دعونا نعمل مع المعادلات التربيعية. هذه معادلات شائعة جدًا! في جدا منظر عامتبدو المعادلة التربيعية كما يلي:

على سبيل المثال:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

حسنا، أنت تفهم...

كيف تقرر المعادلات التربيعية? إذا كانت أمامك معادلة تربيعية بهذه الصورة، فكل شيء بسيط. تذكر الكلمة السحرية تمييزي . نادرا ما لم يسمع طالب في المدرسة الثانوية هذه الكلمة! إن عبارة "نحل بالمتميز" توحي بالثقة والطمأنينة. لأنه ليست هناك حاجة لتوقع الحيل من المُميز! إنه سهل الاستخدام وخالي من المتاعب. لذا، فإن صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية تبدو كما يلي:

التعبير تحت إشارة الجذر هو الواحد تمييزي. كما ترون، للعثور على X، نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ، ب، جهذه هي الصيغة التي نحسبها. دعونا نستبدل مع علاماتك الخاصة! على سبيل المثال، للمعادلة الأولى أ =1; ب = 3; ج= -4. وهنا نكتبها:

تم حل المثال تقريبا:

هذا كل شئ.

ما هي الحالات الممكنة عند استخدام هذه الصيغة؟ هناك ثلاث حالات فقط.

1. المميز إيجابي. وهذا يعني أنه يمكن استخراج الجذر منه. ما إذا كان يتم استخراج الجذر بشكل جيد أم سيئ هو سؤال آخر. المهم هو ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن فإن المعادلة التربيعية لها جذرين. حلين مختلفين.

2. المميز هو صفر. ثم لديك حل واحد. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا ليس جذر واحد، ولكن اثنان متطابقان. لكن هذا يلعب دوراً في عدم المساواة، حيث سندرس الموضوع بمزيد من التفصيل.

3. المميز سلبي. من رقم سلبي الجذر التربيعيلم يتم استخراجها. حسنا، حسنا. وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

كل شيء بسيط جدا. وماذا تعتقد أنه من المستحيل ارتكاب خطأ؟ حسنًا، نعم، كيف...
الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، ب، ج. أو بالأحرى، ليس مع علاماتهم (أين يمكن الخلط؟)، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. ما يساعد هنا هو التسجيل التفصيلي للصيغة بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات، إفعل ذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6؛ ب = -5؛ ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا، لا تكن كسولًا. سوف يستغرق الأمر حوالي 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف تنخفض بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع جميع الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب جدًا الكتابة بعناية شديدة. ولكن يبدو الأمر كذلك. جربها. حسنا، أو اختر. ما هو الأفضل، سريع أم صحيح؟ علاوة على ذلك، سأجعلك سعيدًا. بعد فترة من الوقت، لن تكون هناك حاجة لكتابة كل شيء بعناية. وسوف تعمل بشكل صحيح من تلقاء نفسها. خاصة إذا كنت تستخدم التقنيات العملية الموضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات يمكن حله بسهولة وبدون أخطاء!

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال المميز الذي تذكرناه. أو تعلموا، وهو أمر جيد أيضا. أنت تعرف كيفية تحديد بشكل صحيح أ، ب، ج. هل تعرف كيف؟ بانتباهاستبدلها في صيغة الجذر و بانتباهاحسب النتيجة. هل فهمت ذلك الكلمة الرئيسيةهنا - بانتباه؟

ومع ذلك، غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا:

هذا المعادلات التربيعية غير كاملة . ويمكن أيضًا حلها من خلال التمييز. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بشكل صحيح ما يساويهم هنا. أ، ب، ج.

هل عرفت ما هو؟ في المثال الأول أ = 1؛ ب = -4؛أ ج؟ انها ليست هناك على الاطلاق! حسنا نعم، هذا صحيح. في الرياضيات هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بالصفر في الصيغة بدلاً من ذلك ج،وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني لكن ليس لدينا صفر هنا مع، أ ب !

ولكن يمكن حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بطريقة أكثر بساطة. دون أي تمييز. لنفكر في المعادلة الأولى غير الكاملة. ماذا يمكنك أن تفعل على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعونا نخرجه.

وماذا من هذا؟ والحقيقة أن الناتج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا! لا تصدقني؟ حسنًا، إذن توصل إلى رقمين غير الصفر، وعند ضربهما يعطيان صفرًا!
لا يعمل؟ هذا كل شيء...
لذلك يمكننا أن نكتب بثقة: س = 0، أو س = 4

الجميع. ستكون هذه جذور المعادلة. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية الصحيحة 0 = 0. كما ترون، الحل أبسط بكثير من استخدام المميز.

ويمكن أيضًا حل المعادلة الثانية ببساطة. انتقل 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

كل ما تبقى هو استخراج الجذر من 9، وهذا كل شيء. سوف يتحول:

وأيضا جذوران . س = +3 و س = -3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير الكاملة. إما عن طريق وضع X خارج الأقواس، أو ببساطة عن طريق تحريك الرقم إلى اليمين ثم استخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه التقنيات. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيتعين عليك استخراج جذر X، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء يمكن إخراجه من الأقواس...

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. نفس تلك التي تكون بسبب الغفلة... والتي تصبح فيما بعد مؤلمة ومهينة...

الموعد الأول. لا تتكاسل قبل حل المعادلة التربيعية وإعادتها إلى الصورة القياسية. ماذا يعني هذا؟
لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

ومرة أخرى، لا تتعجل! إن وضع علامة ناقص أمام علامة X يمكن أن يزعجك حقًا. من السهل أن تنسى... تخلص من الطرح. كيف؟ نعم كما علمنا في الموضوع السابق! نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال. تقرر لنفسك. يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1.

الاستقبال ثانياتحقق من الجذور! وفقا لنظرية فييتا. لا تخف، سأشرح لك كل شيء! تدقيق آخر شيءالمعادلة. أولئك. الذي استخدمناه لكتابة صيغة الجذر. إذا (كما في هذا المثال) المعامل أ = 1التحقق من الجذور أمر سهل. يكفي مضاعفة عددهم. يجب أن تكون النتيجة عضوا حرا، أي. في حالتنا -2. يرجى ملاحظة، ليس 2، ولكن -2! عضو مجاني مع علامة الخاص بك . إذا لم ينجح الأمر، فهذا يعني أنهم أخطأوا بالفعل في مكان ما. ابحث عن الخطأ. إذا كان يعمل، تحتاج إلى إضافة الجذور. الفحص الأخير والأخير. يجب أن يكون المعامل بمع عكس مألوف. في حالتنا -1+2 = +1. معامل بالتي تقع قبل X، تساوي -1. لذلك، كل شيء صحيح!
من المؤسف أن هذا الأمر بسيط جدًا فقط بالنسبة للأمثلة التي يكون فيها x مربعًا نقيًا، مع معامل أ = 1.لكن على الأقل تحقق من مثل هذه المعادلات! سيكون هناك عدد أقل وأقل من الأخطاء.

الاستقبال ثالثا. إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية، فتخلص من الكسور! اضرب المعادلة بقاسم مشترك كما هو موضح في القسم السابق. عند التعامل مع الكسور، تستمر الأخطاء في الزحف لسبب ما...

بالمناسبة، لقد وعدت بتبسيط المثال الشرير بمجموعة من السلبيات. لو سمحت! هنا هو.

لكي لا نخلط بين السلبيات، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:

هذا كل شئ! الحل هو متعة!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

نصيحة عملية:

1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور عن طريق ضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل.

4. إذا كانت x مربعة نقية، فإن معاملها يساوي واحديمكن التحقق من الحل بسهولة باستخدام نظرية فييتا. افعلها!

المعادلات الكسرية. ODZ.

نواصل السيطرة على المعادلات. نحن نعرف بالفعل كيفية التعامل مع المعادلات الخطية والتربيعية. بقي العرض الأخير – المعادلات الكسرية. أو يُطلق عليهم أيضًا اسم أكثر احترامًا - المعادلات العقلانية الكسرية. نفس الشيء.

المعادلات الكسرية.

كما يوحي الاسم، تحتوي هذه المعادلات بالضرورة على كسور. ولكن ليس فقط الكسور، ولكن الكسور التي لديها غير معروف في المقام. على الأقل في واحدة. على سبيل المثال:

اسمحوا لي أن أذكركم أنه إذا كانت القواسم فقط أعدادهذه معادلات خطية.

كيف تقرر المعادلات الكسرية؟ بادئ ذي بدء، تخلص من الكسور! بعد ذلك، غالبًا ما تتحول المعادلة إلى خطية أو تربيعية. ومن ثم نعرف ماذا نفعل... في بعض الحالات يمكن أن تتحول إلى هوية، مثل 5=5 أو تعبير غير صحيح، مثل 7=2. ولكن هذا نادرا ما يحدث. سأذكر هذا أدناه.

لكن كيف نتخلص من الكسور!؟ بسيط جدا. تطبيق نفس التحولات متطابقة.

علينا ضرب المعادلة بأكملها بنفس التعبير. بحيث يتم تقليل جميع القواسم! كل شيء سوف يصبح أسهل على الفور. اسمحوا لي أن أشرح مع مثال. دعونا بحاجة إلى حل المعادلة:

كما يدرس في فصول المبتدئين؟ ننقل كل شيء إلى جانب واحد ونحضره إليه القاسم المشتركإلخ. ننسى كيف حلم فظيع! هذا ما يجب عليك فعله عند إضافة أو طرح الكسور. أو أنك تعمل مع عدم المساواة. وفي المعادلات، نضرب كلا الطرفين على الفور بتعبير يمنحنا الفرصة لتقليل جميع المقامات (أي، في جوهرها، بواسطة قاسم مشترك). وما هو هذا التعبير؟

على الجانب الأيسر، تقليل المقام يتطلب الضرب في س+2. وعلى اليمين، مطلوب الضرب في 2. وهذا يعني أنه يجب ضرب المعادلة في 2(س+2). تتضاعف:

هذا ضرب شائع للكسور، ولكنني سأصفه بالتفصيل:

يرجى ملاحظة أنني لم أفتح القوس بعد (س + 2)! لذلك أكتبها في مجملها:

على الجانب الأيسر يتقلص بالكامل (س+2)وعلى اليمين 2. وهو المطلوب! بعد التخفيض نحصل على خطيالمعادلة:

ويمكن للجميع حل هذه المعادلة! س = 2.

دعونا نحل مثالا آخر، أكثر تعقيدا قليلا:

إذا تذكرنا أن 3 = 3/1، و 2س = 2س/ 1 يمكننا أن نكتب:

ومرة أخرى نتخلص مما لا نحبه حقًا - الكسور.

نلاحظ أنه لتبسيط المقام بـ X، علينا ضرب الكسر في (س – 2). والقليل ليس عائقًا أمامنا. حسنا، دعونا نتضاعف. الجميع الجهه اليسرىو الجميعالجانب الأيمن:

بين قوسين مرة أخرى (س – 2)أنا لا تكشف. أنا أعمل مع القوس ككل كما لو كان رقمًا واحدًا! يجب أن يتم ذلك دائمًا، وإلا فلن يتم تقليل أي شيء.

مع الشعور بالرضا العميق نقوم بالتقليل (س – 2)ونحصل على معادلة خالية من أي كسور، بمسطرة!

والآن لنفتح الأقواس:

نحضر أشياء مماثلة وننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونحصل على:

المعادلة التربيعية الكلاسيكية. لكن الطرح القادم ليس جيدًا. يمكنك دائمًا التخلص منه عن طريق الضرب أو القسمة على -1. لكن إذا نظرت عن كثب إلى المثال، ستلاحظ أنه من الأفضل قسمة هذه المعادلة على -2! في ضربة واحدة، سيختفي الطرح، وستصبح الاحتمالات أكثر جاذبية! القسمة على -2. على الجانب الأيسر - حدًا بحد، وعلى اليمين - ببساطة قم بتقسيم الصفر على -2، صفر ونحصل على:

نحل من خلال المميز ونتحقق باستخدام نظرية فييتا. نحن نحصل س = 1 و س = 3. جذوران.

كما ترون، في الحالة الأولى أصبحت المعادلة بعد التحويل خطية، لكنها هنا أصبحت تربيعية. يحدث أنه بعد التخلص من الكسور، يتم تقليل جميع علامات X. يبقى شيء مثل 5=5. هذا يعني انه x يمكن أن يكون أي شيء. مهما كان الأمر، فسيظل منخفضًا. وتبين أنها الحقيقة الخالصة، 5=5. لكن بعد التخلص من الكسور، قد يتبين أنها غير صحيحة تمامًا، مثل 2=7. وهذا يعني ذلك لا توجد حلول! تبين أن أي X غير صحيح.

أدرك طريق رئيسيحلول المعادلات الكسرية؟ انها بسيطة ومنطقية. نغير التعبير الأصلي بحيث يختفي كل ما لا نحبه. أو أنه يتدخل. في في هذه الحالةهذه كسور. سنفعل الشيء نفسه مع جميع أنواع أمثلة معقدةمع اللوغاريتمات والجيوب والأهوال الأخرى. نحن دائماًدعونا نتخلص من كل هذا.

ومع ذلك، علينا تغيير التعبير الأصلي في الاتجاه الذي نريده وفقا للقوانيننعم... وإتقانها هو التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. لذلك نحن نتقن ذلك.

الآن سوف نتعلم كيفية تجاوز أحد الكمائن الرئيسية في امتحان الدولة الموحدة! لكن أولاً، دعونا نرى ما إذا كنت ستقع فيه أم لا؟

دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط:

الأمر مألوف بالفعل، نضرب الطرفين في (س – 2)، نحن نحصل:

أذكرك بين قوسين (س – 2)نحن نعمل كما لو كان بتعبير واحد متكامل!

هنا لم أعد أكتب واحداً في المقامات، إنه أمر غير لائق... ولم أضع قوسين في المقامات، إلا س - 2لا يوجد شيء، ليس عليك الرسم. دعونا نختصر:

افتح الأقواس، وحرك كل شيء إلى اليسار، ثم اكتب أقواسًا مماثلة:

نحل ونتحقق ونحصل على جذرين. س = 2و س = 3. عظيم.

لنفترض أن المهمة تطلب كتابة الجذر، أو مجموعهما إذا كان هناك أكثر من جذر واحد. ماذا سنكتب؟

إذا قررت أن الإجابة هي 5، فأنت تم نصب كمين لهم. ولن تُنسب إليك المهمة. لقد عملوا عبثا...الإجابة الصحيحة هي 3.

ماذا جرى؟! وتحاول أن تفعل الاختيار. استبدل القيم المجهولة في إبداعيمثال. وإذا عند س = 3كل شيء سوف ينمو معًا بشكل رائع، نحصل على 9 = 9، فمتى س = 2سيتم القسمة على صفر! ما لا يمكنك فعله على الإطلاق. وسائل س = 2ليس حلا، ولا يؤخذ في الاعتبار في الجواب. هذا هو ما يسمى بالجذر الدخيل أو الإضافي. نحن ببساطة نتجاهلها. الجذر النهائي هو واحد. س = 3.

كيف ذلك؟! - أسمع تعجبات ساخطة. لقد تعلمنا أنه يمكن ضرب المعادلة بتعبير! وهذا تحول مماثل!

نعم متطابقة. تحت شرط صغير - التعبير الذي نضرب به (القسمة) - مختلفة عن الصفر. أ س - 2في س = 2يساوي الصفر! لذلك كل شيء عادل.

والآن ماذا أستطيع أن أفعل؟! لا تتضاعف بالتعبير؟ هل يجب أن أتحقق في كل مرة؟ مرة أخرى الأمر غير واضح!

بهدوء! لا تُصب بالذعر!

في هذا الوضع الصعب، ستنقذنا ثلاثة أحرف سحرية. أنا أعرف ما كنت أفكر. يمين! هذا ODZ . مجال القيم المقبولة.

استمرارًا لموضوع "حل المعادلات"، ستعرفك المادة الموجودة في هذه المقالة على المعادلات التربيعية.

دعونا نلقي نظرة على كل شيء بالتفصيل: جوهر وتسجيل المعادلة التربيعية، وتحديد المصطلحات المرتبطة بها، وتحليل مخطط حل غير مكتمل و معادلات كاملة، فلنتعرف على صيغة الجذور والمتميز، وننشئ روابط بين الجذور والمعاملات، وبالطبع سنقدم حلاً مرئيًا لأمثلة عملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

المعادلة التربيعية أنواعها

التعريف 1

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة مكتوبة ك أ س 2 + ب س + ج = 0، أين س- المتغير، أ، ب و ج- بعض الأرقام، في حين أليس صفراً.

في كثير من الأحيان، تسمى المعادلات التربيعية أيضًا معادلات من الدرجة الثانية، نظرًا لأن المعادلة التربيعية في جوهرها كذلك معادلة جبريةالدرجة الثانية.

دعونا نعطي مثالا لتوضيح التعريف المحدد: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 × 2 + 3، 1 × + 0، 11 = 0، إلخ. هذه معادلات تربيعية.

التعريف 2

الأرقام أ، ب و جهي معاملات المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، بينما معامل أويسمى المعامل الأول، أو الأكبر، أو عند x 2، ب - المعامل الثاني، أو المعامل عند س، أ جيسمى عضوا حرا.

على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية 6 × 2 − 2 × − 11 = 0المعامل الرئيسي هو 6، والمعامل الثاني هو − 2 ، والمدة الحرة تساوي − 11 . دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عندما تكون المعاملات بو/أو c سالبة، ثم يتم استخدام نموذج قصير من النموذج 6 × 2 − 2 × − 11 = 0، لكن لا 6 × 2 + (− 2) × + (− 11) = 0.

دعونا نوضح هذا الجانب أيضًا: إذا كانت المعاملات أو/أو بمتساوي 1 أو − 1 ، فلا يجوز لهم القيام بدور صريح في كتابة المعادلة التربيعية، وهو ما يفسره خصوصيات كتابة المعاملات العددية المشار إليها. على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية ص 2 − ص + 7 = 0المعامل الرئيسي هو 1، والمعامل الثاني هو − 1 .

المعادلات التربيعية المخفضة وغير المخفضة

بناءً على قيمة المعامل الأول، يتم تقسيم المعادلات التربيعية إلى مخفضة وغير مخفضة.

التعريف 3

معادلة تربيعية مخفضةهي معادلة تربيعية حيث المعامل الرئيسي هو 1. بالنسبة للقيم الأخرى للمعامل الرئيسي، تكون المعادلة التربيعية غير مخفضة.

لنعطي أمثلة: المعادلات التربيعية x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 مخفضة، في كل منها المعامل الرئيسي هو 1.

9 × 2 − س − 2 = 0- معادلة تربيعية غير مخفضة، حيث يختلف المعامل الأول عنها 1 .

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية غير مختزلة إلى معادلة مختزلة عن طريق قسمة الطرفين على المعامل الأول (التحويل المكافئ). سيكون للمعادلة المحولة نفس جذور المعادلة غير المختزلة المعطاة أو لن يكون لها أيضًا أي جذور على الإطلاق.

اعتبار مثال ملموسسيسمح لنا أن نوضح بوضوح الانتقال من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مخفضة.

مثال 1

بالنظر إلى المعادلة 6 × 2 + 18 × − 7 = 0 . من الضروري تحويل المعادلة الأصلية إلى الصورة المصغرة.

حل

وفقًا للمخطط أعلاه، نقسم طرفي المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 6. ثم نحصل على: (6 × 2 + 18 × − 7) : 3 = 0: 3، وهذا هو نفسه: (6 × 2) : 3 + (18 ×) : 3 − 7: 3 = 0ومزيد من: (6: 6) × 2 + (18: 6) × − 7: 6 = 0.من هنا: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 . وبذلك يتم الحصول على معادلة تعادل المعادلة المعطاة.

إجابة: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 .

المعادلات التربيعية الكاملة وغير الكاملة

دعنا ننتقل إلى تعريف المعادلة التربيعية. وقد حددنا فيه ذلك أ ≠ 0. شرط مماثل ضروري للمعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0كان على وجه التحديد مربع، منذ في أ = 0يتحول بشكل أساسي إلى معادلة خط مستقيم ب س + ج = 0.

في حالة وجود معاملات بو جتساوي الصفر (وهو أمر ممكن فرديًا ومجتمعًا)، تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة.

التعريف 4

معادلة تربيعية غير مكتملة- مثل هذه المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0،حيث واحد على الأقل من المعاملات بو ج(أو كليهما) يساوي صفرًا.

معادلة تربيعية كاملة– معادلة تربيعية جميع المعاملات العددية فيها لا تساوي الصفر.

دعونا نناقش سبب تسمية أنواع المعادلات التربيعية بهذه الأسماء بالضبط.

عندما يكون b = 0، تأخذ المعادلة التربيعية الشكل أ س 2 + 0 س + ج = 0، وهو نفس أ س 2 + ج = 0. في ج = 0يتم كتابة المعادلة التربيعية كما أ س 2 + ب س + 0 = 0، وهو ما يعادل أ س 2 + ب س = 0. في ب = 0و ج = 0سوف تأخذ المعادلة الشكل أ × 2 = 0. تختلف المعادلات التي حصلنا عليها عن المعادلة التربيعية الكاملة في أن طرفيها الأيسر لا يحتوي على حد بالمتغير x، أو حد حر، أو كليهما. في الواقع، هذه الحقيقة أعطت الاسم لهذا النوع من المعادلات – غير كاملة.

على سبيل المثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 معادلات تربيعية كاملة؛ س 2 = 0, − 5 × 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

التعريف الوارد أعلاه يجعل من الممكن التمييز بين الأنواع التالية من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ × 2 = 0، هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات ب = 0و ج = 0 ;
• أ · س 2 + ج = 0 عند ب = 0 ;
• أ · س 2 + ب · س = 0 عند ج = 0.

دعونا نفكر بالتسلسل في حل كل نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة.

حل المعادلة أ × 2 =0

وكما ذكر أعلاه، فإن هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات بو ج، يساوي الصفر. المعادلة أ × 2 = 0يمكن تحويلها إلى معادلة مكافئة × 2 = 0، والذي نحصل عليه بقسمة طرفي المعادلة الأصلية على الرقم أ، لا يساوي الصفر. الحقيقة الواضحة هي أن جذر المعادلة × 2 = 0هذا صفر لأن 0 2 = 0 . وليس لهذه المعادلة جذور أخرى، وهو ما يمكن تفسيره بخصائص الدرجة: لأي عدد ص،لا يساوي صفرًا، فالمتراجحة صحيحة ص 2 > 0، والذي يتبع ذلك عندما ص ≠ 0المساواة ص 2 = 0لن يتحقق أبدا.

التعريف 5

وبالتالي، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المكتملة a x 2 = 0 هناك جذر فريد س = 0.

مثال 2

على سبيل المثال، دعونا نحل معادلة تربيعية غير كاملة - 3 × 2 = 0. وهو ما يعادل المعادلة × 2 = 0، جذره الوحيد هو س = 0فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد - صفر.

باختصار الحل مكتوب كالتالي:

− 3 × 2 = 0، × 2 = 0، × = 0.

حل المعادلة أ س 2 + ج = 0

التالي في السطر هو حل المعادلات التربيعية غير الكاملة، حيث b = 0, c ≠ 0، أي معادلات من الشكل أ س 2 + ج = 0. لنحول هذه المعادلة عن طريق نقل حد من طرف المعادلة إلى الطرف الآخر، وتغيير الإشارة إلى الطرف المقابل وتقسيم طرفي المعادلة على رقم لا يساوي صفر:

• تحويل جإلى الجانب الأيمن، الذي يعطي المعادلة أ س 2 = - ج;
• قسّم طرفي المعادلة على أ، ننتهي بـ x = - c a .

تحويلاتنا متكافئة، وبالتالي فإن المعادلة الناتجة تعادل أيضًا المعادلة الأصلية، وهذه الحقيقة تجعل من الممكن استخلاص استنتاجات حول جذور المعادلة. من ما هي القيم أو جقيمة التعبير - c a تعتمد على: يمكن أن تحتوي على علامة ناقص (على سبيل المثال، if أ = 1و ج = 2، ثم - ج أ = - 2 1 = - 2) أو علامة الجمع (على سبيل المثال، إذا أ = − 2و ج = 6, إذًا - ج أ = - 6 - 2 = 3); أنها ليست صفر ل ج ≠ 0. دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول المواقف التي - ج أ< 0 и - c a > 0 .

في حالة - ج أ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа صالمساواة p 2 = - c a لا يمكن أن تكون صحيحة.

كل شيء يختلف عندما - c a > 0: تذكر الجذر التربيعي، وسيصبح من الواضح أن جذر المعادلة x 2 = - c a سيكون الرقم - c a، لأن - c a 2 = - c a. ليس من الصعب أن نفهم أن الرقم - - c a هو أيضًا جذر المعادلة x 2 = - c a: بالفعل، - - c a 2 = - c a.

المعادلة لن يكون لها جذور أخرى. يمكننا إثبات ذلك باستخدام طريقة التناقض. في البداية، دعونا نحدد الرموز للجذور الموجودة أعلاه كما يلي: × 1و - × 1. لنفترض أن المعادلة x 2 = - c a لها أيضًا جذر × 2، وهو يختلف عن الجذور × 1و - × 1. ونعلم ذلك بالتعويض في المعادلة سجذورها، نحول المعادلة إلى مساواة عددية عادلة.

ل × 1و - × 1نكتب: x 1 2 = - c a و for × 2- س 2 2 = - ج أ . بناءً على خصائص التساويات العددية، نطرح حدًا واحدًا صحيحًا للمساواة من حد آخر، مما سيعطينا: س 1 2 − س 2 2 = 0. نستخدم خصائص العمليات مع الأرقام لإعادة كتابة المساواة الأخيرة كـ (س 1 − س 2) · (س 1 + س 2) = 0. من المعروف أن حاصل ضرب رقمين يكون صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد الرقمين على الأقل صفرًا. ويترتب على ما سبق ذلك س 1 - س 2 = 0و/أو س 1 + س 2 = 0وهو نفس الشيء × 2 = × 1و/أو س 2 = − س 1. ونشأ تناقض واضح، لأنه تم الاتفاق في البداية على أن جذر المعادلة × 2يختلف عن × 1و - × 1. لذلك أثبتنا أن المعادلة ليس لها جذور غير x = - c a و x = - - c a.

دعونا نلخص جميع الحجج المذكورة أعلاه.

التعريف 6

معادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ج = 0يعادل المعادلة x 2 = - c a، والتي:

• لن يكون لها جذور في - ج أ< 0 ;
• سيكون له جذرين x = - c a و x = - - c a لـ - c a > 0.

دعونا نعطي أمثلة على حل المعادلات أ س 2 + ج = 0.

مثال 3

نظرا لمعادلة تربيعية 9 × 2 + 7 = 0.ومن الضروري إيجاد حل.

حل

لننقل الحد الحر إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فتأخذ المعادلة الشكل 9 × 2 = − 7.
دعونا نقسم طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، وصلنا إلى x 2 = - 7 9 . على الجانب الأيمن نرى رقمًا بعلامة الطرح، مما يعني: المعادلة المعطاة ليس لها جذور. ثم المعادلة التربيعية الأصلية غير الكاملة 9 × 2 + 7 = 0لن يكون لها جذور.

إجابة:المعادلة 9 × 2 + 7 = 0ليس له جذور.

مثال 4

المعادلة تحتاج إلى حل - س 2 + 36 = 0.

حل

لننتقل 36 إلى الجانب الأيمن: - س 2 = − 36.
دعونا نقسم كلا الجزأين على − 1 ، نحن نحصل × 2 = 36. يوجد على الجانب الأيمن عدد موجب، ومنه يمكننا استنتاج ذلك س = 36 أو س = - 36 .
لنستخرج الجذر ونكتب النتيجة النهائية: معادلة تربيعية غير مكتملة - س 2 + 36 = 0له جذوران س=6أو س = − 6.

إجابة: س=6أو س = − 6.

حل المعادلة أ × 2 + ب × = 0

دعونا نحلل النوع الثالث من المعادلات التربيعية غير الكاملة، متى ج = 0. لإيجاد حل لمعادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0، سوف نستخدم طريقة التحليل. دعونا نحلل كثيرة الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة، مع إخراج العامل المشترك من الأقواس س. ستتيح هذه الخطوة تحويل المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى ما يعادلها س (أ س + ب) = 0. وهذه المعادلة بدورها تعادل مجموعة من المعادلات س = 0و أ س + ب = 0. المعادلة أ س + ب = 0الخطية وجذرها: س = - ب أ.

التعريف 7

وبالتالي فإن المعادلة التربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0سيكون له جذوران س = 0و س = - ب أ.

دعونا نعزز المادة بمثال.

مثال 5

من الضروري إيجاد حل للمعادلة 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

حل

سوف نخرجها سخارج الأقواس نحصل على المعادلة x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . هذه المعادلة تعادل المعادلات س = 0و 2 3 س - 2 2 7 = 0. الآن عليك حل المعادلة الخطية الناتجة: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

اكتب باختصار حل المعادلة كما يلي:

2 3 × 2 - 2 2 7 س = 0 × 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو س = 3 3 7

إجابة:س = 0، س = 3 3 7.

صيغة التمييز لجذور المعادلة التربيعية

لإيجاد حلول للمعادلات التربيعية، توجد صيغة الجذر:

التعريف 8

س = - ب ± د 2 · أ، أين د = ب 2 − 4 أ ج- ما يسمى بمميز المعادلة التربيعية.

كتابة x = - b ± D 2 · a تعني بشكل أساسي أن x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

سيكون من المفيد أن نفهم كيف تم استخلاص هذه الصيغة وكيفية تطبيقها.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا نواجه مهمة حل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0. دعونا ننفذ عددًا من التحولات المكافئة:

• قسّم طرفي المعادلة على رقم أوبخلاف الصفر نحصل على المعادلة التربيعية التالية: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• لنختار المربع الكامل الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة:
  س 2 + ب أ · س + ج أ = س 2 + 2 · ب 2 · أ · س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ = = س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ
  بعد ذلك، ستأخذ المعادلة الشكل: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0؛
• أصبح من الممكن الآن نقل الحدين الأخيرين إلى الجانب الأيمن، مع تغيير الإشارة إلى العكس، وبعد ذلك نحصل على: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• وأخيرا نحول التعبير المكتوب على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة:
  ب 2 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 .

وهكذا نصل إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ، أي ما يعادل المعادلة الأصلية أ س 2 + ب س + ج = 0.

وقد قمنا بدراسة حل مثل هذه المعادلات في الفقرات السابقة (حل المعادلات التربيعية غير الكاملة). الخبرة المكتسبة بالفعل تجعل من الممكن استخلاص نتيجة فيما يتعلق بجذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• مع ب 2 - 4 أ ج 4 أ 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• عندما ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = 0 تكون المعادلة x + ب 2 · أ 2 = 0، ثم x + ب 2 · أ = 0.

من هنا الجذر الوحيد x = - b 2 · a واضح؛

• بالنسبة لـ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0، سيكون ما يلي صحيحًا: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 أو x = b 2 · a - b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 وهو نفس x + - ب 2 · أ = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 أو x = - ب 2 · أ - ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 ، أي. المعادلة لها جذرين.

من الممكن أن نستنتج أن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (وبالتالي المعادلة الأصلية) يعتمد على إشارة التعبير b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 مكتوب على الجانب الأيمن. وعلامة هذا التعبير تكون بإشارة البسط (المقام). 4 أ 2ستكون دائما موجبة) أي علامة الإعراب ب 2 − 4 أ ج. هذا التعبير ب 2 − 4 أ جتم إعطاء الاسم - يتم تعريف تمييز المعادلة التربيعية والحرف D كتسمية لها. هنا يمكنك كتابة جوهر المميز - بناءً على قيمته وإشارته، يمكنهم استنتاج ما إذا كانت المعادلة التربيعية سيكون لها جذور حقيقية، وإذا كان الأمر كذلك، ما هو عدد الجذور - واحد أو اثنين.

لنعد إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . دعونا نعيد كتابتها باستخدام التمييز: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

دعونا صياغة استنتاجاتنا مرة أخرى:

التعريف 9

• في د< 0 المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
• في د = 0المعادلة لها جذر واحد x = - b 2 · a ;
• في د> 0للمعادلة جذرين: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 أو x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بناءً على خصائص الجذور، يمكن كتابة هذه الجذور بالشكل: x = - b 2 · a + D 2 · a أو - b 2 · a - D 2 · a. وعندما نفتح الوحدات ونصل الكسور إلى قاسم مشترك، نحصل على: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

لذا، كانت نتيجة تفكيرنا هي اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية:

س = - ب + د 2 أ، س = - ب - د 2 أ، المميز دتحسب بواسطة الصيغة د = ب 2 − 4 أ ج.

تتيح هذه الصيغ تحديد الجذرين الحقيقيين عندما يكون المميز أكبر من الصفر. عندما يكون المميز صفرًا، فإن تطبيق كلتا الصيغتين سيعطي نفس الجذر كحل وحيد للمعادلة التربيعية. في الحالة التي يكون فيها المميز سالبًا، إذا حاولنا استخدام صيغة الجذر التربيعي، فسنواجه الحاجة إلى أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب، الأمر الذي سيأخذنا خارج نطاق الأعداد الحقيقية. في التمييز السلبيأي أن المعادلة التربيعية لن يكون لها جذور حقيقية، ولكن من الممكن وجود زوج من الجذور المترافقة المعقدة، والتي تحددها نفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

من الممكن حل معادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر فورًا، لكن يتم ذلك عادةً عندما يكون من الضروري إيجاد جذور معقدة.

في معظم الحالات، لا يعني ذلك عادةً البحث عن الجذور المعقدة، بل عن الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. فمن الأمثل، قبل استخدام الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية، تحديد المميز أولاً والتأكد من أنه ليس سالبًا (وإلا فسنستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية)، ثم نبدأ في حساب قيمة الجذور.

المنطق أعلاه يجعل من الممكن صياغة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية.

التعريف 10

لحل معادلة تربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، ضروري:

• وفقا للصيغة د = ب 2 − 4 أ جأوجد القيمة المميزة؛
• في د< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• بالنسبة إلى D = 0، أوجد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - b 2 · a ;
• بالنسبة إلى D > 0، حدد جذرين حقيقيين للمعادلة التربيعية باستخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a.

لاحظ أنه عندما يكون المميز صفرًا، يمكنك استخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a، فستعطي نفس نتيجة الصيغة x = - b 2 · a.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

دعونا نعطي حلول لأمثلة لقيم مختلفة للمتميز.

مثال 6

علينا إيجاد جذور المعادلة س 2 + 2 س − 6 = 0.

حل

لنكتب المعاملات العددية للمعادلة التربيعية: أ = 1، ب = 2 و ج = − 6. بعد ذلك، نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية، أي. لنبدأ بحساب المميز، وسنستبدل به المعاملات a، b و جفي صيغة التمييز: د = ب 2 − 4 · أ · ج = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

وبذلك نحصل على D > 0، مما يعني أن المعادلة الأصلية سيكون لها جذرين حقيقيين.
للعثور عليها، نستخدم صيغة الجذر x = - b ± D 2 · a، وبالتعويض عن القيم المقابلة، نحصل على: x = - 2 ± 28 2 · 1. دعونا نبسط التعبير الناتج عن طريق إخراج العامل من علامة الجذر ثم تقليل الكسر:

س = - 2 ± 2 7 2

س = - 2 + 2 7 2 أو س = - 2 - 2 7 2

س = - 1 + 7 أو س = - 1 - 7

إجابة:س = - 1 + 7 ​​​​​​، س = - 1 - 7 .

مثال 7

بحاجة إلى حل معادلة من الدرجة الثانية − 4 × 2 + 28 × − 49 = 0.

حل

دعونا نحدد التمييز: د = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. مع قيمة المميز هذه، سيكون للمعادلة الأصلية جذر واحد فقط، يتم تحديده بواسطة الصيغة x = - b 2 · a.

س = - 28 2 (- 4) س = 3.5

إجابة: س = 3.5.

مثال 8

المعادلة تحتاج إلى حل 5 ص 2 + 6 ص + 2 = 0

حل

المعاملات العددية لهذه المعادلة ستكون: أ = 5، ب = 6، ج = 2. نستخدم هذه القيم لإيجاد المميز: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . المميز المحسوب سالب، لذا فإن المعادلة التربيعية الأصلية ليس لها جذور حقيقية.

في الحالة التي تكون فيها المهمة هي الإشارة إلى جذور معقدة، فإننا نطبق صيغة الجذر، ونقوم بإجراءات ذات أرقام مركبة:

س = - 6 ± - 4 2 5,

س = - 6 + 2 ط 10 أو س = - 6 - 2 ط 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i أو x = - 3 5 - 1 5 · i.

إجابة:لا توجد جذور حقيقية. الجذور المركبة هي كما يلي: - 5 3 + 5 1 · i, - 5 3 - 5 1 · i.

في المنهج المدرسيلا يوجد أي شرط قياسي للبحث عن جذور معقدة، وبالتالي، إذا تم تحديد المميز أثناء الحل على أنه سلبي، فسيتم تدوين الإجابة على الفور بأنه لا توجد جذور حقيقية.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

الصيغة الجذرية x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) تجعل من الممكن الحصول على صيغة أخرى، أكثر إحكاما، مما يسمح للمرء بإيجاد حلول للمعادلات التربيعية بمعامل زوجي لـ x ( أو بمعامل بالشكل 2 · n، على سبيل المثال، 2 3 أو 14 ln 5 = 2 7 ln 5). دعونا نبين كيف يتم اشتقاق هذه الصيغة.

دعونا نواجه مهمة إيجاد حل للمعادلة التربيعية a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية: نحدد المميز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c)، ثم نستخدم صيغة الجذر:

س = - 2 ن ± د 2 أ، س = - 2 ن ± 4 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - 2 ن ± 2 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - ن ± ن 2 - أ · ج أ .

دع التعبير n 2 − a · c يُشار إليه بالرمز D 1 (أحيانًا يُشار إليه بـ D "). ثم ستأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية قيد النظر مع المعامل الثاني 2 · n الشكل:

س = - ن ± د 1 أ، حيث د 1 = ن 2 − أ · ج.

من السهل أن نرى أن D = 4 · D 1، أو D 1 = D 4. بمعنى آخر، D 1 هو ربع المميز. من الواضح أن إشارة D 1 هي نفس إشارة D، مما يعني أن إشارة D 1 يمكن أن تكون أيضًا بمثابة مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

التعريف 11

وبالتالي، لإيجاد حل لمعادلة من الدرجة الثانية بمعامل ثانٍ قدره 2 ن، من الضروري:

• أوجد د 1 = ن 2 − أ · ج ;
• عند د 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• عندما يكون D 1 = 0، حدد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - n a;
• بالنسبة لـ D 1 > 0، حدد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة x = - n ± D 1 a.

مثال 9

من الضروري حل المعادلة التربيعية 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

حل

يمكننا تمثيل المعامل الثاني للمعادلة المعطاة بـ 2 · (− 3) . ثم نعيد كتابة المعادلة التربيعية المعطاة على الصورة 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0، حيث a = 5، n = − 3 و c = − 32.

لنحسب الجزء الرابع من المميز: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. القيمة الناتجة موجبة، مما يعني أن المعادلة لها جذرين حقيقيين. دعونا نحددها باستخدام صيغة الجذر المقابلة:

س = - ن ± د 1 أ، س = - - 3 ± 169 5، س = 3 ± 13 5،

س = 3 + 13 5 أو س = 3 - 13 5

س = 3 1 5 أو س = - 2

سيكون من الممكن إجراء العمليات الحسابية باستخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية، ولكن في هذه الحالة سيكون الحل أكثر تعقيدًا.

إجابة: x = 3 1 5 أو x = - 2 .

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان يكون من الممكن تحسين شكل المعادلة الأصلية، مما يبسط عملية حساب الجذور.

على سبيل المثال، من الواضح أن المعادلة التربيعية 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 أكثر ملاءمة لحلها من 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

في كثير من الأحيان، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية عن طريق ضرب أو قسمة طرفيها على عدد معين. على سبيل المثال، أظهرنا أعلاه تمثيلًا مبسطًا للمعادلة 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0، والتي تم الحصول عليها عن طريق قسمة كلا الطرفين على 100.

مثل هذا التحويل ممكن عندما لا تكون معاملات المعادلة التربيعية متبادلة الأعداد الأولية. ثم نقوم عادة بقسمة طرفي المعادلة على القاسم المشترك الأكبر للقيم المطلقة لمعاملاتها.

على سبيل المثال، نستخدم المعادلة التربيعية 12 × 2 − 42 × + 48 = 0. دعونا نحدد GCD للقيم المطلقة لمعاملاته: GCD (12، 42، 48) = GCD(GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. دعونا نقسم طرفي المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ونحصل على المعادلة التربيعية المكافئة 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

من خلال ضرب طرفي المعادلة التربيعية، عادةً ما تتخلص من المعاملات الكسرية. في هذه الحالة، يتم ضربهم بالمضاعف المشترك الأصغر لمقامات معاملاته. على سبيل المثال، إذا تم ضرب كل جزء من المعادلة التربيعية 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 في المضاعف المشترك الأصغر (6، 3، 1) = 6، فإنها ستصبح مكتوبة بشكل أكثر في شكل بسيطس 2 + 4 س − 18 = 0 .

أخيرًا، نلاحظ أننا نتخلص دائمًا تقريبًا من الطرح عند المعامل الأول للمعادلة التربيعية عن طريق تغيير علامات كل حد من حدود المعادلة، وهو ما يتم تحقيقه عن طريق ضرب (أو قسمة) كلا الطرفين على − 1. على سبيل المثال، من المعادلة التربيعية − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، يمكنك الانتقال إلى نسختها المبسطة 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات

صيغة جذور المعادلات التربيعية، المعروفة لنا بالفعل، x = - b ± D 2 · a، تعبر عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها العددية. بناءً على هذه الصيغة، لدينا الفرصة لتحديد التبعيات الأخرى بين الجذور والمعاملات.

الصيغ الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق هي نظرية فييتا:

س 1 + س 2 = - ب أ و س 2 = ج أ.

على وجه الخصوص، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، يكون مجموع الجذور هو المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. على سبيل المثال، بالنظر إلى شكل المعادلة التربيعية 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، من الممكن أن نحدد على الفور أن مجموع جذورها هو 7 3 وحاصل ضرب الجذور هو 22 3.

يمكنك أيضًا العثور على عدد من الروابط الأخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية بدلالة المعاملات:

س 1 2 + س 2 2 = (س 1 + س 2) 2 - 2 س 1 × 2 = - ب أ 2 - 2 ج أ = ب 2 أ 2 - 2 ج أ = ب 2 - 2 أ ج أ 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

مستوى اول

المعادلات التربيعية. دليل شامل (2019)

في مصطلح "المعادلة التربيعية"، الكلمة الأساسية هي "المعادلة التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس x) مربع، ولا ينبغي أن يكون هناك x للقوة الثالثة (أو أكبر).

يأتي حل العديد من المعادلات في حل المعادلات التربيعية.

دعونا نتعلم كيفية تحديد أن هذه معادلة تربيعية وليست معادلة أخرى.

مثال 1.

دعونا نتخلص من المقام ونضرب كل حد في المعادلة

دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونرتب المصطلحات بترتيب تنازلي لقوى X

الآن يمكننا أن نقول بكل ثقة أن هذه المعادلة تربيعية!

مثال 2.

اضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ:

وهذه المعادلة رغم أنها كانت موجودة أصلاً، إلا أنها ليست تربيعية!

مثال 3.

دعونا نضرب كل شيء بـ:

مخيف؟ الدرجة الرابعة والثانية... لكن إذا قمنا بالتعويض سنجد أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:

مثال 4.

يبدو أن هناك، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:

انظر، لقد تم تقليلها - والآن أصبحت معادلة خطية بسيطة!

حاول الآن أن تحدد بنفسك أي من المعادلات التالية تعتبر من الدرجة الثانية وأيها ليست كذلك:

أمثلة:

الإجابات:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. ليست مربعة
4. ليست مربعة
5. ليست مربعة
6. مربع؛
7. ليست مربعة
8. مربع.

يقسم علماء الرياضيات بشكل تقليدي جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:

• المعادلات التربيعية كاملة- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات، وكذلك الحد الحر c، الصفر (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك، من بين المعادلات التربيعية الكاملة هناك منح- هذه معادلات يكون فيها المعامل (المعادلة في المثال الأول ليست كاملة فحسب، بل مخفضة أيضًا!)

• المعادلات التربيعية غير الكاملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

  إنها غير مكتملة لأنها تفتقد بعض العناصر. لكن المعادلة يجب أن تحتوي دائما على x تربيع!!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية، بل معادلة أخرى.

لماذا توصلوا إلى مثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X مربع، حسنا. ويتم تحديد هذا التقسيم بطرق الحل. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم بمزيد من التفصيل.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

أولاً، دعونا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!

هناك أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.
2. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.
3. ، في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

1. أنا. وبما أننا نعرف كيفية أخذ الجذر التربيعي، فلنعبر عنه من هذه المعادلة

يمكن أن يكون التعبير سلبيًا أو إيجابيًا. لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا، لذا: إذا، فالمعادلة ليس لها حلول.

وإذا حدث ذلك، فسنحصل على جذرين. ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي هو أنك يجب أن تعرف وتتذكر دائمًا أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.

دعونا نحاول حل بعض الأمثلة.

مثال 5:

حل المعادلة

الآن كل ما تبقى هو استخراج الجذر من الجانبين الأيسر والأيمن. بعد كل شيء، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور التي تحمل علامة سلبية !!!

مثال 6:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 7:

حل المعادلة

أوه! لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور!

لمثل هذه المعادلات التي ليس لها جذور، توصل علماء الرياضيات إلى أيقونة خاصة - (مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الجواب هكذا:

إجابة:

ومن ثم، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا، لأننا لم نستخرج الجذر.
مثال 8:

حل المعادلة

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

هكذا،

هذه المعادلة لها جذرين.

إجابة:

أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

وسنستغني عن الأمثلة هنا.

حل المعادلات التربيعية الكاملة

نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة من الصيغة حيث

يعد حل المعادلات التربيعية الكاملة أصعب قليلًا (قليلًا) من هذه.

يتذكر، يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

ستساعدك الطرق الأخرى على القيام بذلك بشكل أسرع، لكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية، أتقن الحل أولًا باستخدام المميز.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

يعد حل المعادلات التربيعية باستخدام هذه الطريقة أمرًا بسيطًا للغاية، والشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ.

إذا، فإن المعادلة لها جذر. انتباه خاصاتخذ خطوة. المميز () يخبرنا بعدد جذور المعادلة.

• إذا، فسيتم تقليل الصيغة الموجودة في الخطوة إلى. وبالتالي فإن المعادلة سيكون لها جذر فقط.
• إذا، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

دعونا نعود إلى معادلاتنا وننظر إلى بعض الأمثلة.

مثال 9:

حل المعادلة

الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذرين.

الخطوه 3.

إجابة:

مثال 10:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد.

إجابة:

مثال 11:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج جذر المميز. لا توجد جذور للمعادلة.

الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.

إجابة:لا جذور

2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

إذا كنت تتذكر، هناك نوع من المعادلة يسمى مخفضة (عندما يكون المعامل a يساوي):

من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:

مجموع الجذور منحالمعادلة التربيعية متساوية، وحاصل ضرب الجذور متساوي.

مثال 12:

حل المعادلة

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن .

مجموع جذور المعادلة متساوي، أي. نحصل على المعادلة الأولى:

والمنتج يساوي:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

إجابة: ; .

مثال 13:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 14:

حل المعادلة

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

إجابة:

المعادلات التربيعية. مستوى متوسط

ما هي المعادلة التربيعية؟

وبعبارة أخرى، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل، حيث - المجهول، - بعض الأرقام، و.

الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.

لماذا؟ لأنه إذا أصبحت المعادلة خطية على الفور، لأن سوف تختفي.

وفي هذه الحالة، ويمكن أن يساوي الصفر. في معادلة الكرسي هذه تسمى غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط موجودة، أي أن المعادلة قد اكتملت.

حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية غير الكاملة:

أولاً، دعونا نلقي نظرة على طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.

يمكننا التمييز بين أنواع المعادلات التالية:

أولا: في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

ثانيا. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.

ثالثا. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحل لكل نوع من هذه الأنواع الفرعية.

من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا السبب:

إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول؛

إذا كان لدينا جذرين

ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور ذات الإشارة السلبية!

لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور.

لتدوين باختصار أن المشكلة ليس لها حلول، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.

إجابة:

إذن، هذه المعادلة لها جذرين: و.

إجابة:

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

يكون حاصل الضرب صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. وهذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:

إذن، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.

مثال:

حل المعادلة.

حل:

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة ونجد الجذور:

إجابة:

طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:

1. التمييز

من السهل حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة، والشيء الرئيسي هو أن تتذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ. تذكر أنه يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

هل لاحظت الجذر من المميز في صيغة الجذور؟ ولكن المميز يمكن أن يكون سلبيا. ما يجب القيام به؟ علينا أن نولي اهتمامًا خاصًا للخطوة رقم 2. يخبرنا المميز بعدد جذور المعادلة.

• إذا كانت المعادلة لها جذور:
• إذا كانت المعادلة موجودة جذور متطابقة، ولكن في الأساس جذر واحد:

  تسمى هذه الجذور بالجذور المزدوجة.

• إذا، فلا يتم استخراج جذر المميز. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

لماذا هناك أعداد مختلفة من الجذور ممكنة؟ دعونا ننتقل إلى الحس الهندسيمعادلة من الدرجة الثانية. الرسم البياني للدالة هو القطع المكافئ:

وفي حالة خاصة، وهي معادلة تربيعية، . وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع محور الإحداثي السيني (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق، أو قد يتقاطع عند نقطة واحدة (عندما يقع رأس القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.

وبالإضافة إلى ذلك، فإن المعامل هو المسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، وإذا، ثم للأسفل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

إجابة: .

إجابة:

وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

إجابة: .

2. نظرية فييتا

من السهل جدًا استخدام نظرية فييتا: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام الذي يساوي منتجها الحد الحر للمعادلة، والمجموع يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالعلامة المعاكسة.

من المهم أن نتذكر أن نظرية فييتا لا يمكن تطبيقها إلا في المعادلات التربيعية المخفضة ().

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1:

حل المعادلة.

حل:

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن . معاملات أخرى: ; .

مجموع جذور المعادلة هو:

والمنتج يساوي:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ونتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

وبالتالي، و هي جذور المعادلة لدينا.

إجابة: ؛ .

المثال رقم 2:

حل:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تظهر في المنتج، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

و: يعطون إجمالاً.

و: يعطون إجمالاً. للحصول على ذلك، يكفي ببساطة تغيير علامات الجذور المفترضة: وبعد كل شيء، المنتج.

إجابة:

المثال رقم 3:

حل:

الحد الحر للمعادلة هو سالب، وبالتالي فإن حاصل ضرب الجذور هو عدد سالب. وهذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذرين سالبًا والآخر موجبًا. وبالتالي فإن مجموع الجذور يساوي الاختلافات في وحداتهم.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تعطي حاصل الضرب، والتي يساوي فرقها:

و: فرقهم متساوي - لا يصلح؛

و: - غير مناسب؛

و: - غير مناسب؛

و: - مناسب. كل ما تبقى هو أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. وبما أن مجموعهما يجب أن يكون متساويًا، فإن الجذر ذو المعامل الأصغر يجب أن يكون سالبًا: . نحن نفحص:

إجابة:

المثال رقم 4:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

الحد الحر سالب، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور سالبًا. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون حاصل ضربها متساويًا، ثم نحدد الجذور التي يجب أن تكون لها علامة سالبة:

من الواضح أن الجذور فقط هي المناسبة للشرط الأول:

إجابة:

المثال رقم 5:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

مجموع الجذور سالب، مما يعني أنه وفقًا لـ على الأقل، أحد الجذور سلبي. لكن بما أن حاصل ضربهما موجب، فهذا يعني أن كلا الجذرين لهما علامة الطرح.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يساوي منتجها:

من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.

إجابة:

أوافق، من المريح للغاية التوصل إلى جذور شفويا، بدلا من حساب هذا التمييز السيئ. حاول استخدام نظرية فييتا كلما أمكن ذلك.

لكن نظرية فييتا ضرورية لتسهيل وتسريع العثور على الجذور. لكي تستفيد من استخدامه، يجب عليك جعل الإجراءات تلقائية. ولهذا، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام أداة التمييز! نظرية فييتا فقط:

حلول لمهام العمل المستقل:

المهمة 1. ((x)^(2))-8x+12=0

وفقا لنظرية فييتا:

كالعادة نبدأ الاختيار بالقطعة:

غير مناسب لأن المبلغ؛

: المبلغ هو فقط ما تحتاجه.

إجابة: ؛ .

المهمة 2.

ومرة أخرى نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن يكون المجموع متساويًا، ويجب أن يكون حاصل الضرب متساويًا.

ولكن بما أنه لا بد أن لا يكون، بل نغير علامات الجذور: و(إجمالا).

إجابة: ؛ .

المهمة 3.

همم... أين ذلك؟

تحتاج إلى نقل جميع المصطلحات إلى جزء واحد:

مجموع الجذور يساوي المنتج.

حسنًا، توقف! لم يتم إعطاء المعادلة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المعطاة. لذا عليك أولاً أن تعطي معادلة. إذا لم تتمكن من القيادة، فتخلى عن هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال التمييز). اسمحوا لي أن أذكرك أن إعطاء معادلة تربيعية يعني جعل المعامل الرئيسي متساويًا:

عظيم. ثم مجموع الجذور يساوي والمنتج.

هنا يكون الاختيار سهلاً مثل قشر الكمثرى: فهو في النهاية رقم أولي (آسف على التكرار).

إجابة: ؛ .

المهمة 4.

العضو الحر سلبي. ما هو المميز في هذا؟ والحقيقة هي أن الجذور سيكون لها علامات مختلفة. والآن، أثناء الاختيار، لا نتحقق من مجموع الجذور، ولكن الفرق في وحداتها: هذا الاختلاف متساوي، ولكن منتج.

إذن، الجذران يساويان و، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، أي. وهذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له ناقص: و، منذ ذلك الحين.

إجابة: ؛ .

المهمة 5.

ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ هذا صحيح، أعط المعادلة:

مرة أخرى: نختار عوامل العدد، ويجب أن يكون الفرق بينهما مساوياً لـ:

الجذور تساوي و، لكن أحدهما سالب. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهما متساويًا، مما يعني أن الطرح سيكون له جذر أكبر.

إجابة: ؛ .

اسمحوا لي أن ألخص:

1. تُستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
2. باستخدام نظرية فييتا، يمكنك العثور على الجذور عن طريق الاختيار، شفهيًا.
3. إذا لم يتم إعطاء المعادلة أو لم يتم العثور على زوج مناسب من العوامل للمصطلح الحر، فلن تكون هناك جذور كاملة، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال المميز).

3. طريقة اختيار مربع كامل

إذا تم تمثيل جميع الحدود التي تحتوي على المجهول في شكل حدود من صيغ الضرب المختصرة - مربع المجموع أو الفرق - فبعد استبدال المتغيرات، يمكن تقديم المعادلة في شكل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع.

على سبيل المثال:

مثال 1:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

مثال 2:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

بشكل عام، سيبدو التحول كما يلي:

هذا يعني: .

لا يذكرك بأي شيء؟ هذا شيء تمييزي! وهذا هو بالضبط كيف حصلنا على صيغة التمييز.

المعادلات التربيعية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

معادلة من الدرجة الثانية- هذه معادلة من الشكل حيث - المجهول - معاملات المعادلة التربيعية - الحد الحر.

معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي معاملاتها الصفر.

معادلة تربيعية مخفضة- معادلة فيها المعامل أي : .

معادلة تربيعية غير مكتملة- معادلة يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

• إذا كان المعامل تبدو المعادلة كما يلي:
• إذا كان هناك حد حر، فإن المعادلة لها الشكل: ,
• إذا كانت و فإن المعادلة تبدو كالتالي: .

1. خوارزمية حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

1.1. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) نعرب عن المجهول : ,

2) التحقق من علامة التعبير:

• إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول،
• إذا كانت المعادلة لها جذرين.

1.2. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) لنخرج العامل المشترك بين القوسين : ,

2) يكون حاصل الضرب صفراً إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفراً. وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين:

1.3. معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل، حيث:

هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط: .

2. خوارزمية حل المعادلات التربيعية الكاملة من حيث الشكل

2.1. الحل باستخدام التمييز

1) لنجعل المعادلة بالشكل القياسي : ,

2) لنحسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:

3) أوجد جذور المعادلة:

• إذا كانت المعادلة لها جذور، والتي تم العثور عليها بالصيغة:
• إذا كانت المعادلة لها جذر، والذي تم العثور عليه بالصيغة:
• إذا، فالمعادلة ليس لها جذور.

2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل حيث) متساوي، وحاصل ضرب الجذور متساوي، أي. ، أ.

2.3. الحل بطريقة اختيار مربع كامل

تتم دراسة مشاكل المعادلة التربيعية في المناهج المدرسية وفي الجامعات. وهي تعني معادلات من الشكل a*x^2 + b*x + c = 0، حيث س-المتغير، أ، ب، ج - الثوابت؛ أ<>0 . المهمة هي العثور على جذور المعادلة.

المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية

الرسم البياني للدالة الممثلة بمعادلة تربيعية هو القطع المكافئ. حلول (جذور) المعادلة التربيعية هي نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني (x). ويترتب على ذلك أن هناك ثلاث حالات محتملة:
1) لا يحتوي القطع المكافئ على نقاط تقاطع مع محور الإحداثي السيني. وهذا يعني أنه في المستوى العلوي مع فروع لأعلى أو في الأسفل مع فروع لأسفل. في مثل هذه الحالات، المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية (لها جذرين معقدان).

2) القطع المكافئ له نقطة تقاطع مع محور الثور. تسمى هذه النقطة قمة القطع المكافئ، وتكتسب المعادلة التربيعية عندها الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمتها. في هذه الحالة، المعادلة التربيعية لها جذر حقيقي واحد (أو جذرين متطابقين).

3) الحالة الأخيرةمن الناحية العملية، يكون الأمر أكثر إثارة للاهتمام - هناك نقطتان لتقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني. وهذا يعني أن هناك جذرين حقيقيين للمعادلة.

استنادا إلى تحليل معاملات قوى المتغيرات، يمكن استخلاص استنتاجات مثيرة للاهتمام حول موضع القطع المكافئ.

1) إذا كان المعامل a أكبر من الصفر، فإن فروع القطع المكافئ تتجه إلى الأعلى، وإذا كان سالباً، فإن فروع القطع المكافئ تتجه إلى الأسفل.

2) إذا كان المعامل b أكبر من الصفر فإن رأس القطع المكافئ يقع في نصف المستوى الأيسر إذا كان يأخذ معنى سلبي- ثم على اليمين.

اشتقاق الصيغة لحل المعادلة التربيعية

دعنا ننقل الثابت من المعادلة التربيعية

للحصول على علامة المساواة، نحصل على التعبير

اضرب كلا الجانبين بـ 4 أ

للحصول على مربع كامل على اليسار، أضف b^2 على كلا الجانبين وقم بإجراء التحويل

من هنا نجد

صيغة المميز وجذور المعادلة التربيعية

المميز هو قيمة التعبير الجذري، فإذا كان موجبًا فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين، تحسب بالصيغة عندما يكون المميز صفرًا، يكون للمعادلة التربيعية حل واحد (جذران متطابقان)، والذي يمكن الحصول عليه بسهولة من الصيغة أعلاه لـ D = 0. عندما يكون المميز سالبًا، لا يكون للمعادلة جذور حقيقية. ومع ذلك، توجد حلول للمعادلة التربيعية في المستوى المركب، ويتم حساب قيمتها باستخدام الصيغة

نظرية فييتا

دعونا نفكر في جذرين لمعادلة تربيعية وننشئ معادلة تربيعية على أساسهما.وتتبع نظرية فييتا نفسها بسهولة من الترميز: إذا كان لدينا معادلة تربيعية من الشكل فإن مجموع جذورها يساوي المعامل p المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر q. سيبدو التمثيل الصيغةي لما سبق كما لو كان الثابت a في المعادلة الكلاسيكية غير صفر، فأنت بحاجة إلى قسمة المعادلة بأكملها عليه، ثم تطبيق نظرية فييتا.

تحليل جدول المعادلات التربيعية

دع المهمة يتم تحديدها: تحليل المعادلة التربيعية. للقيام بذلك، نقوم أولاً بحل المعادلة (العثور على الجذور). بعد ذلك، نعوض بالجذور الموجودة في صيغة مفكوك المعادلة التربيعية، وهذا سوف يحل المشكلة.

مشاكل المعادلات التربيعية

مهمة 1. أوجد جذور المعادلة التربيعية

x^2-26x+120=0 .

الحل: اكتب المعاملات وعوض بها في صيغة التمييز

جذر ال قيمة معينةيساوي 14، ومن السهل العثور عليه باستخدام الآلة الحاسبة، أو تذكر متى الاستخدام المتكررومع ذلك، من أجل الراحة، سأقدم لك في نهاية المقالة قائمة بمربعات الأرقام التي يمكن مواجهتها غالبًا في مثل هذه المشكلات.
نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذر

ونحصل

المهمة 2. حل المعادلة

2س2 +س-3=0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة، اكتب المعاملات وأوجد المميز


باستخدام الصيغ المعروفة نجد جذور المعادلة التربيعية

المهمة 3. حل المعادلة

9س2 -12س+4=0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة. تحديد التمييز

لدينا حالة حيث تتطابق الجذور. أوجد قيم الجذور باستخدام الصيغة

المهمة 4. حل المعادلة

س^2+س-6=0 .

الحل: في الحالات التي تكون فيها معاملات x صغيرة، فمن المستحسن تطبيق نظرية فييتا. من خلال حالتها نحصل على معادلتين

ومن الشرط الثاني نجد أن حاصل الضرب يجب أن يساوي -6. وهذا يعني أن أحد الجذور سلبي. لدينا زوج الحلول الممكن التالي (-3;2), (3;-2) . ومع مراعاة الشرط الأول، نرفض الزوج الثاني من الحلول.
جذور المعادلة متساوية

المسألة 5. أوجد أطوال أضلاع المستطيل إذا كان محيطه 18 سم ومساحته 77 سم2.

الحل: نصف محيط المستطيل يساوي مجموع أضلاعه المجاورة. لنشير إلى أن x هو الضلع الأكبر، ثم 18x هو الضلع الأصغر. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب هذه الأطوال:
س(18-س)=77;
أو
× 2 -18س+77=0.
دعونا نجد مميز المعادلة

حساب جذور المعادلة

لو س = 11،الذي - التي 18 = 7 ,والعكس صحيح أيضًا (إذا كانت x = 7، فإن 21 = 9).

المشكلة 6. تحليل المعادلة التربيعية 10x 2 -11x+3=0.

الحل: لنحسب جذور المعادلة، وللقيام بذلك نجد المميز

نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذر ونحسبها

نحن نطبق صيغة تحليل المعادلة التربيعية حسب الجذور

بفتح الأقواس نحصل على هوية.

المعادلة التربيعية مع المعلمة

مثال 1. في أي قيم المعلمة أ ،هل المعادلة (a-3)x2 + (3-a)x-1/4=0 لها جذر واحد؟

الحل: بالتعويض المباشر بالقيمة a=3 نجد أنه ليس لها حل. بعد ذلك، سوف نستخدم حقيقة أنه في حالة وجود تمييز صفري، فإن المعادلة لها جذر واحد للتعدد 2. دعونا نكتب المميز

دعونا نبسطها ونساويها بالصفر

لقد حصلنا على معادلة تربيعية فيما يتعلق بالمعلمة a، والتي يمكن الحصول على حلها بسهولة باستخدام نظرية فييتا. مجموع الجذور هو 7 وحاصل ضربها هو 12. من خلال البحث البسيط نثبت أن الأرقام 3،4 ستكون جذور المعادلة. وبما أننا رفضنا الحل a=3 بالفعل في بداية الحسابات، فإن الحل الصحيح الوحيد هو - أ=4.وبالتالي، بالنسبة لـ a=4، للمعادلة جذر واحد.

مثال 2. في أي قيم المعلمة أ ،المعادلة أ(أ+3)س^2+(2أ+6)س-3أ-9=0لديه أكثر من جذر واحد؟

الحل: لننظر أولاً إلى النقاط المفردة، ستكون القيمتين a=0 وa=-3. عندما يكون a=0، سيتم تبسيط المعادلة إلى الشكل 6x-9=0؛ x=3/2 وسيكون هناك جذر واحد. بالنسبة لـ a= -3 نحصل على الهوية 0=0.
دعونا نحسب المميز

وأوجد قيمة a التي تكون عندها موجبة

من الشرط الأول نحصل على> 3. وفي الحالة الثانية، نجد مميز المعادلة وجذورها


دعونا نحدد الفواصل الزمنية التي تستغرقها الوظيفة القيم الإيجابية. وبالتعويض بالنقطة a=0 نحصل على ذلك 3>0 . لذا، خارج الفترة (-3؛1/3) تكون الدالة سالبة. لا تنسى هذه النقطة أ = 0،والتي يجب استبعادها لأن المعادلة الأصلية لها جذر واحد.
ونتيجة لذلك، نحصل على فترتين تحققان شروط المشكلة

سيكون هناك العديد من المهام المشابهة في الممارسة العملية، حاول اكتشاف المهام بنفسك ولا تنس أن تأخذ في الاعتبار الشروط المتناقضة. ادرس جيداً صيغ حل المعادلات التربيعية، فهي غالباً ما تكون مطلوبة في العمليات الحسابية في مختلف المسائل والعلوم.

مدرسة كوبيفسكايا الريفية الثانوية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس رياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من التطور العالي في علم الجبر في بابل إلا أن النصوص المسمارية لا تحتوي على مفهوم العدد السالب و الأساليب العامةحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

لا تحتوي عملية حسابية ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنها تحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يبرر ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأنها إذا كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون واحد منهم أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + سوالآخر أقل، أي. 10. الفرق بينهما 2x .

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12 ، آخر 8 . حل س = -2لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. وأوضح عالم هندي آخر، براهماغوبتا (القرن السابع). قاعدة عامةحلول المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

اه 2+ ب س = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، كما يمكن أن تكون سلبية. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

في الهند القديمة، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تحجب الشمس النجوم بريقها كذلك" رجل متعلمكسوف مجد شخص آخر في المجالس الشعبية من خلال اقتراح وحل المسائل الجبرية. غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة الجزء الثامن كم قرد كان هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

( س /8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

× 2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64س + 32 2 = -768 + 1024،

(س - 32) 2 = 256،

س - 32 = ± 16،

× 1 = 16، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: الفأس 2 = ج.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: اه 2+ bx = س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي: bx + ج = الفأس 2 .

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقابلة. قراراته، بالطبع، لا تتزامن تماما مع قراراتنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول

الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في مسائل عملية محددة لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم البراهين الهندسية.

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (مما يعني جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - السابع عشر ب

تم توضيح صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. هذا العمل الضخم الذي يعكس تأثير الرياضيات في كل من الدول الإسلامية و اليونان القديمة، يتميز بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الجديد أمثلة جبريةحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي أدخل الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

× 2+ bx = ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب , معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + د، مضروبا أ - أ 2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د ».

لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لدينا X)، الحروف المتحركة في، د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك

(أ+ ب )س - س 2 = أب ,

× 2 - (أ + ب )س + أ ب = 0,

س 1 = أ، س 2 = ب .

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن ذلك نظرة حديثة. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تم العثور على المعادلات التربيعية تطبيق واسععند حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.