كيفية حل المعادلات التربيعية 8. المعادلات التربيعية الكاملة والناقصة

ياكوبوفا م. 1

سميرنوفا يو.في. 1

1 المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية المدرسة الثانوية رقم 11

يتم نشر نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

تاريخ المعادلات التربيعية

بابل

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، في العصور القديمة كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي، مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. المعادلات التربيعيةعرف كيفية حل حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون. قواعد حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع المعادلات الحديثة، لكن في هذه النصوص لا يوجد مفهوم عدد السلبيو الأساليب العامةحل المعادلات التربيعية.

اليونان القديمة

كما تم حل المعادلات التربيعية اليونان القديمةعلماء مثل ديوفانتوس وإقليدس وهيرون. ديوفانتوس ديوفانتوس السكندري هو عالم رياضيات يوناني قديم من المفترض أنه عاش في القرن الثالث الميلادي. العمل الرئيسي لديوفانتس هو "الحساب" في 13 كتابًا. إقليدس. إقليدس عالم رياضيات يوناني قديم، مؤلف أول أطروحة نظرية عن الرياضيات وصلت إلينا، هيرون. مالك الحزين - عالم رياضيات ومهندس يوناني ظهر لأول مرة في اليونان في القرن الأول الميلادي. يعطي نظيفة الطريقة الجبريةحلول المعادلات التربيعية

الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. وأوضح عالم هندي آخر، براهماغوبتا (القرن السابع). قاعدة عامةحلول المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد: ax2 + bx = c, a> 0. (1) في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا. كانت المسابقات العامة لحل المشكلات الصعبة شائعة في الهند. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تحجب الشمس النجوم بريقها كذلك" رجل متعلمسوف يحجب مجده في التجمعات العامة من خلال اقتراح وحل المسائل الجبرية. غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

"قطيع من القرود المرحة

واثنا عشر على طول الكروم، بعد أن أكلوا حتى شبع قلبي، استمتعوا

بدأوا في القفز، معلقة

الجزء الثامن منهم تربيع

كم عدد القرود كان هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة

قل لي، في هذه الحزمة؟

ويشير حل بهاسكارا إلى أن المؤلف كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين. يكتب بهاسكار المعادلة المقابلة للمسألة بالشكل x2 - 64x = - 768، ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع، يضيف 322 إلى كلا الطرفين، ثم يحصل على: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 ، (س - 32)2 = 256، س - 32 = ±16، x1 = 16، x2 = 48.

المعادلات التربيعية في أوروبا في القرن السابع عشر

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الجديد أمثلة جبريةحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي أدخل الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا. اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية في منظر عامتمتلكها فيتنام، لكن فيتنام لم تتعرف إلا على الجذور الإيجابية. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

تعريف المعادلة التربيعية

المعادلة التي على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث a، b، c أرقام، تسمى معادلة تربيعية.

معاملات المعادلة التربيعية

الأرقام a، b، c هي معاملات المعادلة التربيعية. a هو المعامل الأول (قبل x²)، a ≠ 0، b هو المعامل الثاني (قبل x)، c هو الحد الحر (بدون x).

أي من هذه المعادلات ليست تربيعية؟?

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5س - 7 = 0;3. - س² - 5س - 1 = 0;4. 2/س² + 3س + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. س² - 1/س = 0;9. 2x² - س = 0;10. س² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

أنواع المعادلات التربيعية

اسم	الشكل العام للمعادلة	الميزة (ما هي المعاملات)	أمثلة على المعادلات
	الفأس 2 + ب س + ج = 0	أ، ب، ج - أرقام أخرى غير 0	1/3س 2 + 5س - 1 = 0
غير مكتمل
			× 2 - 1/5س = 0
منح	س 2 + ب س + ج = 0		س 2 - 3س + 5 = 0

المخفض هو معادلة تربيعية يكون فيها المعامل الرئيسي يساوي واحد. يمكن الحصول على مثل هذه المعادلة بقسمة التعبير بأكمله على المعامل الرئيسي أ:

س 2 + بيكسل + ف =0، ع = ب/أ، ف = ج/أ

تسمى المعادلة التربيعية كاملة إذا كانت جميع معاملاتها غير صفر.

تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة حيث يكون أحد المعاملات على الأقل، باستثناء العامل الرئيسي (إما المعامل الثاني أو الحد الحر)، يساوي الصفر.

طرق حل المعادلات التربيعية

الطريقة الأولى الصيغة العامة لحساب الجذور

للعثور على جذور المعادلة التربيعية فأس 2 + ب + ج = 0بشكل عام، يجب عليك استخدام الخوارزمية أدناه:

احسب قيمة مميز المعادلة التربيعية: هذا هو التعبير عنها د =ب 2 - 4ac

اشتقاق الصيغة:

ملحوظة:من الواضح أن صيغة جذر التعدد 2 هي حالة خاصة من الصيغة العامة، يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المساواة D=0 فيها، والاستنتاج حول عدم وجود جذور حقيقية عند D0، و (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

الطريقة المقدمة عالمية، ولكنها ليست الوحيدة. يمكن حل معادلة واحدة بعدة طرق، مع التفضيلات التي تعتمد عادةً على الحل. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يتبين أن بعض الأساليب لهذا الغرض أكثر أناقة وبساطة وأقل كثافة في العمالة من الطريقة القياسية.

الطريقة الثانية. جذور المعادلة التربيعية ذات المعامل الزوجيب الطريقة الثالثة. حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

الطريقة الرابعة. استخدام النسب الجزئية للمعاملات

هناك حالات خاصة للمعادلات التربيعية تكون فيها المعاملات مرتبطة ببعضها البعض، مما يجعل حلها أسهل بكثير.

جذور المعادلة التربيعية التي يكون فيها مجموع المعامل الرئيسي والحد الحر يساوي المعامل الثاني

إذا كان في معادلة تربيعية فأس 2 + ب س + ج = 0مجموع المعامل الأول والحد الحر يساوي المعامل الثاني: أ+ب=جفإن جذوره هي -1 والرقم المقابل لنسبة الحد الحر إلى المعامل الرئيسي ( -ج/أ).

ومن ثم، قبل حل أي معادلة تربيعية، عليك التحقق من إمكانية تطبيق هذه النظرية عليها: قارن مجموع المعامل الرئيسي والحد الحر مع المعامل الثاني.

جذور معادلة تربيعية مجموع معاملاتها صفر

إذا كان مجموع معاملاتها في معادلة تربيعية هو صفر، فإن جذور هذه المعادلة هي 1 ونسبة الحد الحر إلى المعامل الرئيسي ( ج / أ).

لذلك قبل حل المعادلة الطرق القياسية، يجب عليك التحقق من إمكانية تطبيق هذه النظرية عليها: قم بإضافة جميع معاملات هذه المعادلة ومعرفة ما إذا كان هذا المجموع لا يساوي الصفر.

طريقة V. تحليل ثلاثية الحدود التربيعية إلى عوامل خطية

إذا كان ثلاثي الحدود من الشكل (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + ب س + ج(أ ≠ 0)يمكن تمثيلها بطريقة ما كحاصل ضرب العوامل الخطية (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n)، ثم يمكننا إيجاد جذور المعادلة فأس 2 + ب س + ج = 0- سيكونون -m/k وn/l، في الواقع، بعد كل شيء (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0السهم الأيمن الأيسر kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n، وبعد حل المعادلات الخطية المشار إليها، نحصل على ما سبق. لاحظ أن ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةلا يتحلل دائمًا إلى عوامل خطية ذات معاملات حقيقية: وهذا ممكن إذا كانت المعادلة المقابلة لها جذور حقيقية.

دعونا ننظر في بعض الحالات الخاصة

باستخدام صيغة المجموع التربيعي (الفرق).

إذا كانت ثلاثية الحدود التربيعية لها الصيغة (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 ، فمن خلال تطبيق الصيغة أعلاه عليها، يمكننا تحليلها إلى عوامل خطية و لذلك ابحث عن الجذور:

(الفأس) 2 + 2أب س + ب 2 = (الفأس + ب) 2

عزل المربع الكامل للمجموع (الفرق)

تُستخدم الصيغة المذكورة أعلاه أيضًا باستخدام طريقة تسمى "اختيار المربع الكامل للمجموع (الفرق)." بالنسبة للمعادلة التربيعية أعلاه مع التدوين الذي تم تقديمه سابقًا، فهذا يعني ما يلي:

ملحوظة:إذا لاحظتم أن هذه الصيغة تتطابق مع تلك المقترحة في قسم "جذور المعادلة التربيعية المخفضة"، والتي بدورها يمكن الحصول عليها من الصيغة العامة (1) عن طريق استبدال المساواة a=1. هذه الحقيقة ليست مجرد صدفة: باستخدام الطريقة الموصوفة، وإن كان مع بعض الأسباب الإضافية، من الممكن استخلاص صيغة عامة وإثبات خصائص المميز.

الطريقة السادسة. باستخدام نظرية فييتا المباشرة والمعكوسة

تتيح لك نظرية فييتا المباشرة (انظر أدناه في القسم الذي يحمل نفس الاسم) ونظريتها العكسية حل المعادلات التربيعية المذكورة أعلاه شفهيًا، دون اللجوء إلى حسابات مرهقة إلى حد ما باستخدام الصيغة (1).

وفقًا للنظرية العكسية، كل زوج من الأرقام (عدد) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2، وهو حل لنظام المعادلات أدناه، هو جذور المعادلة

في الحالة العامة، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المخفضة ax 2 + bx + c = 0

س 1 + س 2 = -ب/أ، س 1 * س 2 = ج/أ

ستساعدك النظرية المباشرة في العثور على الأعداد التي تحقق هذه المعادلات شفهيًا. بمساعدتها يمكنك تحديد علامات الجذور دون معرفة الجذور نفسها. للقيام بذلك، يجب عليك اتباع القاعدة:

1) إذا كان الحد الحر سالبا فإن الجذور لها علامة مختلفة، والمعامل الأكبر للجذور هو الإشارة المقابلة لإشارة المعامل الثاني للمعادلة؛

2) إذا كان الحد الحر موجباً فإن الجذرين لهما نفس الإشارة، وهذه هي الإشارة المقابلة لإشارة المعامل الثاني.

الطريقة السابعة. طريقة النقل

تتيح لك طريقة "النقل" المزعومة تقليل حل المعادلات غير المختزلة وغير القابلة للاختزال إلى شكل معادلات مختزلة ذات معاملات صحيحة عن طريق قسمتها على المعامل الرئيسي لحل المعادلات المختزلة ذات المعاملات الصحيحة. وهي كالاتي:

بعد ذلك، يتم حل المعادلة شفهيا بالطريقة الموضحة أعلاه، ثم يعودون إلى المتغير الأصلي ويجدون جذور المعادلات (displaystyle y_(1)=ax_(1)) ذ 1 =ax 1 و ذ 2 =ax 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

معنى هندسي

الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. حلول (جذور) المعادلة التربيعية هي حدود نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني. إذا وصف القطع المكافئ وظيفة من الدرجة الثانية، لا يتقاطع مع المحور السيني، فالمعادلة ليس لها جذور حقيقية. إذا تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني عند نقطة واحدة (عند قمة القطع المكافئ)، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد (ويقال أيضًا أن المعادلة لها جذرين متطابقين). إذا تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني عند نقطتين، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين (انظر الصورة على اليمين).

إذا معامل (displaystyle أ) أإيجابيًا، يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى والعكس صحيح. إذا كان المعامل (نمط العرض ب)ب موجب (إذا كان موجبًا (displaystyle a) أ، إذا كان سالبًا، والعكس صحيح)، فإن قمة القطع المكافئ تقع في نصف المستوى الأيسر والعكس صحيح.

تطبيق المعادلات التربيعية في الحياة

المعادلة التربيعية تستخدم على نطاق واسع. يتم استخدامه في العديد من الحسابات والهياكل والرياضات وأيضًا من حولنا.

دعونا نفكر ونعطي بعض الأمثلة على تطبيق المعادلة التربيعية.

رياضة. القفزات العالية: أثناء صعود القافز، يتم استخدام الحسابات المتعلقة بالقطع المكافئ لتحقيق أوضح تأثير ممكن على شريط الإقلاع والطيران العالي.

أيضا، هناك حاجة إلى حسابات مماثلة في الرمي. يعتمد مدى طيران الجسم على المعادلة التربيعية.

الفلك. يمكن العثور على مسار الكواكب باستخدام معادلة تربيعية.

رحلة الطائرة. إقلاع الطائرة هو العنصر الرئيسي في الرحلة. نحن هنا نأخذ حساب المقاومة المنخفضة وتسارع الإقلاع.

تُستخدم المعادلات التربيعية أيضًا في مختلف التخصصات الاقتصادية، في برامج معالجة الصوت والفيديو والرسومات المتجهة والنقطية.

خاتمة

ونتيجة للعمل المنجز، اتضح أن المعادلات التربيعية جذبت العلماء إلى العصور القديمة، وقد واجهوها بالفعل عند حل بعض المهام وحاولوا حلها. مع مراعاة طرق مختلفةعند حل المعادلات التربيعية، توصلت إلى نتيجة مفادها أنها ليست كلها بسيطة. في رأيي الأكثر أفضل طريقةحل المعادلات التربيعية هو الحل عن طريق الصيغ. من السهل تذكر الصيغ، وهذه الطريقة عالمية. تم تأكيد الفرضية القائلة بأن المعادلات تستخدم على نطاق واسع في الحياة والرياضيات. وبعد دراسة الموضوع تعلمت الكثير حقائق مثيرة للاهتمامعن المعادلات التربيعية، استخدامها، تطبيقها، أنواعها، حلولها. وسأكون سعيدًا بمواصلة دراستهم. آمل أن يساعدني هذا على أداء جيد في امتحاناتي.

قائمة الأدب المستخدم

مواد الموقع:

ويكيبيديا

افتح الدرس.rf

دليل الرياضيات الابتدائية Vygodsky M. Ya.

استمرارًا لموضوع "حل المعادلات"، ستعرفك المادة الموجودة في هذه المقالة على المعادلات التربيعية.

دعونا نلقي نظرة على كل شيء بالتفصيل: جوهر وتدوين المعادلة التربيعية، وتحديد المصطلحات المصاحبة، وتحليل مخطط حل المعادلات غير الكاملة والكاملة، والتعرف على صيغة الجذور والمميز، وإنشاء اتصالات بين الجذور والمعاملات، وبالطبع سنقدم حلاً مرئيًا لأمثلة عملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

المعادلة التربيعية أنواعها

التعريف 1

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة مكتوبة ك أ س 2 + ب س + ج = 0، أين س- المتغير، أ، ب و ج- بعض الأرقام، في حين أليس صفراً.

في كثير من الأحيان، تسمى المعادلات التربيعية أيضًا معادلات من الدرجة الثانية، نظرًا لأن المعادلة التربيعية في جوهرها كذلك معادلة جبريةالدرجة الثانية.

دعونا نعطي مثالا لتوضيح التعريف المحدد: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 × 2 + 3، 1 × + 0، 11 = 0، إلخ. هذه معادلات تربيعية.

التعريف 2

الأرقام أ، ب و جهي معاملات المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، بينما معامل أويسمى المعامل الأول، أو الأكبر، أو عند x 2، ب - المعامل الثاني، أو المعامل عند س، أ جيسمى عضوا حرا.

على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية 6 × 2 − 2 × − 11 = 0المعامل الرئيسي هو 6، والمعامل الثاني هو − 2 ، والمدة الحرة تساوي − 11 . دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عندما تكون المعاملات بو/أو c سالبة، ثم يتم استخدام نموذج قصير من النموذج 6 × 2 − 2 × − 11 = 0، لكن لا 6 × 2 + (− 2) × + (− 11) = 0.

دعونا نوضح هذا الجانب أيضًا: إذا كانت المعاملات أو/أو بمتساوي 1 أو − 1 ، فلا يجوز لهم القيام بدور صريح في كتابة المعادلة التربيعية، وهو ما يفسره خصوصيات كتابة المعاملات العددية المشار إليها. على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية ص 2 − ص + 7 = 0المعامل الرئيسي هو 1، والمعامل الثاني هو − 1 .

المعادلات التربيعية المخفضة وغير المخفضة

بناءً على قيمة المعامل الأول، يتم تقسيم المعادلات التربيعية إلى مخفضة وغير مخفضة.

التعريف 3

معادلة تربيعية مخفضةهي معادلة تربيعية حيث المعامل الرئيسي هو 1. بالنسبة للقيم الأخرى للمعامل الرئيسي، تكون المعادلة التربيعية غير مخفضة.

لنعطي أمثلة: المعادلات التربيعية x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 مخفضة، في كل منها المعامل الرئيسي هو 1.

9 × 2 − س − 2 = 0- معادلة تربيعية غير مخفضة، حيث يختلف المعامل الأول عنها 1 .

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية غير مختزلة إلى معادلة مختزلة عن طريق قسمة الطرفين على المعامل الأول (التحويل المكافئ). المعادلة المحولة سيكون لها نفس جذور المعادلة المعطاة معادلة غير مخفضةأو ليس لها جذور على الإطلاق.

اعتبار مثال ملموسسيسمح لنا أن نوضح بوضوح الانتقال من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مخفضة.

مثال 1

بالنظر إلى المعادلة 6 × 2 + 18 × − 7 = 0 . من الضروري تحويل المعادلة الأصلية إلى الصورة المصغرة.

حل

وفقًا للمخطط أعلاه، نقسم طرفي المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 6. ثم نحصل على: (6 × 2 + 18 × − 7) : 3 = 0: 3، وهذا هو نفسه: (6 × 2) : 3 + (18 ×) : 3 − 7: 3 = 0ومزيد من: (6: 6) × 2 + (18: 6) × − 7: 6 = 0.من هنا: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 . وبذلك يتم الحصول على معادلة تعادل المعادلة المعطاة.

إجابة: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 .

المعادلات التربيعية الكاملة وغير الكاملة

دعنا ننتقل إلى تعريف المعادلة التربيعية. وقد حددنا فيه ذلك أ ≠ 0. شرط مماثل ضروري للمعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0كان على وجه التحديد مربع، منذ في أ = 0يتحول بشكل أساسي إلى معادلة خط مستقيم ب س + ج = 0.

في حالة وجود معاملات بو جتساوي الصفر (وهو أمر ممكن فرديًا ومجتمعًا)، تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة.

التعريف 4

معادلة تربيعية غير مكتملة- مثل هذه المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0،حيث واحد على الأقل من المعاملات بو ج(أو كليهما) يساوي صفرًا.

معادلة تربيعية كاملة– معادلة تربيعية جميع المعاملات العددية فيها لا تساوي الصفر.

دعونا نناقش سبب تسمية أنواع المعادلات التربيعية بهذه الأسماء بالضبط.

عندما يكون b = 0، تأخذ المعادلة التربيعية الشكل أ س 2 + 0 س + ج = 0، وهو نفس أ س 2 + ج = 0. في ج = 0يتم كتابة المعادلة التربيعية كما أ س 2 + ب س + 0 = 0، وهو ما يعادل أ س 2 + ب س = 0. في ب = 0و ج = 0سوف تأخذ المعادلة الشكل أ × 2 = 0. تختلف المعادلات التي حصلنا عليها عن المعادلة التربيعية الكاملة في أن طرفيها الأيسر لا يحتوي على حد بالمتغير x، أو حد حر، أو كليهما. في الواقع، هذه الحقيقة أعطت الاسم لهذا النوع من المعادلات – غير كاملة.

على سبيل المثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 معادلات تربيعية كاملة؛ س 2 = 0, − 5 × 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

التعريف الوارد أعلاه يجعل من الممكن التمييز بين الأنواع التالية من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ × 2 = 0، هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات ب = 0و ج = 0 ;
• أ · س 2 + ج = 0 عند ب = 0 ;
• أ · س 2 + ب · س = 0 عند ج = 0.

دعونا نفكر بالتسلسل في حل كل نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة.

حل المعادلة أ × 2 =0

وكما ذكر أعلاه، فإن هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات بو ج، يساوي الصفر. المعادلة أ × 2 = 0يمكن تحويلها إلى معادلة مكافئة × 2 = 0، والذي نحصل عليه بقسمة طرفي المعادلة الأصلية على الرقم أ، لا يساوي الصفر. الحقيقة الواضحة هي أن جذر المعادلة × 2 = 0هذا صفر لأن 0 2 = 0 . وليس لهذه المعادلة جذور أخرى، وهو ما يمكن تفسيره بخصائص الدرجة: لأي عدد ص،لا يساوي صفرًا، فالمتراجحة صحيحة ص 2 > 0، والذي يتبع ذلك عندما ص ≠ 0المساواة ص 2 = 0لن يتحقق أبدا.

التعريف 5

وبالتالي، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المكتملة a x 2 = 0 هناك جذر فريد س = 0.

مثال 2

على سبيل المثال، دعونا نحل معادلة تربيعية غير كاملة - 3 × 2 = 0. وهو ما يعادل المعادلة × 2 = 0، جذره الوحيد هو س = 0فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد - صفر.

باختصار الحل مكتوب كالتالي:

− 3 × 2 = 0، × 2 = 0، × = 0.

حل المعادلة أ س 2 + ج = 0

التالي في السطر هو حل المعادلات التربيعية غير الكاملة، حيث b = 0, c ≠ 0، أي معادلات من الشكل أ س 2 + ج = 0. لنحول هذه المعادلة عن طريق نقل حد من طرف المعادلة إلى الطرف الآخر، وتغيير الإشارة إلى الطرف المقابل وتقسيم طرفي المعادلة على رقم لا يساوي صفر:

• تحويل جإلى الجانب الأيمن، الذي يعطي المعادلة أ س 2 = - ج;
• قسّم طرفي المعادلة على أ، ننتهي بـ x = - c a .

تحويلاتنا متكافئة، وبالتالي فإن المعادلة الناتجة تعادل أيضًا المعادلة الأصلية، وهذه الحقيقة تجعل من الممكن استخلاص استنتاجات حول جذور المعادلة. من ما هي القيم أو جقيمة التعبير - c a تعتمد على: يمكن أن تحتوي على علامة ناقص (على سبيل المثال، if أ = 1و ج = 2، ثم - ج أ = - 2 1 = - 2) أو علامة الجمع (على سبيل المثال، إذا أ = − 2و ج = 6, إذًا - ج أ = - 6 - 2 = 3); أنها ليست صفر ل ج ≠ 0. دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول المواقف التي - ج أ< 0 и - c a > 0 .

في حالة - ج أ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа صالمساواة p 2 = - c a لا يمكن أن تكون صحيحة.

كل شيء يختلف عندما - c a > 0: تذكر الجذر التربيعي، وسيصبح من الواضح أن جذر المعادلة x 2 = - c a سيكون الرقم - c a، لأن - c a 2 = - c a. ليس من الصعب أن نفهم أن الرقم - - c a هو أيضًا جذر المعادلة x 2 = - c a: بالفعل، - - c a 2 = - c a.

المعادلة لن يكون لها جذور أخرى. يمكننا إثبات ذلك باستخدام طريقة التناقض. في البداية، دعونا نحدد الرموز للجذور الموجودة أعلاه كما يلي: × 1و - × 1. لنفترض أن المعادلة x 2 = - c a لها أيضًا جذر × 2، وهو يختلف عن الجذور × 1و - × 1. ونعلم ذلك بالتعويض في المعادلة سجذورها، نحول المعادلة إلى مساواة عددية عادلة.

ل × 1و - × 1نكتب: x 1 2 = - c a و for × 2- س 2 2 = - ج أ . بناءً على خصائص التساويات العددية، نطرح حدًا واحدًا صحيحًا للمساواة من حد آخر، مما سيعطينا: س 1 2 − س 2 2 = 0. نستخدم خصائص العمليات مع الأرقام لإعادة كتابة المساواة الأخيرة كـ (س 1 − س 2) · (س 1 + س 2) = 0. من المعروف أن حاصل ضرب رقمين يكون صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد الرقمين على الأقل صفرًا. ويترتب على ما سبق ذلك س 1 - س 2 = 0و/أو س 1 + س 2 = 0وهو نفس الشيء × 2 = × 1و/أو س 2 = − س 1. ونشأ تناقض واضح، لأنه تم الاتفاق في البداية على أن جذر المعادلة × 2يختلف عن × 1و - × 1. لذلك أثبتنا أن المعادلة ليس لها جذور غير x = - c a و x = - - c a.

دعونا نلخص جميع الحجج المذكورة أعلاه.

التعريف 6

معادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ج = 0يعادل المعادلة x 2 = - c a، والتي:

• لن يكون لها جذور في - ج أ< 0 ;
• سيكون له جذرين x = - c a و x = - - c a لـ - c a > 0.

دعونا نعطي أمثلة على حل المعادلات أ س 2 + ج = 0.

مثال 3

نظرا لمعادلة تربيعية 9 × 2 + 7 = 0.ومن الضروري إيجاد حل.

حل

لننقل الحد الحر إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فتأخذ المعادلة الشكل 9 × 2 = − 7.
دعونا نقسم طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، وصلنا إلى x 2 = - 7 9 . على الجانب الأيمن نرى رقمًا بعلامة الطرح، مما يعني: المعادلة المعطاة ليس لها جذور. ثم المعادلة التربيعية الأصلية غير الكاملة 9 × 2 + 7 = 0لن يكون لها جذور.

إجابة:المعادلة 9 × 2 + 7 = 0ليس له جذور.

مثال 4

المعادلة تحتاج إلى حل - س 2 + 36 = 0.

حل

لننتقل 36 إلى الجانب الأيمن: - س 2 = − 36.
دعونا نقسم كلا الجزأين على − 1 ، نحن نحصل × 2 = 36. يوجد على الجانب الأيمن عدد موجب، ومنه يمكننا استنتاج ذلك س = 36 أو س = - 36 .
لنستخرج الجذر ونكتب النتيجة النهائية: معادلة تربيعية غير مكتملة - س 2 + 36 = 0له جذوران س=6أو س = − 6.

إجابة: س=6أو س = − 6.

حل المعادلة أ × 2 + ب × = 0

دعونا نحلل النوع الثالث من المعادلات التربيعية غير الكاملة، متى ج = 0. لإيجاد حل لمعادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0، سوف نستخدم طريقة التحليل. دعونا نحلل كثيرة الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة، مع إخراج العامل المشترك من الأقواس س. ستتيح هذه الخطوة تحويل المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى ما يعادلها س (أ س + ب) = 0. وهذه المعادلة بدورها تعادل مجموعة من المعادلات س = 0و أ س + ب = 0. المعادلة أ س + ب = 0الخطية وجذرها: س = - ب أ.

التعريف 7

وبالتالي فإن المعادلة التربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0سيكون له جذوران س = 0و س = - ب أ.

دعونا نعزز المادة بمثال.

مثال 5

من الضروري إيجاد حل للمعادلة 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

حل

سوف نخرجها سخارج الأقواس نحصل على المعادلة x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . هذه المعادلة تعادل المعادلات س = 0و 2 3 س - 2 2 7 = 0. الآن عليك حل المعادلة الخطية الناتجة: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

اكتب باختصار حل المعادلة كما يلي:

2 3 × 2 - 2 2 7 س = 0 × 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو س = 3 3 7

إجابة:س = 0، س = 3 3 7.

صيغة التمييز لجذور المعادلة التربيعية

لإيجاد حلول للمعادلات التربيعية، توجد صيغة الجذر:

التعريف 8

س = - ب ± د 2 · أ، أين د = ب 2 − 4 أ ج- ما يسمى بمميز المعادلة التربيعية.

كتابة x = - b ± D 2 · a تعني بشكل أساسي أن x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

سيكون من المفيد أن نفهم كيف تم استخلاص هذه الصيغة وكيفية تطبيقها.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا نواجه مهمة حل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0. دعونا ننفذ عددًا من التحولات المكافئة:

• قسّم طرفي المعادلة على رقم أوبخلاف الصفر نحصل على المعادلة التربيعية التالية: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• لنختار المربع الكامل الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة:
  س 2 + ب أ · س + ج أ = س 2 + 2 · ب 2 · أ · س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ = = س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ
  بعد ذلك، ستأخذ المعادلة الشكل: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• أصبح من الممكن الآن نقل الحدين الأخيرين إلى الجانب الأيمن، مع تغيير الإشارة إلى العكس، وبعد ذلك نحصل على: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• وأخيرا نحول التعبير المكتوب على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة:
  ب 2 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 .

وهكذا نصل إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ، أي ما يعادل المعادلة الأصلية أ س 2 + ب س + ج = 0.

وقد قمنا بدراسة حل مثل هذه المعادلات في الفقرات السابقة (حل المعادلات التربيعية غير الكاملة). الخبرة المكتسبة بالفعل تجعل من الممكن استخلاص نتيجة فيما يتعلق بجذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• مع ب 2 - 4 أ ج 4 أ 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• عندما ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = 0 تكون المعادلة x + ب 2 · أ 2 = 0، ثم x + ب 2 · أ = 0.

من هنا الجذر الوحيد x = - b 2 · a واضح؛

• بالنسبة لـ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0، يكون ما يلي صحيحًا: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 أو x = b 2 · a - b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 وهو نفس x + - ب 2 · أ = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 أو x = - ب 2 · أ - ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 ، أي. المعادلة لها جذرين.

من الممكن أن نستنتج أن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (وبالتالي المعادلة الأصلية) يعتمد على إشارة التعبير b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 مكتوب على الجانب الأيمن. وعلامة هذا التعبير تكون بإشارة البسط (المقام). 4 أ 2ستكون دائما موجبة) أي علامة الإعراب ب 2 − 4 أ ج. هذا التعبير ب 2 − 4 أ جتم إعطاء الاسم - يتم تعريف تمييز المعادلة التربيعية والحرف D كتسمية لها. هنا يمكنك كتابة جوهر المميز - بناءً على قيمته وإشارته، يمكنهم استنتاج ما إذا كانت المعادلة التربيعية سيكون لها جذور حقيقية، وإذا كان الأمر كذلك، ما هو عدد الجذور - واحد أو اثنين.

لنعد إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . دعونا نعيد كتابتها باستخدام التمييز: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

دعونا صياغة استنتاجاتنا مرة أخرى:

التعريف 9

• في د< 0 المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
• في د = 0المعادلة لها جذر واحد x = - b 2 · a ;
• في د> 0للمعادلة جذرين: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 أو x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بناءً على خصائص الجذور، يمكن كتابة هذه الجذور بالشكل: x = - b 2 · a + D 2 · a أو - b 2 · a - D 2 · a. وعندما نقوم بتوسيع الوحدات وتقليل الكسور إلى القاسم المشترك، نحصل على: x = - b + D 2 · a، x = - b - D 2 · a.

لذا، كانت نتيجة تفكيرنا هي اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية:

س = - ب + د 2 أ، س = - ب - د 2 أ، المميز دتحسب بواسطة الصيغة د = ب 2 − 4 أ ج.

تتيح هذه الصيغ تحديد الجذرين الحقيقيين عندما يكون المميز أكبر من الصفر. عندما يكون المميز صفرًا، فإن تطبيق كلتا الصيغتين سيعطي نفس الجذر كحل وحيد للمعادلة التربيعية. في الحالة التي يكون فيها المميز سالبًا، إذا حاولنا استخدام صيغة جذر المعادلة التربيعية، فسنواجه الحاجة إلى استخلاصها الجذر التربيعيمن رقم سالب، وهو ما سيأخذنا إلى ما هو أبعد من الأعداد الحقيقية. في التمييز السلبيلن يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية، ولكن من الممكن وجود زوج من الجذور المترافقة المعقدة، والتي يتم تحديدها بنفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

من الممكن حل معادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر فورًا، لكن يتم ذلك عادةً عندما يكون من الضروري إيجاد جذور معقدة.

في معظم الحالات، لا يعني ذلك عادةً البحث عن الجذور المعقدة، بل عن الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. فمن الأمثل، قبل استخدام الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية، تحديد المميز أولاً والتأكد من أنه ليس سالبًا (وإلا فسنستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية)، ثم نبدأ في حساب قيمة الجذور.

المنطق أعلاه يجعل من الممكن صياغة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية.

التعريف 10

لحل معادلة تربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، ضروري:

• وفقا للصيغة د = ب 2 − 4 أ جأوجد القيمة المميزة؛
• في د< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• بالنسبة إلى D = 0، أوجد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - b 2 · a ;
• بالنسبة إلى D > 0، حدد جذرين حقيقيين للمعادلة التربيعية باستخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a.

لاحظ أنه عندما يكون المميز صفرًا، يمكنك استخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a، فستعطي نفس نتيجة الصيغة x = - b 2 · a.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

دعونا نعطي حلول لأمثلة لقيم مختلفة للمتميز.

مثال 6

علينا إيجاد جذور المعادلة س 2 + 2 س − 6 = 0.

حل

لنكتب المعاملات العددية للمعادلة التربيعية: أ = 1، ب = 2 و ج = − 6. بعد ذلك، نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية، أي. لنبدأ بحساب المميز، وسنستبدل به المعاملات a، b و جفي صيغة التمييز: د = ب 2 − 4 · أ · ج = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

وبذلك نحصل على D > 0، مما يعني أن المعادلة الأصلية سيكون لها جذرين حقيقيين.
للعثور عليها، نستخدم صيغة الجذر x = - b ± D 2 · a، وبالتعويض عن القيم المقابلة، نحصل على: x = - 2 ± 28 2 · 1. دعونا نبسط التعبير الناتج عن طريق إخراج العامل من علامة الجذر ثم تقليل الكسر:

س = - 2 ± 2 7 2

س = - 2 + 2 7 2 أو س = - 2 - 2 7 2

س = - 1 + 7 أو س = - 1 - 7

إجابة:س = - 1 + 7 ​​​​​​، س = - 1 - 7 .

مثال 7

بحاجة إلى حل معادلة من الدرجة الثانية − 4 × 2 + 28 × − 49 = 0.

حل

دعونا نحدد التمييز: د = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. مع قيمة المميز هذه، سيكون للمعادلة الأصلية جذر واحد فقط، يتم تحديده بواسطة الصيغة x = - b 2 · a.

س = - 28 2 (- 4) س = 3.5

إجابة: س = 3.5.

مثال 8

المعادلة تحتاج إلى حل 5 ص 2 + 6 ص + 2 = 0

حل

المعاملات العددية لهذه المعادلة ستكون: أ = 5، ب = 6، ج = 2. نستخدم هذه القيم لإيجاد المميز: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . المميز المحسوب سالب، لذا فإن المعادلة التربيعية الأصلية ليس لها جذور حقيقية.

في الحالة التي تكون فيها المهمة هي الإشارة إلى جذور معقدة، فإننا نطبق صيغة الجذر، ونقوم بإجراءات ذات أرقام مركبة:

س = - 6 ± - 4 2 5,

س = - 6 + 2 ط 10 أو س = - 6 - 2 ط 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i أو x = - 3 5 - 1 5 · i.

إجابة:لا توجد جذور حقيقية. الجذور المركبة هي كما يلي: - 5 3 + 5 1 · i, - 5 3 - 5 1 · i.

في المنهج المدرسيلا يوجد أي شرط قياسي للبحث عن جذور معقدة، وبالتالي، إذا تم تحديد المميز أثناء الحل على أنه سلبي، فسيتم تدوين الإجابة على الفور بأنه لا توجد جذور حقيقية.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

الصيغة الجذرية x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) تجعل من الممكن الحصول على صيغة أخرى، أكثر إحكاما، مما يسمح للمرء بإيجاد حلول للمعادلات التربيعية بمعامل زوجي لـ x ( أو بمعامل بالشكل 2 · n، على سبيل المثال، 2 3 أو 14 ln 5 = 2 7 ln 5). دعونا نبين كيف يتم اشتقاق هذه الصيغة.

دعونا نواجه مهمة إيجاد حل للمعادلة التربيعية a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية: نحدد المميز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c)، ثم نستخدم صيغة الجذر:

س = - 2 ن ± د 2 أ، س = - 2 ن ± 4 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - 2 ن ± 2 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - ن ± ن 2 - أ · ج أ .

دع التعبير n 2 − a · c يُشار إليه بالرمز D 1 (أحيانًا يُشار إليه بـ D "). ثم ستأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية قيد النظر مع المعامل الثاني 2 · n الشكل:

س = - ن ± د 1 أ، حيث د 1 = ن 2 − أ · ج.

من السهل أن نرى أن D = 4 · D 1، أو D 1 = D 4. بمعنى آخر، D 1 هو ربع المميز. من الواضح أن إشارة D 1 هي نفس إشارة D، مما يعني أن إشارة D 1 يمكن أن تكون أيضًا بمثابة مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

التعريف 11

وبالتالي، لإيجاد حل لمعادلة من الدرجة الثانية بمعامل ثانٍ قدره 2 ن، من الضروري:

• أوجد د 1 = ن 2 − أ · ج ;
• عند د 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• عندما يكون D 1 = 0، حدد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - n a;
• بالنسبة لـ D 1 > 0، حدد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة x = - n ± D 1 a.

مثال 9

من الضروري حل المعادلة التربيعية 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

حل

يمكننا تمثيل المعامل الثاني للمعادلة المعطاة بـ 2 · (− 3) . ثم نعيد كتابة المعادلة التربيعية المعطاة على الصورة 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0، حيث a = 5، n = − 3 و c = − 32.

لنحسب الجزء الرابع من المميز: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. القيمة الناتجة موجبة، مما يعني أن المعادلة لها جذرين حقيقيين. دعونا نحددها باستخدام صيغة الجذر المقابلة:

س = - ن ± د 1 أ، س = - - 3 ± 169 5، س = 3 ± 13 5،

س = 3 + 13 5 أو س = 3 - 13 5

س = 3 1 5 أو س = - 2

سيكون من الممكن إجراء العمليات الحسابية باستخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية، ولكن في هذه الحالة سيكون الحل أكثر تعقيدًا.

إجابة: x = 3 1 5 أو x = - 2 .

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان يكون من الممكن تحسين شكل المعادلة الأصلية، مما يبسط عملية حساب الجذور.

على سبيل المثال، من الواضح أن المعادلة التربيعية 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 أكثر ملاءمة لحلها من 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

في كثير من الأحيان، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية عن طريق ضرب أو قسمة طرفيها على عدد معين. على سبيل المثال، أظهرنا أعلاه تمثيلًا مبسطًا للمعادلة 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0، والتي تم الحصول عليها عن طريق قسمة كلا الطرفين على 100.

مثل هذا التحويل ممكن عندما لا تكون معاملات المعادلة التربيعية متبادلة الأعداد الأولية. ثم نقوم عادة بقسمة طرفي المعادلة على القاسم المشترك الأكبر للقيم المطلقة لمعاملاتها.

على سبيل المثال، نستخدم المعادلة التربيعية 12 × 2 − 42 × + 48 = 0. دعونا نحدد GCD للقيم المطلقة لمعاملاته: GCD (12، 42، 48) = GCD(GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. دعونا نقسم طرفي المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ونحصل على المعادلة التربيعية المكافئة 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

من خلال ضرب طرفي المعادلة التربيعية، عادةً ما تتخلص من المعاملات الكسرية. في هذه الحالة، يتم ضربهم بالمضاعف المشترك الأصغر لمقامات معاملاته. على سبيل المثال، إذا تم ضرب كل جزء من المعادلة التربيعية 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 في المضاعف المشترك الأصغر (6، 3، 1) = 6، فإنها ستصبح مكتوبة بشكل أكثر في شكل بسيطس 2 + 4 س − 18 = 0 .

أخيرًا، نلاحظ أننا نتخلص دائمًا تقريبًا من الطرح عند المعامل الأول للمعادلة التربيعية عن طريق تغيير علامات كل حد من حدود المعادلة، وهو ما يتم تحقيقه عن طريق ضرب (أو قسمة) كلا الطرفين على − 1. على سبيل المثال، من المعادلة التربيعية − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، يمكنك الانتقال إلى نسختها المبسطة 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات

صيغة جذور المعادلات التربيعية، المعروفة لنا بالفعل، x = - b ± D 2 · a، تعبر عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها العددية. بناءً على هذه الصيغة، لدينا الفرصة لتحديد التبعيات الأخرى بين الجذور والمعاملات.

الصيغ الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق هي نظرية فييتا:

س 1 + س 2 = - ب أ و س 2 = ج أ.

على وجه الخصوص، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، يكون مجموع الجذور هو المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. على سبيل المثال، بالنظر إلى شكل المعادلة التربيعية 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، من الممكن أن نحدد على الفور أن مجموع جذورها هو 7 3 وحاصل ضرب الجذور هو 22 3.

يمكنك أيضًا العثور على عدد من الروابط الأخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية بدلالة المعاملات:

س 1 2 + س 2 2 = (س 1 + س 2) 2 - 2 س 1 × 2 = - ب أ 2 - 2 ج أ = ب 2 أ 2 - 2 ج أ = ب 2 - 2 أ ج أ 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

في مجتمع حديثيمكن أن تكون القدرة على إجراء العمليات باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية في المجالات العلمية والعلمية. التطورات التقنية. يمكن العثور على دليل على ذلك في تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. وباستخدام مثل هذه الحسابات، يتم تحديد مسارات الحركة الأكثر أجسام مختلفةبما في ذلك الأجسام الفضائية. تُستخدم الأمثلة على حل المعادلات التربيعية ليس فقط في التنبؤ الاقتصادي، وفي تصميم وتشييد المباني، ولكن أيضًا في الظروف اليومية الأكثر شيوعًا. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات المشي لمسافات طويلةوفي الأحداث الرياضية وفي المتاجر أثناء التسوق وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.

دعونا نقسم التعبير إلى العوامل المكونة له

يتم تحديد درجة المعادلة من خلال القيمة القصوى لدرجة المتغير الذي يحتوي عليه التعبير. إذا كانت تساوي 2، فإن هذه المعادلة تسمى تربيعية.

إذا تحدثنا بلغة الصيغ، فيمكن دائمًا إحضار التعبيرات المشار إليها، بغض النظر عن شكلها، إلى النموذج عندما الجهه اليسرىيتكون التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير مربع بمعامله)، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مكون حر، أي رقم عادي). كل هذا على الجانب الأيمن يساوي 0. في الحالة التي تفتقر فيها كثيرة الحدود إلى أحد العناصر المكونة لها، باستثناء المحور 2، فإنها تسمى معادلة تربيعية غير مكتملة. يجب أولاً النظر في أمثلة حل مثل هذه المشكلات، وقيم المتغيرات التي يسهل العثور عليها.

إذا كان التعبير يبدو وكأنه يحتوي على حدين على الجانب الأيمن، وبشكل أكثر دقة ax 2 وbx، فإن أسهل طريقة للعثور على x هي وضع المتغير خارج الأقواس. الآن ستبدو معادلتنا كما يلي: x(ax+b). بعد ذلك، يصبح من الواضح أن x=0، أو أن المشكلة تكمن في العثور على متغير من التعبير التالي: ax+b=0. وهذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج عنه صفر فقط إذا كان أحدهما صفرًا.

مثال

س=0 أو 8س - 3 = 0

ونتيجة لذلك، نحصل على جذرين للمعادلة: 0 و0.375.

ويمكن للمعادلات من هذا النوع أن تصف حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة تؤخذ على أنها أصل الإحداثيات. هنا يأخذ التدوين الرياضي الشكل التالي: y = v 0 t + gt 2 /2. ومن خلال استبدال القيم الضرورية، ومساواة الجانب الأيمن بالصفر وإيجاد المجهولات المحتملة، يمكنك معرفة الوقت الذي يمر من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكننا سنتحدث عن هذا لاحقًا.

تحليل التعبير

القاعدة الموضحة أعلاه تجعل من الممكن حل هذه المشكلات بشكل أكبر الحالات الصعبة. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.

× 2 - 33س + 200 = 0

هذا الثلاثي التربيعي مكتمل. أولاً، دعونا نحول التعبير ونقوم بتحليله. هناك اثنان منهم: (س-8) و (س-25) = 0. ونتيجة لذلك، لدينا جذرين 8 و 25.

تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف التاسع لهذه الطريقة بالعثور على متغير في التعبيرات ليس فقط من الدرجة الثانية، ولكن حتى من الرتبتين الثالثة والرابعة.

على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير، هناك ثلاثة منها، وهي (x+1) و(x-3) و(x+ 3).

ونتيجة لذلك، يصبح من الواضح أن هذه المعادلة لها ثلاثة جذور: -3؛ -1؛ 3.

الجذر التربيعي

قضية أخرى معادلة غير مكتملةالترتيب الثاني هو تعبير ممثل في لغة الحروف على هذا النحو الجزء الأيمنيتكون من مكونات الفأس 2 و ج. وهنا للحصول على قيمة المتغير يتم نقل الحد الحر إليه الجانب الأيمنوبعد ذلك يؤخذ الجذر التربيعي من طرفي المساواة. تجدر الإشارة إلى أنه في في هذه الحالةعادة ما يكون هناك جذرين للمعادلة. يمكن أن تكون الاستثناءات الوحيدة هي المعادلات التي لا تحتوي على حد على الإطلاق، حيث يكون المتغير يساوي صفرًا، بالإضافة إلى متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرةلا توجد حلول على الإطلاق، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه مع الجذور. ينبغي النظر في أمثلة حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.

في هذه الحالة، جذور المعادلة ستكون الرقمين -4 و4.

حساب مساحة الأرض

ظهرت الحاجة إلى هذا النوع من الحسابات في العصور القديمة، لأن تطور الرياضيات في تلك الأوقات البعيدة كان يتحدد إلى حد كبير من خلال الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.

يجب علينا أيضًا أن نفكر في أمثلة لحل المعادلات التربيعية بناءً على مسائل من هذا النوع.

لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة الشكل يزيد طولها عن عرضها بـ 16 مترًا. يجب أن تجد طول الموقع وعرضه ومحيطه إذا علمت أن مساحته 612 م2.

للبدء، دعونا أولاً ننشئ المعادلة الضرورية. لنرمز بـ x إلى عرض المساحة، فيكون طولها (x+16). يتبين من ما كتب أن المساحة يتم تحديدها بواسطة التعبير x(x+16)، والذي، وفقًا لشروط مسألتنا، هو 612. وهذا يعني أن x(x+16) = 612.

حل المعادلات التربيعية الكاملة، وهذا التعبير هو بالضبط، لا يمكن أن يتم بنفس الطريقة. لماذا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر لا يزال يحتوي على عاملين، إلا أن حاصل ضربهما لا يساوي 0 على الإطلاق، لذلك يتم استخدام طرق مختلفة هنا.

مميز

أولا وقبل كل شيء، دعونا نجري التحولات اللازمة، ثم مظهرسيبدو هذا التعبير كما يلي: x 2 + 16x - 612 = 0. وهذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في شكل يتوافق مع المعيار المحدد مسبقًا، حيث a=1، b=16، c=-612.

قد يكون هذا مثالاً على حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز. هنا يتم إجراء الحسابات اللازمة وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. هذه الكمية المساعدة لا تتيح فقط إيجاد الكميات المطلوبة في معادلة من الدرجة الثانية، بل تحدد الكمية أيضًا الخيارات الممكنة. إذا كان D > 0، فهناك اثنان منهم؛ بالنسبة لـ D=0 يوجد جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

عن الجذور وصيغتها

في حالتنا، المميز يساوي: 256 - 4(-612) = 2704. وهذا يشير إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعرف k، فيجب الاستمرار في حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. انها تسمح لك لحساب الجذور.

وهذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلا، لأن أبعاد قطعة الأرض لا يمكن قياسها بكميات سالبة، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 م، ومن هنا نحسب الطول: 18 +16=34، والمحيط 2(34+18)=104(م2).

الأمثلة والمهام

نواصل دراستنا للمعادلات التربيعية. سيتم تقديم الأمثلة والحلول التفصيلية للعديد منها أدناه.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

دعونا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المساواة، ونقوم بإجراء تحويل، أي أننا سنحصل على نوع المعادلة التي تسمى عادةً بالمعيارية، ونساويها بالصفر.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

بإضافة تلك المتشابهة، نحدد المميز: D = 49 - 48 = 1. هذا يعني أن المعادلة سيكون لها جذرين. لنحسبهما وفق الصيغة المذكورة أعلاه، مما يعني أن الأول منهما يساوي 4/3، والثاني يساوي 1.

2) الآن دعونا نحل ألغازًا من نوع مختلف.

لنكتشف ما إذا كان هناك أي جذور هنا x 2 - 4x + 5 = 1؟ للحصول على إجابة شاملة، دعونا نختصر كثيرة الحدود إلى الصورة المعتادة المقابلة ونحسب المميز. في المثال أعلاه، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية، لأن هذا ليس جوهر المشكلة على الإطلاق. في هذه الحالة، D = 16 - 20 = -4، مما يعني عدم وجود جذور حقًا.

نظرية فييتا

من السهل حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه والمميز، عندما يتم أخذ الجذر التربيعي من قيمة الأخير. ولكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك، هناك طرق عديدة للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميتها على اسم من عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وحقق مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. ويمكن رؤية صورته في المقال.

وكان النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير على النحو التالي. لقد أثبت أن جذور المعادلة تضيف عددًا إلى -p=b/a، وحاصل ضربها يتوافق مع q=c/a.

الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.

3س2 + 21س - 54 = 0

للتبسيط، دعونا نحول التعبير:

× 2 + 7س - 18 = 0

دعونا نستخدم نظرية فييتا، وهذا سيعطينا ما يلي: مجموع الجذور هو -7، وحاصل ضربها هو -18. من هنا نستنتج أن جذور المعادلة هي الأرقام -9 و 2. وبعد التحقق، سنتأكد من أن هذه القيم المتغيرة تتناسب بالفعل مع التعبير.

الرسم البياني والمعادلة القطع المكافئ

ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية والمعادلات التربيعية ارتباطًا وثيقًا. وقد سبق تقديم أمثلة على ذلك في وقت سابق. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. تسمى هذه العلاقة، المرسومة على شكل رسم بياني، بالقطع المكافئ. يتم عرض أنواعها المختلفة في الشكل أدناه.

أي قطع مكافئ له قمة، أي النقطة التي تخرج منها فروعه. إذا كانت a>0، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية، وعندما تكون a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تساعد التمثيلات المرئية للدوال في حل أي معادلات، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى رسومية. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي السيني عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس باستخدام الصيغة المعطاة للتو x 0 = -b/2a. ومن خلال استبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة، يمكنك معرفة y 0، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ، الذي ينتمي إلى المحور الإحداثي.

تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني

هناك الكثير من الأمثلة على حل المعادلات التربيعية، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا ننظر إليهم. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع المحور 0x لـ a>0 ممكن فقط إذا كان y 0 يأخذ القيم السلبية. و ل<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. وإلا د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

من الرسم البياني للقطع المكافئ يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. أي أنه إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي للدالة التربيعية، فيمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالصفر وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x يسهل إنشاء رسم بياني.

من التاريخ

باستخدام المعادلات التي تحتوي على متغير تربيعي، لم يقتصر الأمر في الأيام الخوالي على إجراء حسابات رياضية وتحديد مساحات الأشكال الهندسية. لقد احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات الكبرى في مجالات الفيزياء وعلم الفلك، وكذلك لوضع التنبؤات الفلكية.

وكما يشير العلماء المعاصرون، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل أربعة قرون من عصرنا. وبطبيعة الحال، كانت حساباتهم مختلفة جذريا عن تلك المقبولة حاليا وتبين أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجود الأعداد السالبة. كما أنهم لم يكونوا على دراية بالتفاصيل الدقيقة الأخرى التي يعرفها أي تلميذ حديث.

وربما حتى قبل علماء بابل، بدأ الحكيم الهندي بودهاياما في حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل حوالي ثمانية قرون من ظهور المسيح. صحيح أن المعادلات من الدرجة الثانية، وطرق الحل التي قدمها، كانت الأبسط. وإلى جانبه، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بمسائل مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر، ولكن في وقت لاحق تم استخدامها في أعمالهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت وغيرهم الكثير.

ومن المعروف أنها نسخة معينة من المساواة ax 2 + bx + c = o، حيث a وb وc معاملات حقيقية للمجهول x، وحيث a ≠ o وb وc ستكون أصفارًا - في وقت واحد أو بشكل منفصل. على سبيل المثال، ج = س، ب ≠ س أو العكس. لقد تذكرنا تقريبًا تعريف المعادلة التربيعية.

ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية هو صفر. يمكن لمعاملها الأول a ≠ o وb وc أن يأخذ أي قيم. ستكون قيمة المتغير x عندما يحوله الاستبدال إلى مساواة عددية صحيحة. دعونا نركز على الجذور الحقيقية، على الرغم من أن المعادلات يمكن أن تكون حلولًا أيضًا، ومن المعتاد تسمية معادلة كاملة لا يساوي فيها أي من المعاملات o، a ≠ o، b ≠ o، c ≠ o.
دعونا نحل مثالا. 2x2 -9x-5 = أوه، نجد
د = 81+40 = 121،
D موجبة، مما يعني أن هناك جذور، x 1 = (9+√121):4 = 5، والثاني x 2 = (9-√121):4 = -o.5. سيساعد التحقق في التأكد من صحتها.

فيما يلي حل خطوة بخطوة للمعادلة التربيعية

باستخدام المميز، يمكنك حل أي معادلة على الجانب الأيسر منها يوجد ثلاثية حدود تربيعية معروفة لـ ≠ o. في مثالنا. 2x 2 -9x-5 = 0 (الفأس 2 +in+s = o)

دعونا نفكر في المعادلات غير الكاملة من الدرجة الثانية

1. الفأس 2 + في = س. الحد الحر، المعامل c عند x 0، يساوي الصفر هنا، في ≠ o.
   كيفية حل معادلة تربيعية غير كاملة من هذا النوع؟ لنخرج x من الأقواس. دعونا نتذكر عندما يكون حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا.
   x(ax+b) = o، يمكن أن يكون هذا عندما x = o أو عندما ax+b = o.
   بعد حل المسألة الثانية لدينا x = -в/а.
   ونتيجة لذلك، لدينا جذور x 1 = 0، وفقًا للحسابات x 2 = -b/a.
2. الآن معامل x يساوي o، وc لا يساوي (≠) o.
   س 2 +ج = س. دعنا ننقل c إلى الجانب الأيمن من المساواة، فنحصل على x 2 = -с. هذه المعادلة لها جذور حقيقية فقط عندما يكون -c رقمًا موجبًا (c ‹ o)،
   إذن x 1 يساوي √(-c)، على التوالي، x 2 يساوي -√(-c). وإلا فإن المعادلة ليس لها جذور على الإطلاق.
3. الخيار الأخير: b = c = o، أي الفأس 2 = o. وبطبيعة الحال، مثل هذه المعادلة البسيطة لها جذر واحد، x = o.

حالات خاصة

لقد تعرفنا على كيفية حل معادلة تربيعية غير كاملة، والآن لنتناول أيًا منها.

• في المعادلة التربيعية الكاملة، المعامل الثاني لـ x هو رقم زوجي.
  دع ك = o.5b. لدينا صيغ لحساب المميز والجذور.
  D/4 = k 2 - ac، يتم حساب الجذور بالشكل x 1,2 = (-k±√(D/4))/a لـ D › o.
  x = -k/a عند D = o.
  لا توجد جذور لـ D ‹ o.
• توجد معادلات تربيعية، عندما يكون معامل x تربيع يساوي 1، عادة ما تكون مكتوبة x 2 + rh + q = o. تنطبق عليهم جميع الصيغ المذكورة أعلاه، ولكن الحسابات أبسط إلى حد ما.
  مثال: x 2 -4x-9 = 0. احسب D: 2 2 +9، D = 13.
  × 1 = 2+√13، × 2 = 2-√13.
• بالإضافة إلى ذلك، من السهل تطبيقها على تلك المذكورة، فهي تقول أن مجموع جذور المعادلة يساوي -p، والمعامل الثاني بعلامة ناقص (أي العلامة المعاكسة)، وحاصل ضرب هذه الجذور نفسها سيكون يكون مساوياً لـ q، الحد الحر. انظر كم سيكون من السهل تحديد جذور هذه المعادلة لفظيًا. بالنسبة للمعاملات غير المخفضة (لجميع المعاملات التي لا تساوي الصفر)، تنطبق هذه النظرية على النحو التالي: مجموع x 1 + x 2 يساوي -b/a، والمنتج x 1 · x 2 يساوي c/a.

مجموع الحد الحر c والمعامل الأول a يساوي المعامل b. في هذه الحالة، يكون للمعادلة جذر واحد على الأقل (يسهل إثباته)، الأول يساوي بالضرورة -1، والثاني -c/a، إذا كان موجودًا. يمكنك التحقق من كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة بنفسك. سهل مثل الفطيرة. قد تكون المعاملات في علاقات معينة مع بعضها البعض

• س 2 + س = س، 7س 2 -7 = س.
• مجموع جميع المعاملات يساوي o.
  جذور هذه المعادلة هي 1 و c/a. على سبيل المثال، 2x 2 -15x+13 = س.
  × 1 = 1، × 2 = 13/2.

هناك عدد من الطرق الأخرى لحل معادلات الدرجة الثانية المختلفة. هنا، على سبيل المثال، طريقة لاستخراج مربع كامل من كثيرة حدود معينة. هناك عدة طرق رسومية. عندما تتعامل غالبًا مع مثل هذه الأمثلة، ستتعلم "النقر عليها" مثل البذور، لأن جميع الطرق تتبادر إلى ذهنك تلقائيًا.

آمل أنه بعد دراسة هذه المقالة سوف تتعلم كيفية العثور على جذور معادلة تربيعية كاملة.

باستخدام التمييز يتم حل المعادلات التربيعية الكاملة فقط، ولحل المعادلات التربيعية غير الكاملة يتم استخدام طرق أخرى، ستجدها في مقال “حل المعادلات التربيعية غير الكاملة”.

ما المعادلات التربيعية تسمى كاملة؟ هذا معادلات من الشكل الفأس 2 + ب س + ج = 0حيث المعاملات a وb وc لا تساوي الصفر. إذن، لحل معادلة تربيعية كاملة، علينا حساب المميز D.

د = ب 2 – 4أ.

اعتمادًا على قيمة المميز، سنكتب الإجابة.

إذا كان المميز رقمًا سالبًا (D< 0),то корней нет.

إذا كان المميز صفرًا، فإن x = (-b)/2a. عندما يكون المميز رقمًا موجبًا (D > 0)،

ثم x 1 = (-b - √D)/2a، وx 2 = (-b + √D)/2a.

على سبيل المثال. حل المعادلة × 2– 4س + 4= 0.

د = 4 2 - 4 4 = 0

س = (- (-4))/2 = 2

الجواب: 2.

حل المعادلة 2 × 2 + س + 3 = 0.

د = 1 2 - 4 2 3 = - 23

الجواب: لا جذور.

حل المعادلة 2 × 2 + 5س – 7 = 0.

د = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

× 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

× 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

الجواب: – 3.5؛ 1.

لذلك دعونا نتخيل حل المعادلات التربيعية الكاملة باستخدام الرسم البياني في الشكل 1.

باستخدام هذه الصيغ يمكنك حل أي معادلة تربيعية كاملة. عليك فقط أن تكون حذرا ل تمت كتابة المعادلة على أنها كثيرة الحدود بالشكل القياسي

أ × 2 + بكس + ج،وإلا فقد ترتكب خطأ. على سبيل المثال، عند كتابة المعادلة x + 3 + 2x 2 = 0، يمكنك أن تقرر بالخطأ أن

أ = 1، ب = 3، ج = 2. ثم

د = 3 2 – 4 1 2 = 1 ثم للمعادلة جذرين. وهذا ليس صحيحا. (انظر حل المثال 2 أعلاه).

لذلك، إذا لم تتم كتابة المعادلة على هيئة كثيرة حدود بالشكل القياسي، فيجب أولاً كتابة المعادلة التربيعية الكاملة على هيئة كثيرة حدود بالشكل القياسي (يجب أن تأتي أحادية الحد ذات الأس الأكبر أولاً، أي أ × 2 ، ثم مع أقل – bxومن ثم عضو حر مع.

عند حل المعادلة التربيعية المختزلة والمعادلة التربيعية ذات المعامل الزوجي في الحد الثاني، يمكنك استخدام صيغ أخرى. دعونا نتعرف على هذه الصيغ. إذا كان الحد الثاني في معادلة تربيعية كاملة له معامل زوجي (b = 2k)، فيمكنك حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 2.

تسمى المعادلة التربيعية الكاملة مخفضة إذا كان المعامل عند × 2 يساوي واحدًا والمعادلة تأخذ الشكل س 2 + بيكسل + ف = 0. يمكن إعطاء مثل هذه المعادلة للحل، أو يمكن الحصول عليها بقسمة جميع معاملات المعادلة على المعامل أ، واقفاً عند × 2 .

يوضح الشكل 3 رسمًا تخطيطيًا لحل المربع المصغر
المعادلات. دعونا نلقي نظرة على مثال لتطبيق الصيغ التي تمت مناقشتها في هذه المقالة.

مثال. حل المعادلة

3× 2 + 6س – 6 = 0.

دعونا نحل هذه المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1.

د = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√د = √108 = √(36 3) = 6√3

× 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

× 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3

يمكنك ملاحظة أن معامل x في هذه المعادلة هو رقم زوجي، أي b = 6 أو b = 2k، حيث k = 3. ثم دعونا نحاول حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم التخطيطي للشكل D 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(د 1) = √27 = √(3 9) = 3√3

× 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

س 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3. مع ملاحظة أن جميع المعاملات في هذه المعادلة التربيعية قابلة للقسمة على 3 وبإجراء عملية القسمة نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + 2x – 2 = 0 حل هذه المعادلة باستخدام صيغ المعادلة التربيعية المختزلة
المعادلات الشكل 3.

د 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(د ٢) = √١٢ = √(٣ ٤) = 2√3

س 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

× 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3.

كما نرى، عند حل هذه المعادلة بواسطة صيغ مختلفةلقد تلقينا نفس الجواب. لذلك، بعد أن أتقنت تمامًا الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1، ستتمكن دائمًا من حل أي معادلة تربيعية كاملة.

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.