Kako riješiti kvadratne jednadžbe ako je diskriminant negativan. Kvadratne jednadžbe

Diskriminant se, kao i kvadratne jednadžbe, počinje proučavati u kolegiju algebre u 8. razredu. Odlučiti kvadratna jednadžba moguće je preko diskriminante i pomoću Vietinog teorema. Metoda proučavanja kvadratnih jednadžbi, kao i diskriminantnih formula, prilično se neuspješno podučava školarcima, kao i mnogo toga u stvarnom obrazovanju. Stoga prolaze školske godine, obrazovanje od 9. do 11. razreda zamjenjuje " više obrazovanje"i svi opet gledaju - “Kako riješiti kvadratnu jednadžbu?”, “Kako pronaći korijene jednadžbe?”, “Kako pronaći diskriminantu?” I...

Diskriminantna formula

Diskriminant D kvadratne jednadžbe a*x^2+bx+c=0 jednak je D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe ovise o predznaku diskriminante (D):
D>0 – jednadžba ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminante prilično je jednostavna, pa mnoga web-mjesta nude online kalkulator diskriminacije. Još nismo smislili ovu vrstu skripti, pa ako netko zna kako ovo implementirati, neka nam piše na e-mail Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Morate imati omogućen JavaScript da biste ga vidjeli. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijene jednadžbe nalazimo pomoću formule
Ako je koeficijent kvadratne varijable uparen, tada je preporučljivo izračunati ne diskriminant, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima, korijeni jednadžbe nalaze se pomoću formule

Drugi način pronalaženja korijena je Vietin teorem.

Teorem je formuliran ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektroničkim izvorima. No, radi pojednostavljenja, razmotrimo dio koji se tiče gornjih kvadratnih jednadžbi, odnosno jednadžbi oblika (a=1)
Bit Vietinih formula je da je zbroj korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzet sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Vietin teorem može se napisati formulama.
Izvođenje Vietine formule vrlo je jednostavno. Napišimo kvadratnu jednadžbu kroz jednostavne faktore
Kao što možete vidjeti, sve genijalno je jednostavno u isto vrijeme. Učinkovito je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulima korijena ili razlika u modulima korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe, prema Vietinom teoremu, imaju korijene




Do jednadžbe 4, analiza bi trebala izgledati ovako. Proizvod korijena jednadžbe je 6, stoga korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi sa suprotnim predznacima. Zbroj korijena je 7 (koeficijent varijable suprotnog predznaka). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, prilagođavajući im predznak kako bi se ispunile Vieta formule. U početku se to čini teško izvedivim, ali s vježbom na brojnim kvadratnim jednadžbama ova će se tehnika pokazati učinkovitijom od izračunavanja diskriminante i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanata i metoda pronalaženja rješenja jednadžbe lišena je praktičnog značenja - “Zašto školarcima treba kvadratna jednadžba?”, “Koje je fizičko značenje diskriminante?”

Pokušajmo to shvatiti Što opisuje diskriminant?

U kolegiju algebre proučavaju se funkcije, sheme za proučavanje funkcija i konstruiranje grafa funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola čija se jednadžba može napisati u obliku
Dakle, fizikalno značenje kvadratne jednadžbe su nulte točke parabole, odnosno točke presjeka grafa funkcije s apscisnom osi Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, kolokvija ili prijamnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak kvadrata varijable odgovara hoće li grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola s granama prema dolje (a<0) .

Vrh parabole nalazi se na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminant veći od nule (D>0) parabola ima dvije sjecišne točke s osi Ox.
Ako je diskriminant nula (D=0), tada parabola u vrhu dodiruje x-os.
I posljednji slučaj kada je diskriminant manje od nule(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Razmotrimo problem. Osnovica pravokutnika je 10 cm veća od njegove visine, a površina mu je 24 cm². Nađi visinu pravokutnika. Neka x centimetra je visina pravokutnika, tada je njegova baza jednaka ( x+10) cm. Površina ovog pravokutnika je x(x+ 10) cm². Prema uvjetima problema x(x+ 10) = 24. Otvorimo li zagrade i pomaknemo broj 24 sa suprotnim predznakom na lijevu stranu jednadžbe, dobivamo: x² + 10 x-24 = 0. Pri rješavanju ovog zadatka dobivena je jednadžba koja se naziva kvadratna.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika

sjekira ²+ bx+c= 0

Gdje a, b, c- dani brojevi, i A≠ 0, i x- nepoznato.

Izgledi a, b, c Kvadratna jednadžba se obično naziva: a— prvi ili najviši koeficijent, b- drugi koeficijent, c- besplatan član. Na primjer, u našem problemu, vodeći koeficijent je 1, drugi koeficijent je 10, a slobodni član je -24. Rješavanje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Potpune kvadratne jednadžbe. Prvi korak je dovesti zadanu jednadžbu u standardni oblik sjekira²+ bx+ c = 0. Vratimo se našem problemu u kojem se jednadžba može napisati kao x(x+ 10) = 24 dovedimo to u standardni oblik, otvorimo zagrade x² + 10 x- 24 = 0, ovu jednadžbu rješavamo pomoću formule za korijene opće kvadratne jednadžbe.

Izraz ispod znaka korijena u ovoj formuli naziva se diskriminanta D = b² - 4 ak

Ako je D>0, tada kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, koji se mogu pronaći pomoću formule za korijene kvadratne jednadžbe.

Ako je D=0, onda kvadratna jednadžba ima jedan korijen.

Ako D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Zamijenimo vrijednosti u našu formulu A= 1, b= 10, c= -24.

dobivamo D>0, dakle dobivamo dva korijena.

Razmotrimo primjer gdje je D=0, pod ovim uvjetom trebao bi postojati jedan korijen.

25x² — 30 x+ 9 = 0

Razmotrimo primjer gdje je D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Broj pod predznakom korijena (diskriminanta) je negativan, a odgovor pišemo na sljedeći način: jednadžba nema pravih korijena.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba sjekira² + bx+ c= 0 nazivamo nepotpunim ako je barem jedan od koeficijenata b ili c jednaka nuli. Nepotpuna kvadratna jednadžba je jednadžba jednog od sljedećih tipova:

sjekira² = 0,

sjekira² + c= 0, c≠ 0,

sjekira² + bx= 0, b≠ 0.

Pogledajmo nekoliko primjera i riješimo jednadžbu

Dijeljenje obje strane jednadžbe s 5 daje jednadžbu x² = 0, odgovor će imati jedan korijen x= 0.

Razmotrimo jednadžbu oblika

3x² - 27 = 0

Podijelimo li obje strane s 3, dobit ćemo jednadžbu x² - 9 = 0, ili se može napisati x² = 9, odgovor će imati dva korijena x= 3 i x= -3.

Razmotrimo jednadžbu oblika

2x² + 7 = 0

Podijelimo li obje strane s 2, dobit ćemo jednadžbu x² = -7/2. Ova jednadžba nema prave korijene, jer x² ≥ 0 za bilo koji realni broj x.

Razmotrimo jednadžbu oblika

3x² + 5 x= 0

Faktorizirajući lijevu stranu jednadžbe, dobivamo x(3x+ 5) = 0, odgovor će imati dva korijena x= 0, x=-5/3.

Najvažnija stvar kod rješavanja kvadratnih jednadžbi je dovesti kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, zapamtiti formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe i ne zbuniti se u znakovima.

U izrazu "kvadratna jednadžba", ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednadžba nužno mora sadržavati varijablu (taj isti x) na kvadrat i ne smije biti x-ova na treću (ili veću) potenciju.

Rješavanje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednadžba, a ne neka druga jednadžba.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednadžbe s

Pomaknimo sve na lijevu stranu i posložimo članove u silazni red potencija X

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožite lijevu i desnu stranu s:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, to je reducirano - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Oni su nepotpuni jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! Inače, to više neće biti kvadratna jednadžba, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela određena je metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Budući da znamo kako izvući kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje samo izvaditi korijen s lijeve i desne strane. Uostalom, sjećate se kako vaditi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijene matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo odustati od primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

Zapamtiti, Bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom vrlo je jednostavno, glavno je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen.Potrebno je obratiti posebnu pozornost na korak. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Diskriminantu nalazimo:

To znači da nećemo moći izdvojiti korijen diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako pravilno zapisati takve odgovore.

Odgovor: bez korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se naziva reducirana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer .

Zbroj korijena jednadžbe je jednak, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sustav:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Dana je jednadžba, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznata, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - slobodan član.

Zašto? Jer ako jednadžba odmah postane linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj stolici jednadžba se naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Razlikujemo sljedeće vrste jednadžbi:

I., u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada pogledajmo rješenje za svaku od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Kvadrat broja ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Nema potrebe pamtiti ove formule. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Rastavimo lijevu stranu jednadžbe i pronađimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen iz diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. Što uraditi? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijene:
• Ako, onda jednadžba ima iste korijene, a zapravo, jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguć različit broj korijena? Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednadžbe. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s osi apscisa (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Vrlo je jednostavno koristiti Vietin teorem: potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je umnožak jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo u reducirane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova se jednadžba može riješiti pomoću Vietinog teorema jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Za dobivanje je dovoljno jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbroj korijena jednak razlike njihovih modula.

Izaberimo parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: razlika im je jednaka – ne pristaje;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Sve što ostaje je zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, korijen s manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Dana je jednadžba, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da, prema barem, jedan od korijena je negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Izaberimo parove brojeva čiji je umnožak jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Kako biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naš omiljeni Vieta teorem: zbroj mora biti jednak, a umnožak mora biti jednak.

Ali budući da mora biti ne, ali, mijenjamo predznake korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Sve pojmove trebate premjestiti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

U redu, stani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate dati jednadžbu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Sjajno. Tada je zbroj korijena jednak i umnošku.

Ovdje je odabir jednostavan kao guljenje krušaka: ipak je to prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodan član je negativan. Što je posebno u vezi ovoga? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku u njihovim modulima: ta je razlika jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što trebate učiniti prvo? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u danim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vietinog teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cijelih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira cijelog kvadrata

Ako su svi članovi koji sadrže nepoznanicu prikazani u obliku članova iz skraćenih formula množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon zamjene varijabli može prikazati u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća te ni na što? Ovo je diskriminirajuća stvar! Upravo tako smo dobili formulu diskriminacije.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba- ovo je jednadžba oblika, gdje su - nepoznanica, - koeficijenti kvadratne jednadžbe, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba izgleda ovako: ,
• ako postoji slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika gdje) je jednak, a umnožak korijena je jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata

Ako kvadratna jednadžba oblika ima korijene, tada se može napisati u obliku: .

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Diskriminantom se rješavaju samo potpune kvadratne jednadžbe, dok se za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednadžbe nazivaju potpunima? Ovaj jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, gdje koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili kompletnu kvadratnu jednadžbu, moramo izračunati diskriminantu D.

D = b 2 – 4ac.

Ovisno o vrijednosti diskriminante, zapisat ćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminant nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednadžbu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi pomoću dijagrama na slici 1.

Pomoću ovih formula možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo trebaš paziti da jednadžba je napisana kao polinom standardnog oblika

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, kada pišete jednadžbu x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno zaključiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada je

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A ovo nije istina. (Pogledajte rješenje za primjer 2 gore).

Dakle, ako jednadžba nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednadžba mora napisati kao polinom standardnog oblika (prvi treba biti monom s najvećim eksponentom, tj. A x 2 , zatim s manje – bx a zatim slobodan član S.

Kod rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Upoznajmo se s ovim formulama. Ako u potpunoj kvadratnoj jednadžbi drugi član ima paran koeficijent (b = 2k), tada možete riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih u dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se reduciranom ako je koeficijent pri x 2 jednako jedan a jednadžba će dobiti oblik x 2 + px + q = 0. Takva se jednadžba može dati za rješenje ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednadžbe s koeficijentom A, stoji na x 2 .

Slika 3 prikazuje dijagram za rješavanje reduciranog kvadrata
jednadžbe. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednadžbu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih u dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočimo da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi s 3 i izvođenjem dijeljenja dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednadžbu pomoću formula za reduciranu kvadratnu jednadžbu
jednadžbe slika 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidimo, pri rješavanju ove jednadžbe prema razne formule dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito svladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

KOMPLEKSNI BROJEVI XI

§ 253. Vađenje kvadratnih korijena iz negativnih brojeva.
Rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantima

Kao što znamo,

ja 2 = - 1.

U isto vrijeme

(- ja ) 2 = (- 1 ja ) 2 = (- 1) 2 ja 2 = -1.

Dakle, postoje najmanje dvije vrijednosti kvadratnog korijena od -1, naime ja i - ja . Ali možda postoje neki drugi kompleksni brojevi čiji su kvadrati jednaki - 1?

Da bismo razjasnili ovo pitanje, pretpostavimo da je kvadrat kompleksnog broja a + bi jednak je - 1. Zatim

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im jednaki realni dijelovi i koeficijenti njihovih imaginarnih dijelova. Zato

{	A 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Prema drugoj jednadžbi sustava (1), barem jedan od brojeva A I b mora biti nula. Ako b = 0, tada iz prve jednadžbe dobivamo A 2 = - 1. Broj A stvarno, i stoga A 2 > 0. Nenegativan broj A 2 ne može biti jednako negativan broj- 1. Stoga jednakost b = 0 u ovom slučaju nije moguće. Ostaje da priznamo da A = 0, ali tada iz prve jednadžbe sustava dobivamo: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Stoga su jedini složeni brojevi čiji su kvadrati -1 ja i - ja , Konvencionalno, ovo je napisano u obliku:

√-1 = ± ja .

Sličnim razmišljanjem učenici se mogu uvjeriti da postoje točno dva broja čiji su kvadrati jednaki negativnom broju - A . Takvi brojevi su √ a ja i -√ a ja . Konvencionalno se piše ovako:

√- A = ± √ a ja .

Pod √ a ovdje mislimo na aritmetički, odnosno pozitivni korijen. Na primjer, √4 = 2, √9 =.3; Zato

√-4 = + 2ja , √-9 = ± 3 ja

Ako smo prije, razmatrajući kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantima, govorili da takve jednadžbe nemaju korijena, sada to više ne možemo reći. Kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantima imaju kompleksne korijene. Ti se korijeni dobivaju prema nama poznatim formulama. Neka je, na primjer, dana jednadžba x 2 + 2x + 5 = 0; Zatim

x 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 ja .

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: x 1 = - 1 +2ja , x 2 = - 1 - 2ja . Ovi su korijeni međusobno konjugirani. Zanimljivo je primijetiti da je njihov zbroj - 2, a umnožak 5, pa vrijedi Vietin teorem.

Vježbe

2022. (Skup br.) Riješi jednadžbe:

A) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; u 3 x 2 = - 5.

2023. Nađi sve kompleksne brojeve čiji su kvadrati jednaki:

A) ja ; b) 1/2 - √ 3/2 ja ;

2024. Riješite kvadratne jednadžbe:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Riješite sustave jednadžbi (br. 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2x- 3g = 1 xy = 1

2027. Dokažite da su korijeni kvadratne jednadžbe s realnim koeficijentima i negativnim diskriminantom međusobno konjugirani.

2028. Dokažite da je Vietin teorem točan za sve kvadratne jednadžbe, a ne samo za jednadžbe s nenegativnom diskriminantom.

2029. Sastavite kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima čiji su korijeni:

a) x 1 = 5 - ja , x 2 = 5 + ja ; b) x 1 = 3ja , x 2 = - 3ja .

2030. Sastavite kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima čiji je jedan korijen jednak (3 - ja ) (2ja - 4).

2031. Sastavite kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima čiji je jedan korijen jednak 32 - ja
1- 3ja .