تقليل الكسور إلى آلة حاسبة القاسم المشترك. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك (Moskalenko M.V.)

القاسم المشترك الأصغر (LCD) لهذه الكسور غير القابلة للاختزال هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقامات هذه الكسور. ( راجع موضوع "إيجاد المضاعف المشترك الأصغر":

لتقليل الكسور إلى أصغرها القاسم المشترك، عليك أن تقوم بما يلي: 1) إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور، فيكون هو المقام المشترك الأصغر. 2) ابحث عن عامل إضافي لكل كسر عن طريق قسمة المقام الجديد على مقام كل كسر. 3) اضرب بسط ومقام كل كسر في العامل الإضافي الخاص به.

أمثلة. اختصر الكسور التالية إلى مقامها المشترك الأصغر.

نجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات: LCM(5; 4) = 20، حيث أن 20 هو أصغر عدد يقبل القسمة على 5 و4. أوجد للكسر الأول عاملًا إضافيًا 4 (20) : 5=4). بالنسبة للكسر الثاني فإن العامل الإضافي هو 5 (20 : 4=5). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 4، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5. لقد قمنا بتبسيط هذه الكسور إلى المقام المشترك الأدنى ( 20 ).

القاسم المشترك الأصغر لهذه الكسور هو الرقم 8، حيث أن 8 يقبل القسمة على 4 وعلى نفسه. لن يكون هناك عامل إضافي للكسر الأول (أو يمكننا القول أنه يساوي واحد) ، إلى الكسر الثاني العامل الإضافي هو 2 (8 : 4=2). نضرب بسط ومقام الكسر الثاني في 2. لقد قمنا بتقليل هذه الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ( 8 ).

هذه الكسور ليست غير قابلة للاختزال.

لنقم بتبسيط الكسر الأول بمقدار 4، وتقليل الكسر الثاني بمقدار 2. ( انظر أمثلة للاختصار الكسور العادية: خريطة الموقع → 5.4.2. أمثلة على تقليل الكسور المشتركة). ابحث عن LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. المضاعف الإضافي للكسر الأول هو 5 (80 : 16=5). العامل الإضافي للكسر الثاني هو 4 (80 : 20=4). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 5، وبسط ومقام الكسر الثاني في 4. لقد قمنا بتبسيط هذه الكسور إلى المقام المشترك الأدنى ( 80 ).

نجد القاسم المشترك الأدنى NCD(5 ; 6 و 15) = كرونة نرويجية (5 ; 6 و 15)=30. العامل الإضافي للكسر الأول هو 6 (30 : 5=6)، العامل الإضافي للكسر الثاني هو 5 (30 : 6=5)، العامل الإضافي للكسر الثالث هو 2 (30 : 15=2). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 6، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5، وبسط ومقام الكسر الثالث في 2. لقد قمنا بتقليل هذه الكسور إلى أدنى مقام مشترك ( 30 ).

لتقليل الكسور إلى المقام المشترك الأصغر، تحتاج إلى: 1) العثور على المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور المعطاة، وسيكون المقام المشترك الأصغر. 2) ابحث عن عامل إضافي لكل كسر عن طريق قسمة المقام الجديد على مقام كل كسر. 3) اضرب بسط ومقام كل كسر في العامل الإضافي الخاص به.

أمثلة. اختصر الكسور التالية إلى مقامها المشترك الأصغر.

نجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات: LCM(5; 4) = 20، حيث أن 20 هو أصغر عدد يقبل القسمة على 5 و4. أوجد للكسر الأول عاملًا إضافيًا 4 (20) : 5=4). بالنسبة للكسر الثاني فإن العامل الإضافي هو 5 (20 : 4=5). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 4، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5. لقد قمنا بتبسيط هذه الكسور إلى المقام المشترك الأدنى ( 20 ).

القاسم المشترك الأصغر لهذه الكسور هو الرقم 8، حيث أن 8 يقبل القسمة على 4 وعلى نفسه. لن يكون هناك عامل إضافي للكسر الأول (أو يمكننا القول أنه يساوي واحدًا)، للكسر الثاني العامل الإضافي هو 2 (8 : 4=2). نضرب بسط ومقام الكسر الثاني في 2. لقد قمنا بتقليل هذه الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ( 8 ).

هذه الكسور ليست غير قابلة للاختزال.

لنقم بتبسيط الكسر الأول بمقدار 4، وتقليل الكسر الثاني بمقدار 2. ( انظر أمثلة على تقليل الكسور العادية: خريطة الموقع → 5.4.2. أمثلة على تقليل الكسور المشتركة). ابحث عن LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. المضاعف الإضافي للكسر الأول هو 5 (80 : 16=5). العامل الإضافي للكسر الثاني هو 4 (80 : 20=4). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 5، وبسط ومقام الكسر الثاني في 4. لقد قمنا بتبسيط هذه الكسور إلى المقام المشترك الأدنى ( 80 ).

نجد القاسم المشترك الأدنى NCD(5 ; 6 و 15) = كرونة نرويجية (5 ; 6 و 15)=30. العامل الإضافي للكسر الأول هو 6 (30 : 5=6)، العامل الإضافي للكسر الثاني هو 5 (30 : 6=5)، العامل الإضافي للكسر الثالث هو 2 (30 : 15=2). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 6، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5، وبسط ومقام الكسر الثالث في 2. لقد قمنا بتقليل هذه الكسور إلى أدنى مقام مشترك ( 30 ).

الصفحة 1 من 1 1

أردت في الأصل تضمين تقنيات القاسم المشترك في قسم إضافة وطرح الكسور. ولكن كان هناك الكثير من المعلومات، وكانت أهميتها كبيرة جدًا (بعد كل شيء، ليس فقط الكسور العددية) أنه من الأفضل دراسة هذه المسألة بشكل منفصل.

لنفترض أن لدينا كسرين معًا قواسم مختلفة. ونريد التأكد من أن المقامين متساويان. الخاصية الأساسية للكسر تأتي للإنقاذ، والتي، اسمحوا لي أن أذكركم، تبدو كما يلي:

لا يتغير الكسر إذا ضرب بسطه ومقامه في نفس العدد غير الصفر.

وبالتالي، إذا اخترت العوامل بشكل صحيح، فسوف تصبح قواسم الكسور متساوية - وتسمى هذه العملية الاختزال إلى قاسم مشترك. والأعداد المطلوبة، التي تعادل المقامات، تسمى عوامل إضافية.

لماذا نحتاج إلى اختزال الكسور إلى قاسم مشترك؟ فيما يلي بعض الأسباب:

1. جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة. لا توجد طريقة أخرى لتنفيذ هذه العملية؛
2. مقارنة الكسور. في بعض الأحيان، يؤدي الاختزال إلى قاسم مشترك إلى تبسيط هذه المهمة إلى حد كبير؛
3. حل المسائل المتعلقة بالكسور والنسب المئوية. النسب المئويةهي في الواقع تعبيرات عادية تحتوي على كسور.

هناك العديد من الطرق للعثور على الأعداد التي، عند ضربها بها، تصبح مقامات الكسور متساوية. وسننظر في ثلاثة منها فقط - من أجل زيادة التعقيد والفعالية إلى حد ما.

الضرب المتقاطع

أبسط و طريقة موثوقة، وهو ما يضمن مساواة القواسم. سنتصرف "بطريقة متسرعة": نضرب الكسر الأول بمقام الكسر الثاني، والثاني بمقام الأول. ونتيجة لذلك، فإن مقامات كلا الكسرين ستصبح مساوية لمنتج المقامين الأصليين. إلق نظرة:

كعوامل إضافية، فكر في مقامات الكسور المجاورة. نحن نحصل:

نعم، الأمر بهذه البساطة. إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة الكسور، فمن الأفضل العمل بهذه الطريقة - وبهذه الطريقة ستؤمن نفسك ضد العديد من الأخطاء وتضمن حصولك على النتيجة.

العيب الوحيد هذه الطريقة- عليك أن تحسب كثيرًا، لأن المقامات مضروبة "في كل مكان"، ويمكن أن تكون النتيجة شديدة جدًا أعداد كبيرة. هذا هو الثمن الذي يجب دفعه مقابل الموثوقية.

طريقة القسمة المشتركة

تساعد هذه التقنية على تقليل العمليات الحسابية بشكل كبير، ولكن لسوء الحظ، يتم استخدامها نادرًا جدًا. هذه الطريقة على النحو التالي:

1. قبل المضي قدمًا مباشرةً (أي باستخدام طريقة التقاطع)، ألقِ نظرة على المقامات. وربما انقسم أحدهما (الأكبر) إلى الآخر.
2. وسيكون العدد الناتج عن هذه القسمة عاملاً إضافيًا للكسر ذي المقام الأصغر.
3. في هذه الحالة، لا يلزم ضرب الكسر ذو المقام الكبير بأي شيء على الإطلاق - وهنا تكمن المدخرات. وفي الوقت نفسه، يتم تقليل احتمال الخطأ بشكل حاد.

مهمة. ابحث عن معاني العبارات:

لاحظ أن 84: 21 = 4؛ 72: 12 = 6. وبما أنه في كلتا الحالتين يتم تقسيم المقام دون باقي على الآخر، فإننا نستخدم طريقة العوامل المشتركة. لدينا:

لاحظ أن الكسر الثاني لم يتم ضربه بأي شيء على الإطلاق. في الواقع، قمنا بخفض كمية العمليات الحسابية إلى النصف!

بالمناسبة، لم آخذ الكسور في هذا المثال عن طريق الصدفة. إذا كنت مهتمًا، فحاول عدهم باستخدام الطريقة المتقاطعة. بعد التخفيض، ستكون الإجابات هي نفسها، ولكن سيكون هناك المزيد من العمل.

هذه هي قوة طريقة المقسومات المشتركة، ولكن، مرة أخرى، لا يمكن استخدامها إلا عندما يكون أحد المقامين قابلاً للقسمة على الآخر دون باقي. وهو ما يحدث نادرًا جدًا.

الطريقة المتعددة الأقل شيوعًا

عندما نختصر الكسور إلى مقام مشترك، فإننا نحاول بشكل أساسي العثور على رقم يقبل القسمة على كل مقام. ثم نأتي بمقامي الكسرين إلى هذا الرقم.

هناك الكثير من هذه الأرقام، وأصغرها لن يكون بالضرورة مساويا للناتج المباشر لمقامات الكسور الأصلية، كما هو مفترض في طريقة "التقاطع".

على سبيل المثال، بالنسبة للمقامين 8 و12، فإن الرقم 24 مناسب تمامًا، حيث أن 24: 8 = 3؛ 24: 12 = 2. وهذا الرقم أقل بكثير من حاصل الضرب 8 · 12 = 96.

أصغر عدد، الذي يقبل القسمة على كل من المقامات، يسمى المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

تدوين: المضاعف المشترك الأصغر لـ a و b يُشار إليه بـ LCM(a ; b) . على سبيل المثال، LCM(16, 24) = 48 ; م م(8; 12) = 24 .

إذا تمكنت من العثور على مثل هذا الرقم، فسيكون المبلغ الإجمالي للحسابات ضئيلا. انظر إلى الامثله:

مهمة. ابحث عن معاني العبارات:

لاحظ أن 234 = 117 2؛ 351 = 117 3. العاملان 2 و 3 هما كوبريم (ليس لهما عوامل مشتركة غير 1)، والعامل 117 مشترك. وبالتالي، م م(234، 351) = 117 2 3 = 702.

وبالمثل، 15 = 5 3؛ 20 = 5 · 4. العاملان 3 و4 هما أوليان أساسيان، والعامل 5 مشترك. وبالتالي، المضاعف المشترك الأصغر(15، 20) = 5 3 4 = 60.

الآن دعونا نجلب الكسور إلى القواسم المشتركة:

لاحظ مدى فائدة تحليل المقامات الأصلية:

1. بعد أن اكتشفنا عوامل متطابقة، وصلنا على الفور إلى المضاعف المشترك الأصغر، وهو، بشكل عام، مشكلة غير تافهة؛
2. ومن خلال التوسيع الناتج، يمكنك معرفة العوامل "المفقودة" في كل جزء. على سبيل المثال، 234 · 3 = 702، لذلك، بالنسبة للكسر الأول فإن العامل الإضافي هو 3.

لتقدير مقدار الفرق الذي تحدثه طريقة المضاعف الأقل شيوعًا، حاول حساب هذه الأمثلة نفسها باستخدام الطريقة المتقاطعة. بالطبع بدون آلة حاسبة. أعتقد أنه بعد هذه التعليقات ستكون غير ضرورية.

لا أعتقد أن هناك مثل هذا الكسور المعقدةلن يكون هذا هو الحال في الأمثلة الحقيقية. إنهم يجتمعون طوال الوقت، والمهام المذكورة أعلاه ليست الحد الأقصى!

المشكلة الوحيدة هي كيفية العثور على شهادة عدم الممانعة هذه. في بعض الأحيان يتم العثور على كل شيء في بضع ثوان، حرفيا "بالعين"، ولكن بشكل عام هذه مهمة حسابية معقدة تتطلب دراسة منفصلة. لن نتطرق إلى ذلك هنا.

سنتناول في هذا الدرس اختزال الكسور إلى مقام مشترك وحل المسائل المتعلقة بهذا الموضوع. دعونا نحدد مفهوم القاسم المشترك والعامل الإضافي، ونذكر المتبادل الأعداد الأولية. دعونا نحدد مفهوم القاسم المشترك الأدنى (LCD) ونحل عدداً من المسائل للعثور عليه.

الموضوع: جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة

الدرس: اختزال الكسور إلى مقام مشترك

تكرار. الخاصية الرئيسية للكسر.

إذا تم ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد الطبيعي، فستحصل على كسر متساوٍ.

على سبيل المثال، يمكن تقسيم بسط ومقام الكسر على 2. نحصل على الكسر. هذه العملية تسمى تخفيض الكسر. يمكنك أيضًا إجراء التحويل العكسي عن طريق ضرب بسط الكسر ومقامه في 2. في هذه الحالة، نقول إننا قمنا بتبسيط الكسر إلى مقام جديد. الرقم 2 يسمى عامل إضافي.

خاتمة.يمكن اختزال الكسر إلى أي مقام يكون مضاعفًا لمقام الكسر المحدد. لإحضار كسر إلى مقام جديد، يتم ضرب البسط والمقام بعامل إضافي.

1. اختصر الكسر إلى المقام 35.

الرقم 35 هو من مضاعفات 7، أي أن 35 يقبل القسمة على 7 بدون باقي. وهذا يعني أن هذا التحول ممكن. دعونا نجد عاملاً إضافياً. للقيام بذلك، قسّم 35 على 7. نحصل على 5. اضرب بسط ومقام الكسر الأصلي في 5.

2. اختصر الكسر إلى المقام 18.

دعونا نجد عاملاً إضافياً. للقيام بذلك، قم بتقسيم المقام الجديد على المقام الأصلي. نحصل على 3. اضرب بسط ومقام هذا الكسر في 3.

3. اختصر الكسر إلى مقام 60.

تقسيم 60 على 15 يعطي عاملاً إضافيًا. إنه يساوي 4. اضرب البسط والمقام بـ 4.

4. اختصر الكسر إلى المقام 24

في الحالات البسيطة، يتم إجراء الاختزال إلى مقام جديد عقليًا. من المعتاد فقط الإشارة إلى العامل الإضافي خلف قوس إلى اليمين قليلاً وفوق الكسر الأصلي.

يمكن تبسيط الكسر إلى مقام 15، كما يمكن تبسيط الكسر إلى مقام 15. وللكسور أيضًا مقام مشترك 15.

يمكن أن يكون القاسم المشترك للكسور هو أي مضاعف مشترك لمقاماتها. للتبسيط، يتم تقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك لها. وهو يساوي المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور المعطاة.

مثال. تقليل إلى أدنى قاسم مشترك للكسر و .

أولًا، دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور. هذا الرقم هو 12. دعونا نجد عاملًا إضافيًا للكسرين الأول والثاني. للقيام بذلك، قم بتقسيم 12 على 4 و6. ثلاثة عامل إضافي للكسر الأول، واثنان للكسر الثاني. لنحضر الكسور إلى المقام 12.

لقد أوصلنا الكسور إلى مقام مشترك، أي أننا وجدنا كسورًا متساوية لها نفس المقام.

قاعدة.لتقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك لها، يجب عليك ذلك

أولاً، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور، فسيكون المقام المشترك الأصغر لها؛

ثانياً: قسمة المقام المشترك الأصغر على مقامات هذه الكسور، أي إيجاد عامل إضافي لكل كسر.

ثالثًا، اضرب بسط ومقام كل كسر في العامل الإضافي الخاص به.

أ) تقليل الكسور إلى قاسم مشترك.

أدنى مقام مشترك هو 12. العامل الإضافي للكسر الأول هو 4، للثاني - 3. نقوم بتبسيط الكسور إلى المقام 24.

ب) اختزال الكسور وإلى قاسم مشترك.

المقام المشترك الأصغر هو 45. بقسمة 45 على 9 على 15 نحصل على 5 و3 على التوالي، ونختصر الكسور إلى المقام 45.

ج) اختزال الكسور وإلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك هو 24. والعوامل الإضافية هي 2 و3 على التوالي.

في بعض الأحيان قد يكون من الصعب العثور لفظيًا على المضاعف المشترك الأصغر لمقامات كسور معينة. ثم يتم إيجاد القاسم المشترك والعوامل الإضافية باستخدام التحليل الأولي.

تقليل الكسور وإلى قاسم مشترك.

دعونا نحلل العددين 60 و168 إلى عوامل أولية. لنكتب مفكوك الرقم 60 ونضيف العوامل المفقودة 2 و7 من مفكوك العدد الثاني. لنضرب 60 في 14 ونحصل على مقام مشترك 840. العامل الإضافي للكسر الأول هو 14. العامل الإضافي للكسر الثاني هو 5. لنصل الكسور إلى مقام مشترك 840.

فهرس

1. فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف أ.س. وغيرها الرياضيات 6. - م: منيموسين، 2012.

2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. الرياضيات الصف السادس. - صالة للألعاب الرياضية، 2006.

3. ديبمان آي.يا.، فيلينكين إن.يا. خلف صفحات كتاب الرياضيات. - التنوير، 1989.

4. روروكين أ.ن.، تشايكوفسكي آي.في. واجبات مقرر الرياضيات للصفوف 5-6. - زش ميفي، 2011.

5. روروكين إيه إن، سوتشيلوف إس في، تشايكوفسكي كي جي. الرياضيات 5-6. دليل لطلاب الصف السادس في مدرسة المراسلة MEPhI. - زش ميفي، 2011.

6. شيفرين إل إن، جين إيه جي، كورياكوف آي أو. وغيرها الرياضيات: كتاب مدرسي للصفوف 5-6 في المدرسة الثانوية. مكتبة معلم الرياضيات . - التنوير، 1989.

يمكنك تنزيل الكتب المحددة في البند 1.2. من هذا الدرس.

العمل في المنزل

فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف أ.س. وغيرها الرياضيات 6. - م: منيموسين، 2012. (رابط انظر 1.2)

الواجب: رقم 297، رقم 298، رقم 300.

مهام أخرى: رقم 270، رقم 290

مخطط التخفيض إلى قاسم مشترك

1. عليك أن تحدد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور. إذا كنت تتعامل مع رقم مختلط أو عدد صحيح، فيجب عليك أولا تحويله إلى كسر، وبعد ذلك فقط تحديد المضاعف المشترك الأصغر. لتحويل عدد صحيح إلى كسر، عليك كتابة الرقم نفسه في البسط وواحدًا في المقام. على سبيل المثال، الرقم 5 ككسر سيبدو كما يلي: 5/1. لتحويل رقم كسري إلى كسر، عليك ضرب العدد الصحيح بالمقام وإضافة البسط إليه. مثال: 8 أرقام صحيحة و3/5 ككسر = 8x5+3/5 = 43/5.
2. بعد ذلك، من الضروري إيجاد عامل إضافي، والذي يتم تحديده عن طريق قسمة NZ على مقام كل كسر.
3. الخطوة الأخيرة هي ضرب الكسر بعامل إضافي.

من المهم أن نتذكر أن الاختزال إلى قاسم مشترك ليس ضروريًا فقط للجمع أو الطرح. لمقارنة عدة كسور بمقامات مختلفة، عليك أيضًا اختصار كل منها إلى مقام مشترك أولًا.

اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

لكي تفهم كيفية اختزال الكسر إلى مقام مشترك، عليك أن تفهم بعض خصائص الكسور. لذا، خاصية مهمة، تستخدم للتقليل إلى NOS، وهي مساواة الكسور. بمعنى آخر، إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر بعدد، فإن النتيجة هي كسر يساوي الكسر الذي يسبقه. لنأخذ المثال التالي كمثال. لتقليل الكسور 5/9 و5/6 إلى أدنى مقام مشترك لهما، عليك القيام بذلك الإجراءات التالية:

1. أولًا، نوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات. في في هذه الحالةبالنسبة للرقمين 9 و 6، فإن المضاعف المشترك الأصغر سيكون مساويًا لـ 18.
2. نحدد عوامل إضافية لكل من الكسور. هذا يفعل كما يلي. نقسم LCM على مقام كل كسر، ونتيجة لذلك نحصل على 18: 9 = 2، و18: 6 = 3. وستكون هذه الأرقام عوامل إضافية.
3. نأتي بكسرين إلى NOS. عند ضرب كسر في رقم، تحتاج إلى ضرب كل من البسط والمقام. يمكن ضرب الكسر 5/9 بعامل إضافي قدره 2، مما يؤدي إلى كسر يساوي الكسر المحدد - 10/18. نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني: نضرب 5/6 في 3، وينتج 15/18.

كما نرى من المثال أعلاه، تم اختزال كلا الكسرين إلى أدنى مقام مشترك لهما. لكي تفهم أخيرًا كيفية العثور على قاسم مشترك، عليك أن تتقن خاصية أخرى للكسور. يكمن في حقيقة أنه يمكن اختزال بسط ومقام الكسر بنفس الرقم، وهو ما يسمى القاسم المشترك. على سبيل المثال، يمكن تخفيض الكسر 12/30 إلى 2/5 إذا تم قسمته على القاسم المشترك له - الرقم 6.