Označavanje veličina u fizici. Školski kurikulum: što je n u fizici

Učenje fizike u školi traje nekoliko godina. Pritom se učenici suočavaju s problemom da ista slova predstavljaju potpuno različite količine. Najčešće se ova činjenica odnosi na latinična slova. Kako onda rješavati probleme?

Ne treba se bojati takvog ponavljanja. Znanstvenici su ih pokušali uvesti u notni zapis kako se identična slova ne bi pojavljivala u istoj formuli. Najčešće se učenici susreću s latinskim n. Može biti mala ili velika slova. Stoga se logično postavlja pitanje što je n u fizici, odnosno u određenoj formuli s kojom se student susreće.

Što veliko slovo N označava u fizici?

Najčešće se u školskim tečajevima javlja pri proučavanju mehanike. Uostalom, tu može biti odmah u duhovnim značenjima - moć i snaga normalna reakcija podržava. Naravno, ovi pojmovi se ne preklapaju, jer se koriste u različitim dijelovima mehanike i mjere se u različitim jedinicama. Stoga uvijek trebate točno definirati što je n u fizici.

Snaga je brzina promjene energije u sustavu. Ovo je skalarna veličina, to jest samo broj. Njegova mjerna jedinica je vat (W).

Normalna sila reakcije tla je sila kojom na tijelo djeluje oslonac ili ovjes. Osim brojčana vrijednost, ima smjer, odnosno vektorska je veličina. Štoviše, uvijek je okomit na površinu na kojoj se proizvodi. vanjski utjecaj. Jedinica ovog N je newton (N).

Što je N u fizici, osim već navedenih veličina? To bi mogao biti:

Avogadrova konstanta;

povećanje optičkog uređaja;

koncentracija tvari;

Debyeov broj;

ukupna snaga zračenja.

Što u fizici znači malo slovo n?

Popis imena koja se možda kriju iza toga prilično je opsežan. Oznaka n u fizici se koristi za sljedeće pojmove:

indeks loma, a može biti apsolutan i relativan;

neutron - neutralna elementarna čestica s masom nešto većom od mase protona;

frekvencija vrtnje (koristi se za zamjenu grčkog slova "nu", jer je vrlo slično latinskom "ve") - broj ponavljanja okretaja po jedinici vremena, mjeren u hercima (Hz).

Što n znači u fizici, osim već navedenih veličina? Ispostavilo se da iza toga leži temeljni kvantni broj ( kvantna fizika), koncentracija i Loschmidtova konstanta (molekularna fizika). Usput, kada izračunavate koncentraciju tvari, morate znati vrijednost, koja se također piše s latinskim "en". O tome će biti riječi u nastavku.

Koju fizikalnu veličinu možemo označiti s n i N?

Ime mu dolazi od latinske riječi numerus, što se prevodi kao "broj", "količina". Stoga je odgovor na pitanje što n znači u fizici vrlo jednostavan. Ovo je broj bilo kojih predmeta, tijela, čestica - svega o čemu se govori u određenom zadatku.

Štoviše, "količina" je jedna od rijetkih fizičkih veličina koje nemaju mjernu jedinicu. To je samo broj, bez imena. Na primjer, ako problem uključuje 10 čestica, tada će n jednostavno biti jednako 10. Ali ako se ispostavi da je malo "en" već zauzeto, tada morate koristiti veliko slovo.

Formule koje sadrže veliko N

Prvi od njih određuje snagu, koja je jednaka omjeru rada i vremena:

U molekularnoj fizici postoji takva stvar kao što je kemijska količina tvari. Označava se grčkim slovom "nu". Da biste ga prebrojali, trebate podijeliti broj čestica s Avogadrovim brojem:

Usput, posljednja vrijednost također je označena tako popularnim slovom N. Samo što uvijek ima indeks - A.

Za određivanje električnog naboja trebat će vam formula:

Još jedna formula s N u fizici - frekvencija osciliranja. Da biste to prebrojali, morate podijeliti njihov broj s vremenom:

Slovo "en" pojavljuje se u formuli za razdoblje optjecaja:

Formule koje sadrže mala slova n

U školskom tečaju fizike ovo se slovo najčešće povezuje s indeksom loma tvari. Stoga je važno poznavati formule s njegovom primjenom.

Dakle, za apsolutni indeks loma formula je napisana kako slijedi:

Ovdje je c brzina svjetlosti u vakuumu, v je njezina brzina u lomnom mediju.

Formula za relativni indeks loma nešto je kompliciranija:

n 21 = v 1: v 2 = n 2: n 1,

gdje su n 1 i n 2 apsolutni indeksi loma prvog i drugog medija, v 1 i v 2 su brzine svjetlosnog vala u tim tvarima.

Kako pronaći n u fizici? U tome će nam pomoći formula koja zahtijeva poznavanje kutova upada i loma zrake, odnosno n 21 = sin α: sin γ.

Čemu je n jednako u fizici ako je to indeks loma?

Tipično, tablice daju vrijednosti za apsolutne indekse loma različitih tvari. Ne zaboravite da ova vrijednost ne ovisi samo o svojstvima medija, već io valnoj duljini. Tablične vrijednosti indeksa loma date su za optičko područje.

Dakle, postalo je jasno što je n u fizici. Kako bismo izbjegli bilo kakva pitanja, vrijedi razmotriti neke primjere.

Zadatak snage

№1. Za vrijeme oranja traktor ravnomjerno vuče plug. Istovremeno djeluje silom od 10 kN. Ovim kretanjem prelazi 1,2 km unutar 10 minuta. Potrebno je odrediti snagu koju razvija.

Pretvaranje jedinica u SI. Možete početi sa silom, 10 N jednako je 10 000 N. Zatim udaljenost: 1,2 × 1000 = 1200 m. Preostalo vrijeme - 10 × 60 = 600 s.

Odabir formula. Kao što je gore spomenuto, N = A: t. Ali zadatak nema nikakvo značenje za rad. Za izračun je korisna druga formula: A = F × S. Konačni oblik formule za snagu izgleda ovako: N = (F × S) : t.

Riješenje. Izračunajmo prvo rad, a zatim snagu. Tada prvo djelovanje daje 10 000 × 1 200 = 12 000 000 J. Drugo djelovanje daje 12 000 000: 600 = 20 000 W.

Odgovor. Snaga traktora je 20 000 W.

Problemi s indeksom loma

№2. Apsolutni pokazatelj Indeks loma stakla je 1,5. Brzina širenja svjetlosti u staklu je manja nego u vakuumu. Trebate odrediti koliko puta.

Nema potrebe pretvarati podatke u SI.

Prilikom odabira formula morate se usredotočiti na ovu: n = c: v.

Riješenje. Iz ove formule je jasno da je v = c: n. To znači da je brzina svjetlosti u staklu jednaka brzini svjetlosti u vakuumu podijeljena s indeksom loma. Odnosno, smanjuje se za jedan i pol puta.

Odgovor. Brzina širenja svjetlosti u staklu je 1,5 puta manja nego u vakuumu.

№3. Postoje dva transparentni mediji. Brzina svjetlosti u prvom od njih je 225 000 km/s, u drugom je 25 000 km/s manja. Zraka svjetlosti ide iz prvog medija u drugi. Upadni kut α je 30º. Izračunajte vrijednost kuta loma.

Trebam li pretvoriti u SI? Brzine su dane u jedinicama izvan sustava. Međutim, kada se zamijene u formule, oni će se smanjiti. Stoga nema potrebe pretvarati brzine u m/s.

Odabir formula potrebnih za rješavanje problema. Morat ćete koristiti zakon loma svjetlosti: n 21 = sin α: sin γ. Također: n = s: v.

Riješenje. U prvoj formuli n 21 je omjer dvaju indeksa loma dotičnih tvari, odnosno n 2 i n 1. Zapišemo li drugu naznačenu formulu za predloženi medij, dobivamo sljedeće: n 1 = c: v 1 i n 2 = c: v 2. Ako napravimo omjer posljednja dva izraza, ispada da je n 21 = v 1: v 2. Zamjenom u formulu za zakon loma, možemo izvesti sljedeći izraz za sinus kuta loma: sin γ = sin α × (v 2: v 1).

Zamijenimo vrijednosti navedenih brzina i sinus od 30º (jednak 0,5) u formulu, ispada da je sinus kuta loma jednak 0,44. Prema Bradisovoj tablici ispada da je kut γ jednak 26º.

Odgovor. Kut loma je 26º.

Zadaci za period cirkulacije

№4. Lopatice vjetrenjače se okreću s periodom od 5 sekundi. Izračunajte broj okretaja ovih oštrica u 1 satu.

Potrebno je samo pretvoriti vrijeme u SI jedinice za 1 sat. To će biti jednako 3600 sekundi.

Odabir formula. Period vrtnje i broj okretaja povezani su formulom T = t: N.

Riješenje. Iz gornje formule, broj okretaja je određen omjerom vremena i razdoblja. Dakle, N = 3600: 5 = 720.

Odgovor. Broj okretaja lopatica mlina je 720.

№5. Propeler aviona vrti se frekvencijom od 25 Hz. Za koje vrijeme će propeler napraviti 3000 okretaja?

Svi podaci su dati u SI, tako da nema potrebe ništa prevoditi.

Obavezna formula: frekvencija ν = N: t. Iz njega samo trebate izvesti formulu za nepoznato vrijeme. To je djelitelj, pa se pretpostavlja da se nalazi dijeljenjem N s ν.

Riješenje. Dijeljenjem 3000 s 25 dobiva se broj 120. Mjerit će se u sekundama.

Odgovor. Propeler aviona napravi 3000 okretaja za 120 s.

Sažmimo to

Kada učenik naiđe na formulu koja sadrži n ili N u problemu fizike, treba mu baviti se s dvije točke. Prvo je iz koje grane fizike je data jednakost. To može biti jasno iz naslova udžbenika, priručnika ili riječi učitelja. Zatim biste trebali odlučiti što se krije iza mnogostranog "en". Štoviše, naziv mjernih jedinica pomaže u tome, ako je, naravno, navedena njihova vrijednost. Dopuštena je i druga opcija: pažljivo pogledajte preostala slova u formuli. Možda će se pokazati poznatima i nagovijestiti problem koji je u pitanju.

Konstruiranje crteža nije lak zadatak, ali bez njega moderni svijet nema šanse. Uostalom, da biste napravili čak i najobičniji predmet (mali vijak ili maticu, policu za knjige, dizajn nove haljine itd.), prvo morate izvršiti odgovarajuće izračune i nacrtati crtež budući proizvod. Međutim, često jedna osoba to nacrta, a druga osoba proizvede nešto prema ovoj shemi.

Kako bi se izbjegla zabuna u razumijevanju prikazanog objekta i njegovih parametara, prihvaćen je u cijelom svijetu simboli duljina, širina, visina i druge veličine koje se koriste u dizajnu. Što su oni? Hajde da vidimo.

Količine

Površina, visina i druge oznake slične prirode nisu samo fizičke, već i matematičke veličine.

Njihova jednoslovna oznaka (koju koriste sve zemlje) ustanovljena je sredinom dvadesetog stoljeća Međunarodnim sustavom jedinica (SI) i koristi se i danas. Zbog toga su svi takvi parametri naznačeni latinicom, a ne ćirilicom ili arapskim pismom. Kako ne bi stvarali pojedinačne poteškoće, pri izradi projektne dokumentacije standardi u većini moderne zemlje odlučeno je koristiti praktički iste simbole koji se koriste u fizici ili geometriji.

Svaki maturant sjeća se da, ovisno o tome je li dvodimenzionalna ili trodimenzionalna figura (proizvod) prikazana na crtežu, ima skup osnovnih parametara. Ako postoje dvije dimenzije, to su širina i duljina, ako postoje tri, dodaje se i visina.

Dakle, prvo, saznajmo kako pravilno naznačiti duljinu, širinu, visinu na crtežima.

Širina

Kao što je gore spomenuto, u matematici je dotična veličina jedna od tri prostorne dimenzije bilo kojeg objekta, pod uvjetom da se njezina mjerenja vrše u poprečnom smjeru. Pa po čemu je širina poznata? Označava se slovom "B". Ovo je poznato u cijelom svijetu. Štoviše, prema GOST-u dopušteno je koristiti i velika i mala latinična slova. Često se postavlja pitanje zašto je odabrano baš ovo slovo. Uostalom, skraćenica se obično pravi prema prvom grčkom odn englesko ime količinama. U ovom slučaju, širina na engleskom će izgledati kao "width".

Vjerojatno se ovdje radi o tome da je ovaj parametar najviše široka primjena prvobitno imao u geometriji. U ovoj znanosti, kada se opisuju figure, duljina, širina, visina često se označavaju slovima "a", "b", "c". Prema toj tradiciji, prilikom odabira, slovo "B" (ili "b") posuđeno je iz SI sustava (iako su se za druge dvije dimenzije počeli koristiti simboli koji nisu geometrijski).

Većina vjeruje da je to učinjeno kako se ne bi brkala širina (označena slovom "B"/"b") s težinom. Činjenica je da se potonji ponekad naziva "W" (skraćenica za engleski naziv weight), iako je korištenje drugih slova ("G" i "P") također prihvatljivo. Prema međunarodnim standardima SI sustava, širina se mjeri u metrima ili višekratnicima (višekratnicima) njihovih jedinica. Vrijedno je napomenuti da je u geometriji ponekad također prihvatljivo koristiti "w" za označavanje širine, ali u fizici i dr. egzaktne znanosti Ova oznaka se općenito ne koristi.

Duljina

Kao što je već spomenuto, u matematici su duljina, visina i širina tri prostorne dimenzije. Štoviše, ako je širina linearna dimenzija u poprečnom smjeru, tada je duljina u uzdužnom smjeru. S obzirom na to kao kvantitet fizike, može se razumjeti da ova riječ označava numeričku karakteristiku duljine linija.

U Engleski jezik ovaj pojam se naziva dužina. Zbog toga je ova vrijednost označena velikim ili malim početnim slovom riječi - "L". Kao i širina, duljina se mjeri u metrima ili njihovim višekratnicima (višekratnicima).

Visina

Prisutnost ove vrijednosti ukazuje na to da imamo posla sa složenijim - trodimenzionalnim prostorom. Za razliku od duljine i širine, visina numerički karakterizira veličinu objekta u okomitom smjeru.

Na engleskom se piše kao "height". Stoga se prema međunarodnim standardima označava latiničnim slovom "H" / "h". Osim visine, na crtežima ponekad ovo slovo služi i kao oznaka za dubinu. Visina, širina i duljina - svi ti parametri mjere se u metrima i njihovim višekratnicima i podvišekratnicima (kilometrima, centimetrima, milimetrima itd.).

Radijus i promjer

Osim navedenih parametara, prilikom izrade crteža morate se pozabaviti i drugima.

Na primjer, kada radite s krugovima, postaje potrebno odrediti njihov polumjer. Ovo je naziv segmenta koji povezuje dvije točke. Prvi od njih je centar. Drugi se nalazi izravno na samom krugu. Na latinskom ova riječ izgleda kao "radius". Otuda mala ili velika "R"/"r".

Prilikom crtanja krugova, osim radijusa, često se morate nositi s fenomenom koji mu je blizak - promjerom. To je također isječak koji povezuje dvije točke na kružnici. U ovom slučaju, nužno prolazi kroz središte.

Brojčano, promjer je jednak dvama polumjerima. Na engleskom se ova riječ piše ovako: "promjer". Otuda i kratica - veliko ili malo latinično slovo "D" / "d". Često je promjer na crtežima označen pomoću prekriženog kruga - "Ø".

Iako je ovo uobičajena kratica, vrijedi imati na umu da GOST predviđa korištenje samo latinskog "D" / "d".

Debljina

Većina nas se sjeća školskih lekcija matematike. Već tada su nam učitelji rekli da je uobičajeno koristiti latinično slovo “s” za označavanje veličine kao što je površina. Međutim, prema općeprihvaćenim standardima, na crtežima se na ovaj način piše potpuno drugačiji parametar - debljina.

Zašto je to? Poznato je da se kod visine, širine, dužine označavanje slovima može objasniti njihovim pisanjem ili tradicijom. Samo što debljina na engleskom izgleda kao "thickness", a na latinskom kao "crassities". Također nije jasno zašto se, za razliku od ostalih veličina, debljina može označavati samo malim slovima. Oznaka "s" također se koristi za opisivanje debljine stranica, stijenki, rebara itd.

Opseg i površina

Za razliku od svih gore navedenih veličina, riječ “perimetar” nije došla iz latinskog ili engleskog, već iz grčki jezik. Izvedeno je od "περιμετρέο" ("mjera opsega"). I danas je ovaj izraz zadržao svoje značenje (ukupna duljina granica figure). Nakon toga, riječ je ušla u engleski jezik ("perimetar") i fiksirana je u SI sustavu u obliku kratice sa slovom "P".

Površina je veličina koja pokazuje neko kvantitativno svojstvo geometrijski lik ima dvije dimenzije (duljinu i širinu). Za razliku od svega prethodno navedenog, mjeri se u četvornih metara(kao iu njihovim višekratnicima i višekratnicima). Što se tiče slovne oznake područja, u različitim područjima drugačije je. Na primjer, u matematici ovo je latinično slovo "S", poznato svima od djetinjstva. Zašto je to tako - nema informacija.

Neki ljudi nesvjesno misle da je to zbog engleski pravopis riječi "kvadrat". Međutim, u njemu je matematičko područje "površina", a "kvadrat" je područje u arhitektonskom smislu. Usput, vrijedi zapamtiti da je "kvadrat" naziv geometrijske figure "kvadrat". Stoga biste trebali biti oprezni kada proučavate crteže na engleskom. Zbog prijevoda "područja" u nekim se disciplinama koristi slovo "A" kao oznaka. U rijetkim slučajevima koristi se i "F", ali u fizici ovo slovo označava veličinu koja se naziva "sila" ("fortis").

Druge uobičajene kratice

Oznake za visinu, širinu, duljinu, debljinu, polumjer i promjer najčešće se koriste pri izradi crteža. Međutim, postoje i druge količine koje su također često prisutne u njima. Na primjer, malim slovom "t". U fizici to znači "temperatura", ali prema GOST-u Jedinstveni sustav projektna dokumentacija, ovo slovo je korak (zavojne opruge, itd.). Međutim, ne koristi se kada su u pitanju zupčanici i navoji.

Veliko i malo slovo "A"/"a" (prema istim standardima) na crtežima se koristi ne za označavanje površine, već za udaljenost od središta do središta i od središta do središta. Osim raznih veličina, na crtežima je često potrebno naznačiti kutove različite veličine. U tu svrhu uobičajeno je koristiti mala slova grčke abecede. Najčešće korišteni su "α", "β", "γ" i "δ". Međutim, prihvatljivo je koristiti druge.

Koja norma definira slovno označavanje duljine, širine, visine, površine i drugih veličina?

Kao što je gore navedeno, kako ne bi došlo do nesporazuma pri čitanju crteža, predstavnici različite nacije Usvojeni su zajednički standardi za pisanje slova. Drugim riječima, ako ste u nedoumici oko tumačenja određene kratice, pogledajte GOST-ove. Na taj način ćete naučiti kako ispravno označiti visinu, širinu, duljinu, promjer, radijus i tako dalje.

Prelazeći na fizičke primjene derivata, koristit ćemo malo drugačije oznake od onih prihvaćenih u fizici.

Prvo, mijenja se označavanje funkcija. Zaista, koje ćemo karakteristike razlikovati? Ove funkcije su fizikalne veličine koje ovise o vremenu. Na primjer, koordinata tijela x(t) i njegova brzina v(t) mogu se dati formulama:

(čitaj ¾ix s točkom¿).

Postoji još jedna oznaka za derivacije, vrlo česta i u matematici i u fizici:

(čitaj ¾de x od de te¿).

Zadržimo se detaljnije na značenju notacije (1.16). Matematičar to shvaća na dva načina, ili kao granicu:

ili kao razlomak, čiji je nazivnik vremenski prirast dt, a brojnik takozvani diferencijal dx funkcije x(t). Koncept diferencijala nije kompliciran, ali nećemo sada raspravljati o njemu; čeka te u prvoj godini.

Fizičar, koji nije ograničen zahtjevima matematičke strogosti, shvaća notaciju (1.16) neformalnije. Neka je dx promjena koordinate tijekom vremena dt. Uzmimo interval dt toliko malen da omjer dx=dt bude blizu svoje granice (1.17) s točnošću koja nam odgovara.

I onda je, reći će fizičar, derivacija koordinate u odnosu na vrijeme jednostavno razlomak, čiji brojnik sadrži dovoljno malu promjenu koordinate dx, a nazivnik dovoljno mali vremenski period dt tijekom kojeg je ta promjena u koordinatnom dogodila.

Takvo labavo razumijevanje derivacije tipično je za razmišljanje u fizici. Nadalje ćemo se pridržavati ove fizičke razine strogosti.

Derivacija x(t) fizikalne veličine x(t) opet je funkcija vremena, a ta se funkcija opet može diferencirati kako bi se dobila derivacija derivacije ili druga derivacija funkcije x(t). Evo jedne oznake za drugu derivaciju:

drugu derivaciju funkcije x(t) označavamo s x(t)

(čitaj ¾ix s dvije točkice¿), ali evo još jednog:

druga derivacija funkcije x(t) označava se dt 2

(čitaj ¾de dva x po de te kvadrat¿ ili ¾de dva x po de te dva puta¿).

Vratimo se izvornom primjeru (1.13) i izračunajmo derivaciju koordinate, a ujedno pogledajmo zajedničku upotrebu notacije (1.15) i (1.16):

x(t) = 1 + 12t 3t2 )

x(t) = dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Simbol razlikovanja dt d prije zagrade isti je kao i prosti znak iza zagrade u prethodnoj notaciji.)

Imajte na umu da se pokazalo da je derivacija koordinate jednaka brzini (1.14). Ovo nije slučajnost. Povezanost derivacije koordinate i brzine tijela bit će razjašnjena u sljedećem odjeljku “Mehaničko gibanje”.

1.1.7 Granica vektorske veličine

Fizičke veličine nisu samo skalarne, već i vektorske. Stoga nas često zanima brzina promjene vektorske veličine, odnosno derivacije vektora. Međutim, prije nego što govorimo o derivaciji, moramo razumjeti koncept granice vektorske veličine.

Promotrimo niz vektora ~u1 ; ~u2 ; ~u3 ; : : : Nakon što smo napravili, ako je potrebno, paralelni prijevod, dovodimo njihova ishodišta u jednu točku O (sl. 1.5):

Pretpostavimo da je niz točaka A1 ; A2 ; A3; : : : ¾teče¿2 do točke B:

lim An = B:

Označimo ~v = OB. Reći ćemo tada da niz plavih vektora ~un teži crvenom vektoru ~v, ili da je vektor ~v granica niza vektora ~un:

~v = lim ~un :

2 Intuitivno razumijevanje ovog “utjecanja” sasvim je dovoljno, no možda vas zanima strože objašnjenje? Onda je ovdje.

Neka se stvari događaju u avionu. ¾Dotok¿ niza A1 ; A2 ; A3; : : : do točke B znači sljedeće: koliko god mali krug sa središtem u točki B uzmemo, sve točke niza, počevši od neke točke, padat će unutar tog kruga. Drugim riječima, izvan svakog kruga sa središtem B postoji samo konačan broj točaka u našem nizu.

Što ako se dogodi u svemiru? Definicija "utjecanja" malo je izmijenjena: trebate samo zamijeniti riječ "krug" riječju "lopta".

Pretpostavimo sada da su krajevi plavih vektora na Sl. 1.5 izvoditi ne diskretni skup vrijednosti, već kontinuiranu krivulju (na primjer, označenu točkastom linijom). Dakle, nemamo posla s nizom vektora ~un, nego s vektorom ~u(t), koji se mijenja tijekom vremena. To je upravo ono što nam treba u fizici!

Daljnje objašnjenje je gotovo isto. Neka t teži nekoj vrijednosti t0. Ako

u tom slučaju krajevi vektora ~u(t) teku u neku točku B, tada kažemo da je vektor

~v = OB je granica vektorske veličine ~u(t):

t!t0

1.1.8 Diferencijacija vektora

Nakon što smo utvrdili koja je granica vektorske veličine, spremni smo za sljedeći korak uvođenja koncepta derivacije vektora.

Pretpostavimo da postoji neki vektor ~u(t) ovisan o vremenu. To znači da se duljina danog vektora i njegov smjer mogu mijenjati tijekom vremena.

Po analogiji s običnom (skalarnom) funkcijom uvodi se pojam promjene (ili prirasta) vektora. Promjena vektora ~u tijekom vremena t je vektorska veličina:

~u = ~u(t + t) ~u(t):

Imajte na umu da se na desnoj strani ove relacije nalazi vektorska razlika. Promjena vektora ~u prikazana je na sl. 1.6 (sjetimo se da pri oduzimanju vektora dovodimo njihove početke u jednu točku, spajamo krajeve i strelicom “bockamo” vektor od kojeg se vrši oduzimanje).

~u(t) ~u

Riža. 1.6. Promjena vektora

Ako je vremenski interval t dovoljno mali, tada se vektor ~u malo mijenja tijekom tog vremena (u fizici, prema barem, to se uvijek uzima u obzir). Prema tome, ako je pri t ! 0 relacija~u= t teži određenoj granici, tada se ta granica naziva derivacija vektora ~u:

Kada označavamo derivaciju vektora, nećemo koristiti točku na vrhu (jer simbol ~u_ ne izgleda baš dobro) i ograničit ćemo se na zapis (1.18). Ali za derivaciju skalara mi, naravno, slobodno koristimo obje oznake.

Podsjetimo se da je d~u=dt izvedeni simbol. Također se može shvatiti kao razlomak, čiji brojnik sadrži diferencijal vektora ~u, koji odgovara vremenskom intervalu dt. Gore nismo raspravljali o konceptu diferencijala, jer se on ne uči u školi; Ni ovdje nećemo raspravljati o diferencijalu.

Međutim, na fizička razina strogo govoreći, izvod d~u=dt može se smatrati razlomkom, čiji je nazivnik vrlo mali vremenski interval dt, a brojnik odgovarajuća mala promjena d~u vektora ~u. Pri dovoljno malom dt, vrijednost ovog ulomka razlikuje se od

granica na desnoj strani (1.18) je toliko mala da se, uzimajući u obzir raspoloživu točnost mjerenja, ta razlika može zanemariti.

Ovo (ne sasvim strogo) fizikalno razumijevanje derivata bit će nam sasvim dovoljno.

Pravila za razlikovanje vektorskih izraza umnogome su slična pravilima za razlikovanje skalara. Potrebna su nam samo najjednostavnija pravila.

1. Konstantni skalarni faktor izuzima se iz predznaka derivacije: ako je c = const, tada

d(c~u) = c d~u: dt dt

Ovo pravilo koristimo u odjeljku ¾Moment¿ kada je Newtonov drugi zakon

2. Konstantni vektorski množitelj se izvlači iz predznaka derivacije: ako je ~c = const, onda je dt d (x(t)~c) = x(t)~c:

3. Derivacija zbroja vektora jednaka je zbroju njihovih izvodnica:

dt d (~u + ~v) =d~u dt +d~v dt :

Posljednja dva pravila koristit ćemo više puta. Pogledajmo kako rade u najvažnijoj situaciji diferencijacije vektora u prisutnosti pravokutnog koordinatnog sustava OXY Z u prostoru (slika 1.7).

Riža. 1.7. Dekompozicija vektora na bazu

Kao što je poznato, bilo koji vektor ~u može se jednoznačno proširiti u bazi jedinice

vektori ~ ,~ ,~ : i j k

~u = ux i + uy j + uz k:

Ovdje su ux, uy, uz projekcije vektora ~u na koordinatne osi. One su ujedno i koordinate vektora ~u u ovoj bazi.

Vektor ~u u našem slučaju ovisi o vremenu, što znači da su njegove koordinate ux, uy, uz funkcije vremena:

Razlikujmo ovu jednakost. Prvo koristimo pravilo za razlikovanje zbroja:

Dakle, ako vektor ~u ima koordinate (ux; uy; uz), tada su koordinate derivacije d~u=dt derivacije koordinata vektora ~u, naime (ux; uy; uz).

S obzirom na posebnu važnost formule (1.20), dat ćemo izravniji izvod. U trenutku t + t prema (1.19) imamo:

~u(t + t) = ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k:

Zapišimo promjenu vektora ~u:

~u = ~u(t + t) ~u(t) =

Ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k ux (t) i + uy (t) j + uz (t)k =

U granici kod t! 0 razlomke ux = t, uy = t, uz = t redom transformiramo u derivacije ux, uy, uz, te ponovno dobivamo relaciju (1.20):

Ux i + uy j + uz k.