נוסחת משוואה ריבועית מפלה. משוואות ריבועיות - דוגמאות עם פתרונות, תכונות ונוסחאות

משוואה ריבועית - קל לפתור! * להלן "KU".חברים, נראה שאין דבר פשוט יותר במתמטיקה מאשר לפתור משוואה כזו. אבל משהו אמר לי שלהרבה אנשים יש בעיות איתו. החלטתי לראות כמה הופעות לפי דרישה Yandex נותנת בחודש. זה מה שקרה, תראה:

מה זה אומר? המשמעות היא שכ-70,000 אנשים בכל חודש מחפשים המידע הזה, מה הקשר לקיץ הזה, ומה יקרה בקרב שנת לימודים- יהיו פי שניים יותר בקשות. זה לא מפתיע, כי אותם בחורים ונערות שסיימו את בית הספר לפני זמן רב ומתכוננים לבחינת המדינה המאוחדת מחפשים את המידע הזה, וגם תלמידי בית הספר שואפים לרענן את זכרם.

למרות העובדה שיש הרבה אתרים שאומרים לכם איך לפתור את המשוואה הזו, החלטתי גם לתרום ולפרסם את החומר. ראשית, אני רוצה שמבקרים יגיעו לאתר שלי על סמך בקשה זו; שנית, במאמרים אחרים, כאשר הנושא של "KU" יעלה, אספק קישור למאמר זה; שלישית, אני אספר לך קצת יותר על הפתרון שלו ממה שמצוין בדרך כלל באתרים אחרים. בואו נתחיל!תוכן המאמר:

משוואה ריבועית היא משוואה בצורה:

כאשר מקדמים a,בו-c הם מספרים שרירותיים, עם a≠0.

בקורס הבית ספרי החומר ניתן בצורה הבאה - המשוואות מחולקות לשלוש כיתות:

1. יש להם שני שורשים.

2. *יש רק שורש אחד.

3. אין להם שורשים. ראוי לציין כאן במיוחד שאין להם שורשים אמיתיים

איך מחשבים שורשים? רַק!

אנו מחשבים את המבחין. מתחת למילה "הנוראה" הזו מסתתרת נוסחה פשוטה מאוד:

נוסחאות השורש הן כדלקמן:

*אתה צריך לדעת את הנוסחאות האלה בעל פה.

אתה יכול מיד לרשום ולפתור:

דוגמא:

1. אם D > 0, אז למשוואה יש שני שורשים.

2. אם D = 0, אז למשוואה יש שורש אחד.

3. אם ד< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

בואו נסתכל על המשוואה:

לעניין זה, כאשר המבחין שווה לאפס, הקורס בבית הספר אומר שמתקבל שורש אחד, כאן הוא שווה לתשעה. הכל נכון, זה כך, אבל...

הרעיון הזה קצת לא נכון. למעשה, ישנם שני שורשים. כן, כן, אל תתפלא, אתה מקבל שני שורשים שווים, ואם לדייק מתמטית, אז התשובה צריכה לכתוב שני שורשים:

x 1 = 3 x 2 = 3

אבל זה כך - סטייה קטנה. בבית הספר אפשר לרשום את זה ולומר שיש שורש אחד.

עכשיו הדוגמה הבאה:

כידוע, השורש של מספר שלילילא חולץ, אז הפתרונות ב במקרה הזהלא.

זה כל תהליך ההחלטה.

פונקציה ריבועית.

זה מראה איך נראה הפתרון מבחינה גיאומטרית. חשוב ביותר להבין זאת (בעתיד, באחד המאמרים ננתח בפירוט את הפתרון לאי השוויון הריבועי).

זוהי פונקציה של הטופס:

כאשר x ו-y הם משתנים

a, b, c - מספרים נתונים, עם a ≠ 0

הגרף הוא פרבולה:

כלומר, מסתבר שעל ידי פתרון משוואה ריבועית עם "y" שווה לאפס, נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x. יכולות להיות שתיים מהנקודות הללו (המבחין חיובי), אחת (המבחין הוא אפס) ואף אחת (המבחין הוא שלילי). פרטים על פונקציה ריבועית אתה יכול לצפותמאמר של אינה פלדמן.

בואו נסתכל על דוגמאות:

דוגמה 1: לפתור 2x 2 +8 איקס–192=0

a=2 b=8 c= –192

ד=ב 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

תשובה: x 1 = 8 x 2 = –12

*ניתן היה לחלק מיד את הצד השמאלי והימני של המשוואה ב-2, כלומר לפשט אותה. החישובים יהיו קלים יותר.

דוגמה 2: לְהַחלִיט x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

מצאנו ש-x 1 = 11 ו-x 2 = 11

מותר לכתוב x = 11 בתשובה.

תשובה: x = 11

דוגמה 3: לְהַחלִיט x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

המבחין הוא שלילי, אין פתרון במספרים ממשיים.

תשובה: אין פתרון

המפלה היא שלילית. יש פתרון!

כאן נדבר על פתרון המשוואה במקרה בו מתקבל אבחנה שלילית. האם אתה יודע משהו על מספרים מרוכבים? לא אפרט כאן מדוע והיכן הם התעוררו ומה תפקידם ונחיצותם הספציפיים במתמטיקה; זהו נושא למאמר נפרד גדול.

הרעיון של מספר מרוכב.

קצת תיאוריה.

מספר מרוכב z הוא מספר של הצורה

z = a + bi

כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים, i היא מה שנקרא יחידה דמיונית.

a+bi – זהו מספר יחיד, לא תוספת.

היחידה הדמיונית שווה לשורש של מינוס אחד:

עכשיו שקול את המשוואה:

נקבל שני שורשים מצומדים.

משוואה ריבועית לא שלמה.

הבה נבחן מקרים מיוחדים, זה כאשר מקדם "b" או "c" שווה לאפס (או שניהם שווים לאפס). ניתן לפתור אותם בקלות ללא כל אפליה.

מקרה 1. מקדם b = 0.

המשוואה הופכת:

בואו נשנה:

דוגמא:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

מקרה 2. מקדם c = 0.

המשוואה הופכת:

בוא נעשה שינוי ונחלק לגורמים:

*המכפלה שווה לאפס כאשר לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס.

דוגמא:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 או x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

מקרה 3. מקדמים b = 0 ו-c = 0.

כאן ברור שהפתרון למשוואה תמיד יהיה x = 0.

מאפיינים שימושיים ותבניות של מקדמים.

יש מאפיינים שמאפשרים לפתור משוואות עם מקדמים גדולים.

אאיקס 2 + bx+ ג=0 השוויון מתקיים

א + ב+ c = 0,זֶה

- אם למקדמי המשוואה אאיקס 2 + bx+ ג=0 השוויון מתקיים

א+ c =ב, זֶה

תכונות אלו עוזרות לפתור סוג מסוים של משוואה.

דוגמה 1: 5001 איקס 2 –4995 איקס – 6=0

סכום הסיכויים הוא 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, כלומר

דוגמה 2: 2501 איקס 2 +2507 איקס+6=0

השוויון מתקיים א+ c =ב, אומר

סדירות של מקדמים.

1. אם במשוואה ax 2 + bx + c = 0 מקדם "b" שווה ל (a 2 +1), ומקדם "c" שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו שווים

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

דוגמא. שקול את המשוואה 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. אם במשוואה ax 2 – bx + c = 0 מקדם "b" שווה ל (a 2 +1), ומקדם "c" שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו שווים

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

דוגמא. שקול את המשוואה 15x 2 -226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. אם בשווה. ax 2 + bx – c = 0 מקדם "b" שווה ל-(a 2 – 1), ומקדם "c" שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו שווים

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

דוגמא. שקול את המשוואה 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. אם במשוואה ax 2 – bx – c = 0 מקדם "b" שווה ל (a 2 – 1), ומקדם c שווה מספרית למקדם "a", אז השורשים שלו שווים

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

דוגמא. שקול את המשוואה 10x 2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

משפט וייטה.

משפט וייטה נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי המפורסם פרנסואה וייטה. באמצעות משפט Vieta, נוכל לבטא את הסכום והמכפלה של השורשים של KU שרירותי במונחים של המקדמים שלו.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

בסך הכל, המספר 14 נותן רק 5 ו-9. אלו שורשים. עם מיומנות מסוימת, באמצעות המשפט המוצג, אתה יכול לפתור משוואות ריבועיות רבות בעל פה באופן מיידי.

משפט וייטה, בנוסף. נוח בכך לאחר פתרון המשוואה הריבועית בדרך הרגילה(דרך המבחין) ניתן לבדוק את השורשים המתקבלים. אני ממליץ לעשות זאת תמיד.

שיטת הובלה

בשיטה זו, מקדם "a" מוכפל במונח החופשי, כאילו "נזרק" אליו, ולכן הוא נקרא שיטת "העברה".שיטה זו משמשת כאשר ניתן למצוא בקלות את שורשי המשוואה באמצעות משפט וייטה, והכי חשוב, כאשר המבחין הוא ריבוע מדויק.

אם א± b+c≠ 0, אז נעשה שימוש בטכניקת ההעברה, לדוגמה:

2איקס 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => איקס 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

בעזרת משפט וייטה במשוואה (2), קל לקבוע ש-x 1 = 10 x 2 = 1

יש לחלק את השורשים המתקבלים של המשוואה ב-2 (מכיוון שהשניים "הושלכו" מ-x 2), נקבל

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

מה הרציונל? תראה מה קורה.

המבחנים של משוואות (1) ו-(2) שווים:

אם מסתכלים על שורשי המשוואות, מקבלים רק מכנים שונים, והתוצאה תלויה בדיוק במקדם של x 2:

לשני (המשונה) יש שורשים שגדולים פי 2.

לכן, נחלק את התוצאה ב-2.

*אם נגלגל מחדש את השלושה, נחלק את התוצאה ב-3 וכו'.

תשובה: x 1 = 5 x 2 = 0.5

מ"ר ur-ie ובחינת המדינה המאוחדת.

אספר לכם בקצרה על חשיבותו - עליכם להיות מסוגלים להחליט במהירות ובלי לחשוב, עליכם לדעת את הנוסחאות של שורשים ומבדילים בעל פה. רבות מהבעיות הכלולות במשימות הבחינה המאוחדת מסתכמת בפתרון משוואה ריבועית (כלולות גיאומטריות).

משהו ששווה לציין!

1. צורת כתיבת המשוואה יכולה להיות "מרומזת". לדוגמה, הערך הבא אפשרי:

15+ 9x 2 - 45x = 0 או 15x+42+9x 2 - 45x=0 או 15 -5x+10x 2 = 0.

אתה צריך להביא את זה לטופס סטנדרטי (כדי לא להתבלבל בעת הפתרון).

2. זכרו ש-x היא כמות לא ידועה וניתן לסמן אותה בכל אות אחרת - t, q, p, h ואחרות.

IN חברה מודרניתהיכולת לבצע פעולות עם משוואות המכילות משתנה בריבוע יכולה להיות שימושית בתחומי פעילות רבים ונמצאת בשימוש נרחב בפרקטיקה בתחום המדעי וה התפתחויות טכניות. עדות לכך ניתן למצוא בתכנון של כלי ים ונהר, מטוסים וטילים. באמצעות חישובים כאלה, מסלולי התנועה של המרבית גופים שונים, כולל חפצי חלל. דוגמאות לפתרון של משוואות ריבועיות משמשות לא רק בחיזוי כלכלי, בתכנון ובנייה של מבנים, אלא גם בנסיבות היומיומיות הרגילות ביותר. ייתכן שיהיה צורך בהם ב טיולי הליכה, באירועי ספורט, בחנויות בזמן קניות, ובעוד מצבים נפוצים מאוד.

בואו נחלק את הביטוי לגורמים המרכיבים אותו

דרגת המשוואה נקבעת לפי הערך המקסימלי של דרגת המשתנה שהביטוי מכיל. אם הוא שווה ל-2, אז משוואה כזו נקראת ריבועית.

אם אנו מדברים בשפה של נוסחאות, אז את הביטויים המצוינים, לא משנה איך הם נראים, תמיד אפשר להביא לצורה כאשר צד שמאלביטוי מורכב משלושה מונחים. ביניהם: ציר 2 (כלומר משתנה בריבוע עם המקדם שלו), bx (לא ידוע ללא ריבוע עם המקדם שלו) ו-c (מרכיב חופשי, כלומר מספר רגיל). כל זה בצד ימין שווה ל-0. במקרה שבו לפולינום כזה חסר אחד מהאיברים המרכיבים שלו, למעט ציר 2, הוא נקרא משוואה ריבועית לא שלמה. יש לשקול תחילה דוגמאות לפתרון בעיות כאלה, את ערכי המשתנים שבהם קל למצוא.

אם הביטוי נראה כאילו יש לו שני איברים בצד ימין, ליתר דיוק ax 2 ו-bx, הדרך הקלה ביותר למצוא את x היא על ידי הוצאת המשתנה בין סוגריים. כעת המשוואה שלנו תיראה כך: x(ax+b). לאחר מכן, ברור שאו x=0, או שהבעיה מסתכמת במציאת משתנה מהביטוי הבא: ax+b=0. זה מוכתב על ידי אחת מתכונות הכפל. הכלל קובע שהמכפלה של שני גורמים מביאה ל-0 רק אם אחד מהם הוא אפס.

דוגמא

x=0 או 8x - 3 = 0

כתוצאה מכך, נקבל שני שורשים של המשוואה: 0 ו-0.375.

משוואות מסוג זה יכולות לתאר את תנועתם של גופים בהשפעת כוח הכבידה, שהחלו לנוע מנקודה מסוימת שנלקחה כמקור הקואורדינטות. כאן הסימון המתמטי מקבל את הצורה הבאה: y = v 0 t + gt 2 /2. על ידי החלפת הערכים הדרושים, השוואת הצד הימני ל-0 ומציאת אלמונים אפשריים, ניתן לגלות את הזמן שעובר מרגע שהגוף עולה לרגע נופלו, כמו גם כמויות רבות אחרות. אבל נדבר על זה מאוחר יותר.

פקטורינג לביטוי

הכלל המתואר לעיל מאפשר לפתור בעיות אלו ביתר מקרים קשים. בואו נסתכל על דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות מסוג זה.

X 2 - 33x + 200 = 0

זֶה טרינום ריבועיהושלם. ראשית, בואו נשנה את הביטוי ונפעל אותו. יש שניים מהם: (x-8) ו-(x-25) = 0. כתוצאה מכך, יש לנו שני שורשים 8 ו-25.

דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות בכיתה ט' מאפשרות לשיטה זו למצוא משתנה בביטויים לא רק מהסדר השני, אלא אפילו מהסדר השלישי והרביעי.

לדוגמה: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. כאשר מפרקים את הצד הימני לגורמים עם משתנה, יש שלושה מהם, כלומר (x+1), (x-3) ו-(x+ 3).

כתוצאה מכך, ברור שלמשוואה זו יש שלושה שורשים: -3; -1; 3.

שורש ריבועי

עוד מקרה משוואה לא שלמהסדר שני הוא ביטוי המיוצג בשפת האותיות באופן כזה חלק ימיןבנוי מהרכיבים ax 2 ו-c. כאן, כדי לקבל את הערך של המשתנה, המונח החופשי מועבר ל צד ימין, ואחרי זה משני הצדדים של השוויון אנו מחלצים שורש ריבועי. יש לציין שבמקרה זה יש בדרך כלל שני שורשים של המשוואה. היוצאים מן הכלל יכולים להיות שיוויונים שאינם מכילים מונח עם כלל, כאשר המשתנה שווה לאפס, וכן גרסאות של ביטויים כאשר הצד הימני מתברר כשליל. במקרה האחרון, אין פתרונות כלל, מכיוון שלא ניתן לבצע את הפעולות לעיל עם שורשים. יש לשקול דוגמאות לפתרונות למשוואות ריבועיות מסוג זה.

במקרה זה, שורשי המשוואה יהיו המספרים -4 ו-4.

חישוב שטח הקרקע

הצורך בחישובים מסוג זה הופיע בימי קדם, מכיוון שהתפתחות המתמטיקה באותם זמנים רחוקים נקבעה במידה רבה על ידי הצורך לקבוע בדיוק רב את השטחים וההיקפים של חלקות קרקע.

עלינו לשקול גם דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות המבוססות על בעיות מסוג זה.

אז נניח שיש חלקת אדמה מלבנית שאורכה גדול מהרוחב ב-16 מטרים. כדאי למצוא את האורך, הרוחב וההיקף של האתר אם אתה יודע ששטחו הוא 612 מ"ר.

כדי להתחיל, בואו ניצור תחילה את המשוואה הדרושה. הבה נסמן ב-x את רוחב השטח, ואז אורכו יהיה (x+16). ממה שנכתב עולה שהשטח נקבע על ידי הביטוי x(x+16), שלפי תנאי הבעיה שלנו הוא 612. זה אומר ש-x(x+16) = 612.

פתרון משוואות ריבועיות שלמות, והביטוי הזה הוא בדיוק זה, לא יכול להיעשות באותו אופן. למה? למרות שהצד השמאלי עדיין מכיל שני גורמים, התוצר שלהם אינו שווה כלל ל-0, לכן משתמשים כאן בשיטות שונות.

מפלה

קודם כל, אז בואו נעשה את השינויים הדרושים מראה חיצונישל ביטוי זה ייראה כך: x 2 + 16x - 612 = 0. זה אומר שקיבלנו ביטוי בצורה המתאימה לתקן שצוין קודם לכן, כאשר a=1, b=16, c=-612.

זו יכולה להיות דוגמה לפתרון משוואות ריבועיות באמצעות אבחנה. כאן מתבצעים החישובים הדרושים על פי הסכימה: D = b 2 - 4ac. כמות עזר זו לא רק מאפשרת למצוא את הכמויות הנדרשות במשוואה מסדר שני, היא קובעת את הכמות אפשרויות אפשריות. אם D>0, יש שניים מהם; עבור D=0 יש שורש אחד. במקרה ד<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

על שורשים והנוסחה שלהם

במקרה שלנו, המבחין שווה ל: 256 - 4(-612) = 2704. זה מרמז שלבעיה שלנו יש תשובה. אם אתה יודע k, יש להמשיך את פתרון המשוואות הריבועיות באמצעות הנוסחה שלהלן. זה מאפשר לך לחשב את השורשים.

המשמעות היא שבמקרה המוצג: x 1 =18, x 2 =-34. האפשרות השנייה בדילמה זו לא יכולה להוות פתרון, כי לא ניתן למדוד את מידות חלקת הקרקע בכמויות שליליות, כלומר x (כלומר רוחב החלקה) הוא 18 מ'. מכאן אנו מחשבים את האורך: 18 +16=34, וההיקף 2(34+ 18)=104(m2).

דוגמאות ומשימות

אנו ממשיכים במחקר שלנו על משוואות ריבועיות. דוגמאות ופתרונות מפורטים של כמה מהם יובאו להלן.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

בוא נעביר הכל לצד השמאלי של השוויון, נעשה טרנספורמציה, כלומר, נקבל את סוג המשוואה שנקרא בדרך כלל סטנדרטית, ונשווה אותה לאפס.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

הוספת דומים, אנו קובעים את המבחין: D = 49 - 48 = 1. זה אומר שלמשוואה שלנו יהיו שני שורשים. הבה נחשב אותם לפי הנוסחה לעיל, כלומר, הראשון שבהם יהיה שווה ל-4/3, והשני ל-1.

2) עכשיו בואו נפתור תעלומות מסוג אחר.

בואו לגלות אם יש כאן שורשים x 2 - 4x + 5 = 1? כדי לקבל תשובה מקיפה, הבה נצמצם את הפולינום לצורה הרגילה המתאימה ונחשב את המבחין. בדוגמה לעיל, אין צורך לפתור את המשוואה הריבועית, כי זו בכלל לא מהות הבעיה. במקרה זה, D = 16 - 20 = -4, כלומר אין באמת שורשים.

משפט וייטה

משוואות ריבועיותנוח לפתור באמצעות הנוסחאות הנ"ל והדיבחנה, כאשר השורש הריבועי נלקח מערכו של האחרון. אבל זה לא תמיד קורה. עם זאת, ישנן דרכים רבות להשיג את ערכי המשתנים במקרה זה. דוגמה: פתרון משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה. היא קרויה על שם מי שחי במאה ה-16 בצרפת ועשה קריירה מזהירה הודות לכשרונו המתמטי ולקשריו בבית המשפט. את דיוקנו ניתן לראות בכתבה.

הדפוס שבו הבחין הצרפתי המפורסם היה כדלקמן. הוא הוכיח ששורשי המשוואה מסתכמים מספרית ל-p=b/a, והמכפלה שלהם תואמת q=c/a.

עכשיו בואו נסתכל על משימות ספציפיות.

3x 2 + 21x - 54 = 0

לשם הפשטות, בואו נשנה את הביטוי:

x 2 + 7x - 18 = 0

הבה נשתמש במשפט Vieta, זה ייתן לנו את הדבר הבא: סכום השורשים הוא -7, והמכפלה שלהם היא -18. מכאן נקבל ששורשי המשוואה הם המספרים -9 ו-2. לאחר בדיקה, נוודא שערכי המשתנים הללו באמת מתאימים לביטוי.

גרף פרבולה ומשוואה

המושגים של פונקציה ריבועית ומשוואות ריבועיות קשורים קשר הדוק. דוגמאות לכך כבר ניתנו קודם לכן. עכשיו בואו נסתכל על כמה חידות מתמטיות בפירוט קטן יותר. כל משוואה מהסוג המתואר יכולה להיות מיוצגת ויזואלית. קשר כזה, שצויר כגרף, נקרא פרבולה. הסוגים השונים שלו מוצגים באיור שלהלן.

לכל פרבולה יש קודקוד, כלומר נקודה שממנה יוצאים הענפים שלה. אם a>0, הם מגיעים גבוה עד אינסוף, וכאשר א<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ייצוגים חזותיים של פונקציות עוזרים לפתור כל משוואות, כולל ריבועיות. שיטה זו נקראת גרפית. והערך של משתנה x הוא קואורדינטת האבשיסה בנקודות שבהן קו הגרף נחתך עם 0x. ניתן למצוא את הקואורדינטות של הקודקוד באמצעות הנוסחה שניתנה זה עתה x 0 = -b/2a. ועל ידי החלפת הערך המתקבל במשוואה המקורית של הפונקציה, אתה יכול לגלות את y 0, כלומר, הקואורדינטה השנייה של קודקוד הפרבולה, השייכת לציר הסמטה.

מפגש הענפים של פרבולה עם ציר האבשיסה

יש הרבה דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות, אבל יש גם תבניות כלליות. בואו נסתכל עליהם. ברור שהחתך של הגרף עם ציר 0x עבור a>0 אפשרי רק אם y 0 לוקח ערכים שליליים. ובשביל א<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. אחרת ד<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

מהגרף של הפרבולה ניתן לקבוע גם את השורשים. גם ההפך הוא הנכון. כלומר, אם לא קל להשיג ייצוג חזותי של פונקציה ריבועית, ניתן להשוות את הצד הימני של הביטוי ל-0 ולפתור את המשוואה המתקבלת. ולדעת את נקודות החיתוך עם ציר 0x, קל יותר לבנות גרף.

מההיסטוריה

באמצעות משוואות המכילות משתנה בריבוע, בימים עברו לא רק עשו חישובים מתמטיים וקבעו את השטחים של דמויות גיאומטריות. הקדמונים נזקקו לחישובים כאלה עבור גילויים גדולים בתחומי הפיזיקה והאסטרונומיה, כמו גם לצורך ביצוע תחזיות אסטרולוגיות.

כפי שמציעים מדענים מודרניים, תושבי בבל היו בין הראשונים לפתור משוואות ריבועיות. זה קרה ארבע מאות שנה לפני תקופתנו. כמובן, החישובים שלהם היו שונים בתכלית מאלה המקובלים כיום והתבררו כפרימיטיביים הרבה יותר. לדוגמה, למתמטיקאים מסופוטמים לא היה מושג על קיומם של מספרים שליליים. הם גם לא הכירו דקויות אחרות שכל תלמיד בית ספר מודרני מכיר.

אולי אפילו מוקדם יותר מהמדענים של בבל, החל החכם מהודו בודהיאמה לפתור משוואות ריבועיות. זה קרה כשמונה מאות שנים לפני עידן ישו. נכון, המשוואות מסדר שני, שיטות הפתרון שהוא נתן, היו הפשוטות ביותר. מלבדו, גם מתמטיקאים סינים התעניינו בשאלות דומות בימים עברו. באירופה החלו לפתור משוואות ריבועיות רק בתחילת המאה ה-13, אך מאוחר יותר השתמשו בהן בעבודותיהם על ידי מדענים גדולים כמו ניוטון, דקארט ורבים אחרים.

השימוש במשוואות נפוץ בחיינו. הם משמשים בחישובים רבים, בניית מבנים ואפילו ספורט. האדם השתמש במשוואות בימי קדם, ומאז השימוש בהן רק גדל. המבחין מאפשר לך לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות נוסחה כללית, בעלת הצורה הבאה:

נוסחת ההבחנה תלויה בדרגת הפולינום. הנוסחה לעיל מתאימה לפתרון משוואות ריבועיות בצורה הבאה:

למבחין יש את המאפיינים הבאים שאתה צריך לדעת:

* "D" הוא 0 כאשר לפולינום יש שורשים מרובים (שורשים שווים);

* "D" הוא פולינום סימטרי ביחס לשורשי הפולינום ולכן הוא פולינום במקדמיו; יתר על כן, המקדמים של פולינום זה הם מספרים שלמים ללא קשר להרחבה שבה נלקחים השורשים.

נניח שניתן לנו משוואה ריבועית בצורה הבאה:

1 משוואה

לפי הנוסחה יש לנו:

מאז \, למשוואה יש 2 שורשים. בוא נגדיר אותם:

היכן אוכל לפתור משוואה באמצעות פותר מקוון מבחין?

אתה יכול לפתור את המשוואה באתר שלנו https://site. הפותר המקוון החינמי יאפשר לך לפתור משוואות מקוונות בכל מורכבות תוך שניות. כל מה שאתה צריך לעשות הוא פשוט להזין את הנתונים שלך לתוך הפותר. אתה יכול גם לצפות בהוראות הווידאו ולגלות איך לפתור את המשוואה באתר שלנו.ואם יש לך שאלות, אתה יכול לשאול אותן בקבוצת VKontakte שלנו http://vk.com/pocketteacher. הצטרפו לקבוצה שלנו, אנחנו תמיד שמחים לעזור לכם.

המבחין, כמו משוואות ריבועיות, מתחילים ללמוד בקורס אלגברה בכיתה ח'. ניתן לפתור משוואה ריבועית באמצעות אבחנה ושימוש במשפט וייטה. השיטה של ​​לימוד משוואות ריבועיות, כמו גם נוסחאות מבדילות, נלמדת בצורה לא מוצלחת לתלמידי בית הספר, כמו הרבה דברים בחינוך האמיתי. לכן, שנות הלימודים חולפות, החינוך בכיתות ט'-י"א מוחלף ב"השכלה הגבוהה" וכולם מסתכלים שוב - "איך פותרים משוואה ריבועית?", "איך למצוא את שורשי המשוואה?", "איך למצוא את המבחין?" ו...

נוסחה מפלה

המבחין D של המשוואה הריבועית a*x^2+bx+c=0 שווה ל-D=b^2–4*a*c.
השורשים (הפתרונות) של משוואה ריבועית תלויים בסימן המבחין (D):
D>0 – למשוואה יש 2 שורשים אמיתיים שונים;
D=0 - למשוואה יש שורש אחד (2 שורשים תואמים):
ד<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
הנוסחה לחישוב המבדיל היא פשוטה למדי, ולכן אתרים רבים מציעים מחשבון מבחנה מקוון. עוד לא הבנו סוג זה של סקריפטים, אז אם מישהו יודע איך ליישם את זה, אנא כתוב לנו במייל כתובת דוא"ל זו מוגנת מפני ספבוטים. עליך להפעיל JavaScript כדי לצפות בו. .

נוסחה כללית למציאת השורשים של משוואה ריבועית:

אנו מוצאים את שורשי המשוואה באמצעות הנוסחה
אם המקדם של משתנה בריבוע מזווג, אז רצוי לחשב לא את המבחין, אלא את החלק הרביעי שלו.
במקרים כאלה, שורשי המשוואה נמצאים באמצעות הנוסחה

הדרך השנייה למצוא שורשים היא משפט וייטה.

המשפט מנוסח לא רק עבור משוואות ריבועיות, אלא גם עבור פולינומים. אתה יכול לקרוא את זה בוויקיפדיה או במשאבים אלקטרוניים אחרים. עם זאת, כדי לפשט, הבה נבחן את החלק הנוגע למשוואות הריבועיות לעיל, כלומר, משוואות הצורה (a=1)
המהות של הנוסחאות של וייטה היא שסכום שורשי המשוואה שווה למקדם המשתנה, בסימן ההפוך. מכפלת שורשי המשוואה שווה לאיבר החופשי. ניתן לכתוב את משפט וייטה בנוסחאות.
הגזירה של הנוסחה של Vieta היא די פשוטה. בוא נכתוב את המשוואה הריבועית באמצעות גורמים פשוטים
כפי שאתה יכול לראות, הכל גאוני הוא פשוט בו זמנית. יעיל להשתמש בנוסחה של Vieta כאשר ההבדל במודול השורשים או ההבדל במודולים של השורשים הוא 1, 2. לדוגמה, למשוואות הבאות, לפי המשפט של Vieta, יש שורשים




עד משוואה 4, הניתוח אמור להיראות כך. המכפלה של שורשי המשוואה היא 6, לכן השורשים יכולים להיות הערכים (1, 6) ו- (2, 3) או זוגות עם סימנים מנוגדים. סכום השורשים הוא 7 (מקדם המשתנה עם הסימן ההפוך). מכאן אנו מסיקים שהפתרונות למשוואה הריבועית הם x=2; x=3.
קל יותר לבחור את שורשי המשוואה בין המחלקים של המונח החופשי, תוך התאמת הסימן שלהם כדי להגשים את נוסחאות ה-Vieta. בהתחלה זה נראה קשה לביצוע, אבל עם תרגול על מספר משוואות ריבועיות, טכניקה זו תתברר כיעילה יותר מאשר חישוב המבחין ומציאת שורשי המשוואה הריבועית בדרך הקלאסית.
כפי שניתן לראות, תורת בית הספר של לימוד המבחין ושיטות מציאת פתרונות למשוואה נטולת משמעות מעשית - "מדוע תלמידי בית ספר צריכים משוואה ריבועית?", "מהי המשמעות הפיזית של המבחין?"

בואו ננסה להבין את זה מה מתאר המאבחן?

בקורס אלגברה לומדים פונקציות, סכמות ללימוד פונקציות ובניית גרף של פונקציות. מכל הפונקציות תופסת הפרבולה מקום חשוב, שאת המשוואה שלה ניתן לכתוב בצורה
אז המשמעות הפיזיקלית של המשוואה הריבועית היא האפסים של הפרבולה, כלומר, נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר האבשיסה Ox
אני מבקש מכם לזכור את תכונות הפרבולות המתוארות להלן. יגיע הזמן לגשת למבחנים, מבחנים או מבחני כניסה ותהיה אסיר תודה על חומר העזר. הסימן של המשתנה בריבוע מתאים לשאלה האם הענפים של הפרבולה בגרף יעלו למעלה (a>0),

או פרבולה עם ענפים למטה (א<0) .

קודקוד הפרבולה נמצא באמצע הדרך בין השורשים

המשמעות הפיזית של המבדיל:

אם המבחין גדול מאפס (D>0) לפרבולה יש שתי נקודות חיתוך עם ציר השור.
אם המבחין הוא אפס (D=0) אז הפרבולה בקודקוד נוגעת בציר ה-x.
ו מקרה אחרוןכאשר המפלה פחות מאפס(ד<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

משוואות ריבועיות לא שלמות

משוואות ריבועיות לומדים בכיתה ח', אז אין כאן שום דבר מסובך. היכולת לפתור אותם היא הכרחית לחלוטין.

משוואה ריבועית היא משוואה בצורת ax 2 + bx + c = 0, כאשר המקדמים a, b ו-c הם מספרים שרירותיים, ו- a ≠ 0.

לפני לימוד שיטות פתרון ספציפיות, שים לב שניתן לחלק את כל המשוואות הריבועיות לשלוש מחלקות:

1. אין שורשים;
2. יש בדיוק שורש אחד;
3. יש להם שני שורשים שונים.

זהו הבדל חשוב בין משוואות ריבועיות ללינאריות, שבהן השורש תמיד קיים והוא ייחודי. כיצד לקבוע כמה שורשים יש למשוואה? יש דבר נפלא לזה - מפלה.

מפלה

תינתן את המשוואה הריבועית ax 2 + bx + c = 0. אז המבחין הוא פשוט המספר D = b 2 − 4ac.

אתה צריך לדעת את הנוסחה הזו בעל פה. מאיפה זה בא זה לא חשוב עכשיו. דבר נוסף חשוב: לפי הסימן של המבחין אפשר לקבוע כמה שורשים יש למשוואה ריבועית. כלומר:

1. אם ד< 0, корней нет;
2. אם D = 0, יש בדיוק שורש אחד;
3. אם D > 0, יהיו שני שורשים.

שימו לב: המבדיל מציין את מספר השורשים, וכלל לא את הסימנים שלהם, כפי שמשום מה סבורים רבים. תסתכל על הדוגמאות ותבין הכל בעצמך:

מְשִׁימָה. כמה שורשים יש למשוואות ריבועיות:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

הבה נכתוב את המקדמים עבור המשוואה הראשונה ונמצא את המבחין:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

אז המבחין חיובי, אז למשוואה יש שני שורשים שונים. אנו מנתחים את המשוואה השנייה באופן דומה:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

המפלה היא שלילית, אין שורשים. המשוואה האחרונה שנותרה היא:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

המבחין הוא אפס - השורש יהיה אחד.

שימו לב שנכתבו מקדמים לכל משוואה. כן, זה ארוך, כן, זה מייגע, אבל אתה לא תערבב את הסיכויים ותעשה טעויות מטופשות. בחרו בעצמכם: מהירות או איכות.

אגב, אם אתה מבין, לאחר זמן מה לא תצטרך לרשום את כל המקדמים. אתה תבצע פעולות כאלה בראש שלך. רוב האנשים מתחילים לעשות את זה איפשהו אחרי 50-70 משוואות שנפתרו - באופן כללי, לא כל כך.

שורשים של משוואה ריבועית

כעת נעבור לפתרון עצמו. אם המבחין D > 0, ניתן למצוא את השורשים באמצעות הנוסחאות:

נוסחה בסיסית לשורשים של משוואה ריבועית

כאשר D = 0, אתה יכול להשתמש בכל אחת מהנוסחאות האלה - תקבל את אותו מספר, וזה יהיה התשובה. לבסוף, אם ד< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

המשוואה הראשונה:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ למשוואה יש שני שורשים. בוא נמצא אותם:

משוואה שנייה:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ למשוואה שוב יש שני שורשים. בואו נמצא אותם

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

לבסוף, המשוואה השלישית:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ למשוואה יש שורש אחד. ניתן להשתמש בכל נוסחה. לדוגמה, הראשון:

כפי שניתן לראות מהדוגמאות, הכל מאוד פשוט. אם אתה יודע את הנוסחאות ויכול לספור, לא יהיו בעיות. לרוב, שגיאות מתרחשות בעת החלפת מקדמים שליליים בנוסחה. גם כאן, הטכניקה שתוארה לעיל תעזור: תסתכל על הנוסחה פשוטו כמשמעו, רשום כל שלב - ובקרוב מאוד תיפטר משגיאות.

משוואות ריבועיות לא שלמות

קורה שמשוואה ריבועית שונה במקצת ממה שניתן בהגדרה. לדוגמה:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

קל להבחין שבמשוואות הללו חסר אחד המונחים. משוואות ריבועיות כאלה קלות אפילו יותר לפתרון מאשר משוואות סטנדרטיות: הן אפילו לא דורשות חישוב של המבחין. אז בואו נציג קונספט חדש:

המשוואה ax 2 + bx + c = 0 נקראת משוואה ריבועית לא שלמה אם b = 0 או c = 0, כלומר. המקדם של המשתנה x או האלמנט החופשי שווה לאפס.

כמובן, זה אפשרי לחלוטין מקרה קשה, כאשר שני המקדמים הללו שווים לאפס: b = c = 0. במקרה זה, המשוואה מקבלת את הצורה ax 2 = 0. ברור שלמשוואה כזו יש שורש בודד: x = 0.

הבה נשקול את המקרים הנותרים. נניח b = 0, ואז נקבל משוואה ריבועית לא שלמה בצורת ax 2 + c = 0. הבה נמיר אותה מעט:

מכיוון שהשורש הריבועי האריתמטי קיים רק ממספר לא שלילי, השוויון האחרון הגיוני רק עבור (−c /a) ≥ 0. מסקנה:

1. אם במשוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 + c = 0 מתקיים אי השוויון (−c /a) ≥ 0, יהיו שני שורשים. הנוסחה ניתנת לעיל;
2. אם (-c /a)< 0, корней нет.

כפי שאתה יכול לראות, לא נדרש אבחנה - אין חישובים מורכבים כלל במשוואות ריבועיות לא שלמות. למעשה, אפילו אין צורך לזכור את אי השוויון (−c /a) ≥ 0. מספיק לבטא את הערך x 2 ולראות מה נמצא בצד השני של סימן השוויון. אם יש מספר חיובי, יהיו שני שורשים. אם זה שלילי, לא יהיו שורשים בכלל.

כעת נסתכל על משוואות בצורה ax 2 + bx = 0, שבהן האלמנט החופשי שווה לאפס. הכל פשוט כאן: תמיד יהיו שני שורשים. די לפקח את הפולינום:

התוצר הוא אפס כאשר לפחות אחד מהגורמים הוא אפס. מכאן מגיעים השורשים. לסיכום, בואו נסתכל על כמה מהמשוואות האלה:

מְשִׁימָה. לפתור משוואות ריבועיות:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. אין שורשים, כי ריבוע אינו יכול להיות שווה למספר שלילי.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.