كيفية العثور على رقم بقوة سلبية. الدرجة وخصائصها

نعلم جميعًا من المدرسة قاعدة الأس: أي رقم له الأس N يساوي نتيجة ضرب هذا الرقم في نفسه عدد N من المرات. بمعنى آخر، 7 أس 3 هو 7 مضروبًا في نفسه ثلاث مرات، أي 343. قاعدة أخرى هي أن رفع أي كمية إلى الأس 0 يعطي واحدًا، ورفع الكمية السالبة هو نتيجة الرفع العادي إلى القوة إذا كانت زوجية، ونفس النتيجة مع إشارة الطرح إذا كانت فردية.

تعطي القواعد أيضًا إجابة لكيفية رفع الرقم إلى درجة سلبية. للقيام بذلك تحتاج إلى بناء بالطريقة المعتادةالقيمة المطلوبة لكل وحدة من وحدات المؤشر، ثم قم بتقسيم الوحدة على النتيجة.

ومن هذه القواعد يتضح أن أداء المهام الحقيقية التي تنطوي على كميات كبيرة سوف يتطلب وجود الوسائل التقنية. يمكنك يدويًا أن تضرب بنفسك نطاقًا أقصى من الأرقام يصل إلى عشرين إلى ثلاثين، ثم لا يزيد عن ثلاث أو أربع مرات. ناهيك عن تقسيم واحد على النتيجة. لذلك، بالنسبة لأولئك الذين ليس لديهم آلة حاسبة هندسية خاصة في متناول اليد، سنخبرك بكيفية رفع الرقم إلى قوة سلبية في Excel.

حل المشاكل في برنامج الاكسل

لحل المسائل التي تتضمن الأس، يتيح لك برنامج Excel استخدام أحد الخيارين.

الأول هو استخدام صيغة ذات علامة "غطاء" قياسية. أدخل البيانات التالية في خلايا ورقة العمل:

بنفس الطريقة، يمكنك رفع القيمة المطلوبة إلى أي قوة - سلبية، كسور. دعنا نقوم به الإجراءات التاليةوالإجابة على سؤال كيفية رفع الرقم إلى القوة السالبة. مثال:

يمكنك تصحيح =B2^-C2 مباشرة في الصيغة.

الخيار الثاني هو استخدام وظيفة "الدرجة" الجاهزة، والتي تأخذ وسيطتين مطلوبتين - الرقم والأس. للبدء في استخدامها، ما عليك سوى وضع علامة التساوي (=) في أي خلية خالية، للإشارة إلى بداية الصيغة، وإدخال الكلمات أعلاه. كل ما تبقى هو تحديد خليتين ستشاركان في العملية (أو تحديد أرقام محددة يدويًا) والضغط على مفتاح Enter. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة البسيطة.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد حول كيفية رفع عدد إلى قوة سالبة وإلى قوة عادية باستخدام برنامج Excel. بعد كل شيء، لحل هذه المشكلة، يمكنك استخدام كل من رمز "الغطاء" المألوف والوظيفة المدمجة في البرنامج، والتي يسهل تذكرها. هذه ميزة إضافية!

دعنا ننتقل إلى المزيد أمثلة معقدة. دعونا نتذكر القاعدة الخاصة بكيفية رفع الرقم إلى قوة كسرية سالبة، وسنرى أن هذه المشكلة يمكن حلها بسهولة شديدة في برنامج Excel.

المؤشرات الكسرية

باختصار، خوارزمية حساب الرقم ذو الأس الكسري هي كما يلي.

1. تحويل الكسر إلى كسر صحيح أو غير صحيح.
2. ارفع رقمنا إلى بسط الكسر المحول الناتج.
3. من الرقم الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة، احسب الجذر، بشرط أن يكون أس الجذر هو مقام الكسر الذي تم الحصول عليه في المرحلة الأولى.

توافق على أنه حتى عند العمل بأعداد صغيرة و الكسور الصحيحةمثل هذه الحسابات يمكن أن تستغرق الكثير من الوقت. من الجيد أن معالج جداول بيانات Excel لا يهتم بالرقم الذي يتم رفعه إلى أي قوة. حاول حل المثال التالي في ورقة عمل Excel:

باستخدام القواعد المذكورة أعلاه، يمكنك التحقق والتأكد من أن الحساب قد تم بشكل صحيح.

وفي نهاية مقالتنا سنقدم على شكل جدول يحتوي على الصيغ والنتائج عدة أمثلة لكيفية رفع العدد إلى قوة سالبة، بالإضافة إلى عدة أمثلة للعمل بالأعداد الكسرية والقوى.

جدول المثال

تحقق من الأمثلة التالية في ورقة عمل Excel الخاصة بك. لكي يعمل كل شيء بشكل صحيح، تحتاج إلى استخدام مرجع مختلط عند نسخ الصيغة. ثبت رقم العمود الذي يحتوي على الرقم الذي يتم رفعه ورقم الصف الذي يحتوي على المؤشر. يجب أن تبدو الصيغة الخاصة بك على النحو التالي: "=$B4^C$3."

يرجى ملاحظة أنه يمكن حساب الأعداد الموجبة (حتى غير الأعداد الصحيحة) دون مشاكل لأي أس. لا توجد مشاكل في رفع أي أرقام إلى أعداد صحيحة. لكن رفع رقم سالب إلى قوة كسرية سيكون خطأ بالنسبة لك، لأنه من المستحيل اتباع القاعدة المشار إليها في بداية مقالتنا حول رفع الأرقام السالبة، لأن التكافؤ هو سمة حصرية لعدد صحيح.

في هذه المقالة سوف نكتشف ما هو درجة. سنقدم هنا تعريفات لقوة العدد، بينما سننظر بالتفصيل في جميع الأسس الممكنة، بدءًا من الأس الطبيعي وانتهاءً بالأس غير العقلاني. ستجد في المادة الكثير من الأمثلة على الدرجات التي تغطي جميع التفاصيل الدقيقة التي تنشأ.

التنقل في الصفحة.

القوة مع الأس الطبيعي، مربع العدد، مكعب العدد

دعنا نبدء ب . بالنظر إلى المستقبل، لنفترض أن تعريف قوة العدد a مع الأس الطبيعي n يُعطى لـ a، وهو ما سنسميه أساس الدرجةو n الذي سنسميه الأس. نلاحظ أيضًا أن الدرجة ذات الأس الطبيعي يتم تحديدها من خلال المنتج، لذا لفهم المادة أدناه، يجب أن يكون لديك فهم لضرب الأعداد.

تعريف.

قوة الرقم مع الأس الطبيعي نهو تعبير بالصيغة a n، التي تساوي قيمتها حاصل ضرب عوامل n، كل منها يساوي a، أي .
على وجه الخصوص، قوة الرقم a مع الأس 1 هي الرقم a نفسه، أي 1 =a.

تجدر الإشارة على الفور إلى قواعد قراءة الدرجات. الطريقة العالمية لقراءة الرمز a n هي: "a إلى قوة n". في بعض الحالات، تكون الخيارات التالية مقبولة أيضًا: "a أس n" و"a أس n". على سبيل المثال، لنأخذ القوة 8 12، وهذا هو "ثمانية أس اثني عشر"، أو "ثمانية أس الثاني عشر"، أو "القوة الثانية عشرة لثمانية".

القوة الثانية للرقم، وكذلك القوة الثالثة للرقم، لها أسماء خاصة بها. يتم استدعاء القوة الثانية للرقم تربيع الرقمعلى سبيل المثال، تتم قراءة 7 2 على أنها "سبعة تربيع" أو "مربع الرقم سبعة." يتم استدعاء القوة الثالثة للرقم أرقام مكعبةعلى سبيل المثال، يمكن قراءة 5 3 كـ "خمسة مكعبات" أو يمكنك قول "مكعب العدد 5".

حان الوقت لجلب أمثلة على الدرجات ذات الأسس الطبيعية. لنبدأ بالدرجة 5 7، هنا 5 هو أساس الدرجة، و7 هو الأس. لنعطي مثالا آخر: 4.32 هو الأساس، والعدد الطبيعي 9 هو الأس (4.32) 9 .

يرجى ملاحظة أنه في المثال الأخير، تم كتابة أساس القوة 4.32 بين قوسين: لتجنب التناقضات، سنضع بين قوسين جميع أسس القوة التي تختلف عن الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، نعطي الدرجات التالية مع الأسس الطبيعية ، أسسها ليست أعدادًا طبيعية، لذا فهي مكتوبة بين قوسين. حسنًا، من أجل الوضوح التام، في هذه المرحلة سنعرض الفرق الموجود في السجلات بالصيغة (−2) 3 و−2 3. التعبير (−2) 3 هو قوة −2 مع الأس الطبيعي 3، والتعبير −2 3 (يمكن كتابته كـ −(2 3)) ) يتوافق مع الرقم، وقيمة الأس 2 3 .

لاحظ أن هناك تدوينًا لقوة الرقم a مع الأس n بالصيغة a^n. علاوة على ذلك، إذا كان n عددًا طبيعيًا متعدد القيم، فسيتم أخذ الأس بين قوسين. على سبيل المثال، 4^9 هو رمز آخر لأس 4 9 . وإليك بعض الأمثلة الإضافية لكتابة الدرجات باستخدام الرمز "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . في ما يلي، سوف نستخدم بشكل أساسي تدوين الدرجة بالصيغة a n .

إحدى المشاكل العكسية للرفع إلى قوة ذات أس طبيعي هي مشكلة إيجاد أساس القوة عن طريق قيمة معروفةدرجة ومؤشر معروف. تؤدي هذه المهمة إلى .

ومن المعروف أن الكثير أرقام نسبيةيتكون من أرقام صحيحة وكسرية، ويمكن تمثيل كل رقم كسري على أنه موجب أو سالب جزء مشترك. لقد قمنا بتعريف الدرجة ذات الأس الصحيح في الفقرة السابقة، لذلك، من أجل استكمال تعريف الدرجة ذات الأس الكسرى، نحتاج إلى إعطاء معنى لدرجة الرقم a مع الأس الكسرى m/n، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. دعنا نقوم به.

دعونا نفكر في درجة ذات أس كسري للنموذج. لكي تظل خاصية القدرة على القوة صالحة، يجب أن تكون المساواة قائمة . إذا أخذنا في الاعتبار المساواة الناتجة وكيفية تحديدها، فمن المنطقي قبولها بشرط أن يكون التعبير منطقيًا بالنسبة لـ m وn وa.

من السهل التحقق من صحة جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح (تم ذلك في قسم خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح).

المنطق أعلاه يسمح لنا بعمل ما يلي خاتمة: إذا أعطيت m و n وكان التعبير منطقيًا، فإن قوة a ذات الأس الكسري m/n تسمى الجذر النوني لـ a أس m.

تقربنا هذه العبارة من تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. كل ما تبقى هو وصف ما هو معنى m و n و a. اعتمادًا على القيود المفروضة على m وn وa، هناك طريقتان رئيسيتان.

أسهل طريقة هي فرض قيد على a من خلال أخذ a≥0 للموجب m وa>0 للسالب m (نظرًا لأنه بالنسبة إلى m<0 لم يتم تحديد الدرجة 0 من m). ثم نحصل على التعريف التالي للدرجة ذات الأس الكسرية.

تعريف.

قوة الرقم الموجب a مع الأس الكسرى m/n، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي، يسمى الجذر n للرقم a للأس m، أي .

يتم أيضًا تحديد القوة الكسرية للصفر مع التحذير الوحيد الذي يجب أن يكون المؤشر موجبًا.

تعريف.

قوة الصفر مع الأس الإيجابي الكسرى م/ن، حيث m عدد صحيح موجب و n عدد طبيعي، يتم تعريفه على أنه .
عندما لا يتم تحديد الدرجة، أي أن درجة الرقم صفر مع الأس السالب الكسري لا معنى لها.

تجدر الإشارة إلى أنه مع هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري، هناك تحذير واحد: بالنسبة لبعض السلبيات a وبعض m وn، يكون التعبير منطقيًا، وقد تجاهلنا هذه الحالات عن طريق إدخال الشرط a≥0. على سبيل المثال، الإدخالات منطقية أو ، والتعريف الوارد أعلاه يجبرنا على القول بأن القوى ذات أس كسري للنموذج لا معنى له، لأن القاعدة لا ينبغي أن تكون سلبية.

هناك طريقة أخرى لتحديد درجة ذات أس كسري m/n وهي النظر بشكل منفصل في الأسس الزوجية والفردية للجذر. يتطلب هذا النهج حالة إضافية: قوة الرقم أ، التي تعتبر أسها، هي قوة الرقم أ، التي يكون أسها هو الكسر المقابل غير القابل للاختزال (سنشرح أهمية هذا الشرط أدناه). بمعنى، إذا كان m/n كسرًا غير قابل للاختزال، فإنه لأي عدد طبيعي k يتم استبدال الدرجة أولاً بـ .

بالنسبة إلى n والموجب m، يكون التعبير منطقيًا لأي غير سالب a (الجذر الزوجي لعدد سالب ليس له معنى)؛ بالنسبة إلى m السالب، يجب أن يظل الرقم a مختلفًا عن الصفر (وإلا سيكون هناك قسمة بمقدار صفر). وبالنسبة للفرد n والموجب m، يمكن أن يكون الرقم a أي (يتم تعريف جذر الدرجة الفردية لأي رقم حقيقي)، وبالنسبة للسالب m، يجب أن يكون الرقم a مختلفًا عن الصفر (حتى لا يكون هناك قسمة على صفر).

يقودنا المنطق أعلاه إلى هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسرى.

تعريف.

اجعل m/n كسرًا غير قابل للاختزال، وm عددًا صحيحًا، وn عددًا طبيعيًا. بالنسبة لأي جزء قابل للاختزال، يتم استبدال الدرجة بـ . قوة الرقم مع الأس الكسري غير القابل للاختزال م / ن هي ل



دعونا نشرح لماذا يتم أولاً استبدال الدرجة ذات الأس الكسري القابل للاختزال بدرجة ذات أس غير قابل للاختزال. إذا قمنا ببساطة بتعريف الدرجة على أنها ، ولم نبدي تحفظًا بشأن عدم قابلية الاختزال للكسر m/n، فسوف نواجه مواقف مشابهة لما يلي: بما أن 6/10 = 3/5، فيجب أن تكون المساواة ثابتة ، لكن ، أ .

يعد رفع القوة إلى القوة السالبة أحد العناصر الأساسية في الرياضيات، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في حل المسائل الجبرية. وفيما يلي تعليمات مفصلة.

كيفية الارتقاء إلى القوة السلبية - نظرية

عندما نرفع رقمًا إلى قوة عادية، فإننا نضرب قيمته عدة مرات. على سبيل المثال، 3 3 = 3×3×3 = 27. مع الكسر السالب يكون العكس هو الصحيح. الشكل العاموفقًا للصيغة سيبدو كما يلي: a -n = 1/a n. وبالتالي، لرفع رقم إلى قوة سالبة، تحتاج إلى قسمة الرقم على الرقم المحدد، ولكن إلى قوة موجبة.

كيفية رفع القوة إلى القوة السالبة - أمثلة على الأعداد العادية

مع مراعاة القاعدة المذكورة أعلاه، دعونا نحل بعض الأمثلة.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
الجواب: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
الإجابة -4 -2 = 1/16.

ولكن لماذا الإجابات في المثالين الأول والثاني هي نفسها؟ والحقيقة هي أنه عندما يتم رفع رقم سالب إلى قوة زوجية (2، 4، 6، وما إلى ذلك)، تصبح الإشارة موجبة. ولو كانت الدرجة زوجية، لبقي الناقص:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

كيفية رفع إلى قوة سلبية - الأرقام من 0 إلى 1

تذكر أنه عند رفع رقم بين 0 و1 إلى قوة موجبة، تنخفض القيمة مع زيادة القوة. على سبيل المثال، 0.5 2 = 0.25. 0.25

مثال 3: احسب 0.5 -2
الحل: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
الجواب: 0.5 -2 = 4

التحليل (تسلسل الإجراءات):

• نحن نترجم عدد عشري 0.5 إلى كسور 1/2. الأمر أسهل بهذه الطريقة.
  ارفع 1/2 إلى قوة سالبة. 1/(2) -2 . نقسم 1 على 1/(2) 2، نحصل على 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

مثال 4: احسب 0.5 -3
الحل: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

مثال 5: احسب -0.5 -3
الحل: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
الإجابة: -0.5 -3 = -8

بناءً على المثالين الرابع والخامس، يمكننا استخلاص عدة استنتاجات:

• بالنسبة لعدد موجب في النطاق من 0 إلى 1 (مثال 4)، مرفوع إلى قوة سالبة، سواء كانت القوة زوجية أو فردية ليست مهمة، فإن قيمة التعبير ستكون موجبة. علاوة على ذلك، كلما زادت الدرجة، زادت القيمة.
• بالنسبة للرقم السالب في النطاق من 0 إلى 1 (مثال 5)، مرفوعًا إلى قوة سالبة، سواء كانت القوة زوجية أو فردية ليست مهمة، فإن قيمة التعبير ستكون سالبة. في هذه الحالة، كلما ارتفعت الدرجة، انخفضت القيمة.

كيفية الرفع إلى قوة سالبة - قوة على شكل رقم كسري

التعبيرات من هذا النوع لها الشكل التالي: a -m/n، حيث a هو رقم منتظم، m هو بسط الدرجة، n هو مقام الدرجة.

لنلقي نظرة على مثال:
احسب: 8 -1/3

الحل (تسلسل الإجراءات):

• دعونا نتذكر قاعدة رفع الرقم إلى قوة سالبة. نحصل على: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• لاحظ أن المقام يحمل الرقم 8 في قوة كسرية. الشكل العام لحساب القدرة الكسرية هو كما يلي: a m/n = n √8 m.
• وبالتالي، 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). نحصل على الجذر التكعيبي لثمانية، وهو ما يساوي 2. ومن هنا، 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• الجواب: 8 -1/3 = 2

نعلم جميعًا من المدرسة قاعدة الأس: أي رقم له الأس N يساوي نتيجة ضرب هذا الرقم في نفسه عدد N من المرات. بمعنى آخر، 7 أس 3 هو 7 مضروبًا في نفسه ثلاث مرات، أي 343. قاعدة أخرى هي أن رفع أي كمية إلى الأس 0 يعطي واحدًا، ورفع الكمية السالبة هو نتيجة الرفع العادي إلى القوة إذا كانت زوجية، ونفس النتيجة مع إشارة الطرح إذا كانت فردية.

تعطي القواعد أيضًا إجابة لكيفية رفع الرقم إلى قوة سالبة. للقيام بذلك، تحتاج إلى رفع القيمة المطلوبة بواسطة معامل المؤشر بالطريقة المعتادة، ثم تقسيم الوحدة على النتيجة.

ومن هذه القواعد يتضح أن أداء المهام الحقيقية التي تنطوي على كميات كبيرة سيتطلب توافر الوسائل التقنية. يمكنك يدويًا أن تضرب بنفسك نطاقًا أقصى من الأرقام يصل إلى عشرين إلى ثلاثين، ثم لا يزيد عن ثلاث أو أربع مرات. ناهيك عن تقسيم واحد على النتيجة. لذلك، بالنسبة لأولئك الذين ليس لديهم آلة حاسبة هندسية خاصة في متناول اليد، سنخبرك بكيفية رفع الرقم إلى قوة سلبية في Excel.

حل المشاكل في برنامج الاكسل

لحل المسائل التي تتضمن الأس، يتيح لك برنامج Excel استخدام أحد الخيارين.

الأول هو استخدام صيغة ذات علامة "غطاء" قياسية. أدخل البيانات التالية في خلايا ورقة العمل:

بنفس الطريقة، يمكنك رفع القيمة المطلوبة إلى أي قوة - سلبية، كسور. لنقم بالخطوات التالية ونجيب على سؤال كيفية رفع الرقم إلى قوة سالبة. مثال:

يمكنك تصحيح =B2^-C2 مباشرة في الصيغة.

الخيار الثاني هو استخدام وظيفة "الدرجة" الجاهزة، والتي تأخذ وسيطتين مطلوبتين - الرقم والأس. للبدء في استخدامها، ما عليك سوى وضع علامة التساوي (=) في أي خلية خالية، للإشارة إلى بداية الصيغة، وإدخال الكلمات أعلاه. كل ما تبقى هو تحديد خليتين ستشاركان في العملية (أو تحديد أرقام محددة يدويًا) والضغط على مفتاح Enter. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة البسيطة.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد حول كيفية رفع عدد إلى قوة سالبة وإلى قوة عادية باستخدام برنامج Excel. بعد كل شيء، لحل هذه المشكلة، يمكنك استخدام كل من رمز "الغطاء" المألوف والوظيفة المدمجة في البرنامج، والتي يسهل تذكرها. هذه ميزة إضافية!

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدا. دعونا نتذكر القاعدة الخاصة بكيفية رفع الرقم إلى قوة كسرية سالبة، وسنرى أن هذه المشكلة يمكن حلها بسهولة شديدة في برنامج Excel.

المؤشرات الكسرية

باختصار، خوارزمية حساب الرقم ذو الأس الكسري هي كما يلي.

1. تحويل الكسر إلى كسر صحيح أو غير صحيح.
2. ارفع رقمنا إلى بسط الكسر المحول الناتج.
3. من الرقم الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة، احسب الجذر، بشرط أن يكون أس الجذر هو مقام الكسر الذي تم الحصول عليه في المرحلة الأولى.

توافق على أنه حتى عند التعامل مع الأعداد الصغيرة والكسور الصحيحة، فإن مثل هذه الحسابات قد تستغرق الكثير من الوقت. من الجيد أن معالج جداول بيانات Excel لا يهتم بالرقم الذي يتم رفعه إلى أي قوة. حاول حل المثال التالي في ورقة عمل Excel:

باستخدام القواعد المذكورة أعلاه، يمكنك التحقق والتأكد من أن الحساب قد تم بشكل صحيح.

وفي نهاية مقالتنا سنقدم على شكل جدول يحتوي على الصيغ والنتائج عدة أمثلة لكيفية رفع العدد إلى قوة سالبة، بالإضافة إلى عدة أمثلة للعمل بالأعداد الكسرية والقوى.

جدول المثال

تحقق من الأمثلة التالية في ورقة عمل Excel الخاصة بك. لكي يعمل كل شيء بشكل صحيح، تحتاج إلى استخدام مرجع مختلط عند نسخ الصيغة. ثبت رقم العمود الذي يحتوي على الرقم الذي يتم رفعه ورقم الصف الذي يحتوي على المؤشر. يجب أن تبدو الصيغة الخاصة بك على النحو التالي: "=$B4^C$3."

يرجى ملاحظة أنه يمكن حساب الأعداد الموجبة (حتى غير الأعداد الصحيحة) دون مشاكل لأي أس. لا توجد مشاكل في رفع أي أرقام إلى أعداد صحيحة. لكن رفع رقم سالب إلى قوة كسرية سيكون خطأ بالنسبة لك، لأنه من المستحيل اتباع القاعدة المشار إليها في بداية مقالتنا حول رفع الأرقام السالبة، لأن التكافؤ هو سمة حصرية لعدد صحيح.

عدد مرفوع للقوةيسمون رقما مضروبا في نفسه عدة مرات.

قوة الرقم ذو القيمة السالبة (أ - ن) يمكن تحديدها بطريقة مشابهة لكيفية تحديد قوة نفس الرقم مع الأس الموجب (ن) . ومع ذلك، فهو يتطلب أيضًا تعريفًا إضافيًا. يتم تعريف الصيغة على النحو التالي:

أ-ن = (1/أ ن)

خصائص القوى السالبة للأعداد تشبه القوى ذات الأس الموجب. المعادلة المقدمة أ م/أ ن= م-ن قد يكون عادلا

« لا يسمح وضوح الاستنتاج ودقته في أي مكان، كما هو الحال في الرياضيات، للشخص بالتهرب من الإجابة من خلال التحدث حول السؤال».

أ.د ألكساندروف

في ن أكثر م ، ومع م أكثر ن . لنلقي نظرة على مثال: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يعمل بمثابة تعريف للدرجة. ب=أ(-ن) . في هذا المثال -ن هو الأس ب - القيمة العددية المطلوبة، أ - قاعدة الدرجة على شكل طبيعي القيمة العددية. ثم حدد الوحدة، أي القيمة المطلقة للرقم السالب، والتي تعمل كأسس. حساب درجة رقم معين بالنسبة إلى الرقم المطلق، كمؤشر. يتم العثور على قيمة الدرجة بقسمة واحد على الرقم الناتج.

أرز. 1

ضع في اعتبارك قوة الرقم الذي له أس كسري سالب. لنتخيل أن الرقم a هو أي رقم موجب، أرقام ن و م - الأعداد الصحيحة. حسب التعريف أ ، وهو مرفوع إلى السلطة - يساوي واحدًا مقسومًا على نفس الرقم بقوة موجبة (الشكل 1). عندما تكون قوة الرقم كسرًا، ففي مثل هذه الحالات يتم استخدام الأرقام ذات الأسس الموجبة فقط.

يستحق التذكرهذا الصفر لا يمكن أن يكون أسًا لرقم (قاعدة القسمة على صفر).

أصبح انتشار مفهوم العدد بمثابة تلاعبات مثل حسابات القياس، فضلاً عن تطور الرياضيات كعلم. كان إدخال القيم السالبة بسبب تطور الجبر الذي أعطى حلول عامة مشاكل حسابية، بغض النظر عن معناها المحدد والبيانات الرقمية الأولية. في الهند مرة أخرى في القرنين السادس والحادي عشر القيم السلبيةتم استخدام الأرقام بشكل منهجي أثناء حل المشكلات وتم تفسيرها بنفس الطريقة المستخدمة اليوم. في العلوم الأوروبية، بدأ استخدام الأرقام السالبة على نطاق واسع بفضل R. Descartes، الذي قدم تفسيرا هندسيا أرقام سلبية، كما اتجاهات القطاعات. وكان ديكارت هو من اقترح تسمية العدد المرفوع للأس ليتم عرضه كصيغة من طابقين ن .

صيغ الدرجةتستخدم في عملية اختزال وتبسيط التعابير المعقدة، وفي حل المعادلات والمتباينات.

رقم جيكون ن-القوة رقم أمتى:

العمليات بالدرجات.

1. بضرب الدرجات بنفس الأساس تضاف مؤشراتها:

أكون· أ ن = أ م + ن .

2. عند قسمة الدرجات ذات الأساس نفسه يتم طرح أسسها:

3. قوة المنتج 2 أو أكثرالعوامل تساوي حاصل ضرب قوى هذه العوامل:

(اي بي سي…) ن = أ ن · ب ن · ج ن …

4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم إلى المقسوم عليه:

(أ/ب) ن = أ ن /ب ن .

5. برفع قوة إلى قوة، يتم ضرب الأسس:

(أ م) ن = أ م ن .

كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

على سبيل المثال. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

العمليات مع الجذور.

1. جذر منتج عدة عوامل يساوي منتج جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم على الجذور ومقسومها:

3. عند رفع الجذر إلى قوة ما، يكفي رفع العدد الجذري إلى هذه القوة:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر في نمرة واحدة وفي نفس الوقت بناء على نالقوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر في ناستخراج الجذر في نفس الوقت ن-القوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

درجة ذات أس سلبي.يتم تعريف قوة رقم معين مع الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنها مقسومة على قوة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس غير الموجب:

معادلة أكون:أ ن =أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط ل م> ن، ولكن أيضًا مع م< ن.

على سبيل المثال. أ4:أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.

إلى الصيغة أكون:أ ن =أ م - نأصبح عادلا عندما م = ن، يشترط وجود درجة الصفر.

درجة بمؤشر صفر.أس أي عدد لا يساوي صفرًا وأسه صفر يساوي واحدًا.

على سبيل المثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجة مع الأس الكسرية.لرفع عدد حقيقي أإلى درجة م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر نالدرجة ال م-القوة رقم هذا الرقم أ.

عدد مرفوع للقوةيسمون رقما مضروبا في نفسه عدة مرات.

قوة الرقم ذو القيمة السالبة (أ - ن) يمكن تحديدها بطريقة مشابهة لكيفية تحديد قوة نفس الرقم مع الأس الموجب (ن) . ومع ذلك، فهو يتطلب أيضًا تعريفًا إضافيًا. يتم تعريف الصيغة على النحو التالي:

أ-ن = (1/أ ن)

خصائص القوى السالبة للأعداد تشبه القوى ذات الأس الموجب. المعادلة المقدمة أ م/أ ن= م-ن قد يكون عادلا

« لا يسمح وضوح الاستنتاج ودقته في أي مكان، كما هو الحال في الرياضيات، للشخص بالتهرب من الإجابة من خلال التحدث حول السؤال».

أ.د ألكساندروف

في ن أكثر م ، ومع م أكثر ن . لنلقي نظرة على مثال: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يعمل بمثابة تعريف للدرجة. ب=أ(-ن) . في هذا المثال -ن هو الأس ب - القيمة العددية المطلوبة، أ - أساس الدرجة على شكل قيمة عددية طبيعية. ثم حدد الوحدة، أي القيمة المطلقة للرقم السالب، والتي تعمل كأسس. حساب درجة رقم معين بالنسبة إلى الرقم المطلق، كمؤشر. يتم العثور على قيمة الدرجة بقسمة واحد على الرقم الناتج.

أرز. 1

ضع في اعتبارك قوة الرقم الذي له أس كسري سالب. لنتخيل أن الرقم a هو أي رقم موجب، أرقام ن و م - الأعداد الصحيحة. حسب التعريف أ ، وهو مرفوع إلى السلطة - يساوي واحدًا مقسومًا على نفس الرقم بقوة موجبة (الشكل 1). عندما تكون قوة الرقم كسرًا، ففي مثل هذه الحالات يتم استخدام الأرقام ذات الأسس الموجبة فقط.

يستحق التذكرهذا الصفر لا يمكن أن يكون أسًا لرقم (قاعدة القسمة على صفر).

أصبح انتشار مفهوم العدد بمثابة تلاعبات مثل حسابات القياس، فضلاً عن تطور الرياضيات كعلم. يعود إدخال القيم السالبة إلى تطور علم الجبر الذي أعطى حلولاً عامة للمسائل الحسابية، بغض النظر عن معناها المحدد والبيانات العددية الأصلية. في الهند، في القرنين السادس والحادي عشر، تم استخدام الأرقام السالبة بشكل منهجي عند حل المشكلات وتم تفسيرها بنفس الطريقة التي يتم بها اليوم. في العلوم الأوروبية، بدأ استخدام الأرقام السالبة على نطاق واسع بفضل R. Descartes، الذي قدم تفسيرا هندسيا للأرقام السالبة باعتبارها اتجاهات القطاعات. وكان ديكارت هو من اقترح تسمية العدد المرفوع للأس ليتم عرضه كصيغة من طابقين ن .