בוא נעבוד עם משוואות ריבועיות. אלו משוואות פופולריות מאוד! ממש השקפה כלליתהמשוואה הריבועית נראית כך:

לדוגמה:

כאן א =1; ב = 3; ג = -4

כאן א =2; ב = -0,5; ג = 2,2

כאן א =-3; ב = 6; ג = -18

טוב, אתה מבין...

איך להחליט משוואות ריבועיות? אם יש לפניך משוואה ריבועית בצורה זו, אז הכל פשוט. זכור את מילת הקסם מפלה . לעיתים רחוקות תלמיד תיכון לא שמע את המילה הזו! הביטוי "אנחנו פותרים באמצעות מפלה" מעורר ביטחון והרגעה. כי אין צורך לצפות לטריקים מהמבדיל! זה פשוט וללא בעיות לשימוש. אז, הנוסחה למציאת השורשים של משוואה ריבועית נראית כך:

הביטוי מתחת לסימן השורש הוא האחד מפלה. כפי שאתה יכול לראות, כדי למצוא X, אנו משתמשים רק a, b ו-c. הָהֵן. מקדמים ממשוואה ריבועית. רק תחליף בזהירות את הערכים א, ב ו-גזו הנוסחה שאנו מחשבים. בואו נחליף עם הסימנים שלך! לדוגמה, עבור המשוואה הראשונה א =1; ב = 3; ג= -4. כאן נכתוב את זה:

הדוגמה כמעט נפתרה:

זה הכל.

אילו מקרים אפשריים בעת שימוש בנוסחה זו? יש רק שלושה מקרים.

1. המפלה חיובית. זה אומר שאפשר לחלץ ממנו את השורש. האם השורש מופק טוב או גרוע זו שאלה אחרת. מה שחשוב זה מה שנשלף באופן עקרוני. אז למשוואה הריבועית שלך יש שני שורשים. שני פתרונות שונים.

2. המבחין הוא אפס. אז יש לך פתרון אחד. למהדרין, זה לא שורש אחד, אלא שניים זהים. אבל זה משחק תפקיד באי-שוויון, שם נלמד את הנושא ביתר פירוט.

3. המפלה היא שלילית. ממספר שלילי שורש ריבועילא חולץ. טוב בסדר. זה אומר שאין פתרונות.

הכל מאוד פשוט. ומה, אתה חושב שאי אפשר לטעות? ובכן, כן, איך...
הטעויות הנפוצות ביותר הן בלבול עם ערכי סימן א, ב ו-ג. או ליתר דיוק, לא עם הסימנים שלהם (איפה להתבלבל?), אלא עם החלפת ערכים שליליים בנוסחה לחישוב השורשים. מה שעוזר כאן הוא רישום מפורט של הנוסחה עם מספרים ספציפיים. אם יש בעיות בחישובים, לעשות את זה!

נניח שעלינו לפתור את הדוגמה הבאה:

כאן a = -6; b = -5; c = -1

נניח שאתה יודע שאתה כמעט ולא מקבל תשובות בפעם הראשונה.

ובכן, אל תתעצלו. ייקח בערך 30 שניות לכתוב שורה נוספת ומספר השגיאות יקטן בחדות. אז אנחנו כותבים בפירוט, עם כל הסוגריים והסימנים:

זה נראה קשה להפליא לכתוב כל כך בזהירות. אבל זה רק נראה כך. תן לזה הזדמנות. ובכן, או לבחור. מה עדיף, מהיר או נכון? חוץ מזה, אני אעשה אותך מאושר. לאחר זמן מה, לא יהיה צורך לכתוב הכל כל כך בקפידה. זה יסתדר מעצמו. במיוחד אם אתה משתמש בטכניקות מעשיות שמתוארות להלן. הדוגמה המרושעת הזו עם שלל מינוסים ניתנת לפתרון בקלות וללא שגיאות!

כך, איך לפתור משוואות ריבועיותדרך המאבחן שזכרנו. או שהם למדו, וזה גם טוב. אתה יודע איך לקבוע נכון א, ב ו-ג. אתה יודע איך? בתשומת לבהחליפו אותם בנוסחת השורש ו בתשומת לבלספור את התוצאה. הבנת את זה מילת מפתחכאן - בתשומת לב?

עם זאת, לעתים קרובות משוואות ריבועיות נראות מעט שונות. לדוגמה, כך:

זֶה משוואות ריבועיות לא שלמות . ניתן לפתור אותם גם באמצעות מפלה. אתה רק צריך להבין נכון למה הם שווים כאן. א, ב ו-ג.

הבנת את זה? בדוגמה הראשונה a = 1; b = -4;א ג? זה בכלל לא שם! ובכן כן, זה נכון. במתמטיקה זה אומר את זה c = 0 ! זה הכל. החלף אפס בנוסחה במקום זאת ג,ונצליח. אותו דבר עם הדוגמה השנייה. רק שאין לנו כאן אפס עם, א ב !

אבל אפשר לפתור משוואות ריבועיות לא שלמות הרבה יותר פשוט. בלי שום אפליה. בואו ניקח בחשבון את המשוואה הלא מלאה הראשונה. מה אפשר לעשות בצד שמאל? אתה יכול להוציא X מהסוגריים! בוא נוציא את זה.

ומה מזה? והעובדה שהמכפלה שווה לאפס אם ורק אם כל אחד מהגורמים שווה לאפס! לא מאמין לי? אוקיי, אז תמצא שני מספרים שאינם אפס, שכאשר מכפילים אותם, יתנו אפס!
לא עובד? זהו זה...
לכן, אנו יכולים לכתוב בביטחון: x = 0, או x = 4

את כל. אלו יהיו שורשי המשוואה שלנו. שניהם מתאימים. כאשר מחליפים כל אחד מהם במשוואה המקורית, נקבל את הזהות הנכונה 0 = 0. כפי שאתה יכול לראות, הפתרון הוא הרבה יותר פשוט מאשר שימוש באבחון.

גם את המשוואה השנייה אפשר לפתור בפשטות. העבר 9 ל צד ימין. אנחנו מקבלים:

כל מה שנותר הוא לחלץ את השורש מ-9, וזהו. יתברר:

גם שני שורשים . x = +3 ו-x = -3.

כך נפתרות כל המשוואות הריבועיות הלא שלמות. או על ידי הצבת X מתוך סוגריים, או פשוט על ידי הזזת המספר ימינה ואז חילוץ השורש.
קשה מאוד לבלבל בין טכניקות אלו. פשוט כי במקרה הראשון תצטרכו לחלץ את השורש של X, שהוא איכשהו לא מובן, ובמקרה השני אין מה להוציא מסוגריים...

כעת שימו לב לטכניקות מעשיות שמפחיתות באופן דרמטי את מספר השגיאות. אותם אלה שנובעים מחוסר תשומת לב... שעבורם זה הופך מאוחר יותר לכאוב ופוגע...

פגישה ראשונה. אל תתעצלו לפני שתפתרו משוואה ריבועית והביאו אותה לצורה סטנדרטית. מה זה אומר?
נניח שאחרי כל השינויים מקבלים את המשוואה הבאה:

אל תמהרו לכתוב את נוסחת השורש! כמעט בוודאות תערבבו את הסיכויים א, ב ו-ג.בנה את הדוגמה בצורה נכונה. ראשית, X בריבוע, אחר כך ללא ריבוע, ואז המונח החופשי. ככה:

ושוב, אל תמהרו! מינוס מול X בריבוע יכול להרגיז אותך מאוד. קל לשכוח... היפטרו מהמינוס. אֵיך? כן, כפי שלימדו בנושא הקודם! עלינו להכפיל את המשוואה כולה ב-1. אנחנו מקבלים:

אבל עכשיו אתה יכול לכתוב בבטחה את הנוסחה של השורשים, לחשב את המבחין ולסיים לפתור את הדוגמה. תחליט בעצמך. כעת אמורים להיות לך שורשים 2 ו-1.

קבלה שניה.בדוק את השורשים! לפי משפט וייטה. אל תפחד, אני אסביר הכל! בודק דבר אחרוןהמשוואה. הָהֵן. זו שהשתמשנו בה כדי לרשום את נוסחת השורש. אם (כמו בדוגמה זו) המקדם a = 1, קל לבדוק את השורשים. מספיק להכפיל אותם. התוצאה צריכה להיות חבר חינם, כלומר. במקרה שלנו -2. שימו לב, לא 2, אלא -2! חבר חינם עם השלט שלך . אם זה לא מסתדר, זה אומר שהם כבר פישלו איפשהו. חפש את השגיאה. אם זה עובד, אתה צריך להוסיף את השורשים. בדיקה אחרונה ואחרונה. המקדם צריך להיות בעם מול מוּכָּר. במקרה שלנו -1+2 = +1. מקדם ב, שהוא לפני ה-X, שווה ל-1. אז הכל נכון!
חבל שזה כל כך פשוט רק עבור דוגמאות שבהן x בריבוע הוא טהור, עם מקדם a = 1.אבל לפחות תבדוק במשוואות כאלה! יהיו פחות ופחות שגיאות.

קבלה שלישית. אם למשוואה שלך יש מקדמי שברים, היפטר מהשברים! הכפל את המשוואה במכנה משותף כמתואר ב הסעיף הקודם. כשעובדים עם שברים, שגיאות ממשיכות להתגנב מסיבה כלשהי...

אגב, הבטחתי לפשט את הדוגמה הרעה עם שלל מינוסים. אנא! הנה הוא.

כדי לא להתבלבל במינוסים, נכפיל את המשוואה ב-1. אנחנו מקבלים:

זה הכל! פתרון זה תענוג!

אז בואו נסכם את הנושא.

עצה מעשית:

1. לפני הפתרון, אנו מביאים את המשוואה הריבועית לצורה סטנדרטית ובונים אותה ימין.

2. אם יש מקדם שלילי לפני ה-X בריבוע, נבטל אותו על ידי הכפלת המשוואה כולה ב-1.

3. אם המקדמים הם שברים, אנו מבטלים את השברים על ידי הכפלת המשוואה כולה בגורם המתאים.

4. אם x בריבוע הוא טהור, המקדם שלו שווה לאחד, ניתן לאמת את הפתרון בקלות באמצעות המשפט של Vieta. תעשה את זה!

משוואות שברים. ODZ.

אנו ממשיכים לשלוט במשוואות. אנחנו כבר יודעים לעבוד עם משוואות ליניאריות וריבועיות. נשאר תצוגה אחרונה – משוואות שברים. או שהם גם נקראים הרבה יותר מכובדים - משוואות רציונליות שברים. זה אותו הדבר.

משוואות שברים.

כפי שהשם מרמז, משוואות אלה מכילות בהכרח שברים. אבל לא רק שברים, אלא שברים שיש להם לא ידוע במכנה. לפחות באחד. לדוגמה:

תן לי להזכיר לך שאם המכנים הם רק מספרים, אלו משוואות ליניאריות.

איך להחליט משוואות שברים? קודם כל, להיפטר משברים! לאחר מכן, המשוואה הופכת לרוב ללינארית או ריבועית. ואז אנחנו יודעים מה לעשות... במקרים מסוימים זה יכול להפוך לזהות, כמו 5=5 או ביטוי לא נכון, כמו 7=2. אבל זה קורה לעתים רחוקות. אציין זאת להלן.

אבל איך להיפטר משברים!? פשוט מאוד. החלת אותן טרנספורמציות זהות.

עלינו להכפיל את המשוואה כולה באותו ביטוי. כדי שכל המכנים יצטמצמו! הכל יהפוך מיד לקל יותר. תן לי להסביר עם דוגמה. הבה נצטרך לפתור את המשוואה:

כפי שלימד ב כיתות צעירות? אנחנו מזיזים הכל לצד אחד, מביאים אותו מכנה משותףוכו ' תשכח איך חלום נורא! זה מה שאתה צריך לעשות כאשר אתה מחבר או מפחית שברים. או שאתה עובד עם אי שוויון. ובמשוואות, אנחנו מיד מכפילים את שני הצדדים בביטוי שייתן לנו אפשרות לצמצם את כל המכנים (כלומר, בעצם, במכנה משותף). ומה זה הביטוי הזה?

בצד שמאל, הפחתת המכנה דורשת הכפלה ב x+2. ובצד ימין יש צורך בכפל 2. זה אומר שצריך להכפיל את המשוואה 2(x+2). לְהַכפִּיל:

זהו כפל נפוץ של שברים, אבל אני אתאר אותו בפירוט:

שימו לב שאני עדיין לא פותח את הסוגר (x + 2)! אז, במלואו, אני כותב את זה:

בצד שמאל זה מתכווץ לגמרי (x+2), ומימין 2. וזה מה שנדרש! לאחר צמצום נקבל ליניאריהמשוואה:

וכל אחד יכול לפתור את המשוואה הזו! x = 2.

בואו נפתור דוגמה נוספת, קצת יותר מסובכת:

אם נזכור ש-3 = 3/1, ו 2x = 2x/ 1, נוכל לכתוב:

ושוב אנחנו נפטרים ממה שאנחנו לא באמת אוהבים - שברים.

אנו רואים שכדי להקטין את המכנה עם X, עלינו להכפיל את השבר ב (x – 2). ומעטים אינם מפריעים לנו. ובכן, בואו נכפיל. את כל צד שמאלו את כלצד ימין:

שוב סוגריים (x – 2)אני לא מגלה. אני עובד עם התושבת כולה כאילו זה מספר אחד! זה חייב להיעשות תמיד, אחרת שום דבר לא יצטמצם.

בתחושת סיפוק עמוק אנו מפחיתים (x – 2)ונקבל משוואה ללא כל שברים, עם סרגל!

עכשיו בואו נפתח את הסוגריים:

אנחנו מביאים דומים, מזיזים הכל לצד שמאל ומקבלים:

משוואה ריבועית קלאסית. אבל המינוס קדימה לא טוב. אתה תמיד יכול להיפטר ממנו על ידי הכפלה או חלוקה ב-1. אבל אם תסתכלו היטב על הדוגמה, תבחינו שעדיף לחלק את המשוואה הזו ב-2! במכה אחת, המינוס ייעלם, והסיכויים יהפכו לאטרקטיביים יותר! מחלקים ב-2. בצד שמאל - איבר אחר איבר, ובצד ימין - פשוט מחלקים אפס ב-2, אפס ונקבל:

אנו פותרים דרך המבחין ובודקים באמצעות המשפט של Vieta. אנחנו מקבלים x = 1 ו-x = 3. שני שורשים.

כפי שניתן לראות, במקרה הראשון המשוואה לאחר הטרנספורמציה הפכה ללינארית, אך כאן היא הופכת לריבועית. קורה שאחרי שנפטרים משברים, כל ה-X מצטמצמים. נשאר משהו כמו 5=5. זה אומר ש x יכול להיות כל דבר. מה שזה לא יהיה, זה עדיין יצטמצם. ומסתבר שזו אמת צרופה, 5=5. אבל, לאחר היפטרות משברים, זה עלול להתברר כלא נכון, כמו 2=7. וזה אומר את זה אין פתרונות! כל X מתגלה כלא נכון.

הבין דרך ראשיתפתרונות משוואות שברים? זה פשוט והגיוני. אנחנו משנים את הביטוי המקורי כך שכל מה שאנחנו לא אוהבים ייעלם. או שזה מפריע. IN במקרה הזהאלו שברים. אנחנו נעשה את אותו הדבר עם כל מיני דוגמאות מורכבותעם לוגריתמים, סינוסים ושאר זוועות. אָנוּ תמידבואו ניפטר מכל זה.

עם זאת, עלינו לשנות את הביטוי המקורי בכיוון שאנו צריכים לפי הכללים, כן... השליטה בה היא הכנה למבחן המדינה המאוחדת במתמטיקה. אז אנחנו שולטים בזה.

כעת נלמד כיצד לעקוף אחד מהם המארב העיקרי בבחינת המדינה המאוחדת! אבל קודם, בוא נראה אם ​​אתה נופל לזה או לא?

בואו נסתכל על דוגמה פשוטה:

העניין כבר מוכר, אנחנו מכפילים את שני הצדדים בפי (x – 2), אנחנו מקבלים:

אני מזכיר לך, עם סוגריים (x – 2)אנחנו עובדים כאילו עם ביטוי אחד, אינטגרלי!

כאן כבר לא כתבתי אחד במכנים, זה לא מכובד... ולא ציירתי סוגריים במכנים, חוץ מזה x – 2אין כלום, אתה לא צריך לצייר. נקצר:

פתח את הסוגריים, הזז הכל שמאלה ותן דומים:

אנחנו פותרים, בודקים, מקבלים שני שורשים. x = 2ו x = 3. גדול.

נניח שהמשימה אומרת לרשום את השורש, או את הסכום שלהם אם יש יותר משורש אחד. מה אנחנו הולכים לכתוב?

אם תחליט שהתשובה היא 5, אתה עברו מארב. והמשימה לא תיזקף לזכותך. הם עבדו לשווא... התשובה הנכונה היא 3.

מה הבעיה?! ואתה מנסה לעשות בדיקה. החלף את ערכי הלא נודע מְקוֹרִידוגמא. ואם ב x = 3הכל יגדל ביחד בצורה נפלאה, נקבל 9 = 9, ואז מתי x = 2זה יהיה חלוקה באפס! מה שאתה בהחלט לא יכול לעשות. אומר x = 2אינו פתרון, ואינו נלקח בחשבון בתשובה. זהו מה שנקרא שורש חוץ או נוסף. אנחנו פשוט פוסלים את זה. השורש הסופי הוא אחד. x = 3.

איך זה?! – אני שומע קריאות ממורמרות. לימדו אותנו שאפשר להכפיל משוואה בביטוי! זהו מהפך זהה!

כן, זהה. בתנאי קטן - הביטוי שבו אנו מכפילים (מחלקים) - שונה מאפס. א x – 2בְּ- x = 2שווה לאפס! אז הכל הוגן.

ועכשיו מה אני יכול לעשות?! לא להכפיל בביטוי? האם עלי לבדוק כל פעם? שוב זה לא ברור!

בשקט! לא להיבהל!

במצב קשה זה, שלוש אותיות קסם יצילו אותנו. אני יודע מה אתה חושב. ימין! זֶה ODZ . אזור של ערכים מקובלים.

בהמשך לנושא "פתרון משוואות", החומר במאמר זה יציג בפניכם משוואות ריבועיות.

הבה נסתכל על הכל בפירוט: המהות והרישום של המשוואה הריבועית, נגדיר את המונחים הקשורים, ננתח את הסכימה לפתרון לא שלמים ו משוואות שלמות, בואו נכיר את נוסחת השורשים והמבחין, נבסס קשרים בין שורשים ומקדמים, וכמובן ניתן פתרון ויזואלי לדוגמאות מעשיות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

משוואה ריבועית, סוגיה

הגדרה 1

משוואה ריבועיתהיא משוואה שנכתבת בשם a x 2 + b x + c = 0, איפה איקס– משתנה, a , b ו ג– כמה מספרים, בעוד אאינו אפס.

לעתים קרובות, משוואות ריבועיות נקראות גם משוואות מהמעלה השנייה, שכן במהותה משוואה ריבועית היא משוואה אלגבריתתואר שני.

בוא ניתן דוגמה להמחשת ההגדרה הנתונה: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 וכו'. אלו הן משוואות ריבועיות.

הגדרה 2

מספרים a, b ו גהם המקדמים של המשוואה הריבועית a x 2 + b x + c = 0, בעוד המקדם אנקרא הראשון, או הבכיר, או המקדם ב-x 2, b - המקדם השני, או המקדם ב איקס, א גנקרא חבר חינם.

למשל, במשוואה הריבועית 6 x 2 − 2 x − 11 = 0המקדם המוביל הוא 6, המקדם השני הוא − 2 , והטווח החופשי שווה ל − 11 . הבה נשים לב לעובדה שכאשר המקדמים בו/או c הם שליליים, אז נעשה שימוש בצורה קצרה של הצורה 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, אבל לא 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

הבה נבהיר גם היבט זה: אם המקדמים או/או בשווה 1 אוֹ − 1 , אז הם לא יכולים לקחת חלק מפורש בכתיבת המשוואה הריבועית, אשר מוסברת על ידי המוזרויות של כתיבת המקדמים המספריים המצוינים. למשל, במשוואה הריבועית y 2 − y + 7 = 0המקדם המוביל הוא 1, והמקדם השני הוא − 1 .

משוואות ריבועיות מוקטנות ולא מוקטנות

בהתבסס על הערך של המקדם הראשון, משוואות ריבועיות מחולקות למשוואות מוקטנות ולא מופחתות.

הגדרה 3

משוואה ריבועית מופחתתהיא משוואה ריבועית שבה המקדם המוביל הוא 1. עבור ערכים אחרים של המקדם המוביל, המשוואה הריבועית אינה מופחתת.

ניתן דוגמאות: משוואות ריבועיות x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 מצטמצמות, שבכל אחת מהן המקדם המוביל הוא 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- משוואה ריבועית לא מופחתת, שבה המקדם הראשון שונה מ 1 .

ניתן להמיר כל משוואה ריבועית לא מופחתת למשוואה מופחתת על ידי חלוקת שני הצדדים במקדם הראשון (טרנספורמציה שווה ערך). למשוואה שעברה טרנספורמציה יהיו אותם שורשים כמו המשוואה הלא מופחתת הנתונה או שלא יהיו להם שורשים כלל.

הִתחַשְׁבוּת דוגמה קונקרטיתיאפשר לנו להדגים בבירור את המעבר ממשוואה ריבועית לא מופחתת למשוואה מוקטנת.

דוגמה 1

בהינתן המשוואה 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . יש צורך להמיר את המשוואה המקורית לצורה המופחתת.

פִּתָרוֹן

לפי הסכמה שלעיל, אנו מחלקים את שני הצדדים של המשוואה המקורית במקדם 6 המוביל. ואז נקבל: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, וזה זהה ל: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0ועוד: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.מכאן: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . כך, מתקבלת משוואה שווה ערך לנתונה.

תשובה: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

משוואות ריבועיות שלמות ולא שלמות

נעבור להגדרה של משוואה ריבועית. בו פירטנו את זה a ≠ 0. תנאי דומה נחוץ עבור המשוואה a x 2 + b x + c = 0היה מרובע בדיוק, מאז ב a = 0זה בעצם הופך ל משוואה לינארית b x + c = 0.

במקרה כאשר המקדמים בו גשווים לאפס (מה שאפשר, גם בנפרד וגם ביחד), המשוואה הריבועית נקראת לא שלמה.

הגדרה 4

משוואה ריבועית לא שלמה- משוואה ריבועית כזו a x 2 + b x + c = 0,שבו לפחות אחד מהמקדמים בו ג(או שניהם) הוא אפס.

שלם משוואה ריבועית– משוואה ריבועית שבה כל המקדמים המספריים אינם שווים לאפס.

בואו נדון מדוע סוגי המשוואות הריבועיות מקבלים בדיוק את השמות האלה.

כאשר b = 0, המשוואה הריבועית מקבלת את הצורה a x 2 + 0 x + c = 0, שהוא זהה ל a x 2 + c = 0. בְּ c = 0המשוואה הריבועית כתובה כ a x 2 + b x + 0 = 0, שהוא שווה ערך a x 2 + b x = 0. בְּ b = 0ו c = 0המשוואה תקבל את הצורה a x 2 = 0. המשוואות שהשגנו שונות מהמשוואה הריבועית השלמה בכך שהצד השמאלי שלהן אינו מכיל איבר עם המשתנה x, או איבר חופשי, או שניהם. למעשה, עובדה זו נתנה את השם לסוג המשוואה הזה - לא שלמה.

לדוגמה, x 2 + 3 x + 4 = 0 ו- 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 הן משוואות ריבועיות שלמות; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 - משוואות ריבועיות לא שלמות.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

ההגדרה שניתנה לעיל מאפשרת להבחין בין הסוגים הבאים של משוואות ריבועיות לא שלמות:

• a x 2 = 0, משוואה זו מתאימה למקדמים b = 0ו-c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ב-b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ב-c = 0.

הבה נבחן ברצף את הפתרון של כל סוג של משוואה ריבועית לא שלמה.

פתרון המשוואה a x 2 =0

כפי שהוזכר לעיל, משוואה זו תואמת את המקדמים בו ג, שווה לאפס. המשוואה a x 2 = 0ניתן להמיר למשוואה שווה ערך x 2 = 0, שאנו מקבלים על ידי חלוקת שני הצדדים של המשוואה המקורית במספר א, לא שווה לאפס. העובדה הברורה היא ששורש המשוואה x 2 = 0זה אפס כי 0 2 = 0 . למשוואה זו אין שורשים אחרים, שניתן להסביר על ידי תכונות התואר: לכל מספר p,לא שווה לאפס, אי השוויון נכון p 2 > 0, שממנו עולה כי מתי p ≠ 0שוויון p 2 = 0לעולם לא יושג.

הגדרה 5

לפיכך, עבור המשוואה הריבועית הלא שלמה a x 2 = 0 יש שורש בודד x = 0.

דוגמה 2

לדוגמה, בואו נפתור משוואה ריבועית לא שלמה − 3 x 2 = 0. זה שווה ערך למשוואה x 2 = 0, השורש היחיד שלו הוא x = 0, אז למשוואה המקורית יש שורש בודד - אפס.

בקצרה, הפתרון כתוב כך:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

פתרון המשוואה a x 2 + c = 0

הבא בתור הוא הפתרון של משוואות ריבועיות לא שלמות, כאשר b = 0, c ≠ 0, כלומר, משוואות הצורה a x 2 + c = 0. בואו נהפוך את המשוואה הזו על ידי העברת איבר מצד אחד של המשוואה לצד השני, שינוי הסימן לצד השני וחלוקת שני הצדדים של המשוואה במספר שאינו שווה לאפס:

• לְהַעֲבִיר גלצד ימין, שנותן את המשוואה a x 2 = − c;
• מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב א, בסופו של דבר נקבל x = - c a .

הטרנספורמציות שלנו שקולות, בהתאם לכך, המשוואה המתקבלת שקולה גם לזו המקורית, ועובדה זו מאפשרת להסיק מסקנות לגבי שורשי המשוואה. לפי מה הערכים או גהערך של הביטוי - c a תלוי: יכול להיות לו סימן מינוס (לדוגמה, if a = 1ו c = 2, אז - c a = - 2 1 = - 2) או סימן פלוס (לדוגמה, if a = − 2ו c = 6, אז - c a = - 6 - 2 = 3); זה לא אפס כי c ≠ 0. הבה נתעכב ביתר פירוט על מצבים שבהם - ג א< 0 и - c a > 0 .

במקרה כאשר - ג א< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа עהשוויון p 2 = - c a לא יכול להיות נכון.

הכל שונה כאשר - c a > 0: זכור את השורש הריבועי, ויהיה ברור ששורש המשוואה x 2 = - c a יהיה המספר - c a, שכן - c a 2 = - c a. לא קשה להבין שהמספר - - c a הוא גם השורש של המשוואה x 2 = - c a: אכן, - - c a 2 = - c a.

למשוואה לא יהיו שורשים אחרים. אנו יכולים להדגים זאת באמצעות שיטת הסתירה. בתור התחלה, הבה נגדיר את הסימונים עבור השורשים שנמצאו למעלה בתור x 1ו - x 1. נניח שגם למשוואה x 2 = - c a יש שורש x 2, שהוא שונה מהשורשים x 1ו - x 1. אנו יודעים זאת על ידי החלפה לתוך המשוואה איקסשורשיה, אנו הופכים את המשוואה לשוויון מספרי הוגן.

ל x 1ו - x 1אנו כותבים: x 1 2 = - c a , ועבור x 2- x 2 2 = - c a . בהתבסס על המאפיינים של שוויון מספרי, אנו מחסירים מונח שוויון נכון אחד אחר מונח מאחר, מה שייתן לנו: x 1 2 − x 2 2 = 0. אנו משתמשים במאפיינים של פעולות עם מספרים כדי לשכתב את השוויון האחרון כ (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. ידוע שהמכפלה של שני מספרים היא אפס אם ורק אם לפחות אחד מהמספרים הוא אפס. מהאמור לעיל עולה כי x 1 − x 2 = 0ו/או x 1 + x 2 = 0, שזה אותו דבר x 2 = x 1ו/או x 2 = − x 1. נוצרה סתירה ברורה, כי בתחילה הוסכם ששורש המשוואה x 2שונה מ x 1ו - x 1. אז, הוכחנו שלמשוואה אין שורשים מלבד x = - c a ו-x = - - c a.

הבה נסכם את כל הטיעונים לעיל.

הגדרה 6

משוואה ריבועית לא שלמה a x 2 + c = 0שווה ערך למשוואה x 2 = - c a, אשר:

• לא יהיו שורשים ב - ג א< 0 ;
• יהיו שני שורשים x = - c a ו-x = - - c a for - c a > 0.

תנו דוגמאות לפתרון המשוואות a x 2 + c = 0.

דוגמה 3

נתון משוואה ריבועית 9 x 2 + 7 = 0.יש צורך למצוא פתרון.

פִּתָרוֹן

בוא נעביר את האיבר החופשי לצד ימין של המשוואה, ואז המשוואה תקבל את הצורה 9 x 2 = − 7.
הבה נחלק את שני הצדדים של המשוואה המתקבלת ב 9 , אנו מגיעים ל-x 2 = -7 9 . בצד ימין אנו רואים מספר עם סימן מינוס, כלומר: למשוואה הנתונה אין שורשים. ואז המשוואה הריבועית הבלתי שלמה המקורית 9 x 2 + 7 = 0לא יהיו שורשים.

תשובה:המשוואה 9 x 2 + 7 = 0אין שורשים.

דוגמה 4

צריך לפתור את המשוואה − x 2 + 36 = 0.

פִּתָרוֹן

נזיז את 36 לצד ימין: − x 2 = − 36.
בואו נחלק את שני החלקים ב − 1 , אנחנו מקבלים x 2 = 36. בצד ימין יש מספר חיובי, שממנו ניתן להסיק זאת x = 36 או x = -36.
נחלץ את השורש ונכתוב את התוצאה הסופית: משוואה ריבועית לא שלמה − x 2 + 36 = 0בעל שני שורשים x=6אוֹ x = − 6.

תשובה: x=6אוֹ x = − 6.

פתרון המשוואה a x 2 +b x=0

הבה ננתח את הסוג השלישי של משוואות ריבועיות לא שלמות, כאשר c = 0. למצוא פתרון למשוואה ריבועית לא שלמה a x 2 + b x = 0, נשתמש בשיטת הפירוק לגורמים. בוא נחלק את הפולינום שנמצא בצד שמאל של המשוואה, ונוציא את הגורם המשותף מסוגריים איקס. שלב זה יאפשר להפוך את המשוואה הריבועית הבלתי שלמה המקורית למקבילה שלה x (a x + b) = 0. והמשוואה הזו, בתורה, שקולה לקבוצת משוואות x = 0ו a x + b = 0. המשוואה a x + b = 0ליניארי, והשורש שלו: x = − b a.

הגדרה 7

לפיכך, המשוואה הריבועית הלא שלמה a x 2 + b x = 0יהיו שני שורשים x = 0ו x = − b a.

בואו נחזק את החומר עם דוגמה.

דוגמה 5

יש צורך למצוא פתרון למשוואה 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

פִּתָרוֹן

אנחנו נוציא את זה איקסמחוץ לסוגריים נקבל את המשוואה x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . משוואה זו מקבילה למשוואות x = 0ו-2 3 x - 2 2 7 = 0. כעת עליך לפתור את המשוואה הליניארית המתקבלת: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

כתוב בקצרה את הפתרון למשוואה כך:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 או 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 או x = 3 3 7

תשובה: x = 0, x = 3 3 7.

מאבחן, נוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

כדי למצוא פתרונות למשוואות ריבועיות, יש נוסחת שורש:

הגדרה 8

x = - b ± D 2 · a, שבו D = b 2 − 4 a c– מה שנקרא אבחנה של משוואה ריבועית.

כתיבת x = - b ± D 2 · a פירושה בעצם ש-x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

זה יהיה שימושי להבין איך נוסחה זו נגזרה וכיצד ליישם אותה.

גזירת הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

הבה נעמוד בפני המשימה של פתרון משוואה ריבועית a x 2 + b x + c = 0. הבה נבצע מספר טרנספורמציות שוות ערך:

• מחלקים את שני הצדדים של המשוואה במספר א, שונה מאפס, נקבל את המשוואה הריבועית הבאה: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• בוא נבחר את הריבוע המלא בצד שמאל של המשוואה שהתקבלה:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ג א
  לאחר מכן, המשוואה תקבל את הצורה: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• כעת ניתן להעביר את שני האיברים האחרונים לצד ימין, תוך שינוי הסימן להפך, ולאחר מכן נקבל: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• לבסוף, אנו משנים את הביטוי שנכתב בצד ימין של השוויון האחרון:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

לפיכך, נגיע למשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, שווה ערך למשוואה המקורית a x 2 + b x + c = 0.

בדקנו את הפתרון של משוואות כאלה בפסקאות הקודמות (פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות). הניסיון שכבר נצבר מאפשר להסיק מסקנה לגבי שורשי המשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• עם b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• כאשר b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 המשוואה היא x + b 2 · a 2 = 0, ואז x + b 2 · a = 0.

מכאן ברור השורש היחיד x = - b 2 · a;

• עבור b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, הדברים הבאים יהיו נכונים: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 או x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , שזהה ל-x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 או x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , כלומר. למשוואה יש שני שורשים.

ניתן להסיק שנוכחות או היעדר שורשים של המשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (ולכן המשוואה המקורית) תלויה בסימן של הביטוי b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 כתוב בצד ימין. והסימן של ביטוי זה ניתן על ידי סימן המונה, (מכנה 4 א 2תמיד יהיה חיובי), כלומר, סימן הביטוי b 2 − 4 a c. הביטוי הזה b 2 − 4 a cהשם ניתן - המבחין של המשוואה הריבועית והאות D מוגדרת כיעודה. כאן ניתן לרשום את מהות המבחין - על סמך ערכו וסימן שלו, הם יכולים להסיק האם למשוואה הריבועית יהיו שורשים ממשיים, ואם כן, מהו מספר השורשים - אחד או שניים.

נחזור למשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . נכתוב אותו מחדש באמצעות סימון מבחין: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

הבה ננסח שוב את מסקנותינו:

הגדרה 9

• בְּ- ד< 0 למשוואה אין שורשים אמיתיים;
• בְּ- D=0למשוואה יש שורש בודד x = - b 2 · a ;
• בְּ- D > 0למשוואה יש שני שורשים: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 או x = - b 2 · a - D 4 · a 2. בהתבסס על מאפיינים של רדיקלים, שורשים אלה יכולים להיכתב בצורה: x = - b 2 · a + D 2 · a או - b 2 · a - D 2 · a. וכאשר אנו פותחים את המודולים ומביאים את השברים למכנה משותף, נקבל: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

אז התוצאה של ההיגיון שלנו הייתה גזירת הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, מבחין דמחושב לפי הנוסחה D = b 2 − 4 a c.

נוסחאות אלו מאפשרות לקבוע את שני השורשים האמיתיים כאשר המבחין גדול מאפס. כאשר המבחין הוא אפס, יישום שתי הנוסחאות ייתן את אותו השורש כפתרון היחיד למשוואה הריבועית. במקרה בו המבחין שלילי, אם ננסה להשתמש בנוסחת השורש הריבועי, נעמוד בפני הצורך לקחת את השורש הריבועי של מספר שלילי, מה שיוציא אותנו מעבר לתחום המספרים הממשיים. בְּ אפליה שליליתכלומר, למשוואה הריבועית לא יהיו שורשים אמיתיים, אבל אפשרי זוג שורשים מצומדים מורכבים, הנקבעים לפי אותן נוסחאות שורש שקיבלנו.

אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות באמצעות נוסחאות שורש

אפשר לפתור משוואה ריבועית על ידי שימוש מיידי בנוסחת השורש, אבל זה נעשה בדרך כלל כאשר יש צורך למצוא שורשים מורכבים.

ברוב המקרים, זה בדרך כלל אומר חיפוש לא מורכב, אלא שורשים אמיתיים של משוואה ריבועית. אז זה אופטימלי, לפני השימוש בנוסחאות לשורשים של משוואה ריבועית, לקבוע תחילה את המבחין ולוודא שהוא לא שלילי (אחרת נסיק שלמשוואה אין שורשים אמיתיים), ולאחר מכן להמשיך לחישוב ערך השורשים.

הנימוק לעיל מאפשר לנסח אלגוריתם לפתרון משוואה ריבועית.

הגדרה 10

כדי לפתור משוואה ריבועית a x 2 + b x + c = 0, נחוץ:

• לפי הנוסחה D = b 2 − 4 a cלמצוא את הערך המפלה;
• ב-D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• עבור D = 0, מצא את השורש היחיד של המשוואה באמצעות הנוסחה x = - b 2 · a ;
• עבור D > 0, קבע שני שורשים ממשיים של המשוואה הריבועית באמצעות הנוסחה x = - b ± D 2 · a.

שימו לב שכאשר המבחין הוא אפס, ניתן להשתמש בנוסחה x = - b ± D 2 · a, היא תיתן את אותה תוצאה כמו הנוסחה x = - b 2 · a.

בואו נסתכל על דוגמאות.

דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות

הבה ניתן פתרונות לדוגמאות לערכים שונים של המפלה.

דוגמה 6

אנחנו צריכים למצוא את שורשי המשוואה x 2 + 2 x − 6 = 0.

פִּתָרוֹן

נרשום את המקדמים המספריים של המשוואה הריבועית: a = 1, b = 2 ו c = − 6. לאחר מכן נמשיך לפי האלגוריתם, כלומר. נתחיל לחשב את המבחין, שעבורו נחליף את המקדמים a, b ו גלתוך נוסחת ההבחנה: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

אז נקבל D > 0, מה שאומר שלמשוואה המקורית יהיו שני שורשים אמיתיים.
כדי למצוא אותם, אנו משתמשים בנוסחת השורש x = - b ± D 2 · a ובתחליף לערכים המתאימים, נקבל: x = - 2 ± 28 2 · 1. הבה נפשט את הביטוי המתקבל על ידי הוצאת הגורם מסימן השורש ולאחר מכן צמצום השבר:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 או x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 או x = - 1 - 7

תשובה: x = - 1 + 7​​, x = - 1 - 7 .

דוגמה 7

צריך לפתור משוואה ריבועית − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

פִּתָרוֹן

בואו נגדיר את המבדיל: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. עם ערך זה של המבחין, למשוואה המקורית יהיה רק ​​שורש אחד, שנקבע על ידי הנוסחה x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

תשובה: x = 3.5.

דוגמה 8

צריך לפתור את המשוואה 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

פִּתָרוֹן

המקדמים המספריים של משוואה זו יהיו: a = 5, b = 6 ו-c = 2. אנו משתמשים בערכים האלה כדי למצוא את המבחין: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . המבחין המחושב הוא שלילי, כך שלמשוואה הריבועית המקורית אין שורשים אמיתיים.

במקרה שבו המשימה היא לציין שורשים מורכבים, אנו מיישמים את נוסחת השורש, מבצעים פעולות עם מספרים מרוכבים:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 או x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i או x = - 3 5 - 1 5 · i.

תשובה:אין שורשים אמיתיים; השורשים המורכבים הם כדלקמן: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN מערכת של ביהסאין דרישה סטנדרטית לחפש שורשים מורכבים, לפיכך, אם במהלך הפתרון נקבע שהמבחין הוא שלילי, מיד נכתבת התשובה שאין שורשים אמיתיים.

נוסחת שורש עבור מקדמי שנייה אפילו

נוסחת השורש x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) מאפשרת לקבל נוסחה נוספת, קומפקטית יותר, המאפשרת למצוא פתרונות למשוואות ריבועיות עם מקדם שווה עבור x ( או עם מקדם בצורה 2 · n, למשל, 2 3 או 14 ln 5 = 2 7 ln 5). הבה נראה כיצד נגזרת נוסחה זו.

הבה נעמוד בפני המשימה של מציאת פתרון למשוואה הריבועית a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . אנו ממשיכים לפי האלגוריתם: אנו קובעים את המבחין D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), ולאחר מכן משתמשים בנוסחת השורש:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

תנו לביטוי n 2 − a · c להיות מסומן כ-D 1 (לעיתים הוא מסומן D "). אז הנוסחה לשורשי המשוואה הריבועית הנבדקת עם המקדם השני 2 · n תקבל את הצורה:

x = - n ± D 1 a, כאשר D 1 = n 2 − a · c.

קל לראות ש-D = 4 · D 1, או D 1 = D 4. במילים אחרות, D 1 הוא רבע מהמפלה. ברור שהסימן של D 1 זהה לסימן D, כלומר הסימן של D 1 יכול לשמש גם כאינדיקטור לנוכחות או היעדר שורשים של משוואה ריבועית.

הגדרה 11

לפיכך, כדי למצוא פתרון למשוואה ריבועית עם מקדם שני של 2 n, יש צורך:

• מצא D 1 = n 2 − a · c ;
• ב-D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• כאשר D 1 = 0, קבע את השורש היחיד של המשוואה באמצעות הנוסחה x = - n a;
• עבור D 1 > 0, קבע שני שורשים אמיתיים באמצעות הנוסחה x = - n ± D 1 a.

דוגמה 9

יש צורך לפתור את המשוואה הריבועית 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

פִּתָרוֹן

אנו יכולים לייצג את המקדם השני של המשוואה הנתונה כ-2 · (− 3) . לאחר מכן נכתוב מחדש את המשוואה הריבועית הנתונה כ-5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, כאשר a = 5, n = − 3 ו-c = − 32.

בוא נחשב את החלק הרביעי של המבחין: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. הערך המתקבל הוא חיובי, מה שאומר שלמשוואה יש שני שורשים אמיתיים. הבה נקבע אותם באמצעות נוסחת השורש המתאימה:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 או x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 או x = - 2

ניתן יהיה לבצע חישובים באמצעות הנוסחה הרגילה לשורשים של משוואה ריבועית, אך במקרה זה הפתרון יהיה מסורבל יותר.

תשובה: x = 3 1 5 או x = - 2 .

פישוט הצורה של משוואות ריבועיות

לפעמים אפשר לייעל את צורת המשוואה המקורית, מה שיפשט את תהליך חישוב השורשים.

לדוגמה, המשוואה הריבועית 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 היא בבירור נוחה יותר לפתרון מאשר 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

לעתים קרובות יותר, פישוט הצורה של משוואה ריבועית מתבצע על ידי הכפלה או חלוקה של שני הצדדים שלה במספר מסוים. לדוגמה, לעיל הראינו ייצוג מפושט של המשוואה 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, המתקבלת על ידי חלוקת שני הצדדים ב-100.

טרנספורמציה כזו אפשרית כאשר המקדמים של המשוואה הריבועית אינם הדדיים מספרים ראשוניים. אז אנחנו בדרך כלל מחלקים את שני הצדדים של המשוואה במחלק המשותף הגדול ביותר של הערכים המוחלטים של המקדמים שלה.

כדוגמה, אנו משתמשים במשוואה הריבועית 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. הבה נקבע את ה-GCD של הערכים המוחלטים של המקדמים שלו: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. הבה נחלק את שני הצדדים של המשוואה הריבועית המקורית ב-6 ונקבל את המשוואה הריבועית המקבילה 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

על ידי הכפלת שני הצדדים של משוואה ריבועית, אתה בדרך כלל נפטר ממקדמי שברים. במקרה זה, הם מכפילים בכפולה המשותפת הפחותה של המכנים של המקדמים שלו. לדוגמה, אם כל חלק של המשוואה הריבועית 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 מוכפל עם LCM (6, 3, 1) = 6, הוא ייכתב יותר בצורה פשוטה x 2 + 4 x - 18 = 0.

לבסוף, נציין שכמעט תמיד אנו נפטרים מהמינוס במקדם הראשון של משוואה ריבועית על ידי שינוי הסימנים של כל איבר של המשוואה, אשר מושגת על ידי הכפלה (או חלוקה) של שני הצדדים ב-1. לדוגמה, מהמשוואה הריבועית − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, אתה יכול לעבור לגרסה המפושטת שלה 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

קשר בין שורשים ומקדמים

הנוסחה לשורשים של משוואות ריבועיות, המוכרת לנו כבר, x = - b ± D 2 · a, מבטאת את שורשי המשוואה באמצעות המקדמים המספריים שלה. בהתבסס על נוסחה זו, יש לנו הזדמנות לציין תלות אחרות בין השורשים והמקדמים.

הנוסחאות המפורסמות והישימות ביותר הן משפט וייטה:

x 1 + x 2 = - b a ו-x 2 = c a.

בפרט, עבור המשוואה הריבועית הנתונה, סכום השורשים הוא המקדם השני עם הסימן ההפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי. לדוגמה, על ידי הסתכלות על צורת המשוואה הריבועית 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, ניתן לקבוע מיד שסכום השורשים שלה הוא 7 3 ומכפלת השורשים הוא 22 3.

ניתן למצוא גם מספר קשרים אחרים בין השורשים והמקדמים של משוואה ריבועית. לדוגמה, ניתן לבטא את סכום ריבועי השורשים של משוואה ריבועית במונחים של מקדמים:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

שלב ראשון

משוואות ריבועיות. מדריך מקיף (2019)

במונח "משוואה ריבועית", מילת המפתח היא "ריבועית". המשמעות היא שהמשוואה חייבת להכיל בהכרח משתנה (אותו x) בריבוע, ואסור שיהיו איקסים בחזקת השלישית (או הגדולה יותר).

הפתרון של משוואות רבות מסתכם בפתרון משוואות ריבועיות.

בואו נלמד לקבוע שזו משוואה ריבועית ולא משוואה אחרת.

דוגמה 1.

בואו נפטר מהמכנה ונכפיל כל איבר של המשוואה ב

נזיז הכל לצד שמאל ונסדר את האיברים בסדר יורד של חזקה של X

כעת אנו יכולים לומר בביטחון שהמשוואה הזו היא ריבועית!

דוגמה 2.

הכפל את הצד השמאלי והימני ב:

משוואה זו, למרות שהיא הייתה בתוכה במקור, אינה ריבועית!

דוגמה 3.

בואו נכפיל הכל ב:

מַפְחִיד? המעלות הרביעית והשנייה... עם זאת, אם נעשה החלפה, נראה שיש לנו משוואה ריבועית פשוטה:

דוגמה 4.

נראה שזה קיים, אבל בואו נסתכל מקרוב. בואו נעביר הכל לצד שמאל:

תראה, זה מצטמצם - ועכשיו זו משוואה ליניארית פשוטה!

כעת נסו לקבוע בעצמכם אילו מהמשוואות הבאות הן ריבועיות ואילו לא:

דוגמאות:

תשובות:

1. כיכר;
2. כיכר;
3. לא מרובע;
4. לא מרובע;
5. לא מרובע;
6. כיכר;
7. לא מרובע;
8. כיכר.

מתמטיקאים מחלקים באופן מקובל את כל המשוואות הריבועיות לסוגים הבאים:

• השלם משוואות ריבועיות- משוואות שבהן המקדמים וכמו כן האיבר החופשי c אינם שווים לאפס (כמו בדוגמה). בנוסף, בין משוואות ריבועיות שלמות יש נָתוּן- אלו הן משוואות שבהן המקדם (המשוואה מדוגמה אחת לא רק מלאה, אלא גם מופחתת!)

• משוואות ריבועיות לא שלמות- משוואות שבהן המקדם או האיבר החופשי c שווים לאפס:

  הם לא שלמים כי חסר להם אלמנט כלשהו. אבל המשוואה חייבת תמיד להכיל x בריבוע!!! אחרת, זו כבר לא תהיה משוואה ריבועית, אלא משוואה אחרת.

למה הם המציאו חלוקה כזו? נראה שיש איקס בריבוע, וזה בסדר. חלוקה זו נקבעת לפי שיטות הפתרון. בואו נסתכל על כל אחד מהם ביתר פירוט.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

ראשית, בואו נתמקד בפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות – הן הרבה יותר פשוטות!

ישנם סוגים של משוואות ריבועיות לא שלמות:

1. , במשוואה זו המקדם שווה.
2. , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.
3. , במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.

1. אני. מכיוון שאנו יודעים לקחת את השורש הריבועי, בואו נבטא מהמשוואה הזו

הביטוי יכול להיות שלילי או חיובי. מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי, כי כשמכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי, אז: אם, אז למשוואה אין פתרונות.

ואם, אז נקבל שני שורשים. אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. העיקר שצריך לדעת ולזכור תמיד שזה לא יכול להיות פחות.

בואו ננסה לפתור כמה דוגמאות.

דוגמה 5:

פתור את המשוואה

כעת כל שנותר הוא לחלץ את השורש מצד שמאל וימין. אחרי הכל, אתה זוכר איך לחלץ שורשים?

תשובה:

לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!!!

דוגמה 6:

פתור את המשוואה

תשובה:

דוגמה 7:

פתור את המשוואה

הו! הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה

ללא שורשים!

עבור משוואות כאלה שאין להן שורשים, המתמטיקאים המציאו אייקון מיוחד - (סט ריק). ואת התשובה אפשר לכתוב כך:

תשובה:

לפיכך, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים. אין כאן הגבלות, כי לא חילצנו את השורש.
דוגמה 8:

פתור את המשוואה

הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:

לכן,

למשוואה זו יש שני שורשים.

תשובה:

הסוג הפשוט ביותר של משוואות ריבועיות לא שלמות (למרות שכולן פשוטות, נכון?). ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:

נפטר כאן מדוגמאות.

פתרון משוואות ריבועיות שלמות

אנו מזכירים לכם שמשוואה ריבועית מלאה היא משוואה של משוואת הצורה שבה

פתרון משוואות ריבועיות שלמות הוא קצת יותר קשה (רק קצת) מאלה.

זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות אבחנה! אפילו לא שלם.

השיטות האחרות יעזרו לך לעשות את זה מהר יותר, אבל אם יש לך בעיות עם משוואות ריבועיות, תחילה שלטו בפתרון באמצעות המבחין.

1. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות אבחנה.

פתרון משוואות ריבועיות בשיטה זו הוא פשוט מאוד; העיקר הוא לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות.

אם, אז למשוואה יש שורש. תשומת - לב מיוחדתלקחת צעד. מאבחן () אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.

• אם, אז הנוסחה בשלב תצטמצם ל. לפיכך, למשוואה יהיה רק ​​שורש.
• אם, אז לא נוכל לחלץ את שורש המבחין במדרגה. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.

נחזור למשוואות שלנו ונסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמה 9:

פתור את המשוואה

שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

זה אומר שלמשוואה יש שני שורשים.

שלב 3.

תשובה:

דוגמה 10:

פתור את המשוואה

המשוואה מוצגת בצורה סטנדרטית, אז שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

זה אומר שלמשוואה יש שורש אחד.

תשובה:

דוגמה 11:

פתור את המשוואה

המשוואה מוצגת בצורה סטנדרטית, אז שלב 1אנחנו מדלגים.

שלב 2.

אנו מוצאים את המפלה:

המשמעות היא שלא נוכל לחלץ את שורשו של המפלה. אין שורשים של המשוואה.

עכשיו אנחנו יודעים איך לרשום נכון תשובות כאלה.

תשובה:ללא שורשים

2. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה.

אם אתה זוכר, יש סוג של משוואה שנקרא מופחת (כאשר מקדם a שווה ל):

קל מאוד לפתור משוואות כאלה באמצעות משפט וייטה:

סכום השורשים נָתוּןהמשוואה הריבועית שווה, ומכפלת השורשים שווה.

דוגמה 12:

פתור את המשוואה

ניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות משפט וייטה כי .

סכום שורשי המשוואה שווה, כלומר. נקבל את המשוואה הראשונה:

והמוצר שווה ל:

בואו נרכיב ונפתור את המערכת:

• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הכמות שווה.

והם הפתרון למערכת:

תשובה: ; .

דוגמה 13:

פתור את המשוואה

תשובה:

דוגמה 14:

פתור את המשוואה

המשוואה ניתנת, כלומר:

תשובה:

משוואות ריבועיות. רמה ממוצעת

מהי משוואה ריבועית?

במילים אחרות, משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה, שבה - הלא נודע, - מספרים מסוימים, ו.

המספר נקרא הגבוה ביותר או מקדם ראשוןמשוואה ריבועית, - מקדם שני, א - חבר חינם.

למה? כי אם המשוואה מיד הופכת לינארית, כי ייעלם.

במקרה זה, והוא יכול להיות שווה לאפס. בכיסא הזה משוואת הכיסא נקראת לא שלמה. אם כל המונחים קיימים, כלומר, המשוואה הושלמה.

פתרונות לסוגים שונים של משוואות ריבועיות

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות:

ראשית, בואו נסתכל על שיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות - הן פשוטות יותר.

אנו יכולים להבחין בין סוגי המשוואות הבאים:

I., במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.

II. , במשוואה זו המקדם שווה.

III. , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.

כעת נסתכל על הפתרון לכל אחד מתתי הסוגים הללו.

ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:

מספר בריבוע אינו יכול להיות שלילי, כי כאשר מכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי. זו הסיבה:

אם, אז למשוואה אין פתרונות;

אם יש לנו שני שורשים

אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. הדבר העיקרי שיש לזכור הוא שזה לא יכול להיות פחות.

דוגמאות:

פתרונות:

תשובה:

לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!

הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה

ללא שורשים.

כדי לרשום בקצרה שלבעיה אין פתרונות, אנו משתמשים בסמל הסט הריק.

תשובה:

אז, למשוואה הזו יש שני שורשים: ו.

תשובה:

הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:

המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. זה אומר שלמשוואה יש פתרון כאשר:

אז, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים: ו.

דוגמא:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

בואו נחשוב על הצד השמאלי של המשוואה ונמצא את השורשים:

תשובה:

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות שלמות:

1. מפלה

פתרון משוואות ריבועיות בדרך זו קל, העיקר לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות. זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות אבחנה! אפילו לא שלם.

שמתם לב לשורש מהאבחנה בנוסחה לשורשים? אבל המאבחן יכול להיות שלילי. מה לעשות? עלינו לשים לב במיוחד לשלב 2. המבחין אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.

• אם, אז למשוואה יש שורשים:
• אם אז יש למשוואה שורשים זהים, אבל בעצם שורש אחד:

  שורשים כאלה נקראים שורשים כפולים.

• אם, אזי שורש המבחין לא נשלף. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.

מדוע אפשר מספר שונה של שורשים? בואו נפנה ל חוש גיאומטרימשוואה ריבועית. הגרף של הפונקציה הוא פרבולה:

במקרה מיוחד, שהוא משוואה ריבועית,. המשמעות היא שהשורשים של משוואה ריבועית הם נקודות החיתוך עם ציר האבשיסה (ציר). פרבולה עשויה שלא לחצות את הציר כלל, או עשויה לחצות אותו באחת (כאשר קודקוד הפרבולה שוכן על הציר) או בשתי נקודות.

בנוסף, המקדם אחראי על כיוון ענפי הפרבולה. אם, אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, ואם, אז מטה.

דוגמאות:

פתרונות:

תשובה:

תשובה: .

תשובה:

זה אומר שאין פתרונות.

תשובה: .

2. משפט וייטה

קל מאוד להשתמש במשפט Vieta: אתה רק צריך לבחור זוג מספרים שהמכפלה שלהם שווה לאיבר החופשי של המשוואה, והסכום שווה למקדם השני שנלקח עם הסימן הנגדי.

חשוב לזכור שניתן ליישם את המשפט של וייטה רק ב משוואות ריבועיות מופחתות ().

בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

דוגמה מס' 1:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

ניתן לפתור את המשוואה הזו באמצעות משפט וייטה כי . מקדמים אחרים: ; .

סכום שורשי המשוואה הוא:

והמוצר שווה ל:

בוא נבחר זוגות מספרים שהמכפלה שלהם שווה ונבדוק אם הסכום שלהם שווה:

• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הסכום שווה ל;
• ו. הכמות שווה.

והם הפתרון למערכת:

כך, והם שורשי המשוואה שלנו.

תשובה: ; .

דוגמה מס' 2:

פִּתָרוֹן:

בוא נבחר זוגות של מספרים שנותנים במכפלה, ואז נבדוק אם הסכום שלהם שווה:

וכן: הם נותנים בסך הכל.

וכן: הם נותנים בסך הכל. כדי להשיג, זה מספיק פשוט לשנות את הסימנים של השורשים כביכול: ואחרי הכל, את המוצר.

תשובה:

דוגמה מס' 3:

פִּתָרוֹן:

האיבר החופשי של המשוואה הוא שלילי, ולכן מכפלת השורשים היא מספר שלילי. זה אפשרי רק אם אחד השורשים שלילי והשני חיובי. לכן סכום השורשים שווה ל הבדלים של המודולים שלהם.

הבה נבחר זוגות של מספרים שנותנים במוצר, ושההפרש ביניהם שווה ל:

וכן: ההבדל ביניהם שווה - אינו מתאים;

וכן: - לא מתאים;

וכן: - לא מתאים;

ו: - מתאים. כל מה שנותר הוא לזכור שאחד השורשים הוא שלילי. מכיוון שהסכום שלהם חייב להיות שווה, השורש בעל המודולוס הקטן יותר חייב להיות שלילי: . אנחנו בודקים:

תשובה:

דוגמה מס' 4:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

המשוואה ניתנת, כלומר:

המונח החופשי הוא שלילי, ולכן מכפלת השורשים היא שלילית. וזה אפשרי רק כאשר שורש אחד של המשוואה שלילי והשני חיובי.

בואו נבחר זוגות של מספרים שהמכפלה שלהם שווה, ולאחר מכן נקבע לאילו שורשים יש סימן שלילי:

ברור שרק השורשים ומתאימים למצב הראשון:

תשובה:

דוגמה מס' 5:

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן:

המשוואה ניתנת, כלומר:

סכום השורשים הוא שלילי, כלומר, לפי לפחות, אחד השורשים הוא שלילי. אבל מכיוון שהמוצר שלהם חיובי, זה אומר שלשני השורשים יש סימן מינוס.

הבה נבחר זוגות של מספרים שהמכפלה שלהם שווה ל:

ברור שהשורשים הם המספרים ו.

תשובה:

מסכים, זה מאוד נוח להמציא שורשים בעל פה, במקום לספור את המבחין המגעיל הזה. נסו להשתמש במשפט של וייטה לעתים קרובות ככל האפשר.

אבל המשפט של וייטה נחוץ על מנת להקל ולהאיץ את מציאת השורשים. כדי שתוכל להפיק תועלת מהשימוש בו, עליך להביא את הפעולות לאוטומטיות. ולשם כך פתרו עוד חמש דוגמאות. אבל אל תרמות: אתה לא יכול להשתמש בגורם מפלה! רק משפט וייטה:

פתרונות למשימות לעבודה עצמאית:

משימה 1. ((x)^(2))-8x+12=0

לפי משפט וייטה:

כרגיל, אנחנו מתחילים את הבחירה עם היצירה:

לא מתאים בגלל הכמות;

: הכמות היא בדיוק מה שאתה צריך.

תשובה: ; .

משימה 2.

ושוב משפט וייטה האהוב עלינו: הסכום חייב להיות שווה, והמכפלה חייבת להיות שווה.

אבל כיון שחייב לא, אלא, אנו משנים את סימני השורשים: ו (בסך הכל).

תשובה: ; .

משימה 3.

הממ... איפה זה?

עליך להעביר את כל המונחים לחלק אחד:

סכום השורשים שווה למוצר.

בסדר, תפסיק! המשוואה לא ניתנת. אבל המשפט של Vieta ישים רק במשוואות הנתונות. אז קודם כל צריך לתת משוואה. אם אינך יכול להוביל, וותר על הרעיון הזה ופתור אותו בדרך אחרת (למשל, באמצעות מפלה). הרשו לי להזכיר לכם כי לתת משוואה ריבועית פירושו להפוך את המקדם המוביל לשווה:

גדול. אז סכום השורשים שווה למכפלה.

כאן זה קל כמו הפגזת אגסים לבחור: אחרי הכל, זה מספר ראשוני (סליחה על הטאוטולוגיה).

תשובה: ; .

משימה 4.

החבר החופשי הוא שלילי. מה מיוחד בזה? והעובדה היא שלשורשים יהיו סימנים שונים. ועכשיו, במהלך הבחירה, אנו בודקים לא את סכום השורשים, אלא את ההבדל במודולים שלהם: ההבדל הזה שווה, אבל מוצר.

אז, השורשים שווים ו, ​​אבל אחד מהם הוא מינוס. משפט וייטה אומר לנו שסכום השורשים שווה למקדם השני עם הסימן ההפוך, כלומר. זה אומר שלשורש הקטן יותר יהיה מינוס: ו, מאז.

תשובה: ; .

משימה 5.

מה כדאי לעשות קודם? נכון, תן את המשוואה:

שוב: אנו בוחרים את הגורמים של המספר, וההבדל שלהם צריך להיות שווה ל:

השורשים שווים ו, ​​אבל אחד מהם הוא מינוס. איזה? הסכום שלהם צריך להיות שווה, כלומר למינוס יהיה שורש גדול יותר.

תשובה: ; .

תן לי לסכם:

1. משפט וייטה משמש רק במשוואות הריבועיות שניתנו.
2. באמצעות משפט וייטה, אתה יכול למצוא את השורשים לפי בחירה, בעל פה.
3. אם המשוואה לא ניתנת או שלא נמצא צמד גורמים מתאים של המונח החופשי, אז אין שורשים שלמים, וצריך לפתור את זה בדרך אחרת (למשל, באמצעות אבחנה).

3. שיטה לבחירת ריבוע שלם

אם כל האיברים המכילים את הלא נודע מיוצגים בצורה של איברים מנוסחאות כפל מקוצר - ריבוע הסכום או ההפרש - אז לאחר החלפת משתנים, ניתן להציג את המשוואה בצורה של משוואה ריבועית לא שלמה מהסוג.

לדוגמה:

דוגמה 1:

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

תשובה:

דוגמה 2:

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

תשובה:

באופן כללי, השינוי ייראה כך:

זה מרמז: .

לא מזכיר לך כלום? זה דבר מפלה! בדיוק כך קיבלנו את נוסחת ההבחנה.

משוואות ריבועיות. בקצרה על הדברים העיקריים

משוואה ריבועית- זוהי משוואה של הצורה, שבה - הלא נודע, - המקדמים של המשוואה הריבועית, - האיבר החופשי.

שלם משוואה ריבועית- משוואה שבה המקדמים אינם שווים לאפס.

משוואה ריבועית מופחתת- משוואה שבה המקדם, כלומר: .

משוואה ריבועית לא שלמה- משוואה שבה המקדם או האיבר החופשי c שווים לאפס:

• אם המקדם, המשוואה נראית כך: ,
• אם יש מונח חופשי, למשוואה יש את הצורה: ,
• אם וכן, המשוואה נראית כך: .

1. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

1.1. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :

1) בואו נביע את הלא נודע: ,

2) בדוק את הסימן של הביטוי:

• אם, אז למשוואה אין פתרונות,
• אם, אז למשוואה יש שני שורשים.

1.2. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :

1) הבה נוציא את הגורם המשותף בין סוגריים: ,

2) המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. לכן, למשוואה יש שני שורשים:

1.3. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה:

למשוואה הזו יש תמיד רק שורש אחד: .

2. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות שלמות של הצורה איפה

2.1. פתרון באמצעות אבחנה

1) בואו נביא את המשוואה לצורה סטנדרטית: ,

2) בוא נחשב את המבחין באמצעות הנוסחה: , המציינת את מספר השורשים של המשוואה:

3) מצא את שורשי המשוואה:

• אם, אז למשוואה יש שורשים, שנמצאים על ידי הנוסחה:
• אם, אז למשוואה יש שורש, שנמצא על ידי הנוסחה:
• אם, אז למשוואה אין שורשים.

2.2. פתרון באמצעות משפט וייטה

סכום השורשים של המשוואה הריבועית המוקטנת (משוואת הצורה שבו) שווה, ומכפלת השורשים שווה, כלומר. , א.

2.3. פתרון בשיטת בחירת ריבוע שלם

בעיות של משוואה ריבועית נלמדות הן בתוכנית הלימודים בבית הספר והן באוניברסיטאות. הם מתכוונים למשוואות בצורה a*x^2 + b*x + c = 0, כאשר איקס-משתנה, a, b, c - קבועים; א<>0 . המשימה היא למצוא את שורשי המשוואה.

משמעות גיאומטרית של משוואה ריבועית

הגרף של פונקציה שמיוצגת על ידי משוואה ריבועית הוא פרבולה. הפתרונות (השורשים) של משוואה ריבועית הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר האבשיסה (x). מכאן נובע שיש שלושה מקרים אפשריים:
1) לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר האבשיסה. זה אומר שהוא נמצא במישור העליון עם ענפים למעלה או בתחתית עם ענפים למטה. במקרים כאלה, למשוואה הריבועית אין שורשים אמיתיים (יש לה שני שורשים מורכבים).

2) לפרבולה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר השור. נקודה כזו נקראת קודקוד הפרבולה, והמשוואה הריבועית בה מקבלת את ערכה המינימלי או המקסימלי. במקרה זה, למשוואה הריבועית יש שורש אמיתי אחד (או שני שורשים זהים).

3) מקרה אחרוןבפועל זה יותר מעניין - יש שתי נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר האבשיסה. זה אומר שיש שני שורשים אמיתיים של המשוואה.

בהתבסס על ניתוח מקדמי הכוחות של המשתנים, ניתן להסיק מסקנות מעניינות לגבי מיקום הפרבולה.

1) אם מקדם a גדול מאפס, אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה; אם הוא שלילי, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מטה.

2) אם מקדם b גדול מאפס, אז קודקוד הפרבולה נמצא בחצי המישור השמאלי אם הוא לוקח משמעות שלילית- ואז מימין.

גזירת הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

נעביר את הקבוע מהמשוואה הריבועית

עבור סימן השוויון, אנו מקבלים את הביטוי

הכפל את שני הצדדים ב-4a

כדי לקבל ריבוע שלם בצד שמאל, הוסף b^2 משני הצדדים ובצע את השינוי

מכאן אנו מוצאים

נוסחה לאבחנה ולשורשים של משוואה ריבועית

המבחין הוא הערך של הביטוי הרדיקלי, אם הוא חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים ממשיים, המחושבים לפי הנוסחה כאשר המבחין הוא אפס, למשוואה הריבועית יש פתרון אחד (שני שורשים חופפים), אותו ניתן לקבל בקלות מהנוסחה לעיל עבור D=0. כאשר המבחין שלילי, למשוואה אין שורשים ממשיים. עם זאת, פתרונות למשוואה הריבועית נמצאים במישור המורכב, וערכם מחושב באמצעות הנוסחה

משפט וייטה

הבה נבחן שני שורשים של משוואה ריבועית ונבנה משוואה ריבועית על בסיסם. המשפט של וייטה עצמו נובע בקלות מהסיימון: אם יש לנו משוואה ריבועית של הצורה אז סכום השורשים שלו שווה למקדם p שנלקח עם הסימן ההפוך, ומכפלת שורשי המשוואה שווה לאיבר החופשי q. הייצוג הנוסחאי של האמור לעיל ייראה כמו אם במשוואה קלאסית הקבוע a אינו אפס, אז אתה צריך לחלק בו את המשוואה כולה, ולאחר מכן ליישם את המשפט של Vieta.

לוח זמנים של משוואות ריבועיות של פקטורינג

תן למשימה להיות מוגדרת: גורם משוואה ריבועית. לשם כך נפתור תחילה את המשוואה (מצא את השורשים). לאחר מכן, נחליף את השורשים שנמצאו בנוסחת ההרחבה של המשוואה הריבועית, זה יפתור את הבעיה.

בעיות במשוואה ריבועית

משימה 1. מצא את השורשים של משוואה ריבועית

x^2-26x+120=0 .

פתרון: רשמו את המקדמים והחליפו אותם בנוסחה המבדילה

שורש של ערך נתוןשווה ל-14, קל למצוא בעזרת מחשבון, או לזכור מתי שימוש תכוף, לעומת זאת, מטעמי נוחות, בסוף המאמר אתן לך רשימה של ריבועי מספרים שניתן להיתקל בהם לעיתים קרובות בבעיות כאלה.
אנו מחליפים את הערך שנמצא בנוסחת השורש

ואנחנו מקבלים

משימה 2. פתור את המשוואה

2x 2 +x-3=0.

פתרון: יש לנו משוואה ריבועית מלאה, רשום את המקדמים ומצא את המבחין


בעזרת נוסחאות ידועות נמצא את שורשי המשוואה הריבועית

משימה 3. פתור את המשוואה

9x 2 -12x+4=0.

פתרון: יש לנו משוואה ריבועית מלאה. קביעת המפלה

יש לנו מקרה שבו השורשים חופפים. מצא את ערכי השורשים באמצעות הנוסחה

משימה 4. פתור את המשוואה

x^2+x-6=0 .

פתרון: במקרים שבהם יש מקדמים קטנים ל-x, רצוי ליישם את משפט וייטה. לפי מצבו נקבל שתי משוואות

מהתנאי השני אנו מוצאים שהמכפלה חייבת להיות שווה ל-6. זה אומר שאחד השורשים הוא שלילי. יש לנו את צמד הפתרונות האפשריים הבאים (-3;2), (3;-2) . בהתחשב בתנאי הראשון, אנו דוחים את צמד הפתרונות השני.
שורשי המשוואה שווים

בעיה 5. מצא את אורכי הצלעות של מלבן אם היקפו 18 ס"מ ושטחו 77 ס"מ 2.

פתרון: חצי היקף של מלבן שווה לסכום הצלעות הסמוכות לו. נסמן את x כצד הגדול יותר, ואז 18-x הוא הצלע הקטנה שלו. שטח המלבן שווה למכפלת האורכים הללו:
x(18-x)=77;
אוֹ
x 2 -18x+77=0.
בואו נמצא את ההבחנה של המשוואה

חישוב שורשי המשוואה

אם x=11,זֶה 18=7 ,גם ההפך נכון (אם x=7, אז 21=9).

בעיה 6. רכז את המשוואה הריבועית 10x 2 -11x+3=0.

פתרון: בוא נחשב את שורשי המשוואה, לשם כך נמצא את המבחין

אנו מחליפים את הערך שנמצא בנוסחת השורש ומחשבים

אנו מיישמים את הנוסחה לפירוק משוואה ריבועית לפי שורשים

בפתיחת הסוגריים נקבל זהות.

משוואה ריבועית עם פרמטר

דוגמה 1. באיזה ערכי פרמטר א ,האם למשוואה (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 יש שורש אחד?

פתרון: בהחלפה ישירה של הערך a=3 אנו רואים שאין לו פתרון. לאחר מכן, נשתמש בעובדה שעם אבחנה אפס למשוואה יש שורש אחד של ריבוי 2. בוא נכתוב את המפלה

בואו נפשט את זה ונשווה אותו לאפס

קיבלנו משוואה ריבועית ביחס לפרמטר a, שאת פתרונה ניתן להשיג בקלות באמצעות משפט וייטה. סכום השורשים הוא 7, והתוצר שלהם הוא 12. בחיפוש פשוט אנו קובעים שהמספרים 3,4 יהיו שורשי המשוואה. מכיוון שכבר דחינו את הפתרון a=3 בתחילת החישובים, הנכון היחיד יהיה - a=4.לפיכך, עבור a=4 למשוואה יש שורש אחד.

דוגמה 2. באיזה ערכי פרמטר א ,המשוואה a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0יש יותר משורש אחד?

פתרון: תחילה נתייחס לנקודות הסינגולריות, הן יהיו הערכים a=0 ו-a=-3. כאשר a=0, המשוואה תפושט לצורה 6x-9=0; x=3/2 ויהיה שורש אחד. עבור a= -3 נקבל את הזהות 0=0.
בוא נחשב את המבחין

ולמצוא את הערך של a שבו הוא חיובי

מהתנאי הראשון נקבל a>3. עבור השני, אנו מוצאים את המבחין ושורשי המשוואה


בואו נגדיר את המרווחים שבהם לוקחת הפונקציה ערכים חיוביים. על ידי החלפת הנקודה a=0 נקבל 3>0 . אז מחוץ למרווח (-3;1/3) הפונקציה שלילית. אל תשכח את הנקודה a=0,מה שצריך להחריג מכיוון שלמשוואה המקורית יש שורש אחד.
כתוצאה מכך, אנו מקבלים שני מרווחים העונים על תנאי הבעיה

יהיו הרבה משימות דומות בפועל, נסו להבין את המשימות בעצמכם ואל תשכחו לקחת בחשבון את התנאים המוציאים זה את זה. למד היטב את הנוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות; הן נחוצות לעתים קרובות בחישובים בבעיות ובמדעים שונים.

בית ספר תיכון כפרי קופייבסקאיה

10 דרכים לפתור משוואות ריבועיות

ראש: פטריקיבה גלינה אנטולייבנה,

מורה למתמטיקה

כפר קופבו, 2007

1. היסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות

1.1 משוואות ריבועיות בבבל העתיקה

1.2 כיצד דיופנטוס חיבר ופתר משוואות ריבועיות

1.3 משוואות ריבועיות בהודו

1.4 משוואות ריבועיות מאת אל-חורזמי

1.5 משוואות ריבועיות באירופה מאות XIII - XVII

1.6 על משפט וייטה

2. שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

סיכום

סִפְרוּת

1. היסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות

1.1 משוואות ריבועיות בבבל העתיקה

הצורך לפתור משוואות לא רק מהמדרגה הראשונה, אלא גם מהדרגה השנייה, אפילו בימי קדם, נגרם מהצורך לפתור בעיות הקשורות במציאת שטחי חלקות קרקע ובעבודות חפירה בעלות אופי צבאי, גם כן. כמו בהתפתחות האסטרונומיה והמתמטיקה עצמה. ניתן לפתור משוואות ריבועיות בסביבות שנת 2000 לפני הספירה. ה. בבל.

באמצעות סימון אלגברי מודרני, אנו יכולים לומר שבטקסטים שלהם בכתב היתדות יש, בנוסף לאלה שאינם שלמים, משוואות ריבועיות שלמות, למשל:

איקס 2 + איקס = ¾; איקס 2 - איקס = 14,5

הכלל לפתרון המשוואות הללו, שנקבע בטקסטים הבבליים, תואם בעיקרו את הכלל המודרני, אך לא ידוע כיצד הגיעו הבבלים לכלל זה. כמעט כל הטקסטים של כתב היתדות שנמצאו עד כה מספקים רק בעיות עם פתרונות שנקבעו בצורה של מתכונים, ללא אינדיקציה לגבי איך הם נמצאו.

למרות רמת ההתפתחות הגבוהה של האלגברה בבבל, הטקסטים בכתב היתדות אינם מכילים את המושג של מספר שלילי ו שיטות כלליותפתרון משוואות ריבועיות.

1.2 כיצד דיופנטוס חיבר ופתר משוואות ריבועיות.

האריתמטיקה של דיופנטוס אינה מכילה הצגה שיטתית של אלגברה, אך היא מכילה סדרה שיטתית של בעיות, מלוות בהסברים ונפתרות באמצעות בניית משוואות בדרגות שונות.

בעת חיבור משוואות, דיופנטוס בוחר במיומנות אלמונים כדי לפשט את הפתרון.

הנה, למשל, אחת המשימות שלו.

בעיה 11."מצא שני מספרים, בידיעה שהסכום שלהם הוא 20 והמוצר שלהם הוא 96"

דיופנטוס מנמק כך: מתנאי הבעיה עולה שהמספרים הנדרשים אינם שווים, שכן אילו היו שווים, אז המכפלה שלהם לא הייתה שווה ל-96, אלא ל-100. לפיכך, אחד מהם יהיה יותר מ- מחצית מהסכום שלהם, כלומר. 10 + x, השני הוא פחות, כלומר. שנות ה-10. ההבדל ביניהם 2x .

מכאן המשוואה:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

מכאן x = 2. אחד מהמספרים הנדרשים שווה ל 12 , אחר 8 . פִּתָרוֹן x = -2שכן דיופנטוס אינו קיים, שכן המתמטיקה היוונית ידעה רק מספרים חיוביים.

אם נפתור בעיה זו על ידי בחירה באחד מהמספרים הנדרשים בתור הלא נודע, אז נגיע לפתרון המשוואה

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ברור שבאמצעות הבחירה בחצי ההפרש של המספרים הנדרשים כבלתי ידוע, דיופאנטוס מפשט את הפתרון; הוא מצליח לצמצם את הבעיה לפתרון משוואה ריבועית לא שלמה (1).

1.3 משוואות ריבועיות בהודו

בעיות במשוואות ריבועיות נמצאות כבר בחיבור האסטרונומי "אריאבהטיאם", שחיבר בשנת 499 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבהאטה. מדען הודי אחר, Brahmagupta (המאה השביעית), תיאר חוק כלליפתרונות של משוואות ריבועיות מופחתות לצורה קנונית אחת:

אה 2+ ב x = c, a > 0. (1)

במשוואה (1), המקדמים, למעט א, יכול להיות גם שלילי. השלטון של ברהמגופטה זהה למעשה לשלנו.

בהודו העתיקה, תחרויות ציבוריות בפתרון בעיות קשות היו נפוצות. אחד הספרים ההודיים הישנים אומר את הדברים הבאים על תחרויות כאלה: "כפי שהשמש מאפילה על הכוכבים בזוהר שלה, כך איש מלומדלהאפיל על תהילתו של אחר באסיפות פופולריות על ידי הצעת ופתרון בעיות אלגבריות." בעיות הוצגו לעתים קרובות בצורה פואטית.

זו אחת הבעיות של המתמטיקאי ההודי המפורסם של המאה ה-12. בהסקרס.

בעיה 13.

"להקת קופים עליזים, ושנים עשר לאורך הגפנים...

השלטונות, לאחר שאכלו, נהנו. הם התחילו לקפוץ, לתלות...

יש אותם בכיכר, חלק שמיני כמה קופים היו?

נהניתי בקרחת היער. תגיד לי, בחבילה הזו?

הפתרון של בהסקרה מצביע על כך שהוא ידע שהשורשים של משוואות ריבועיות הם דו-ערכיים (איור 3).

המשוואה התואמת לבעיה 13 היא:

( איקס /8) 2 + 12 = איקס

בהסקרה כותב במסווה:

x 2 - 64x = -768

וכדי להשלים את הצד השמאלי של המשוואה הזו לריבוע, מוסיף לשני הצדדים 32 2 , ואז מקבל:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 משוואות ריבועיות באל-חורזמי

בחיבור האלגברי של אל-חורזמי ניתן סיווג של משוואות ליניאריות וריבועיות. המחבר מונה 6 סוגי משוואות, המבטא אותם באופן הבא:

1) "ריבועים שווים לשורשים", כלומר. ax 2 + c = ב איקס.

2) "ריבועים שווים למספרים", כלומר. גרזן 2 = ג.

3) "השורשים שווים למספר", כלומר. אה = ש.

4) "ריבועים ומספרים שווים לשורשים", כלומר. ax 2 + c = ב איקס.

5) "ריבועים ושורשים שווים למספרים", כלומר. אה 2+ bx = ש.

6) "שורשים ומספרים שווים לריבועים", כלומר. bx + c = ax 2 .

עבור אל-חורזמי, שנמנע משימוש במספרים שליליים, המונחים של כל אחת מהמשוואות הללו הם חיבורים ולא ניתנים לחסר. במקרה זה, משוואות שאין להן פתרונות חיוביים כמובן לא נלקחות בחשבון. המחבר מציג שיטות לפתרון משוואות אלו באמצעות הטכניקות של אל-ג'בר ואל-מוקבלה. ההחלטות שלו, כמובן, אינן תואמות לחלוטין להחלטות שלנו. שלא לדבר על זה שהוא רטורי בלבד, יש לציין, למשל, שכאשר פותרים משוואה ריבועית לא שלמה מהסוג הראשון

אל-חורזמי, כמו כל המתמטיקאים לפני המאה ה-17, לא לוקח בחשבון את פתרון האפס, כנראה בגלל שבבעיות מעשיות ספציפיות זה לא משנה. בעת פתרון משוואות ריבועיות שלמות, אל-חורזמי מגדיר את הכללים לפתרונן באמצעות דוגמאות מספריות מסוימות, ולאחר מכן הוכחות גיאומטריות.

בעיה 14."הריבוע והמספר 21 שווים ל-10 שורשים. מצא את השורש" (מרמז על השורש של המשוואה x 2 + 21 = 10x).

הפתרון של המחבר הולך בערך כך: מחלקים את מספר השורשים לשניים, מקבלים 5, מכפילים 5 בעצמו, מחסירים 21 מהמכפלה, מה שנשאר זה 4. קח את השורש מ-4, אתה מקבל 2. החסר 2 מ-5 , אתה מקבל 3, זה יהיה השורש הרצוי. או להוסיף 2 ל-5, מה שנותן 7, זה גם שורש.

חיבורו של אל-חורזמי הוא הספר הראשון שהגיע אלינו, הקובע באופן שיטתי את סיווג המשוואות הריבועיות ונותן נוסחאות לפתרון שלהן.

1.5 משוואות ריבועיות באירופה XIII - XVII bb

נוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות בנוסח אל-חוואריזמי באירופה פורסמו לראשונה בספר אבקסיס, שנכתב ב-1202 על ידי המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י. עבודה עשירה זו, המשקפת את השפעת המתמטיקה, הן מדינות האיסלאם והן יוון העתיקה, נבדל בשלמות ובבהירות של המצגת. המחבר פיתח באופן עצמאי כמה חדשים דוגמאות אלגבריותפתרון בעיות והיה הראשון באירופה שהציג מספרים שליליים. ספרו תרם להפצת הידע האלגברי לא רק באיטליה, אלא גם בגרמניה, צרפת ומדינות אחרות באירופה. בעיות רבות מתוך ספר אבקסיס שימשו כמעט בכל ספרי הלימוד האירופיים של המאות ה-16-17. ובחלקו XVIII.

הכלל הכללי לפתרון משוואות ריבועיות מופחת לצורה קנונית אחת:

x 2 + bx = ג,

לכל השילובים האפשריים של סימני מקדם ב , עםנוסחה באירופה רק בשנת 1544 על ידי מ' שטיפל.

הגזירה של הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית בצורה כללית זמינה מ-Viète, אך Viète זיהה רק שורשים חיוביים. המתמטיקאים האיטלקיים טרטליה, קרדנו, בומבלי היו בין הראשונים במאה ה-16. בנוסף לחיוביים, נלקחים בחשבון גם שורשים שליליים. רק במאה ה-17. הודות לעבודתם של ז'ירארד, דקארט, ניוטון ומדענים אחרים, השיטה לפתרון משוואות ריבועיות מקבלת צורה מודרנית.

1.6 על משפט וייטה

המשפט המבטא את הקשר בין המקדמים של משוואה ריבועית לשורשיה, הקרוי על שם וייטה, נוסח על ידו לראשונה בשנת 1591 כך: "אם ב + ד, כפול א - א 2 , שווים BD, זה אשווים INושווה ד ».

כדי להבין את וייטה, עלינו לזכור זאת א, כמו כל אות תנועות, פירושו הלא נודע (שלנו איקס), תנועות IN, ד- מקדמים עבור הלא נודע. בלשון האלגברה המודרנית פירושו של הניסוח של וייטה לעיל: אם יש

(א + ב )x - x 2 = אב ,

x 2 - (a + ב )x + a ב = 0,

x 1 = a, x 2 = ב .

תוך ביטוי הקשר בין השורשים והמקדמים של המשוואות עם נוסחאות כלליות שנכתבו באמצעות סמלים, Viète קבע אחידות בשיטות פתרון המשוואות. עם זאת, הסמליות של ויאט עדיין רחוקה מלהיות מראה מודרני. הוא לא זיהה מספרים שליליים ולכן, בעת פתרון משוואות, הוא שקל רק מקרים שבהם כל השורשים היו חיוביים.

2. שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

משוואות ריבועיות הן הבסיס שעליו נשען המבנה המלכותי של האלגברה. נמצאות משוואות ריבועיות יישום רחבכאשר פותרים משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות, אי-רציונליות וטרנסצנדנטליות. כולנו יודעים לפתור משוואות ריבועיות מבית הספר (כיתה ח') ועד סיום הלימודים.