Pafnutij Ljvovič Čebišev

Matematičar, mehaničar.

Osnovno obrazovanje stekao je u obitelji.

Čebiševa je pismenosti učila majka, a francuskom jeziku i aritmetici njegova sestrična, obrazovana žena koja je odigrala veliku ulogu u životu znanstvenika. Njezin portret visio je u Čebiševovoj kući sve do znanstvenikove smrti.

Godine 1832. obitelj Chebyshev preselila se u Moskvu.

Čebišev je od djetinjstva šepao i često je koristio štap. Taj ga je fizički nedostatak spriječio da postane časnik, što je već neko vrijeme silno želio. Možda je zahvaljujući Chebyshevovoj hromosti svjetska znanost dobila izvanrednog matematičara.

Godine 1837. Čebišev je upisao Moskovsko sveučilište.

Jedini podsjetnik na vojne škole na sveučilištu bile su uniforme koje su studenti morali nositi i strogi inspektor P. S. Nakhimov, brat slavnog admirala. Susrevši studenta u raskopčanoj uniformi izvan forme, inspektor je povikao: “Studente, zakopčaj se!” A na sva opravdanja rekao je jedno: “Jeste li mislili? Nema se što razmišljati! Kakvu naviku imaš sve misliti! Služio sam četrdeset godina i nikad nisam ništa razmišljao, što će oni narediti, tako sam i radio. Samo guske i indijski pijetlovi misle. Kaže se – učini to!”

Chebyshev je živio u kući svojih roditelja uz punu potporu. To mu je dalo priliku da se potpuno posveti matematici. Već na drugoj godini studija dobio je srebrnu medalju za esej “Izračunavanje korijena jednadžbe”.

Godine 1841. glad je pogodila Rusiju.

Financijska situacija Čebiševih naglo se pogoršala.

Chebyshevljevi roditelji bili su prisiljeni preseliti se živjeti u selo i više nisu mogli financijski uzdržavati svog sina. Ipak, Chebyshev nije odustao od studija. Jednostavno je postao razborit i štedljiv, što ga je pratilo kroz cijeli život, ponekad prilično iznenađujući okolinu. Poznato je da je u kasnije godine, već imajući znatne prihode od svog položaja akademika i profesora, kao i od objavljivanja svojih radova, Chebyshev je većinu zarađenog novca iskoristio za kupnju zemljišta. Te je operacije izveo njegov upravitelj, koji je potom isplativo preprodao kupljena zemljišta. Očigledno nije uzalud Chebyshev tvrdio da bi možda glavno pitanje koje bi čovjek trebao postaviti znanosti trebalo biti ovo: "Kako raspolagati svojim sredstvima da postigne najveću moguću korist?"

Godine 1841. Chebyshev je diplomirao na sveučilištu.

Svoju znanstvenu djelatnost započeo je (zajedno s V. Ya. Bunyakovskim) pripremom za tisak radova ruskog akademika Leonharda Eulera posvećenih teoriji brojeva. U isto vrijeme počinju se pojavljivati ​​njegovi vlastiti radovi posvećeni različitim problemima matematike.

Godine 1846. Čebišev je obranio magistarski rad "Iskustvo elementarne analize teorije vjerojatnosti". Svrha disertacije, kako je sam zapisao, bila je “... pokazati, bez pomoći transcendentalne analize, osnovne teoreme računa vjerojatnosti i njihove glavne primjene, koje služe kao potpora svekolikom znanju temeljenom na opažanjima. i dokaze.”

Godine 1847. Chebyshev je pozvan na Sveučilište u St. Petersburgu da služi kao pomoćni profesor. Tamo je obranio doktorsku disertaciju “Teorija usporedbi”. Objavljeno kao zasebna knjiga, ovo Čebiševljevo djelo nagrađeno je nagradom Demidov. Učenici koriste “Teoriju usporedbi” kao vrijedan alat gotovo pedeset godina.

Pitanje raspodjele prostih brojeva u prirodnom nizu posvećeno je Čebiševljevom poznatom djelu "Teorija brojeva" (1849.) i jednako poznatom članku "O prostim brojevima" (1852.).

“Teško je naznačiti neki drugi pojam koji je tako usko povezan s nastankom i razvojem ljudske kulture kao pojam broja”, napisao je jedan od Čebiševljevih biografa. – Udaljite ovaj koncept od čovječanstva i vidite koliko je naš duhovni život i praktična djelatnost zbog toga siromašnija: izgubit ćemo sposobnost računanja, mjerenja vremena, uspoređivanja udaljenosti i zbrajanja rezultata rada. Nisu bez razloga stari Grci legendarnom Prometeju, među ostalim njegovim besmrtnim djelima, pripisivali i izum broja. Važnost pojma broja potaknula je najistaknutije matematičare i filozofe svih vremena i naroda da pokušaju proniknuti u tajne rasporeda prostih brojeva. Od posebnog značaja već u drevna grčka dobio proučavanje prostih brojeva, odnosno brojeva djeljivih bez ostatka samo sa sobom i jedinicom. Svi ostali brojevi su elementi od kojih se sastoji svaki cijeli broj. Međutim, rezultati u ovom području su dobiveni s najveće djelo. Starogrčka matematika vjerojatno je poznavala samo jedan opći rezultat o prostim brojevima, danas poznat kao Euklidov teorem. Prema ovom teoremu, u nizu brojeva postoji beskonačan broj prostih brojeva. Grčka znanost nije imala odgovor na pitanja o tome kako se ti brojevi nalaze, koliko točno i koliko često. Otprilike dvije tisuće godina koje su prošle od Euklidova vremena nisu donijele napredak u ovim problemima, iako su se njima bavili brojni matematičari, a među njima i velikani matematičke misli poput Eulera i Gaussa... Četrdesetih godina 19. stoljeća , francuski matematičar Bertrand govorio je o prirodi rasporeda prostih brojeva čak i jednu hipotezu: između n i 2 n, Gdje n– svaki cijeli broj veći od jedan mora sadržavati barem jedan prosti broj. Dugo vremena ova je hipoteza ostala samo empirijska činjenica, za čiji se dokaz uopće nije osjećao način ... "

Okrećući se teoriji brojeva, Chebyshev je brzo identificirao pogrešku u poznatoj Legendre-Gaussovoj pretpostavci i, koristeći se genijalnom tehnikom, dokazao vlastiti prijedlog, iz kojeg je Bertrandov postulat odmah slijedio kao jednostavna posljedica.

Ovo Čebiševljevo djelo ostavilo je izvanredan dojam na matematičare. Jedan od njih sasvim je ozbiljno tvrdio da bi za dobivanje novih rezultata u pitanju raspodjele prostih brojeva bio potreban um, vjerojatno jednako superioran Chebyshevljevom umu kao što je Chebyshevljev um bio superiorniji od uma obične osobe.

Teorija brojeva postala je jedno od važnih područja poznate matematičke škole koju je utemeljio Čebišev. Značajan doprinos tome dali su Čebiševljevi učenici i sljedbenici - poznati matematičari E. I. Zolotorev, A. N. Korkin, A. M. Ljapunov, G. F. Voronoi, D. A. Grave, K. A. Posse, A. A. Markov i drugi.

Čebiševljev rad na analizi teorije brojeva, teorije vjerojatnosti, teorije aproksimacije funkcija polinomima, integralnog računa, teorije sinteze mehanizama, analitičke geometrije i drugih područja matematike dobio je svjetsko priznanje.

U svakom od ovih područja Chebyshev je uspio stvoriti niz osnovnih, uobičajene metode i doći do dubokih ideja.

“Sredinom 50-ih”, prisjetio se profesor K. A. Posse, “Chebyshev se preselio živjeti u Akademiju znanosti, najprije u kuću koja gleda na sedmu liniju otoka Vasiljevski, zatim u drugu kuću Akademije, nasuprot sveučilišta, i konačno opet u kuću na 7. redu, u veliki stan. Ni promjena situacije ni povećanje materijalnih resursa nisu utjecali na Chebyshevljev stil života. U svojoj kući nije okupljao goste; posjetitelji su mu bili ljudi koji su dolazili razgovarati s njim o pitanjima znanstvene naravi ili o poslovima Akademije i Sveučilišta. Čebišev je stalno sjedio kod kuće i učio matematiku...”

Davno prije fizičara 20. stoljeća, koji su takve seminare učinili glavnim poljem za razvoj novih ideja, Chebyshev je počeo učiti sa studentima u neformalnom okruženju. Istodobno, Chebyshev se nikada nije ograničavao na uske teme. Odloživši kredu, udaljio se od ploče, sjeo u posebnu stolicu namijenjenu samo njemu i radosno se upustio u raspravu o svakoj smetnji koja je njemu i njegovim protivnicima bila zanimljiva. U svim ostalim aspektima ostao je suha, čak pedantna osoba. Usput, on stvarno nije odobravao hobi čitanja aktualne matematičke literature. Vjerovao je, možda ne bez razloga, da takvo štivo negativno utječe na originalnost njegova djela.

Godine 1859. Čebišev je izabran za redovnog akademika.

Dok je obavljao ogroman posao na Akademiji, Čebišev je na sveučilištu čitao analitičku geometriju, teoriju brojeva i višu algebru. Od 1856. do 1872., usporedo s glavnim djelovanjem, djeluje i u Akademijskom odboru Ministarstva narodne prosvjete.

Čebišev je mnogo postigao na polju teorije vjerojatnosti.

Teorija vjerojatnosti povezana je sa svim područjima ljudskog znanja.

Ova se znanost bavi proučavanjem slučajnih pojava, čiji se tijek ne može unaprijed predvidjeti i čija se provedba, pod potpuno identičnim uvjetima, može odvijati potpuno drugačije, ovisno o slučaju. Proučavanje primjene prava veliki brojevi, Chebyshev je uveo koncept "matematičkog očekivanja" u znanost. Čebišev je prvi dokazao zakon velikih brojeva za nizove i dao takozvani središnji granični teorem teorije vjerojatnosti. Ta su istraživanja još uvijek ne samo najvažnije sastavnice teorije vjerojatnosti, nego i temeljna osnova svih njezinih primjena u prirodnim, ekonomskim i tehničkim disciplinama. Čebišev je zaslužan za sustavno uvođenje u razmatranje slučajne varijable te stvaranje nove metode dokazivanja graničnih teorema u teoriji vjerojatnosti - tzv. metode momenata.

Baveći se složenim problemima matematike, Čebišev je uvijek imao interes za rješavanje praktičnih problema.

“Približavajući teoriju praksi”, napisao je u članku “O konstrukciji zemljopisne karte“, - daje najkorisnije rezultate, a ne samo praksa; same znanosti razvijaju se pod njegovim utjecajem. Otvara im nove predmete za istraživanje ili nove strane tema koje su odavno poznate. Unatoč visokom stupnju razvoja do kojega su matematičke znanosti dovela djela velikih geometara posljednja tri stoljeća, praksa jasno otkriva njihovu nedovršenost u mnogim pogledima; ona predlaže pitanja koja su u biti nova za znanost i stoga poziva na istraživanje potpuno novih metoda. Ako teorija puno dobiva novim primjenama stare metode ili njezinim novim razvojem, onda još više dobiva otkrićem novih metoda, au tom slučaju znanost se nalazi kao vjerni vođa u praksi..."

Čisto praktična djela uključuju djela Čebiševa kao što su "O jednom mehanizmu", "Na zupčanici”, “O centrifugalnom izjednačuju”, “O izradi zemljopisnih karata”, pa čak i ovo, posve neočekivano, što ga je 28. kolovoza 1878. godine pročitao na sastanku Francuskog društva za razvoj znanosti - “O krojenju haljina. ”.

“Izvješća” Udruge o ovoj Čebiševovoj poruci kažu sljedeće:

“...Naznačivši da je ideja ovog izvješća proizašla iz njegovog izvješća o geometriji tkanja materije, koje je napravio g. Luc prije dvije godine u Clermont-Ferrandu, g. Chebyshev uspostavlja opća načela za određivanje krivulje, prema kojima treba rezati različite komadiće materije kako bi se od njih napravila tijesna ljuska, čija je svrha prekriti predmet bilo kojeg oblika. Uzimajući kao polazište načelo promatranja da se promjena u tkanini najprije treba primijetiti u prvoj aproksimaciji, kao promjena u kutovima nagiba niti osnove i niti potke, dok duljina niti ostaje ista, on daje formule koje omogućuju određivanje obrisa dva, tri ili četiri komada materije kojima je dodijeljeno da što bliže pokriju površinu kugle. G. Chebyshev predstavio je sekciji gumenu loptu presvučenu tkaninom, od koje su dva komada izrezana prema njegovim uputama; primijetio je da bi se problem značajno promijenio ako bi se umjesto materije koristila koža. Formule koje je predložio g. Chebyshev također pružaju metodu za čvrsto prianjanje dijelova prilikom šivanja. Gumena lopta presvučena tkaninom prošla je kroz ruke prisutnih, koji su je s velikim zanimanjem i živošću razgledavali i provjeravali. Ovo je dobro napravljena lopta, dobro dizajnirana, a članovi sekcije su je čak isprobali u igri runda u dvorištu liceja.”

Čebišev je mnogo vremena posvetio teoriji raznih mehanizama i strojeva.

Dao je prijedloge za poboljšanje parnog stroja J. Watta, što ga je potaklo na stvaranje nova teorija uspone i padove. Godine 1852., nakon što je posjetio Lille, Chebyshev je pregledao poznatu vjetrenjače ovog grada i izračunao najpovoljniji oblik mlinskih krila. Konstruirao je model poznatog plantigradnog stroja, oponašajući hod životinja, izradio poseban mehanizam za veslanje i romobil, a na kraju je stvorio i zbrajalicu - prvu kontinuiranu računsku mašinu.

Nažalost, većina tih instrumenata i mehanizama ostala je nepreuzeta, a Chebyshev je poklonio svoj amoparat pariškom Muzeju za umjetnost i obrt.

Godine 1893., novine World Illustration napisale su:

„Dugi niz godina u javnosti, neupućenoj u sve misterije mehanike i matematike, kruže nejasne glasine da je naš časni matematičar, akademik P. L. Chebyshev, izumio perpetuum mobile, odnosno da je ostvario željeni san. s kojim su gotovo tisuću godina sanjari, baš kao što su nekad alkemičari jurili sa svojim kamenom mudraca i eliksirom život vječni, i matematičari - s kvadraturom kruga, dijeljenjem kuta na tri dijela, itd. Drugi su tvrdili da je g. Chebyshev izgradio neku vrstu drvenog "čovjeka" koji je navodno hodao sam. Osnova svih tih priča bio je nimalo fantastičan rad časnog znanstvenika na razvoju mogućih pojednostavljenih motora s koljenastim polugama, koje je on pravodobno izradio i koji su primjenjivi na razne projektile: skuter stolicu, sortirnica za žito, mali čamac. Sve ove izume gospodina Čebiševa trenutno razgledavaju posjetitelji na Svjetskoj izložbi u Chicagu...”

Počevši razvijati najpovoljniji oblik duguljastih projektila za glatke cijevi, Čebišev je vrlo brzo došao do zaključka o potrebi prelaska topništva na užljebljene cijevi, što značajno povećava točnost paljbe, njen domet i učinkovitost.

Suvremenici su Čebiševa nazivali "nomadskim matematičarom".

Mislilo se na to da je bio jedan od onih znanstvenika koji svoj poziv prije svega vide u prelasku iz jednog polja znanosti u drugo, ostavljajući u svakom niz briljantnih ideja ili metoda koje će dugo utjecati na maštu istraživača. vrijeme. Originalne idejeČebiševljeve ideje odmah su prihvatili njegovi brojni učenici, postajući vlasništvo cijelog znanstvenog svijeta.

U lipnju 1872. Čebiševljevih dvadeset i pet godina profesorskog djelovanja proslavljeno je na petrogradskom sveučilištu.

Prema tada važećim pravilima, s dužnosti je razriješen profesor s dvadeset i pet godina staža. Ali ovaj je put Sveučilišno vijeće podnijelo molbu Ministarstvu narodne prosvjete da se Čebiševu produži profesura za pet godina.

“Veliko ime znanstvenika o kojem moram govoriti”, napisao je u dopis Profesor A. N. Korkin, tjera me da u ovom slučaju budem vrlo kratak. Sveopća slava koju je Pafnutij Ljvovič stekao čini nepotrebnim nabrajati i analizirati njegova brojna djela; njima ne treba kritika; dovoljno je reći da su, smatrani klasičnim, postali nužan predmet za svakog matematičara i da su njegova otkrića u znanosti bila uključena u tečajeve na razini studija drugih poznatih geometara.

Sveopće poštovanje koje su uživala djela Pafnutija Ljvoviča izraženo je njegovim izborom za člana mnogih akademija i učenih društava. Poznato je da je redoviti član tamošnje Akademije, dopisni član Pariške i Berlinske akademije, Pariškog filomatskog društva, Londonskog matematičkog društva, Moskovskog matematičko-tehničkog društva itd.

Kako bih dao predodžbu o visokom mišljenju koje se o Chebyshev-u stvorilo u znanstvenom svijetu, ukazat ću na izvješće o nedavnim uspjesima matematike u Francuskoj, koje je predstavio akademik. Bertranda ministru narodnog obrazovanja u povodu Svjetske izložbe u Parizu 1867. Ovdje je, ocjenjujući rad francuskih matematičara, Bertrand držao potrebnim spomenuti one strane geometre čija su istraživanja imala osobito važan utjecaj na tijek znanosti i bili u uskoj vezi s djelima koja je analizirao. Od stranaca spomenuta su samo tri. Ime Čebiševa stavlja se uz ime briljantnog Gaussa.

Svojim jedinstvenim izborom pitanja i originalnošću metoda njihova rješavanja Čebišev se oštro izdvaja od ostalih geometara. Neke od njegovih studija usmjerene su na rješavanje određenih problema čija je težina zaustavila najpoznatije europske znanstvenike; s drugima, otvorio je put novim golemim područjima analize, netaknutim prije njega, čiji daljnji razvoj pripada budućnosti. U tim studijama Čebiševa dobiva ruska znanost svoj poseban, originalni karakter; slijediti smjer koji je on stvorio zadaća je ruskih matematičara, a osobito njegovih brojnih učenika, koje je odgojio tijekom svoje 25-godišnje profesure. Mnogi od njih zauzimaju katedre na raznim sveučilištima na raznim odjelima egzaktne znanosti. Na jednom od naših sveučilišta šest Čebiševljevih studenata predaje: tri matematičara i tri fizičara.

Peterburško sveučilište, usprkos svom relativno kratkom postojanju, broji među svojim ličnostima najpoznatije znanstvenike; u Čebiševu ima prvorazrednog geometra, čije će ime zauvijek biti povezano s njegovom slavom.”

Kao rezultat tih problema, Chebyshev je konačno umirovljen tek 1882.

Godine 1890. predsjednik Francuske odlikovao je Čebiševa Ordenom Legije časti.

Tom je prilikom matematičar S. Hermite napisao Čebiševu:

“Dragi moj brate i prijatelju!

Uzeo sam si veliku slobodu u odnosu na Vas, uzevši sebi slobodu, kao predsjednik Akademije znanosti, obratiti se ministru vanjskih poslova s ​​molbom da zamoli da Vas odlikujete ordenom: Komandantskog križa Legije časti, koju vam je dodijelio predsjednik Republike. Ovo priznanje samo je mala nagrada za velika i divna otkrića s kojima je vaše ime zauvijek povezano i koja su vas dugo dovela na čelo matematičke znanosti naše ere...

Svi članovi Akademije, kojima je uručena peticija koju sam pokrenuo, podržali su je svojim potpisom i iskoristili priliku posvjedočiti žarku simpatiju koju u njima izazivate. Svi su mi se pridružili u uvjeravanju da ste vi ponos znanosti u Rusiji, jedan od prvih geometara u Europi, jedan od najvećih geometara svih vremena...

Mogu li se nadati, moj dragi brate i prijatelju, da će ti ovaj znak poštovanja koji ti dolazi iz Francuske pružiti neko zadovoljstvo?

Najmanje te molim da ne sumnjaš u moju vjernost sjećanjima na našu znanstvenu bliskost i da nisam zaboravio i nikada neću zaboraviti naše razgovore za vrijeme tvog boravka u Parizu, kada smo razgovarali o toliko stvari daleko od Euklida... ."

Čebišev je često zadivljivao okolinu nekim svojim karakternim osobinama.

"...Reći ću vam o jednom opažanju mog brata", prisjetila se O. E. Ozarovskaya. – Ljeto je 1893. proveo u Revalu. Prozor njegove sobe gledao je na ravni krov susjedne kuće, koji je služio kao veranda za jedno potkrovlje. Stanar potkrovlja, ćelavi i bradati starac, provodio je u njemu cijele dane za lijepog vremena pišući po listovima papira.

Uz radoznalost koja se događa mladom čovjeku koji slučajno bude bačen u tuđi grad, uz porciju dokolice i dosade pripremajući tu zanimljivost, moj brat je pobliže pogledao starčeve spise i po pokretima pera pogodio kontinuirani obrisi integrala. Matematičar je pisao cijeli dan. Moj brat se navikao na to i cijeli dan si postavlja pitanja i rješava ih: matematičar vjerojatno spava poslije ručka, matematičar šeta, koliko je listova danas napisao itd.

Ali tada je sunce počelo previše grijati časnu ćelavu glavu, i umjesto pisanja, starac se jednog dana bavio šivanjem šest listova. Nakon ručka, moj brat je otišao u prodavaonicu četki i naletio na starca koji si je kupovao šest prekrasnih četki za pod. Moj brat unutra visok stupanj Zanimalo me: zašto su matematičaru bile potrebne četke u tolikim količinama?

Sljedećeg jutra, kad se moj brat probudio, vidio je starca kako radi u hladu pod bijelom tendom. Tendu je podupiralo šest žutih motki, a same četke ležale su tu ispod klupe.

Ispostavilo se da je taj starac nitko drugi nego veliki matematičar Pafnutij Ljvovič Čebišev.”

Iznio je plan rada sa studentima koji su svaki tjedan posjećivali njegov dom.

Velik Sovjetska enciklopedija: Čebišev (izg. Čebišev) Pafnutij Ljvovič, ruski matematičar i mehaničar; adjunkt (1853.), od 1856. izvanredni, od 1859. - obični akademik Peterburške akademije znanosti. Osnovno obrazovanje stekao je kod kuće; Sa 16 godina ušao je na Moskovsko sveučilište i diplomirao 1841. Godine 1846. obranio je magistarski rad na Moskovskom sveučilištu. Godine 1847. preselio se u Petrograd, gdje je iste godine na sveučilištu obranio disertaciju i počeo predavati algebru i teoriju brojeva. Godine 1849. obranio je doktorsku disertaciju, koja je iste godine nagrađena Demidovskom nagradom Petrogradske akademije znanosti; 1850. postao je profesor na Petrogradskom sveučilištu. Dugo je sudjelovao u radu topničkog odjela vojno-znanstvenog odbora i znanstvenog odbora Ministarstva narodne prosvjete. Godine 1882. prestao je predavati na Petrogradskom sveučilištu i nakon odlaska u mirovinu potpuno se posvetio znanstvenom radu. Ch.- utemeljitelj peterburške matematičke škole, najviše glavni predstavnici koji su bili A.N. Korkin, E.I. Zolotarev, A.A. Markov, G.F. Voronoi, A.M. Ljapunov, V.A. Steklov, D.A. Grob.
Karakteristične značajke Ch.-ove kreativnosti su različita područja istraživanja, sposobnost dobivanja velikih znanstveni rezultati i trajni interes za praktična pitanja. Ch.-ovo istraživanje odnosi se na teoriju aproksimacije funkcija polinomima, integralni račun, teoriju brojeva, teoriju vjerojatnosti, teoriju mehanizama i mnoge druge grane matematike i srodna polja znanja. U svakom od navedenih odjeljaka Ch. Želja za povezivanjem problematike matematike s temeljnim pitanjima prirodnih znanosti i tehnologije uvelike određuje njegovu jedinstvenost kao znanstvenika. Mnoga Ch.-ova otkrića bila su inspirirana primijenjenim interesima. To je više puta naglasio i sam Ch., rekavši da u stvaranju novih istraživačkih metoda “... znanosti nalaze vjernog vođu u praksi” i da se “... same znanosti razvijaju pod njegovim utjecajem: on otvara nove predmete. za njih da uče.. .” (Poln. sobr. soč., sv. 5, 1951, str. 150).
U teoriji vjerojatnosti Ch.-u se pripisuje sustavno uvođenje slučajnih varijabli u razmatranje i stvaranje nove tehnike dokazivanja graničnih teorema u teoriji vjerojatnosti – tzv. metoda momenata (1845, 1846, 1867, 1887). Dokazao je zakon velikih brojeva u vrlo općenitom obliku; Štoviše, njegov je dokaz upečatljiv svojom jednostavnošću i elementarnošću. Ch. nije do kraja doveo proučavanje uvjeta konvergencije distribucijskih funkcija zbroja neovisnih slučajnih varijabli prema normalnom zakonu. Međutim, nekim dodatkom Ch.-ovim metodama, AA je uspio to učiniti. Markov. Bez strogih zaključaka, Ch. je također ocrtao mogućnost razjašnjenja ovog graničnog teorema u obliku asimptotskih proširenja funkcije distribucije zbroja nezavisnih članova u potencijama n?1/2, gdje je n broj članova. Ch.-ova djela o teoriji vjerojatnosti obuhvaćaju važna faza u svom razvoju; osim toga, oni su bili osnova na kojoj je izrasla ruska škola teorije vjerojatnosti, koja se u početku sastojala od Ch.-ovih izravnih učenika.
U teoriji brojeva, Ch. je, prvi put nakon Euklida, značajno unaprijedio (1849., 1852.) proučavanje distribucije prostih brojeva... Proučavanje mjesta prostih brojeva u nizu svih cijelih brojeva dovelo je Ch. proučavanju kvadratnih oblika s pozitivnim determinantama. Ch.-ov rad na aproksimaciji brojeva racionalni brojevi(1866), odigrao je važnu ulogu u razvoju teorije Diofantovih aproksimacija. Bio je tvorac novih područja istraživanja u teoriji brojeva i novih istraživačkih metoda.
Najbrojniji radovi Ch.-a su iz područja matematičke analize. Osobito mu je bila posvećena njegova disertacija za pravo predavanja, u kojoj je Ch. proučavao integrabilnost nekih iracionalnih izraza u algebarskim funkcijama i logaritmima. Ch. je također posvetio niz drugih radova integraciji algebarskih funkcija. U jednom od njih (1853.) dobiven je poznati teorem o uvjetima integrabilnosti u elementarnim funkcijama diferencijalnog binoma. Važno područje istraživanja u matematičkoj analizi sastoji se od njegovog rada na izgradnji opće teorije ortogonalnih polinoma. Razlog njezina nastanka bila je parabolična interpolacija metodom najmanjih kvadrata. Ch.-ovo istraživanje o problemu momenata i o kvadraturnim formulama blisko je tom istom nizu ideja. S ciljem reduciranja izračuna, Ch. je predložio (1873.) razmatranje kvadraturnih formula s jednakim koeficijentima (vidi Približna integracija). Istraživanje kvadraturnih formula i teorije interpolacije bilo je usko povezano sa zadacima postavljenim pred Ch.-a u topničkom odjelu vojno-znanstvenog odbora.
Ch.- utemeljitelj tzv. konstruktivna teorija funkcija, čija je glavna komponenta teorija najbolje aproksimacije funkcija (vidi Aproksimacija i interpolacija funkcija, Čebiševljevi polinomi)...
Teorija strojeva i mehanizama bila je jedna od onih disciplina za koje se Ch. sustavno zanimao cijeli život. Posebno su brojni njegovi radovi posvećeni sintezi zglobnih mehanizama, posebice Wattovog paralelograma (1861., 1869., 1871., 1879. itd.). Veliku pozornost posvetio je projektiranju i izradi specifičnih mehanizama. Posebno su zanimljivi njegov plantigradni stroj koji oponaša kretanje životinje pri hodu, kao i automatska zbrojnica. Proučavanje Wattovog paralelograma i želja za njegovim poboljšanjem potaknulo je Ch.-a da postavi problem najbolje aproksimacije funkcija (vidi gore). Ch.-ova primijenjena djela također uključuju izvornu studiju (1856), gdje je postavio zadatak pronaći takvu kartografsku projekciju dane zemlje koja čuva sličnost u malim dijelovima tako da je najveća razlika u mjerilima na različitim točkama karte najmanji. Ch. je izrazio mišljenje bez dokaza da za to kartiranje mora održavati konstantno mjerilo na granici, što je naknadno dokazao D.A. Grob.
Ch. je svojim istraživanjima i postavljanjem relevantnih pitanja mladim znanstvenicima ostavio blistav trag u razvoju matematike. Dakle, po njegovom savjetu A.M. Lyapunov je započeo niz studija o teoriji ravnotežnih figura rotirajuće tekućine, čije se čestice privlače prema zakonu univerzalne gravitacije.
Tijekom njegova života, Ch.-ova djela našla su široko priznanje ne samo u Rusiji, već iu inozemstvu; izabran je za člana Berlinske akademije znanosti (1871), Bolonjske akademije znanosti (1873), Pariške akademije znanosti (1874; dopisni član 1860), Kraljevskog društva u Londonu (1877), Švedske akademije znanosti (1893) i počasni član mnogih drugih ruskih i stranih znanstvenih društava, akademija i sveučilišta.
U čast Ch., Akademija znanosti SSSR-a osnovala je 1944. nagradu za najbolje istraživanje matematika.

Pafnuty Lvovich Chebyshev veliki je ruski matematičar koji je bio član mnogih europskih akademija znanosti.

Plemeniti korijeni

Podrijetlo Pafnutija Čebiševa prilično je plemenito: bio je sin velikog zemljoposjednika iz stare plemićke obitelji.

U vrijeme rođenja budućeg znanstvenika 4. svibnja 1821. obitelj je živjela na svom imanju Okatovo, u Borovskom okrugu Kaluške pokrajine.

Sada se ovo selo zove Akatovo i nalazi se u okrugu Zhukovsky iste regije Kaluga.

Otac Pafnutija Čebiševa, Lev Pavlovič, sudjelovao je Domovinski rat 1812., u zauzeću Pariza i bio je cijenjena osoba u lokalnim plemićkim krugovima.

Kućni odgoj

Majka obitelji, Agrafena Ivanovna, sama je naučila svoju djecu čitati i pisati, a osnove matematike i francuskog naučila ih je njezina najstarija rođakinja, Avdotya Konstantinovna Sukhareva.

I u kući se velika pažnja posvećivala glazbenoj nastavi djece. Pafnutije je volio učiti, ali najuzbudljivija aktivnost za njega bila je rastavljanje mehanizama igračaka i proučavanje principa njihovog rada.

Taj ga je interes naveo da stvori vlastite zamršene mehanizme. Ljubav prema izumiteljstvu i zanimanje za mehaniku, koja je nastala u djetinjstvu, pratila je Čebiševa kroz cijeli život.

U Moskvi

Kad su djeca odrasla, obitelj se seli u glavni grad (1832.) kako bi na dostojanstven način nastavila školovanje. Pafnutijev matematički talent otkrio je i aktivno razvijao poznati moskovski učitelj matematike i fizike P. N. Pogorelsky.

Sveučilište

Godine 1837. Čebišev je upisao Moskovsko sveučilište, gdje je počeo pomno i ciljano proučavati matematiku i fiziku. Ovdje mu je učitelj i mentor postao sveučilišni profesor Nikolai Dmitrievich Brashman, koji je u mladiću vidio ogroman potencijal i nije štedio truda i vremena kako bi osigurao da se Chebyshevljev talent u potpunosti otkrije.

I nije slučajno da je na studentskom matematičkom natjecanju 1840.-41. Školska godina Chebyshev zauzima jedno od vodećih mjesta: nagrađen je srebrnom medaljom za svoj rad na izračunavanju korijena n-te jednadžbe stupanj, koji je, inače, završio dvije godine ranije koristeći Newtonov algoritam.

Magisterij

Godine 1841. Chebyshev je diplomirao na sveučilištu, ali je odlučio slijediti svoj cilj i nastaviti proučavati svoje omiljene znanosti. Iako su mu podbacivanje i glad 1840. uništili roditelje te više nisu bili u mogućnosti financijski pomagati sina, mladić nije mijenjao svoje planove.

Nekoliko godina polugladnog života i teškog rada - i 1846. Čebišev je briljantno obranio svoj magistarski rad o elementarnoj analizi teorije vjerojatnosti.

Čebiševljeva nastavna djelatnost

Godine 1847. Čebišev je dobio mjesto izvanrednog profesora na Sveučilištu u Sankt Peterburgu. Kako bi stekao pravo predavati studentima, obranio je drugu disertaciju “Integracija pomoću logaritma”.

To je mladom znanstveniku otvorilo put za predavanje više algebre, geometrije i teorije brojeva, a osim toga predavao je teoriju eliptičkih funkcija i mehaniku.

U svojim predavanjima iz teorije vjerojatnosti načelno se nije služio klasičnim nejasnim formulacijama i nekim postulatima koje je i sam smatrao netočnima. Tako je svoj tečaj teorije vjerojatnosti pretvorio u egzaktnu matematičku znanost.

Profesorski status Chebysheva P.L.

Doktorska disertacija “Teorija usporedbi” (1849.) - a sada je Čebišev već redoviti profesor na Sveučilištu u Sankt Peterburgu. Tu je dužnost obnašao do 1882. Ovdje je stekao pravog prijatelja - profesora primijenjene matematike O. I. Somova. Budući da je bio bez obitelji, Chebyshev se zaljubio u veliku obitelj svog prijatelja, u kojoj su svi također bili vrlo vezani za Pafnutija Lvovicha.

Čebiševljeva inozemna službena putovanja

Čebiševljeva dugogodišnja strast prema mehanici odvela ga je na znanstveno putovanje u inozemstvo. Posjetio je Veliku Britaniju, Belgiju, Francusku, gdje je proučavao praksu stranog strojarstva, upoznavao zbirke europskih strojeva i mehanizama u muzejima, posjećivao tvornice i tvornice, te se susreo s poznatim znanstvenicima iz područja mehanike. To mu je kasnije dalo priliku da predaje kolegij praktične mehanike na svom rodnom sveučilištu.

Akademik Chebyshev P.L.

Godine 1853. Čebišev je postao ađutant Petrogradske akademije znanosti. Njegov rad na praktičnoj mehanici posebno su cijenili već poznati i cijenjeni akademici: V.A. Struve, P.N. Fuss, B. S. Jacobi i drugi. 1856. bio je već izvanredni, a 1858. redoviti akademik.

Smrt

Živjevši težak i vrlo plodan život, pun znanstvenih istraživanja i otkrića, Pafnutij Ljvovič Čebišev umro je radeći – za svojim radnim stolom. To se dogodilo 26. studenog 1894. godine. Pokopan je na obiteljskom imanju, uz grobove svojih roditelja.

znanstveno polje: Mjesto rada: Poznati studenti: Poznat kao:

jedan od utemeljitelja moderne teorije aproksimacije

Pafnuty Lvovich Chebyshev(vrlo čest pogrešan izgovor prezimena s naglaskom na prvom slogu je "Čebišev") (4 (16. svibnja), Okatovo, Kaluška pokrajina - 26. studenog (8. prosinca), Sankt Peterburg) - ruski matematičar i mehaničar. Počasni član akademskog vijeća IMTU-a.

Biografija

Chebyshev je rođen u selu Okatovo, okrug Borovsky, pokrajina Kaluga u obitelji bogatog zemljoposjednika Leva Pavloviča. Početni odgoj i obrazovanje stekao je kod kuće; čitati i pisati učila ga je majka Agrafena Ivanovna, a aritmetiku i francuski jezik njegova rođakinja Avdotja Quintillanovna Sukhareva. Osim toga, od djetinjstva je Pafnuty Lvovich studirao glazbu.

Znanstvena djelatnost

Čebiševljeva znanstvena djelatnost, koja je započela 1843. godine objavljivanjem male bilješke “Note sur une classe d’intégrales dé finies multiples” (“Journ. de Liouville”, sv. VIII), nije prestala do kraja njegova života. Njegovi posljednji memoari, “O iznosima ovisno o pozitivne vrijednosti bilo koju funkciju”, objavljen je nakon njegove smrti (“Mem. de l’Ac. des sc. de St.-Peters.”).

Od Čebiševljevih brojnih otkrića treba prije svega spomenuti njegov rad na teoriji brojeva. Počeli su u dodacima Čebiševljevoj doktorskoj disertaciji: „Teorija usporedbi", objavljenoj u gradu. Poznati „Mémoire sur les nombres premiers" pojavio se u gradu, gdje su dane dvije granice, koje sadrže broj prostih brojeva koji leže između dva zadana broja.

Ova dva djela bila bi dovoljna da se ovjekovječi ime Čebiševa. O integralnom računu posebno su izvanredni memoari iz 1860.: “Sur l'intégration de la différentielle”, koji daje način da se pomoću konačnog broja radnji otkrije je li u slučaju racionalnih koeficijenata radikalnog polinoma moguće odrediti broj A tako da se ovaj izraz integrira u logaritme i, ako je moguće, pronaći integral.

Najizvorniji, kako u suštini pitanja tako iu metodi rješenja, su Čebiševljevi radovi "O funkcijama koje najmanje odstupaju od nule". Najvažniji od ovih memoara su G.-ovi memoari pod naslovom "Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions" (u "Mem. Acad. Sciences"). Ovaj rad posebno cijene znanstvenici u Njemačkoj i Francuskoj; na primjer, profesor Klein je u svojim predavanjima održanim na Sveučilištu u Göttingenu 1901. nazvao ove memoare "nevjerojatnim" (wunderbar). Njegov je sadržaj uključen u klasično djelo I. Bertranda, “Traité du Calcul diff. et integral". Čebiševljevo djelo "O crtanju geografskih karata" također je povezano s istim temama. Ovaj niz radova smatra se temeljem teorije aproksimacije.

Nadalje, Čebiševljevi radovi o interpolaciji su izvanredni, u kojima on daje nove formule koje su važne i u teoretskom i u praktičnom smislu. Jedna od Chebyshevljevih omiljenih tehnika, koju je posebno često koristio, bila je primjena svojstava algebarskih nastavljenih razlomaka na različita pitanja analize. Radovi posljednjeg razdoblja Čebiševljeve aktivnosti uključuju istraživanje "O graničnim vrijednostima integrala" ("Sur les valeurs limites des intégrales", 3873). Posve nova pitanja koja je Chebyshev ovdje postavio potom su razvili njegovi studenti. Posljednje Čebiševljevo sjećanje iz 1895. odnosi se na isto područje. U vezi s pitanjima "o funkcijama koje najmanje odstupaju od nule" stoje i Čebiševljevi radovi o praktičnoj mehanici, koju je proučavao mnogo i s velikom ljubavlju.

Čebišev je nastavio poučavati svoje studente i nakon što su završili sveučilišni studij, usmjeravajući njihove prve korake na znanstvenom polju kroz razgovore i dragocjeno vodstvo na plodna pitanja. Čebišev je stvorio školu ruskih matematičara, od kojih su mnogi i danas poznati.

Čebiševljevo društveno djelovanje nije bilo ograničeno na njegovu profesuru i sudjelovanje u poslovima Akademije znanosti. Kao član Nastavnog povjerenstva Ministarstva prosvjete, recenzirao je udžbenike i sastavljao programe i upute za osnovne i srednje škole. Bio je jedan od organizatora Moskovskog matematičkog društva i prvog matematičkog časopisa u Rusiji - "Matematička zbirka".

Četrdeset godina Čebišev je aktivno sudjelovao u radu odjela vojnog topništva i radio na poboljšanju dometa i točnosti topničke vatre. Na tečajevima balistike sačuvan je do danas. Čebiševljeva formula za izračunavanje dometa projektila. Čebišev je svojim radovima imao veliki utjecaj na razvoj ruske topničke znanosti.

Čebiševljevi učenici

Za Čebiševa je zadatak stvaranja i razvoja ruske matematičke škole uvijek bio ne manje važan od konkretnih znanstvenih rezultata.

Među Čebiševljevim izravnim učenicima su poznati matematičari kao što su:

• Sohotski, Julijan Vasiljevič

Publikacije

• Chebyshev P. L. O zbrojevima sastavljenim od vrijednosti najjednostavnijih monoma pomnoženih s funkcijom koja ostaje pozitivna. - St. Petersburg, 1891. - 67 str. - Zap. Imp. Akademik znanosti, T. 64, br. 7.
• Chebyshev P. L. O funkcijama koje se malo udaljavaju od nule za određene vrijednosti varijable. - St. Petersburg, 1881. - 29 str. - Zap. Imp. Akademik znanosti, T. 40. br. 3.
• Chebyshev P. L. O odnosu dvaju integrala proširenih na iste količine varijable. - St. Petersburg, 1883. - 33 str. - Zap. Imp. Akademik znanosti, T. 44. br. 2.
• Chebyshev P. L. O približnim izrazima kvadratnog korijena varijable kroz jednostavne razlomke. - St. Petersburg, 1889. - 22 str. - Zap. Imp. Akademik znanosti, T. 61, br. 1.

Ocjene i pamćenje

Zasluge Chebysheva cijenjen je od strane znanstvenog svijeta na dostojan način. Biran je za člana Peterburške (), Berlinske i Bolonjske akademije, Pariške akademije znanosti (Čebišev je tu čast dijelio samo s još jednim ruskim znanstvenikom, slavnim Baerom, izabranim 1876. i umro iste godine) , dopisni član Kraljevskog društva u Londonu, Švedske akademije znanosti itd., ukupno 25 različitih akademija i znanstvenih društava. Čebišev je također bio počasni član svih ruskih sveučilišta.

Obilježja njegovih znanstvenih zasluga vrlo su dobro izražena u bilješci akademika A. A. Markova i I. Ya. Sonina, pročitanoj na prvom sastanku Akademije nakon Čebiševljeve smrti. U ovoj bilješci, između ostalog, stoji:

Čebiševljeva djela nose pečat genija. Izmislio je nove metode za rješavanje mnogih teških pitanja koja su se davno postavljala i ostala neriješena. Istodobno je postavio niz novih pitanja na čijem je razvoju radio do kraja svojih dana.

vidi također

• Chebyshev set
• Čebiševljev sustav funkcija

Bilješke

Književnost

• Prudnikov V. E. Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821–1894. L.: Nauka, 1976.
• Golovinski I. A. K opravdanju metode najmanjih kvadrata P. L. Čebiševa. // Povijesne i matematičke studije, M.: Nauka, sv. XXX, 1986, str. 224-247.

Linkovi

• Glazer G.I. Povijest matematike u školi. - M.: Obrazovanje, 1964. - 376 str.
• Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ur.) Matematika 19. stoljeća. M.: Znanost.

• Svezak 1. Matematička logika. Algebra. Teorija brojeva. Teorija vjerojatnosti. 1978. godine.

• K. Posse. Chebyshev Pafnutiy Lvovich // Kritičko-biografski rječnik S. A. Vengerova.
• Pafnuty Lvovich Chebyshev - kratka biografija i glavna djela

Zaklada Wikimedia. 2010.

Ministarstvo obrazovanja Ruska Federacija

Srednja škola br.6

Esej

na temu:

P.L Čebišev –

otac petrogradske matematičke škole.

Ispunila učenica 8. razreda

Malcev M. M.

Provjerio profesor matematike

Malova T.A

Plan rada

Uvod

1. Glavni dio

1.1. Teorija brojeva.

1.2. Distribucija prostih brojeva.

1.3. Bertrandov postulat.

1.4. Teorija vjerojatnosti

1.5. Teorija aproksimacije funkcija.

1.6. Znanstvena djelatnost Čebiševa

1.7. Doprinos Petrogradske matematičke škole razvoju zemlje

2. Zaključak

3. Popis korištene literature

Uvod

Ove godine obilježava se 190. obljetnica rođenja velikog matematičara i mehaničara Pafnutij Ljvovič Čebišev, izvanredan znanstvenik i učitelj koji je rusku matematičku znanost doveo na svjetsku razinu. Pafnutij Ljvovič Čebišev ostavio je neizbrisiv trag u povijesti svjetske znanosti i razvoju ruske kulture.

Brojni znanstveni radovi iz gotovo svih područja matematike i primijenjene mehanike, radovi duboki sadržajem i upečatljiva originalnošću istraživačkih metoda, stvorili su P. L. Čebiševa slavu jednog od najvećih predstavnika matematičke misli. Ogromno bogatstvo ideja rasuto je u ovim djelima, i, unatoč činjenici da je prošlo pedeset godina od smrti njihovog tvorca, oni nisu izgubili ni svoju svježinu ni relevantnost, a njihov daljnji razvoj nastavlja se i danas u svim zemljama Globus, gdje kuca puls kreativne matematičke misli.

Odlučio sam odabrati ovu temu jer volim matematiku i poštujem znanstvenike koji su je razvili, pa je moj esej na ovu temu.

Ruska znanost sredinom 19. stoljeća dala je čitavu plejadu izvanrednih matematičara. A prvi među njima i po vremenu djelovanja i po znanstvenom značaju u ovoj slavnoj kohorti bio je svjetski poznati Pafnutij Ljvovič Čebišev. P.L. Čebišev je rođen 16. svibnja 1821. u selu Okatovo, Borovski okrug, Kaluška gubernija, na plemićkom imanju svog oca Lava Pavloviča Čebiševa. Ušavši na matematički odjel Moskovskog sveučilišta, Chebyshev je odmah privukao pozornost poznatog matematičara profesora Brashmana. Potonji je bio jedan od rijetkih profesora na Moskovskom sveučilištu koji je nastojao iskoristiti znanost za razvoj gospodarstva. Brushman je imao značajan utjecaj na formiranje znanstvenih pogleda P.L. Čebiševa. Uočivši kod Čebiševa ozbiljan stav prema studiju, ljubav i sposobnost za znanost, počeo je marljivo nadzirati njegove studije i uvjeravati ga da se posveti isključivo matematici. Iako je financijska situacija obećavajućeg mladića, zbog uznemirenih poslova njegova oca, postala izuzetno loša, Chebyshev je ipak poslušao savjet svog učitelja, te se, nakon završetka sveučilišnog studija s odličnim uspjehom 1841., potpuno posvetio znanstvenom radu. . Godine 1845. Chebyshev je predstavio esej "Iskustvo u elementarnoj analizi teorije vjerojatnosti" Moskovskom sveučilištu kao magistarski rad, a sveučilišni matematički odsjek ga je prepoznao kao vrijedan magisterija. Godine 1849. Čebišev je nakon uspješne obrane disertacije na temu “Teorija usporedbi” dobio doktorat iz matematike i astronomije. Godine 1856. izabran je za izvanrednog akademika, a 1859. Chebyshev je izabran za redovnog akademika u odjelu za primijenjenu matematiku. Godine 1872. Pafnutiju Lvoviču dodijeljena je titula zaslužnog profesora Sveučilišta u Sankt Peterburgu. Godine 1882. Čebišev je napustio nastavu na Petrogradskom sveučilištu i potpuno se prebacio na znanstveni rad na Akademiji znanosti. Chebyshevljevo matematičko istraživanje odnosi se na integralni račun, teoriju brojeva, teoriju vjerojatnosti, teoriju mehanizma i mnoge druge grane matematike. P.L. Čebišev je svojim višestranim i plodnim djelovanjem odredio putove i pravce razvoja matematike u Rusiji za dugi niz godina i imao ogroman utjecaj na svjetsku matematičku znanost. Tijekom njegova života djela Pafnutija Ljvoviča našla su široko priznanje u Rusiji i inozemstvu. Biran je za člana Berlinske, Bolonjske, Pariške i Švedske akademije znanosti, dopisnog člana Kraljevskog društva u Londonu i počasnog člana mnogih drugih ruskih i inozemnih znanstvenih društava, akademija i sveučilišta. Čebišev je utemeljitelj petrogradske matematičke škole. P.L. je umro Čebišev u svom stanu u Sankt Peterburgu, u dobi od 74 godine od srčane paralize 1894. Većina ruskih novina objavila je osmrtnice u kojima se naglašavalo da je “ruska znanost pretrpjela težak gubitak u osobi preminulog običnog akademika P.L. Čebišev, koji je odavno stekao slavu kao izvanredan matematičar i slavu jednog od prvih geometara u Europi u smislu znanstvenih zasluga. Čebišev je rođen u Kaluškoj guberniji, studirao je u Moskvi, živio, radio i umro u Petrogradu, pa ipak, mi, Izmaljkovčani, imamo ga pravo donekle smatrati svojim sunarodnjakom. Budući da je Pafnuty Lvovich dugi niz godina dolazio ljeti na imanje svog mlađeg brata, generala i počasnog profesora Topničke akademije Vladimira Lvovicha Chebysheva, koje se nalazilo unutar granica današnjeg sela Znamenka Ponomarevskog seoskog vijeća. Prilikom svakog svog posjeta selu Chebyshev, Pafnuty Lvovich je tamo živio od 2 do 6 mjeseci, a ukupno je proveo više od 5 godina u selu Chebyshev. Pafnutiy Lvovich rado je komunicirao sa seljacima sela Chebyshev, krug njegovog poznanstva s njima bio je prilično širok i uvijek se prema svim stanovnicima sela odnosio vrlo ljubazno. Tijekom boravka Pafnutya Lvovicha u selu Chebyshev, više od jednog briljantnog znanstveni rad. U selu Chebyshev još uvijek postoje ljudi koji su osobno poznavali P.L. Chebyshev, koji vrlo toplo govore o znanstveniku i s poštovanjem ga nazivaju ništa manje nego našim Pafnutijem Lvovichem.

Nakon Eulerove smrti 1783., razina matematičkih istraživanja u

Petersburgu značajno se smanjio. Novi uspon javlja se tek 20-ih godina 19. stoljeća. Određena je znanstvenom i organizacijskom djelatnošću M. V. Ostrogradskog (1801.-1861.) i V. Ya.Bunjakovskog (1804.-1889.), a kasnije P. L. Čebiševa (1821.-1894.). Do sredine 19. stoljeća aktivnosti Ostrogradskog i Bunyakovskog, njihovih učenika, od kojih su mnogi postali glavni stručnjaci za razna područja matematike, tehnike, odredio je novi uzlet matematike u Rusiji, osobito u Petrogradu. Počeo se stvarati tim kreativnih matematičara, u kojem je vodeće mjesto do kraja života Ostrogradskog zauzeo P. L. Čebišev. Čebiševljeva znanstvena djelatnost zaslužuje pozornost jer je osnova, početak naglog razvoja matematike u drugoj polovici 19. stoljeća u Petrogradu. Chebyshev i njegovi studenti činili su jezgru znanstvenog tima matematičara iza kojih

Ustanovljeno je ime Peterburške matematičke škole.

Pafnuty Lvovich Chebyshev diplomirao je na Moskovskom sveučilištu 1841. Na natjecanju studentskih radova za esej na temu “Izračunavanje korijena jednadžbe” dobio je srebrnu medalju. Nakon što je ostao na sveučilištu, obranio je 1846. godine magistarski rad "Iskustvo elementarne analize teorije vjerojatnosti". U slijedeće godineČebišev se preselio u Sankt Peterburg i počeo raditi na sveučilištu. Ovdje je 1849. godine obranio doktorsku disertaciju: “Teorija usporedbi” i radio kao profesor dugi niz godina, sve do 1882. godine. Čebiševljeve aktivnosti na Peterburškoj akademiji znanosti započele su 1853. godine, kada je izabran za pomoćnog suradnika.

Čebiševljeva znanstvena baština uključuje više od 80 radova. Imala je ogroman utjecaj na razvoj matematike, posebno na formiranje peterburške matematičke škole. Čebiševljeva djela karakteriziraju tijesna povezanost s praksom, široki obuhvat znanstvenih problema, strogost izlaganja i ekonomičnost matematičkih sredstava za postizanje velikih rezultata. Chebyshevljeva matematička postignuća uglavnom su ostvarena u sljedećim područjima: teorija brojeva, teorija vjerojatnosti, problem najbolje aproksimacije funkcija i opća teorija polinoma, teorija integracije funkcija.

Čebiševljevo istraživanje odnosi se na teoriju aproksimacije funkcija polinomima, integralni račun, teoriju brojeva, teoriju vjerojatnosti, teoriju mehanizama i mnoge druge grane matematike i srodna polja znanja. Čebišev je stvorio niz osnovnih, općih metoda i iznio ideje koje su zacrtale vodeće pravce u tim područjima znanosti i njihov daljnji razvoj. Nastojao je povezati probleme matematike s temeljnim pitanjima razvoja prirodnih znanosti i tehnike, ostavivši brojne radove iz područja matematičke analize, teorije strojeva i mehanizama itd. Čebišev je dugo sudjelovao u radu topnički odjel vojno-znanstvenog odbora, rješavajući probleme s kojima su bila usko povezana njegova istraživanja na kvadraturnim formulama i na teoriji interpolacije, što je bilo važno za razvoj topničkih znanosti. Radovi Čebiševa su naišli na široko priznanje u cijelom svijetu. Bio je biran za člana mnogih akademija znanosti: Berlinske (1871.), Bolonjske (1873.), Pariške (1874.), Švedske (1893.), Londonskog kraljevskog društva (1877.) i počasnog člana drugih ruskih i stranih znanstvenih društava, akademije i sveučilišta. U čast Čebiševa, Akademija znanosti SSSR-a ustanovila je nagradu 1941.

Teorija brojeva .

Čebišev se teorijom brojeva počeo baviti 40-ih godina prošlog stoljeća. Počelo je s činjenicom da ga je akademik Bunyakovsky uključio u komentiranje i objavljivanje Eulerovih radova o teoriji brojeva. U isto vrijeme Čebišev je pripremao monografiju o teoriji usporedbi i njezinim primjenama kako bi je prijavio kao doktorsku disertaciju. Do 1849. godine oba su zadatka bila obavljena i pripadajući radovi objavljeni. Kao dodatak svojoj "Teoriji usporedbi", Čebišev je objavio svoje memoare "O određivanju broja prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost".

Distribucija prostih brojeva.

Problem raspodjele prostih brojeva u nizu prirodnih brojeva jedan je od najstarijih u teoriji brojeva. Poznata je još iz doba starogrčke matematike. Prvi korak prema njegovom rješavanju učinio je Euklid, dokazavši teorem da u prirodnom nizu postoji neograničen broj prostih brojeva. Sve dok Euler nije uveo alate matematičke analize, njezino rješenje gotovo nije napredovalo. Novi dokaz, u biti, nije dao novi rezultat, već je uključio nove metode. Ideja Eulerovog dokaza je sljedeća: iz konačnosti skupa prostih brojeva slijedi konvergencija harmonijskog niza, jer tada se predstavlja kao proizvod konačnog broja geometrijskih progresija. Tek je 1837. Dirichlet generalizirao Euklidov teorem, dokazujući da u bilo kojem aritmetička progresija(a+nb), gdje su a i b međusobno prosti, sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva. U razdoblju 1798-1808, Legendre je, proučavajući tablice prostih brojeva do milijun, empirijski zaključio da se broj prostih brojeva u segmentu p(x) izražava formulom x/p(x)=ln x - 1,08366.

Chebyshev je dokazao da je Legendreova formula netočna proučavajući svojstva funkcije p(x) i pokazao da je pravi red rasta ove funkcije isti kao i kod funkcija x/ln x. Štoviše, pronašao je pojašnjenja: odnos

zaključen između 0,92129 i 1,10555.

Čebiševljevo otkriće ostavilo je veliki dojam. Mnogi su matematičari radili na poboljšanju njegovih rezultata. Sylvester je u svojim člancima iz 1881. i 1892. suzio granice intervala na. Daljnja sužavanja postigli su Schur (1929) i Breisch (1932).

Chebyshev je također pronašao integralne procjene za vrijednosti p(x). Uspio je dokazati da kako x raste, vrijednost p(x) fluktuira oko. Tek su 1896. Hadamard i Vallée-Poussin dokazali sljedeći granični teorem. Već u nama bliskom vremenu (1949.) Selberg je pronašao još jedan dokaz za ovaj asimptotski obrazac. Godine 1955. A. G. Postnikov i N. P. Romanov pojednostavili su Selbergovo glomazno zaključivanje.

Bertrandov postulat.

Francuski matematičar Bertrand u svojim se djelima (1845.) oslanjao na sljedeću tvrdnju: za svaki prirodni broj n>1 između n i 2n postoji prost broj. Bertrand ju je upotrijebio bez dokaza. Tvrdnju je dokazao Čebišev (1850.), pa se ponekad naziva Čebiševljev teorem. Glavna ideja dokaza je procijeniti potencije prostih brojeva na koje je binomni koeficijent podijeljen zapisivanjem u p-arni brojevni sustav (postoji lijepa analogija s testom djeljivosti s 9 u decimalnom sustavu - međutim, sasvim je moguće učiniti bez takvog zapisa.) Zapravo, procjena se može pojačati: za n>5 postoje dva cijela prosta broja između n i 2n. Moguće je dobiti jače nejednakosti.

Istraživanje rasporeda prostih brojeva u prirodnom nizu također je dovelo do pojave Čebiševljevih radova o teoriji kvadratnih oblika. Godine 1866. objavljen je njegov članak "O jednom aritmetičkom pitanju", posvećen Diofantovim aproksimacijama, tj. cjelobrojna rješenja Diofantovih jednadžbi pomoću aparata ukočenih razlomaka.

Teorija vjerojatnosti

Čebišev se u mladosti okrenuo teoriji vjerojatnosti, posvetivši joj svoj magistarski rad. U to vrijeme vladala je svojevrsna kriza u teoriji vjerojatnosti. Činjenica je da su osnovni zakoni ove znanosti uglavnom pronađeni još u 18. stoljeću. Ovo se odnosi na zakon velikih brojeva; Moivre-Laplaceov granični teorem - granični zakon vjerojatnosti odstupanja broja x pojavljivanja slučajnog događaja od matematičkog očekivanja, a od tog broja u n pokusa s vjerojatnošću p; uvođenje pojma disperzije. Svijest o širokoj primjenjivosti ovih zakona dovela je do pokušaja da se oni primijene čak i na društvenu praksu ljudi, tj. izvan razumnog opsega prihvatljivih primjena. Ovo je izazvalo veliki broj zbrkane, neutemeljene i pogrešne zaključke, što je utjecalo na znanstveni ugled teorije vjerojatnosti. Bez čvrste potkrepljenosti koncepata i rezultata daljnji razvoj ove znanosti postao je nemoguć.

Čebišev je napisao samo 4 rada o teoriji vjerojatnosti (1845., 1846., 1867., 1887.), ali, po općem priznanju, upravo su ti radovi vratili teoriju vjerojatnosti u rang matematičke znanosti, poslužio je kao osnova za stvaranje nove matematičke škole. Čebiševljeve početne pozicije bile su vidljive već u njegovom magistarskom radu. Postavio si je cilj osigurati konstrukciju teorije vjerojatnosti koja bi najmanje privlačila aparat matematičke analize. To je postigao napuštanjem prolaza do granice i zamjenom sa sustavima nejednakosti u kojima su sadržani svi odnosi. Numeričke procjene odstupanja i pogrešaka ostale su karakteristične značajke Čebiševljevih kasnijih radova na teoriji vjerojatnosti.

Međutim, Chebyshev je uspio pronaći prilično općenit i strog dokaz središnjeg graničnog teorema tek 1887. godine. Da bi to dokazao, Čebišev je morao pronaći metodu poznatu u modernoj literaturi kao metoda momenata. Čebiševljev dokaz imao je logičku prazninu, koju je otklonio Čebiševljev učenik A. A. Markov (1856.-1922.) Markov i drugi Čebiševljev učenik, A. M. Ljapunov (1857.-1918.), svojim su radom toliko razvili učiteljeve ideje da su, prema A. N. Kolmogorova, sada se njihova djela posvuda percipiraju kao polazište svega daljnji razvoj teorije vjerojatnosti, ne isključujući moderne. U njihovim radovima razvijena je metoda momenata (Markov) i metoda karakterističnih funkcija (Ljapunov). Posebno je vrijedna spomena teorija Markovljevih lanaca.

Teorija aproksimacije funkcija.

Teorija aproksimacije funkcija zauzima značajno mjesto u Čebiševljevim radovima. Ova skupina radova ističe se velikim teorijskim posljedicama koje su dovele do nastanka moderne konstruktivne teorije funkcija. Potonji proučava, kao što je poznato, ovisnosti između svojstava različitih klasa funkcija i prirode njihove aproksimacije od strane drugih, više jednostavne funkcije u konačnom ili neograničenom području.

Tijekom znanstvenog putovanja u inozemstvo 1852. godine, Chebyshev se zainteresirao za različite vrste zglobnih mehanizama, uz pomoć kojih se pravocrtno translacijsko gibanje klipa parnog stroja pretvara u kružno gibanje zamašnjaka (ili obrnuto). Jedna od varijanti takvih mehanizama je široka poznati paralelogram Watt's.

Tijekom svog života Chebyshev je izgradio mnoge mehanizme i proučavao njihovu kinematiku. Ekstremni problemi koji se u ovom slučaju pojavljuju (kao što je izračunavanje mehanizma s minimalnim odstupanjem nekog njegovog dijela od okomice) dovode do matematičkih problema u teoriji aproksimacije funkcija. Najprikladnija funkcija za rad u matematici je polinom. To dovodi do problema određivanja polinoma koji odstupaju od nule, kao i aproksimacije funkcija polinomima (1854., “Teorija mehanizama poznatih kao paralelogrami”).

Razmotrimo, na primjer, sljedeći problem: među svim polinomima fiksnog stupnja s vodećim koeficijentom jednakim 1, pronađite polinom s minimumom ili maksimumom modula na intervalu [-1,1].

Rješenje: ovo je Čebiševljev polinom Pn = cos(n arccos x)/(2n-1). Činjenica da je njegov vodeći koeficijent jednak 1 (i općenito da je polinom) proizlazi iz rekurentne formule Pn+1(x)= x Pn(x)-1/4 Pn-1(x), te da ima minimalni maksimalni modul, - procjenjujući broj promjena predznaka - i, prema tome, korijena - polinoma Pn(x)-Q(x), gdje je Q(x) polinom s maksimalnom vrijednošću modula l/2n -1, l<1.

Chebyshev je pronašao tip klase specijalnih polinoma koji do danas nosi njegovo ime. Chebyshev, Chebyshev - Laguerre, Chebyshev - Hermite polinomi i njihove varijante igraju važnu ulogu u matematici iu raznim primjenama. Chebyshevljeva teorija o najboljoj aproksimaciji funkcija polinomima primjenjuje se na geodetske i kartografske probleme (1856., “O izradi geografskih karata”), približne kvadrature, interpolacije, rješavanje algebarskih jednadžbi, da ne spominjemo kinematiku mehanizama, koji su služili kao svoje polazište. Čebiševljeva teorija koja se razmatra sadrži ideje opće teorije ortogonalnih polinoma, teorije momenata i kvadraturnih metoda. Chebyshev je povezao ortogonalne polinome s metodom najmanjih kvadrata.

Znanstvena djelatnost Čebiševa

Čebišev je ostavio dubok i svijetao trag u razvoju matematike, dao poticaj stvaranju i razvoju mnogih njezinih grana, kako vlastitim istraživanjima, tako i postavljanjem relevantnih pitanja mladim znanstvenicima. Dakle, na njegov savjet, A. M. Lyapunov započeo je niz studija o teoriji ravnotežnih figura rotirajuće tekućine, čije se čestice privlače prema zakonu univerzalne gravitacije. Naravno, znanstveni interesi peterburških matematičara, pa i samog Čebiševa, bili su mnogo širi. Od područja matematike koja nisu spomenuta u sažetku, najintenzivnije se radilo na problemima teorije diferencijalnih jednadžbi (Ljapunov, Imšenetski, Sonin i dr.) i teorije funkcija kompleksne varijable (osobito Sohotskog).

Do početka našeg stoljeća petrogradska matematika bila je široka asocijacija mnogih znanstvenih područja. Imali su i imaju značajan utjecaj na razvoj matematike u našoj zemlji i inozemstvu. Veze s drugim znanstvenim udrugama, osobito u posljednje vrijeme, toliko su se učvrstile, a znanstveni interesi toliko isprepleteni da je pojam “Sanktpeterburška matematička škola” izgubio svoje izolirajuće značenje.

Godine 1867., u svesku II Moskovske matematičke zbirke, pojavili su se još jedan vrlo izvanredan Chebyshevljev memoar, "O prosječnim vrijednostima", u kojem je dan teorem koji je u osnovi raznih pitanja u teoriji vjerojatnosti i sadrži poznati teorem Jacoba Bernoullija kao poseban slučaj.

Ova dva djela bila bi dovoljna da se ovjekovječi ime Čebiševa. O integralnom računu dat je posebno izvanredan memoar iz 1860. u kojem je za zadani polinom x4 + αx3 + βx2 + γx + δ s racionalnim koeficijentima dan algoritam za određivanje takvog broja A da je izraz integriran u logaritme, i izračunavanje odgovarajućeg integrala.

Najizvorniji, kako u suštini pitanja tako iu metodi rješenja, su Čebiševljevi radovi "O funkcijama koje najmanje odstupaju od nule". Najvažniji od tih memoara je onaj iz 1857. pod naslovom “Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions” (O pitanju minimalnih standarda koji se odnose na približnu ideju funkcije).

(u "Mem. akademik znanosti"). Profesor Klein, u svojim predavanjima održanim na Sveučilištu u Göttingenu 1901. godine, nazvao je ove memoare "čudesnim" (wunderbar). Njegov je sadržaj uključen u klasično djelo I. Bertrand Traité du Calcul diff. et integral. Čebiševljevo djelo "O crtanju geografskih karata" također je povezano s istim temama. Ovaj niz radova smatra se temeljem teorije aproksimacije. U vezi s pitanjima "o funkcijama koje najmanje odstupaju od nule" stoje i Čebiševljevi radovi o praktičnoj mehanici, koju je proučavao mnogo i s velikom ljubavlju.

Izvanredni su i Čebiševljevi radovi o interpolaciji, u kojima daje nove formule važne i u teoretskom i u praktičnom smislu.

Jedna od Chebyshevljevih omiljenih tehnika, koju je posebno često koristio, bila je primjena svojstava algebarskih nastavljenih razlomaka na različita pitanja analize.

Radovi posljednjeg razdoblja Chebyshevljevog djelovanja uključuju istraživanje "O graničnim vrijednostima integrala" ("Sur les valeurs limites des intégrales", 1873.). Posve nova pitanja koja je Chebyshev ovdje postavio potom su razvili njegovi studenti. Posljednje Čebiševljevo sjećanje iz 1895. odnosi se na isto područje.

Čebiševljevo društveno djelovanje nije bilo ograničeno na njegovu profesuru i sudjelovanje u poslovima Akademije znanosti. Kao član Nastavnog povjerenstva Ministarstva prosvjete, recenzirao je udžbenike i sastavljao programe i upute za osnovne i srednje škole. Bio je jedan od organizatora Moskovskog matematičkog društva i prvog matematičkog časopisa u Rusiji - "Matematička zbirka".

Četrdeset godina Čebišev je aktivno sudjelovao u radu odjela vojnog topništva i radio na poboljšanju dometa i točnosti topničke vatre. U tečajevima balistike do danas je sačuvana Chebyshevljeva formula za izračunavanje dometa leta projektila. Čebišev je svojim radovima imao veliki utjecaj na razvoj ruske topničke znanosti.

Na temelju tradicije peterburške matematičke škole, lenjingradski su znanstvenici plodno radili u mnogim područjima matematike i mehanike. Teorija funkcija kompleksne varijable i teorija diferencijalnih jednadžbi razvijene su u radovima V. I. Smirnova. Petotomni “Tečaj više matematike” koji je stvorio V. I. Smirnov postao je referentna knjiga za studente prirodnih znanosti i tehničkih sveučilišta. Značajan doprinos teoriji brojeva dao je učenik YaV Uspenskog I. M. Vinogradov. Radovi A. D. Aleksandrova bili su posvećeni problemima geometrije i topologije, N. M. Gunter i S. L. Sobolev - problemima matematičke fizike. Najveća postignuća u prijeratnom razdoblju postignuta su u raznim područjima fizike. Napori mnogih fizičara bili su usredotočeni na problem fizike atomske jezgre. Godine 1932. D. D. Ivanenko razvio je proton-neutronski model jezgre. G. N. Flerov i Yu. B. Khariton izveli su klasičan rad na lančanoj reakciji fisije urana 1939. godine. Na Fizičko-tehničkom institutu rad na nuklearnoj fizici vodio je I.V. Kurchatov. Uoči rata I. V. Kurchatov i A. I. Alikhanov radili su na stvaranju ciklotrona od 100 tona, čije je lansiranje bilo zakazano za 1942. (prvi ciklotron u Europi počeo je s radom u Institutu za radij u Lenjingradu). Godine 1940. u Lenjingradu je organizirana akademska komisija za problem urana. Razvoj nuklearne fizike na Fizičko-tehničkom institutu nije bio bez oblaka: A.F. Ioffe i njegov institut bili su podvrgnuti oštrim kritikama zbog svoje strasti prema temeljnim istraživanjima i odvajanja od proizvodnje. Nuklearna fizika bila je jedno od područja koje se našlo na udaru.

Doprinos petrogradske matematičke škole razvoju zemlje.

Na temelju tradicije peterburške matematičke škole, lenjingradski su znanstvenici plodno radili u mnogim područjima matematike i mehanike. Teorija funkcija kompleksne varijable i teorija diferencijalnih jednadžbi razvijene su u radovima V. I. Smirnova. Na temelju tradicije peterburške matematičke škole, lenjingradski su znanstvenici plodno radili u mnogim područjima matematike i mehanike. Teorija funkcija kompleksne varijable i teorija diferencijalnih jednadžbi razvijene su u radovima V. I. Smirnova. Petotomni “Tečaj više matematike” koji je stvorio V. I. Smirnov postao je referentna knjiga za studente prirodnih znanosti i tehničkih sveučilišta. Značajan doprinos teoriji brojeva dao je učenik YaV Uspenskog I. M. Vinogradov. Radovi A. D. Aleksandrova bili su posvećeni problemima geometrije i topologije, N. M. Gunter i S. L. Sobolev - problemima matematičke fizike. Najveća postignuća u prijeratnom razdoblju postignuta su u raznim područjima fizike. Napori mnogih fizičara bili su usredotočeni na problem fizike atomske jezgre. Godine 1932. D. D. Ivanenko razvio je proton-neutronski model jezgre. G. N. Flerov i Yu. B. Khariton izveli su klasičan rad na lančanoj reakciji fisije urana 1939. godine. Na Fizičko-tehničkom institutu rad na nuklearnoj fizici vodio je I.V. Kurchatov. Uoči rata I. V. Kurchatov i A. I. Alikhanov radili su na stvaranju ciklotrona od 100 tona, čije je lansiranje bilo zakazano za 1942. (prvi ciklotron u Europi počeo je s radom u Institutu za radij u Lenjingradu). Godine 1940. u Lenjingradu je organizirana akademska komisija za problem urana. Razvoj nuklearne fizike na Fizičko-tehničkom institutu nije bio bez oblaka: A.F. Ioffe i njegov institut bili su podvrgnuti oštrim kritikama zbog svoje strasti prema temeljnim istraživanjima i odvajanja od proizvodnje. Nuklearna fizika bila je jedno od područja koje se našlo na udaru.

Zaključak

Svjetska znanost poznaje malo imena znanstvenika čija bi stvaralaštva u raznim granama svoje znanosti tako značajno utjecala na tijek njezina razvoja, kao što je to slučaj s otkrićima P. L. Čebiševa. Konkretno, ogromna većina sovjetskih matematičara još uvijek ima koristi od utjecaja P. L. Chebysheva, dopirući do njih kroz znanstvene tradicije koje je on stvorio. Svi oni s dubokim poštovanjem i toplom zahvalnošću odaju blagu uspomenu na svog velikog sunarodnjaka.

Zasluge Chebysheva cijenjen je od strane znanstvenog svijeta na dostojan način. Izabran je za člana Peterburške (1853.), Berlinske i Bolonjske akademije, Pariške akademije znanosti 1860. (Čebišev je tu čast dijelio samo s još jednim ruskim znanstvenikom, slavnim Baerom, izabranim 1876., a umro god. iste godine), dopisni član Kraljevskog londonskog društva, Švedske akademije znanosti itd., ukupno 25 različitih akademija i znanstvenih društava. Čebišev je također bio počasni član svih ruskih sveučilišta.

Obilježja njegovih znanstvenih zasluga vrlo su dobro izražena u bilješci akademika A. A. Markova i I. Ya. Sonina, pročitanoj na prvom sastanku Akademije nakon Čebiševljeve smrti. U ovoj bilješci, između ostalog, stoji:

Čebiševljeva djela nose pečat genija. Izmislio je nove metode za rješavanje mnogih teških pitanja koja su se davno postavljala i ostala neriješena. Istodobno je postavio niz novih pitanja na čijem je razvoju radio do kraja svojih dana.

Slavni matematičar Charles Hermite izjavio je da je Chebyshev “ponos ruske znanosti i jedan od najvećih matematičara u Europi”, a profesor na Sveučilištu u Stockholmu Mittag-Leffler ustvrdio je da je Chebyshev briljantan matematičar i jedan od najvećih analitičara svijeta. cijelo vrijeme.

Po P. L. Čebiševu nazvani su sljedeći:

* krater na Mjesecu;
* asteroid 2010 Chebyshev;
* matematički časopis "Chebyshev Collection"
* mnogi objekti u modernoj matematici.

Bibliografija

|Golovinski I. A. O opravdanju metode najmanjih kvadrata P. L. Čebiševa. // Povijesna i matematička istraživanja. Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ur.) Matematika 19. stoljeća. M.: Znanost.

Svezak 1. Matematička logika. Algebra. Teorija brojeva. Teorija vjerojatnosti. 1978. godine.