בעזרת שיטת גאוס, פתרו מערכת של משוואות ליניאריות. פתרון מערכות משוואות ליניאריות בשיטת גאוס

תן מערכת של ליניארית משוואות אלגבריות, שצריך לפתור (מצא ערכים כאלה של הלא ידועים xi שהופכים כל משוואה של המערכת לשוויון).

אנו יודעים שמערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות יכולה:

1) אין פתרונות (היה לא משותף).
2) יש אינסוף פתרונות.
3) יש פתרון יחיד.

כזכור, שלטון קריימר ו שיטת מטריצהאינם מתאימים במקרים בהם למערכת יש אינסוף פתרונות או שאינה עקבית. שיטת גאוס – הכלי החזק והאוניברסלי ביותר למציאת פתרון לכל מערכת משוואות ליניאריות , איזה בכל מקרהיוביל אותנו לתשובה! אלגוריתם השיטה עצמו עובד אותו דבר בכל שלושת המקרים. אם שיטות הקרמר והמטריקס דורשות ידע של דטרמיננטים, אז כדי ליישם את שיטת גאוס אתה צריך רק ידע פעולות אריתמטיות, מה שמנגיש אותו אפילו לתלמידי בית ספר יסודי.

טרנספורמציות מטריצה ​​מוגברת ( זוהי המטריצה ​​של המערכת - מטריצה ​​המורכבת רק ממקדמים של הלא ידועים, בתוספת עמודה של מונחים חופשיים)מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות בשיטת גאוס:

1) עם trokiמטריצות פחית לסדר מחדשבמקומות מסוימים.

2) אם פרופורציונליים הופיעו (או קיימים) במטריצה ​​(כמו מקרה מיוחד– זהים) קווים, ואז זה מגיע לִמְחוֹקמהמטריצה ​​כל השורות הללו מלבד אחת.

3) אם מופיעה שורה אפס במטריצה ​​במהלך טרנספורמציות, אז היא צריכה להיות גם לִמְחוֹק.

4) שורה של המטריצה ​​יכולה להיות להכפיל (לחלק)לכל מספר מלבד אפס.

5) לשורה של המטריצה ​​אתה יכול הוסף מחרוזת נוספת כפול מספר, שונה מאפס.

בשיטת גאוס, טרנספורמציות אלמנטריות אינן משנות את פתרון מערכת המשוואות.

שיטת גאוס מורכבת משני שלבים:

1. "מהלך ישיר" - באמצעות טרנספורמציות אלמנטריות, הבא את המטריצה ​​המורחבת של מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות לצורת צעד "משולשת": מרכיבי המטריצה ​​המורחבת הממוקמים מתחת לאלכסון הראשי שווים לאפס (מהלך מלמעלה למטה). לדוגמה, לסוג זה:

לשם כך, בצע את השלבים הבאים:

1) הבה נבחן את המשוואה הראשונה של מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות והמקדם עבור x 1 שווה ל-K. השני, השלישי וכו'. אנו הופכים את המשוואות באופן הבא: אנו מחלקים כל משוואה (מקדמים של הלא ידועים, כולל איברים חופשיים) במקדם של הבלתי ידוע x 1 בכל משוואה, ומכפילים ב-K. לאחר מכן, נחסר את הראשון מהמשוואה השנייה ( מקדמי לא ידועים ומונחים חופשיים). עבור x 1 במשוואה השנייה נקבל את מקדם 0. מהמשוואה השלישית שעברה התמרה נחסר את המשוואה הראשונה עד שלכל המשוואות מלבד הראשונה, עבור x 1 לא ידוע, יש מקדם 0.

2) נעבור למשוואה הבאה. תן לזה להיות המשוואה השנייה והמקדם עבור x 2 שווה ל-M. אנו ממשיכים עם כל המשוואות "הנמוכות" כמתואר לעיל. לפיכך, "מתחת" ל-x 2 הלא ידוע יהיו אפסים בכל המשוואות.

3) עברו למשוואה הבאה וכך הלאה עד שיישאר לא ידוע אחרון והמונח החופשי שעבר טרנספורמציה.

1. "המהלך ההפוך" של שיטת גאוס הוא קבלת פתרון למערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות (המהלך "מלמטה למעלה"). מהמשוואה ה"תחתונה" האחרונה נקבל פתרון ראשון אחד - הבלתי ידוע x n. לשם כך, אנו פותרים את המשוואה היסודית A * x n = B. בדוגמה שניתנה לעיל, x 3 = 4. אנו מחליפים את הערך שנמצא במשוואה "העליונה" הבאה ונפתור אותה ביחס לאנודע הבא. לדוגמה, x 2 – 4 = 1, כלומר. x 2 = 5. וכך הלאה עד שנמצא את כל הלא ידועים.

דוגמא.

בואו נפתור את מערכת המשוואות הלינאריות באמצעות שיטת גאוס, כפי שכמה מחברים מייעצים:

הבה נכתוב את המטריצה ​​המורחבת של המערכת, ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות, נביא אותה לצורה שלבים:

אנו מסתכלים על "המדרגה" השמאלית העליונה. צריך שיהיה לנו אחד שם. הבעיה היא שאין יחידות בעמודה הראשונה כלל, כך שסידור מחדש של השורות לא יפתור כלום. במקרים כאלה, יש לארגן את היחידה באמצעות טרנספורמציה אלמנטרית. זה יכול להיעשות בדרך כלל בכמה דרכים. בוא נעשה את זה:
שלב 1 . לשורה הראשונה נוסיף את השורה השנייה, כפול –1. כלומר, מנטלית הכפלנו את השורה השנייה ב-1 והוספנו את השורה הראשונה והשנייה, בעוד שהשורה השנייה לא השתנתה.

כעת בפינה השמאלית העליונה יש "מינוס אחד", שמתאים לנו למדי. מי שרוצה לקבל +1 יכול לבצע פעולה נוספת: הכפל את השורה הראשונה ב-1 (שנה את הסימן שלה).

שלב 2 . השורה הראשונה, כפול 5, נוספה לשורה השנייה. השורה הראשונה, כפולה ב-3, נוספה לשורה השלישית.

שלב 3 . השורה הראשונה הוכפלה ב-1, באופן עקרוני, זה בשביל היופי. גם השלט של הקו השלישי שונה והוא הועבר למקום השני, כך שב"מדרגה" השנייה הייתה לנו היחידה הנדרשת.

שלב 4 . השורה השלישית נוספה לשורה השנייה, כפולה ב-2.

שלב 5 . השורה השלישית חולקה ב-3.

סימן שמעיד על טעות בחישובים (לעתים נדירות יותר, שגיאת הקלדה) הוא שורה תחתונה "רעה". כלומר, אם קיבלנו משהו כמו (0 0 11 |23) למטה, ובהתאם לכך, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, אז עם רמה גבוהה של הסתברות נוכל לומר שנעשתה שגיאה במהלך היסודי טרנספורמציות.

בואו נעשה הפוך; בעיצוב של דוגמאות, המערכת עצמה לרוב לא נכתבת מחדש, אבל המשוואות "נלקחו ישירות מהמטריצה ​​הנתונה". המהלך ההפוך, אני מזכיר לכם, עובד מלמטה למעלה. בדוגמה זו, התוצאה הייתה מתנה:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, לכן x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

תשובה:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

בואו נפתור את אותה מערכת באמצעות האלגוריתם המוצע. אנחנו מקבלים

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

מחלקים את המשוואה השנייה ב-5, ואת המשוואה השלישית ב-3. נקבל:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

מכפילים את המשוואה השנייה והשלישית ב-4, נקבל:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

החסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה והשלישית, יש לנו:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

חלקו את המשוואה השלישית ב-0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

הכפל את המשוואה השלישית ב-0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

בהפחתת השני מהמשוואה השלישית, נקבל מטריצה ​​מורחבת "מדורגת":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

לפיכך, מכיוון שהשגיאה הצטברה במהלך החישובים, נקבל x 3 = 0.96 או בערך 1.

x 2 = 3 ו-x 1 = –1.

בפתרון בדרך זו, לעולם לא תתבלבלו בחישובים ולמרות טעויות החישוב, תקבלו את התוצאה.

שיטה זו לפתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות ניתנת לתכנות בקלות ואינה לוקחת בחשבון את התכונות הספציפיות של מקדמים לא ידועים, מכיוון שבפועל (בחישובים כלכליים וטכניים) יש להתמודד עם מקדמים שאינם שלמים.

אני מאחל לך הצלחה! נראה אותך בכיתה! מורה.

blog.site, בעת העתקת חומר מלא או חלקי, נדרש קישור למקור המקורי.

במאמר זה, השיטה נחשבת כשיטה לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות (SLAE). השיטה היא אנליטית, כלומר, היא מאפשרת לכתוב אלגוריתם פתרון השקפה כללית, ולאחר מכן החלף ערכים מדוגמאות ספציפיות שם. בניגוד לשיטת המטריצה ​​או הנוסחאות של קריימר, כאשר פותרים מערכת משוואות ליניאריות בשיטת גאוס, ניתן לעבוד גם עם אלו שיש להם אינסוף פתרונות. או שאין להם את זה בכלל.

מה המשמעות של פתרון בשיטת גאוס?

ראשית, עלינו לכתוב את מערכת המשוואות שלנו ב-זה נראה כך. קח את המערכת:

המקדמים כתובים בצורה של טבלה, והמונחים החופשיים כתובים בעמודה נפרדת מימין. העמודה עם מונחים חופשיים מופרדת מטעמי נוחות, המטריצה ​​הכוללת את העמודה הזו נקראת מורחבת.

לאחר מכן, יש לצמצם את המטריצה ​​הראשית עם המקדמים לצורה משולשת עליונה. זוהי הנקודה העיקרית של פתרון המערכת בשיטת גאוס. במילים פשוטות, לאחר מניפולציות מסוימות, המטריצה ​​צריכה להיראות כך שהחלק השמאלי התחתון שלה מכיל רק אפסים:

לאחר מכן, אם תכתוב את המטריצה ​​החדשה שוב כמערכת של משוואות, תבחין שהשורה האחרונה כבר מכילה את הערך של אחד השורשים, שאחר כך מוחלף למשוואה שלמעלה, נמצא שורש אחר, וכן הלאה.

זהו תיאור הפתרון לפי שיטת גאוס ברובה קווי מתאר כלליים. מה קורה אם פתאום למערכת אין פתרון? או שיש אינסוף רבים מהם? כדי לענות על שאלות אלו ורבות אחרות, יש לשקול בנפרד את כל האלמנטים המשמשים בפתרון השיטה הגאוסית.

מטריצות, תכונותיהן

אין משמעות נסתרת במטריצה. זה פשוט דרך נוחהרישום נתונים עבור פעולות עוקבות איתם. אפילו תלמידי בית ספר לא צריכים לפחד מהם.

המטריצה ​​היא תמיד מלבנית, כי היא נוחה יותר. גם בשיטת גאוס, שבה הכל מסתכם בבניית מטריצה ​​של צורה משולשת, מופיע מלבן בערך, רק עם אפסים במקום שבו אין מספרים. אולי לא נכתבים אפסים, אבל הם משתמעים.

למטריצה ​​יש גודל. ה"רוחב" שלו הוא מספר השורות (מ'), "אורך" הוא מספר העמודות (n). אז גודל המטריצה ​​A (בדרך כלל משתמשים באותיות לטיניות גדולות לציון אותן) יסומן כ-A m×n. אם m=n, אז המטריצה ​​הזו היא מרובעת, ו-m=n הוא הסדר שלה. בהתאם לכך, כל אלמנט של מטריצה ​​A יכול להיות מסומן במספרי השורות והעמודות שלו: a xy ; x - מספר שורה, שינויים, y - מספר עמודה, שינויים.

ב' אינו עיקר ההחלטה. באופן עקרוני, ניתן לבצע את כל הפעולות ישירות עם המשוואות עצמן, אבל הסימון יהיה הרבה יותר מסורבל, ויהיה הרבה יותר קל להתבלבל בו.

קוֹצֵב

למטריצה ​​יש גם דטרמיננט. זה מאוד מאפיין חשוב. אין צורך לברר את משמעותו כעת; אתה יכול פשוט להראות כיצד הוא מחושב, ואז לומר אילו תכונות של המטריצה ​​היא קובעת. הדרך הקלה ביותר למצוא את הקובע היא באמצעות אלכסונים. אלכסונים דמיוניים מצוירים במטריצה; האלמנטים הממוקמים על כל אחד מהם מוכפלים, ואז מתווספים המוצרים המתקבלים: אלכסונים עם שיפוע ימינה - עם סימן פלוס, עם שיפוע משמאל - עם סימן מינוס.

חשוב ביותר לציין שניתן לחשב את הקובע רק עבור מטריצה ​​מרובעת. עבור מטריצה ​​מלבנית, אתה יכול לעשות את הפעולות הבאות: לבחור את הקטן ביותר ממספר השורות ומספר העמודות (שיהיה k), ולאחר מכן סמן באקראי k עמודות ו-k שורות במטריצה. האלמנטים בצומת של העמודות והשורות שנבחרו יהוו מטריצה ​​מרובעת חדשה. אם הקובע של מטריצה ​​כזו הוא מספר שאינו אפס, הוא נקרא הבסיס מינור של המטריצה ​​המלבנית המקורית.

לפני שמתחילים לפתור מערכת משוואות בשיטת גאוס, לא יזיק לחשב את הקובע. אם יתברר שהוא אפס, אז נוכל לומר מיד שלמטריקס יש מספר אינסופי של פתרונות או שאין בכלל. במקרה כזה עצוב, אתה צריך ללכת רחוק יותר ולברר על דרגת המטריצה.

סיווג מערכת

יש דבר כזה דרגה של מטריצה. זהו הסדר המקסימלי של הקובע הלא-אפס שלו (אם נזכור לגבי הבסיס קטין, נוכל לומר שדרגת המטריצה ​​היא סדר הבסיס קטין).

בהתבסס על המצב עם הדרגה, ניתן לחלק את SLAE ל:

• משותף. Uבמערכות משותפות, דרגת המטריצה ​​הראשית (המורכבת רק ממקדמים) עולה בקנה אחד עם דרגת המטריצה ​​המורחבת (עם עמודה של מונחים חופשיים). למערכות כאלה יש פתרון, אך לא בהכרח אחד, לכן, בנוסף, מערכות משותפות מחולקות ל:
• - מסוים- בעל פתרון יחיד. במערכות מסוימות, דרגת המטריצה ​​ומספר הלא ידועים (או מספר העמודות, שזה אותו דבר) שווים;
• - לא מוגדר -עם אינסוף פתרונות. דרגת המטריצות במערכות כאלה קטנה ממספר הלא ידועים.
• שאינו עולה בקנה אחד. Uבמערכות כאלה, הדרגות של המטריצות הראשיות והמטריצות המורחבות אינן חופפות. למערכות לא תואמות אין פתרון.

שיטת גאוס טובה מכיוון שבמהלך הפתרון היא מאפשרת לקבל או הוכחה חד משמעית לחוסר העקביות של המערכת (בלי לחשב את הקובעים של מטריצות גדולות), או פתרון בצורה כללית למערכת עם מספר אינסופי של פתרונות.

טרנספורמציות אלמנטריות

לפני שתמשיך ישירות לפתרון המערכת, תוכל להפוך אותה לפחות מסורבלת ונוחה יותר לחישובים. זה מושג באמצעות טרנספורמציות אלמנטריות - כאלה שהיישום שלהן לא משנה את התשובה הסופית בשום צורה. יש לציין שחלק מהטרנספורמציות היסודיות הנתונות תקפות רק עבור מטריצות, שמקורן היה ה-SLAE. להלן רשימה של טרנספורמציות אלה:

1. סידור מחדש של קווים. ברור שאם תשנה את סדר המשוואות ברשומת המערכת, זה לא ישפיע על הפתרון בשום צורה. כתוצאה מכך, ניתן להחליף שורות במטריצה ​​של מערכת זו, מבלי לשכוח, כמובן, את עמודת המונחים החופשיים.
2. הכפלת כל הרכיבים של מחרוזת במקדם מסוים. עוזר מאוד! ניתן להשתמש בו כדי לקצר מספרים גדוליםבמטריצה ​​או להסיר אפסים. החלטות רבות, כרגיל, לא ישתנו, אך פעולות נוספות יהפכו לנוחות יותר. העיקר שהמקדם אינו שווה לאפס.
3. הסרת שורות עם גורמים פרופורציונליים. זה נובע חלקית מהפסקה הקודמת. אם לשתי שורות או יותר במטריצה ​​יש מקדמים פרופורציונליים, אז כאשר אחת השורות מוכפלת/מחלקה במקדם המידתיות, מתקבלות שתי שורות (או, שוב, יותר) זהות לחלוטין, וניתן להסיר את השורות הנוספות, ולהשאיר רק אחד.
4. הסרת קו ריק. אם במהלך הטרנספורמציה מתקבלת שורה במקום שבו כל האלמנטים, כולל האיבר החופשי, הם אפס, אז שורה כזו יכולה להיקרא אפס ולזרוק אותה מהמטריצה.
5. הוספת לאלמנטים של שורה אחת את האלמנטים של אחר (בעמודות המתאימות), כפול מקדם מסוים. המהפך הלא ברור והחשוב מכולם. כדאי להתעכב על זה ביתר פירוט.

הוספת מחרוזת כפולה בגורם

כדי להקל על ההבנה, כדאי לפרק את התהליך הזה צעד אחר צעד. שתי שורות נלקחו מהמטריצה:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ב 2

נניח שאתה צריך להוסיף את הראשון לשני, כפול מקדם "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

אז השורה השנייה במטריצה ​​מוחלפת בשורה חדשה, והראשונה נשארת ללא שינוי.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

יש לשים לב שניתן לבחור את מקדם הכפל באופן שכתוצאה מהוספת שתי שורות, אחד המרכיבים של השורה החדשה שווה לאפס. לכן, אפשר לקבל משוואה במערכת שבה תהיה אחת פחות לא ידועה. ואם מקבלים שתי משוואות כאלה, אז אפשר לעשות את הפעולה שוב ולקבל משוואה שתכיל שניים פחות לא ידועים. ואם בכל פעם תהפוך מקדם אחד מכל השורות שנמצאות מתחת למקור לאפס, אז אתה יכול, כמו מדרגות, לרדת לתחתית המטריצה ​​ולקבל משוואה עם אחד לא ידוע. זה נקרא פתרון המערכת בשיטת גאוס.

בכללי

שתהיה מערכת. יש לו m משוואות ו-n שורשים לא ידועים. אתה יכול לכתוב את זה בצורה הבאה:

המטריצה ​​הראשית מורכבת ממקדמי המערכת. עמודה של מונחים חופשיים מתווספת למטריצה ​​המורחבת ולנוחות, מופרדת בשורה.

• השורה הראשונה של המטריצה ​​מוכפלת במקדם k = (-a 21 /a 11);
• השורה ששונתה הראשונה והשורה השנייה של המטריצה ​​מתווספות;
• במקום השורה השנייה, תוצאת התוספת מהפסקה הקודמת מוכנסת למטריצה;
• כעת המקדם הראשון בשורה השנייה החדשה הוא 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

כעת מתבצעת אותה סדרה של טרנספורמציות, רק השורה הראשונה והשלישית מעורבות. בהתאם לכך, בכל שלב באלגוריתם, אלמנט a 21 מוחלף ב-31. ואז הכל חוזר על 41, ... a m1. התוצאה היא מטריצה ​​שבה האלמנט הראשון בשורות הוא אפס. עכשיו אתה צריך לשכוח את שורה מספר אחת ולבצע את אותו אלגוריתם, החל משורה שתיים:

• מקדם k = (-a 32 /a 22);
• השורה השונה השנייה מתווספת לשורה "הנוכחית";
• תוצאת התוספת מוחלפת בשורות השלישית, הרביעית וכן הלאה, בעוד שהראשון והשני נשארים ללא שינוי;
• בשורות המטריצה ​​שני האלמנטים הראשונים כבר שווים לאפס.

יש לחזור על האלגוריתם עד להופעת מקדם k = (-a m,m-1 /a mm). זה אומר שב פעם אחרונההאלגוריתם בוצע רק עבור המשוואה התחתונה. כעת המטריצה ​​נראית כמו משולש, או בעלת צורה מדורגת. בשורה התחתונה יש את השוויון a mn × x n = b m. ידועים המקדם והאיבר החופשי, והשורש מתבטא דרכם: x n = b m /a mn. השורש המתקבל מוחלף בשורה העליונה כדי למצוא x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. וכן הלאה באנלוגיה: בכל שורה הבאה יש שורש חדש, ולאחר שהגעת ל"ראש" של המערכת, אתה יכול למצוא פתרונות רבים. זה יהיה היחיד.

כשאין פתרונות

אם באחת משורות המטריצה ​​כל האלמנטים מלבד האיבר החופשי שווים לאפס, אז המשוואה המתאימה לשורה זו נראית כמו 0 = b. אין לזה פתרון. ומכיוון שמשוואה כזו כלולה במערכת, אז קבוצת הפתרונות של המערכת כולה ריקה, כלומר היא מנוונת.

כאשר יש אינסוף פתרונות

יכול לקרות שבמטריצה ​​המשולשת הנתונה אין שורות עם רכיב מקדם אחד של המשוואה ואיבר חופשי אחד. יש רק שורות שכאשר הן נכתבות מחדש, ייראו כמו משוואה עם שני משתנים או יותר. המשמעות היא שלמערכת יש אינסוף פתרונות. במקרה זה, ניתן לתת את התשובה בצורה של פתרון כללי. איך לעשות את זה?

כל המשתנים במטריצה ​​מחולקים לבסיס וחופשי. הבסיסיים הם אלו שעומדים "בקצה" השורות במטריצת הצעדים. השאר בחינם. בפתרון הכללי, המשתנים הבסיסיים נכתבים דרך משתנים חופשיים.

מטעמי נוחות, המטריצה ​​נכתבת לראשונה בחזרה למערכת של משוואות. ואז באחרון שבהם, שבו בדיוק נשאר רק משתנה בסיסי אחד, הוא נשאר בצד אחד, וכל השאר מועבר לצד השני. זה נעשה עבור כל משוואה עם משתנה בסיסי אחד. לאחר מכן, במשוואות הנותרות, במידת האפשר, הביטוי המתקבל עבורו מוחלף במקום המשתנה הבסיסי. אם התוצאה היא שוב ביטוי המכיל רק משתנה בסיסי אחד, היא שוב באה לידי ביטוי משם, וכן הלאה, עד שכל משתנה בסיסי נכתב כביטוי עם משתנים חופשיים. זהו הפתרון הכללי של SLAE.

אתה יכול גם למצוא את הפתרון הבסיסי של המערכת - תן למשתנים החופשיים כל ערכים, ואז בשביל זה מקרה ספציפילחשב את ערכי המשתנים הבסיסיים. יש אינסוף פתרונות מסוימים שניתן לתת.

פתרון עם דוגמאות ספציפיות

הנה מערכת משוואות.

מטעמי נוחות, עדיף ליצור מיד את המטריצה ​​שלו

ידוע שכאשר נפתרים בשיטת גאוס, המשוואה המקבילה לשורה הראשונה תישאר ללא שינוי בתום התמורות. לכן, זה יהיה רווחי יותר אם האלמנט השמאלי העליון של המטריצה ​​הוא הקטן ביותר - אז האלמנטים הראשונים של השורות הנותרות לאחר הפעולות יהפכו לאפס. זה אומר שבמטריקס המהודר יהיה יתרון לשים את השורה השנייה במקום הראשונה.

שורה שנייה: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

שורה שלישית: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

כעת, כדי לא להתבלבל, עליך לרשום מטריצה ​​עם תוצאות הביניים של הטרנספורמציות.

ברור שניתן להפוך מטריצה ​​כזו לנוחה יותר לתפיסה באמצעות פעולות מסוימות. לדוגמה, אתה יכול להסיר את כל ה"מינוסים" מהשורה השנייה על ידי הכפלת כל רכיב ב-"-1".

ראוי גם לציין כי בשורה השלישית כל האלמנטים הם כפולות של שלוש. לאחר מכן תוכל לקצר את השורה במספר זה, להכפיל כל אלמנט ב-"-1/3" (מינוס - בו-זמנית, כדי להסיר ערכים שליליים).

נראה הרבה יותר נחמד. עכשיו אנחנו צריכים להשאיר את השורה הראשונה לבד ולעבוד עם השני והשלישי. המשימה היא להוסיף את השורה השנייה לשורה השלישית, כפול מקדם כזה שהאלמנט a 32 ישתווה לאפס.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (אם במהלך כמה טרנספורמציות התשובה לא מתבררת כמספר שלם, מומלץ לשמור על דיוק החישובים כדי להשאיר זה "כמו שהוא", בצורה שבר נפוץ, ורק אז, כשמתקבלות התשובות, מחליטים אם לעגל ולהמיר לצורת הקלטה אחרת)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

המטריצה ​​נכתבת שוב עם ערכים חדשים.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

כפי שאתה יכול לראות, למטריצה ​​המתקבלת כבר יש צורה מדורגת. לכן, טרנספורמציות נוספות של המערכת בשיטת גאוס אינן נדרשות. מה שאתה יכול לעשות כאן הוא להסיר את המקדם הכולל "-1/7" מהשורה השלישית.

עכשיו הכל יפה. כל מה שנותר לעשות הוא לכתוב שוב את המטריצה ​​בצורה של מערכת משוואות ולחשב את השורשים

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

האלגוריתם שבאמצעותו יימצאו כעת השורשים נקרא המהלך ההפוך בשיטת גאוס. משוואה (3) מכילה את ערך z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

והמשוואה הראשונה מאפשרת לנו למצוא את x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

יש לנו את הזכות לקרוא למערכת כזו משותפת, ואפילו מובהקת, כלומר בעלת פתרון ייחודי. התשובה כתובה בצורה הבאה:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

דוגמה למערכת לא ודאית

הגרסה של פתרון מערכת מסוימת בשיטת גאוס נותחה; כעת יש לשקול את המקרה אם המערכת אינה בטוחה, כלומר, ניתן למצוא עבורה אינסוף פתרונות.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

עצם הופעתה של המערכת כבר מדאיגה, מכיוון שמספר הלא ידועים הוא n = 5, ודרגת מטריצת המערכת כבר פחותה בדיוק ממספר זה, כי מספר השורות הוא m = 4, כלומר, הסדר הגדול ביותר של הריבוע הקובע הוא 4. זה אומר שיש אינסוף פתרונות, ואתה צריך לחפש את המראה הכללי שלו. שיטת גאוס עבור משוואות לינאריות מאפשרת לך לעשות זאת.

ראשית, כרגיל, מורכבת מטריצה ​​מורחבת.

שורה שנייה: מקדם k = (-a 21 /a 11) = -3. בשורה השלישית, האלמנט הראשון נמצא לפני הטרנספורמציות, אז אתה לא צריך לגעת בכלום, אתה צריך להשאיר אותו כפי שהוא. שורה רביעית: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

על ידי הכפלת האלמנטים של השורה הראשונה בכל אחד מהמקדמים שלהם בתורו והוספתם לשורות הנדרשות, נקבל מטריצה ​​בצורה הבאה:

כפי שאתה יכול לראות, השורה השנייה, השלישית והרביעית מורכבות מאלמנטים פרופורציונליים זה לזה. השני והרביעי זהים בדרך כלל, כך שניתן להסיר את אחד מהם מיד, ואת הנותר ניתן להכפיל במקדם "-1" ולקבל שורה מספר 3. ושוב, מתוך שתי שורות זהות, השאר אחד.

התוצאה היא מטריצה ​​כזו. המערכת אמנם טרם נרשמה, אך יש צורך לקבוע כאן את המשתנים הבסיסיים - אלו העומדים על המקדמים a 11 = 1 ו- a 22 = 1, וחופשיים - כל השאר.

במשוואה השנייה יש רק משתנה בסיסי אחד - x 2. זה אומר שאפשר לבטא אותו משם על ידי כתיבתו דרך המשתנים x 3 , x 4 , x 5 , שהם חופשיים.

נחליף את הביטוי המתקבל במשוואה הראשונה.

התוצאה היא משוואה שבה המשתנה הבסיסי היחיד הוא x 1. בוא נעשה איתו אותו דבר כמו עם x 2.

כל המשתנים הבסיסיים, מהם שניים, מתבטאים במונחים של שלושה חופשיים; כעת נוכל לכתוב את התשובה בצורה כללית.

אתה יכול גם לציין אחד מהפתרונות המיוחדים של המערכת. במקרים כאלה, אפסים נבחרים בדרך כלל כערכים עבור משתנים חופשיים. ואז התשובה תהיה:

16, 23, 0, 0, 0.

דוגמה למערכת לא שיתופית

פתרון מערכות משוואות לא תואמות בשיטת גאוס הוא המהיר ביותר. הוא מסתיים מיד ברגע שבאחד השלבים מתקבלת משוואה שאין לה פתרון. כלומר, שלב חישוב השורשים, שהוא די ארוך ומייגע, מתבטל. המערכת הבאה נחשבת:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

כרגיל, המטריצה ​​מורכבת:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

וזה מצטמצם לצורה שלבים:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

לאחר השינוי הראשון, השורה השלישית מכילה משוואה של הצורה

ללא פתרון. כתוצאה מכך, המערכת אינה עקבית, והתשובה תהיה הסט הריק.

יתרונות וחסרונות של השיטה

אם תבחר באיזו שיטה לפתור SLAEs על נייר עם עט, אז השיטה שנידונה במאמר זה נראית הכי אטרקטיבית. הרבה יותר קשה להתבלבל בטרנספורמציות יסודיות מאשר אם אתה צריך לחפש באופן ידני אחר דטרמיננטה או מטריצה ​​הפוכה מסובכת. עם זאת, אם אתה משתמש בתוכנות לעבודה עם נתונים מסוג זה, למשל, גיליונות אלקטרוניים, אז מסתבר שתוכנות כאלה כבר מכילות אלגוריתמים לחישוב הפרמטרים העיקריים של מטריצות - דטרמיננט, מינור, הפוך וכו'. ואם אתה בטוח שהמכונה תחשב את הערכים האלו בעצמה ולא תעשה טעויות, כדאי יותר להשתמש בשיטת המטריצה ​​או בנוסחאות של קריימר, כי היישום שלהן מתחיל ונגמר בחישוב הקובעים והמטריצות ההפוכות .

יישום

מכיוון שהפתרון הגאוסי הוא אלגוריתם, והמטריצה ​​היא למעשה מערך דו מימדי, ניתן להשתמש בו בתכנות. אבל מכיוון שהמאמר מציב את עצמו כמדריך "לבובות", יש לומר שהמקום הקל ביותר להכניס את השיטה אליו הוא גיליונות אלקטרוניים, למשל, אקסל. שוב, כל SLAE שהוזן לטבלה בצורה של מטריצה ​​ייחשב על ידי Excel כמערך דו מימדי. ולפעולות איתם יש הרבה פקודות נחמדות: חיבור (אפשר להוסיף רק מטריצות באותו גודל!), כפל במספר, כפל מטריצות (גם בהגבלות מסוימות), מציאת המטריצות ההפוכות והמתומרות והכי חשוב , חישוב הקובע. אם משימה שגוזלת זמן זו תוחלף בפקודה בודדת, ניתן לקבוע את דרגת המטריצה ​​הרבה יותר מהר, ולכן, לבסס את התאימות או אי ההתאמה שלה.

הגדרה ותיאור של שיטת גאוס

שיטת הטרנספורמציה גאוסית (הידועה גם כשיטה של ​​חיסול רציף של משתנים לא ידועים ממשוואה או מטריצה) לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות היא שיטה קלאסית לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות (SLAE). שיטה קלאסית זו משמשת גם לפתרון בעיות כגון השגה מטריצות הפוכותוקביעת דרגת המטריצה.

טרנספורמציה בשיטת גאוס מורכבת מביצוע שינויים עוקבים קטנים (אלמנטריים) במערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות, המובילות לביטול משתנים ממנה מלמעלה למטה עם היווצרות מערכת משולשת חדשה של משוואות המקבילה למקור. אחד.

הגדרה 1

חלק זה של הפתרון נקרא פתרון גאוס קדימה, שכן התהליך כולו מתבצע מלמעלה למטה.

לאחר צמצום מערכת המשוואות המקורית למשולש, כל משתני המערכת נמצאים מלמטה למעלה (כלומר, המשתנים הראשונים שנמצאו ממוקמים בדיוק על השורות האחרונות של המערכת או המטריצה). חלק זה של הפתרון ידוע גם בתור היפוך של הפתרון גאוסי. האלגוריתם שלו הוא כדלקמן: ראשית, מחושבים המשתנים הקרובים ביותר לתחתית מערכת המשוואות או המטריצה, ואז הערכים המתקבלים מוחלפים גבוה יותר וכך נמצא משתנה נוסף, וכן הלאה.

תיאור האלגוריתם של שיטת גאוס

רצף הפעולות לפתרון כללי של מערכת משוואות בשיטת גאוס מורכבת מהפעלת המהלכים קדימה ואחורה לסירוגין על המטריצה ​​המבוססת על SLAE. תן למערכת המשוואות הראשונית להיות בצורה הבאה:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

כדי לפתור SLAEs בשיטת גאוס, יש צורך לכתוב את מערכת המשוואות המקורית בצורה של מטריצה:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

המטריצה ​​$A$ נקראת המטריצה ​​הראשית ומייצגת את המקדמים של המשתנים הכתובים לפי הסדר, ו$b$ נקראת העמודה של המונחים החופשיים שלה. המטריצה ​​$A$, הכתובה דרך פס עם עמודה של מונחים חופשיים, נקראת מטריצה ​​מורחבת:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

כעת יש צורך, באמצעות טרנספורמציות יסודיות על מערכת המשוואות (או על המטריצה, מכיוון שזה יותר נוח), להביא אותה לצורה הבאה:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

המטריצה ​​המתקבלת מהמקדמים של מערכת המשוואה שעברה טרנספורמציה (1) נקראת מטריצת צעד; כך נראות בדרך כלל מטריצות שלבים:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

מטריצות אלו מאופיינות בקבוצת המאפיינים הבאה:

1. כל קווי האפס שלו באים אחרי קווים שאינם אפס
2. אם שורה כלשהי של מטריצה ​​עם מספר $k$ אינה אפס, אז בשורה הקודמת של אותה מטריצה ​​יש פחות אפסים מאשר זו עם המספר $k$.

לאחר קבלת מטריצת הצעדים, יש צורך להחליף את המשתנים המתקבלים במשוואות הנותרות (החל מהסוף) ולקבל את שאר הערכים של המשתנים.

כללים בסיסיים ותמורות מותרות בעת שימוש בשיטת גאוס

בעת פישוט מטריצה ​​או מערכת משוואות בשיטה זו, עליך להשתמש רק בטרנספורמציות יסודיות.

טרנספורמציות כאלה נחשבות לפעולות שניתן ליישם על מטריצה ​​או מערכת משוואות מבלי לשנות את משמעותן:

• סידור מחדש של מספר קווים,
• חיבור או הפחתה משורה אחת של מטריצה ​​שורה אחרת ממנה,
• הכפלה או חלוקה של מחרוזת בקבוע שאינו שווה לאפס,
• יש למחוק שורה המורכבת מאפסים בלבד, המתקבלת בתהליך חישוב ופישוט המערכת,
• אתה גם צריך להסיר קווים פרופורציונליים מיותרים, לבחור עבור המערכת את היחידה עם מקדמים שמתאימים ונוחים יותר לחישובים נוספים.

כל התמורות היסודיות הפיכות.

ניתוח שלושת המקרים העיקריים המתעוררים בעת פתרון משוואות ליניאריות בשיטת טרנספורמציות גאוסיות פשוטות

ישנם שלושה מקרים המתעוררים בעת שימוש בשיטת גאוס לפתרון מערכות:

1. כאשר מערכת אינה עקבית, כלומר, אין לה פתרונות
2. למערכת המשוואות יש פתרון, וייחודי, ומספר השורות והעמודות הלא-אפס במטריצה ​​שווה זו לזו.
3. למערכת יש כמות מסוימת או סט פתרונות אפשריים, ומספר השורות בו קטן ממספר העמודות.

תוצאה של פתרון עם מערכת לא עקבית

עבור אפשרות זו, בעת פתרון משוואת מטריצהשיטת גאוס מאופיינת בהשגת קו כלשהו עם חוסר האפשרות להגשים את השוויון. לכן, אם מתרחש לפחות שוויון שגוי אחד, למערכות המתקבלות והמקוריות אין פתרונות, ללא קשר למשוואות האחרות שהן מכילות. דוגמה למטריצה ​​לא עקבית:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

בשורה האחרונה נוצר שוויון בלתי אפשרי: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

מערכת משוואות שיש לה רק פתרון אחד

למערכות אלו, לאחר שהצטמצמו למטריצת צעדים והסרת שורות עם אפסים, יש את אותו מספר שורות ועמודות במטריצה ​​הראשית. כאן הדוגמה הפשוטה ביותרמערכת כזו:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

בוא נכתוב את זה בצורה של מטריצה:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

כדי להביא את התא הראשון בשורה השנייה לאפס, נכפיל את השורה העליונה ב-$-2$ ונחסיר אותה מהשורה התחתונה של המטריצה, ונשאיר את השורה העליונה בצורתה המקורית, כתוצאה מכך יש לנו את הדבר הבא. :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

דוגמה זו יכולה להיכתב כמערכת:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

המשוואה התחתונה מניבה את הערך הבא עבור $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. החליפו את הערך הזה במשוואה העליונה: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, נקבל $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

מערכת עם הרבה פתרונות אפשריים

מערכת זו מאופיינת במספר קטן יותר של שורות משמעותיות ממספר העמודות שבה (נלקחות בחשבון השורות של המטריצה ​​הראשית).

משתנים במערכת כזו מתחלקים לשני סוגים: בסיסי וחינמי. בעת הפיכת מערכת כזו, יש להשאיר את המשתנים העיקריים הכלולים בה באזור השמאלי עד לסימן "=", ואת שאר המשתנים יש להעביר אל צד ימיןשוויון.

למערכת כזו יש רק פתרון כללי מסוים.

הבה ננתח את מערכת המשוואות הבאה:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

בוא נכתוב את זה בצורה של מטריצה:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

המשימה שלנו היא למצוא פתרון כללי למערכת. עבור מטריצה ​​זו, משתני הבסיס יהיו $y_1$ ו-$y_3$ (עבור $y_1$ - מכיוון שהוא מגיע ראשון, ובמקרה של $y_3$ - הוא ממוקם אחרי האפסים).

כמשתני בסיס, אנו בוחרים בדיוק את אלו שהם הראשונים בשורה ואינם שווים לאפס.

המשתנים הנותרים נקראים חופשיים; עלינו לבטא דרכם את המשתנים הבסיסיים.

באמצעות מה שנקרא מהלך הפוך, אנו מנתחים את המערכת מלמטה למעלה; לשם כך, אנו מבטאים תחילה $y_3$ מהשורה התחתונה של המערכת:

$5y_3 – 4y_4 = $1

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

כעת נחליף את $y_3$ המבוטא במשוואה העליונה של המערכת $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

אנו מבטאים את $y_1$ במונחים של משתנים חופשיים $y_2$ ו-$y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

הפתרון מוכן.

דוגמה 1

פתרו את הסלואו בשיטת גאוס. דוגמאות. דוגמה לפתרון מערכת משוואות לינאריות הניתנת על ידי מטריצה ​​של 3 על 3 בשיטת גאוס

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

בואו נכתוב את המערכת שלנו בצורה של מטריצה ​​מורחבת:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

כעת, מטעמי נוחות ומעשיות, עליך לשנות את המטריצה ​​כך ש-$1$ נמצא בפינה העליונה של העמודה החיצונית ביותר.

לשם כך, לשורה הראשונה צריך להוסיף את השורה מהאמצע, כפול $-1$, ולכתוב את השורה האמצעית עצמה כפי שהיא, מסתבר:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

הכפל את השורה העליונה והאחרונה ב-$-1$, וגם החלף את השורה האחרונה והאמצעית:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

ומחלקים את השורה האחרונה ב-$3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

נקבל את מערכת המשוואות הבאה, המקבילה לזו המקורית:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

מהמשוואה העליונה אנו מבטאים $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

דוגמה 2

דוגמה לפתרון מערכת המוגדרת באמצעות מטריצה ​​של 4 על 4 בשיטת גאוס

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 ו-37 \\ \end(מערך)$.

בהתחלה, אנו מחליפים את השורות העליונות שלאחריו כדי לקבל $1$ בפינה השמאלית העליונה:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 ו-37 \\ \end(מערך)$.

כעת הכפילו את השורה העליונה ב-$-2$ והוסיפו לשורה השנייה והשלישית. לשורה הרביעית נוסיף את השורה הראשונה, כפול $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(מערך)$

כעת לשורה מספר 3 נוסיף שורה 2 כפול $4$, ולשורה 4 נוסיף שורה 2 כפול $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(מערך)$

נכפיל את שורה 2 ב-$-1$, ונחלק את שורה 4 ב-$3$ ונחליף את שורה 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 ו-10 \\ \end(מערך)$

כעת נוסיף לשורה האחרונה את הלפני אחרונה, כפול $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 ו-0 \\ \end(מערך)$

אנו פותרים את מערכת המשוואות המתקבלת:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

תנו למערכת להיות נתונה, ∆≠0. (1)
שיטת גאוסהיא שיטה לחיסול רציף של אלמונים.

המהות של שיטת גאוס היא להפוך (1) למערכת עם מטריצה ​​משולשת, שממנה מתקבלים הערכים של כל הלא ידועים ברצף (בהפוך על הפוך). בואו נבחן את אחת מהסכמות החישוביות. מעגל זה נקרא מעגל חלוקה יחידה. אז בואו נסתכל על התרשים הזה. תן ל-11 ≠0 (אלמנט מוביל) לחלק את המשוואה הראשונה ב-11. אנחנו מקבלים
(2)
באמצעות משוואה (2), קל לבטל את הבלתי ידועים x 1 משאר המשוואות של המערכת (כדי לעשות זאת, מספיק להחסיר משוואה (2) מכל משוואה, מוכפל קודם לכן במקדם המתאים עבור x 1) , כלומר, בשלב הראשון שאנו משיגים
.
במילים אחרות, בשלב 1, כל אלמנט של שורות עוקבות, החל מהשנייה, שווה להפרש בין האלמנט המקורי למכפלת ה"השלכה" שלו על העמודה הראשונה והשורה הראשונה (המומרה).
לאחר מכן, תוך השארת המשוואה הראשונה לבדה, אנו מבצעים טרנספורמציה דומה על פני שאר המשוואות של המערכת שהתקבלו בשלב הראשון: אנו בוחרים מביניהם את המשוואה עם האלמנט המוביל ובעזרתה נוציא את x 2 מהנותרים משוואות (שלב 2).
לאחר n שלבים, במקום (1), נקבל מערכת מקבילה
(3)
כך, בשלב הראשון נקבל מערכת משולשת (3). שלב זה נקרא שבץ קדימה.
בשלב השני (הפוך), אנו מוצאים ברצף מ-(3) את הערכים x n, x n -1, ..., x 1.
הבה נסמן את הפתרון המתקבל כ- x 0 . ואז ההפרש ε=b-A x 0 נקרא שיורי.
אם ε=0, אז הפתרון שנמצא x 0 נכון.

חישובים בשיטת גאוס מבוצעים בשני שלבים:

1. השלב הראשון נקרא שיטת קדימה. בשלב הראשון, המערכת המקורית מומרת לצורה משולשת.
2. השלב השני נקרא שבץ הפוך. בשלב השני נפתרת מערכת משולשת המקבילה לזו המקורית.

המקדמים a 11, a 22, ... נקראים אלמנטים מובילים.
בכל שלב, ההנחה הייתה שהאלמנט המוביל אינו אפס. אם זה לא המקרה, אז כל אלמנט אחר יכול לשמש כאלמנט מוביל, כאילו מסדר מחדש את משוואות המערכת.

מטרת שיטת גאוס

שיטת גאוס מיועדת לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות. מתייחס לשיטות פתרון ישיר.

סוגי שיטת גאוס

1. שיטת גאוס קלאסית;
2. שינויים בשיטת גאוס. אחד השינויים של שיטת גאוס היא תכנית עם בחירת האלמנט העיקרי. תכונה של שיטת גאוס עם בחירת האלמנט הראשי היא ארגון מחדש כזה של המשוואות כך שבשלב kth האלמנט המוביל מתברר כיסוד הגדול ביותר בעמודה kth.
3. שיטת ג'ורדנו-גאוס;

ההבדל בין שיטת ג'ורדנו-גאוס לזו הקלאסית שיטת גאוסמורכב מיישום כלל המלבן, כאשר כיוון חיפוש הפתרון מתרחש לאורך האלכסון הראשי (טרנספורמציה למטריצת הזהות). בשיטת גאוס מתרחש כיוון חיפוש הפתרון לאורך העמודים (טרנספורמציה למערכת בעלת מטריצה ​​משולשת).
בואו נמחיש את ההבדל שיטת ג'ורדנו-גאוסמשיטת גאוס עם דוגמאות.

דוגמה לפתרון בשיטת גאוס
בואו נפתור את המערכת:

כדי להקל על החישוב, בואו נחליף את השורות:

בוא נכפיל את השורה השנייה ב-(2). הוסף את השורה השלישית לשורה השנייה

הכפל את השורה השנייה ב- (-1). הוסף את השורה השנייה לשורה הראשונה

מהשורה הראשונה אנו מבטאים x 3:
מהשורה השנייה אנו מבטאים x 2:
מהשורה השלישית אנו מבטאים x 1:

דוגמה לפתרון בשיטת Jordano-Gauss
הבה נפתור את אותו SLAE בשיטת Jordano-Gauss.

נבחר ברצף את האלמנט הפותר RE, שנמצא על האלכסון הראשי של המטריצה.
אלמנט הרזולוציה שווה ל- (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - אלמנט פתרון (1), A ו-B - אלמנטים מטריצות היוצרים מלבן עם האלמנטים STE ו-RE.
נציג את החישוב של כל אלמנט בצורה של טבלה:

x 1	x 2	x 3	ב
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

האלמנט הפותר שווה ל-(3).
במקום האלמנט הפותר נקבל 1, ובעמודה עצמה נכתוב אפסים.
כל שאר האלמנטים של המטריצה, כולל אלמנטים של עמודה B, נקבעים על ידי כלל המלבן.
לשם כך, נבחר ארבעה מספרים הממוקמים בקודקודי המלבן וכוללים תמיד את האלמנט הפותר RE.

x 1	x 2	x 3	ב
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

אלמנט הרזולוציה הוא (-4).
במקום האלמנט הפותר נקבל 1, ובעמודה עצמה נכתוב אפסים.
כל שאר האלמנטים של המטריצה, כולל אלמנטים של עמודה B, נקבעים על ידי כלל המלבן.
לשם כך, נבחר ארבעה מספרים הממוקמים בקודקודי המלבן וכוללים תמיד את האלמנט הפותר RE.
נציג את החישוב של כל אלמנט בצורה של טבלה:

x 1	x 2	x 3	ב
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

תשובה: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

יישום שיטת גאוס

שיטת גאוס מיושמת בשפות תכנות רבות, בפרט: פסקל, C++, php, דלפי, ויש גם יישום מקוון של שיטת גאוס.

שימוש בשיטת גאוס

יישום שיטת גאוס בתורת המשחקים

בתורת המשחקים, כאשר מוצאים את האסטרטגיה האופטימלית המקסימלית של שחקן, מורכבת מערכת משוואות, אשר נפתרת בשיטת גאוס.

יישום שיטת גאוס בפתרון משוואות דיפרנציאליות

כדי למצוא פתרון חלקי למשוואה דיפרנציאלית, מצא תחילה נגזרות בדרגה המתאימה לפתרון החלקי הכתוב (y=f(A,B,C,D)), המוחלפות במשוואה המקורית. הבא למצוא משתנים A,B,C,Dמערכת משוואות מורכבת ונפתרת בשיטת גאוס.

יישום שיטת Jordano-Gauss בתכנות ליניארי

בתכנות ליניארי, במיוחד בשיטת הסימפלקס, נעשה שימוש בכלל המלבן, המשתמש בשיטת Jordano-Gauss, כדי להפוך את טבלת הסימפלקס בכל איטרציה.

כאן תוכלו לפתור מערכת משוואות ליניאריות בחינם שיטת גאוס באינטרנט מידות גדולותבמספרים מרוכבים עם פתרון מפורט מאוד. המחשבון שלנו יכול לפתור באופן מקוון הן את המערכות הרגילות והבלתי מוגדרות של משוואות ליניאריות באמצעות שיטת גאוס, שיש לה מספר אינסופי של פתרונות. במקרה זה, בתשובה תקבלו את התלות של כמה משתנים דרך משתנים אחרים, חופשיים. אתה יכול גם לבדוק את מערכת המשוואות עבור עקביות באינטרנט באמצעות הפתרון גאוסי.

גודל המטריצה: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 4 4 3 4 3 4 4 3 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 708 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 8 8 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3 4 3 3 4 3 4 3 4 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 708 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 8 89 9 0 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

לגבי השיטה

כאשר פותרים מערכת משוואות לינאריות שיטה מקוונתגאוס מבוצעים השלבים הבאים.

1. אנו כותבים את המטריצה ​​המורחבת.
2. למעשה, הפתרון מחולק לצעדים קדימה ואחורה של שיטת גאוס. השלב הישיר של שיטת גאוס הוא הפחתה של מטריצה ​​לצורה שלבים. ההיפך של שיטת גאוס הוא הפחתה של מטריצה ​​לצורה מיוחדת בדרגה. אבל בפועל, יותר נוח לאפס מיד את מה שנמצא מעל ומתחת לאלמנט המדובר. המחשבון שלנו משתמש בדיוק בגישה הזו.
3. חשוב לציין שכאשר פותרים בשיטת גאוס, הנוכחות במטריצה ​​של שורת אפס אחת לפחות עם לא אפס צד ימין(עמודת החברים החופשיים) מציינת את חוסר התאימות של המערכת. פִּתָרוֹן מערכת לינאריתבמקרה הזה זה לא קיים.

כדי להבין בצורה הטובה ביותר כיצד האלגוריתם גאוסי עובד באינטרנט, הזן כל דוגמה, בחר "מאוד פתרון מפורט" וחפש את הפתרון שלו באינטרנט.