כיצד לפתור משוואות ריבועיות 8. משוואות ריבועיות שלמות ולא שלמות

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 מוסד חינוכי תקציבי עירוני בית ספר תיכון מס' 11

טקסט העבודה מתפרסם ללא תמונות ונוסחאות.
גרסה מלאההעבודה זמינה בלשונית "קבצי עבודה" בפורמט PDF

היסטוריה של משוואות ריבועיות

בָּבֶל

הצורך לפתור משוואות לא רק מהדרגה הראשונה, אלא גם מהשנייה, בימי קדם נגרם מהצורך לפתור בעיות הקשורות במציאת שטחי חלקות האדמה, עם התפתחות האסטרונומיה והמתמטיקה עצמה. משוואות ריבועיותידע לפתור בסביבות שנת 2000 לפני הספירה. ה. בבל. הכללים לפתרון המשוואות הללו, שנקבעו בטקסטים בבבליים, עולים בקנה אחד עם אלה המודרניים, אך בטקסטים אלה אין מושג מספר שליליו שיטות כלליותפתרון משוואות ריבועיות.

יוון העתיקה

פתרון משוואות ריבועיות נעשה גם ב יוון העתיקהמדענים כמו דיופנטוס, אוקלידס והרון. דיופנטוס דיופנטוס מאלכסנדריה הוא מתמטיקאי יווני עתיק שחי ככל הנראה במאה ה-3 לספירה. עבודתו העיקרית של דיופנטוס היא "אריתמטיקה" ב-13 ספרים. אוקלידס. אוקלידס הוא מתמטיקאי יווני עתיק, מחברו של החיבור התיאורטי הראשון על מתמטיקה שהגיע אלינו, הרון. הרון - מתמטיקאי ומהנדס יווני הראשון ביוון במאה ה-1 לספירה. נותן נקי שיטה אלגבריתפתרונות למשוואות ריבועיות

הוֹדוּ

בעיות במשוואות ריבועיות נמצאות כבר בחיבור האסטרונומי "אריאבהטיאם", שחיבר בשנת 499 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבהאטה. מדען הודי אחר, Brahmagupta (המאה השביעית), תיאר חוק כלליפתרונות של משוואות ריבועיות מופחתות לצורה קנונית אחת: ax2 + bx = c, a> 0. (1) במשוואה (1) המקדמים יכולים להיות שליליים. השלטון של ברהמגופטה זהה למעשה לשלנו. תחרויות ציבוריות בפתרון בעיות קשות היו נפוצות בהודו. אחד הספרים ההודיים הישנים אומר את הדברים הבאים על תחרויות כאלה: "כפי שהשמש מאפילה על הכוכבים בזוהר שלה, כך איש מלומדיאפיל על תהילתו באסיפות ציבוריות על ידי הצעת ופתרון בעיות אלגבריות". בעיות הוצגו לעתים קרובות בצורה פואטית.

זו אחת הבעיות של המתמטיקאי ההודי המפורסם של המאה ה-12. בהסקרס.

"להקה של קופים עליזים

ושתים עשרה לאורך הגפנים, לאחר שאכלו לשביעות רצוני, נהנו

הם התחילו לקפוץ, תלויים

חלק שמיני מהם בריבוע

כמה קופים היו שם?

נהניתי בקרחת היער

תגיד לי, בחבילה הזו?

הפתרון של בהסקרה מצביע על כך שהמחבר ידע שהשורשים של משוואות ריבועיות הם דו-ערכיים. בהסקר כותב את המשוואה המתאימה לבעיה כ-x2 - 64x = - 768, וכדי להשלים את הצד השמאלי של המשוואה הזו לריבוע, מוסיף 322 לשני הצדדים, ואז משיג: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

משוואות ריבועיות באירופה של המאה ה-17

נוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות שעוצבו במודל של אל-חורזמי באירופה הוצגו לראשונה בספר אבקסיס, שנכתב ב-1202 על ידי המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י. יצירה עשירה זו, המשקפת את השפעת המתמטיקה, הן מארצות האסלאם והן מיוון העתיקה, נבדלת בשלמותה ובבהירות ההצגה שלה. המחבר פיתח באופן עצמאי כמה חדשים דוגמאות אלגבריותפתרון בעיות והיה הראשון באירופה שהציג מספרים שליליים. ספרו תרם להפצת הידע האלגברי לא רק באיטליה, אלא גם בגרמניה, צרפת ומדינות אחרות באירופה. בעיות רבות מתוך ספר אבקסיס שימשו כמעט בכל ספרי הלימוד האירופיים של המאות ה-16-17. ובחלקו XVIII. גזירת הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית ב השקפה כלליתלוויאט יש את זה, אבל וייט זיהה רק שורשים חיוביים. המתמטיקאים האיטלקיים טרטליה, קרדנו, בומבלי היו בין הראשונים במאה ה-16. בנוסף לחיוביים, נלקחים בחשבון גם שורשים שליליים. רק במאה ה-17. הודות לעבודתם של ז'ירארד, דקארט, ניוטון ומדענים אחרים, השיטה לפתרון משוואות ריבועיות מקבלת צורה מודרנית.

הגדרה של משוואה ריבועית

משוואה בצורה ax 2 + bx + c = 0, כאשר a, b, c הם מספרים, נקראת ריבועית.

מקדמי משוואה ריבועית

המספרים a, b, c הם המקדמים של המשוואה הריבועית. a הוא המקדם הראשון (לפני x²), a ≠ 0; b הוא המקדם השני (לפני x); c הוא האיבר החופשי (ללא x).

אילו מהמשוואות הללו אינן ריבועיות??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

סוגי משוואות ריבועיות

שֵׁם	צורה כללית של המשוואה	תכונה (מהם המקדמים)	דוגמאות למשוואות
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - מספרים שאינם 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
לא שלם
			x 2 - 1/5x = 0
נָתוּן	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

מופחת היא משוואה ריבועית שבה נמצא המקדם המוביל שווה לאחד. ניתן לקבל משוואה כזו על ידי חלוקת הביטוי כולו במקדם המוביל א:

איקס 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

משוואה ריבועית נקראת שלמה אם כל המקדמים שלה אינם אפס.

משוואה ריבועית נקראת לא שלמה שבה לפחות אחד מהמקדמים, מלבד המוביל (או המקדם השני או האיבר החופשי), שווה לאפס.

שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

שיטה I נוסחה כללית לחישוב שורשים

למצוא את השורשים של משוואה ריבועית גַרזֶן 2 + b + c = 0באופן כללי, עליך להשתמש באלגוריתם הבא:

חשב את הערך של המבחין של משוואה ריבועית: זה הביטוי שלה D=ב 2 - 4ac

גזירת הנוסחה:

הערה:ברור שהנוסחה לשורש של ריבוי 2 היא מקרה מיוחד של הנוסחה הכללית, המתקבלת על ידי החלפת השוויון D=0 לתוכה, והמסקנה לגבי היעדר שורשים אמיתיים ב-D0, ו- (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

השיטה המוצגת היא אוניברסלית, אבל היא רחוקה מלהיות היחידה. ניתן לגשת לפתרון משוואה בודדת במגוון דרכים, כאשר העדפות בדרך כלל תלויות בפותר. בנוסף, לעיתים קרובות למטרה זו חלק מהשיטות מתבררות כהרבה יותר אלגנטיות, פשוטות ופחות מצריכות עבודה מהסטנדרטית.

שיטה II. שורשים של משוואה ריבועית עם מקדם זוגיב שיטת III. פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

שיטת IV. שימוש ביחסים חלקיים של מקדמים

ישנם מקרים מיוחדים של משוואות ריבועיות בהן המקדמים נמצאים ביחסים זה עם זה, מה שהופך אותם להרבה יותר קלים לפתרון.

שורשים של משוואה ריבועית שבה סכום המקדם המוביל והאיבר החופשי שווה למקדם השני

אם במשוואה ריבועית גַרזֶן 2 + bx + c = 0הסכום של המקדם הראשון והאיבר החופשי שווה למקדם השני: a+b=c, אז השורשים שלו הם -1 והמספר המנוגד ליחס בין האיבר החופשי למקדם המוביל ( -c/a).

לפיכך, לפני פתרון משוואה ריבועית כלשהי, כדאי לבדוק את האפשרות ליישם עליה את המשפט הזה: השוו את סכום המקדם המוביל והאיבר החופשי עם המקדם השני.

שורשים של משוואה ריבועית שסכום כל המקדמים שלה הוא אפס

אם במשוואה ריבועית סכום כל המקדמים שלה הוא אפס, אז השורשים של משוואה כזו הם 1 והיחס בין האיבר החופשי למקדם המוביל ( c/a).

לפיכך, לפני פתרון המשוואה שיטות סטנדרטיות, כדאי לבדוק את הישימות של המשפט הזה עליו: חברו את כל המקדמים של המשוואה הזו ותראו אם הסכום הזה לא שווה לאפס.

שיטת V. חלוקת טרינום ריבועי לגורמים ליניאריים

אם הטרינום הוא מהצורה (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)איכשהו יכול להיות מיוצג כמכפלה של גורמים ליניאריים (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx +n), אז נוכל למצוא את שורשי המשוואה גַרזֶן 2 + bx + c = 0- הם יהיו -m/k ו-n/l, אכן, אחרי הכל (סגנון תצוגה (kx+m)(lx+n)=0חץ ימינה ארוך-שמאלה kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, ולאחר שפתרנו את המשוואות הליניאריות המצוינות, נקבל את האמור לעיל. ציין זאת טרינום ריבועילא תמיד מתפרק לגורמים ליניאריים עם מקדמים ממשיים: זה אפשרי אם למשוואה המתאימה יש שורשים אמיתיים.

בואו ניקח בחשבון כמה מקרים מיוחדים

שימוש בנוסחת הסכום בריבוע (הפרש).

אם לטרינום הריבועי יש את הצורה (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2, אז על ידי החלת הנוסחה לעיל עליו, נוכל לחלק אותו לגורמים ליניאריים ו לכן, מצא שורשים:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

בידוד הריבוע המלא של הסכום (הפרש)

הנוסחה לעיל משמשת גם בשיטה הנקראת "בחירת הריבוע המלא של הסכום (ההפרש)." ביחס למשוואה הריבועית לעיל עם התווית שהוצגה קודם לכן, משמעות הדבר היא הבאה:

הערה:אם תשים לב, נוסחה זו עולה בקנה אחד עם זו המוצעת בסעיף "שורשי המשוואה הריבועית המופחתת", אשר, בתורה, ניתן לקבל מהנוסחה הכללית (1) על ידי החלפת השוויון a=1. עובדה זו אינה רק צירוף מקרים: בשיטה המתוארת, אם כי בהיגיון נוסף, ניתן לגזור נוסחה כללית וגם להוכיח את תכונותיו של המבחין.

שיטת VI. שימוש במשפט Vieta הישיר וההפוך

המשפט הישיר של וייטה (ראה להלן בסעיף באותו שם) והמשפט ההפוך שלו מאפשרים לך לפתור את המשוואות הריבועיות לעיל בעל פה, מבלי להזדקק לחישובים מסורבלים למדי באמצעות נוסחה (1).

לפי המשפט ההפוך, כל זוג מספרים (מספר) (סגנון תצוגה x_(1),x_(2))x 1, x 2, בהיותו פתרון למערכת המשוואות למטה, הם שורשי המשוואה

במקרה הכללי, כלומר, עבור משוואה ריבועית לא מופחתת ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

משפט ישיר יעזור לך למצוא מספרים שעונים על המשוואות הללו בעל פה. בעזרתו ניתן לקבוע את סימני השורשים מבלי להכיר את השורשים עצמם. כדי לעשות זאת, עליך לפעול לפי הכלל:

1) אם המונח החופשי שלילי, אז לשורשים יש סימן שונה, והמודלוס הגדול ביותר של השורשים הוא הסימן המנוגד לסימן המקדם השני של המשוואה;

2) אם האיבר החופשי חיובי, אז לשני השורשים יש אותו סימן, וזהו הסימן המנוגד לסימן המקדם השני.

שיטה VII. שיטת העברה

שיטת "העברה" כביכול מאפשרת לצמצם את הפתרון של משוואות בלתי מופחתות ובלתי ניתנות לצמצום לצורה של משוואות מופחתות עם מקדמים שלמים על ידי חלוקתן במקדם המוביל לפתרון משוואות מופחתות עם מקדמים שלמים. זה כדלקמן:

לאחר מכן, המשוואה נפתרת בעל פה באופן שתואר לעיל, ואז הם חוזרים למשתנה המקורי ומוצאים את שורשי המשוואות (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 =גרזן 1 ו y 2 =גרזן 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

משמעות גיאומטרית

הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. הפתרונות (השורשים) של משוואה ריבועית הם האבססיס של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר האבשיסה. אם הפרבולה המתוארת פונקציה ריבועית, אינו מצטלב עם ציר ה-x, למשוואה אין שורשים ממשיים. אם פרבולה חותכת את ציר ה-x בנקודה אחת (בקודקוד הפרבולה), למשוואה יש שורש ממשי אחד (אומרים שגם למשוואה יש שני שורשים חופפים). אם הפרבולה חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות, למשוואה יש שני שורשים אמיתיים (ראה תמונה מימין).

אם מקדם (סגנון תצוגה a) אחיובי, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה ולהיפך. אם המקדם (סגנון תצוגה ב) bpositive (אם חיובי (displaystyle a) א, אם שלילי, להיפך), אז קודקוד הפרבולה נמצא בחצי המישור השמאלי ולהיפך.

יישום משוואות ריבועיות בחיים

המשוואה הריבועית נמצאת בשימוש נרחב. הוא משמש בהרבה חישובים, מבנים, ספורט, וגם סביבנו.

הבה נבחן וניתן כמה דוגמאות ליישום המשוואה הריבועית.

ספּוֹרט. קפיצות לגובה: במהלך הריצה של הקופץ, נעשה שימוש בחישובים הקשורים לפרבולה כדי להשיג את ההשפעה הברורה ביותר האפשרית על סרגל ההמראה והטיסה הגבוהה.

כמו כן, יש צורך בחישובים דומים בזריקה. טווח הטיסה של עצם תלוי במשוואה הריבועית.

אַסטרוֹנוֹמִיָה. ניתן למצוא את מסלול כוכבי הלכת באמצעות משוואה ריבועית.

טיסה במטוס. המראה של מטוס הוא המרכיב העיקרי בטיסה. כאן ניקח את החישוב עבור התנגדות נמוכה והאצת ההמראה.

משוואות ריבועיות משמשות גם בדיסציפלינות כלכליות שונות, בתוכנות לעיבוד אודיו, וידאו, גרפיקה וקטורית ורסטר.

סיכום

כתוצאה מהעבודה שנעשתה, התברר שמשוואות ריבועיות משכו מדענים עוד בימי קדם; הם כבר נתקלו בהן כשפתרו כמה בעיות וניסו לפתור אותן. לוקח בחשבון דרכים שונותבפתרון משוואות ריבועיות, הגעתי למסקנה שלא כולן פשוטות. לדעתי הכי הרבה הדרך הכי טובהפתרון משוואות ריבועיות הוא פתרון באמצעות נוסחאות. קל לזכור את הנוסחאות, שיטה זו היא אוניברסלית. ההשערה שהמשוואות נמצאות בשימוש נרחב בחיים ובמתמטיקה אוששה. לאחר שלמדתי את הנושא, למדתי הרבה עובדות מעניינותעל משוואות ריבועיות, השימוש בהן, היישום, הסוגים, הפתרונות. ואשמח להמשיך ללמוד אותם. אני מקווה שזה יעזור לי להצליח בבחינות שלי.

רשימת ספרות משומשת

חומרי האתר:

ויקיפדיה

פתח שיעור.rf

מדריך למתמטיקה יסודית Vygodsky M. Ya.

בהמשך לנושא "פתרון משוואות", החומר במאמר זה יציג בפניכם משוואות ריבועיות.

בואו נסתכל על הכל בפירוט: המהות והסימונים של משוואה ריבועית, נגדיר את המונחים הנלווים, ננתח את הסכימה לפתרון משוואות לא שלמות ושלמות, נכיר את נוסחת השורשים והמבחין, ביסוס קשרים בין השורשים והמקדמים, וכמובן ניתן פתרון ויזואלי לדוגמאות מעשיות.

Yandex.RTB R-A-339285-1

משוואה ריבועית, סוגיה

הגדרה 1

משוואה ריבועיתהיא משוואה שנכתבת בשם a x 2 + b x + c = 0, איפה איקס– משתנה, a, b ו ג– כמה מספרים, בעוד אאינו אפס.

לעתים קרובות, משוואות ריבועיות נקראות גם משוואות מהמעלה השנייה, שכן במהותה משוואה ריבועית היא משוואה אלגבריתתואר שני.

בוא ניתן דוגמה להמחשת ההגדרה הנתונה: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 וכו'. אלו הן משוואות ריבועיות.

הגדרה 2

מספרים a, b ו גהם המקדמים של המשוואה הריבועית a x 2 + b x + c = 0, בעוד המקדם אנקרא הראשון, או הבכיר, או המקדם ב-x 2, b - המקדם השני, או המקדם ב איקס, א גנקרא חבר חינם.

למשל, במשוואה הריבועית 6 x 2 − 2 x − 11 = 0המקדם המוביל הוא 6, המקדם השני הוא − 2 , והטווח החופשי שווה ל − 11 . הבה נשים לב לעובדה שכאשר המקדמים בו/או c הם שליליים, אז נעשה שימוש בצורה קצרה של הצורה 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, אבל לא 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

הבה נבהיר גם היבט זה: אם המקדמים או/או בשווה 1 אוֹ − 1 , אז הם לא יכולים לקחת חלק מפורש בכתיבת המשוואה הריבועית, אשר מוסברת על ידי המוזרויות של כתיבת המקדמים המספריים המצוינים. למשל, במשוואה הריבועית y 2 − y + 7 = 0המקדם המוביל הוא 1, והמקדם השני הוא − 1 .

משוואות ריבועיות מוקטנות ולא מוקטנות

בהתבסס על הערך של המקדם הראשון, משוואות ריבועיות מחולקות למשוואות מוקטנות ולא מופחתות.

הגדרה 3

משוואה ריבועית מופחתתהיא משוואה ריבועית שבה המקדם המוביל הוא 1. עבור ערכים אחרים של המקדם המוביל, המשוואה הריבועית אינה מופחתת.

ניתן דוגמאות: משוואות ריבועיות x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 מצטמצמות, שבכל אחת מהן המקדם המוביל הוא 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- משוואה ריבועית לא מופחתת, שבה המקדם הראשון שונה מ 1 .

ניתן להמיר כל משוואה ריבועית לא מופחתת למשוואה מופחתת על ידי חלוקת שני הצדדים במקדם הראשון (טרנספורמציה שווה ערך). למשוואה שעברה טרנספורמציה יהיו אותם שורשים כמו זו הנתונה משוואה לא מופחתתאו גם אין להם שורשים בכלל.

הִתחַשְׁבוּת דוגמה קונקרטיתיאפשר לנו להדגים בבירור את המעבר ממשוואה ריבועית לא מופחתת למשוואה מוקטנת.

דוגמה 1

בהינתן המשוואה 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . יש צורך להמיר את המשוואה המקורית לצורה המופחתת.

פִּתָרוֹן

לפי הסכמה שלעיל, אנו מחלקים את שני הצדדים של המשוואה המקורית במקדם 6 המוביל. ואז נקבל: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, וזה זהה ל: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0ועוד: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.מכאן: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . כך, מתקבלת משוואה שווה ערך לנתונה.

תשובה: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

משוואות ריבועיות שלמות ולא שלמות

נעבור להגדרה של משוואה ריבועית. בו פירטנו את זה a ≠ 0. תנאי דומה נחוץ עבור המשוואה a x 2 + b x + c = 0היה מרובע בדיוק, מאז ב a = 0זה בעצם הופך ל משוואה לינארית b x + c = 0.

במקרה כאשר המקדמים בו גשווים לאפס (מה שאפשר, גם בנפרד וגם ביחד), המשוואה הריבועית נקראת לא שלמה.

הגדרה 4

משוואה ריבועית לא שלמה- משוואה ריבועית כזו a x 2 + b x + c = 0,שבו לפחות אחד מהמקדמים בו ג(או שניהם) הוא אפס.

שלם משוואה ריבועית– משוואה ריבועית שבה כל המקדמים המספריים אינם שווים לאפס.

בואו נדון מדוע סוגי המשוואות הריבועיות מקבלים בדיוק את השמות האלה.

כאשר b = 0, המשוואה הריבועית מקבלת את הצורה a x 2 + 0 x + c = 0, שהוא זהה ל a x 2 + c = 0. בְּ c = 0המשוואה הריבועית כתובה כ a x 2 + b x + 0 = 0, שהוא שווה ערך a x 2 + b x = 0. בְּ b = 0ו c = 0המשוואה תקבל את הצורה a x 2 = 0. המשוואות שהשגנו שונות מהמשוואה הריבועית השלמה בכך שהצד השמאלי שלהן אינו מכיל איבר עם המשתנה x, או איבר חופשי, או שניהם. למעשה, עובדה זו נתנה את השם לסוג המשוואה הזה - לא שלמה.

לדוגמה, x 2 + 3 x + 4 = 0 ו- 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 הן משוואות ריבועיות שלמות; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 - משוואות ריבועיות לא שלמות.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

ההגדרה שניתנה לעיל מאפשרת להבחין בין הסוגים הבאים של משוואות ריבועיות לא שלמות:

• a x 2 = 0, משוואה זו מתאימה למקדמים b = 0ו-c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ב-b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ב-c = 0.

הבה נבחן ברצף את הפתרון של כל סוג של משוואה ריבועית לא שלמה.

פתרון המשוואה a x 2 =0

כפי שהוזכר לעיל, משוואה זו תואמת את המקדמים בו ג, שווה לאפס. המשוואה a x 2 = 0ניתן להמיר למשוואה שווה ערך x 2 = 0, שאנו מקבלים על ידי חלוקת שני הצדדים של המשוואה המקורית במספר א, לא שווה לאפס. העובדה הברורה היא ששורש המשוואה x 2 = 0זה אפס כי 0 2 = 0 . למשוואה זו אין שורשים אחרים, שניתן להסביר על ידי תכונות התואר: לכל מספר p,לא שווה לאפס, אי השוויון נכון p 2 > 0, שממנו עולה כי מתי p ≠ 0שוויון p 2 = 0לעולם לא יושג.

הגדרה 5

לפיכך, עבור המשוואה הריבועית הלא שלמה a x 2 = 0 יש שורש בודד x = 0.

דוגמה 2

לדוגמה, בואו נפתור משוואה ריבועית לא שלמה − 3 x 2 = 0. זה שווה ערך למשוואה x 2 = 0, השורש היחיד שלו הוא x = 0, אז למשוואה המקורית יש שורש בודד - אפס.

בקצרה, הפתרון כתוב כך:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

פתרון המשוואה a x 2 + c = 0

הבא בתור הוא הפתרון של משוואות ריבועיות לא שלמות, כאשר b = 0, c ≠ 0, כלומר, משוואות הצורה a x 2 + c = 0. הבה נהפוך את המשוואה הזו על ידי העברת איבר מצד אחד של המשוואה לצד השני, שינוי הסימן לצד השני וחלוקת שני הצדדים של המשוואה במספר שאינו שווה לאפס:

• לְהַעֲבִיר גלצד ימין, שנותן את המשוואה a x 2 = − c;
• מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב א, בסופו של דבר נקבל x = - c a .

הטרנספורמציות שלנו שקולות, בהתאם לכך, המשוואה המתקבלת שקולה גם לזו המקורית, ועובדה זו מאפשרת להסיק מסקנות לגבי שורשי המשוואה. לפי מה הערכים או גהערך של הביטוי - c a תלוי: יכול להיות לו סימן מינוס (לדוגמה, if a = 1ו c = 2, אז - c a = - 2 1 = - 2) או סימן פלוס (לדוגמה, if a = − 2ו c = 6, אז - c a = - 6 - 2 = 3); זה לא אפס כי c ≠ 0. הבה נתעכב ביתר פירוט על מצבים שבהם - ג א< 0 и - c a > 0 .

במקרה כאשר - ג א< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа עהשוויון p 2 = - c a לא יכול להיות נכון.

הכל שונה כאשר - c a > 0: זכור את השורש הריבועי, ויהיה ברור ששורש המשוואה x 2 = - c a יהיה המספר - c a, שכן - c a 2 = - c a. לא קשה להבין שהמספר - - c a הוא גם השורש של המשוואה x 2 = - c a: אכן, - - c a 2 = - c a.

למשוואה לא יהיו שורשים אחרים. אנו יכולים להדגים זאת באמצעות שיטת הסתירה. בתור התחלה, הבה נגדיר את הסימונים עבור השורשים שנמצאו למעלה בתור x 1ו - x 1. נניח שגם למשוואה x 2 = - c a יש שורש x 2, שהוא שונה מהשורשים x 1ו - x 1. אנו יודעים זאת על ידי החלפה לתוך המשוואה איקסשורשיה, אנו הופכים את המשוואה לשוויון מספרי הוגן.

ל x 1ו - x 1אנו כותבים: x 1 2 = - c a , ועבור x 2- x 2 2 = - c a . בהתבסס על המאפיינים של שוויון מספרי, אנו מחסירים מונח שוויון נכון אחד אחר מונח מאחר, מה שייתן לנו: x 1 2 − x 2 2 = 0. אנו משתמשים במאפיינים של פעולות עם מספרים כדי לשכתב את השוויון האחרון כ (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. ידוע שהמכפלה של שני מספרים היא אפס אם ורק אם לפחות אחד מהמספרים הוא אפס. מהאמור לעיל עולה כי x 1 − x 2 = 0ו/או x 1 + x 2 = 0, שזה אותו דבר x 2 = x 1ו/או x 2 = − x 1. נוצרה סתירה ברורה, כי בתחילה הוסכם ששורש המשוואה x 2שונה מ x 1ו - x 1. אז, הוכחנו שלמשוואה אין שורשים מלבד x = - c a ו-x = - - c a.

הבה נסכם את כל הטיעונים לעיל.

הגדרה 6

משוואה ריבועית לא שלמה a x 2 + c = 0שווה ערך למשוואה x 2 = - c a, אשר:

• לא יהיו שורשים ב - ג א< 0 ;
• יהיו שני שורשים x = - c a ו-x = - - c a for - c a > 0.

תנו דוגמאות לפתרון המשוואות a x 2 + c = 0.

דוגמה 3

נתון משוואה ריבועית 9 x 2 + 7 = 0.יש צורך למצוא פתרון.

פִּתָרוֹן

בוא נעביר את האיבר החופשי לצד ימין של המשוואה, ואז המשוואה תקבל את הצורה 9 x 2 = − 7.
הבה נחלק את שני הצדדים של המשוואה המתקבלת ב 9 , אנו מגיעים ל-x 2 = -7 9 . בצד ימין אנו רואים מספר עם סימן מינוס, כלומר: למשוואה הנתונה אין שורשים. ואז המשוואה הריבועית הבלתי שלמה המקורית 9 x 2 + 7 = 0לא יהיו שורשים.

תשובה:המשוואה 9 x 2 + 7 = 0אין שורשים.

דוגמה 4

צריך לפתור את המשוואה − x 2 + 36 = 0.

פִּתָרוֹן

נזיז את 36 לצד ימין: − x 2 = − 36.
בואו נחלק את שני החלקים ב − 1 , אנחנו מקבלים x 2 = 36. בצד ימין יש מספר חיובי, שממנו ניתן להסיק זאת x = 36 או x = -36.
נחלץ את השורש ונכתוב את התוצאה הסופית: משוואה ריבועית לא שלמה − x 2 + 36 = 0יש שני שורשים x=6אוֹ x = − 6.

תשובה: x=6אוֹ x = − 6.

פתרון המשוואה a x 2 +b x=0

הבה ננתח את הסוג השלישי של משוואות ריבועיות לא שלמות, כאשר c = 0. למצוא פתרון למשוואה ריבועית לא שלמה a x 2 + b x = 0, נשתמש בשיטת הפירוק לגורמים. בוא נחלק את הפולינום שנמצא בצד שמאל של המשוואה, ונוציא את הגורם המשותף מסוגריים איקס. שלב זה יאפשר להפוך את המשוואה הריבועית הבלתי שלמה המקורית למקבילה שלה x (a x + b) = 0. והמשוואה הזו, בתורה, שקולה לקבוצת משוואות x = 0ו a x + b = 0. המשוואה a x + b = 0ליניארי, והשורש שלו: x = − b a.

הגדרה 7

לפיכך, המשוואה הריבועית הלא שלמה a x 2 + b x = 0יהיו שני שורשים x = 0ו x = − b a.

בואו נחזק את החומר עם דוגמה.

דוגמה 5

יש צורך למצוא פתרון למשוואה 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

פִּתָרוֹן

אנחנו נוציא את זה איקסמחוץ לסוגריים נקבל את המשוואה x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . משוואה זו מקבילה למשוואות x = 0ו-2 3 x - 2 2 7 = 0. כעת עליך לפתור את המשוואה הליניארית המתקבלת: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

כתוב בקצרה את הפתרון למשוואה כך:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 או 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 או x = 3 3 7

תשובה: x = 0, x = 3 3 7.

מאבחן, נוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

כדי למצוא פתרונות למשוואות ריבועיות, יש נוסחת שורש:

הגדרה 8

x = - b ± D 2 · a, שבו D = b 2 − 4 a c– מה שנקרא אבחנה של משוואה ריבועית.

כתיבת x = - b ± D 2 · a פירושה בעצם ש-x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

זה יהיה שימושי להבין איך נוסחה זו נגזרה וכיצד ליישם אותה.

גזירת הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

הבה נעמוד בפני המשימה של פתרון משוואה ריבועית a x 2 + b x + c = 0. הבה נבצע מספר טרנספורמציות שוות ערך:

• מחלקים את שני הצדדים של המשוואה במספר א, שונה מאפס, נקבל את המשוואה הריבועית הבאה: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• בוא נבחר את הריבוע המלא בצד שמאל של המשוואה שהתקבלה:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ג א
  לאחר מכן, המשוואה תקבל את הצורה: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• כעת ניתן להעביר את שני האיברים האחרונים לצד ימין, תוך שינוי הסימן להפך, ולאחר מכן נקבל: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• לבסוף, אנו משנים את הביטוי שנכתב בצד ימין של השוויון האחרון:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

לפיכך, נגיע למשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, שווה ערך למשוואה המקורית a x 2 + b x + c = 0.

בדקנו את הפתרון של משוואות כאלה בפסקאות הקודמות (פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות). הניסיון שכבר נצבר מאפשר להסיק מסקנה לגבי שורשי המשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• עם b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• כאשר b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 המשוואה היא x + b 2 · a 2 = 0, ואז x + b 2 · a = 0.

מכאן ברור השורש היחיד x = - b 2 · a;

• עבור b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, הדברים הבאים יהיו נכונים: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 או x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , שזהה ל-x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 או x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , כלומר. למשוואה יש שני שורשים.

ניתן להסיק שנוכחות או היעדר שורשים של המשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (ולכן המשוואה המקורית) תלויה בסימן של הביטוי b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 כתוב בצד ימין. והסימן של ביטוי זה ניתן על ידי סימן המונה, (מכנה 4 א 2תמיד יהיה חיובי), כלומר, סימן הביטוי b 2 − 4 a c. הביטוי הזה b 2 − 4 a cהשם ניתן - המבחין של המשוואה הריבועית והאות D מוגדרת כיעודה. כאן ניתן לרשום את מהות המבחין - על סמך ערכו וסימן שלו, הם יכולים להסיק האם למשוואה הריבועית יהיו שורשים ממשיים, ואם כן, מהו מספר השורשים - אחד או שניים.

נחזור למשוואה x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . נכתוב אותו מחדש באמצעות סימון מבחין: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

הבה ננסח שוב את מסקנותינו:

הגדרה 9

• בְּ- ד< 0 למשוואה אין שורשים אמיתיים;
• בְּ- D=0למשוואה יש שורש בודד x = - b 2 · a ;
• בְּ- D > 0למשוואה יש שני שורשים: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 או x = - b 2 · a - D 4 · a 2. בהתבסס על מאפיינים של רדיקלים, שורשים אלה יכולים להיכתב בצורה: x = - b 2 · a + D 2 · a או - b 2 · a - D 2 · a. וכאשר אנו מרחיבים את המודולים ומצמצמים את השברים ל מכנה משותף, נקבל: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

אז התוצאה של ההיגיון שלנו הייתה גזירת הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, מבחין דמחושב לפי הנוסחה D = b 2 − 4 a c.

נוסחאות אלו מאפשרות לקבוע את שני השורשים האמיתיים כאשר המבחין גדול מאפס. כאשר המבחין הוא אפס, יישום שתי הנוסחאות ייתן את אותו השורש כפתרון היחיד למשוואה הריבועית. במקרה בו המבחין שלילי, אם ננסה להשתמש בנוסחה לשורש משוואה ריבועית, נעמוד בפני הצורך לחלץ שורש ריבועיממספר שלילי, שייקח אותנו מעבר למספרים הממשיים. בְּ אפליה שליליתלמשוואה הריבועית לא יהיו שורשים ממשיים, אבל אפשרי זוג שורשים מצומדים מורכבים, הנקבעים לפי אותן נוסחאות שורש שקיבלנו.

אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות באמצעות נוסחאות שורש

אפשר לפתור משוואה ריבועית על ידי שימוש מיידי בנוסחת השורש, אבל זה נעשה בדרך כלל כאשר יש צורך למצוא שורשים מורכבים.

ברוב המקרים, זה בדרך כלל אומר חיפוש לא מורכב, אלא שורשים אמיתיים של משוואה ריבועית. אז זה אופטימלי, לפני השימוש בנוסחאות לשורשים של משוואה ריבועית, לקבוע תחילה את המבחין ולוודא שהוא לא שלילי (אחרת נסיק שלמשוואה אין שורשים אמיתיים), ולאחר מכן להמשיך לחישוב ערך השורשים.

הנימוק לעיל מאפשר לנסח אלגוריתם לפתרון משוואה ריבועית.

הגדרה 10

כדי לפתור משוואה ריבועית a x 2 + b x + c = 0, נחוץ:

• לפי הנוסחה D = b 2 − 4 a cלמצוא את הערך המפלה;
• ב-D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• עבור D = 0, מצא את השורש היחיד של המשוואה באמצעות הנוסחה x = - b 2 · a ;
• עבור D > 0, קבע שני שורשים ממשיים של המשוואה הריבועית באמצעות הנוסחה x = - b ± D 2 · a.

שימו לב שכאשר המבחין הוא אפס, ניתן להשתמש בנוסחה x = - b ± D 2 · a, היא תיתן את אותה תוצאה כמו הנוסחה x = - b 2 · a.

בואו נסתכל על דוגמאות.

דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות

הבה ניתן פתרונות לדוגמאות לערכים שונים של המפלה.

דוגמה 6

אנחנו צריכים למצוא את שורשי המשוואה x 2 + 2 x − 6 = 0.

פִּתָרוֹן

נרשום את המקדמים המספריים של המשוואה הריבועית: a = 1, b = 2 ו c = − 6. לאחר מכן נמשיך לפי האלגוריתם, כלומר. נתחיל לחשב את המבחין, שעבורו נחליף את המקדמים a, b ו גלתוך נוסחת ההבחנה: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

אז נקבל D > 0, מה שאומר שלמשוואה המקורית יהיו שני שורשים אמיתיים.
כדי למצוא אותם, אנו משתמשים בנוסחת השורש x = - b ± D 2 · a ובתחליף לערכים המתאימים, נקבל: x = - 2 ± 28 2 · 1. הבה נפשט את הביטוי המתקבל על ידי הוצאת הגורם מסימן השורש ולאחר מכן צמצום השבר:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 או x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 או x = - 1 - 7

תשובה: x = - 1 + 7​​, x = - 1 - 7 .

דוגמה 7

צריך לפתור משוואה ריבועית − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

פִּתָרוֹן

בואו נגדיר את המבדיל: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. עם ערך זה של המבחין, למשוואה המקורית יהיה רק ​​שורש אחד, שנקבע על ידי הנוסחה x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

תשובה: x = 3.5.

דוגמה 8

צריך לפתור את המשוואה 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

פִּתָרוֹן

המקדמים המספריים של משוואה זו יהיו: a = 5, b = 6 ו-c = 2. אנו משתמשים בערכים האלה כדי למצוא את המבחין: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . המבחין המחושב הוא שלילי, כך שלמשוואה הריבועית המקורית אין שורשים אמיתיים.

במקרה שבו המשימה היא לציין שורשים מורכבים, אנו מיישמים את נוסחת השורש, מבצעים פעולות עם מספרים מרוכבים:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 או x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i או x = - 3 5 - 1 5 · i.

תשובה:אין שורשים אמיתיים; השורשים המורכבים הם כדלקמן: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN מערכת של ביהסאין דרישה סטנדרטית לחפש שורשים מורכבים, לפיכך, אם במהלך הפתרון נקבע שהמבחין הוא שלילי, מיד נכתבת התשובה שאין שורשים אמיתיים.

נוסחת שורש עבור מקדמי שנייה אפילו

נוסחת השורש x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) מאפשרת לקבל נוסחה נוספת, קומפקטית יותר, המאפשרת למצוא פתרונות למשוואות ריבועיות עם מקדם שווה עבור x ( או עם מקדם בצורה 2 · n, למשל, 2 3 או 14 ln 5 = 2 7 ln 5). הבה נראה כיצד נגזרת נוסחה זו.

הבה נעמוד בפני המשימה של מציאת פתרון למשוואה הריבועית a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . אנו ממשיכים לפי האלגוריתם: אנו קובעים את המבחין D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), ולאחר מכן משתמשים בנוסחת השורש:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

תנו לביטוי n 2 − a · c להיות מסומן כ-D 1 (לעיתים הוא מסומן D "). אז הנוסחה לשורשי המשוואה הריבועית הנבדקת עם המקדם השני 2 · n תקבל את הצורה:

x = - n ± D 1 a, כאשר D 1 = n 2 − a · c.

קל לראות ש-D = 4 · D 1, או D 1 = D 4. במילים אחרות, D 1 הוא רבע מהמפלה. ברור שהסימן של D 1 זהה לסימן D, כלומר הסימן של D 1 יכול לשמש גם כאינדיקטור לנוכחות או היעדר שורשים של משוואה ריבועית.

הגדרה 11

לפיכך, כדי למצוא פתרון למשוואה ריבועית עם מקדם שני של 2 n, יש צורך:

• מצא D 1 = n 2 − a · c ;
• ב-D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• כאשר D 1 = 0, קבע את השורש היחיד של המשוואה באמצעות הנוסחה x = - n a;
• עבור D 1 > 0, קבע שני שורשים אמיתיים באמצעות הנוסחה x = - n ± D 1 a.

דוגמה 9

יש צורך לפתור את המשוואה הריבועית 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

פִּתָרוֹן

אנו יכולים לייצג את המקדם השני של המשוואה הנתונה כ-2 · (− 3) . לאחר מכן נכתוב מחדש את המשוואה הריבועית הנתונה כ-5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, כאשר a = 5, n = − 3 ו-c = − 32.

בוא נחשב את החלק הרביעי של המבחין: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. הערך המתקבל הוא חיובי, מה שאומר שלמשוואה יש שני שורשים אמיתיים. הבה נקבע אותם באמצעות נוסחת השורש המתאימה:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 או x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 או x = - 2

ניתן יהיה לבצע חישובים באמצעות הנוסחה הרגילה לשורשים של משוואה ריבועית, אך במקרה זה הפתרון יהיה מסורבל יותר.

תשובה: x = 3 1 5 או x = - 2 .

פישוט הצורה של משוואות ריבועיות

לפעמים אפשר לייעל את צורת המשוואה המקורית, מה שיפשט את תהליך חישוב השורשים.

לדוגמה, המשוואה הריבועית 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 היא בבירור נוחה יותר לפתרון מאשר 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

לעתים קרובות יותר, פישוט הצורה של משוואה ריבועית מתבצע על ידי הכפלה או חלוקה של שני הצדדים שלה במספר מסוים. לדוגמה, לעיל הראינו ייצוג מפושט של המשוואה 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, המתקבלת על ידי חלוקת שני הצדדים ב-100.

טרנספורמציה כזו אפשרית כאשר המקדמים של המשוואה הריבועית אינם הדדיים מספרים ראשוניים. אז אנחנו בדרך כלל מחלקים את שני הצדדים של המשוואה במחלק המשותף הגדול ביותר של הערכים המוחלטים של המקדמים שלה.

כדוגמה, אנו משתמשים במשוואה הריבועית 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. הבה נקבע את ה-GCD של הערכים המוחלטים של המקדמים שלו: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. הבה נחלק את שני הצדדים של המשוואה הריבועית המקורית ב-6 ונקבל את המשוואה הריבועית המקבילה 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

על ידי הכפלת שני הצדדים של משוואה ריבועית, אתה בדרך כלל נפטר ממקדמי שברים. במקרה זה, הם מכפילים בכפולה המשותפת הפחותה של המכנים של המקדמים שלו. לדוגמה, אם כל חלק של המשוואה הריבועית 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 מוכפל עם LCM (6, 3, 1) = 6, הוא ייכתב יותר בצורה פשוטה x 2 + 4 x - 18 = 0.

לבסוף, נציין שכמעט תמיד אנו נפטרים מהמינוס במקדם הראשון של משוואה ריבועית על ידי שינוי הסימנים של כל איבר של המשוואה, אשר מושגת על ידי הכפלה (או חלוקה) של שני הצדדים ב-1. לדוגמה, מהמשוואה הריבועית − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, אתה יכול לעבור לגרסה המפושטת שלה 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

קשר בין שורשים ומקדמים

הנוסחה לשורשים של משוואות ריבועיות, המוכרת לנו כבר, x = - b ± D 2 · a, מבטאת את שורשי המשוואה באמצעות המקדמים המספריים שלה. בהתבסס על נוסחה זו, יש לנו הזדמנות לציין תלות אחרות בין השורשים והמקדמים.

הנוסחאות המפורסמות והישימות ביותר הן משפט וייטה:

x 1 + x 2 = - b a ו-x 2 = c a.

בפרט, עבור המשוואה הריבועית הנתונה, סכום השורשים הוא המקדם השני עם הסימן ההפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי. לדוגמה, על ידי הסתכלות על צורת המשוואה הריבועית 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, ניתן לקבוע מיד שסכום השורשים שלה הוא 7 3 ומכפלת השורשים הוא 22 3.

ניתן למצוא גם מספר קשרים אחרים בין השורשים והמקדמים של משוואה ריבועית. לדוגמה, ניתן לבטא את סכום ריבועי השורשים של משוואה ריבועית במונחים של מקדמים:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

IN חברה מודרניתהיכולת לבצע פעולות עם משוואות המכילות משתנה בריבוע יכולה להיות שימושית בתחומי פעילות רבים ונמצאת בשימוש נרחב בפרקטיקה בתחום המדעי וה התפתחויות טכניות. עדות לכך ניתן למצוא בתכנון של כלי ים ונהר, מטוסים וטילים. באמצעות חישובים כאלה, מסלולי התנועה של המרבית גופים שונים, כולל חפצי חלל. דוגמאות לפתרון של משוואות ריבועיות משמשות לא רק בחיזוי כלכלי, בתכנון ובנייה של מבנים, אלא גם בנסיבות היומיומיות הרגילות ביותר. ייתכן שיהיה צורך בהם ב טיולי הליכה, באירועי ספורט, בחנויות בזמן קניות, ובעוד מצבים נפוצים מאוד.

בואו נחלק את הביטוי לגורמים המרכיבים אותו

דרגת המשוואה נקבעת לפי הערך המקסימלי של דרגת המשתנה שהביטוי מכיל. אם הוא שווה ל-2, אז משוואה כזו נקראת ריבועית.

אם אנו מדברים בשפה של נוסחאות, אז את הביטויים המצוינים, לא משנה איך הם נראים, תמיד אפשר להביא לצורה כאשר צד שמאלביטוי מורכב משלושה מונחים. ביניהם: ציר 2 (כלומר משתנה בריבוע עם המקדם שלו), bx (לא ידוע ללא ריבוע עם המקדם שלו) ו-c (מרכיב חופשי, כלומר מספר רגיל). כל זה בצד ימין שווה ל-0. במקרה שבו לפולינום כזה חסר אחד מהאיברים המרכיבים שלו, למעט ציר 2, הוא נקרא משוואה ריבועית לא שלמה. יש לשקול תחילה דוגמאות לפתרון בעיות כאלה, את ערכי המשתנים שבהם קל למצוא.

אם הביטוי נראה כך שלביטוי בצד ימין יש שני איברים, ליתר דיוק ax 2 ו-bx, הדרך הקלה ביותר למצוא את x היא על ידי הצבת המשתנה בין סוגריים. כעת המשוואה שלנו תיראה כך: x(ax+b). לאחר מכן, ברור שאו x=0, או שהבעיה מסתכמת במציאת משתנה מהביטוי הבא: ax+b=0. זה מוכתב על ידי אחת מתכונות הכפל. הכלל קובע שהמכפלה של שני גורמים מביאה ל-0 רק אם אחד מהם הוא אפס.

דוגמא

x=0 או 8x - 3 = 0

כתוצאה מכך, נקבל שני שורשים של המשוואה: 0 ו-0.375.

משוואות מסוג זה יכולות לתאר את תנועתם של גופים בהשפעת כוח הכבידה, שהחלו לנוע מנקודה מסוימת שנלקחה כמקור הקואורדינטות. כאן הסימון המתמטי מקבל את הצורה הבאה: y = v 0 t + gt 2 /2. על ידי החלפת הערכים הדרושים, השוואת הצד הימני ל-0 ומציאת אלמונים אפשריים, ניתן לגלות את הזמן שעובר מרגע שהגוף עולה לרגע נופלו, כמו גם כמויות רבות אחרות. אבל נדבר על זה מאוחר יותר.

פקטורינג לביטוי

הכלל המתואר לעיל מאפשר לפתור בעיות אלו ביתר מקרים קשים. בואו נסתכל על דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות מסוג זה.

X 2 - 33x + 200 = 0

הטרינום הריבועי הזה הושלם. ראשית, בואו נשנה את הביטוי ונפעל אותו. יש שניים מהם: (x-8) ו-(x-25) = 0. כתוצאה מכך, יש לנו שני שורשים 8 ו-25.

דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות בכיתה ט' מאפשרות לשיטה זו למצוא משתנה בביטויים לא רק מהסדר השני, אלא אפילו מהסדר השלישי והרביעי.

לדוגמה: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. כאשר מפרקים את הצד הימני לגורמים עם משתנה, יש שלושה מהם, כלומר (x+1), (x-3) ו-(x+ 3).

כתוצאה מכך, ברור שלמשוואה זו יש שלושה שורשים: -3; -1; 3.

שורש ריבועי

עוד מקרה משוואה לא שלמהסדר שני הוא ביטוי המיוצג בשפת האותיות באופן כזה חלק ימיןבנוי מהרכיבים ax 2 ו-c. כאן, כדי לקבל את ערך המשתנה, המונח החופשי מועבר אל צד ימין, ואחרי זה לוקחים את השורש הריבועי משני הצדדים של השוויון. יש לציין כי ב במקרה הזהבדרך כלל יש שני שורשים של המשוואה. היוצאים מן הכלל יכולים להיות שיוויונים שאינם מכילים מונח עם כלל, כאשר המשתנה שווה לאפס, וכן גרסאות של ביטויים כאשר הצד הימני מתברר כשליל. IN המקרה האחרוןאין פתרונות כלל, מכיוון שלא ניתן לבצע את הפעולות הנ"ל עם שורשים. יש לשקול דוגמאות לפתרונות למשוואות ריבועיות מסוג זה.

במקרה זה, שורשי המשוואה יהיו המספרים -4 ו-4.

חישוב שטח קרקע

הצורך בחישובים מסוג זה הופיע בימי קדם, משום שהתפתחות המתמטיקה באותם זמנים רחוקים נקבעה במידה רבה על ידי הצורך לקבוע בדיוק רב את השטחים וההיקפים של חלקות קרקע.

עלינו לשקול גם דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות המבוססות על בעיות מסוג זה.

אז נניח שיש חלקת אדמה מלבנית שאורכה גדול מהרוחב ב-16 מטרים. כדאי למצוא את האורך, הרוחב וההיקף של האתר אם אתה יודע ששטחו הוא 612 מ"ר.

כדי להתחיל, בואו ניצור תחילה את המשוואה הדרושה. הבה נסמן ב-x את רוחב השטח, ואז אורכו יהיה (x+16). ממה שנכתב עולה שהשטח נקבע על ידי הביטוי x(x+16), שלפי תנאי הבעיה שלנו הוא 612. זה אומר ש-x(x+16) = 612.

פתרון משוואות ריבועיות שלמות, והביטוי הזה הוא בדיוק זה, לא יכול להיעשות באותו אופן. למה? למרות שהצד השמאלי עדיין מכיל שני גורמים, התוצר שלהם אינו שווה כלל ל-0, לכן משתמשים כאן בשיטות שונות.

מפלה

קודם כל, אז בואו נעשה את השינויים הדרושים מראה חיצונישל ביטוי זה ייראה כך: x 2 + 16x - 612 = 0. זה אומר שקיבלנו ביטוי בצורה המתאימה לתקן שצוין קודם לכן, כאשר a=1, b=16, c=-612.

זו יכולה להיות דוגמה לפתרון משוואות ריבועיות באמצעות אבחנה. כאן מתבצעים החישובים הדרושים על פי הסכימה: D = b 2 - 4ac. כמות עזר זו לא רק מאפשרת למצוא את הכמויות הנדרשות במשוואה מסדר שני, היא קובעת את הכמות אפשרויות אפשריות. אם D>0, יש שניים מהם; עבור D=0 יש שורש אחד. במקרה ד<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

על שורשים והנוסחה שלהם

במקרה שלנו, המבחין שווה ל: 256 - 4(-612) = 2704. זה מרמז שלבעיה שלנו יש תשובה. אם אתה יודע k, יש להמשיך את פתרון המשוואות הריבועיות באמצעות הנוסחה שלהלן. זה מאפשר לך לחשב את השורשים.

המשמעות היא שבמקרה המוצג: x 1 =18, x 2 =-34. האפשרות השנייה בדילמה זו לא יכולה להוות פתרון, כי לא ניתן למדוד את מידות חלקת הקרקע בכמויות שליליות, כלומר x (כלומר רוחב החלקה) הוא 18 מ'. מכאן אנו מחשבים את האורך: 18 +16=34, וההיקף 2(34+ 18)=104(m2).

דוגמאות ומשימות

אנו ממשיכים במחקר שלנו על משוואות ריבועיות. דוגמאות ופתרונות מפורטים של כמה מהם יובאו להלן.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

בוא נעביר הכל לצד השמאלי של השוויון, נעשה טרנספורמציה, כלומר, נקבל את סוג המשוואה שנקרא בדרך כלל סטנדרטית, ונשווה אותה לאפס.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

הוספת דומים, אנו קובעים את המבחין: D = 49 - 48 = 1. זה אומר שלמשוואה שלנו יהיו שני שורשים. הבה נחשב אותם לפי הנוסחה לעיל, כלומר, הראשון שבהם יהיה שווה ל-4/3, והשני ל-1.

2) עכשיו בואו נפתור תעלומות מסוג אחר.

בואו לגלות אם יש כאן שורשים x 2 - 4x + 5 = 1? כדי לקבל תשובה מקיפה, הבה נצמצם את הפולינום לצורה הרגילה המתאימה ונחשב את המבחין. בדוגמה לעיל, אין צורך לפתור את המשוואה הריבועית, כי זו בכלל לא מהות הבעיה. במקרה זה, D = 16 - 20 = -4, כלומר אין באמת שורשים.

משפט וייטה

נוח לפתור משוואות ריבועיות תוך שימוש בנוסחאות לעיל ובדיבחנה, כאשר השורש הריבועי נלקח מהערך של האחרון. אבל זה לא תמיד קורה. עם זאת, ישנן דרכים רבות להשיג את ערכי המשתנים במקרה זה. דוגמה: פתרון משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה. היא קרויה על שם מי שחי במאה ה-16 בצרפת ועשה קריירה מזהירה הודות לכשרונו המתמטי ולקשריו בבית המשפט. את דיוקנו ניתן לראות בכתבה.

הדפוס שבו הבחין הצרפתי המפורסם היה כדלקמן. הוא הוכיח ששורשי המשוואה מסתכמים מספרית ל-p=b/a, והמכפלה שלהם תואמת q=c/a.

עכשיו בואו נסתכל על משימות ספציפיות.

3x 2 + 21x - 54 = 0

לשם הפשטות, בואו נשנה את הביטוי:

x 2 + 7x - 18 = 0

הבה נשתמש במשפט Vieta, זה ייתן לנו את הדבר הבא: סכום השורשים הוא -7, והמכפלה שלהם היא -18. מכאן נקבל ששורשי המשוואה הם המספרים -9 ו-2. לאחר בדיקה, נוודא שערכי המשתנים הללו באמת מתאימים לביטוי.

גרף פרבולה ומשוואה

המושגים של פונקציה ריבועית ומשוואות ריבועיות קשורים קשר הדוק. דוגמאות לכך כבר ניתנו קודם לכן. עכשיו בואו נסתכל על כמה חידות מתמטיות בפירוט קטן יותר. כל משוואה מהסוג המתואר יכולה להיות מיוצגת ויזואלית. קשר כזה, שצויר כגרף, נקרא פרבולה. הסוגים השונים שלו מוצגים באיור שלהלן.

לכל פרבולה יש קודקוד, כלומר נקודה שממנה יוצאים הענפים שלה. אם a>0, הם מגיעים גבוה עד אינסוף, וכאשר א<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ייצוגים חזותיים של פונקציות עוזרים לפתור כל משוואות, כולל ריבועיות. שיטה זו נקראת גרפית. והערך של משתנה x הוא קואורדינטת האבשיסה בנקודות שבהן קו הגרף נחתך עם 0x. ניתן למצוא את הקואורדינטות של הקודקוד באמצעות הנוסחה שניתנה זה עתה x 0 = -b/2a. ועל ידי החלפת הערך המתקבל במשוואה המקורית של הפונקציה, אתה יכול לגלות את y 0, כלומר, הקואורדינטה השנייה של קודקוד הפרבולה, השייכת לציר הסמטה.

מפגש הענפים של פרבולה עם ציר האבשיסה

יש הרבה דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות, אבל יש גם תבניות כלליות. בואו נסתכל עליהם. ברור שהחתך של הגרף עם ציר 0x עבור a>0 אפשרי רק אם y 0 לוקח ערכים שליליים. ובשביל א<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. אחרת ד<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

מהגרף של הפרבולה ניתן לקבוע גם את השורשים. גם ההפך הוא הנכון. כלומר, אם לא קל להשיג ייצוג חזותי של פונקציה ריבועית, ניתן להשוות את הצד הימני של הביטוי ל-0 ולפתור את המשוואה המתקבלת. ולדעת את נקודות החיתוך עם ציר 0x, קל יותר לבנות גרף.

מההיסטוריה

באמצעות משוואות המכילות משתנה בריבוע, בימים עברו לא רק עשו חישובים מתמטיים וקבעו את השטחים של דמויות גיאומטריות. הקדמונים נזקקו לחישובים כאלה עבור גילויים גדולים בתחומי הפיזיקה והאסטרונומיה, כמו גם לצורך ביצוע תחזיות אסטרולוגיות.

כפי שמציעים מדענים מודרניים, תושבי בבל היו בין הראשונים לפתור משוואות ריבועיות. זה קרה ארבע מאות שנה לפני תקופתנו. כמובן, החישובים שלהם היו שונים בתכלית מאלה המקובלים כיום והתבררו כפרימיטיביים הרבה יותר. לדוגמה, למתמטיקאים מסופוטמים לא היה מושג על קיומם של מספרים שליליים. הם גם לא הכירו דקויות אחרות שכל תלמיד בית ספר מודרני מכיר.

אולי אפילו מוקדם יותר מהמדענים של בבל, החל החכם מהודו בודהיאמה לפתור משוואות ריבועיות. זה קרה כשמונה מאות שנים לפני עידן ישו. נכון, המשוואות מסדר שני, שיטות הפתרון שהוא נתן, היו הפשוטות ביותר. מלבדו, גם מתמטיקאים סינים התעניינו בשאלות דומות בימים עברו. באירופה החלו לפתור משוואות ריבועיות רק בתחילת המאה ה-13, אך מאוחר יותר השתמשו בהן בעבודותיהם על ידי מדענים גדולים כמו ניוטון, דקארט ורבים אחרים.

ידוע שזו גרסה מסויימת של ציר השוויון 2 + bx + c = o, כאשר a, b ו-c הם מקדמים ממשיים עבור x לא ידוע, וכאשר a ≠ o, ו-b ו-c יהיו אפסים - בו זמנית או לְחוּד. לדוגמה, c = o, b ≠ o או להיפך. כמעט זכרנו את ההגדרה של משוואה ריבועית.

הטרינום של המעלה השנייה הוא אפס. המקדם הראשון שלו a ≠ o, b ו-c יכולים לקחת כל ערך. הערך של המשתנה x יהיה אז כאשר החלפה תהפוך אותו לשוויון מספרי נכון. נתמקד בשורשים ממשיים, אם כי המשוואות יכולות להיות גם פתרונות, נהוג לקרוא למשוואה שלמה שבה אף אחד מהמקדמים אינו שווה ל-o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
בואו נפתור דוגמה. 2x 2 -9x-5 = הו, אנו מוצאים
D = 81+40 = 121,
D הוא חיובי, כלומר יש שורשים, x 1 = (9+√121):4 = 5, והשני x 2 = (9-√121):4 = -o.5. בדיקה תעזור לוודא שהם נכונים.

הנה פתרון שלב אחר שלב למשוואה הריבועית

באמצעות המבחין, ניתן לפתור כל משוואה שבצד שמאל שלה יש טרינום ריבועי ידוע עבור a ≠ o. בדוגמה שלנו. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

בואו נבחן מהן משוואות לא שלמות מהמעלה השנייה

1. ax 2 +in = o. האיבר החופשי, מקדם c ב-x 0, שווה כאן לאפס, ב- ≠ o.
   איך פותרים משוואה ריבועית לא שלמה מסוג זה? בוא נוציא את x מסוגריים. בואו נזכור מתי המכפלה של שני גורמים שווה לאפס.
   x(ax+b) = o, זה יכול להיות כאשר x = o או כאשר ax+b = o.
   לאחר שפתרנו את השני יש לנו x = -в/а.
   כתוצאה מכך, יש לנו שורשים x 1 = 0, לפי חישובים x 2 = -b/a.
2. כעת מקדם x שווה ל-o, ו-c אינו שווה (≠) o.
   x 2 +c = o. נעביר את c לצד ימין של השוויון, נקבל x 2 = -с. למשוואה זו יש שורשים אמיתיים רק כאשר -c הוא מספר חיובי (c ‹ o),
   אז x 1 שווה ל- √(-c), בהתאמה, x 2 הוא -√(-c). אחרת, למשוואה אין שורשים כלל.
3. האפשרות האחרונה: b = c = o, כלומר ציר 2 = o. באופן טבעי, למשוואה פשוטה כזו יש שורש אחד, x = o.

מקרים מיוחדים

בדקנו איך לפתור משוואה ריבועית לא שלמה, ועכשיו בואו ניקח כל סוג.

• במשוואה ריבועית שלמה, המקדם השני של x הוא מספר זוגי.
  תן k = o.5b. יש לנו נוסחאות לחישוב המבחין והשורשים.
  D/4 = k 2 - ac, השורשים מחושבים כ-x 1,2 = (-k±√(D/4))/a עבור D › o.
  x = -k/a ב-D = o.
  אין שורשים ל-D ‹ o.
• ישנן משוואות ריבועיות, כאשר מקדם x בריבוע שווה ל-1, הן נכתבות בדרך כלל x 2 + рх + q = o. כל הנוסחאות לעיל חלות עליהם, אבל החישובים מעט יותר פשוטים.
  דוגמה, x 2 -4x-9 = 0. חשב D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• בנוסף, קל ליישם את אלה שניתנו, הוא אומר שסכום שורשי המשוואה שווה ל-p, המקדם השני עם מינוס (הכוונה לסימן ההפוך), והמכפלה של אותם שורשים להיות שווה ל-q, האיבר החופשי. ראה כמה קל יהיה לקבוע את השורשים של המשוואה הזו באופן מילולי. עבור מקדמים לא מופחתים (עבור כל המקדמים שאינם שווים לאפס), משפט זה ישים באופן הבא: הסכום x 1 + x 2 שווה ל-b/a, המכפלה x ​​1 · x 2 שווה ל-c/a.

סכום האיבר החופשי c והמקדם הראשון a שווה למקדם b. במצב זה, למשוואה יש לפחות שורש אחד (קל להוכחה), הראשון שווה בהכרח ל-1, והשני -c/a, אם הוא קיים. אתה יכול לבדוק איך לפתור משוואה ריבועית לא שלמה בעצמך. קל כמו פאי. המקדמים עשויים להיות ביחסים מסוימים אחד עם השני

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• סכום כל המקדמים שווה ל-o.
  השורשים של משוואה כזו הם 1 ו-c/a. דוגמה, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

ישנן מספר דרכים אחרות לפתור משוואות מדרגה שנייה. הנה, למשל, שיטה לחילוץ ריבוע שלם מפולינום נתון. ישנן מספר שיטות גרפיות. כאשר אתה מרבה לעסוק בדוגמאות כאלה, תלמד "ללחוץ" עליהן כמו זרעים, כי כל השיטות עולות בראש באופן אוטומטי.

אני מקווה שלאחר לימוד מאמר זה תלמד כיצד למצוא את השורשים של משוואה ריבועית שלמה.

באמצעות המבחין נפתרות רק משוואות ריבועיות שלמות; כדי לפתור משוואות ריבועיות לא שלמות, משתמשים בשיטות אחרות, אותן תמצאו במאמר "פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות".

אילו משוואות ריבועיות נקראות שלמות? זֶה משוואות בצורה ax 2 + b x + c = 0, כאשר המקדמים a, b ו-c אינם שווים לאפס. לכן, כדי לפתור משוואה ריבועית מלאה, עלינו לחשב את המבחין D.

D = b 2 – 4ac.

בהתאם לערך המפלה, נכתוב את התשובה.

אם המבחין הוא מספר שלילי (D< 0),то корней нет.

אם המבחין הוא אפס, אז x = (-b)/2a. כאשר המבחין הוא מספר חיובי (D > 0),

ואז x 1 = (-b - √D)/2a, ו-x 2 = (-b + √D)/2a.

לדוגמה. פתור את המשוואה x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

תשובה: 2.

פתור משוואה 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

תשובה: אין שורשים.

פתור משוואה 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

תשובה: – 3.5; 1.

אז בואו נדמיין את הפתרון של משוואות ריבועיות שלמות באמצעות הדיאגרמה באיור 1.

באמצעות נוסחאות אלו תוכלו לפתור כל משוואה ריבועית שלמה. אתה רק צריך להיזהר המשוואה נכתבה כפולינום של הצורה הסטנדרטית

א x 2 + bx + c,אחרת אתה עלול לעשות טעות. לדוגמה, בכתיבת המשוואה x + 3 + 2x 2 = 0, אתה יכול להחליט בטעות

a = 1, b = 3 ו-c = 2. לאחר מכן

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ואז למשוואה יש שני שורשים. וזה לא נכון. (ראה פתרון לדוגמה 2 לעיל).

לכן, אם המשוואה לא כתובה כפולינום של הצורה הסטנדרטית, ראשית יש לכתוב את המשוואה הריבועית השלמה כפולינום של הצורה הסטנדרטית (המונום בעל המעריך הגדול ביותר צריך לבוא קודם, כלומר א x 2 ואז עם פחות – bxולאחר מכן חבר חינם עם.

כשפותרים את המשוואה הריבועית המוקטנת ומשוואה ריבועית עם מקדם זוגי במונח השני, אפשר להשתמש בנוסחאות אחרות. בואו נכיר את הנוסחאות הללו. אם במשוואה ריבועית שלמה לאיבר השני יש מקדם זוגי (b = 2k), אז אתה יכול לפתור את המשוואה באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים באיור 2.

משוואה ריבועית מלאה נקראת מופחתת אם המקדם ב x 2 שווה לאחד והמשוואה לובשת את הצורה x 2 + px + q = 0. ניתן לתת משוואה כזו לפתרון, או שניתן לקבל אותה על ידי חלוקת כל המקדמים של המשוואה במקדם א, עומד ב x 2 .

איור 3 מציג תרשים לפתרון הריבוע המופחת
משוואות. הבה נסתכל על דוגמה ליישום הנוסחאות הנדונות במאמר זה.

דוגמא. פתור את המשוואה

3x 2 + 6x – 6 = 0.

בואו נפתור את המשוואה הזו באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים באיור 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

תשובה: –1 – √3; –1 + √3

ניתן לשים לב שמקדם x במשוואה זו הוא מספר זוגי, כלומר b = 6 או b = 2k, ומכאן k = 3. לאחר מכן ננסה לפתור את המשוואה באמצעות הנוסחאות המוצגות בתרשים של האיור D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

תשובה: –1 – √3; –1 + √3. כששמים לב שכל המקדמים במשוואה ריבועית זו מתחלקים ב-3 ומבצעים את החלוקה, נקבל את המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + 2x – 2 = 0 נפתור את המשוואה הזו באמצעות הנוסחאות של הריבוע המופחת
משוואות איור 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

תשובה: –1 – √3; –1 + √3.

כפי שאנו רואים, כאשר פותרים את המשוואה הזו על ידי נוסחאות שונותקיבלנו את אותה תשובה. לכן, לאחר שליטת ביסודיות בנוסחאות המוצגות בתרשים באיור 1, תמיד תוכל לפתור כל משוואה ריבועית שלמה.

blog.site, בעת העתקת חומר מלא או חלקי, נדרש קישור למקור המקורי.