הפחתת שברים למחשבון מכנה משותף. הפחתת שברים למכנה משותף (Moskalenko M.V.)

המכנה המשותף הפחות (LCD) של השברים הבלתי ניתנים לצמצום הוא הכפולה הפחות משותפת (LCM) של המכנים של שברים אלה. ( ראה את הנושא "מציאת הכפולה הפחות משותפת":

כדי לצמצם שברים לקטנים ביותר מכנה משותף, אתה צריך: 1) למצוא את הכפולה הפחות משותפת של המכנים של השברים האלה, זה יהיה המכנה המשותף הכי פחות. 2) מצא גורם נוסף לכל שבר על ידי חלוקת המכנה החדש במכנה של כל שבר. 3) הכפל את המונה והמכנה של כל שבר בגורם הנוסף שלו.

דוגמאות. צמצמו את השברים הבאים למכנה המשותף הנמוך ביותר שלהם.

אנו מוצאים את הכפולה הפחות משותפת של המכנים: LCM(5; 4) = 20, מכיוון ש-20 הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק ב-5 וגם ב-4. מצא עבור השבר הראשון פקטור נוסף 4 (20 : 5=4). עבור השבר השני הגורם הנוסף הוא 5 (20 : 4=5). נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-4, ואת המונה והמכנה של השבר השני ב-5. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 20 ).

המכנה המשותף הנמוך ביותר של השברים הללו הוא המספר 8, שכן 8 מתחלק ב-4 ובעצמו. לא יהיה גורם נוסף לשבר הראשון (או שאנו יכולים לומר שהוא שווה לאחד), לשבר השני הגורם הנוסף הוא 2 (8 : 4=2). נכפיל את המונה והמכנה של השבר השני ב-2. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 8 ).

שברים אלה אינם ניתנים לצמצום.

בואו נפחית את השבר הראשון ב-4, ונפחית את השבר השני ב-2. ( ראה דוגמאות לקיצור שברים רגילים: מפת אתר → 5.4.2. דוגמאות להפחתת שברים נפוצים). מצא את ה-LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. המכפיל הנוסף עבור השבר הראשון הוא 5 (80 : 16=5). הגורם הנוסף עבור השבר השני הוא 4 (80 : 20=4). נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-5, ואת המונה והמכנה של השבר השני ב-4. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 80 ).

אנו מוצאים את המכנה המשותף הנמוך ביותר NCD(5 ; 6 ו-15)=NOK(5 ; 6 ו-15)=30. הגורם הנוסף לשבר הראשון הוא 6 (30 : 5=6), הגורם הנוסף לשבר השני הוא 5 (30 : 6=5), הגורם הנוסף לשבר השלישי הוא 2 (30 : 15=2). נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-6, את המונה והמכנה של השבר השני ב-5, את המונה והמכנה של השבר השלישי ב-2. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 30 ).

כדי לצמצם שברים למכנה המשותף הפחות, עליך: 1) למצוא את הכפולה המשותפת הפחותה של המכנים של השברים הנתונים, זה יהיה המכנה המשותף הפחות משותף. 2) מצא גורם נוסף לכל שבר על ידי חלוקת המכנה החדש במכנה של כל שבר. 3) הכפל את המונה והמכנה של כל שבר בגורם הנוסף שלו.

דוגמאות. צמצמו את השברים הבאים למכנה המשותף הנמוך ביותר שלהם.

אנו מוצאים את הכפולה הפחות משותפת של המכנים: LCM(5; 4) = 20, מכיוון ש-20 הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק ב-5 וגם ב-4. מצא עבור השבר הראשון פקטור נוסף 4 (20 : 5=4). עבור השבר השני הגורם הנוסף הוא 5 (20 : 4=5). נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-4, ואת המונה והמכנה של השבר השני ב-5. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 20 ).

המכנה המשותף הנמוך ביותר של השברים הללו הוא המספר 8, שכן 8 מתחלק ב-4 ובעצמו. לא יהיה גורם נוסף עבור השבר הראשון (או שאנו יכולים לומר שהוא שווה לאחד), עבור השבר השני הגורם הנוסף הוא 2 (8 : 4=2). נכפיל את המונה והמכנה של השבר השני ב-2. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 8 ).

שברים אלה אינם ניתנים לצמצום.

בואו נפחית את השבר הראשון ב-4, ונפחית את השבר השני ב-2. ( ראה דוגמאות להפחתת שברים רגילים: מפת אתר → 5.4.2. דוגמאות להפחתת שברים נפוצים). מצא את ה-LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. המכפיל הנוסף עבור השבר הראשון הוא 5 (80 : 16=5). הגורם הנוסף עבור השבר השני הוא 4 (80 : 20=4). נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-5, ואת המונה והמכנה של השבר השני ב-4. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 80 ).

אנו מוצאים את המכנה המשותף הנמוך ביותר NCD(5 ; 6 ו-15)=NOK(5 ; 6 ו-15)=30. הגורם הנוסף לשבר הראשון הוא 6 (30 : 5=6), הגורם הנוסף לשבר השני הוא 5 (30 : 6=5), הגורם הנוסף לשבר השלישי הוא 2 (30 : 15=2). נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-6, את המונה והמכנה של השבר השני ב-5, את המונה והמכנה של השבר השלישי ב-2. הפחתנו את השברים האלה למכנה המשותף הנמוך ביותר ( 30 ).

עמוד 1 מתוך 1 1

במקור רציתי לכלול טכניקות מכנה משותף בסעיף חיבור וחיסור שברים. אבל היה כל כך הרבה מידע, והחשיבות שלו הייתה כל כך גדולה (אחרי הכל, לא רק שברים מספריים), שעדיף ללמוד סוגיה זו בנפרד.

אז נניח שיש לנו שני שברים עם מכנים שונים. ואנחנו רוצים לוודא שהמכנים יהיו זהים. התכונה הבסיסית של שבר באה לעזרה, אשר, להזכירך, נשמעת כך:

שבר לא ישתנה אם המונה והמכנה שלו יוכפלו באותו מספר מלבד אפס.

לפיכך, אם תבחר נכון את הגורמים, המכנים של השברים יהפכו לשווים - תהליך זה נקרא הפחתה למכנה משותף. והמספרים הנדרשים, "מאשרים" את המכנים, נקראים גורמים נוספים.

מדוע עלינו לצמצם שברים למכנה משותף? הנה רק כמה סיבות:

1. חיבור והפחתה של שברים עם מכנים שונים. אין דרך אחרת לבצע פעולה זו;
2. השוואת שברים. לפעמים צמצום למכנה משותף מפשט מאוד את המשימה הזו;
3. פתרון בעיות הכוללות שברים ואחוזים. אחוזיםהם, למעשה, ביטויים רגילים המכילים שברים.

ישנן דרכים רבות למצוא מספרים שכאשר מכפילים אותם, ישוו את המכנים של השברים. נשקול רק שלושה מהם - לפי סדר הגדלת המורכבות ובמובן מסוים, האפקטיביות.

כפל צולב

הכי פשוט ו דרך אמינה, שמובטח ישווה את המכנים. נפעל "באופן ראש": נכפיל את השבר הראשון במכנה של השבר השני, ואת השני במכנה של הראשון. כתוצאה מכך, המכנים של שני השברים יהיו שווים למכפלת המכנים המקוריים. תסתכל:

כגורמים נוספים, שקול את המכנים של השברים הסמוכים. אנחנו מקבלים:

כן, זה כל כך פשוט. אם אתם רק מתחילים ללמוד שברים, עדיף לעבוד בשיטה זו - כך תבטחו את עצמכם מפני טעויות רבות ומובטחת שתקבלו את התוצאה.

החיסרון היחיד השיטה הזאת- צריך לספור הרבה, כי המכנים מוכפלים "לאורך כל הדרך", והתוצאה יכולה להיות מאוד מספרים גדולים. זה המחיר שצריך לשלם עבור אמינות.

שיטת מחלק משותף

טכניקה זו עוזרת להפחית משמעותית את החישובים, אך למרבה הצער, משתמשים בה לעתים רחוקות למדי. השיטה היא כדלקמן:

1. לפני שאתה הולך ישר קדימה (כלומר, באמצעות שיטת הצלב), תסתכל על המכנים. אולי אחד מהם (זה שגדול יותר) מחולק לשני.
2. המספר הנובע מחלוקה זו יהווה גורם נוסף לשבר בעל מכנה קטן יותר.
3. במקרה זה, שבר עם מכנה גדול לא צריך להיות מוכפל בשום דבר - כאן טמון החיסכון. במקביל, ההסתברות לטעות מופחתת בחדות.

מְשִׁימָה. מצא את המשמעויות של הביטויים:

שימו לב ש-84: 21 = 4; 72: 12 = 6. מכיוון שבשני המקרים מכנה אחד מחולק ללא שארית בשני, אנו משתמשים בשיטה של ​​גורמים משותפים. יש לנו:

שימו לב שהשבר השני לא הוכפל בשום דבר בכלל. למעשה, קיצרנו את כמות החישוב בחצי!

אגב, לא לקחתי את השברים בדוגמה הזו במקרה. אם אתה מעוניין, נסה לספור אותם בשיטת הצלבה. לאחר צמצום, התשובות יהיו זהות, אבל תהיה הרבה יותר עבודה.

זהו כוחה של שיטת המחלקים המשותפים, אך, שוב, ניתן להשתמש בה רק כאשר אחד מהמכנים מתחלק בשני ללא שארית. מה שקורה די נדיר.

שיטה מרובים פחות נפוצה

כאשר אנו מצמצמים שברים למכנה משותף, אנו בעצם מנסים למצוא מספר המתחלק בכל אחד מהמכנים. לאחר מכן נביא את המכנים של שני השברים למספר הזה.

יש הרבה מספרים כאלה, והקטן מביניהם לא בהכרח יהיה שווה למכפלה הישירה של המכנים של השברים המקוריים, כפי שמניחים בשיטת "הצלבה".

לדוגמה, עבור מכנים 8 ו-12, המספר 24 מתאים למדי, שכן 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. מספר זה קטן בהרבה מהמוצר 8 · 12 = 96.

המספר הקטן ביותר, המתחלק בכל אחד מהמכנים, נקרא הכפולה הפחות משותפת שלהם (LCM).

סימון: הכפולה הפחות משותפת של a ו-b מסומנת ב-LCM(a ;b) . לדוגמה, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

אם תצליחו למצוא מספר כזה, כמות החישובים הכוללת תהיה מינימלית. תסתכל על הדוגמאות:

מְשִׁימָה. מצא את המשמעויות של הביטויים:

שימו לב ש-234 = 117 2; 351 = 117 3. גורמים 2 ו-3 הם קופריים (אין להם גורמים משותפים מלבד 1), ופקטור 117 נפוץ. לכן LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

באופן דומה, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. גורמים 3 ו-4 הם קופריים, ופקטור 5 נפוץ. לכן LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

כעת נביא את השברים למכנים משותפים:

שימו לב כמה שימושי היה לחלק את המכנים המקוריים לגורמים:

1. לאחר שגילינו גורמים זהים, הגענו מיד למכפלה הפחות משותפת, שהיא, באופן כללי, בעיה לא טריוויאלית;
2. מההרחבה שנוצרה ניתן לגלות אילו גורמים "חסרים" בכל שבר. לדוגמה, 234 · 3 = 702, לכן, עבור השבר הראשון הגורם הנוסף הוא 3.

כדי להעריך כמה הבדל עושה השיטה הכי פחות נפוצה, נסה לחשב את אותן הדוגמאות באמצעות שיטת ההצלבה. כמובן בלי מחשבון. אני חושב שאחרי זה הערות יהיו מיותרות.

אל תחשוב שיש כאלה שברים מורכביםלא יהיה המצב בדוגמאות אמיתיות. הם נפגשים כל הזמן, והמשימות הנ"ל אינן הגבול!

הבעיה היחידה היא איך למצוא את ה-NOC הזה. לפעמים הכל נמצא תוך כמה שניות, ממש "בעין", אבל באופן כללי מדובר במשימה חישובית מורכבת שדורשת התייחסות נפרדת. לא ניגע בזה כאן.

בשיעור זה נבחן הפחתת שברים למכנה משותף ונפתור בעיות בנושא זה. הבה נגדיר את המושג של מכנה משותף וגורם נוסף, נזכיר את ההדדית מספרים ראשוניים. בואו נגדיר את המושג של המכנה המשותף הנמוך ביותר (LCD) ונפתור מספר בעיות כדי למצוא אותו.

נושא: חיבור והפחתה של שברים בעלי מכנים שונים

שיעור: הפחתת שברים למכנה משותף

חזרה. התכונה העיקרית של שבר.

אם המונה והמכנה של שבר מוכפלים או מחלקים באותו מספר טבעי, מקבלים שבר שווה.

לדוגמה, ניתן לחלק את המונה והמכנה של שבר ב-2. נקבל את השבר. פעולה זו נקראת הפחתת שברים. ניתן גם לבצע את הטרנספורמציה ההפוכה על ידי הכפלת המונה והמכנה של השבר ב-2. במקרה זה, אנו אומרים שהקטינו את השבר למכנה חדש. המספר 2 נקרא גורם נוסף.

סיכום.ניתן לצמצם שבר לכל מכנה שהוא כפולה של המכנה של השבר הנתון. כדי להביא שבר למכנה חדש, המונה והמכנה שלו מוכפלים בגורם נוסף.

1. הקטינו את השבר למכנה 35.

המספר 35 הוא כפולה של 7, כלומר 35 מתחלק ב-7 ללא שארית. זה אומר שהשינוי הזה אפשרי. בואו נמצא גורם נוסף. לשם כך נחלק את 35 ב-7. נקבל 5. נכפיל ב-5 את המונה והמכנה של השבר המקורי.

2. הקטינו את השבר למכנה 18.

בואו נמצא גורם נוסף. כדי לעשות זאת, חלק את המכנה החדש במכנה המקורי. נקבל 3. נכפיל את המונה והמכנה של השבר הזה ב-3.

3. הקטינו את השבר למכנה של 60.

חלוקת 60 ב-15 נותנת גורם נוסף. זה שווה ל-4. הכפל את המונה והמכנה ב-4.

4. הקטינו את השבר למכנה 24

במקרים פשוטים, צמצום למכנה חדש מתבצע מבחינה נפשית. נהוג לציין רק את הגורם הנוסף מאחורי סוגר מעט מימין ומעל השבר המקורי.

ניתן לצמצם שבר למכנה של 15 ושבר ניתן לצמצם למכנה של 15. גם לשברים יש מכנה משותף של 15.

המכנה המשותף של השברים יכול להיות כל כפולה משותפת של המכנים שלהם. לשם הפשטות, שברים מצטמצמים למכנה המשותף הנמוך ביותר שלהם. הוא שווה לכפולה הפחות משותפת של המכנים של השברים הנתונים.

דוגמא. צמצם למכנה המשותף הנמוך ביותר של השבר ו.

ראשית, הבה נמצא את הכפולה הפחות משותפת של המכנים של השברים הללו. המספר הזה הוא 12. בוא נמצא גורם נוסף לשבר הראשון והשני. כדי לעשות זאת, חלקו 12 ב-4 ו-6. שלוש הוא גורם נוסף לשבר הראשון, ושניים הוא עבור השני. נביא את השברים למכנה 12.

הבאנו את השברים למכנה משותף, כלומר מצאנו שברים שווים בעלי אותו מכנה.

כְּלָל.כדי לצמצם שברים למכנה המשותף הנמוך ביותר שלהם, אתה חייב

ראשית, מצא את הכפולה הפחות משותפת של המכנים של השברים הללו, זה יהיה המכנה המשותף הפחות משותף שלהם;

שנית, חלקו את המכנה המשותף הנמוך ביותר במכנים של השברים הללו, כלומר מצאו גורם נוסף לכל שבר.

שלישית, הכפל את המונה והמכנה של כל שבר בגורם הנוסף שלו.

א) צמצמו את השברים ולמכנה משותף.

המכנה המשותף הנמוך ביותר הוא 12. הגורם הנוסף לשבר הראשון הוא 4, עבור השני - 3. נפחית את השברים למכנה 24.

ב) צמצמו את השברים ולמכנה משותף.

המכנה המשותף הנמוך ביותר הוא 45. חלוקת 45 ב-9 ב-15 נותנת 5 ו- 3, בהתאמה. אנו מצמצמים את השברים למכנה 45.

ג) צמצמו את השברים ולמכנה משותף.

המכנה המשותף הוא 24. גורמים נוספים הם 2 ו-3, בהתאמה.

לפעמים זה יכול להיות קשה למצוא מילולית את הכפולה הפחות משותפת של המכנים של שברים נתונים. לאחר מכן נמצא המכנה המשותף וגורמים נוספים באמצעות פירוק ראשוני.

צמצמו את השברים ולמכנה משותף.

בואו נמנה את המספרים 60 ו-168 לגורמים ראשוניים. נכתוב את הרחבה של המספר 60 ונוסיף את הגורמים החסרים 2 ו-7 מההרחבה השנייה. נכפיל 60 ב-14 ונקבל מכנה משותף של 840. הגורם הנוסף לשבר הראשון הוא 14. הגורם הנוסף לשבר השני הוא 5. נביא את השברים למכנה משותף של 840.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ואחרים. מתמטיקה 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. מרזליאק א.ג., פולונסקי V.V., יקיר מ.ש. מתמטיקה כיתה ו'. - גימנסיה, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. מאחורי דפי ספר מתמטיקה. - הארה, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. מטלות לקורס מתמטיקה לכיתות ה'-ו'. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. מתמטיקה 5-6. מדריך לתלמידי כיתות ו' בבית הספר להתכתבות MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. שברין ל.נ., Gein A.G., Koryakov I.O. ועוד. מתמטיקה: ספר לימוד-איש שיח לכיתות ה'-ו' של תיכון. ספריית המורה למתמטיקה. - הארה, 1989.

אתה יכול להוריד את הספרים המפורטים בסעיף 1.2. של שיעור זה.

שיעורי בית

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ואחרים. מתמטיקה 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (קישור ראה 1.2)

שיעורי בית: מס' 297, מס' 298, מס' 300.

משימות נוספות: מס' 270, מס' 290

תכנית הפחתה למכנה משותף

1. עליך לקבוע מה תהיה הכפולה הפחות משותפת של מכנה השברים. אם עסקינן במספר מעורב או שלם, אז תחילה עליך להפוך אותו לשבר, ורק לאחר מכן לקבוע את הכפולה הפחות משותפת. כדי להמיר מספר שלם לשבר, צריך לכתוב את המספר עצמו במונה ואחד במכנה. לדוגמה, המספר 5 כשבר ייראה כך: 5/1. כדי להפוך מספר מעורב לשבר, צריך להכפיל את המספר השלם במכנה ולהוסיף לו את המונה. דוגמה: 8 מספרים שלמים ו-3/5 כשבר = 8x5+3/5 = 43/5.
2. לאחר מכן, יש צורך למצוא גורם נוסף, אשר נקבע על ידי חלוקת ה-NZ במכנה של כל שבר.
3. השלב האחרון הוא להכפיל את השבר בגורם נוסף.

חשוב לזכור שצריכה של צמצום למכנה משותף לא רק לצורך חיבור או חיסור. כדי להשוות מספר שברים עם מכנים שונים, תחילה עליך לצמצם כל אחד מהם למכנה משותף.

הפחתת שברים למכנה משותף

כדי להבין איך לצמצם שבר למכנה משותף, צריך להבין כמה תכונות של שברים. כך, רכוש חשוב, המשמש להפחתה ל-NOS, הוא שוויון השברים. במילים אחרות, אם המונה והמכנה של שבר מוכפלים במספר, התוצאה היא שבר השווה לקודם. ניקח את הדוגמה הבאה כדוגמה. כדי להקטין את השברים 5/9 ו-5/6 למכנה המשותף הנמוך ביותר שלהם, עליך לעשות את הפעולות הבאות:

1. ראשית נמצא את הכפולה הפחות משותפת של המכנים. IN במקרה הזהעבור המספרים 9 ו-6 ה-LCM יהיה שווה ל-18.
2. אנו קובעים גורמים נוספים עבור כל אחד מהשברים. זה נעשה כדלקמן. נחלק את ה-LCM במכנה של כל שבר, כתוצאה מכך נקבל 18: 9 = 2, ו-18: 6 = 3. המספרים הללו יהיו גורמים נוספים.
3. אנו מביאים שני שברים ל-NOS. כשמכפילים שבר במספר, צריך להכפיל גם את המונה וגם את המכנה. ניתן להכפיל את השבר 5/9 בגורם נוסף של 2, וכתוצאה מכך שבר שווה לשבר הנתון - 10/18. אנחנו עושים את אותו הדבר עם השבר השני: מכפילים 5/6 ב-3, וכתוצאה מכך 15/18.

כפי שאנו יכולים לראות מהדוגמה לעיל, שני השברים הצטמצמו למכנה המשותף הנמוך ביותר שלהם. כדי להבין סוף סוף איך למצוא מכנה משותף, אתה צריך לשלוט במאפיין אחד נוסף של שברים. זה טמון בעובדה שניתן להקטין את המונה והמכנה של שבר באותו מספר, שנקרא מחלק משותף. לדוגמה, ניתן לצמצם את השבר 12/30 ל-2/5 אם הוא מחולק במחלק המשותף שלו - המספר 6.