Kako pronaći broj na negativnu potenciju. Stupanj i njegova svojstva

Iz škole svi znamo pravilo o potenciranju: svaki broj s eksponentom N jednak je rezultatu množenja tog broja samim sobom N broj puta. Drugim riječima, 7 na potenciju 3 je 7 pomnoženo samim sobom tri puta, to jest 343. Drugo pravilo je da podizanje bilo koje količine na potenciju 0 daje jedan, a povećanje negativne količine rezultat je običnog podizanja na stepen ako je paran, a isti rezultat s predznakom minus ako je neparan.

Pravila također daju odgovor kako podići broj na negativan stupanj. Da biste to učinili, morate graditi na uobičajeni način traženu vrijednost po modulu indikatora, a zatim podijelite jedinicu s rezultatom.

Iz ovih pravila postaje jasno da će izvođenje stvarnih zadataka koji uključuju velike količine zahtijevati prisutnost tehnička sredstva. Ručno možete sami množiti maksimalan raspon brojeva do dvadeset do trideset, a zatim ne više od tri ili četiri puta. Ovo ne spominje dijeljenje jednog s rezultatom. Stoga, za one koji nemaju pri ruci poseban inženjerski kalkulator, reći ćemo vam kako podići broj na negativnu snagu u Excelu.

Rješavanje problema u Excelu

Za rješavanje problema koji uključuju potenciranje, Excel vam omogućuje korištenje jedne od dvije mogućnosti.

Prva je uporaba formule sa standardnim znakom "poklopac". Unesite sljedeće podatke u ćelije radnog lista:

Na isti način možete podići željenu vrijednost na bilo koju snagu - negativnu, frakcijsku. Učinimo to sljedeće radnje te odgovoriti na pitanje kako broj podići na negativnu potenciju. Primjer:

Možete ispraviti =B2^-C2 izravno u formuli.

Druga opcija je korištenje gotove funkcije "Stupanj", koja uzima dva potrebna argumenta - broj i eksponent. Da biste je počeli koristiti, samo stavite znak jednakosti (=) u bilo koju slobodnu ćeliju, označavajući početak formule, i unesite gornje riječi. Ostaje samo odabrati dvije ćelije koje će sudjelovati u operaciji (ili ručno odrediti određene brojeve) i pritisnuti tipku Enter. Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u tome kako podići broj na negativnu i redovnu snagu pomoću programa Excel. Uostalom, da biste riješili ovaj problem, možete koristiti i poznati simbol "poklopca" i funkciju ugrađenu u program, koju je lako zapamtiti. Ovo je definitivan plus!

Prijeđimo na više složeni primjeri. Prisjetimo se pravila o tome kako podići broj na negativnu razlomku, pa ćemo vidjeti da se ovaj problem vrlo jednostavno rješava u Excelu.

Frakcijski pokazatelji

Ukratko, algoritam za izračunavanje broja s razlomačkim eksponentom je sljedeći.

1. Pretvori razlomak u pravi ili nepravi razlomak.
2. Podignite naš broj na brojnik dobivenog pretvorenog razlomka.
3. Iz broja dobivenog u prethodnom odlomku izračunajte korijen, uz uvjet da će eksponent korijena biti nazivnik razlomka dobivenog u prvoj fazi.

Složite se da čak i kada operirate s malim brojevima i pravilni razlomci Takvi izračuni mogu potrajati dosta vremena. Dobro je što Excel tablični procesor ne mari koji se broj podiže na koju snagu. Pokušajte riješiti sljedeći primjer na Excel radnom listu:

Pomoću gornjih pravila možete provjeriti i uvjeriti se da je izračun ispravno izvršen.

Na kraju našeg članka prikazat ćemo u obliku tablice s formulama i rezultatima nekoliko primjera kako podići broj na negativnu potenciju, kao i nekoliko primjera rada s razlomačkim brojevima i potencijama.

Primjer tablice

Pogledajte sljedeće primjere u svom Excel radnom listu. Da bi sve radilo ispravno, trebate koristiti mješovitu referencu prilikom kopiranja formule. Popravite broj stupca koji sadrži broj koji se podiže i broj retka koji sadrži indikator. Vaša bi formula trebala izgledati otprilike ovako: "=$B4^C$3."

Imajte na umu da se pozitivni brojevi (čak i necijeli) mogu izračunati bez problema za bilo koji eksponent. Nema problema s podizanjem bilo kojeg broja na cijele brojeve. Ali dizanje negativnog broja na razlomačku potenciju za vas će se pokazati kao greška, jer je nemoguće poštovati pravilo navedeno na početku našeg članka o dizanju negativnih brojeva, jer je parnost karakteristika isključivo CIJELOG broja.

U ovom ćemo članku otkriti što je to stupanj od. Ovdje ćemo dati definicije potencije broja, dok ćemo detaljno razmotriti sve moguće eksponente, počevši od prirodnog eksponenta do iracionalnog. U materijalu ćete pronaći puno primjera stupnjeva koji pokrivaju sve suptilnosti koje se pojavljuju.

Navigacija po stranici.

Potencija s prirodnim eksponentom, kvadrat broja, kub broja

Počnimo s . Gledajući unaprijed, recimo da je za a dana definicija potencije broja a s prirodnim eksponentom n, koju ćemo nazvati diplomska osnova, i n, koje ćemo nazvati eksponent. Također napominjemo da se stupanj s prirodnim eksponentom određuje kroz umnožak, pa da biste razumjeli materijal u nastavku morate imati razumijevanje množenja brojeva.

Definicija.

Potencija broja s prirodnim eksponentom n je izraz oblika a n, čija je vrijednost jednaka umnošku n faktora, od kojih je svaki jednak a, tj.
Konkretno, potencija broja a s eksponentom 1 je sam broj a, odnosno a 1 =a.

Vrijedno je odmah spomenuti pravila za čitanje diploma. Univerzalni način čitanja zapisa a n je: "a na potenciju n". U nekim su slučajevima prihvatljive i sljedeće opcije: "a na n-tu potenciju" i "n-ta potencija od a". Na primjer, uzmimo stepen 8 12, ovo je “osam na dvanaesti stepen”, ili “osam na dvanaesti stepen”, ili “dvanaesti stepen od osam”.

Druga potencija broja, kao i treća potencija broja, imaju svoja imena. Druga potencija broja zove se kvadrat broja, na primjer, 7 2 se čita kao "sedam na kvadrat" ili "kvadrat broja sedam". Treća potencija broja zove se kubni brojevi, na primjer, 5 3 se može čitati kao "pet kockica" ili možete reći "kocka broja 5".

Vrijeme je za donošenje primjeri stupnjeva s prirodnim eksponentima. Počnimo sa stupnjem 5 7, ovdje je 5 baza stupnja, a 7 je eksponent. Navedimo još jedan primjer: 4,32 je baza, a prirodni broj 9 je eksponent (4,32) 9 .

Imajte na umu da je u posljednjem primjeru baza potencije 4.32 napisana u zagradama: da bismo izbjegli nedosljednosti, u zagrade ćemo staviti sve baze potencije koje se razlikuju od prirodnih brojeva. Kao primjer dajemo sljedeće stupnjeve s prirodnim eksponentima , njihove baze nisu prirodni brojevi pa se pišu u zagradama. Pa, radi potpune jasnoće, na ovom ćemo mjestu pokazati razliku sadržanu u zapisima oblika (−2) 3 i −2 3. Izraz (−2) 3 je potencija od −2 s prirodnim eksponentom 3, a izraz −2 3 (može se napisati kao −(2 3) ) odgovara broju, vrijednosti potencije 2 3 .

Imajte na umu da postoji oznaka za potenciju broja a s eksponentom n oblika a^n. Štoviše, ako je n prirodan broj s više vrijednosti, eksponent se uzima u zagradi. Na primjer, 4^9 je još jedna oznaka za potenciju 4 9 . Evo još nekoliko primjera pisanja stupnjeva pomoću simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . U nastavku ćemo primarno koristiti stupanjski zapis oblika a n .

Jedan od problema obrnut uzdizanju na potenciju s prirodnim eksponentom je problem pronalaženja baze potencije pomoću poznata vrijednost stupanj i poznati pokazatelj. Ovaj zadatak vodi do .

Poznato je da mnogi racionalni brojevi sastoji se od cijelih i razlomačkih brojeva, a svaki se razlomački broj može prikazati kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stupanj s cjelobrojnim eksponentom definirali smo u prethodnom odlomku, stoga, da bismo dovršili definiciju stupnja s racionalnim eksponentom, trebamo dati značenje stupnju broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje m je cijeli broj, a n je prirodan broj. Učinimo to.

Razmotrimo stupanj s frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo moć-na-potencijalo ostalo valjano, mora vrijediti jednakost . Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i kako smo odredili , onda je logično prihvatiti je pod uvjetom da za zadane m, n i a izraz ima smisla.

Lako je provjeriti da za sve vrijede svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom (to je učinjeno u odjeljku svojstva stupnja s racionalnim eksponentom).

Gornje obrazloženje omogućuje nam sljedeće zaključak: ako je zadano m, n i a izraz ima smisla, tada se potencija od a s razlomačkim eksponentom m/n naziva n-ti korijen od a na potenciju od m.

Ova nas izjava približava definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Sve što preostaje je opisati pri kojim m, n i a izraz ima smisla. Ovisno o ograničenjima koja se postavljaju na m, n i a, postoje dva glavna pristupa.

Najlakši način je nametnuti ograničenje na a uzimajući a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativno m (jer za m≤0 stupanj 0 od m nije definiran). Tada dobivamo sljedeću definiciju stupnja s razlomačkim eksponentom.

Definicija.

Potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se n-ti korijen broja a na potenciju m, to jest .

Frakcijska snaga nule također se određuje uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule s razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n, gdje je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj, definira se kao .
Kada stupanj nije određen, odnosno stupanj broja nula s razlomačkim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba primijetiti da kod ove definicije stupnja s razlomačkim eksponentom postoji jedno upozorenje: za neka negativna a i neke m i n izraz ima smisla, a te smo slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla ili , a gornja definicija nas tjera da kažemo da potencije s razlomačkim eksponentom oblika nema smisla jer baza ne bi trebala biti negativna.

Drugi pristup određivanju stupnja s razlomačkim eksponentom m/n je odvojeno razmatranje parnih i neparnih eksponenata korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: potencijom broja a, čiji je eksponent, smatramo potenciju broja a, čiji je eksponent odgovarajući nesvodivi razlomak (u nastavku ćemo objasniti važnost ovog uvjeta). To jest, ako je m/n nesvodivi razlomak, tada se za bilo koji prirodni broj k stupanj prvo zamijeni s .

Za parni n i pozitivan m, izraz ima smisla za bilo koji nenegativan a (parni korijen negativnog broja nema smisla); za negativan m, broj a još uvijek mora biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja nulom). I za neparan n i pozitivan m, broj a može biti bilo koji (korijen neparnog stupnja definiran je za bilo koji realni broj), a za negativan m, broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja s nula).

Gornje razmišljanje dovodi nas do ove definicije stupnja s frakcijskim eksponentom.

Definicija.

Neka je m/n nesvodivi razlomak, m cijeli broj, a n prirodan broj. Za svaki reducibilni razlomak, stupanj se zamjenjuje s . Potencija broja s neumanjivim razlomačkim eksponentom m/n je za



Objasnimo zašto se stupanj s reducibilnim razlomačkim eksponentom prvo zamijeni stupnjem s nesvodivim eksponentom. Kad bismo stupanj jednostavno definirali kao , a ne ogradili se od nesvodivosti razlomka m/n, tada bismo se suočili sa situacijama sličnim sljedećoj: budući da je 6/10 = 3/5, tada mora vrijediti jednakost , Ali , A .

Dizanje na negativnu potenciju jedan je od temeljnih elemenata matematike koji se često susreće pri rješavanju algebarskih problema. Ispod su detaljne upute.

Kako podići na negativnu potenciju - teorija

Kad broj dižemo na običnu potenciju, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 = 3×3×3 = 27. S negativnim razlomkom vrijedi suprotno. Opći obrazac prema formuli to će izgledati ovako: a -n = 1/a n. Dakle, da biste podigli broj na negativnu potenciju, trebate jedan podijeliti s danim brojem, ali na pozitivnu.

Kako podići na negativnu potenciju - primjeri na običnim brojevima

Imajući na umu gornje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Ali zašto su odgovori u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da kada se negativan broj podigne na parnu potenciju (2, 4, 6 itd.), predznak postaje pozitivan. Da je stupanj paran, minus bi ostao:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako povisiti na negativnu potenciju - brojeve od 0 do 1

Podsjetimo se da kada se broj između 0 i 1 podigne na pozitivnu potenciju, vrijednost se smanjuje kako se potencija povećava. Na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (redoslijed radnji):

• Mi prevodimo decimal 0,5 do razlomka 1/2. Lakše je tako.
  Podignite 1/2 na negativnu potenciju. 1/(2) -2 . Podijelimo 1 sa 1/(2) 2, dobivamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na temelju 4. i 5. primjera možemo izvući nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 4), podignut na negativnu potenciju, nije važno da li je potencija parna ili neparna, vrijednost izraza će biti pozitivna. Štoviše, što je veći stupanj, to je veća vrijednost.
• Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 5), podignut na negativnu potenciju, nije važno da li je potencija parna ili neparna, vrijednost izraza će biti negativna. U ovom slučaju, što je viši stupanj, to je niža vrijednost.

Kako podići na negativnu potenciju - potenciju u obliku razlomka

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m/n, gdje je a regularni broj, m je brojnik stupnja, n je nazivnik stupnja.

Pogledajmo primjer:
Izračunajte: 8 -1/3

Rješenje (redoslijed radnji):

• Prisjetimo se pravila dizanja broja na negativnu potenciju. Dobivamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Primijetite da nazivnik ima broj 8 u razlomku. Opći oblik izračuna frakcijske snage je sljedeći: a m/n = n √8 m.
• Prema tome, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobivamo kubni korijen iz osam, koji je jednak 2. Odavde, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

Iz škole svi znamo pravilo o potenciranju: svaki broj s eksponentom N jednak je rezultatu množenja tog broja samim sobom N broj puta. Drugim riječima, 7 na potenciju 3 je 7 pomnoženo samim sobom tri puta, to jest 343. Drugo pravilo je da podizanje bilo koje količine na potenciju 0 daje jedan, a povećanje negativne količine rezultat je običnog podizanja na stepen ako je paran, a isti rezultat s predznakom minus ako je neparan.

Pravila daju i odgovor kako broj podići na negativnu potenciju. Da biste to učinili, morate podići traženu vrijednost za modul indikatora na uobičajeni način, a zatim podijeliti jedinicu s rezultatom.

Iz ovih pravila postaje jasno da će izvođenje stvarnih zadataka koji uključuju velike količine zahtijevati dostupnost tehničkih sredstava. Ručno možete sami množiti maksimalan raspon brojeva do dvadeset do trideset, a zatim ne više od tri ili četiri puta. Ovo ne spominje dijeljenje jednog s rezultatom. Stoga, za one koji nemaju pri ruci poseban inženjerski kalkulator, reći ćemo vam kako podići broj na negativnu snagu u Excelu.

Rješavanje problema u Excelu

Za rješavanje problema koji uključuju potenciranje, Excel vam omogućuje korištenje jedne od dvije mogućnosti.

Prva je uporaba formule sa standardnim znakom "poklopac". Unesite sljedeće podatke u ćelije radnog lista:

Na isti način možete podići željenu vrijednost na bilo koju snagu - negativnu, frakcijsku. Provedimo sljedeće korake i odgovorimo na pitanje kako podići broj na negativnu potenciju. Primjer:

Možete ispraviti =B2^-C2 izravno u formuli.

Druga opcija je korištenje gotove funkcije "Stupanj", koja uzima dva potrebna argumenta - broj i eksponent. Da biste je počeli koristiti, samo stavite znak jednakosti (=) u bilo koju slobodnu ćeliju, označavajući početak formule, i unesite gornje riječi. Ostaje samo odabrati dvije ćelije koje će sudjelovati u operaciji (ili ručno odrediti određene brojeve) i pritisnuti tipku Enter. Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u tome kako podići broj na negativnu i redovnu snagu pomoću programa Excel. Uostalom, da biste riješili ovaj problem, možete koristiti i poznati simbol "poklopca" i funkciju ugrađenu u program, koju je lako zapamtiti. Ovo je definitivan plus!

Prijeđimo na složenije primjere. Prisjetimo se pravila o tome kako podići broj na negativnu razlomku, pa ćemo vidjeti da se ovaj problem vrlo jednostavno rješava u Excelu.

Frakcijski pokazatelji

Ukratko, algoritam za izračunavanje broja s razlomačkim eksponentom je sljedeći.

1. Pretvori razlomak u pravi ili nepravi razlomak.
2. Podignite naš broj na brojnik dobivenog pretvorenog razlomka.
3. Iz broja dobivenog u prethodnom odlomku izračunajte korijen, uz uvjet da će eksponent korijena biti nazivnik razlomka dobivenog u prvoj fazi.

Složite se da čak i kada radite s malim brojevima i pravilnim razlomcima, takvi izračuni mogu potrajati puno vremena. Dobro je što Excel tablični procesor ne mari koji se broj podiže na koju snagu. Pokušajte riješiti sljedeći primjer na Excel radnom listu:

Pomoću gornjih pravila možete provjeriti i uvjeriti se da je izračun ispravno izvršen.

Na kraju našeg članka prikazat ćemo u obliku tablice s formulama i rezultatima nekoliko primjera kako podići broj na negativnu potenciju, kao i nekoliko primjera rada s razlomačkim brojevima i potencijama.

Primjer tablice

Pogledajte sljedeće primjere u svom Excel radnom listu. Da bi sve radilo ispravno, trebate koristiti mješovitu referencu prilikom kopiranja formule. Popravite broj stupca koji sadrži broj koji se podiže i broj retka koji sadrži indikator. Vaša bi formula trebala izgledati otprilike ovako: "=$B4^C$3."

Imajte na umu da se pozitivni brojevi (čak i necijeli) mogu izračunati bez problema za bilo koji eksponent. Nema problema s podizanjem bilo kojeg broja na cijele brojeve. Ali dizanje negativnog broja na razlomačku potenciju za vas će se pokazati kao greška, jer je nemoguće poštovati pravilo navedeno na početku našeg članka o dizanju negativnih brojeva, jer je parnost karakteristika isključivo CIJELOG broja.

Broj podignut na potenciju Nazivaju broj koji je pomnožen sam sa sobom nekoliko puta.

Potencija broja s negativnom vrijednošću (a - n) može se odrediti na sličan način kao što se određuje potencija istog broja s pozitivnim eksponentom (a n) . Međutim, također zahtijeva dodatnu definiciju. Formula je definirana kao:

a-n = (1/a n)

Svojstva negativnih potencija brojeva slična su potencijama s pozitivnim eksponentom. Prikazana jednadžba a m/a n= a m-n može biti fer kao

« Nigdje, kao u matematici, jasnoća i točnost zaključka ne dopušta osobi da se izmigolji od odgovora pričajući oko pitanja».

A. D. Aleksandrov

na n više m , i sa m više n . Pogledajmo primjer: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Prvo morate odrediti broj koji služi kao definicija stupnja. b=a(-n) . U ovom primjeru -n je eksponent b - željenu numeričku vrijednost, a - osnovica diplome u obliku prirodnog brojčana vrijednost. Zatim odredite modul, odnosno apsolutnu vrijednost negativnog broja koji ima ulogu eksponenta. Izračunajte stupanj zadanog broja u odnosu na apsolutni broj, kao pokazatelj. Vrijednost stupnja dobiva se dijeljenjem jedan s dobivenim brojem.

Riža. 1

Razmotrite potenciju broja s negativnim razlomačkim eksponentom. Zamislimo da je broj a bilo koji pozitivan broj, brojevi n I m - cijeli brojevi. Prema definiciji a , koji je podignut na snagu - jednako je jedan podijeljen s istim brojem s pozitivnom potencijom (slika 1). Kada je potencija broja razlomak, tada se u takvim slučajevima koriste samo brojevi s pozitivnim eksponentima.

Vrijedi zapamtiti da nula nikada ne može biti eksponent broja (pravilo dijeljenja nulom).

Širenje takvog koncepta kao broja postalo je takve manipulacije kao što su izračuni mjerenja, kao i razvoj matematike kao znanosti. Uvođenje negativnih vrijednosti bilo je posljedica razvoja algebre, koja je dala opća rješenja aritmetički problemi, bez obzira na njihovo specifično značenje i početne brojčane podatke. U Indiji još u 6.-11.st negativne vrijednosti brojevi su se sustavno koristili tijekom rješavanja problema i tumačili su se na isti način kao i danas. U europskoj znanosti negativni brojevi počeli su se široko koristiti zahvaljujući R. Descartesu, koji je dao geometrijsku interpretaciju negativni brojevi, kao smjerovi segmenata. Descartes je bio taj koji je predložio da se broj podignut na potenciju prikaže kao dvoslojna formula a n .

Formule stupnja koristi se u procesu smanjivanja i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a Kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom zbrajaju se njihovi pokazatelji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Snaga umnoška 2 odn više faktora jednak je umnošku snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Pri dizanju korijena na potenciju dovoljno je podići radikalni broj na ovu potenciju:

4. Ako povećate stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme ugraditi u n stepen je radikalni broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stupanj korijena u n izvaditi korijen u isto vrijeme n-tu potenciju radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definirana je kao jedinica podijeljena s potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n =a m - n postalo pošteno kada m=n, potrebna je prisutnost nultog stupnja.

Diploma s nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli s nultim eksponentom jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj A do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m-tu potenciju ovog broja A.

Broj podignut na potenciju Nazivaju broj koji je pomnožen sam sa sobom nekoliko puta.

Potencija broja s negativnom vrijednošću (a - n) može se odrediti na sličan način kao što se određuje potencija istog broja s pozitivnim eksponentom (a n) . Međutim, također zahtijeva dodatnu definiciju. Formula je definirana kao:

a-n = (1/a n)

Svojstva negativnih potencija brojeva slična su potencijama s pozitivnim eksponentom. Prikazana jednadžba a m/a n= a m-n može biti fer kao

« Nigdje, kao u matematici, jasnoća i točnost zaključka ne dopušta osobi da se izmigolji od odgovora pričajući oko pitanja».

A. D. Aleksandrov

na n više m , i sa m više n . Pogledajmo primjer: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Prvo morate odrediti broj koji služi kao definicija stupnja. b=a(-n) . U ovom primjeru -n je eksponent b - željenu numeričku vrijednost, a - baza stupnja u obliku prirodne numeričke vrijednosti. Zatim odredite modul, odnosno apsolutnu vrijednost negativnog broja koji ima ulogu eksponenta. Izračunajte stupanj zadanog broja u odnosu na apsolutni broj, kao pokazatelj. Vrijednost stupnja dobiva se dijeljenjem jedan s dobivenim brojem.

Riža. 1

Razmotrite potenciju broja s negativnim razlomačkim eksponentom. Zamislimo da je broj a bilo koji pozitivan broj, brojevi n I m - cijeli brojevi. Prema definiciji a , koji je podignut na snagu - jednako je jedan podijeljen s istim brojem s pozitivnom potencijom (slika 1). Kada je potencija broja razlomak, tada se u takvim slučajevima koriste samo brojevi s pozitivnim eksponentima.

Vrijedi zapamtiti da nula nikada ne može biti eksponent broja (pravilo dijeljenja nulom).

Širenje takvog koncepta kao broja postalo je takve manipulacije kao što su izračuni mjerenja, kao i razvoj matematike kao znanosti. Uvođenje negativnih vrijednosti bilo je posljedica razvoja algebre, koja je dala opća rješenja aritmetičkih problema, bez obzira na njihovo specifično značenje i izvorne numeričke podatke. U Indiji su se još od 6. do 11. stoljeća negativni brojevi sustavno koristili pri rješavanju problema i tumačili su se na isti način kao i danas. U europskoj su se znanosti negativni brojevi počeli široko koristiti zahvaljujući R. Descartesu, koji je dao geometrijsku interpretaciju negativnih brojeva kao smjerova odsječaka. Descartes je bio taj koji je predložio da se broj podignut na potenciju prikaže kao dvoslojna formula a n .