משימות עבור התקדמות אריתמטיתהיה קיים כבר בימי קדם. הם הופיעו ודרשו פתרון כי היה להם צורך מעשי.

לפיכך, אחד הפפירוסים של מצרים העתיקה שיש להם תוכן מתמטי, הפפירוס הרינדי (המאה ה-19 לפנה"ס), מכיל את המשימה הבאה: חלקו עשר מידות לחם בין עשרה אנשים, ובלבד שההבדל בין כל אחד מהם הוא שמינית מכמות הלחם. מידה."

וביצירות המתמטיות של היוונים הקדמונים יש משפטים אלגנטיים הקשורים להתקדמות אריתמטית. לפיכך, Hypsicles of Alexandria (המאה השנייה, שחיברה בעיות מעניינות רבות והוסיפה את הספר הארבעה עשר ליסודות אוקלידס), ניסחה את הרעיון: "בהתקדמות אריתמטית שיש לה מספר זוגי של איברים, סכום האיברים של המחצית השנייה גדול מסכום האיברים של ה-1 בריבוע 1/2 מספרי איברים."

הרצף מסומן על ידי an. המספרים של רצף נקראים איברים שלו והם מסומנים בדרך כלל באותיות עם מדדים המציינים את המספר הסידורי של איבר זה (a1, a2, a3 ... קראו: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" וכולי ).

הרצף יכול להיות אינסופי או סופי.

מהי התקדמות אריתמטית? בכך אנו מתכוונים לזה שהתקבל על ידי הוספת האיבר הקודם (n) עם אותו מספר d, שהוא הפרש ההתקדמות.

אם ד<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, אז התקדמות זו נחשבת לעלייה.

התקדמות אריתמטית נקראת סופית אם לוקחים בחשבון רק את האיברים הראשונים שלה. בשעה מאוד כמויות גדולותחברים זה כבר התקדמות אינסופית.

כל התקדמות אריתמטית מוגדרת על ידי הנוסחה הבאה:

an =kn+b, בעוד b ו-k הם כמה מספרים.

ההצהרה ההפוכה נכונה לחלוטין: אם רצף ניתן על ידי נוסחה דומה, אז זו בדיוק התקדמות אריתמטית בעלת התכונות:

1. כל איבר של ההתקדמות הוא הממוצע האריתמטי של האיבר הקודם ושל הבא.
2. הפוך: אם, החל מה-2, כל איבר הוא הממוצע האריתמטי של האיבר הקודם ושל האיבר שלאחריו, כלומר. אם התנאי מתקיים, אז הרצף הזה הוא התקדמות אריתמטית. שוויון זה הוא גם סימן להתקדמות, ולכן הוא מכונה בדרך כלל תכונה אופיינית של התקדמות.
   באותו אופן, המשפט המשקף את המאפיין הזה נכון: רצף הוא התקדמות אריתמטית רק אם השוויון הזה נכון עבור כל אחד מהאיברים של הרצף, החל מה-2.

התכונה האופיינית לכל ארבעה מספרים של התקדמות אריתמטית יכולה לבוא לידי ביטוי בנוסחה an + am = ak + al, אם n + m = k + l (m, n, k הם מספרי התקדמות).

בהתקדמות אריתמטית, ניתן למצוא כל מונח הכרחי (Nth) באמצעות הנוסחה הבאה:

לדוגמה: האיבר הראשון (a1) בהתקדמות אריתמטית נתון ושווה לשלוש, וההפרש (ד) שווה לארבעה. אתה צריך למצוא את המונח הארבעים וחמישה של התקדמות זו. a45 = 1+4(45-1)=177

הנוסחה an = ak + d(n - k) מאפשרת לנו לקבוע קדנציה נ'התקדמות אריתמטית דרך כל אחד מהמונחים ה-k שלו, בתנאי שהוא ידוע.

סכום האיברים של התקדמות אריתמטית (כלומר n האיברים הראשונים של התקדמות סופית) מחושב באופן הבא:

Sn = (a1+an) n/2.

אם המונח הראשון ידוע, אזי נוסחה נוספת נוחה לחישוב:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

הסכום של התקדמות אריתמטית המכילה n איברים מחושב באופן הבא:

בחירת הנוסחאות לחישובים תלויה בתנאי הבעיות ובנתונים הראשוניים.

סדרה טבעית של מספרים כלשהם, כגון 1,2,3,...,n,...- הדוגמה הפשוטה ביותרהתקדמות אריתמטית.

בנוסף להתקדמות החשבון, ישנה גם התקדמות גיאומטרית, שיש לה תכונות ומאפיינים משלה.

שלב ראשון

התקדמות אריתמטית. תיאוריה מפורטתעם דוגמאות (2019)

רצף מספרים

אז בואו נשב ונתחיל לכתוב מספר מספרים. לדוגמה:
אתה יכול לכתוב כל מספר, ויכול להיות כמה מהם שאתה רוצה (במקרה שלנו, יש כאלה). לא משנה כמה מספרים נכתוב, תמיד נוכל לומר מי מהם ראשון, איזה שני וכך הלאה עד האחרון, כלומר, נוכל למספר אותם. זו דוגמה לרצף מספרים:

רצף מספרים
לדוגמה, עבור הרצף שלנו:

המספר שהוקצה הוא ספציפי למספר אחד בלבד ברצף. במילים אחרות, אין שלוש מספרים שניות ברצף. המספר השני (כמו המספר ה') תמיד זהה.
המספר עם המספר נקרא האיבר ה-th של הרצף.

בדרך כלל אנו קוראים לרצף כולו באות כלשהי (לדוגמה,), וכל איבר ברצף זה הוא אותה אות עם אינדקס השווה למספר של איבר זה: .

במקרה שלנו:

נניח שיש לנו רצף מספרים, שבה ההבדל בין מספרים סמוכים זהה ושווה.
לדוגמה:

וכו '
רצף המספרים הזה נקרא התקדמות אריתמטית.
המונח "התקדמות" הוצג על ידי הסופר הרומי בותיוס עוד במאה ה-6 והובן במובן רחב יותר כרצף מספרי אינסופי. השם "חשבון" הועבר מתורת הפרופורציות הרציפות, שנחקרה על ידי היוונים הקדמונים.

זהו רצף מספרים, שכל איבר בו שווה לקודמו שנוסף לאותו מספר. מספר זה נקרא הפרש של התקדמות אריתמטית והוא מיועד.

נסה לקבוע אילו רצפי מספרים הם התקדמות אריתמטית ואילו לא:

א)
ב)
ג)
ד)

הבנת? בואו נשווה את התשובות שלנו:
האםהתקדמות אריתמטית - ב, ג.
לאהתקדמות אריתמטית - א, ד.

נחזור להתקדמות הנתונה () וננסה למצוא את הערך של האיבר ה-th שלה. קיים שתייםדרך למצוא אותו.

1. שיטה

נוכל להוסיף את מספר ההתקדמות לערך הקודם עד שנגיע לאיבר ה-th של ההתקדמות. טוב שאין לנו הרבה מה לסכם - רק שלושה ערכים:

אז, האיבר ה-th של ההתקדמות האריתמטית המתוארת שווה ל.

2. שיטה

מה אם נצטרך למצוא את הערך של האיבר ה-th של ההתקדמות? הסיכום ייקח לנו יותר משעה, וזו לא עובדה שלא היינו עושים טעויות בחיבור מספרים.
כמובן שמתמטיקאים מצאו דרך שבה אין צורך להוסיף את ההבדל של התקדמות אריתמטית לערך הקודם. תסתכל מקרוב על התמונה המצוירת... בוודאי כבר שמת לב לתבנית מסוימת, כלומר:

לדוגמה, בוא נראה ממה מורכב הערך של האיבר ה-th של התקדמות אריתמטית זו:


במילים אחרות:

נסה למצוא את הערך של חבר בהתקדמות אריתמטית נתונה בעצמך בדרך זו.

חישבת? השווה את ההערות שלך עם התשובה:

שימו לב שקיבלתם בדיוק את אותו מספר כמו בשיטה הקודמת, כאשר הוספנו ברצף את מונחי ההתקדמות האריתמטית לערך הקודם.
בואו ננסה לעשות "דה-פרסונליזציה" של הנוסחה הזו - בואו נכניס אותה צורה כלליתואנחנו מקבלים:

משוואת התקדמות אריתמטית.

התקדמות אריתמטית יכולה להיות עולה או יורדת.

גָדֵל- התקדמות שבהן כל ערך עוקב של המונחים גדול מהקודם.
לדוגמה:

יורד- התקדמות שבה כל ערך עוקב של המונחים קטן מהקודם.
לדוגמה:

הנוסחה הנגזרת משמשת בחישוב מונחים במונחים הולכים ופוחתים של התקדמות אריתמטית.
בואו נבדוק זאת בפועל.
ניתן לנו התקדמות אריתמטית המורכבת מ המספרים הבאים: בוא נבדוק מה יהיה המספר ה' של התקדמות אריתמטית זו אם נשתמש בנוסחה שלנו כדי לחשב אותה:

מאז:

לפיכך, אנו משוכנעים שהנוסחה פועלת בהתקדמות אריתמטית יורדת והולכת כאחד.
נסה למצוא בעצמך את המונחים ה-ו של ההתקדמות האריתמטית הזו.

בואו נשווה את התוצאות:

תכונת התקדמות אריתמטית

בואו נסבך את הבעיה - נגזר את תכונת ההתקדמות האריתמטית.
נניח שניתן לנו את התנאי הבא:
- התקדמות אריתמטית, מצא את הערך.
קל, אתה אומר ומתחיל לספור לפי הנוסחה שאתה כבר יודע:

תן, אה, אז:

צודק לחלוטין. מסתבר שקודם כל מוצאים, ואז מוסיפים אותו למספר הראשון ומקבלים את מה שאנחנו מחפשים. אם ההתקדמות מיוצגת על ידי ערכים קטנים, אז אין בזה שום דבר מסובך, אבל מה אם נותנים לנו מספרים בתנאי? מסכים, יש אפשרות לטעות בחישובים.
עכשיו תחשוב אם אפשר לפתור את הבעיה הזו בשלב אחד באמצעות כל נוסחה? כמובן שכן, וזה מה שננסה להוציא עכשיו.

הבה נסמן את המונח הנדרש של ההתקדמות האריתמטית כמו, הנוסחה למציאתה ידועה לנו - זו אותה נוסחה שהסקנו בהתחלה:
, לאחר מכן:

• המונח הקודם של ההתקדמות הוא:
• המונח הבא של ההתקדמות הוא:

בואו נסכם את התנאים הקודמים והבאים של ההתקדמות:

מסתבר שסכום האיברים הקודמים והבאים של ההתקדמות הוא הערך הכפול של איבר ההתקדמות שנמצא ביניהם. במילים אחרות, כדי למצוא את הערך של מונח התקדמות עם ערכים קודמים ועוקבים ידועים, עליך להוסיף אותם ולחלק ב.

נכון, קיבלנו את אותו מספר. בואו נאבטח את החומר. חשב את הערך עבור ההתקדמות בעצמך, זה בכלל לא קשה.

כל הכבוד! אתה יודע כמעט הכל על התקדמות! נותר לגלות רק נוסחה אחת, שעל פי האגדה, הסיק בקלות על ידי אחד מהמתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, "מלך המתמטיקאים" - קארל גאוס...

כשקרל גאוס היה בן 9, מורה, שעסוק בבדיקת עבודתם של תלמידים בכיתות אחרות, הטיל בכיתה את המשימה הבאה: "חשב את הסכום של כל המספרים הטבעיים מ-עד (לפי מקורות אחרים עד) כולל". דמיינו את הפתעתו של המורה כשאחד מתלמידיו (זה היה קארל גאוס) דקה לאחר מכן נתן את התשובה הנכונה למשימה, בעוד שרוב חבריו לכיתה של הנועז, לאחר חישובים ארוכים, קיבלו את התוצאה השגויה...

קארל גאוס הצעיר הבחין בדפוס מסוים שגם אתה יכול להבחין בו בקלות.
נניח שיש לנו התקדמות אריתמטית המורכבת מאיברים -ה: עלינו למצוא את סכום האיברים הללו של ההתקדמות האריתמטית. כמובן, אנחנו יכולים לסכם באופן ידני את כל הערכים, אבל מה אם המשימה דורשת למצוא את סכום המונחים שלה, כפי שגאוס חיפש?

הבה נתאר את ההתקדמות שניתנה לנו. הסתכל מקרוב על המספרים המודגשים ונסו לבצע איתם פעולות מתמטיות שונות.


ניסית את זה? מה שמת לב? ימין! הסכומים שלהם שווים

עכשיו תגיד לי, כמה זוגות כאלה יש בסך הכל בהתקדמות שניתנה לנו? כמובן, בדיוק מחצית מכל המספרים, כלומר.
בהתבסס על העובדה שסכום שני איברים של התקדמות אריתמטית שווה, וזוגות דומים שווים, נקבל שהסכום הכולל שווה ל:
.
לפיכך, הנוסחה לסכום האיברים הראשונים של כל התקדמות אריתמטית תהיה:

בבעיות מסוימות איננו יודעים את המונח ה-th, אך אנו יודעים את ההבדל של ההתקדמות. נסה להחליף את הנוסחה של האיבר ה' בנוסחת הסכום.
מה קיבלת?

כל הכבוד! כעת נחזור לבעיה שנשאלה לקרל גאוס: חשבו בעצמכם למה שווה סכום המספרים המתחילים מה-th וסכום המספרים המתחילים מה-th.

כמה קיבלת?
גאוס מצא שסכום האיברים שווה, וסכום האיברים. זה מה שהחלטת?

למעשה, הנוסחה לסכום המונחים של התקדמות אריתמטית הוכחה על ידי המדען היווני הקדום דיופנטוס עוד במאה ה-3, ולאורך כל הזמן הזה אנשים שנוניםעשה שימוש מלא בתכונות של התקדמות אריתמטית.
למשל, דמיינו מצרים העתיקהופרויקט הבנייה הגדול ביותר של אז - בניית פירמידה... התמונה מציגה צד אחד שלה.

איפה ההתקדמות כאן, אתה אומר? הסתכלו היטב ומצאו תבנית במספר גושי החול בכל שורה של קיר הפירמידה.


למה לא התקדמות אריתמטית? חשב כמה בלוקים נחוצים כדי לבנות קיר אחד אם לבנים ממוקמות בבסיס. אני מקווה שלא תספור בזמן העברת האצבע על הצג, אתה זוכר את הנוסחה האחרונה וכל מה שאמרנו על התקדמות אריתמטית?

IN במקרה הזהההתקדמות נראית כך: .
הבדל התקדמות אריתמטי.
מספר האיברים של התקדמות אריתמטית.
בואו נחליף את הנתונים שלנו בנוסחאות האחרונות (חשב את מספר הבלוקים ב-2 דרכים).

שיטה 1.

שיטה 2.

ועכשיו אתה יכול לחשב על הצג: השווה את הערכים שהתקבלו עם מספר הבלוקים שנמצאים בפירמידה שלנו. הבנת? כל הכבוד, שלטת בסכום האיברים ה-n של התקדמות אריתמטית.
כמובן, אתה לא יכול לבנות פירמידה מבלוקים בבסיס, אבל מ? נסו לחשב כמה לבני חול צריך כדי לבנות קיר במצב זה.
הסתדרת?
התשובה הנכונה היא בלוקים:

הַדְרָכָה

משימות:

1. מאשה נכנסת לכושר לקיץ. כל יום היא מגדילה את מספר הכפיפות בטן. כמה פעמים מאשה תעשה סקוואט בשבוע אם היא עשתה סקוואט באימון הראשון?
2. מהו הסכום של כל המספרים האי-זוגיים הכלולים ב.
3. בעת אחסון יומנים, כורתים עורמים אותם בצורה כזו שכל שכבה עליונה מכילה יומן אחד פחות מהקודמת. כמה בולי עץ יש בבנייה אחת, אם יסוד הבנייה הוא בולי עץ?

תשובות:

1. הבה נגדיר את הפרמטרים של ההתקדמות האריתמטית. במקרה הזה
   (שבועות = ימים).

   תשובה:בעוד שבועיים, מאשה צריכה לעשות סקוואט פעם ביום.

2. מספר אי זוגי ראשון, מספר אחרון.
   הבדל התקדמות אריתמטי.
   מספר המספרים האי-זוגיים בחצי, עם זאת, הבה נבדוק עובדה זו באמצעות הנוסחה למציאת האיבר ה-th של התקדמות אריתמטית:

   מספרים מכילים מספרים אי-זוגיים.
   בואו נחליף את הנתונים הזמינים בנוסחה:

   תשובה:הסכום של כל המספרים האי-זוגיים הכלולים ב- שווה.

3. בואו נזכור את הבעיה לגבי פירמידות. לענייננו, א, מכיוון שכל שכבה עליונה מצטמצמת בבול עץ אחד, אז בסך הכל יש חבורה של שכבות, כלומר.
   בואו נחליף את הנתונים בנוסחה:

   תשובה:יש בולי עץ בבנייה.

בואו נסכם את זה

1. - רצף מספרים שבו ההפרש בין מספרים סמוכים זהה ושווה. זה יכול להיות עלייה או ירידה.
2. מציאת נוסחההאיבר ה-th של התקדמות אריתמטית נכתב על ידי הנוסחה - , כאשר הוא מספר המספרים בהתקדמות.
3. תכונה של חברים בהתקדמות אריתמטית- - היכן מספר המספרים בתהליך.
4. סכום האיברים של התקדמות אריתמטיתניתן למצוא בשתי דרכים:
   
   , איפה מספר הערכים.

התקדמות אריתמטית. רמה ממוצעת

רצף מספרים

בואו נשב ונתחיל לכתוב מספר מספרים. לדוגמה:

אתה יכול לכתוב כל מספר, ויכולים להיות כמה מהם שתרצה. אבל אנחנו תמיד יכולים לומר מי מהם ראשון, איזה שני, וכן הלאה, כלומר, אנחנו יכולים למספר אותם. זוהי דוגמה לרצף מספרים.

רצף מספריםהוא קבוצה של מספרים, שלכל אחד מהם ניתן להקצות מספר ייחודי.

במילים אחרות, כל מספר יכול להיות קשור למספר טבעי מסוים, ולמספר ייחודי. ולא נקצה את המספר הזה לשום מספר אחר מהסט הזה.

המספר עם המספר נקרא האיבר ה-th של הרצף.

בדרך כלל אנו קוראים לרצף כולו באות כלשהי (לדוגמה,), וכל איבר ברצף זה הוא אותה אות עם אינדקס השווה למספר של איבר זה: .

זה מאוד נוח אם ניתן לציין את האיבר ה-th של הרצף על ידי נוסחה כלשהי. למשל, הנוסחה

קובע את הרצף:

והנוסחה היא הרצף הבא:

לדוגמה, התקדמות אריתמטית היא רצף (האיבר הראשון כאן שווה, וההבדל הוא). או (, הבדל).

נוסחת מונח n

אנו קוראים לנוסחה חוזרת שבה, על מנת לגלות את המונח, אתה צריך לדעת את הקודמים או כמה קודמים:

כדי למצוא, למשל, את האיבר ה' של ההתקדמות באמצעות נוסחה זו, נצטרך לחשב את תשעת הקודמים. למשל, תן לזה. לאחר מכן:

ובכן, עכשיו ברור מה הנוסחה?

בכל שורה נוסיף, כפול מספר כלשהו. איזה מהם? פשוט מאוד: זה המספר של החבר הנוכחי מינוס:

הרבה יותר נוח עכשיו, נכון? אנחנו בודקים:

תחליט בעצמך:

בהתקדמות אריתמטית, מצא את הנוסחה של האיבר ה-n ומצא את האיבר המאה.

פִּתָרוֹן:

המונח הראשון שווה. מה ההבדל? הנה מה:

(זו הסיבה שזה נקרא הבדל כי זה שווה להפרש של מונחים עוקבים של ההתקדמות).

אז הנוסחה:

אז האיבר המאה שווה ל:

מהו סכום כל המספרים הטבעיים מ-to?

לפי האגדה, המתמטיקאי הדגול קרל גאוס, כילד בן 9, חישב את הסכום הזה תוך דקות ספורות. הוא שם לב שסכום המספר הראשון והאחרון שווה, הסכום של השני והלפני אחרון זהה, סכום השלישי והשלישי מהסוף זהה, וכן הלאה. כמה זוגות כאלה יש בסך הכל? נכון, בדיוק חצי מהמספר מכל המספרים, כלומר. כך,

הנוסחה הכללית לסכום האיברים הראשונים של כל התקדמות אריתמטית תהיה:

דוגמא:
מצא את הסכום של כולם מספרים דו ספרתיים, כפולות.

פִּתָרוֹן:

המספר הראשון כזה הוא זה. כל מספר עוקב מתקבל על ידי הוספה למספר הקודם. לפיכך, המספרים שאנו מעוניינים בהם יוצרים התקדמות אריתמטית עם האיבר הראשון וההפרש.

נוסחת המונח ה' להתקדמות זו:

כמה מונחים יש בהתקדמות אם כולם צריכים להיות דו ספרתיים?

קל מאוד: .

הקדנציה האחרונה של ההתקדמות תהיה שווה. ואז הסכום:

תשובה: .

עכשיו תחליטו בעצמכם:

1. כל יום הספורטאי רץ יותר מטרים מאשר ביום הקודם. כמה קילומטרים בסך הכל הוא ירוץ בשבוע אם רץ ק"מ מ' ביום הראשון?
2. רוכב אופניים נוסע יותר קילומטרים מדי יום מאשר ביום הקודם. ביום הראשון נסע ק"מ. כמה ימים הוא צריך לנסוע כדי לעבור קילומטר? כמה קילומטרים ייסע ביום האחרון למסעו?
3. מחיר מקרר בחנות יורד באותה כמות מדי שנה. קבע כמה ירד מחירו של מקרר בכל שנה אם, שש שנים לאחר מכן, הוא נמכר ברובל, למכירה עבור רובל.

תשובות:

1. הדבר החשוב ביותר כאן הוא לזהות את ההתקדמות האריתמטית ולקבוע את הפרמטרים שלה. במקרה זה, (שבועות = ימים). עליך לקבוע את סכום האיברים הראשונים של התקדמות זו:
   .
   תשובה:
2. כאן ניתן: , חייב להימצא.
   ברור שאתה צריך להשתמש באותה נוסחת סכום כמו בבעיה הקודמת:
   .
   החליפו את הערכים:

   השורש כמובן לא מתאים, אז התשובה היא.
   הבה נחשב את הנתיב שעבר במהלך היום האחרון באמצעות הנוסחה של האיבר ה-th:
   (ק"מ).
   תשובה:

3. נתון: . למצוא: .
   זה לא יכול להיות פשוט יותר:
   (לשפשף).
   תשובה:

התקדמות אריתמטית. בקצרה על הדברים העיקריים

זהו רצף מספרים שבו ההבדל בין מספרים סמוכים זהה ושווה.

התקדמות אריתמטית יכולה להיות עולה () וירידה ().

לדוגמה:

נוסחה למציאת האיבר ה-n של התקדמות אריתמטית

נכתב על ידי הנוסחה, היכן הוא מספר המספרים בהתקדמות.

תכונה של חברים בהתקדמות אריתמטית

זה מאפשר לך למצוא בקלות מונח של התקדמות אם המונחים השכנים שלו ידועים - איפה מספר המספרים בהתקדמות.

סכום האיברים של התקדמות אריתמטית

ישנן שתי דרכים למצוא את הסכום:

איפה מספר הערכים.

איפה מספר הערכים.

או אריתמטיקה היא סוג של רצף מספרי מסודר, שתכונותיו נלמדות בקורס אלגברה בבית הספר. מאמר זה דן בפירוט בשאלה כיצד למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית.

איזו מין התקדמות זו?

לפני שנעבור לשאלה (איך מוצאים את סכום התקדמות אריתמטית), כדאי להבין על מה אנחנו מדברים.

כל רצף של מספרים ממשיים שמתקבל על ידי חיבור (חיסור) ערך כלשהו מכל מספר קודם נקרא התקדמות אלגברית (אריתמטית). הגדרה זו, כאשר היא מתורגמת לשפה מתמטית, לובשת את הצורה:

כאן i הוא המספר הסידורי של אלמנט השורה a i. לפיכך, בידיעת מספר התחלתי אחד בלבד, תוכל לשחזר בקלות את כל הסדרה. הפרמטר d בנוסחה נקרא הפרש ההתקדמות.

ניתן להראות בקלות כי עבור סדרת המספרים הנחשבת מתקיים השוויון הבא:

a n = a 1 + d * (n - 1).

כלומר, כדי למצוא את הערך של האלמנט ה-n' לפי הסדר, צריך להוסיף את ההפרש d לאלמנט הראשון a 1 n-1 פעמים.

מהו סכום התקדמות אריתמטית: נוסחה

לפני מתן הנוסחה לכמות המצוינת, כדאי לשקול פשוט מקרה מיוחד. בהתחשב בהתקדמות של מספרים טבעיים מ-1 ל-10, עליך למצוא את הסכום שלהם. מכיוון שיש מעט מונחים בהתקדמות (10), אפשר לפתור את הבעיה חזיתית, כלומר לסכם את כל האלמנטים לפי הסדר.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

כדאי לשקול דבר אחד מעניין: מכיוון שכל איבר שונה מהאחר באותו ערך d = 1, אז סיכום זוגי של הראשון עם העשירי, השני עם התשיעי וכן הלאה ייתן את אותה תוצאה. בֶּאֱמֶת:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

כפי שאתה יכול לראות, יש רק 5 מהסכומים האלה, כלומר, בדיוק פי שניים פחות ממספר האלמנטים של הסדרה. לאחר מכן תכפילו את מספר הסכומים (5) בתוצאה של כל סכום (11), תגיעו לתוצאה שהתקבלה בדוגמה הראשונה.

אם נכליל את הטיעונים הללו, נוכל לכתוב את הביטוי הבא:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

ביטוי זה מראה שאין צורך כלל לסכם את כל הרכיבים בשורה; מספיק לדעת את הערך של ה-a הראשון וה-n האחרון, וכן מספר כולל n מונחים.

מאמינים שגאוס היה הראשון שחשב על שוויון זה כשחיפש פתרון לבעיה נתונה. מורה בבית הספרמשימה: סכום את 100 המספרים השלמים הראשונים.

סכום האלמנטים מ-m עד n: נוסחה

הנוסחה שניתנה בפסקה הקודמת עונה על השאלה כיצד למצוא סכום של התקדמות אריתמטית (האלמנטים הראשונים), אך לעיתים קרובות בבעיות יש צורך לסכם סדרת מספרים באמצע ההתקדמות. איך לעשות את זה?

הדרך הקלה ביותר לענות על שאלה זו היא על ידי בחינת הדוגמה הבאה: שיהיה צורך למצוא את סכום האיברים מה-m-th עד n-th. כדי לפתור את הבעיה, עליך לייצג את הקטע הנתון מ-m ל-n של ההתקדמות כחדש סדרת מספרים. מהמבט הזה קדנציה חודשית a m יהיה ראשון, ו- n יספר n-(m-1). במקרה זה, באמצעות הנוסחה הסטנדרטית עבור הסכום, יתקבל הביטוי הבא:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

דוגמה לשימוש בנוסחאות

לדעת איך למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית, כדאי לשקול דוגמה פשוטה לשימוש בנוסחאות לעיל.

להלן רצף מספרי, אתה צריך למצוא את סכום האיברים שלו, החל מה-5 וכלה ב-12:

המספרים הנתונים מצביעים על כך שההפרש d שווה ל-3. בעזרת הביטוי עבור האלמנט ה-n, ניתן למצוא את הערכים של האיברים ה-5 וה-12 של ההתקדמות. מתברר:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

הכרת ערכי המספרים בקצות ההתקדמות האלגברית הנבדקת, כמו גם לדעת אילו מספרים בסדרה הם תופסים, אתה יכול להשתמש בנוסחה לסכום שהתקבל בפסקה הקודמת. יתברר:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

ראוי לציין שניתן לקבל ערך זה אחרת: תחילה מצא את הסכום של 12 האלמנטים הראשונים באמצעות הנוסחה הסטנדרטית, לאחר מכן חשב את סכום 4 היסודות הראשונים באמצעות אותה נוסחה, ולאחר מכן החסר את השני מהסכום הראשון.

התקדמות אריתמטיתשם רצף של מספרים (מונחים של התקדמות)

שבו כל מונח עוקב שונה מהקודם במונח חדש, הנקרא גם הבדל שלב או התקדמות.

לפיכך, על ידי ציון שלב ההתקדמות והמונח הראשון שלו, תוכל למצוא כל אחד מהאלמנטים שלו באמצעות הנוסחה

מאפיינים של התקדמות אריתמטית

1) כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהמספר השני, הוא הממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים של ההתקדמות

גם ההיפך נכון. אם הממוצע האריתמטי של איברים אי-זוגיים (זוגיים) סמוכים של התקדמות שווה לאיבר העומד ביניהם, אז רצף המספרים הזה הוא התקדמות אריתמטית. באמצעות הצהרה זו, קל מאוד לבדוק כל רצף.

כמו כן, לפי התכונה של התקדמות אריתמטית, ניתן להכליל את הנוסחה לעיל לדברים הבאים

קל לאמת זאת אם כותבים את התנאים מימין לסימן השוויון

הוא משמש לעתים קרובות בפועל כדי לפשט חישובים בבעיות.

2) סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית מחושב באמצעות הנוסחה

זכור היטב את הנוסחה של סכום התקדמות אריתמטית; היא הכרחית בחישובים ונמצאת לעתים קרובות למדי במצבי חיים פשוטים.

3) אם אתה צריך למצוא לא את כל הסכום, אלא חלק מהרצף שמתחיל מהאיבר ה-k' שלו, אז תצטרך הנוסחה הבאהכמויות

4) עניין מעשי הוא למצוא את הסכום של n איברים של התקדמות אריתמטית החל מהמספר kth. לשם כך, השתמש בנוסחה

בכך מסתיים החומר התיאורטי ועובר לפתרון בעיות נפוצות בפועל.

דוגמה 1. מצא את האיבר הארבעים של ההתקדמות האריתמטית 4;7;...

פִּתָרוֹן:

לפי המצב שיש לנו

בואו נקבע את שלב ההתקדמות

בעזרת נוסחה ידועה אנו מוצאים את האיבר הארבעים של ההתקדמות

דוגמה 2. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי האיברים השלישי והשביעי שלה. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות ואת הסכום של עשר.

פִּתָרוֹן:

הבה נכתוב את המרכיבים הנתונים של ההתקדמות באמצעות הנוסחאות

נחסר את הראשון מהמשוואה השנייה, וכתוצאה מכך נמצא את שלב ההתקדמות

נחליף את הערך שנמצא בכל אחת מהמשוואות כדי למצוא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית

אנו מחשבים את סכום עשרת האיברים הראשונים של ההתקדמות

מבלי להשתמש בחישובים מורכבים מצאנו את כל הכמויות הנדרשות.

דוגמה 3. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי המכנה ואחד האיברים שלו. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות, את סכום 50 האיברים שלו החל מ-50 ואת סכום ה-100 הראשונים.

פִּתָרוֹן:

נרשום את הנוסחה של האלמנט המאה של ההתקדמות

ולמצוא את הראשון

בהתבסס על הראשון, אנו מוצאים את המונח ה-50 של ההתקדמות

מציאת סכום החלק של ההתקדמות

וסכום ה-100 הראשונים

כמות ההתקדמות היא 250.

דוגמה 4.

מצא את מספר האיברים של התקדמות אריתמטית אם:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

פִּתָרוֹן:

נכתוב את המשוואות מבחינת האיבר הראשון ושלב ההתקדמות ונקבע אותן

אנו מחליפים את הערכים שהתקבלו בנוסחת הסכום כדי לקבוע את מספר האיברים בסכום

אנו מבצעים הפשטות

ולפתור את המשוואה הריבועית

מבין שני הערכים שנמצאו, רק המספר 8 מתאים לתנאי הבעיה. לפיכך, הסכום של שמונת האיברים הראשונים של ההתקדמות הוא 111.

דוגמה 5.

פתור את המשוואה

1+3+5+...+x=307.

פתרון: משוואה זו היא סכום התקדמות אריתמטית. בואו נכתוב את המונח הראשון שלו ונמצא את ההבדל בהתקדמות

סכום של התקדמות אריתמטית.

הסכום של התקדמות אריתמטית הוא דבר פשוט. גם במשמעות וגם בנוסחה. אבל יש כל מיני משימות בנושא הזה. מבסיסי ועד די מוצק.

ראשית, בואו נבין את המשמעות והנוסחה של הסכום. ואז נחליט. להנאתכם.) משמעות הסכום היא פשוטה כמו מו. כדי למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית, אתה רק צריך להוסיף בזהירות את כל המונחים שלה. אם המונחים האלה מועטים, אתה יכול להוסיף בלי שום נוסחאות. אבל אם יש הרבה, או הרבה... הוספה היא מעצבנת.) במקרה זה, הנוסחה באה להציל.

הנוסחה לכמות פשוטה:

בואו להבין איזה סוג של אותיות כלולות בנוסחה. זה יבהיר את הדברים הרבה.

S n - סכום התקדמות אריתמטית. תוצאת הוספה כל אחדחברים, עם ראשוןעל ידי אחרון.זה חשוב. הם מסתכמים בדיוק את כלחברים ברצף, מבלי לדלג או לדלג. ובדיוק, החל מ ראשון.בבעיות כמו מציאת סכום האיברים השלישי והשמיני, או סכום האיברים החמישי עד העשרים, יישום ישיר של הנוסחה יאכזב.)

א 1 - ראשוןחבר בהתקדמות. הכל ברור כאן, זה פשוט ראשוןמספר שורה.

א n- אחרוןחבר בהתקדמות. המספר האחרון של הסדרה. לא שם מאוד מוכר, אבל כשמיושמים אותו על הכמות, זה מאוד מתאים. ואז תראה בעצמך.

נ - מספר החבר האחרון. חשוב להבין שבנוסחה המספר הזה עולה בקנה אחד עם מספר המונחים שנוספו.

בואו נגדיר את המושג אחרוןחבר א n. שאלה מסובכת: איזה חבר יהיה האחרוןאם ניתן אינסופיהתקדמות אריתמטית?)

כדי לענות בביטחון, אתה צריך להבין את המשמעות היסודית של התקדמות אריתמטית ו... לקרוא את המשימה בעיון!)

במשימה של מציאת סכום התקדמות אריתמטית, תמיד מופיע האיבר האחרון (במישרין או בעקיפין), שאמור להיות מוגבל.אחרת, סכום סופי וספציפי פשוט לא קיים.לפתרון, אין זה משנה אם ההתקדמות נתונה: סופית או אינסופית. זה לא משנה איך זה ניתן: סדרה של מספרים, או נוסחה לאיבר ה-n.

הדבר החשוב ביותר הוא להבין שהנוסחה פועלת מהאיבר הראשון של ההתקדמות למונח עם מספר נ.למעשה, השם המלא של הנוסחה נראה כך: הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית.מספר החברים הראשונים הללו, כלומר. נ, נקבע אך ורק על ידי המשימה. במשימה, כל המידע היקר הזה מוצפן לעתים קרובות, כן... אבל לא משנה, בדוגמאות למטה אנו חושפים את הסודות הללו.)

דוגמאות למשימות על סכום התקדמות אריתמטית.

ראשית כל, מידע מועיל:

הקושי העיקרי במשימות הכרוכות בסכום של התקדמות אריתמטית הוא הגדרה נכונהמרכיבי הנוסחה.

כותבי המשימות מצפינים את האלמנטים האלה בדמיון חסר גבולות.) העיקר כאן הוא לא לפחד. הבנת מהות היסודות, מספיק פשוט לפענח אותם. בואו נסתכל על כמה דוגמאות בפירוט. נתחיל במשימה המבוססת על GIA אמיתי.

1. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a n = 2n-3.5. מצא את סכום 10 האיברים הראשונים שלו.

עבודה טובה. קל.) כדי לקבוע את הכמות באמצעות הנוסחה, מה אנחנו צריכים לדעת? חבר ראשון א 1, סמסטר אחרון א n, כן המספר של החבר האחרון נ.

איפה אני יכול להשיג את המספר של החבר האחרון? נ? כן, ממש שם, בתנאי! כתוב: מצא את הסכום 10 החברים הראשונים.ובכן, עם איזה מספר זה יהיה? אחרון,חבר עשירי?) לא תאמינו, המספר שלו עשירי!) לכן, במקום א nנחליף לנוסחה 10, ובמקום נ- עשר. אני חוזר, המספר של החבר האחרון תואם למספר החברים.

נותר לקבוע א 1ו 10. זה מחושב בקלות באמצעות הנוסחה של האיבר ה-n, המופיע בהצהרת הבעיה. לא יודע איך לעשות את זה? השתתפו בשיעור הקודם, בלי זה אין סיכוי.

א 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

גילינו את המשמעות של כל מרכיבי הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית. כל שנותר הוא להחליף אותם ולספור:

זהו זה. תשובה: 75.

משימה נוספת המבוססת על GIA. קצת יותר מסובך:

2. בהינתן התקדמות אריתמטית (a n), שההפרש שלה הוא 3.7; a 1 = 2.3. מצא את סכום 15 האיברים הראשונים שלו.

נכתוב מיד את נוסחת הסכום:

נוסחה זו מאפשרת לנו למצוא את הערך של כל איבר לפי מספרו. אנו מחפשים תחליף פשוט:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

נותר להחליף את כל האלמנטים בנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית ולחשב את התשובה:

תשובה: 423.

אגב, אם בנוסחת הסכום במקום א nאנו פשוט מחליפים את הנוסחה במונח ה-n ומקבלים:

הבה נציג דומים ונקבל נוסחה חדשה לסכום האיברים של התקדמות אריתמטית:

כפי שאתה יכול לראות, המונח ה-n אינו נדרש כאן א n. בבעיות מסוימות הנוסחה הזו עוזרת מאוד, כן... אפשר לזכור את הנוסחה הזו. או שאתה יכול פשוט להציג אותו בזמן הנכון, כמו כאן. אחרי הכל, אתה תמיד צריך לזכור את הנוסחה עבור הסכום ואת הנוסחה עבור האיבר ה-n.)

עכשיו המשימה בצורה של הצפנה קצרה):

3. מצא את הסכום של כל המספרים הדו ספרתיים החיוביים שהם כפולות של שלוש.

וואו! לא החבר הראשון שלך, לא האחרון שלך, ולא התקדמות בכלל... איך לחיות!?

תצטרך לחשוב עם הראש ולשלוף את כל המרכיבים של סכום ההתקדמות האריתמטית מהתנאי. אנחנו יודעים מה זה מספרים דו ספרתיים. הם מורכבים משני מספרים.) איזה מספר דו ספרתי יהיה ראשון? 10, ככל הנראה.) א דבר אחרוןמספר דו ספרתי? 99, כמובן! התלת ספרות ילכו אחריו...

כפולות של שלוש... הממ... אלו מספרים שמתחלקים בשלוש, הנה! עשר אינו מתחלק בשלוש, 11 אינו מתחלק... 12... מתחלק! אז, משהו מתגלה. אפשר כבר לרשום סדרה לפי תנאי הבעיה:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

האם הסדרה הזו תהיה התקדמות אריתמטית? בְּהֶחלֵט! כל מונח שונה מהקודם בשלושה בהחלט. אם תוסיף 2 או 4 למונח, נניח, התוצאה, כלומר. המספר החדש אינו מתחלק עוד ב-3. אתה יכול מיד לקבוע את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית: d = 3.זה יהיה שימושי!)

אז אנחנו יכולים לכתוב בבטחה כמה פרמטרים של התקדמות:

מה יהיה המספר? נחבר אחרון? כל מי שחושב ש-99 טועה אנושות... המספרים תמיד הולכים ברצף, אבל החברים שלנו קופצים מעל שלוש. הם לא תואמים.

יש כאן שני פתרונות. דרך אחת היא לחרוצים במיוחד. אתה יכול לרשום את ההתקדמות, את כל סדרת המספרים, ולספור את מספר האיברים עם האצבע.) הדרך השנייה היא עבור המתחשבים. אתה צריך לזכור את הנוסחה של האיבר ה-n. אם נחיל את הנוסחה על הבעיה שלנו, נגלה ש-99 הוא האיבר השלושים של ההתקדמות. הָהֵן. n = 30.

הבה נסתכל על הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית:

אנחנו מסתכלים ושמחים.) שלפנו מהצהרת הבעיה את כל מה שצריך כדי לחשב את הסכום:

א 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

כל מה שנותר הוא חשבון יסודי. נחליף את המספרים בנוסחה ונחשב:

תשובה: 1665

סוג אחר של פאזל פופולרי:

4. בהינתן התקדמות אריתמטית:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

מצא את סכום האיברים מעשרים עד שלושים וארבע.

אנחנו מסתכלים על הנוסחה של הכמות ו... אנחנו מתעצבנים.) הנוסחה, להזכירכם, מחשבת את הסכום מההתחלהחבר. ובבעיה צריך לחשב את הסכום מאז העשרים...הנוסחה לא תעבוד.

אתה יכול, כמובן, לכתוב את כל ההתקדמות בסדרה, ולהוסיף מונחים מ-20 עד 34. אבל... זה איכשהו טיפשי ולוקח הרבה זמן, נכון?)

יש פתרון אלגנטי יותר. בואו נחלק את הסדרה שלנו לשני חלקים. החלק הראשון יהיה מהקדנציה הראשונה ועד התשע עשרה.חלק שני - מעשרים עד שלושים וארבע.ברור שאם נחשב את סכום האיברים של החלק הראשון ס 1-19, בואו נוסיף אותו עם סכום התנאים של החלק השני ש' 20-34, נקבל את סכום ההתקדמות מהמונח הראשון לשלושים וארבעה ס 1-34. ככה:

ס 1-19 + ש' 20-34 = ס 1-34

מכאן נוכל לראות למצוא את הסכום ש' 20-34ניתן לעשות על ידי חיסור פשוט

ש' 20-34 = ס 1-34 - ס 1-19

שני הסכומים בצד ימין נחשבים מההתחלהחבר, כלומר. די ישים לגביהם נוסחה סטנדרטיתכמויות. בואו נתחיל?

אנו מחלצים את פרמטרי ההתקדמות מהצהרת הבעיה:

d = 1.5.

א 1= -21,5.

כדי לחשב את הסכומים של 19 האיברים הראשונים ו-34 האיברים הראשונים, נצטרך את האיברים ה-19 וה-34. אנו מחשבים אותם באמצעות הנוסחה של האיבר ה-n, כמו בבעיה 2:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

א 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

לא נשאר כלום. מהסכום של 34 איברים יש להפחית את הסכום של 19 איברים:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

תשובה: 262.5

הערה אחת חשובה! יש טריק שימושי מאוד בפתרון בעיה זו. במקום חישוב ישיר מה שאתה צריך (S 20-34),ספרנו משהו שנראה שאין צורך - S 1-19.ואז הם קבעו ש' 20-34, להשליך את המיותר מהתוצאה השלמה. סוג זה של "עבירה באוזניים" מציל אותך לעתים קרובות בבעיות מרושעות.)

בשיעור זה הסתכלנו על בעיות שעבורן מספיק להבין את המשמעות של סכום התקדמות אריתמטית. ובכן, אתה צריך לדעת כמה נוסחאות.)

עצה מעשית:

כאשר פותרים כל בעיה הכרוכה בסכום של התקדמות אריתמטית, אני ממליץ לכתוב מיד את שתי הנוסחאות העיקריות מהנושא הזה.

נוסחה לקדנציה ה-n:

נוסחאות אלו יגידו לכם מיד מה לחפש ובאיזה כיוון לחשוב על מנת לפתור את הבעיה. עוזר.

ועכשיו המשימות לפתרון עצמאי.

5. מצא את הסכום של כל המספרים הדו ספרתיים שאינם מתחלקים בשלוש.

מגניב?) הרמז חבוי בהערה לבעיה 4. ובכן, בעיה 3 תעזור.

6. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. מצא את סכום 24 האיברים הראשונים שלו.

יוצא דופן?) זוהי נוסחה שחוזרת על עצמה. תוכל לקרוא על כך בשיעור הקודם. אל תתעלם מהקישור, בעיות כאלה נמצאות לעתים קרובות באקדמיה הממלכתית למדעים.

7. ואסיה חסכה כסף לחג. עד 4550 רובל! והחלטתי לתת לאדם האהוב עליי (עצמי) כמה ימים של אושר). תחיה יפה בלי למנוע מעצמך כלום. הוצא 500 רובל ביום הראשון, ובכל יום שלאחר מכן הוצא 50 רובל יותר מהקודם! עד שיגמר הכסף. כמה ימים של אושר היו לווסיה?

האם זה קשה?) הנוסחה הנוספת מבעיה 2 תעזור.

תשובות (בחוסר סדר): 7, 3240, 6.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.