משוואה כללית של קו ישר:

מקרים מיוחדים משוואה כלליתיָשָׁר:

ואם ג= 0, למשוואה (2) תהיה הצורה

גַרזֶן + על ידי = 0,

והקו הישר המוגדר במשוואה זו עובר דרך המוצא, שכן הקואורדינטות של המוצא הן איקס = 0, y= 0 עומדים במשוואה זו.

ב) אם במשוואה הכללית של הישר (2) ב= 0, אז המשוואה מקבלת את הצורה

גַרזֶן + עם= 0, או .

המשוואה אינה מכילה משתנה y, והקו הישר המוגדר במשוואה זו מקביל לציר אוי.

ג) אם במשוואה הכללית של הישר (2) א= 0, אז המשוואה הזו תקבל את הצורה

על ידי + עם= 0, או ;

המשוואה אינה מכילה משתנה איקס, והקו הישר שהוא מגדיר מקביל לציר שׁוֹר.

צריך לזכור: אם ישר מקביל לציר קואורדינטות כלשהו, ​​אז במשוואה שלו אין איבר המכיל קואורדינטה באותו שם כמו ציר זה.

ד) מתי ג= 0 ו א= 0 משוואה (2) מקבלת את הצורה על ידי= 0, או y = 0.

זוהי משוואת הציר שׁוֹר.

ד) מתי ג= 0 ו ב= 0 משוואה (2) תיכתב בצורה גַרזֶן= 0 או איקס = 0.

זוהי משוואת הציר אוי.

המיקום היחסי של קווים במישור. הזווית בין קווים ישרים במישור. תנאי לקווים מקבילים. מצב הניצב של קווים.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 וקטורים S 1 ו- S 2 נקראים מדריכים עבור הקווים שלהם.

הזווית בין ישרים l 1 ו- l 2 נקבעת על ידי הזווית בין וקטורי הכיוון.
משפט 1: cos של הזווית בין l 1 ל-l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

משפט 2:כדי ש-2 קווים יהיו שווים זה הכרחי ומספיק:

משפט 3:כדי ש-2 קווים ישרים יהיו מאונכים זה הכרחי ומספיק:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

משוואת מישור כללית והמקרים המיוחדים שלה. משוואת מישור בקטעים.

משוואת מישור כללית:

Axe + By + Cz + D = 0

מקרים מיוחדים:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – המישור עובר דרך המוצא

2. С=0 Axe+By+D = 0 – מישור || עוז

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – מישור || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – מישור || שׁוֹר

5. A=0 ו-D=0 By+Cz = 0 – המטוס עובר דרך OX

6. B=0 ו-D=0 Ax+Cz = 0 – המטוס עובר דרך OY

7. C=0 ו-D=0 Ax+By = 0 – המטוס עובר דרך OZ

המיקום היחסי של מישורים וקווים ישרים במרחב:

1. הזווית בין ישרים במרחב היא הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. הזווית בין המישורים נקבעת דרך הזווית שבין הווקטורים הנורמליים שלהם.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. ניתן למצוא את הקוסינוס של הזווית בין הישר למישור דרך החטא של הזווית בין וקטור הכיוון של הישר לווקטור הנורמלי של המישור.

4. 2 ישרים || בחלל כשהם || מדריכים וקטוריים

5. 2 מטוסים || מתי || וקטורים רגילים

6. מושגי הניצב של קווים ומישורים מוצגים באופן דומה.

שאלה מס' 14

סוגים שונים של משוואות של ישר במישור (משוואה של ישר בקטעים, עם מקדם זווית וכו')

משוואת ישר בקטעים:
נניח שבמשוואה הכללית של הישר:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – הקו הישר עובר דרך המוצא.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

משוואת ישר עם שיפוע:

כל קו ישר שאינו שווה לציר ה-Op-amp (B not = 0) ניתן לרשום בשורה הבאה. טופס:

k = tanα α – זווית בין קו ישר לקו מכוון חיובי OX

b – נקודת החיתוך של הקו הישר עם ציר המגבר

מסמך:

Axe+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

משוואת ישר המבוססת על שתי נקודות:

שאלה מס' 16

גבול סופי של פונקציה בנקודה ועבור x→∞

מגבלת סיום ב-x0:

המספר A נקרא הגבול של הפונקציה y = f(x) עבור x→x 0 אם עבור כל E > 0 קיים b > 0 כך שעבור x ≠x 0 מספקים את אי השוויון |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

הגבול מסומן על ידי: = A

מגבלת סיום בנקודה +∞:

המספר A נקרא הגבול של הפונקציה y = f(x) ב-x → + ∞ , אם עבור כל E > 0 קיים C > 0 כך שעבור x > C אי השוויון |f(x) - A|< Е

הגבול מסומן על ידי: = A

מגבלת סיום בנקודה -∞:

המספר A נקרא הגבול של הפונקציה y = f(x) עבור x→-∞,אם עבור כל E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

משוואת קו ישר במישור.
וקטור הכיוון ישר. וקטור רגיל

קו ישר במישור הוא אחד הפשוטים ביותר צורות גיאומטריות, המוכר לכם מאז בית הספר היסודי, והיום נלמד כיצד להתמודד עמו בשיטות של גיאומטריה אנליטית. כדי לשלוט בחומר, עליך להיות מסוגל לבנות קו ישר; לדעת איזו משוואה מגדירה ישר, בפרט, ישר העובר דרך מוצא הקואורדינטות וישרים מקבילים לצירי הקואורדינטות. המידע הזהניתן למצוא במדריך גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות, יצרתי אותו עבור מתן, אבל הקטע על פונקציה לינאריתזה יצא מאוד מוצלח ומפורט. לכן, קנקני תה יקרים, התחממו שם קודם. בנוסף, אתה צריך ידע בסיסי O וקטורים, אחרת ההבנה של החומר לא תהיה מלאה.

בשיעור זה נבחן דרכים בהן ניתן ליצור משוואה של קו ישר במישור. אני ממליץ לא להזניח דוגמאות מעשיות (גם אם זה נראה מאוד פשוט), שכן אספק להן אלמנטים ו עובדות חשובות, שיטות טכניות, שיידרשו בעתיד, כולל בשאר הסעיפים במתמטיקה גבוהה יותר.

• איך כותבים משוואה של ישר עם מקדם זווית?
• איך?
• כיצד למצוא וקטור כיוון באמצעות המשוואה הכללית של ישר?
• איך כותבים משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי?

ואנחנו מתחילים:

משוואת קו ישר עם שיפוע

צורת ה"אסכולה" הידועה של משוואת קו ישר נקראת משוואת קו ישר עם שיפוע. לדוגמה, אם קו ישר ניתן במשוואה, אז השיפוע שלו הוא: . הבה נבחן את המשמעות הגאומטרית של מקדם זה וכיצד ערכו משפיע על מיקום הקו:

בקורס גיאומטריה מוכח ש השיפוע של הקו הישר שווה ל טנגנס של הזוויתבין כיוון ציר חיוביוהשורה הזו: , והזווית "מתפרקת" נגד כיוון השעון.

כדי לא לבלבל את הציור, ציירתי זוויות רק לשני קווים ישרים. הבה ניקח בחשבון את הקו ה"אדום" ואת השיפוע שלו. לפי האמור לעיל: (זווית ה"אלפא" מסומנת בקשת ירוקה). עבור הקו הישר ה"כחול" עם מקדם הזווית, השוויון נכון (זווית ה"ביתא" מסומנת בקשת חומה). ואם המשיק של הזווית ידוע, אז במידת הצורך קל למצוא אותו והפינה עצמהעל ידי שימוש ב פונקציה הפוכה– ארקטנגנט. כמו שאומרים, טבלה טריגונומטרית או מיקרו מחשבון בידיים שלך. לכן, המקדם הזוויתי מאפיין את מידת הנטייה של הקו הישר לציר האבשיסה.

המקרים הבאים אפשריים:

1) אם השיפוע שלילי: אז הקו, בערך, הולך מלמעלה למטה. דוגמאות הן הקווים הישרים "כחול" ו"פטל" בציור.

2) אם השיפוע חיובי: אז הקו עובר מלמטה למעלה. דוגמאות - קווים ישרים "שחורים" ו"אדומים" בציור.

3) אם השיפוע הוא אפס: , אז המשוואה לובשת את הצורה , והקו הישר המתאים מקביל לציר. דוגמה לכך היא הקו הישר "הצהוב".

4) למשפחת קווים מקבילים לציר (אין דוגמה בשרטוט, פרט לציר עצמו), מקדם הזוויתי לא קיים (מגע של 90 מעלות אינו מוגדר).

ככל שמקדם השיפוע גדול יותר בערך המוחלט, כך תלול גרף הקו הישר..

לדוגמה, שקול שני קווים ישרים. כאן, אם כן, לקו הישר יש שיפוע תלול יותר. תן לי להזכיר לך שהמודול מאפשר לך להתעלם מהשלט, אנחנו מעוניינים רק ערכים מוחלטיםמקדמים זוויתיים.

בתורו, קו ישר תלול יותר מקווים ישרים .

לעומת זאת: ככל שמקדם השיפוע קטן יותר בערך המוחלט, כך הקו הישר שטוח יותר.

לקווים ישרים אי השוויון נכון, ולכן הקו הישר שטוח יותר. מגלשה לילדים, כדי לא לתת לעצמך חבורות ובליטות.

למה זה נחוץ?

הארך את ייסוריך הידע על העובדות לעיל מאפשר לך לראות מיד את הטעויות שלך, במיוחד שגיאות בעת בניית גרפים - אם הציור מתברר כ"ברור שמשהו לא בסדר". רצוי שת מידהיה ברור, למשל, הקו הישר תלול מאוד ועובר מלמטה למעלה, והקו הישר שטוח מאוד, לחוץ קרוב לציר ועובר מלמעלה למטה.

בבעיות גיאומטריות מופיעים לעתים קרובות כמה קווים ישרים, ולכן נוח לייעד אותם איכשהו.

ייעודים: קווים ישרים מסומנים באותיות לטיניות קטנות: . אפשרות פופולרית היא לייעד אותם באמצעות אותה אות עם מנויים טבעיים. לדוגמה, ניתן לציין את חמשת הקווים שהסתכלנו עליהם .

מכיוון שכל קו ישר נקבע באופן ייחודי על ידי שתי נקודות, ניתן לסמן אותו על ידי נקודות אלה: וכו ' הייעוד מרמז בבירור שהנקודות שייכות לקו.

הגיע הזמן להתחמם קצת:

איך כותבים משוואה של ישר עם מקדם זווית?

אם ידועה נקודה השייכת לישר מסוים ומקדם הזוויתי של ישר זה, אזי המשוואה של הישר מבוטאת בנוסחה:

דוגמה 1

כתוב משוואה לישר עם שיפוע אם ידוע שהנקודה שייכת לישר הנתון.

פִּתָרוֹן: בואו נרכיב את משוואת הקו הישר באמצעות הנוסחה . IN במקרה הזה:

תשובה:

בְּדִיקָהנעשה בפשטות. ראשית, אנו מסתכלים על המשוואה המתקבלת ומוודאים שהשיפוע שלנו במקום. שנית, הקואורדינטות של הנקודה חייבות לעמוד במשוואה זו. בואו נחבר אותם למשוואה:

מתקבל השוויון הנכון, כלומר הנקודה עומדת במשוואה המתקבלת.

סיכום: המשוואה נמצאה כהלכה.

דוגמה יותר מסובכת לפתרון בעצמך:

דוגמה 2

כתוב משוואה לישר אם ידוע שזווית הנטייה שלו לכיוון החיובי של הציר היא , והנקודה שייכת לישר זה.

אם יש לך קשיים, קרא שוב את החומר התיאורטי. ליתר דיוק, יותר מעשית, אני מדלגת על הרבה ראיות.

זה צלצל השיחה האחרונה, מסיבת הסיום חלפה, ומחוץ לשערי בית ספר מולדתנו, מחכה לנו הגיאומטריה האנליטית עצמה. נגמרו הבדיחות... או אולי הם רק מתחילים =)

אנו מנופפים בעט נוסטלגי למוכר ומתוודעים למשוואה הכללית של קו ישר. כי בגיאומטריה אנליטית זה בדיוק מה שמשמש:

למשוואה הכללית של ישר יש את הצורה: , איפה יש מספרים. במקביל, המקדמים בּוֹ זְמַנִיתאינם שווים לאפס, מכיוון שהמשוואה מאבדת את משמעותה.

בואו נתלבש בחליפה ונקשר את המשוואה עם מקדם השיפוע. ראשית, נעביר את כל התנאים ל צד שמאל:

יש לשים את המונח עם "X" במקום הראשון:

באופן עקרוני, למשוואה כבר יש את הצורה , אבל לפי כללי הנימוס המתמטי, מקדם האיבר הראשון (במקרה זה) חייב להיות חיובי. שינוי סימנים:

זכור את התכונה הטכנית הזו!אנו הופכים את המקדם הראשון (לרוב) חיובי!

בגיאומטריה אנליטית, משוואת הישר כמעט תמיד תינתן צורה כללית. ובכן, אם יש צורך, ניתן לצמצם אותו בקלות לצורת "בית ספר" עם מקדם זוויתי (למעט קווים ישרים המקבילים לציר הסמוך).

בואו נשאל את עצמנו מה מספיקיודע לבנות קו ישר? שתי נקודות. אבל עוד על תקרית הילדות הזו, עכשיו נצמד לשליטת החצים. לכל קו ישר יש שיפוע מאוד ספציפי, שקל "להסתגל" אליו. וֶקטוֹר.

וקטור המקביל לישר נקרא וקטור הכיוון של אותו הישר. ברור שלכל קו ישר יש מספר אינסופי של וקטורי כיוון, וכולם יהיו קולינאריים (קו-כיווני או לא - זה לא משנה).

אסמן את וקטור הכיוון באופן הבא: .

אבל וקטור אחד לא מספיק כדי לבנות קו ישר; הווקטור חופשי ואינו קשור לשום נקודה במישור. לכן, יש צורך בנוסף לדעת איזו נקודה ששייכת לקו.

איך כותבים משוואה של ישר באמצעות נקודה ווקטור כיוון?

אם ידועה נקודה מסוימת השייכת לישר ווקטור הכיוון של ישר זה, ניתן להרכיב את המשוואה של ישר זה באמצעות הנוסחה:

לפעמים קוראים לזה משוואה קנונית של הקו .

מה לעשות מתי אחת הקואורדינטותשווה לאפס, נבין בדוגמאות מעשיות להלן. אגב, שימו לב - שניהם בבת אחתקואורדינטות אינן יכולות להיות שוות לאפס, שכן וקטור האפס אינו מציין כיוון מסוים.

דוגמה 3

כתוב משוואה לישר באמצעות נקודה ווקטור כיוון

פִּתָרוֹן: בואו נרכיב את המשוואה של קו ישר באמצעות הנוסחה. במקרה הזה:

באמצעות תכונות הפרופורציה נפטרים משברים:

ואנחנו מביאים את המשוואה ל הופעה כללית:

תשובה:

ככלל, אין צורך לעשות ציור בדוגמאות כאלה, אלא למען ההבנה:

בשרטוט אנו רואים את נקודת ההתחלה, וקטור הכיוון המקורי (ניתן לשרטט אותו מכל נקודה במישור) ואת הקו הישר הבנוי. אגב, במקרים רבים הכי נוח לבנות קו ישר באמצעות משוואה עם מקדם זוויתי. קל להפוך את המשוואה שלנו לצורה ולבחור בקלות נקודה אחרת כדי לבנות קו ישר.

כפי שצוין בתחילת הפסקה, לקו ישר יש אינסוף וקטורי כיוון, וכולם קולינאריים. לדוגמה, ציירתי שלושה וקטורים כאלה: . בכל וקטור כיוון שנבחר, התוצאה תמיד תהיה אותה משוואת קו ישר.

בואו ניצור משוואה של קו ישר באמצעות נקודה ווקטור כיוון:

פתרון הפרופורציה:

חלקו את שני הצדדים ב-2 וקבלו את המשוואה המוכרת:

המעוניינים יכולים לבדוק וקטורים באותו אופן או כל וקטור קולינארי אחר.

עכשיו נפתור את הבעיה ההפוכה:

כיצד למצוא וקטור כיוון באמצעות המשוואה הכללית של ישר?

פשוט מאוד:

אם ישר ניתן על ידי משוואה כללית במערכת קואורדינטות מלבנית, אז הווקטור הוא וקטור הכיוון של הישר הזה.

דוגמאות למציאת וקטורי כיוון של קווים ישרים:

ההצהרה מאפשרת לנו למצוא רק וקטור כיוון אחד מתוך מספר אינסופי, אבל אנחנו לא צריכים יותר. אם כי במקרים מסוימים רצוי להפחית את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון:

לפיכך, המשוואה מציינת קו ישר המקביל לציר והקואורדינטות של וקטור הכיוון המתקבל מחולקות בצורה נוחה ב-2, ומשיגה בדיוק את וקטור הבסיס בתור וקטור הכיוון. הגיוני.

באופן דומה, המשוואה מציינת ישר מקביל לציר, ועל ידי חלוקת הקואורדינטות של הווקטור ב-5, נקבל את וקטור היחידה כווקטור הכיוון.

עכשיו בואו נעשה את זה בדיקת דוגמה 3. הדוגמה עלתה, אז אני מזכיר לך שחיברנו בה את המשוואה של ישר באמצעות נקודה ווקטור כיוון

קוֹדֶם כֹּל, בעזרת משוואת הישר נשחזר את וקטור הכיוון שלו: – הכל בסדר, קיבלנו את הווקטור המקורי (במקרים מסוימים התוצאה עשויה להיות וקטור קולינארי לזה המקורי, ובדרך כלל קל להבחין בכך לפי המידתיות של הקואורדינטות המתאימות).

שנית, הקואורדינטות של הנקודה חייבות לעמוד במשוואה. נחליף אותם במשוואה:

הושג השוויון הנכון, עליו אנו שמחים מאוד.

סיכום: המשימה הושלמה כהלכה.

דוגמה 4

כתוב משוואה לישר באמצעות נקודה ווקטור כיוון

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. הפתרון והתשובה נמצאים בסוף השיעור. רצוי מאוד לבדוק באמצעות האלגוריתם שנדון זה עתה. נסה תמיד (אם אפשר) לבדוק טיוטה. זה טיפשי לעשות טעויות שבהן ניתן להימנע ב-100% מהן.

במקרה שאחת הקואורדינטות של וקטור הכיוון היא אפס, המשך פשוט מאוד:

דוגמה 5

פִּתָרוֹן: הנוסחה לא מתאימה מכיוון שהמכנה בצד ימין הוא אפס. יש יציאה! בעזרת מאפייני הפרופורציה, אנו כותבים מחדש את הנוסחה בצורה, והשאר התגלגל לאורך תלוש עמוק:

תשובה:

בְּדִיקָה:

1) שחזר את וקטור הכיוון של הקו הישר:
- הווקטור המתקבל הוא קולינארי לווקטור הכיוון המקורי.

2) החלף את הקואורדינטות של הנקודה במשוואה:

מתקבל השוויון הנכון

סיכום: המשימה הושלמה כהלכה

נשאלת השאלה, למה להתעסק בנוסחה אם יש גרסה אוניברסלית שתעבוד בכל מקרה? ישנן שתי סיבות. ראשית, הנוסחה היא בצורת שבר זכור הרבה יותר טוב. ושנית, החיסרון של הנוסחה האוניברסלית הוא זה הסיכון להתבלבל עולה באופן משמעותיבעת החלפת קואורדינטות.

דוגמה 6

כתוב משוואה לישר באמצעות נקודה ווקטור כיוון.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך.

נחזור לשתי הנקודות הנפוצות בכל מקום:

איך כותבים משוואה של ישר באמצעות שתי נקודות?

אם ידועות שתי נקודות, ניתן להרכיב את המשוואה של ישר העובר בנקודות אלו באמצעות הנוסחה:

למעשה, זהו סוג של נוסחה והנה הסיבה: אם ידועות שתי נקודות, אז הווקטור יהיה וקטור הכיוון של הישר הנתון. בשיעור וקטורים עבור בובותשקלנו המשימה הפשוטה ביותר- כיצד למצוא את הקואורדינטות של וקטור משתי נקודות. לפי בעיה זו, הקואורדינטות של וקטור הכיוון הן:

הערה : ניתן "להחליף" את הנקודות ולהשתמש בנוסחה . פתרון כזה יהיה שווה ערך.

דוגמה 7

כתוב משוואה של ישר באמצעות שתי נקודות .

פִּתָרוֹן: אנו משתמשים בנוסחה:

סירוק המכנים:

ומערבבים את הסיפון:

עכשיו זה הזמן להיפטר ממספרים שברים. במקרה זה, עליך להכפיל את שני הצדדים ב-6:

פתח את הסוגריים והעלה את המשוואה לראש:

תשובה:

בְּדִיקָהברור - הקואורדינטות של הנקודות הראשוניות חייבות לעמוד במשוואה המתקבלת:

1) החלף את הקואורדינטות של הנקודה:

שוויון אמיתי.

2) החלף את הקואורדינטות של הנקודה:

שוויון אמיתי.

סיכום: משוואת הקו כתובה נכון.

אם לפחות אחדמהנקודות לא עומדות במשוואה, חפש שגיאה.

ראוי לציין כי אימות גרפי במקרה זה קשה, שכן בנה קו ישר ותראה אם ​​הנקודות שייכות לו , לא כל כך פשוט.

אציין עוד כמה היבטים טכניים של הפתרון. אולי בבעיה זו משתלם יותר להשתמש בנוסחת המראה וכן, באותן נקודות תעשה משוואה:

פחות שברים. אם אתה רוצה, אתה יכול לבצע את הפתרון עד הסוף, התוצאה צריכה להיות אותה משוואה.

הנקודה השנייה היא להסתכל על התשובה הסופית ולהבין האם ניתן לפשט אותה עוד יותר? לדוגמה, אם אתה מקבל את המשוואה, אז רצוי לצמצם אותה בשניים: - המשוואה תגדיר את אותו קו ישר. עם זאת, זה כבר נושא לשיחה מיקום יחסי של קווים.

לאחר קבלת התשובה בדוגמה 7, ליתר בטחון, בדקתי אם כל המקדמים של המשוואה מתחלקים ב-2, 3 או 7. אמנם, לרוב הפחתות כאלה מתבצעות במהלך הפתרון.

דוגמה 8

כתבו משוואה לישר העובר דרך הנקודות .

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי, שיאפשר לכם להבין טוב יותר ולתרגל טכניקות חישוב.

בדומה לפסקה הקודמת: אם בנוסחה אחד המכנים (הקואורדינטה של ​​וקטור הכיוון) הופך לאפס, ואז נכתוב אותו מחדש בצורה . שוב, שימו לב כמה היא נראית מביכה ומבולבלת. אני לא רואה הרבה טעם להביא דוגמאות מעשיות, מאחר שכבר פתרנו בעיה כזו בפועל (ראה מס' 5, 6).

וקטור נורמלי ישיר (וקטור רגיל)

מה זה נורמלי? במילים פשוטות, רגיל הוא מאונך. כלומר, הווקטור הנורמלי של ישר מאונך לישר נתון. ברור שלכל קו ישר יש מספר אינסופי מהם (כמו גם וקטורי כיוון), וכל הוקטורים הנורמליים של הישר יהיו קולינאריים (קו-כיווני או לא, זה לא משנה).

ההתמודדות איתם תהיה אפילו קלה יותר מאשר עם וקטורים מנחים:

אם ישר ניתן על ידי משוואה כללית במערכת קואורדינטות מלבנית, אז הווקטור הוא הווקטור הנורמלי של הישר הזה.

אם יש "לשלוף" בזהירות את הקואורדינטות של וקטור הכיוון מהמשוואה, אז ניתן פשוט "להסיר" את הקואורדינטות של הווקטור הרגיל.

הווקטור הנורמלי הוא תמיד אורתוגונלי לווקטור הכיוון של הישר. הבה נוודא את האורתוגונליות של וקטורים אלה באמצעות מוצר נקודה:

אני אתן דוגמאות עם אותן משוואות כמו עבור וקטור הכיוון:

האם ניתן לבנות משוואה של ישר בהינתן נקודה אחת ווקטור נורמלי? אני מרגיש את זה בבטן, זה אפשרי. אם הווקטור הנורמלי ידוע, אז הכיוון של הקו הישר עצמו מוגדר בבירור - זהו "מבנה נוקשה" עם זווית של 90 מעלות.

איך כותבים משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי?

אם ידועה נקודה מסוימת השייכת לישר ולווקטור הנורמלי של ישר זה, אזי המשוואה של הישר מבוטאת בנוסחה:

כאן הכל הסתדר בלי שברים והפתעות אחרות. זה הווקטור הרגיל שלנו. לאהוב אותו. וכבוד =)

דוגמה 9

כתבו משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי. מצא את וקטור הכיוון של הקו.

פִּתָרוֹן: אנו משתמשים בנוסחה:

התקבלה המשוואה הכללית של הקו הישר, בואו נבדוק:

1) "הסר" מהמשוואה את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי: – כן, אכן, הווקטור המקורי התקבל מהתנאי (או שצריך לקבל וקטור קולינארי).

2) בואו נבדוק האם הנקודה עומדת במשוואה:

שוויון אמיתי.

לאחר שנשתכנע שהמשוואה מורכבת נכון, נשלים את החלק השני, הקל יותר, של המשימה. אנו מוציאים את וקטור הכיוון של הקו הישר:

תשובה:

בציור המצב נראה כך:

למטרות הדרכה, משימה דומה לפתרון עצמאי:

דוגמה 10

כתבו משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי. מצא את וקטור הכיוון של הקו.

החלק האחרון של השיעור יוקדש לסוגים פחות נפוצים, אך גם חשובים של משוואות של קו במישור

משוואת ישר בקטעים.
משוואת ישר בצורה פרמטרית

למשוואה של ישר בקטעים יש את הצורה , כאשר הם קבועים שאינם אפס. לא ניתן לייצג סוגים מסוימים של משוואות בצורה זו, למשל, פרופורציונליות ישירה (מכיוון שהאיבר החופשי שווה לאפס ואין דרך לקבל אחת בצד ימין).

זהו, באופן פיגורטיבי, סוג "טכני" של משוואה. משימה נפוצה היא לייצג את המשוואה הכללית של ישר כמשוואה של ישר בקטעים. איך זה נוח? משוואת ישר בקטעים מאפשרת לך למצוא במהירות את נקודות החיתוך של ישר עם צירי קואורדינטות, מה שיכול להיות חשוב מאוד בבעיות מסוימות של מתמטיקה גבוהה יותר.

בוא נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם הציר. אנו מאפסים את ה-"y" לאפס, והמשוואה לובשת את הצורה . הנקודה הרצויה מתקבלת אוטומטית: .

אותו דבר עם הציר – הנקודה בה חותך הישר את ציר הסמין.

שיעור מהסדרה "אלגוריתמים גיאומטריים"

שלום קורא יקר!

היום נתחיל ללמוד אלגוריתמים הקשורים לגיאומטריה. העובדה היא שיש לא מעט בעיות אולימפיאדות במדעי המחשב הקשורות לגיאומטריה חישובית, ופתרון בעיות כאלה לעיתים קרובות גורם לקשיים.

במהלך מספר שיעורים, נשקול מספר תת-משימות אלמנטריות שעליהן מבוסס הפתרון של רוב הבעיות בגיאומטריה חישובית.

בשיעור זה ניצור תוכנית עבור מציאת משוואת הישר, עובר דרך נתון שתי נקודות. כדי לפתור בעיות גיאומטריות, אנו זקוקים לידע מסוים בגיאומטריה חישובית. נקדיש חלק מהשיעור להיכרות איתם.

תובנות מגיאומטריה חישובית

גיאומטריה חישובית היא ענף במדעי המחשב החוקר אלגוריתמים לפתרון בעיות גיאומטריות.

הנתונים הראשוניים לבעיות כאלה יכולים להיות קבוצה של נקודות במישור, קבוצה של קטעים, מצולע (המצוין, למשל, לפי רשימה של קודקודים שלו בסדר כיוון השעון) וכו'.

התוצאה יכולה להיות תשובה לשאלה כלשהי (כגון האם נקודה שייכת לקטע, האם שני קטעים מצטלבים,...), או עצם גיאומטרי כלשהו (לדוגמה, המצולע הקמור הקטן ביותר המחבר בין נקודות נתונות, השטח של מצולע וכו').

נשקול בעיות של גיאומטריה חישובית רק במישור ורק במערכת הקואורדינטות הקרטזית.

וקטורים וקואורדינטות

כדי ליישם את שיטות הגיאומטריה החישובית, יש צורך לתרגם תמונות גיאומטריות לשפת המספרים. נניח שלמישור ניתנת מערכת קואורדינטות קרטזית, שבה כיוון הסיבוב נגד כיוון השעון נקרא חיובי.

כעת אובייקטים גיאומטריים מקבלים ביטוי אנליטי. אז כדי לציין נקודה, מספיק לציין את הקואורדינטות שלה: זוג מספרים (x; y). ניתן לציין קטע על ידי ציון הקואורדינטות של הקצוות שלו; ניתן לציין קו ישר על ידי ציון הקואורדינטות של זוג נקודות שלו.

אבל הכלי העיקרי שלנו לפתרון בעיות יהיה וקטורים. לכן הרשו לי לזכור קצת מידע עליהם.

קטע קו א.ב, שיש לו טעם אנחשבת להתחלה (נקודת היישום), ולנקודה IN– סוף, הנקרא וקטור א.בוסמן או , או מודגש אות קטנה, לדוגמה א .

כדי לציין את אורך וקטור (כלומר, אורך הקטע המתאים), נשתמש בסמל המודולוס (לדוגמה, ).

לוקטור שרירותי יהיו קואורדינטות שוות להפרש בין הקואורדינטות המתאימות של הסוף וההתחלה שלו:

,

הנה הנקודות או ב יש קואורדינטות בהתאמה.

לחישובים נשתמש במושג זווית מכוונת, כלומר, זווית שלוקחת בחשבון את המיקום היחסי של הוקטורים.

זווית מכוונת בין וקטורים א ו ב חיובי אם הסיבוב הוא מהווקטור א לוקטור ב מבוצע בכיוון חיובי (נגד כיוון השעון) ושלילי במקרה השני. ראה איור 1a, איור 1b. נאמר גם שזוג וקטורים א ו ב בעל אוריינטציה חיובית (שלילית).

לפיכך, הערך של הזווית המכוונת תלוי בסדר שבו הווקטורים מופיעים ויכול לקבל ערכים במרווח.

בעיות רבות בגיאומטריה חישובית משתמשות במושג של תוצרי וקטור (הטיה או פסאודו-סקלארית) של וקטורים.

המכפלה הווקטורית של הוקטורים a ו-b היא המכפלה של אורכי הוקטורים הללו והסינוס של הזווית ביניהם:

.

מכפלת צולב של וקטורים בקואורדינטות:

הביטוי מימין הוא קובע מסדר שני:

בניגוד להגדרה שניתנה בגיאומטריה אנליטית, מדובר בסקלר.

הסימן של המכפלה הווקטורית קובע את מיקומם של הוקטורים זה ביחס לזה:

א ו ב בעל אוריינטציה חיובית.

אם הערך הוא , אז זוג וקטורים א ו ב בעל אוריינטציה שלילית.

המכפלה הצולבת של וקטורים שאינם מאפס הוא אפס אם ורק אם הם קולינאריים ( ). זה אומר שהם שוכבים על אותו קו או על קווים מקבילים.

בואו נסתכל על כמה בעיות פשוטות הנחוצות בעת פתרון מורכבות יותר.

הבה נקבע משוואת ישר מקואורדינטות של שתי נקודות.

משוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות שונות המצוינות בקואורדינטות שלהן.

תנו שתי נקודות לא חופפות על קו ישר: עם קואורדינטות (x1; y1) ועם קואורדינטות (x2; y2). בהתאם לכך, לוקטור עם התחלה בנקודה וסוף בנקודה יש ​​קואורדינטות (x2-x1, y2-y1). אם P(x, y) היא נקודה שרירותית על הקו שלנו, אז הקואורדינטות של הווקטור שוות ל- (x-x1, y – y1).

באמצעות המכפלה הווקטורית, התנאי לקולינאריות של וקטורים וניתן לכתוב אותו באופן הבא:

הָהֵן. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

נכתוב מחדש את המשוואה האחרונה באופן הבא:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

אז, ניתן לציין את הקו הישר על ידי משוואה של הצורה (1).

בעיה 1. ניתנות הקואורדינטות של שתי נקודות. מצא את הייצוג שלו בצורה ax + by + c = 0.

בשיעור זה למדנו מידע על גיאומטריה חישובית. פתרנו את הבעיה של מציאת משוואת הישר מקואורדינטות של שתי נקודות.

בשיעור הבא, ניצור תוכנית למציאת נקודת החיתוך של שני קווים שניתנו על ידי המשוואות שלנו.

משוואות קנוניות של ישר במרחב הן משוואות שמגדירות קו העובר דרך נקודה נתונה בקולינארית לווקטור הכיוון.

תנו נקודה ווקטור כיוון. נקודה שרירותית נמצאת על קו לרק אם הוקטורים וקולינאריים, כלומר, התנאי מתקיים עבורם:

.

המשוואות לעיל הן משוואות קנוניותיָשָׁר.

מספרים M , נו עהינן השלכות של וקטור הכיוון על צירי הקואורדינטות. מכיוון שהווקטור אינו אפס, אז כל המספרים M , נו עלא יכול להיות שווה לאפס בו זמנית. אבל אחד או שניים מהם עשויים להתברר כאפס. בגיאומטריה אנליטית, למשל, הכניסה הבאה מותרת:

,

כלומר ההטלות של הווקטור על הציר אויו עוזשווים לאפס. לכן, גם הווקטור וגם הישר המוגדרים על ידי המשוואות הקנוניות מאונכים לצירים אויו עוז, כלומר מטוסים yOz .

דוגמה 1.כתוב משוואות לישר במרחב מאונך למישור ועוברים דרך נקודת החיתוך של מישור זה עם הציר עוז .

פִּתָרוֹן. בואו נמצא את נקודת החיתוך של המישור הזה עם הציר עוז. מאז כל נקודה שוכבת על הציר עוז, יש קואורדינטות , אם כן, בהנחה במשוואה הנתונה של המישור x = y = 0, אנחנו מקבלים 4 ז- 8 = 0 או ז= 2 . לכן, נקודת החיתוך של מישור זה עם הציר עוזיש קואורדינטות (0; 0; 2) . מכיוון שהקו הרצוי מאונך למישור, הוא מקביל לווקטור הרגיל שלו. לכן, הווקטור המכוון של הקו הישר יכול להיות הווקטור הרגיל מטוס נתון.

כעת נרשום את המשוואות הנדרשות של קו ישר העובר דרך נקודה א= (0; 0; 2) בכיוון הווקטור:

משוואות של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות

קו ישר יכול להיות מוגדר על ידי שתי נקודות המונחות עליו ו במקרה זה, הווקטור המכוון של הקו הישר יכול להיות הווקטור . ואז המשוואות הקנוניות של הישר לובשות את הצורה

.

המשוואות לעיל קובעות קו העובר דרך שתי נקודות נתונות.

דוגמה 2.כתוב משוואה עבור קו במרחב העובר דרך הנקודות ו.

פִּתָרוֹן. הבה נרשום את המשוואות הנדרשות של הישר בצורה שניתנה לעיל בהתייחסות התיאורטית:

.

מאז , אז הקו הישר הרצוי הוא מאונך לציר אוי .

ישר כקו החיתוך של מטוסים

ניתן להגדיר קו ישר במרחב כקו החיתוך של שני מישורים לא מקבילים, כלומר כמערכת של נקודות המספקות מערכת של שתי משוואות ליניאריות.

משוואות המערכת נקראות גם המשוואות הכלליות של קו ישר במרחב.

דוגמה 3.חבר משוואות קנוניות של קו במרחב הנתון על ידי משוואות כלליות

פִּתָרוֹן. כדי לכתוב את המשוואות הקנוניות של ישר או, מה שזה אותו הדבר, את המשוואות של הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות, אתה צריך למצוא את הקואורדינטות של כל שתי נקודות על הישר. הם יכולים להיות נקודות החיתוך של קו עם כל שניים לתאם מטוסים, לדוגמה yOzו xOz .

נקודת חיתוך של קו ומישור yOzיש אבשיסה איקס= 0 . לכן, בהנחה במערכת המשוואות הזו איקס= 0, נקבל מערכת עם שני משתנים:

ההחלטה שלה y = 2 , ז= 6 יחד עם איקס= 0 מגדיר נקודה א(0; 2; 6) הקו הרצוי. ואז נניח במערכת המשוואות הנתונה y= 0, אנו מקבלים את המערכת

ההחלטה שלה איקס = -2 , ז= 0 יחד עם y= 0 מגדיר נקודה ב(-2; 0; 0) חיתוך של קו עם מישור xOz .

כעת נרשום את משוואות הישר העובר בנקודות א(0; 2; 6) ו ב (-2; 0; 0) :

,

או לאחר חלוקת המכנים ב-2:

,

תכונות של קו ישר בגיאומטריה אוקלידית.

ניתן לצייר מספר אינסופי של קווים ישרים דרך כל נקודה.

דרך כל שתי נקודות שאינן חופפות ניתן לצייר קו ישר בודד.

שני קווים מתפצלים במישור או מצטלבים בנקודה אחת או נמצאים

מקביל (נובע מהקודם).

במרחב התלת מימדי, קיימות שלוש אפשרויות למיקום היחסי של שני קווים:

• קווים מצטלבים;

• קווים מקבילים;

• קווים ישרים מצטלבים.

יָשָׁר קַו- עקומה אלגברית מהסדר הראשון: קו ישר במערכת הקואורדינטות הקרטזית

ניתן במישור על ידי משוואה ממעלה ראשונה (משוואה לינארית).

משוואה כללית של קו ישר.

הַגדָרָה. ניתן לציין כל קו ישר במישור באמצעות משוואה מסדר ראשון

Axe + Wu + C = 0,

וקבוע א, באינם שווים לאפס בו זמנית. משוואת הסדר הראשון הזו נקראת כללי

משוואת קו ישר.תלוי בערכי הקבועים א, בו עםהמקרים המיוחדים הבאים אפשריים:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- קו ישר עובר דרך המוצא

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- קו ישר מקביל לציר אה

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- קו ישר מקביל לציר OU

. B = C = 0, A ≠0- הקו הישר חופף לציר OU

. A = C = 0, B ≠0- הקו הישר חופף לציר אה

ניתן לייצג את המשוואה של קו ישר ב בצורות שונותתלוי בכל נתון

תנאים התחלתיים.

משוואת ישר מנקודה ומווקטור נורמלי.

הַגדָרָה. במערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית, וקטור עם רכיבים (A, B)

מאונך לישר שניתן במשוואה

Axe + Wu + C = 0.

דוגמא. מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודה A(1, 2)בניצב לווקטור (3, -1).

פִּתָרוֹן. עם A = 3 ו-B = -1, בואו נרכיב את המשוואה של הישר: 3x - y + C = 0. כדי למצוא את מקדם C

הבה נחליף את הקואורדינטות של הנקודה הנתונה בביטוי המתקבל: 3 - 2 + C = 0, לכן

C = -1. סך הכל: המשוואה הנדרשת: 3x - y - 1 = 0.

משוואת הישר העובר בשתי נקודות.

תנו שתי נקודות ברווח M 1 (x 1, y 1, z 1)ו M2 (x 2, y 2, z 2),לאחר מכן משוואת קו,

עובר דרך הנקודות האלה:

אם אחד מהמכנים הוא אפס, יש להגדיר את המונה המתאים שווה לאפס. עַל

מישור, משוואת הישר הכתובה לעיל מפושטת:

אם x 1 ≠ x 2ו x = x 1, אם x 1 = x 2 .

שבריר = קשקוראים לו מִדרוֹן יָשָׁר.

דוגמא. מצא את משוואת הישר העובר בנקודות A(1, 2) ו-B(3, 4).

פִּתָרוֹן. יישום הנוסחה שנכתבה למעלה, נקבל:

משוואת ישר באמצעות נקודה ושיפוע.

אם המשוואה הכללית של הקו Axe + Wu + C = 0מוביל ל:

ולקבוע , ואז נקראת המשוואה המתקבלת

משוואת ישר עם שיפוע k.

משוואת ישר מנקודה ומוקטור כיוון.

באנלוגיה לנקודה בהתחשב במשוואה של קו ישר דרך הווקטור הרגיל, אתה יכול להיכנס למשימה

ישר דרך נקודה ווקטור מכוון של ישר.

הַגדָרָה. כל וקטור שאינו אפס (α 1 , α 2), שמרכיביו עומדים בתנאי

Aα 1 + Bα 2 = 0שקוראים לו וקטור מכוון של קו ישר.

Axe + Wu + C = 0.

דוגמא. מצא את המשוואה של ישר עם וקטור כיוון (1, -1) ועובר דרך הנקודה A(1, 2).

פִּתָרוֹן. נחפש את משוואת הקו הרצוי בצורה: Axe + By + C = 0.לפי ההגדרה,

המקדמים חייבים לעמוד בתנאים הבאים:

1 * A + (-1) * B = 0, כלומר. א = ב.

אז למשוואת הישר יש את הצורה: Axe + Ay + C = 0,אוֹ x + y + C / A = 0.

בְּ- x = 1, y = 2אנחנו מקבלים C/A = -3, כלומר משוואה נדרשת:

x + y - 3 = 0

משוואת ישר בקטעים.

אם במשוואה הכללית של הישר Ах + Ву + С = 0 С≠0, אז, מחלקים ב-С, נקבל:

או איפה

משמעות גיאומטריתמקדמים הוא שמקדם a הוא הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך

ישר עם ציר הו,א ב- קואורדינטה של ​​נקודת החיתוך של הישר עם הציר OU.

דוגמא. ניתנת המשוואה הכללית של ישר x - y + 1 = 0.מצא את המשוואה של קו זה בקטעים.

C = 1, , a = -1, b = 1.

משוואה נורמלית של קו.

אם שני הצדדים של המשוואה Axe + Wu + C = 0לחלק במספר שנקרא

גורם מנרמל, אז אנחנו מקבלים

xcosφ + ysinφ - p = 0 -משוואה רגילה של ישר.

יש לבחור את הסימן ± של הגורם המנרמל כך μ*C< 0.

ר- אורך האנך שירד מהמקור לקו הישר,

א φ - הזווית שנוצרת על ידי הניצב הזה עם הכיוון החיובי של הציר אה.

דוגמא. ניתנת המשוואה הכללית של הישר 12x - 5y - 65 = 0. חובה לכתוב סוגים שוניםמשוואות

הקו הישר הזה.

המשוואה של קו זה בקטעים:

המשוואה של קו זה עם השיפוע: (חלק ב-5)

משוואה של קו:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

יש לציין שלא כל ישר יכול להיות מיוצג על ידי משוואה בקטעים, למשל, ישרים,

במקביל לציריםאו עובר דרך המוצא.

הזווית בין קווים ישרים במישור.

הַגדָרָה. אם ניתנו שני קווים y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, זה פינה חדהבין השורות הללו

יוגדר כ

שני קווים מקבילים אם k 1 = k 2. שני קווים מאונכים

אם k 1 = -1/ k 2 .

מִשׁפָּט.

ישיר Axe + Wu + C = 0ו A 1 x + B 1 y + C 1 = 0מקביל כאשר המקדמים פרופורציונליים

A 1 = λA, B 1 = λB. אם גם С 1 = λС, אז השורות חופפות. קואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים

נמצאים כפתרון למערכת המשוואות של קווים אלו.

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה בניצב לישר נתון.

הַגדָרָה. קו העובר דרך נקודה M 1 (x 1, y 1)ובמאונך לקו y = kx + b

מיוצג על ידי המשוואה:

מרחק מנקודה לקו.

מִשׁפָּט. אם ניתנת נקודה M(x 0, y 0),ואז המרחק לקו הישר Axe + Wu + C = 0מוגדר כ:

הוכחה. תן את הנקודה M 1 (x 1, y 1)- הבסיס של מאונך ירד מנקודה Mעבור נתון

ישיר. ואז המרחק בין הנקודות Mו M 1:

(1)

קואורדינטות x 1ו ב 1ניתן למצוא כפתרון למערכת המשוואות:

המשוואה השנייה של המערכת היא משוואת ישר העובר בנקודה נתונה M 0 בניצב

נתון קו ישר. אם נהפוך את המשוואה הראשונה של המערכת לצורה:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ואז, בפתרון, נקבל:

החלפת ביטויים אלה במשוואה (1), אנו מוצאים:

המשפט הוכח.