ملخص الدرس

معلمي الرياضيات

مدرسة MBOU الثانوية رقم 2، فورسما

كيسيليفا لاريسا ألكسيفنا

الموضوع: "المعادلة التربيعية المخفضة. نظرية فييتا"

الغرض من الدرس:مقدمة لمفهوم المعادلة التربيعية المختزلة ونظرية فيتا ونظرية العكس.

مهام:

التعليمية:

تقديم مفهوم المعادلة التربيعية المخفضة،

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية المعطاة،

صياغة وإثبات نظرية فييتا،

صياغة وإثبات النظرية المقابلة لنظرية فييتا،

علم الطلاب كيفية حل المعادلات التربيعية المعطاة باستخدام النظرية العكسية لنظرية فييتا.

التعليمية:

تطوير التفكير المنطقيوالذاكرة والانتباه والمهارات التعليمية العامة والقدرة على المقارنة والتعميم؛

التعليمية:

تعزيز العمل الجاد والمساعدة المتبادلة والثقافة الرياضية.

نوع الدرس:درس إدخال مواد جديدة.

معدات:كتاب الجبر إد. أليموفا وآخرون، دفتر ملاحظات، نشرات، عرض تقديمي للدرس.

خطة الدرس.

مرحلة الدرس

محتوى (هدف) المرحلة

الوقت (دقيقة)

تنظيم الوقت

التحقق من الواجبات المنزلية

أعمال التحقق

تحليل العمل والإجابات على الأسئلة.

تعلم مواد جديدة

تكوين المعرفة الأساسية، صياغة القواعد، حل المشكلات، تحليل النتائج، الإجابة على أسئلة الطلاب.

إتقان المادة المدروسة من خلال تطبيقها على حل المسائل بالقياس تحت إشراف المعلم.

تلخيص الدرس

تقييم معرفة الطلاب الذين استجابوا. اختبار معرفة وفهم صياغة القواعد باستخدام طريقة المسح الأمامي.

العمل في المنزل

تعريف الطلاب بمحتوى المهمة وتلقي الشروحات اللازمة.

مهام إضافية

مهام متعددة المستويات لضمان تطور الطلاب.

خلال الفصول الدراسية.

تنظيم الوقت.تحديد هدف الدرس. تهيئة الظروف المواتية ل الأنشطة الناجحة. الدافع للتعلم.

التحقق من الواجبات المنزلية.الاختبار الأمامي والفردي وتصحيح معارف ومهارات الطلاب.

المعادلة

عدد الجذور

المعلم: كيف يمكنك تحديد عدد جذورها دون حل معادلة تربيعية؟ (إجابات الطلاب)

أعمال التحقق.إجابات على الأسئلة.

نص الاختبار:

الخيار 1.

حل المعادلات:

أ) ,

ب)

لديها:

جذر واحد

جذوران مختلفتان.

الخيار 2.

حل المعادلات:

أ) ,

ب)

2.أوجد قيمة المعلمة أ التي المعادلة لها لديها:

جذر واحد

جذوران مختلفتان.

يتم إكمال عمل الاختبار على أوراق منفصلة وتقديمه إلى المعلم للتحقق منه.

بعد تقديم العمل، يتم عرض الحل على الشاشة.

تعلم مواد جديدة.

4.1. فرانسوا فيت- عالم رياضيات فرنسي في القرن السادس عشر. كان محامياً ثم مستشاراً للملكين الفرنسيين هنري الثالث وهنري الثاني.

لقد تمكن ذات مرة من فك رموز رسالة إسبانية معقدة للغاية اعترضها الفرنسيون. وكادت محاكم التفتيش أن تحرقه على المحك، متهمة إياه بالتآمر مع الشيطان.

يُطلق على فرانسوا فيتا لقب "أبو جبر الحروف الحديث"

كيف ترتبط جذور ثلاثية الحدود التربيعية ومعاملاتها p و q ببعضها البعض؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية تحمل اسم “أبو الجبر” عالم الرياضيات الفرنسي ف. فييتا، والتي سندرسها اليوم.

تم نشر النظرية الشهيرة عام 1591.

4.2 دعونا نقوم بصياغة تعريف المعادلة التربيعية المخفضة.

تعريف. المعادلة التربيعية للنموذج يسمى مخفض.

وهذا يعني أن المعامل الرئيسي للمعادلة يساوي واحد.

مثال. .

أي معادلة تربيعية يمكن تخفيضها إلى النموذج . للقيام بذلك، عليك قسمة طرفي المعادلة على.

على سبيل المثال، يتم تقليل المعادلة 7Х 2 - 12Х + 14 = 0 بالقسمة على 7 إلى الشكل

× 2 - 12/7س + 2 = 0

4.3. استنتج صيغًا لجذور المعادلة التربيعية المعطاة.

أ، ب، ج

أ=1 , ب=ص , ج=ف

حل المعادلة X 2 - 14X - 15 =0 (يحل الطالب على السبورة)

أسئلة:

قم بتسمية المعاملات p و q (-14, -15);

اكتب صيغة جذور المعادلة التربيعية المعطاة؛

أوجد جذور هذه المعادلة (X 1 = 15، X 2 = -1)

4.4. صياغة وإثبات نظرية فييتا.

إذا و هي جذور المعادلة ، فإن الصيغ صالحة، أي. مجموع جذور المعادلة التربيعية المخفضة يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

بعد ذلك يثبت المعلم النظرية. ثم يتوصل مع الطلاب إلى نتيجة.

مثال. . ع = -5، ف =6.

إذن الأرقام وهي أرقام

إيجابي. تحتاج إلى العثور على رقمين موجبين منتجهما هو

يساوي 6، والمجموع يساوي 5. =2، =3 هي جذور المعادلة.

4.5. تطبيق نظرية فييتا .

بمساعدتها يمكنك:

 إيجاد مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية دون حلها

 بمعرفة أحد الجذور، ابحث عن آخر،

 تحديد العلامات جذور المعادلة,

 العثور على جذور المعادلة دون حلها.

4.6. دعونا نقوم بصياغة النظرية العكسية لنظرية فييتا.

إذا كانت الأرقام p، q، وهي بحيث تحقق العلاقات، إذن، هي جذور المعادلة التربيعية .

يتم أخذ إثبات النظرية المعاكسة لنظرية فييتا إلى المنزل للطلاب الأقوياء للدراسة بشكل مستقل.

4.7. النظر في حل المشكلة 5 في صفحة الكتاب المدرسي 125.

تعزيز المواد المستفادة

№ 450 (1)

№ 451 (1، 3، 5) - شفويا

№ 452 (شفويا)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

تلخيص الدرس.

الإجابة على الأسئلة:

نظرية الدولة فييتا.

 لماذا هناك حاجة إلى نظرية فييتا؟

 اذكر عكس نظرية فييتا.

العمل في المنزل.

§29 (قبل المهمة 6)، رقم 450(2,4,6); 455(2.4); 456(2,4,6).

مهام إضافية.

المستوى أ.

أوجد مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة:

2. باستخدام النظرية العكسية لنظرية فييتا، أنشئ معادلة تربيعية جذورها 2 و5.

المستوى ب.

1. أوجد مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة:

2. باستخدام النظرية العكسية لنظرية فيتا، أنشئ معادلة تربيعية جذورها تساوي و .

المستوى ج.

1. تحليل برهان النظرية المقابلة لنظرية فييتا

2. حل المعادلة وتحقق باستخدام النظرية العكسية لنظرية فييتا:

مخطط تفصيلي للدرس

مراحل العمل

محتويات المرحلة

تنظيم الوقت, مشتمل:

تحديد الهدف الذي يجب على الطلاب تحقيقه في هذه المرحلةالدرس (ما يجب أن يفعله الطلاب حتى يكون عملهم الإضافي في الدرس فعالاً)

وصف طرق تنظيم عمل الطلاب المرحلة الأوليةالدرس، وإعداد الطلاب لأنشطة التعلم، وموضوع الدرس وموضوعه (مع مراعاة ميزات حقيقيةالصف الذي يعمل به المعلم)

متطلبات برنامج الإعداد الرياضي للطلاب في هذا الموضوع هو التعريف بمفهوم المعادلة التربيعية المختزلة ونظرية فييتا ونظريتها العكسية (من برنامج مؤسسات التعليم العام).

طلاب الصف الثامن - أطفال مرحلة المراهقةوالتي تتميز بعدم استقرار الانتباه. أفضل طريقة لتنظيم الانتباه هي تنظيم أنشطة التعلم بحيث لا يكون لدى الطلاب الوقت ولا الرغبة ولا الفرصة لتشتيت انتباههم لفترة طويلة.

وبناء على ما سبق فإن هدف الدرس هو حل المسائل التالية:
أ) تعليمي: التعريف بمفهوم المعادلة التربيعية المختزلة ونظرية فيتا ومبرهنتها العكسية.

ب) التطوير: تنمية التفكير المنطقي والذاكرة والانتباه والمهارات التعليمية العامة والقدرة على المقارنة والتعميم؛
ج) التعليمية: تعزيز العمل الجاد والمساعدة المتبادلة والثقافة الرياضية.

لكي ينظر الطلاب إلى الدرس على أنه جزء كامل منطقيًا وشاملًا ومحدودًا زمنيًا من العملية التعليمية، فإنه يبدأ بتحديد الأساس المنطقي للمهام وينتهي بتلخيص النتائج وتحديد المهام للدروس التالية.

استبيان للطلاب حول الواجبات المنزلية، مشتمل:

تحديد الأهداف التي يحددها المعلم للطلاب في هذه المرحلة من الدرس (ما هي النتيجة التي يجب أن يحققها الطلاب)؛

تحديد الأهداف والغايات التي يريد المعلم تحقيقها في هذه المرحلة من الدرس؛

وصف الأساليب التي تساهم في حل الأهداف والغايات المحددة؛

وصف معايير تحقيق أهداف وغايات هذه المرحلة من الدرس؛

تعريف الإجراءات الممكنةالمعلم إذا فشل هو أو الطلاب في تحقيق أهدافهم؛

وصف لأساليب تنظيم الأنشطة المشتركة للطلاب، مع مراعاة خصائص الفصل الذي يعمل فيه المعلم؛

وصف طرق تحفيز (تحفيز) نشاط التعلم للطلاب أثناء المسح؛

وصف طرق ومعايير تقييم استجابات الطلاب أثناء الاستطلاع.

في المرحلة الأولى، يتم إجراء فحص أمامي فردي وتصحيح لمعرفة ومهارات الطلاب. في هذه الحالة، يتم تكرار حل المعادلات التربيعية ويتم توحيد تحديد عدد الجذور بواسطة مميزها. يتم الانتقال إلى تعريف المعادلة التربيعية المخفضة.

وفي المرحلة الثانية يتم النظر في المعادلات من نوعين. حتى لا يتعب الطلاب من العمل الرتيب، يستخدمون أشكال متعددةخيارات العمل والمهام، يتم تضمين المهام ذات المستوى الأعلى (مع معلمة).

يتناوب العمل الشفهي للطلاب مع العمل الكتابي، والذي يتكون من تبرير اختيار طريقة حل المعادلة التربيعية وتحليل حل المعادلة

إحدى طرق الدعم التربوي هي استخدام تقنيات المعلوماتوالتي تساعد الطلاب بمستويات مختلفة من الاستعداد على استيعاب المادة بسهولة، لذلك يتم إجراء لحظات معينة من الدرس باستخدام العرض التقديمي (إظهار الحل عمل مستقل، أسئلة، العمل في المنزل)

تعلم اشياء جديده المواد التعليمية. تتضمن هذه المرحلة:

عرض الأحكام الرئيسية للمادة التعليمية الجديدة التي يجب أن يتقنها الطلاب؛

وصف أشكال وأساليب العرض (العرض) للمواد التعليمية الجديدة؛

وصف الأشكال والأساليب الرئيسية لتنظيم الأنشطة الفردية والجماعية للطلاب، مع مراعاة خصائص الفصل الذي يعمل فيه المعلم؛

وصف لمعايير تحديد مستوى اهتمام واهتمام الطلاب بالمادة التعليمية التي يقدمها المعلم؛

وصف طرق تحفيز (تحفيز) النشاط التعليمي للطلاب أثناء تطوير مادة تعليمية جديدة

يتم إعطاء تعريف المعادلة التربيعية المخفضة. يستنتج المعلم مع الطلاب صيغ جذور المعادلة التربيعية المعطاة، ويدرك الطلاب أهمية المادة التعليمية للدرس. يتم أيضًا تحليل صياغة وإثبات نظرية فييتا بالاشتراك مع الطلاب

مثل هذا العمل هو أيضًا توحيد لدراسة المواد الجديدة.

طُرق:

مرئي؛

عملي؛

لفظي؛

بحث جزئي

تعزيز المواد التعليمية، يقترح:

تحديد هدف تعليمي محدد للطلاب (ما هي النتيجة التي يجب أن يحققها الطلاب في هذه المرحلة من الدرس)؛

تحديد الأهداف والغايات التي يحددها المعلم لنفسه في هذه المرحلة من الدرس؛

وصف أشكال وأساليب تحقيق الأهداف المحددة أثناء توحيد المواد التعليمية الجديدة مع مراعاة الخصائص الفرديةالطلاب الذين يعمل معهم المعلم .

وصف لمعايير تحديد درجة إتقان الطلاب للمواد التعليمية الجديدة؛

وصف الطرق الممكنةوأساليب الاستجابة للمواقف التي يحدد فيها المعلم أن بعض الطلاب لم يتقنوا المادة التعليمية الجديدة.

يتم تعزيز المواد التعليمية عند الإجابة على الأسئلة والعمل مع الكتاب المدرسي:

تحليل المشكلة رقم 5 في الصفحة 125؛

حل التمارين

№ 450 (1)، 451 (1، 3، 5) - شفويا، 452 (شفهيا)؛

455 (1,3); 456 (1, 3)

طوال الدرس، يكون الطلاب نشيطين للغاية، ويتاح للمعلم فرصة إجراء مقابلات مع جميع الطلاب في الفصل، وبعضهم أكثر من مرة.

يتم تلخيص الدرس في شكل مسح أمامي للطلاب حول الأسئلة التالية:

ما هي المعادلات التي تسمى مخفضة؟

هل يمكن اختزال معادلة تربيعية عادية؟

اكتب صيغة جذور المعادلة التربيعية المعطاة

نظرية الدولة فييتا.

ما هو مجموع ومنتج جذور المعادلة:

الواجب المنزلي، مشتمل:

تحديد أهداف العمل المستقلة للطلاب (ما يجب على الطلاب فعله أثناء إكمال الواجبات المنزلية)؛

تحديد الأهداف التي يريد المعلم تحقيقها من خلال تعيين الواجبات المنزلية؛

تحديد وشرح للطلاب معايير إكمال الواجبات المنزلية بنجاح.

في الواجبات المنزلية، يُتوقع من الطلاب أن يعملوا في حدود قدراتهم. يعمل الطلاب الأقوياء بشكل مستقل وفي نهاية العمل تتاح لهم الفرصة للتحقق من صحة حلولهم من خلال التحقق منها بالحلول المكتوبة على السبورة في بداية الدرس التالي. يمكن للطلاب الآخرين الحصول على المشورة من زملائهم في الفصل أو المعلم. يعمل الطلاب الضعفاء بناءً على الأمثلة ويستخدمون حلول المعادلات التي تمت مناقشتها في الفصل. وهكذا يتم تهيئة الظروف للعمل عليها مستويات مختلفةالصعوبات.

مستوى اول

المعادلات التربيعية. دليل شامل (2019)

في مصطلح "المعادلة التربيعية"، الكلمة الأساسية هي "المعادلة التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس x) مربع، ولا ينبغي أن يكون هناك x للقوة الثالثة (أو أكبر).

يأتي حل العديد من المعادلات في حل المعادلات التربيعية.

دعونا نتعلم كيفية تحديد أن هذه معادلة تربيعية وليست معادلة أخرى.

مثال 1.

دعونا نتخلص من المقام ونضرب كل حد في المعادلة

دعونا ننقل كل شيء إلى الجهه اليسرىوترتيب المصطلحات ترتيبًا تنازليًا لقوى x

الآن يمكننا أن نقول بكل ثقة أن هذه المعادلة تربيعية!

مثال 2.

دعونا نضرب اليسار و الجانب الأيمنعلى ال:

وهذه المعادلة رغم أنها كانت موجودة أصلاً، إلا أنها ليست تربيعية!

مثال 3.

دعونا نضرب كل شيء بـ:

مخيف؟ الدرجة الرابعة والثانية... لكن إذا قمنا بالتعويض سنجد أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:

مثال 4.

يبدو أن هناك، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:

انظر، لقد تم تقليلها - والآن أصبحت معادلة خطية بسيطة!

حاول الآن أن تحدد بنفسك أي من المعادلات التالية تعتبر من الدرجة الثانية وأيها ليست كذلك:

أمثلة:

الإجابات:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. ليست مربعة
4. ليست مربعة
5. ليست مربعة
6. مربع؛
7. ليست مربعة
8. مربع.

يقسم علماء الرياضيات بشكل تقليدي جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:

• المعادلات التربيعية كاملة- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات، وكذلك الحد الحر c، الصفر (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك، من بين المعادلات التربيعية الكاملة هناك منح- هذه معادلات يكون فيها المعامل (المعادلة في المثال الأول ليست كاملة فحسب، بل مخفضة أيضًا!)

• المعادلات التربيعية غير الكاملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

  إنها غير مكتملة لأنها تفتقد بعض العناصر. لكن المعادلة يجب أن تحتوي دائما على x تربيع!!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية، بل معادلة أخرى.

لماذا توصلوا إلى مثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X مربع، حسنا. ويتم تحديد هذا التقسيم بطرق الحل. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم بمزيد من التفصيل.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

أولاً، دعونا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!

هناك أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.
2. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.
3. ، في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

1. أنا. لأننا نعرف كيفية استخراج الجذر التربيعي، فلنعبر عن هذه المعادلة

يمكن أن يكون التعبير سلبيًا أو إيجابيًا. لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا، لذا: إذا، فالمعادلة ليس لها حلول.

وإذا حدث ذلك، فسنحصل على جذرين. ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي هو أنك يجب أن تعرف وتتذكر دائمًا أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.

دعونا نحاول حل بعض الأمثلة.

مثال 5:

حل المعادلة

الآن كل ما تبقى هو استخراج الجذر من الجانبين الأيسر والأيمن. بعد كل شيء، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور التي تحمل علامة سلبية !!!

مثال 6:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 7:

حل المعادلة

أوه! لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور!

لمثل هذه المعادلات التي ليس لها جذور، توصل علماء الرياضيات إلى أيقونة خاصة - (مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الجواب هكذا:

إجابة:

ومن ثم، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا، لأننا لم نستخرج الجذر.
مثال 8:

حل المعادلة

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

هكذا،

هذه المعادلة لها جذرين.

إجابة:

أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

وسنستغني عن الأمثلة هنا.

حل المعادلات التربيعية الكاملة

نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة من الصيغة حيث

يعد حل المعادلات التربيعية الكاملة أصعب قليلًا (قليلًا) من هذه.

يتذكر، يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

ستساعدك الطرق الأخرى على القيام بذلك بشكل أسرع، لكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية، أتقن الحل أولًا باستخدام المميز.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

يعد حل المعادلات التربيعية باستخدام هذه الطريقة أمرًا بسيطًا للغاية، والشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ.

إذا، فإن المعادلة لها جذر. انتباه خاصاتخذ خطوة. المميز () يخبرنا بعدد جذور المعادلة.

• إذا، فسيتم تقليل الصيغة الموجودة في الخطوة إلى. وبالتالي فإن المعادلة سيكون لها جذر فقط.
• إذا، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

دعونا نعود إلى معادلاتنا وننظر إلى بعض الأمثلة.

مثال 9:

حل المعادلة

الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذرين.

الخطوه 3.

إجابة:

مثال 10:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد.

إجابة:

مثال 11:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج جذر المميز. لا توجد جذور للمعادلة.

الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.

إجابة:لا جذور

2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

إذا كنت تتذكر، هناك نوع من المعادلة يسمى مخفضة (عندما يكون المعامل a يساوي):

من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:

مجموع الجذور منحالمعادلة التربيعية متساوية، وحاصل ضرب الجذور متساوي.

مثال 12:

حل المعادلة

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن .

مجموع جذور المعادلة متساوي، أي. نحصل على المعادلة الأولى:

والمنتج يساوي:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

إجابة: ; .

مثال 13:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 14:

حل المعادلة

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

إجابة:

المعادلات التربيعية. مستوى متوسط

ما هي المعادلة التربيعية؟

وبعبارة أخرى، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل، حيث - المجهول، - بعض الأرقام، و.

الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.

لماذا؟ لأنه إذا أصبحت المعادلة خطية على الفور، لأن سوف تختفي.

وفي هذه الحالة، ويمكن أن يساوي الصفر. في معادلة الكرسي هذه تسمى غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط موجودة، أي أن المعادلة قد اكتملت.

حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية غير الكاملة:

أولاً، دعونا نلقي نظرة على طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.

يمكننا التمييز بين أنواع المعادلات التالية:

أولا: في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

ثانيا. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.

ثالثا. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحل لكل نوع من هذه الأنواع الفرعية.

من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا السبب:

إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول؛

إذا كان لدينا جذرين

ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور ذات الإشارة السلبية!

لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور.

لتدوين باختصار أن المشكلة ليس لها حلول، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.

إجابة:

إذن، هذه المعادلة لها جذرين: و.

إجابة:

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

يكون حاصل الضرب صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. وهذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:

إذن، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.

مثال:

حل المعادلة.

حل:

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة ونجد الجذور:

إجابة:

طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:

1. التمييز

من السهل حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة، والشيء الرئيسي هو أن تتذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ. تذكر أنه يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

هل لاحظت الجذر من المميز في صيغة الجذور؟ ولكن المميز يمكن أن يكون سلبيا. ما يجب القيام به؟ علينا أن نولي اهتمامًا خاصًا للخطوة رقم 2. يخبرنا المميز بعدد جذور المعادلة.

• إذا كانت المعادلة لها جذور:
• إذا كانت المعادلة موجودة جذور متطابقة، ولكن في الأساس جذر واحد:

  تسمى هذه الجذور بالجذور المزدوجة.

• إذا، فلا يتم استخراج جذر المميز. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

لماذا هناك أعداد مختلفة من الجذور ممكنة؟ دعونا ننتقل إلى الحس الهندسيمعادلة من الدرجة الثانية. الرسم البياني للدالة هو القطع المكافئ:

وفي حالة خاصة، وهي معادلة تربيعية، . وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع محور الإحداثي السيني (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق، أو قد يتقاطع عند نقطة واحدة (عندما يقع رأس القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.

وبالإضافة إلى ذلك، فإن المعامل هو المسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، وإذا، ثم للأسفل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

إجابة: .

إجابة:

وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

إجابة: .

2. نظرية فييتا

من السهل جدًا استخدام نظرية فييتا: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام الذي يساوي منتجها الحد الحر للمعادلة، والمجموع يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالعلامة المعاكسة.

من المهم أن نتذكر أن نظرية فييتا لا يمكن تطبيقها إلا في المعادلات التربيعية المخفضة ().

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1:

حل المعادلة.

حل:

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن . معاملات أخرى: ; .

مجموع جذور المعادلة هو:

والمنتج يساوي:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ونتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

وبالتالي، و هي جذور المعادلة لدينا.

إجابة: ؛ .

المثال رقم 2:

حل:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تظهر في المنتج، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

و: يعطون إجمالاً.

و: يعطون إجمالاً. للحصول على ذلك، يكفي ببساطة تغيير علامات الجذور المفترضة: وبعد كل شيء، المنتج.

إجابة:

المثال رقم 3:

حل:

الحد الحر للمعادلة هو سالب، وبالتالي فإن حاصل ضرب الجذور هو عدد سالب. وهذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذرين سالبًا والآخر موجبًا. وبالتالي فإن مجموع الجذور يساوي الاختلافات في وحداتهم.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تعطي حاصل الضرب، والتي يساوي فرقها:

و: فرقهم متساوي - لا يصلح؛

و: - غير مناسب؛

و: - غير مناسب؛

و: - مناسب. كل ما تبقى هو أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. وبما أن مجموعهما يجب أن يكون متساويًا، فإن الجذر ذو المعامل الأصغر يجب أن يكون سالبًا: . نحن نفحص:

إجابة:

المثال رقم 4:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

الحد الحر سالب، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور سالبًا. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون حاصل ضربها متساويًا، ثم نحدد الجذور التي يجب أن تكون لها علامة سالبة:

من الواضح أن الجذور فقط هي المناسبة للشرط الأول:

إجابة:

المثال رقم 5:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

مجموع الجذور سالب، مما يعني أنه وفقًا لـ على الأقل، أحد الجذور سلبي. لكن بما أن حاصل ضربهما موجب، فهذا يعني أن كلا الجذرين لهما علامة الطرح.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يساوي منتجها:

من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.

إجابة:

أوافق، من المريح للغاية التوصل إلى جذور شفويا، بدلا من حساب هذا التمييز السيئ. حاول استخدام نظرية فييتا كلما أمكن ذلك.

لكن نظرية فييتا ضرورية لتسهيل وتسريع العثور على الجذور. لكي تستفيد من استخدامه، يجب عليك جعل الإجراءات تلقائية. ولهذا، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام أداة التمييز! نظرية فييتا فقط:

حلول لمهام العمل المستقل:

المهمة 1. ((x)^(2))-8x+12=0

وفقا لنظرية فييتا:

كالعادة نبدأ الاختيار بالقطعة:

غير مناسب لأن المبلغ؛

: المبلغ هو فقط ما تحتاجه.

إجابة: ؛ .

المهمة 2.

ومرة أخرى نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن يكون المجموع متساويًا، ويجب أن يكون حاصل الضرب متساويًا.

ولكن بما أنه لا بد أن لا يكون، بل نغير علامات الجذور: و(إجمالا).

إجابة: ؛ .

المهمة 3.

همم... أين ذلك؟

تحتاج إلى نقل جميع المصطلحات إلى جزء واحد:

مجموع الجذور يساوي المنتج.

حسنًا، توقف! لم يتم إعطاء المعادلة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المعطاة. لذا عليك أولاً أن تعطي معادلة. إذا لم تتمكن من القيادة، فتخلى عن هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال التمييز). اسمحوا لي أن أذكرك أن إعطاء معادلة تربيعية يعني جعل المعامل الرئيسي متساويًا:

عظيم. ثم مجموع الجذور يساوي والمنتج.

هنا يكون الاختيار سهلاً مثل قشر الكمثرى: فهو في النهاية رقم أولي (آسف على التكرار).

إجابة: ؛ .

المهمة 4.

العضو الحر سلبي. ما هو المميز في هذا؟ والحقيقة هي أن الجذور سيكون لها علامات مختلفة. والآن، أثناء الاختيار، لا نتحقق من مجموع الجذور، ولكن الفرق في وحداتها: هذا الاختلاف متساوي، ولكن المنتج.

إذن، الجذران يساويان و، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، أي. وهذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له ناقص: و، منذ ذلك الحين.

إجابة: ؛ .

المهمة 5.

ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ هذا صحيح، أعط المعادلة:

مرة أخرى: نختار عوامل العدد، ويجب أن يكون الفرق بينهما مساوياً لـ:

الجذور تساوي و، لكن أحدهما سالب. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهما متساويًا، مما يعني أن الطرح سيكون له جذر أكبر.

إجابة: ؛ .

اسمحوا لي أن ألخص:

1. تُستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
2. باستخدام نظرية فييتا، يمكنك العثور على الجذور عن طريق الاختيار، شفهيًا.
3. إذا لم يتم إعطاء المعادلة أو لم يتم العثور على زوج مناسب من العوامل للمصطلح الحر، فلن تكون هناك جذور كاملة، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال المميز).

3. طريقة اختيار مربع كامل

إذا تم تمثيل جميع الحدود التي تحتوي على المجهول في شكل حدود من صيغ الضرب المختصرة - مربع المجموع أو الفرق - فبعد استبدال المتغيرات، يمكن تقديم المعادلة في شكل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع.

على سبيل المثال:

مثال 1:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

مثال 2:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

بشكل عام، سيبدو التحول كما يلي:

هذا يعني: .

لا يذكرك بأي شيء؟ هذا شيء تمييزي! وهذا هو بالضبط كيف حصلنا على صيغة التمييز.

المعادلات التربيعية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

معادلة من الدرجة الثانية- هذه معادلة من الشكل حيث - المجهول - معاملات المعادلة التربيعية - الحد الحر.

معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي معاملاتها الصفر.

معادلة تربيعية مخفضة- معادلة فيها المعامل أي : .

معادلة تربيعية غير مكتملة- معادلة يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

• إذا كان المعامل تبدو المعادلة كما يلي:
• إذا كان هناك حد حر، فإن المعادلة لها الشكل: ,
• إذا كانت و فإن المعادلة تبدو كالتالي: .

1. خوارزمية حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

1.1. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) نعرب عن المجهول : ,

2) التحقق من علامة التعبير:

• إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول،
• إذا كانت المعادلة لها جذرين.

1.2. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) لنخرج العامل المشترك بين القوسين : ,

2) يكون حاصل الضرب صفراً إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفراً. وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين:

1.3. معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل، حيث:

هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط: .

2. خوارزمية حل المعادلات التربيعية الكاملة من حيث الشكل

2.1. الحل باستخدام التمييز

1) لنجعل المعادلة بالشكل القياسي : ,

2) لنحسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:

3) أوجد جذور المعادلة:

• إذا كانت المعادلة لها جذور، والتي تم العثور عليها بالصيغة:
• إذا كانت المعادلة لها جذر، والذي تم العثور عليه بالصيغة:
• إذا، فالمعادلة ليس لها جذور.

2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل حيث) متساوي، وحاصل ضرب الجذور متساوي، أي. ، أ.

2.3. الحل بطريقة اختيار مربع كامل

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها ضرورية للغاية.

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a وb وc هي أرقام عشوائية وa ≠ 0.

قبل دراسة طرق حل محددة، لاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور.
2. لديك جذر واحد بالضبط؛
3. لديهم جذور مختلفة.

وهذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والمعادلات الخطية، حيث يكون الجذر موجودًا دائمًا وفريدًا. كيفية تحديد عدد جذور المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - تمييزي.

مميز

دع المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0. إذن فإن المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 − 4ac.

عليك أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهما الآن. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميز يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا د< 0, корней нет;
2. إذا كان D = 0، هناك جذر واحد بالضبط؛
3. إذا كان D > 0، سيكون هناك جذرين.

يرجى ملاحظة: يشير المميز إلى عدد الجذور، وليس علاماتها على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. ما عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 8س + 12 = 0;
2. 5س 2 + 3س + 7 = 0؛
3. س 2 − 6س + 9 = 0.

لنكتب معاملات المعادلة الأولى ونوجد المميز:
أ = 1، ب = −8، ج = 12؛
د = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

إذن يكون المميز موجبًا، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5؛ ب = 3؛ ج = 7؛
د = 2 3 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

المميز سالب، ولا توجد جذور. المعادلة الأخيرة المتبقية هي:
أ = 1؛ ب = −6؛ ج = 9؛
د = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

المميز هو صفر، وسيكون الجذر واحدًا.

يرجى ملاحظة أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم، إنها طويلة، نعم، إنها مملة، لكنك لن تخلط بين الاحتمالات وترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة، إذا تمكنت من ذلك، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بإجراء مثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد حل المعادلات بنسبة 50-70 - بشكل عام، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل نفسه. إذا كان المميز D > 0، فيمكن العثور على الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما يكون D = 0، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - سوف تحصل على نفس الرقم، والذي سيكون الجواب. وأخيراً إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. س 2 − 2س − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. × 2 + 12س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 − 2س − 3 = 0 ⇒ أ = 1; ب = −2؛ ج = −3;
د = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ للمعادلة جذرين. دعونا نجدهم:

المعادلة الثانية:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ أ = −1; ب = −2؛ ج = 15؛
د = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ المعادلة لها جذرين مرة أخرى. دعونا نجدهم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

وأخيراً المعادلة الثالثة:
س 2 + 12س + 36 = 0 ⇒ أ = 1; ب = 12؛ ج = 36؛
د = 12 2 − 4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال، الأول:

كما ترون من الأمثلة، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتستطيع العد، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان، تحدث الأخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا، واكتب كل خطوة - وسرعان ما تتخلص من الأخطاء.

المعادلات التربيعية غير الكاملة

يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف قليلاً عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:

1. س 2 + 9س = 0؛
2. س 2 − 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن هذه المعادلات تفتقد أحد المصطلحات. إن حل هذه المعادلات التربيعية أسهل من حل المعادلات القياسية: فهي لا تتطلب حتى حساب المميز. لذلك، دعونا نقدم مفهوما جديدا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان b = 0 أو c = 0، أي. معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.

بالطبع، هذا ممكن تمامًا قضية صعبة، عندما يكون كلا هذين المعاملين يساوي الصفر: b = c = 0. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة الشكل ax 2 = 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.

دعونا ننظر في الحالات المتبقية. لنفترض أن b = 0، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة بالصيغة ax 2 + c = 0. فلنحولها قليلاً:

بما أن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط لعدد غير سالب، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط بالنسبة لـ (−c /a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت في معادلة تربيعية غير مكتملة من الصيغة ax 2 + c = 0 تم تحقيق المتراجحة (−c /a) ≥ 0، فسيكون هناك جذرين. الصيغة مذكورة أعلاه.
2. إذا (-ج /أ)< 0, корней нет.

كما ترون، لم يكن المميز مطلوبًا، إذ لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في المعادلات التربيعية غير المكتملة. في الواقع، ليس من الضروري حتى أن نتذكر المتراجحة (−c /a) ≥ 0. يكفي التعبير عن القيمة x 2 ومعرفة ما هو على الجانب الآخر من علامة المساواة. إذا كان هناك عدد موجب، فسيكون هناك جذرين. إذا كانت سلبية، فلن يكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات ذات الصيغة ax 2 + bx = 0، حيث العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

أخذ العامل المشترك من بين قوسين

يكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. ومن هنا تأتي الجذور. وفي الختام، دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 7س = 0;
2. 5س 2 + 30 = 0؛
3. 4س 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; س 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور، لأنه لا يمكن للمربع أن يساوي رقمًا سالبًا.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5.

ياكوبوفا م. 1

سميرنوفا يو.في. 1

1 المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية المدرسة الثانوية رقم 11

يتم نشر نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

تاريخ المعادلات التربيعية

بابل

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل من الدرجة الثانية أيضًا، في العصور القديمة كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي، مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون. قواعد حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع المعادلات الحديثة، لكن في هذه النصوص لا يوجد مفهوم للعدد السالب و الأساليب العامةحل المعادلات التربيعية.

اليونان القديمة

كما تم حل المعادلات التربيعية في اليونان القديمةعلماء مثل ديوفانتوس وإقليدس وهيرون. ديوفانتوس ديوفانتوس السكندري هو عالم رياضيات يوناني قديم من المفترض أنه عاش في القرن الثالث الميلادي. العمل الرئيسي لديوفانتس هو "الحساب" في 13 كتابًا. إقليدس. إقليدس عالم رياضيات يوناني قديم، مؤلف أول أطروحة نظرية عن الرياضيات وصلت إلينا، هيرون. مالك الحزين - عالم رياضيات ومهندس يوناني ظهر لأول مرة في اليونان في القرن الأول الميلادي. يعطي نظيفة الطريقة الجبريةحلول المعادلات التربيعية

الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. وأوضح عالم هندي آخر، براهماغوبتا (القرن السابع). قاعدة عامةحلول المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد: ax2 + bx = c, a> 0. (1) في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا. كانت المسابقات العامة لحل المشكلات الصعبة شائعة في الهند. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تحجب الشمس النجوم بريقها كذلك" رجل متعلمسوف يحجب مجده في التجمعات العامة من خلال اقتراح وحل المسائل الجبرية. غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

"قطيع من القرود المرحة

واثنا عشر على طول الكروم، بعد أن أكلوا حتى شبع قلبي، استمتعوا

بدأوا في القفز، معلقة

الجزء الثامن منهم تربيع

كم عدد القرود كان هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة

قل لي، في هذه الحزمة؟

ويشير حل بهاسكارا إلى أن المؤلف كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين. يكتب بهاسكار المعادلة المقابلة للمسألة بالشكل x2 - 64x = - 768، ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع، يضيف 322 إلى كلا الطرفين، ثم يحصل على: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 ، (س - 32)2 = 256، س - 32 = ±16، x1 = 16، x2 = 48.

المعادلات التربيعية في أوروبا في القرن السابع عشر

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الجديد أمثلة جبريةحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي أدخل الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا. اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

تعريف المعادلة التربيعية

المعادلة التي على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث a، b، c أرقام، تسمى معادلة تربيعية.

معاملات المعادلة التربيعية

الأرقام a، b، c هي معاملات المعادلة التربيعية. a هو المعامل الأول (قبل x²)، a ≠ 0، b هو المعامل الثاني (قبل x)، c هو الحد الحر (بدون x).

أي من هذه المعادلات ليست تربيعية؟?

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5س - 7 = 0;3. - س² - 5س - 1 = 0;4. 2/س² + 3س + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. س² - 1/س = 0;9. 2x² - س = 0;10. س² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

أنواع المعادلات التربيعية

اسم	الشكل العام للمعادلة	الميزة (ما هي المعاملات)	أمثلة على المعادلات
	الفأس 2 + ب س + ج = 0	أ، ب، ج - أرقام أخرى غير 0	1/3س 2 + 5س - 1 = 0
غير مكتمل
			× 2 - 1/5س = 0
منح	س 2 + ب س + ج = 0		س 2 - 3س + 5 = 0

المخفضة هي معادلة تربيعية يكون فيها المعامل الرئيسي يساوي واحدًا. يمكن الحصول على مثل هذه المعادلة بقسمة التعبير بأكمله على المعامل الرئيسي أ:

س 2 + بيكسل + ف =0، ع = ب/أ، ف = ج/أ

تسمى المعادلة التربيعية كاملة إذا كانت جميع معاملاتها غير صفر.

تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة حيث يكون أحد المعاملات على الأقل، باستثناء العامل الرئيسي (إما المعامل الثاني أو الحد الحر)، يساوي الصفر.

طرق حل المعادلات التربيعية

الطريقة الأولى الصيغة العامة لحساب الجذور

للعثور على جذور المعادلة التربيعية فأس 2 + ب + ج = 0بشكل عام، يجب عليك استخدام الخوارزمية أدناه:

احسب قيمة مميز المعادلة التربيعية: هذا هو التعبير عنها د =ب 2 - 4ac

اشتقاق الصيغة:

ملحوظة:من الواضح أن صيغة جذر التعدد 2 هي حالة خاصة من الصيغة العامة، يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المساواة D=0 فيها، والاستنتاج حول عدم وجود جذور حقيقية عند D0، و (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

الطريقة المقدمة عالمية، ولكنها ليست الوحيدة. يمكن حل معادلة واحدة بعدة طرق، مع التفضيلات التي تعتمد عادةً على الحل. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يكون لهذا الغرض بعض الأساليب أكثر أناقة وبساطة وأقل كثافة في العمالة من الطريقة القياسية.

الطريقة الثانية. جذور المعادلة التربيعية ذات المعامل الزوجيب الطريقة الثالثة. حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

الطريقة الرابعة. استخدام النسب الجزئية للمعاملات

هناك حالات خاصة للمعادلات التربيعية تكون فيها المعاملات مرتبطة ببعضها البعض، مما يجعل حلها أسهل بكثير.

جذور المعادلة التربيعية التي يكون فيها مجموع المعامل الرئيسي والحد الحر يساوي المعامل الثاني

إذا كان في معادلة تربيعية فأس 2 + ب س + ج = 0مجموع المعامل الأول والحد الحر يساوي المعامل الثاني: أ+ب=جفإن جذوره هي -1 والرقم المقابل لنسبة الحد الحر إلى المعامل الرئيسي ( -ج/أ).

ومن ثم، قبل حل أي معادلة تربيعية، عليك التحقق من إمكانية تطبيق هذه النظرية عليها: قارن مجموع المعامل الرئيسي والحد الحر مع المعامل الثاني.

جذور معادلة تربيعية مجموع معاملاتها صفر

إذا كان مجموع معاملاتها في معادلة تربيعية هو صفر، فإن جذور هذه المعادلة هي 1 ونسبة الحد الحر إلى المعامل الرئيسي ( ج / أ).

لذلك قبل حل المعادلة الطرق القياسية، يجب عليك التحقق من إمكانية تطبيق هذه النظرية عليها: قم بجمع جميع معاملات هذه المعادلة ومعرفة ما إذا كان هذا المجموع يساوي الصفر.

طريقة V. تحليل ثلاثية الحدود التربيعية إلى عوامل خطية

إذا كان ثلاثي الحدود من الشكل (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + ب س + ج(أ ≠ 0)يمكن تمثيلها بطريقة ما كحاصل ضرب العوامل الخطية (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n)، ثم يمكننا إيجاد جذور المعادلة فأس 2 + ب س + ج = 0- سيكونون -m/k وn/l، في الواقع، بعد كل شيء (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0السهم الأيمن الأيسر kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n، وبعد حل المعادلات الخطية المشار إليها، نحصل على ما سبق. لاحظ أن ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةلا يتحلل دائمًا إلى عوامل خطية ذات معاملات حقيقية: وهذا ممكن إذا كانت المعادلة المقابلة لها جذور حقيقية.

دعونا ننظر في بعض الحالات الخاصة

باستخدام صيغة المجموع التربيعي (الفرق).

إذا كانت ثلاثية الحدود التربيعية لها الصيغة (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 ، فمن خلال تطبيق الصيغة أعلاه عليها، يمكننا تحليلها إلى عوامل خطية و لذلك ابحث عن الجذور:

(الفأس) 2 + 2أب س + ب 2 = (الفأس + ب) 2

عزل المربع الكامل للمجموع (الفرق)

تُستخدم الصيغة المذكورة أعلاه أيضًا باستخدام طريقة تسمى "اختيار المربع الكامل للمجموع (الفرق)." بالنسبة للمعادلة التربيعية أعلاه مع التدوين الذي تم تقديمه سابقًا، فهذا يعني ما يلي:

ملحوظة:إذا لاحظتم أن هذه الصيغة تتطابق مع تلك المقترحة في قسم "جذور المعادلة التربيعية المخفضة"، والتي بدورها يمكن الحصول عليها من الصيغة العامة (1) عن طريق استبدال المساواة a=1. هذه الحقيقة ليست مجرد صدفة: باستخدام الطريقة الموصوفة، وإن كان مع بعض الأسباب الإضافية، من الممكن استخلاص صيغة عامة وإثبات خصائص المميز.

الطريقة السادسة. باستخدام نظرية فييتا المباشرة والمعكوسة

تتيح لك نظرية فييتا المباشرة (انظر أدناه في القسم الذي يحمل نفس الاسم) ونظريتها العكسية حل المعادلات التربيعية المذكورة أعلاه شفهيًا، دون اللجوء إلى حسابات مرهقة إلى حد ما باستخدام الصيغة (1).

وفقًا للنظرية العكسية، كل زوج من الأرقام (عدد) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2، وهو حل لنظام المعادلات أدناه، هو جذور المعادلة

في الحالة العامة، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المخفضة ax 2 + bx + c = 0

س 1 + س 2 = -ب/أ، س 1 * س 2 = ج/أ

ستساعدك النظرية المباشرة في العثور على الأعداد التي تحقق هذه المعادلات شفهيًا. بمساعدتها يمكنك تحديد علامات الجذور دون معرفة الجذور نفسها. للقيام بذلك، يجب عليك اتباع القاعدة:

1) إذا كان الحد الحر سالبا فإن الجذور لها علامة مختلفة، والمعامل الأكبر للجذور هو الإشارة المقابلة لإشارة المعامل الثاني للمعادلة؛

2) إذا كان الحد الحر موجباً فإن الجذرين لهما نفس الإشارة، وهذه هي الإشارة المقابلة لإشارة المعامل الثاني.

الطريقة السابعة. طريقة النقل

تتيح لك طريقة "النقل" المزعومة تقليل حل المعادلات غير المختزلة وغير القابلة للاختزال إلى شكل معادلات مختزلة ذات معاملات صحيحة عن طريق قسمتها على المعامل الرئيسي لحل المعادلات المختزلة ذات المعاملات الصحيحة. وهي كالاتي:

بعد ذلك، يتم حل المعادلة شفهيا بالطريقة الموضحة أعلاه، ثم يعودون إلى المتغير الأصلي ويجدون جذور المعادلات (displaystyle y_(1)=ax_(1)) ذ 1 =ax 1 و ذ 2 =ax 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

معنى هندسي

الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. حلول (جذور) المعادلة التربيعية هي حدود نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني. إذا وصف القطع المكافئ وظيفة من الدرجة الثانية، لا يتقاطع مع المحور السيني، فالمعادلة ليس لها جذور حقيقية. إذا تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني عند نقطة واحدة (عند قمة القطع المكافئ)، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد (ويقال أيضًا أن المعادلة لها جذرين متطابقين). إذا تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني عند نقطتين، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين (انظر الصورة على اليمين).

إذا معامل (displaystyle أ) أإيجابيًا، يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى والعكس صحيح. إذا كان المعامل (نمط العرض ب)ب موجب (إذا كان موجبًا (displaystyle a) أ، إذا كان سالبًا، والعكس صحيح)، فإن قمة القطع المكافئ تقع في نصف المستوى الأيسر والعكس صحيح.

تطبيق المعادلات التربيعية في الحياة

المعادلة التربيعية تستخدم على نطاق واسع. يتم استخدامه في العديد من الحسابات والهياكل والرياضات وأيضًا من حولنا.

دعونا نفكر ونعطي بعض الأمثلة على تطبيق المعادلة التربيعية.

رياضة. القفزات العالية: أثناء صعود القافز، يتم استخدام الحسابات المتعلقة بالقطع المكافئ لتحقيق أوضح تأثير ممكن على شريط الإقلاع والطيران العالي.

أيضا، هناك حاجة إلى حسابات مماثلة في الرمي. يعتمد مدى طيران الجسم على المعادلة التربيعية.

الفلك. يمكن العثور على مسار الكواكب باستخدام معادلة تربيعية.

رحلة الطائرة. إقلاع الطائرة هو العنصر الرئيسي في الرحلة. نحن هنا نأخذ حساب المقاومة المنخفضة وتسارع الإقلاع.

تُستخدم المعادلات التربيعية أيضًا في مختلف التخصصات الاقتصادية، في برامج معالجة الصوت والفيديو والرسومات المتجهة والنقطية.

خاتمة

ونتيجة للعمل المنجز، اتضح أن المعادلات التربيعية جذبت العلماء إلى العصور القديمة، وقد واجهوها بالفعل عند حل بعض المهام وحاولوا حلها. مع مراعاة طرق مختلفةعند حل المعادلات التربيعية، توصلت إلى نتيجة مفادها أنها ليست كلها بسيطة. في رأيي الأكثر أفضل طريقةحل المعادلات التربيعية هو الحل عن طريق الصيغ. من السهل تذكر الصيغ، وهذه الطريقة عالمية. تم تأكيد الفرضية القائلة بأن المعادلات تستخدم على نطاق واسع في الحياة والرياضيات. وبعد دراسة الموضوع تعلمت الكثير حقائق مثيرة للاهتمامعن المعادلات التربيعية، استخدامها، تطبيقها، أنواعها، حلولها. وسأكون سعيدًا بمواصلة دراستهم. آمل أن يساعدني هذا على أداء جيد في امتحاناتي.

قائمة الأدب المستخدم

مواد الموقع:

ويكيبيديا

افتح الدرس.rf

دليل الرياضيات الابتدائية Vygodsky M. Ya.

"، أي معادلات من الدرجة الأولى. في هذا الدرس سوف ننظر ما يسمى المعادلة التربيعيةوكيفية حلها.

ما هي المعادلة التربيعية؟

مهم!

يتم تحديد درجة المعادلة من خلال أعلى درجة يقف عندها المجهول.

إذا كانت القدرة القصوى للمجهول هي "2"، فلديك معادلة تربيعية.

أمثلة على المعادلات التربيعية

• 5س 2 − 14س + 17 = 0
• −س 2 + س +

  1

  3

  = 0
• × 2 + 0.25س = 0
• س 2 − 8 = 0

مهم! يبدو الشكل العام للمعادلة التربيعية كما يلي:

أ س 2 + ب س + ج = 0

يتم إعطاء الأرقام "أ" و"ب" و"ج".

• "أ" هو المعامل الأول أو الأعلى؛
• "ب" هو المعامل الثاني؛
• "ج" عضو حر.

للعثور على "a" و"b" و"c" تحتاج إلى مقارنة معادلتك بالشكل العام للمعادلة التربيعية "ax 2 + bx + c = 0".

دعونا نتدرب على تحديد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" في المعادلات التربيعية.

5س 2 − 14س + 17 = 0 −7س 2 − 13س + 8 = 0 −س 2 + س +

المعادلة	احتمال
أ = 5 ب = −14 ج = 17
أ = −7 ب = −13 ج = 8

1

3

= 0

• أ = −1
• ب = 1
• ج =

  1

  3

× 2 + 0.25س = 0

• أ = 1
• ب = 0.25
• ج = 0

س 2 − 8 = 0

• أ = 1
• ب = 0
• ج = −8

كيفية حل المعادلات التربيعية

على عكس المعادلات الخطيةلحل المعادلات التربيعية، خاصة صيغة للعثور على الجذور.

يتذكر!

لحل معادلة تربيعية تحتاج إلى:

• تقليل المعادلة التربيعية إلى المظهر العام"الفأس 2 + ب س + ج = 0". وهذا يعني أن "0" فقط يجب أن يبقى على الجانب الأيمن؛
• استخدام الصيغة للجذور:

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية استخدام الصيغة للعثور على جذور المعادلة التربيعية. دعونا نحل معادلة من الدرجة الثانية.

× 2 − 3س − 4 = 0

لقد تم بالفعل اختصار المعادلة "x 2 − 3x − 4 = 0" إلى الصيغة العامة "ax 2 + bx + c = 0" ولا تتطلب تبسيطات إضافية. لحلها، نحن بحاجة فقط إلى تطبيق صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

دعونا نحدد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" لهذه المعادلة.

س 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =

ويمكن استخدامه لحل أي معادلة من الدرجة الثانية.

في الصيغة "x 1;2 =" غالبًا ما يتم استبدال التعبير الجذري
"b 2 − 4ac" للحرف "D" ويسمى المميز. تمت مناقشة مفهوم المُميِّز بمزيد من التفصيل في الدرس "ما هو المُميِّز".

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر للمعادلة التربيعية.

س 2 + 9 + س = 7س

في هذا النموذج، من الصعب جدًا تحديد المعاملات "أ" و"ب" و"ج". دعونا أولاً نختصر المعادلة إلى الصورة العامة "ax 2 + bx + c = 0".

× 2 + 9 + س = 7س
س 2 + 9 + س − 7س = 0
س 2 + 9 − 6س = 0
س 2 − 6س + 9 = 0

الآن يمكنك استخدام الصيغة للجذور.

× 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =
س =

6

2

س = 3
الجواب: س = 3

هناك أوقات لا يكون فيها للمعادلات التربيعية جذور. يحدث هذا الموقف عندما تحتوي الصيغة على رقم سالب تحت الجذر.