takvih problema, vrijednosti varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani, točnije ax 2 i bx, najlakši način da pronađete x je stavljanjem varijable izvan zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Dalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora daje 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Ovakvim jednadžbama može se opisati kretanje tijela pod utjecajem gravitacije, koja su se počela kretati od određene točke uzete kao ishodište koordinata. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje protekne od trenutka kada se tijelo digne do trenutka kada padne, kao i mnoge druge veličine. Ali o ovome ćemo kasnije.

Rastavljanje izraza na faktore

Gore opisano pravilo omogućuje više rješavanja ovih problema teški slučajevi. Pogledajmo primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpuna. Prvo transformirajmo izraz i faktoriziraj ga. Dva su: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada desnu stranu rastavljamo na faktore s varijablom, postoje tri faktora, to jest (x+1), (x-3) i (x+ 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -1; 3.

Korijen

Još jedan slučaj nepotpuna jednadžba drugi red je izraz predstavljen u jeziku slova na takav način da desni dio je izgrađen od komponenti ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni izraz prenosi u desna strana, a nakon toga s obje strane jednakosti izdvajamo Korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka mogu biti jednakosti koje uopće ne sadrže član s, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada desna strana ispadne negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Izračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima uvelike određen potrebom da se s najvećom točnošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Također bismo trebali razmotriti primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutna parcela zemlje čija je duljina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta ako znate da je njegova površina 612 m2.

Za početak, kreirajmo potrebnu jednadžbu. Označimo s x širinu površine, tada će njezina duljina biti (x+16). Iz napisanog proizlazi da je površina određena izrazom x(x+16) koji prema uvjetima našeg zadatka iznosi 612. To znači da je x(x+16) = 612.

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se raditi na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste različite metode.

Diskriminirajući

Prije svega, napravimo potrebne transformacije izgled ovog izraza će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo bi mogao biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante. Ovdje se izrađuju potrebni izračuni prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina ne samo da omogućuje pronalaženje potrebnih veličina u jednadžbi drugog reda, već određuje količinu moguće opcije. Ako je D>0, dva su; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je jednak: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo sugerira da naš problem ima odgovor. Ako znate k, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću donje formule. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj nedoumici ne može biti rješenje, jer se dimenzije parcele ne mogu mjeriti u negativnim veličinama, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18 m. +16=34, a opseg 2(34+ 18)=104(m2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. U nastavku će biti navedeni primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Premjestimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobit ćemo onu vrstu jednadžbe koja se obično naziva standardnom i izjednačimo je s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Zbrajajući slične, određujemo diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znači da će naša jednadžba imati dva korijena. Izračunajmo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada riješimo misterije druge vrste.

Saznajmo ima li ovdje korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili opsežan odgovor, svedimo polinom na odgovarajući uobičajeni oblik i izračunajmo diskriminant. U gornjem primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer to uopće nije bit problema. U ovom slučaju, D = 16 - 20 = -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Kvadratne jednadžbe Prikladno je riješiti pomoću gornjih formula i diskriminante, kada se kvadratni korijen uzima iz vrijednosti potonje. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli u ovom slučaju. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobila po čovjeku koji je živio u 16. stoljeću u Francuskoj i napravio briljantnu karijeru zahvaljujući matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret možete vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz primijetio bio je sljedeći. Dokazao je da se korijeni jednadžbe numerički zbrajaju na -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Sada pogledajmo konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Upotrijebimo Vietin teorem, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se te vrijednosti varijable doista uklapaju u izraz.

Parabolni graf i jednadžba

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratnih jednadžbi usko su povezani. Primjeri toga već su navedeni ranije. Pogledajmo sada malo detaljnije neke matematičke zagonetke. Bilo koja jednadžba opisane vrste može se prikazati vizualno. Takav odnos, nacrtan kao grafikon, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njeni ogranci. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći pomoću upravo navedene formule x 0 = -b/2a. I zamjenom dobivene vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole, koja pripada osi ordinata.

Sjecište grana parabole s osi apscisa

Postoji mnogo primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Pogledajmo ih. Jasno je da je sjecište grafa s osi 0x za a>0 moguće samo ako y 0 uzima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole također možete odrediti korijene. Vrijedi i suprotno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. A znajući točke sjecišta s osi 0x, lakše je konstruirati grafikon.

Iz povijesti

Koristeći jednadžbe koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima nisu samo radili matematičke izračune i određivali površine geometrijskih figura. Drevnima su takvi izračuni bili potrebni za velika otkrića u poljima fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što moderni znanstvenici sugeriraju, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. To se dogodilo četiri stoljeća prije naše ere. Naravno, njihovi izračuni bili su radikalno drugačiji od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima koje svaki moderni školarac zna.

Možda čak i prije babilonskih znanstvenika, indijski mudrac Baudhayama počeo je rješavati kvadratne jednadžbe. To se dogodilo oko osam stoljeća prije Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje kojih je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u davna vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svojim radovima koristili veliki znanstvenici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Čovjek je koristio jednadžbe u davna vremena, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućuje rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe pomoću općenite formule koja ima sljedeći oblik:

Diskriminantna formula ovisi o stupnju polinoma. Gornja formula je prikladna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:

Diskriminant ima sljedeća svojstva koja trebate znati:

* "D" je 0 kada polinom ima više korijena (jednakih korijena);

* "D" je simetričan polinom s obzirom na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štoviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi bez obzira na proširenje u kojem su korijeni uzeti.

Recimo da nam je dana kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:

1 jednadžba

Prema formuli imamo:

Budući da \, jednadžba ima 2 korijena. Definirajmo ih:

Gdje mogu riješiti jednadžbu pomoću diskriminantnog mrežnog rješavača?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje mrežnih jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i saznati kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.

Diskriminant se, kao i kvadratne jednadžbe, počinje proučavati u kolegiju algebre u 8. razredu. Kvadratnu jednadžbu možete riješiti pomoću diskriminante i korištenjem Vietinog teorema. Metoda proučavanja kvadratnih jednadžbi, kao i diskriminantnih formula, prilično se neuspješno podučava školarcima, kao i mnogo toga u stvarnom obrazovanju. Dakle, školske godine prolaze, obrazovanje u 9-11 razredima zamjenjuje se "visokim obrazovanjem" i svi ponovno traže - “Kako riješiti kvadratnu jednadžbu?”, “Kako pronaći korijene jednadžbe?”, “Kako pronaći diskriminantu?” I...

Diskriminantna formula

Diskriminant D kvadratne jednadžbe a*x^2+bx+c=0 jednak je D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe ovise o predznaku diskriminante (D):
D>0 – jednadžba ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminante prilično je jednostavna, pa mnoga web-mjesta nude online kalkulator diskriminacije. Još nismo smislili ovu vrstu skripti, pa ako netko zna kako ovo implementirati, neka nam piše na e-mail Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Morate imati omogućen JavaScript da biste ga vidjeli. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijene jednadžbe nalazimo pomoću formule
Ako je koeficijent kvadratne varijable uparen, tada je preporučljivo izračunati ne diskriminant, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima, korijeni jednadžbe nalaze se pomoću formule

Drugi način pronalaženja korijena je Vietin teorem.

Teorem je formuliran ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektroničkim izvorima. No, radi pojednostavljenja, razmotrimo dio koji se tiče gornjih kvadratnih jednadžbi, odnosno jednadžbi oblika (a=1)
Bit Vietinih formula je da je zbroj korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzet sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Vietin teorem može se napisati formulama.
Izvođenje Vietine formule vrlo je jednostavno. Napišimo kvadratnu jednadžbu kroz jednostavne faktore
Kao što možete vidjeti, sve genijalno je jednostavno u isto vrijeme. Učinkovito je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulima korijena ili razlika u modulima korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe, prema Vietinom teoremu, imaju korijene




Do jednadžbe 4, analiza bi trebala izgledati ovako. Proizvod korijena jednadžbe je 6, stoga korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi sa suprotnim predznacima. Zbroj korijena je 7 (koeficijent varijable suprotnog predznaka). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, prilagođavajući im predznak kako bi se ispunile Vieta formule. U početku se to čini teško izvedivim, ali s vježbom na brojnim kvadratnim jednadžbama ova će se tehnika pokazati učinkovitijom od izračunavanja diskriminante i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanata i metoda pronalaženja rješenja jednadžbe lišena je praktičnog značenja - “Zašto školarcima treba kvadratna jednadžba?”, “Koje je fizičko značenje diskriminante?”

Pokušajmo to shvatiti Što opisuje diskriminant?

U kolegiju algebre proučavaju se funkcije, sheme za proučavanje funkcija i konstruiranje grafa funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola čija se jednadžba može napisati u obliku
Dakle, fizikalno značenje kvadratne jednadžbe su nulte točke parabole, odnosno točke presjeka grafa funkcije s apscisnom osi Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, kolokvija ili prijamnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak kvadrata varijable odgovara hoće li grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola s granama prema dolje (a<0) .

Vrh parabole nalazi se na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminant veći od nule (D>0) parabola ima dvije sjecišne točke s osi Ox.
Ako je diskriminant nula (D=0), tada parabola u vrhu dodiruje x-os.
I posljednji slučaj kada je diskriminant manje od nule(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijenje;
2. Imati točno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratnih jednadžbi i linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.

Diskriminirajući

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac.

Ovu formulu morate znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema predznaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:

1. Ako D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, bit će dva korijena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napišimo koeficijente za prvu jednadžbu i pronađimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanta je negativna, nema korijena. Zadnja preostala jednadžba je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati izglede i činiti glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.

Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati ​​sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada prijeđimo na samo rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju pri zamjeni negativnih koeficijenata u formulu. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: promatrajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti pogrešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Događa se da se kvadratna jednadžba malo razlikuje od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Lako je uočiti da ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe čak je lakše riješiti od standardnih: one čak ne zahtijevaju izračun diskriminante. Dakle, predstavimo novi koncept:

Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, potpuno je moguće Težak slučaj, kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 = 0. Očito, takva jednadžba ima jedan korijen: x = 0.

Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0. Malo je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 zadovoljena nejednakost (−c /a) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
2. Ako (−c /a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što se nalazi s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.

Pogledajmo sada jednadžbe oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Umnožak je nula kada je barem jedan faktor jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednadžbi:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.