المهام ل المتوالية العدديةكانت موجودة بالفعل في العصور القديمة. لقد حضروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.

وهكذا فإن إحدى برديات مصر القديمة ذات المحتوى الرياضي، وهي بردية ريند (القرن التاسع عشر قبل الميلاد)، تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة أكيال من الخبز على عشرة أشخاص، على أن يكون الفرق بين كل منهم ثمن الخبز. يقيس."

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء هناك نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. وهكذا، صاغ هيبسكل الإسكندرية (القرن الثاني، الذي جمع العديد من المسائل المثيرة للاهتمام وأضاف الكتاب الرابع عشر إلى عناصر إقليدس)، الفكرة: "في التقدم الحسابي الذي يحتوي على عدد زوجي من الحدود، يكون مجموع حدود النصف الثاني أكبر من مجموع حدود الأول في المربع 1/2 عدد الأعضاء."

يتم الإشارة إلى التسلسل بواسطة. تسمى أرقام التسلسل أعضائه وعادةً ما يتم تحديدها بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى الرقم التسلسلي لهذا العضو (a1، a2، a3 ... اقرأ: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3rd" وما إلى ذلك وهلم جرا ).

يمكن أن يكون التسلسل لا نهائيًا أو محدودًا.

ما هو التقدم الحسابي؟ ونعني به الذي تم الحصول عليه بإضافة الحد السابق (ن) بنفس الرقم د، وهو فرق التتابع.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، فإن هذا التقدم يعتبر متزايدا.

يسمى التقدم الحسابي محدودًا إذا تم أخذ حدوده القليلة الأولى في الاعتبار. في جدا كميات كبيرةالأعضاء بالفعل تقدم لا نهاية له.

يتم تعريف أي تقدم حسابي بالصيغة التالية:

an =kn+b، بينما b وk عبارة عن بعض الأرقام.

العبارة المعاكسة صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء تسلسل بصيغة مماثلة، فهو بالضبط تقدم حسابي له الخصائص:

1. كل حد من المتتابعة هو الوسط الحسابي للحد السابق واللاحق.
2. العكس: إذا كان كل حد ابتداء من الثاني هو الوسط الحسابي للحد السابق والحد اللاحق، أي. فإذا تحقق الشرط، فإن هذه المتوالية تعتبر متوالية حسابية. هذه المساواة هي أيضا علامة على التقدم، ولهذا السبب يطلق عليها عادة خاصية مميزة للتقدم.
   وبنفس الطريقة، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: فالمتتابعة تكون تقدمًا حسابيًا فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من حدود المتتابعة، بدءًا من الحد الثاني.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام من التقدم الحسابي بالصيغة an + am = ak + al، إذا كانت n + m = k + l (m، n، k هي أرقام متتالية).

في المتوالية الحسابية، يمكن العثور على أي حد ضروري (Nth) باستخدام الصيغة التالية:

على سبيل المثال: الحد الأول (أ1) في المتتابعة الحسابية معطى ويساوي ثلاثة، والفرق (د) يساوي أربعة. أنت بحاجة إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ45 = 1+4(45-1)=177

الصيغة an = ak + d(n - k) تسمح لنا بتحديد الفصل الدراسي التاسعمتوالية حسابية خلال أي حد من حدوده بشرط أن يكون معلوما.

يتم حساب مجموع شروط التقدم الحسابي (بمعنى الحدود n الأولى للتقدم المحدود) على النحو التالي:

القص = (أ1+أن) ن/2.

إذا كان الحد الأول معروفًا أيضًا، فستكون هناك صيغة أخرى ملائمة للحساب:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على n من الحدود على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على ظروف المشكلات والبيانات الأولية.

المتسلسلة الطبيعية لأية أرقام، مثل 1،2،3،...،ن،...- أبسط مثالالمتوالية العددية.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.

مستوى اول

المتوالية العددية. النظرية التفصيليةمع الأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم رقم) هو نفسه دائمًا.
الرقم ذو الرقم يسمى الحد العاشر من التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسل رقميحيث يكون الفرق بين الأرقام المتجاورة هو نفسه ومتساويا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل الرقمي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في القرن السادس وكان يُفهم بالمعنى الأوسع على أنه تسلسل عددي لا نهائي. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي درسها اليونانيون القدماء.

هذا تسلسل رقمي، كل عضو فيه يساوي الرقم السابق مضافًا إلى نفس الرقم. يُسمى هذا الرقم بفارق التقدم الحسابي ويتم تحديده.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست كذلك:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة الحد العاشر الخاص به. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا إضافة رقم التقدم إلى القيمة السابقة حتى نصل إلى الحد الرابع من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

لذا فإن الحد العاشر للتقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو أردنا إيجاد قيمة الحد العاشر للتقدم؟ سيستغرق الجمع منا أكثر من ساعة، وليس حقيقة أننا لن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة ليس من الضروري فيها إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. ألق نظرة فاحصة على الصورة المرسومة... بالتأكيد قد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا، وهو:

على سبيل المثال، دعونا نرى مما تتكون قيمة الحد العاشر من هذه التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول العثور على قيمة عضو في تقدم حسابي معين بنفسك بهذه الطريقة.

هل قمت بالحساب؟ قارن ملاحظاتك بالإجابة:

يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بإضافة شروط التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة بشكل تسلسلي.
دعونا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فلنضعها في الاعتبار الشكل العامونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

يمكن أن تكون التقدمات الحسابية متزايدة أو متناقصة.

في ازدياد- التقدم الذي تكون فيه كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التتابعات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

يتم استخدام الصيغة المشتقة في حساب الحدود في كل من الحدود المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعونا نتحقق من هذا في الممارسة العملية.
لقد حصلنا على تقدم حسابي يتكون من الأرقام التالية: دعونا نتحقق من الرقم الذي سيكون عليه هذا التقدم الحسابي إذا استخدمنا صيغتنا لحسابه:

منذ ذلك الحين:

وهكذا، نحن مقتنعون بأن الصيغة تعمل في كل من التقدم الحسابي المتناقص والمتزايد.
حاول العثور على الحدين العاشر والخامس لهذا التقدم الحسابي بنفسك.

دعونا نقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المشكلة - سنستمد خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أن لدينا الشرط التالي:
- التقدم الحسابي، العثور على القيمة.
من السهل أن تقول وتبدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا آه إذن:

صح تماما. اتضح أننا نجده أولاً ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة، فلا يوجد شيء معقد في الأمر، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الشرط؟ موافق، هناك احتمال ارتكاب خطأ في الحسابات.
فكر الآن فيما إذا كان من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع نعم، وهذا ما سنحاول إبرازه الآن.

لنشير إلى الحد المطلوب للمتتابعة الحسابية، فصيغة إيجاده معروفة لدينا، وهي نفس الصيغة التي استنتجناها في البداية:
، ثم:

• المصطلح السابق للتقدم هو:
• المصطلح التالي للتقدم هو:

دعونا نلخص المصطلحات السابقة واللاحقة للتقدم:

اتضح أن مجموع الحدود السابقة واللاحقة للتقدم هو القيمة المزدوجة لمصطلح التقدم الموجود بينهما. وبعبارة أخرى، للعثور على قيمة مصطلح التقدم مع القيم السابقة والمتعاقبة المعروفة، تحتاج إلى إضافتها والقسمة عليها.

هذا صحيح، لقد حصلنا على نفس الرقم. دعونا تأمين المواد. احسب قيمة التقدم بنفسك، فالأمر ليس بالأمر الصعب على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط، والتي، وفقًا للأسطورة، تم استخلاصها بسهولة من قبل أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات، قام المعلم، المنشغل بفحص عمل الطلاب في الفصول الأخرى، بتعيين المهمة التالية في الفصل: "حساب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من إلى (وفقًا لمصادر أخرى إلى) شاملة". تخيل مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان هذا كارل غاوس) بعد دقيقة واحدة الإجابة الصحيحة على المهمة، في حين أن معظم زملاء الفصل المتهورين، بعد حسابات طويلة، حصلوا على نتيجة خاطئة...

لاحظ الشاب كارل غاوس نمطًا معينًا يمكنك ملاحظته بسهولة أيضًا.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من حدود -th: نحتاج إلى إيجاد مجموع هذه الحدود للتقدم الحسابي. بالطبع، يمكننا جمع كل القيم يدويًا، لكن ماذا لو كانت المهمة تتطلب إيجاد مجموع حدودها، كما كان غاوس يبحث عنها؟

دعونا تصور التقدم المعطى لنا. ألق نظرة فاحصة على الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات رياضية مختلفة معهم.


هل جربته؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مجموعهما متساويان

أخبرني الآن، كم عدد هذه الأزواج الموجودة إجمالاً في التقدم الممنوح لنا؟ بالطبع، بالضبط نصف جميع الأرقام، وهذا هو.
بناءً على حقيقة أن مجموع حدين من المتتابعة الحسابية متساويان، والأزواج المتشابهة متساوية، نحصل على أن المجموع الإجمالي يساوي:
.
وبالتالي، فإن صيغة مجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المسائل لا نعرف الحد الرابع، ولكننا نعرف الفرق في التقدم. حاول استبدال صيغة الحد الـ في صيغة المجموع.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المشكلة التي تم طرحها على كارل غاوس: احسب بنفسك ما يساوي مجموع الأرقام التي تبدأ من الرقم ومجموع الأرقام التي تبدأ من الرقم.

كم لم تحصل عليه؟
وجد غاوس أن مجموع الحدود متساوي، ومجموع الحدود. هل هذا ما قررته؟

في الواقع، تم إثبات صيغة مجموع حدود التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث، وطوال هذا الوقت الناس بارعالاستفادة الكاملة من خصائص التقدم الحسابي.
على سبيل المثال، تخيل مصر القديمةوأكبر مشروع بناء في ذلك الوقت - بناء الهرم... والصورة تظهر أحد جوانبه.

تقول أين التقدم هنا؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا لا يكون التقدم الحسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تقوم بالعد أثناء تحريك إصبعك عبر الشاشة، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في في هذه الحالةيبدو التقدم كالتالي: .
فرق التقدم الحسابي.
عدد حدود التقدم الحسابي.
لنستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (احسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة 2.

والآن يمكنك الحساب على الشاشة: مقارنة القيم التي تم الحصول عليها مع عدد الكتل الموجودة في هرمنا. فهمتها؟ أحسنت، لقد أتقنت مجموع الحدود النونية للتقدم الحسابي.
بالطبع، لا يمكنك بناء هرم من الكتل الموجودة في القاعدة، ولكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي اللازم لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الإجابة الصحيحة هي الكتل:

تمرين

مهام:

1. ماشا تستعد لفصل الصيف. كل يوم تقوم بزيادة عدد القرفصاء. كم مرة ستمارس ماشا تمرين القرفصاء في الأسبوع إذا كانت تمارس القرفصاء في الجلسة التدريبية الأولى؟
2. ما هو مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة في.
3. عند تخزين السجلات، يقوم القائمون على قطع الأشجار بتكديسها بحيث تحتوي كل طبقة عليا على سجل واحد أقل من السجل السابق. كم عدد جذوع الأشجار الموجودة في البناء الواحد، إذا كان أساس البناء عبارة عن جذوع الأشجار؟

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (الأسابيع = الأيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين، يجب على ماشا أن تفعل القرفصاء مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي، الرقم الأخير.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية هو النصف، ومع ذلك، دعونا نتحقق من هذه الحقيقة باستخدام صيغة إيجاد الحد العاشر للتقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   دعنا نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة فيه متساوي.

3. دعونا نتذكر مشكلة الأهرامات. في حالتنا، أ، نظرًا لأن كل طبقة عليا يتم تقليلها بسجل واحد، فهناك في المجمل مجموعة من الطبقات، أي.
   دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

دعونا نلخص ذلك

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا. يمكن أن تكون متزايدة أو متناقصة.
2. إيجاد الصيغةيُكتب الحد العاشر من المتتابعة الحسابية بالصيغة - حيث يوجد عدد الأرقام في المتتابعة الحسابية.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين هو عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع شروط التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وما إلى ذلك، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر، يمكن ربط كل رقم بعدد طبيعي معين، وعدد فريد. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم ذو الرقم يسمى العضو العاشر في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

من الملائم جدًا أن يتم تحديد الحد الرابع من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال، التقدم الحسابي هو متتابعة (الحد الأول هنا يساوي، والفرق هو). أو (، الفرق).

صيغة الحد النوني

نحن نطلق على صيغة متكررة، حيث من أجل معرفة الحد العاشر، تحتاج إلى معرفة الحد السابق أو عدة حدود سابقة:

للعثور، على سبيل المثال، على الحد العاشر للتقدم باستخدام هذه الصيغة، سيتعين علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال، السماح لها. ثم:

حسنًا، هل أصبح من الواضح الآن ما هي الصيغة؟

في كل سطر نضيف إليه مضروبًا في عدد ما. أيها؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر ملاءمة الآن، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في المتوالية الحسابية، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

الحد الأول متساوي. ماهو الفرق؟ إليك ما يلي:

(ولهذا سمي فرقا لأنه يساوي اختلاف فترات المتوالية المتعاقبة).

لذلك، الصيغة:

فإن الحد المائة يساوي:

ما هو مجموع جميع الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة، قام عالم الرياضيات العظيم كارل غاوس، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. ولاحظ أن مجموع الرقمين الأول والأخير متساوي، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج في المجموع؟ هذا صحيح، بالضبط نصف عدد جميع الأرقام، أي. لذا،

الصيغة العامة لمجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

مثال:
أوجد مجموع الكل أرقام مزدوجة، مضاعفات.

حل:

أول رقم من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل رقم لاحق عن طريق إضافة الرقم السابق. وهكذا فإن الأعداد التي تهمنا تشكل متوالية حسابية مع الحد الأول والفرق.

صيغة الحد العاشر لهذا التقدم:

كم عدد المصطلحات الموجودة في التقدم إذا كان يجب أن تتكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون الفصل الأخير من التقدم متساويًا. ثم المبلغ:

إجابة: .

الآن قرر بنفسك:

1. في كل يوم يركض الرياضي أمتارًا أكثر من اليوم السابق. ما إجمالي عدد الكيلومترات التي سيجريها في الأسبوع إذا ركض كيلومترًا م في اليوم الأول؟
2. يقطع الدراج كيلومترات أكثر كل يوم مقارنة باليوم السابق. في اليوم الأول سافر كيلومترا. كم عدد الأيام التي يحتاجها للسفر لقطع كيلومتر واحد؟ ما عدد الكيلومترات التي سيقطعها في اليوم الأخير من رحلته؟
3. ينخفض ​​سعر الثلاجة في المتجر بنفس المقدار كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم طرحها للبيع مقابل روبل، وبعد ست سنوات تم بيعها مقابل روبل.

الإجابات:

1. الشيء الأكثر أهمية هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معالمه. في هذه الحالة (الأسابيع = الأيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يتم تقديمه: يجب العثور عليه.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة المجموع كما في المشكلة السابقة:
   .
   استبدال القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب، لذا فإن الإجابة هي.
   لنحسب المسار الذي تم قطعه خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة الحد العاشر:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يمكن أن يكون الأمر أبسط:
   (فرك).
   إجابة:

المتوالية العددية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يمكن أن يكون التقدم الحسابي متزايدًا () ومتناقصًا ().

على سبيل المثال:

صيغة لإيجاد الحد النوني للتقدم الحسابي

يتم كتابته بواسطة الصيغة، حيث يوجد عدد الأرقام المتتالية.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يتيح لك العثور بسهولة على مصطلح التقدم إذا كانت المصطلحات المجاورة له معروفة - أين يوجد عدد الأرقام في التقدم.

مجموع شروط التقدم الحسابي

هناك طريقتان لمعرفة المبلغ:

أين هو عدد القيم.

أين هو عدد القيم.

أو الحساب هو نوع من التسلسل العددي المرتب، الذي يتم دراسة خصائصه في مقرر الجبر المدرسي. تتناول هذه المقالة بالتفصيل مسألة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي.

أي نوع من التقدم هذا؟

قبل الانتقال إلى السؤال (كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي)، فإن الأمر يستحق فهم ما نتحدث عنه.

أي تسلسل من الأرقام الحقيقية يتم الحصول عليه عن طريق إضافة (طرح) بعض القيمة من كل رقم سابق يسمى التقدم الجبري (الحسابي). وهذا التعريف، عند ترجمته إلى اللغة الرياضية، يأخذ الشكل التالي:

هنا i هو الرقم التسلسلي لعنصر الصف a i. وبالتالي، بمعرفة رقم بداية واحد فقط، يمكنك بسهولة استعادة السلسلة بأكملها. تسمى المعلمة d في الصيغة فرق التقدم.

يمكن أن نبين بسهولة أن المساواة التالية تنطبق على سلسلة الأرقام قيد النظر:

أ ن = أ 1 + د * (ن - 1).

أي أنه للعثور على قيمة العنصر n بالترتيب، يجب عليك إضافة الفرق d إلى العنصر الأول a 1 n-1 مرة.

ما هو مجموع التقدم الحسابي: الصيغة

قبل إعطاء صيغة المبلغ المحدد، يجدر النظر في أمر بسيط حالة خاصة. بالنظر إلى تطور الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10، عليك إيجاد مجموعها. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات في التقدم (10)، فمن الممكن حل المشكلة بشكل مباشر، أي جمع جميع العناصر بالترتيب.

ق 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

يجدر النظر في شيء واحد مثير للاهتمام: نظرًا لأن كل مصطلح يختلف عن المصطلح التالي بنفس القيمة d = 1، فإن الجمع الزوجي للأول مع العاشر والثاني مع التاسع وما إلى ذلك سيعطي نفس النتيجة. حقًا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

كما ترون، لا يوجد سوى 5 من هذه المبالغ، أي أقل مرتين بالضبط من عدد عناصر السلسلة. ثم ضرب عدد المجاميع (5) في نتيجة كل مجموع (11) تصل إلى النتيجة التي تم الحصول عليها في المثال الأول.

إذا قمنا بتعميم هذه الحجج، يمكننا كتابة التعبير التالي:

س ن = ن * (أ 1 + أ ن) / 2.

يوضح هذا التعبير أنه ليس من الضروري على الإطلاق جمع كل العناصر الموجودة في صف واحد، بل يكفي معرفة قيمة أول a 1 وآخر n، وكذلك الرقم الإجماليشروط ن.

ويعتقد أن غاوس كان أول من فكر في هذه المساواة عندما كان يبحث عن حل لمشكلة معينة. معلم المدرسةالمهمة: جمع أول 100 عدد صحيح.

مجموع العناصر من m إلى n: الصيغة

تجيب الصيغة الواردة في الفقرة السابقة على سؤال حول كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي (العناصر الأولى)، ولكن في كثير من الأحيان في المسائل يكون من الضروري جمع سلسلة من الأرقام في منتصف التقدم. كيف افعلها؟

أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي من خلال النظر في المثال التالي: يجب أن يكون من الضروري العثور على مجموع الحدود من m-th إلى n-th. لحل المشكلة، يجب عليك تمثيل المقطع المحدد من m إلى n من التقدم على أنه جديد سلسلة أرقام. في هذا الرأي مصطلح مسيكون a m هو الأول، وسيتم ترقيم n-(m-1). في هذه الحالة، بتطبيق الصيغة القياسية للمجموع، سيتم الحصول على التعبير التالي:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

مثال على استخدام الصيغ

معرفة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي، يجدر النظر في مثال بسيط لاستخدام الصيغ المذكورة أعلاه.

وفيما يلي تسلسل رقمي، يجب أن تجد مجموع حدوده، بدءاً من الرقم 5 وانتهاءً بالرقم 12:

تشير الأرقام المعطاة إلى أن الفرق d يساوي 3. باستخدام التعبير الخاص بالعنصر n، يمكنك العثور على قيم الحدين الخامس والثاني عشر من التقدم. اتضح:

أ 5 = أ 1 + د * 4 = -4 + 3 * 4 = 8؛

أ 12 = أ 1 + د * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

بمعرفة قيم الأرقام الموجودة في نهايات المتوالية الجبرية قيد النظر، وكذلك معرفة الأرقام الموجودة في السلسلة التي تشغلها، يمكنك استخدام صيغة المجموع الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة. سوف يتحول:

ق 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن الحصول على هذه القيمة بشكل مختلف: قم أولاً بالعثور على مجموع العناصر الـ 12 الأولى باستخدام الصيغة القياسية، ثم احسب مجموع العناصر الأربعة الأولى باستخدام نفس الصيغة، ثم اطرح العنصر الثاني من المجموع الأول.

المتوالية العدديةتسمية تسلسل من الأرقام (شروط التقدم)

وفيه يختلف كل مصطلح لاحق عن الذي قبله بمصطلح جديد، وهو ما يسمى أيضا اختلاف الخطوة أو التقدم.

وبالتالي، من خلال تحديد خطوة التقدم وحدها الأول، يمكنك العثور على أي عنصر من عناصرها باستخدام الصيغة

خصائص التقدم الحسابي

1) كل عضو في المتوالية الحسابية، بدءاً من الرقم الثاني، هو الوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين في المتوالية

والعكس صحيح أيضا. إذا كان المتوسط ​​الحسابي للحدود الفردية (الزوجية) المتجاورة للتقدم يساوي الحد الذي يقع بينهما، فإن هذا التسلسل من الأرقام هو تقدم حسابي. باستخدام هذه العبارة، من السهل جدًا التحقق من أي تسلسل.

أيضًا، من خلال خاصية التقدم الحسابي، يمكن تعميم الصيغة المذكورة أعلاه على ما يلي

من السهل التحقق من ذلك إذا كتبت المصطلحات على يمين علامة المساواة

غالبًا ما يتم استخدامه عمليًا لتبسيط العمليات الحسابية في المشكلات.

2) يتم حساب مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة

تذكر جيدًا صيغة مجموع التقدم الحسابي، فهي لا غنى عنها في العمليات الحسابية وغالبًا ما توجد في مواقف الحياة البسيطة.

3) إذا كنت بحاجة إلى العثور على ليس المبلغ بالكامل، ولكن جزء من التسلسل بدءًا من العضو k، فستحتاج الصيغة التاليةكميات

4) من الأمور العملية المهمة إيجاد مجموع n من الحدود للتقدم الحسابي بدءًا من الرقم k. للقيام بذلك، استخدم الصيغة

بهذا نختتم المادة النظرية وننتقل إلى حل المشكلات الشائعة في الممارسة العملية.

مثال 1. أوجد الحد الأربعين من المتتابعة الحسابية 4;7;...

حل:

وفقا للحالة التي لدينا

دعونا نحدد خطوة التقدم

باستخدام الصيغة المعروفة، نجد الحد الأربعين من التقدم

مثال 2. يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الحدين الثالث والسابع. أوجد الحد الأول للتقدم ومجموع العشرة.

حل:

دعونا نكتب العناصر المحددة للتقدم باستخدام الصيغ

نطرح الأولى من المعادلة الثانية، ونتيجة لذلك نجد خطوة التقدم

نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في أي من المعادلات لإيجاد الحد الأول من التقدم الحسابي

نحسب مجموع الحدود العشرة الأولى للتقدم

وبدون استخدام حسابات معقدة، وجدنا جميع الكميات المطلوبة.

مثال 3. يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال المقام وأحد حدوده. أوجد الحد الأول من المتتابعة ومجموع حدوده الخمسين بدءًا من 50 ومجموع أول 100 حد.

حل:

دعونا نكتب صيغة العنصر المائة من التقدم

والعثور على أول واحد

بناءً على الأول نجد الحد الخمسين من التقدم

العثور على مجموع جزء من التقدم

ومجموع الـ 100 الأولى

مبلغ التقدم هو 250.

مثال 4.

أوجد عدد حدود المتتابعة الحسابية إذا:

a3-a1=8، a2+a4=14، القص=111.

حل:

لنكتب المعادلات بدلالة الحد الأول وخطوة التقدم ونحددها

نقوم باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في صيغة المجموع لتحديد عدد المصطلحات في المجموع

نقوم بالتبسيط

وحل المعادلة التربيعية

ومن بين القيمتين اللتين تم العثور عليهما، فإن الرقم 8 فقط هو الذي يناسب ظروف المشكلة. وبالتالي، فإن مجموع الحدود الثمانية الأولى للتقدم هو 111.

مثال 5.

حل المعادلة

1+3+5+...+س=307.

الحل: هذه المعادلة هي مجموع التقدم الحسابي. دعونا نكتب الحد الأول ونجد الفرق في التقدم

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي هو شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. ولكن هناك كل أنواع المهام حول هذا الموضوع. من الأساسية إلى الصلبة تماما.

أولا، دعونا نفهم معنى وصيغة المبلغ. ومن ثم سنقرر. من أجل متعتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل مو. للعثور على مجموع التقدم الحسابي، تحتاج فقط إلى إضافة جميع حدوده بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة، فيمكنك الإضافة بدون أي صيغ. ولكن إذا كان هناك الكثير، أو الكثير... فالإضافة مزعجة.) في هذه الحالة، تأتي الصيغة للإنقاذ.

صيغة المبلغ بسيطة:

دعونا نتعرف على نوع الحروف المضمنة في الصيغة. وهذا سوف يوضح الأمور كثيرا.

س ن - مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الإضافة الجميعالأعضاء، مع أولاًبواسطة آخر.انه مهم. يضيفون بالضبط الجميعالأعضاء على التوالي، دون تخطي أو تخطي. وعلى وجه التحديد، بدءا من أولاً.في مسائل مثل إيجاد مجموع الحدين الثالث والثامن، أو مجموع الحدين الخامس إلى العشرين، فإن التطبيق المباشر للصيغة سيكون مخيبًا للآمال.)

أ 1 - أولاًعضو في التقدم . كل شيء واضح هنا، الأمر بسيط أولاًرقم الصف.

ن- آخرعضو في التقدم . العدد الأخير من السلسلة. اسم ليس مألوفًا جدًا، لكن عند تطبيقه على المبلغ فهو مناسب جدًا. ثم سوف ترى بنفسك.

ن - رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم موجود في الصيغة يتزامن مع عدد المصطلحات المضافة.

دعونا نحدد المفهوم آخرعضو ن. سؤال صعب: أي عضو سيكون الأخيرإذا أعطيت بلا نهايةالمتوالية العددية؟)

للإجابة بثقة، عليك أن تفهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و... اقرأ المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي، يظهر الحد الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر)، والتي ينبغي أن تكون محدودة.خلاف ذلك، مبلغ نهائي محدد ببساطة غير موجود.بالنسبة للحل، لا يهم ما إذا كان التقدم معطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف يتم تقديمها: سلسلة من الأرقام، أو صيغة للحد n.

الشيء الأكثر أهمية هو أن نفهم أن الصيغة تعمل من الحد الأول للتقدم إلى الحد ذو الرقم ن.في الواقع، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي. ن، يتم تحديده فقط من خلال المهمة. في إحدى المهام، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة، نعم... ولكن لا يهم، في الأمثلة أدناه نكشف عن هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام على مجموع التقدم الحسابي.

أولاً، معلومات مفيدة:

الصعوبة الرئيسية في المهام التي تنطوي على مجموع التقدم الحسابي هي التعريف الصحيحعناصر الصيغة.

يقوم مؤلفو المهام بتشفير هذه العناصر ذاتها بخيال لا حدود له.) الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. فهم جوهر العناصر، يكفي فك رموزها ببساطة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تعتمد على GIA حقيقي.

1. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط: a n = 2n-3.5. أوجد مجموع حدوده العشرة الأولى.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ باستخدام الصيغة، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ العضو الأول أ 1، الموسم الماضي ننعم رقم العضو الأخير ن.

أين يمكنني الحصول على رقم العضو الأخير؟ ن؟ نعم، هناك، بشرط! تقول: أوجد المبلغ أول 10 أعضاء.حسنًا، ما هو الرقم الذي سيكون معه؟ آخر،العضو العاشر؟) لن تصدق، رقمه هو العاشر!) لذلك بدلاً من نسوف نعوض في الصيغة 10، وبدلا من ذلك ن- عشرة. وأكرر أن عدد العضو الأخير يتطابق مع عدد الأعضاء.

يبقى أن نحدد أ 1و 10. يمكن حساب ذلك بسهولة باستخدام صيغة الحد n، الواردة في بيان المشكلة. لا أعرف كيف تفعل هذا؟ احضروا الدرس السابق فبدونه لا سبيل.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

س ن = س 10.

لقد اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. كل ما تبقى هو استبدالهم والعد:

هذا كل شيء. الجواب: 75.

مهمة أخرى تعتمد على GIA. أكثر تعقيدًا بعض الشيء:

2. بالنظر إلى المتوالية الحسابية (a n) التي يكون الفرق فيها 3.7؛ 1 =2.3. أوجد مجموع حدوده الخمسة عشر الأولى.

نكتب على الفور صيغة المجموع:

تتيح لنا هذه الصيغة إيجاد قيمة أي حد من خلال رقمه. نحن نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

يبقى استبدال جميع العناصر في صيغة مجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة، إذا كان في صيغة المبلغ بدلا من ننحن ببساطة نعوض بصيغة الحد n ونحصل على:

دعونا نقدم مماثلة ونحصل على صيغة جديدة لمجموع حدود التقدم الحسابي:

كما ترون، فإن المصطلح n غير مطلوب هنا ن. في بعض المشاكل، تساعد هذه الصيغة كثيرًا، نعم... يمكنك تذكر هذه الصيغة. أو يمكنك ببساطة عرضه في الوقت المناسب، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء، عليك دائمًا أن تتذكر صيغة المجموع وصيغة الحد النوني.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من رقمين والتي هي من مضاعفات العدد ثلاثة.

رائع! لا عضوك الأول ولا الأخير ولا التقدم على الإطلاق... كيف تعيش!؟

سيتعين عليك التفكير برأسك وسحب جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي من الحالة. نحن نعرف ما هي الأعداد المكونة من رقمين. وهي تتكون من رقمين.) ما هو الرقم المكون من رقمين أولاً؟ 10، على الأرجح.) أ آخر شيءرقم مزدوج؟ 99 بالطبع! والأرقام الثلاثة ستتبعه..

مضاعفات الثلاثة... حسنًا... هذه أرقام تقبل القسمة على ثلاثة، هنا! العشرة لا تقبل القسمة على ثلاثة، 11 لا تقبل القسمة... 12... لا تقبل القسمة! لذلك، هناك شيء آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة وفقًا لشروط المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه المتسلسلة متوالية حسابية؟ بالتأكيد! ويختلف كل مصطلح عن الذي قبله بثلاثة فقط. إذا أضفت 2 أو 4 إلى حد ما، على سبيل المثال، النتيجة، أي. الرقم الجديد لم يعد قابلاً للقسمة على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي: د = 3.وسوف تأتي في متناول اليدين!)

لذا، يمكننا تدوين بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم؟ نآخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن 99 مخطئ للغاية... الأرقام دائمًا تكون متتالية، لكن أعضاؤنا يقفزون فوق الثلاثة. أنها لا تتطابق.

هناك حلان هنا. إحدى الطرق هي للمجتهدين للغاية. يمكنك تدوين التقدم وسلسلة الأرقام بأكملها وحساب عدد الأعضاء بإصبعك.) الطريقة الثانية للمفكرين. عليك أن تتذكر صيغة الحد n. إذا طبقنا الصيغة على مشكلتنا، نجد أن 99 هو الحد الثلاثون للتقدم. أولئك. ن = 30.

دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الحسابي:

نحن ننظر ونبتهج.) لقد أخرجنا من بيان المشكلة كل ما هو ضروري لحساب المبلغ:

أ 1= 12.

30= 99.

س ن = س 30.

كل ما تبقى هو الحساب الأولي. نستبدل الأرقام في الصيغة ونحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز الشائعة:

4. في ضوء التقدم الحسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من عشرين إلى أربعة وثلاثين.

ننظر إلى صيغة المبلغ و... نشعر بالانزعاج.) دعني أذكرك، الصيغة تحسب المبلغ من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المبلغ منذ العشرين..الصيغة لن تعمل.

يمكنك، بالطبع، كتابة التقدم بأكمله في سلسلة، وإضافة مصطلحات من 20 إلى 34. لكن... إنه أمر غبي إلى حد ما ويستغرق وقتًا طويلاً، أليس كذلك؟)

هناك حل أكثر أناقة. دعونا نقسم سلسلتنا إلى قسمين. الجزء الأول سيكون من الفصل الأول إلى التاسع عشر.جزء ثان - من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.ومن الواضح أنه إذا حسبنا مجموع مصطلحات الجزء الأول ق1-19لنضفها مع مجموع حدود الجزء الثاني ق 20-34فنحصل على مجموع التقدم من الفصل الأول إلى الرابع والثلاثين ق1-34. مثله:

ق1-19 + ق 20-34 = ق1-34

من هذا يمكننا أن نرى أن العثور على المبلغ ق 20-34يمكن أن يتم عن طريق الطرح البسيط

ق 20-34 = ق1-34 - ق1-19

ويعتبر كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو، أي. تنطبق تماما عليهم الصيغة القياسيةكميات. هيا بنا نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من بيان المشكلة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 وأول 34 حدًا، سنحتاج إلى الحدين 19 و34. نحسبها باستخدام صيغة الحد النوني، كما في المسألة الثانية:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

لم يتبق هناك شيء. من مجموع 34 حدًا اطرح مجموع 19 حدًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة هامة! هناك خدعة مفيدة جدًا في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ما تحتاجه (س20-34)،لقد عدنا شيء يبدو أنه ليس هناك حاجة إليه - س 1-19.وبعد ذلك قرروا ق 20-34، والتخلص من ما هو غير ضروري من النتيجة الكاملة. هذا النوع من "الخدعة بأذنيك" غالبًا ما ينقذك من المشاكل الشريرة.)

نظرنا في هذا الدرس إلى المسائل التي يكفي أن نفهم فيها معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصيحة عملية:

عند حل أي مشكلة تتضمن مجموع التقدم الحسابي، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين من هذا الموضوع على الفور.

صيغة الحد التاسع :

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما يجب البحث عنه وفي أي اتجاه يجب التفكير فيه لحل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في ملاحظة المشكلة رقم 4. حسنًا، المشكلة رقم 3 ستساعدك.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: a 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد مجموع حدوده الـ 24 الأولى.

غير عادي؟) هذه صيغة متكررة. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط، فمثل هذه المشكلات غالبًا ما توجد في أكاديمية الدولة للعلوم.

7. قام فاسيا بتوفير المال لقضاء العطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المفضل لدي (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول، وفي كل يوم لاحق أنفق 50 روبل أكثر من اليوم السابق! حتى نفاد المال. كم عدد أيام السعادة التي عاشها فاسيا؟

هل هذا صعب؟) الصيغة الإضافية من المهمة 2 سوف تساعد.

الأجوبة (في حالة الفوضى): 7، 3240، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.