מקדם b בפונקציה לינארית. פונקציה לינארית

בכיתה ז' למדנו את הפונקציות y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 ובסופו של דבר הגיעו למסקנה שמשוואה עם שני משתנים בצורה y = f(x) (פונקציה) היא מודל מתמטי שנוח לו, לאחר שנתן ערך ספציפי של המשתנה הבלתי תלוי x (טיעון), לחשב את התואם

הערך המתאים של המשתנה התלוי y. לדוגמה, אם ניתנת הפונקציה y = x 2, כלומר. f(x) = x 2, ואז עבור x = 1 נקבל y = 1 2 = 1; בקיצור, כתוב כך: f(1) = 1. עבור x = 2 נקבל f(2) = 2 2 = 4, כלומר y = 4; עבור x = - 3 נקבל f(- 3) = (- 3) 2 = 9, כלומר y = 9 וכו'.

כבר בכיתה ז', אתה ואני התחלנו להבין שבשוויון y = f(x) חלק ימין, כלומר הביטוי f(x) אינו מוגבל לארבעת המקרים המפורטים לעיל (C, kx, kx + m, x 2).
לדוגמה, כבר נתקלנו בפונקציות חלקיות, כלומר פונקציות המוגדרות על ידי נוסחאות שונות במרווחים שונים. הנה פונקציה אחת כזו:

y = f(x), כאשר

אתה זוכר איך לצייר גרף של פונקציות כאלה? ראשית עליך לבנות פרבולה y = x 2 ולקחת את חלקה ב-x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (איור 2). ולבסוף, אתה צריך לשלב את שני החלקים שנבחרו בשרטוט אחד, כלומר לבנות על אחד מישור קואורדינטות(ראה איור 3).

כעת המשימה שלנו היא הבאה: לחדש את מלאי הפונקציות הנלמדות. IN החיים האמיתייםישנם תהליכים המתוארים על ידי שונים מודלים מתמטייםמהצורה y = f(x), לא רק אלה שמנינו למעלה. בסעיף זה נשקול את הפונקציה y = kx 2, כאשר מקדם k הוא כל מספר שאינו אפס.

למעשה, הפונקציה y = kx 2 במקרה אחד קצת מוכרת לך. תראה: אם k = 1, אז נקבל y = x 2; למדת את הפונקציה הזו בכיתה ז' ובטח זוכרת שהגרף שלה הוא פרבולה (איור 1). בואו נדון במה שקורה בערכים אחרים של מקדם k.
שקול שתי פונקציות: y = 2x 2 ו-y = 0.5x 2. בואו נעשה טבלת ערכים עבור הפונקציה הראשונה y = 2x 2:

בואו נבנה את הנקודות (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1.5; 4.5), (-1.5; 4,5) על מישור הקואורדינטות (איור 4); הם מתווים קו מסוים, בואו נצייר אותו

(איור 5).
בואו נעשה טבלת ערכים עבור הפונקציה השנייה y = 0.5x 2:

בואו נבנה נקודות (0; 0), (1; 0.5), (-1; 0.5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) במישור הקואורדינטות (איור 6); הם מתווים קו מסוים, בואו נצייר אותו (איור 7)

.

הנקודות המוצגות באיור. 4 ו-6 נקראות לפעמים נקודות בקרה עבור הגרף של הפונקציה המתאימה.

השווה בין איורים 1, 5 ו-7. האם זה לא נכון שהקווים המצוירים דומים? כל אחד מהם נקרא פרבולה; במקרה זה, הנקודה (0; 0) נקראת קודקוד הפרבולה, וציר ה-y הוא ציר הסימטריה של הפרבולה. "מהירות התנועה כלפי מעלה" של ענפי הפרבולה תלויה בערך של מקדם k, או, כפי שאומרים גם,
"מידת תלילות" של פרבולה. זה נראה בבירור באיור. 8, כאשר כל שלוש הפרבולות שנבנו למעלה ממוקמות על אותו מישור קואורדינטות.

המצב זהה לחלוטין עם כל פונקציה אחרת בצורה y = kx 2, כאשר k > 0. הגרף שלה הוא פרבולה עם הקודקוד במקור, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, וככל שתלול יותר כך גבוה יותר מקדם k. ציר ה-y הוא ציר הסימטריה של הפרבולה. אגב, למען הקיצור, מתמטיקאים אומרים לעתים קרובות "פרבולה y = kx 2" במקום הביטוי הארוך "פרבולה משמשת כגרף של הפונקציה y = kx 2", ובמקום המונח "ציר סימטריה של פרבולה" הם משתמשים במונח "ציר פרבולה".

האם אתה שם לב שיש אנלוגיה לפונקציה y = kx? אם k > 0, אז הגרף של הפונקציה y = kx הוא ישר העובר דרך מקור הקואורדינטות (זכור, אמרנו בקצרה: ישר y = kx), וגם כאן "מידת התלולות" של הקו הישר תלוי בערך המקדם k. זה נראה בבירור על
אורז. 9, כאשר גרפים של פונקציות לינאריות y = kx מוצגים במערכת קואורדינטות אחת עבור שלושה ערכים של המקדם

נחזור לפונקציה y = kx 2. הבה נגלה כיצד הדברים עומדים במקרה של מקדם שלילי ft. בואו נבנה, למשל, גרף של הפונקציה

y = - x 2 (כאן k = - 1). בואו ניצור טבלת ערכים:

סמן את הנקודות (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) במישור הקואורדינטות (איור 10); הם מתווים קו מסוים, בואו נצייר אותו (איור 11). זוהי פרבולה עם קודקוד בנקודה (0; 0), ציר ה-y הוא ציר הסימטריה, אך בניגוד למקרה כאשר k > 0, הפעם ענפי הפרבולה מופנים כלפי מטה. המצב דומה אצל אחרים ערכים שלילייםמקדם k.

אז, הגרף של פונקציה הוא פרבולה עם הקודקוד שלה במקור; ציר ה-y הוא ציר הפרבולה; הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מעלה ב-k>0 u כלפי מטה ב-k<0.

נציין גם שהפרבולה y = kx 2 נוגעת בציר ה-x בנקודה (0; 0), כלומר, ענף אחד של הפרבולה עובר בצורה חלקה לתוך השני, כאילו לוחץ על ציר ה-x.
אם אתה משרטט גרפים של הפונקציות y = x2 ו- y = - x2 באותה מערכת קואורדינטות, אז קל להבחין שהפרבולות הללו סימטריות זו לזו ביחס לציר x, הנראה בבירור באיור. 12. באותו אופן, הפרבולות y = 2x 2 ו-y = - 2x 2 סימטריות זו לזו ביחס לציר ה-x (אל תתעצלו, בנה את אלה
שתי פרבולות באותה מערכת קואורדינטות וודא שהמשפט נכון).

באופן כללי, הגרף של הפונקציה y = - f(x) סימטרי לגרף של הפונקציה y = f(x) ביחס לאבשיסה.

מאפייני הפונקציה y = kx 2 עבור k > 0

בתיאור המאפיינים של פונקציה זו, נסתמך על המודל הגיאומטרי שלה - פרבולה (איור 13).

1. מכיוון שלכל ערך של x ניתן לחשב את הערך המתאים של y באמצעות הנוסחה y = kx 2, הפונקציה מוגדרת בכל נקודה x (עבור כל ערך של הארגומנט x). בקיצור, כתוב כך: תחום ההגדרה של הפונקציה הוא (-oo, +oo), כלומר כל קו הקואורדינטות.

2. y = 0 ב-x = 0; y > O ב. ניתן לראות זאת גם מהגרף של הפונקציה (הוא ממוקם כולו מעל ציר ה-x), אך ניתן להצדיק זאת ללא עזרת גרף: אם

ואז kx 2 > O כמכפלה של שני מספרים חיוביים k ו-x 2.

3. y = kx 2 היא פונקציה רציפה. נזכיר כי לעת עתה אנו רואים במונח זה מילה נרדפת למשפט "הגרף של פונקציה הוא קו מוצק שניתן לצייר מבלי להרים את העיפרון מהנייר." בכיתות גבוהות יותר תינתן פרשנות מתמטית מדויקת יותר למושג המשכיות של פונקציה, מבלי להסתמך על המחשה גיאומטרית.

4.y/ naim = 0 (הושג ב-x = 0); nai6 לא קיים.

הבה נזכיר ש(/max הוא הערך הקטן ביותר של הפונקציה, ו-Unaib. הוא הערך הגדול ביותר של הפונקציה במרווח נתון; אם המרווח לא מצוין, אז unaim- ו-y max. הם הקטן ביותר, בהתאמה, ו הערך הגבוה ביותרפונקציות בתחום ההגדרה.

5. הפונקציה y = kx 2 גדלה כ- x > O ויורדת כ- x< 0.

נזכיר כי בקורס אלגברה בכיתה ז' הסכמנו לקרוא לפונקציה שהגרף שלה על המרווח הנדון עובר משמאל לימין כאילו "עלייה", עולה, ופונקציה שהגרף שלה על המרווח הנבדק עובר משמאל ל ממש כאילו "בירידה", - יורד. ליתר דיוק, אנו יכולים לומר זאת: אומרים שהפונקציה y = f (x) הולכת וגדלה במרווח X אם במרווח זה מתאים ערך גדול יותר של הארגומנט
ערך פונקציה גדול יותר; אומרים שפונקציה y = f (x) יורדת במרווח X אם במרווח זה ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה.

בספר הלימוד אלגברה 7, קראנו לתהליך רישום המאפיינים של פונקציה שקוראת גרף. תהליך קריאת הגרף יהפוך בהדרגה לעשיר ומעניין יותר ככל שנלמד תכונות חדשות של פונקציות. דנו בחמשת המאפיינים המפורטים לעיל בכיתה ז' עבור הפונקציות שלמדנו שם. בואו נוסיף נכס אחד חדש.

פונקציה y = f(x) נקראת מוגבלת למטה אם כל ערכי הפונקציה גדולים ממספר מסוים. מבחינה גיאומטרית, זה אומר שגרף הפונקציה ממוקם מעל ישר מסוים המקביל לציר ה-x.

עכשיו תראה: הגרף של הפונקציה y = kx 2 ממוקם מעל לקו הישר y = - 1 (או y = - 2, זה לא משנה) - הוא מוצג באיור. 13. לפיכך, y - kx2 (k > 0) היא פונקציה תחומה מלמטה.

יחד עם פונקציות מוגבלות למטה, נחשבות גם פונקציות התחום למעלה. אומרים שפונקציה y - f(x) מוגבלת מלמעלה אם כל ערכי הפונקציה קטנים ממספר מסוים. מבחינה גיאומטרית, זה אומר שהגרף של הפונקציה ממוקם מתחת לאיזה קו ישר המקביל לציר ה-x.
האם יש קו כזה לפרבולה y = kx 2, כאשר k > 0? לא. המשמעות היא שהפונקציה אינה בגבול עליון.

אז יש לנו עוד נכס אחד, בואו נוסיף אותו לחמישה הרשומים למעלה.

6. הפונקציה y = kx 2 (k > 0) מוגבלת מתחת ולא מוגבלת מעל.

מאפייני הפונקציה y = kx 2 עבור k< 0

כאשר אנו מתארים את המאפיינים של פונקציה זו, אנו מסתמכים על המודל הגיאומטרי שלה - פרבולה (איור 14).

1. תחום ההגדרה של הפונקציה הוא (-oo, +oo).

2. y = 0 ב-x = 0; בְּ-< 0 при .

Z.у = kx 2 היא פונקציה רציפה.
4. y nai6 = 0 (מושג ב-x = 0), unaim לא קיים.

5. הפונקציה גדלה כ-x< 0, убывает при х > 0.

6.הפונקציה מוגבלת מלמעלה ולא מוגבלת מלמטה.

נסביר את התכונה האחרונה: ישנו ישר מקביל לציר x (לדוגמה, y = 1, הוא מצויר באיור 14), כך שהפרבולה כולה נמצאת מתחת לקו הישר הזה; זה אומר שהפונקציה מוגבלת למעלה. מצד שני, אי אפשר לצייר קו ישר כזה במקביל לציר x, כך שהפרבולה כולה ממוקמת מעל הקו הישר הזה; זה אומר שהפונקציה אינה מוגבלת למטה.

סדר המהלכים המשמש לעיל בעת רישום המאפיינים של פונקציה אינו חוק, כל עוד היא התפתחה בצורה כרונולוגית כך.

נפתח סדר מהלכים פחות או יותר מוגדר בהדרגה ונאחד אותו בקורס אלגברה בכיתה ט'.

דוגמה 1.מצא את הערכים הקטנים והגדולים ביותר של הפונקציה y = 2x 2 בקטע: a) ; ב) [- 2, - 1]; ג) [- 1, 1.5].

פִּתָרוֹן.
א) נבנה גרף של הפונקציה y = 2x2 ונדגיש את החלק שלה בקטע (איור 15). נציין כי 1/שם. = 0 (מושג ב-x = 0), ו-y max = 8 (מושג ב-x = 2).

ב) נבנה גרף של הפונקציה y = 2x2 ונדגיש את חלקה על הקטע [- 2, - 1] (איור 16). נציין ש-2/max = 2 (הושג ב-x = - 1), ו-y max = 8 (מושג ב-x = - 2).

ג) נבנה גרף של הפונקציה y = 2x2 ונדגיש את חלקה על הקטע [- 1, 1.5] (איור 17). נציין כי unanm = 0 (מושג ב-x = 0), ו-y מושגת ביותר בנקודה x = 1.5; בוא נחשב את הערך הזה: (1.5) = 2-1.5 2 = 2-2.25 = 4.5. אז, y max = 4.5.

דוגמה 2.פתרו את המשוואה - x 2 = 2x - 3.

פִּתָרוֹן. בספר הלימוד "אלגברה-7" פיתחנו אלגוריתם לפתרון גרפי של משוואות; הבה נזכור אותו.

כדי לפתור את המשוואה f(x) = g (x) באופן גרפי, אתה צריך:

1) שקול שתי פונקציות y = -x 2 ו- y = 2x -3;
2) בנה גרף של הפונקציה i/ = / (x);
3) בנה גרף של הפונקציה y = g (x);
4) מצא את נקודות החיתוך של הגרפים הבנויים; אבסקיס-
ה-sys של נקודות אלו הם השורשים של המשוואה f(x) = g (x).
בואו ניישם את האלגוריתם הזה על המשוואה הנתונה.
1) שקול שתי פונקציות: y = - x2 ו- y = 2x - 3.
2) בואו נבנה פרבולה - גרף של הפונקציה y = - x 2 (איור 18).

3) בואו נבנה גרף של הפונקציה y = 2x - 3. זהו קו ישר, כדי לבנות אותו, מספיק למצוא שתי נקודות כלשהן בגרף. אם x = 0, אז y = - 3; אם x = 1,

ואז y = -1. אז מצאנו שתי נקודות (0; -3) ו-(1; -1). הקו הישר העובר דרך שתי הנקודות הללו (גרף הפונקציה y = 2x - 3) מתואר באותו

ציור (ראה איור 18).

4) לפי השרטוט, אנו מוצאים שהישר והפרבולה מצטלבים בשתי נקודות A(1; -1) ו-B(-3; -9). זה אומר שלמשוואה זו יש שני שורשים: 1 ו- 3 - אלו הם האבססיס של נקודות A ו-B.

תשובה: 1,-3.

תגובה.כמובן, אתה לא יכול לסמוך באופן עיוור על איורים גרפיים. אולי רק נראה לנו שלנקודה A יש קואורדינטות (1; - 1), והלאה
האם הם באמת שונים, למשל (0.98; - 1.01)?

לכן, תמיד כדאי לבדוק את עצמך. לכן, בדוגמה שנחשבת, עליך לוודא שנקודה A(1; -1) שייכת לפרבולה y = - x 2 (זה קל - פשוט החלף את הקואורדינטות של נקודה A בנוסחה y = - x 2 ; נקבל - 1 = - 1 2 - שוויון מספרי נכון) ואת הישר y = 2x - 3 (וזה קל - פשוט החליפו את הקואורדינטות של נקודה A בנוסחה y = 2x - 3; נקבל - 1 = 2-3 - השוויון המספרי הנכון). אותו הדבר צריך להיעשות עבור
נקודות 8. בדיקה זו מראה שבמשוואה הנחשבת, תצפיות גרפיות הובילו לתוצאה הנכונה.

דוגמה 3.לפתור מערכת משוואות

פִּתָרוֹן. בואו נהפוך את המשוואה הראשונה של המערכת לצורה y = - x 2. הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה המוצגת באיור. 18.
הבה נהפוך את המשוואה השנייה של המערכת לצורה y = 2x - 3. הגרף של פונקציה זו הוא הקו הישר המוצג באיור. 18.

הפרבולה והישר מצטלבים בנקודות A (1; -1) ו-B (- 3; - 9). הקואורדינטות של נקודות אלו משמשות פתרונות למערכת משוואות נתונה.

תשובה: (1; -1), (-3; -9).

דוגמה 4. נתונה פונקציה y - f (x), שבו

נדרש:

א) חשב את f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3);

ב) לבנות גרף של הפונקציה;

ג) השתמש בגרף כדי לרשום את המאפיינים של הפונקציה.

פִּתָרוֹן,

א) הערך x = - 4 עומד בתנאי - לכן יש לחשב את f(-4) באמצעות השורה הראשונה של הגדרת הפונקציה. יש לנו f(x) = - 0.5x2, כלומר
f(-4) = -0.5 . (-4) 2 = -8.
באופן דומה אנו מוצאים:

f(-2) = -0.5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0.5 . 0 2 = 0.

הערך עומד בתנאי, ולכן יש לחשב אותו באמצעות השורה השנייה של מפרט הפונקציה. יש לנו f(x) = x + 1, כלומר

הערך x = 1.5 עומד בתנאי 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1.5) = 2-1.5 2 = 4.5.
באופן דומה אנו מקבלים
f(2)= 2 . 2 2 =8.
הערך x = 3 אינו מקיים אף אחד משלושת התנאים לציון הפונקציה, ולכן f(3) ב במקרה הזהלא ניתן לחשב, הנקודה x = 3 אינה שייכת לתחום ההגדרה של הפונקציה. המשימה של חישוב f(3) אינה נכונה.

ב) נבנה את הגרף "חתיכה אחר חתיכה". ראשית, בואו נבנה פרבולה y = -0.5x 2 ונבחר את החלק שלה בקטע [-4, 0] (איור 19). לאחר מכן נבנה את הישר y = x + 1 u. בואו נבחר את החלק שלו בחצי המרווח (0, 1] (איור 20). לאחר מכן, נבנה פרבולה y = 2x2 ונבחר את החלק שלה בחצי המרווח

(1, 2] (איור 21).

לבסוף, נציג את כל שלושת ה"חתיכות" במערכת קואורדינטות אחת; נקבל גרף של הפונקציה y = f(x) (איור 22).

ג) נרשום את המאפיינים של הפונקציה או, כפי שהסכמנו לומר, נקרא את הגרף.

1. תחום ההגדרה של הפונקציה הוא הקטע [-4, 2].

2. y = 0 ב-x = 0; y > 0 ב-0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. הפונקציה עוברת אי רציפות ב-x = 0.

4. הפונקציה גדלה בקטע [-4, 2].

5. הפונקציה מוגבלת הן מלמטה והן מלמעלה.

6. y max = -8 (הושג ב-x = -4); y רוב 6 . = 8 (הושג ב-x = 2).

דוגמה 5.ניתנת הפונקציה y = f(x), כאשר f(x) = 3x 2. למצוא:

f(1), f(-2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

פִּתָרוֹן. מכיוון ש-f (x) = 3x 2, אנו מקבלים באופן עקבי:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(א) = עבור 2;
f(a+1) = 3(a + 1) 2;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x 2 ;
f(x + a) = 3(x + a) 2;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =З . (2a) 2 =12a 2

F(x) =З . (-x) 2 =3x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x 3) = 3 . (2x3)2

שיעור וידאו זה לקורס מתמטיקה יציג בפניכם את המאפיינים של הפונקציה y = k/x, בתנאי שהערך של k הוא שלילי.
בשיעורי הווידאו הקודמים שלנו, הכרתם את הפונקציה y שווה ל-k חלקי x, את הגרף שלה, שנקרא "היפרבולה", וכן את המאפיינים של הגרף עבור ערך חיובי של k. סרטון זה יציג בפניכם את המאפיינים של מקדם k כאשר ערכו שלילי, כלומר קטן מאפס.

תכונות השוויון, שבהן y שווה למקדם k חלקי המשתנה הבלתי תלוי x, בתנאי שהמקדם שלילי, מוצגות בסרטון.
כאשר מתארים את המאפיינים של פונקציה זו, קודם כל, הם מסתמכים על המודל הגיאומטרי שלה - היפרבולה.

מאפיין 1. התחום של פונקציה מורכב מכל המספרים, אבל מכאן נובע ש-x לא יכול להיות שווה ל-0, כי אי אפשר לחלק באפס.
תכונה 2. y גדול מאפס בתנאי ש-x קטן מאפס; ובהתאם, להיפך, y קטן מאפס בערך כאשר x נמצא בטווח הגדול מאפס ועד אינסוף.
תכונה 3. הפונקציה גדלה במרווחים ממינוס אינסוף לאפס ומאפס לפלוס אינסוף: (-∞, 0) ו-(0, +∞).
תכונה 4. הפונקציה היא אינסופית, מכיוון שאין לה הגבלות לא מלמטה ולא מלמעלה.
תכונה 5. לפונקציה אין לא את הערך הקטן ביותר ולא את הערך הגדול ביותר, מכיוון שהיא אינסופית.
תכונה 6. הפונקציה רציפה על המרווחים ממינוס אינסוף לאפס (-∞, 0) ומאפס לאינסוף (0, +∞), ויש לשים לב שהיא עוברת אי רציפות במקרה של x יש a ערך של אפס.
תכונה 7. טווח הפונקציות הוא האיחוד של שתי קרניים פתוחות ממינוס אינסוף לאפס (-∞, 0) ומאפס לפלוס אינסוף (0, +∞).

הסרטון הבא מספק דוגמאות. אנו נסתכל רק על כמה מהם; אנו ממליצים לצפות בשאר בעצמך בסרטונים המסופקים.
אז בואו נסתכל על הדוגמה הראשונה. יש צורך לפתור את המשוואה הבאה: 4/x = 5-x.
לנוחות רבה יותר, אנו מחלקים את פתרון השוויון הזה למספר שלבים:
1) ראשית, נכתוב את השוויון שלנו בצורה של שתי משוואות נפרדות: y = 4/x ו- y = 5-x/
2) לאחר מכן, כפי שמוצג בסרטון, אנו משרטטים את הפונקציה y = 4/x, שהיא היפרבולה.
3) לאחר מכן, נבנה גרף של פונקציה לינארית. במקרה זה, זהו קו ישר שניתן לבנות משתי נקודות. הגרפים מוצגים בחומר הווידאו שלנו.
4) בהתבסס על הציור עצמו, אנו קובעים את הנקודות שבהן שני הגרפים שלנו מצטלבים, הן ההיפרבולה והן הקו הישר. יש לציין שהם מצטלבים בנקודות A (1; 4) ו-B (4; 1). בדיקת התוצאות שהתקבלו מראה שהן נכונות. למשוואה זו יכולים להיות שני שורשים 1 ו-4.

הדוגמה הבאה, שנדונה בשיעור הווידאו, כוללת את המשימה הבאה: לבנות ולקרוא גרף של הפונקציה y = f(x), כאשר f(x) = -x2, אם המשתנה x נמצא בטווח של גדול מ- או שווה ל-2 ולגדול מ- או שווה ל-1, ו-y = -1/x, אם x גדול מאחד.
הפתרון מתבצע במספר שלבים. ראשית, אנו בונים גרף של הפונקציה y = -x2, הנקראת "פרבולה", ובוחרים את חלקה באזור מ-2 עד 1. לצפייה בגרף, עיין בסרטון.

השלב הבא הוא בניית היפרבולה עבור השוויון y = -1/x, ולבחור את החלק שלה בקרן הפתוחה מאחד עד אינסוף. לאחר מכן, נעביר את שני הגרפים באותה מערכת קואורדינטות. כתוצאה מכך, נקבל גרף של הפונקציה y = f(x).
לאחר מכן עליך לקרוא את הגרף של הפונקציה y = f(x):
1. תחום ההגדרה של הפונקציה הוא קרן באזור מ-2 עד +∞.
2. y שווה לאפס במקרה שבו x שווה לאפס; y קטן מאפס כאשר x גדול או שווה ל-2 וקטן מאפס, וגם כאשר x גדול מאפס.
3. הפונקציה גדלה בשטח מ-2 ל-0 ובאזור מ-1 לאינסוף, הגרף מראה ירידה בשטח מאפס לאחד.
4. פונקציה עם פרמטרים נתונים מוגבלת הן מלמטה והן מלמעלה.
5. הערך הקטן ביותר של המשתנה y הוא - 4 והוא מושג כאשר הערך של x הוא ברמה - 2; וגם הערך הגדול ביותר של y הוא 0, אשר מושג כאשר הערך של x שווה לאפס.
6. בתחום נתון של הגדרה, הפונקציה שלנו היא רציפה.
7. אזור הערך של הפונקציה ממוקם במרווח שבין -4 ל-0.
8. הפונקציה קמורה כלפי מעלה על הקטע מ-2 עד 1 ועל הקרן מ-1 עד אינסוף.
אתה יכול להכיר את הדוגמאות הנותרות על ידי צפייה בסרטון המוצג.

הרעיון של פונקציה מספרית. שיטות לציון פונקציה. מאפיינים של פונקציות.

פונקציה מספרית היא פונקציה הפועלת ממרחב מספרי (סט) אחד למרחב מספרי (סט) אחר.

שלוש דרכים עיקריות להגדרת פונקציה: אנליטית, טבלאית וגרפית.

1. אנליטי.

השיטה של ​​ציון פונקציה באמצעות נוסחה נקראת אנליטית. שיטה זו היא העיקרית במזרן. ניתוח, אבל בפועל זה לא נוח.

2. שיטה טבלאית לציון פונקציה.

ניתן לציין פונקציה באמצעות טבלה המכילה את ערכי הארגומנט ואת ערכי הפונקציה המתאימים להם.

3. שיטה גרפית לציון פונקציה.

אומרים שפונקציה y=f(x) ניתנת בצורה גרפית אם הגרף שלה בנוי. שיטה זו של ציון פונקציה מאפשרת לקבוע את ערכי הפונקציה בקירוב בלבד, שכן בניית גרף ומציאת ערכי הפונקציה עליו קשורה לשגיאות.

תכונות של פונקציה שיש לקחת בחשבון בעת ​​בניית הגרף שלה:

1) תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום הפונקציה,כלומר, אותם ערכים שהארגומנט x של הפונקציה F =y (x) יכול לקחת.

2) מרווחים של פונקציות גדלות ויורדות.

הפונקציה נקראת הגדלהעל המרווח הנדון, אם ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך גדול יותר של הפונקציה y(x). משמעות הדבר היא שאם שני ארגומנטים שרירותיים x 1 ו-x 2 נלקחים מהמרווח הנדון, ו-x 1 > x 2, אז y(x 1) > y(x 2).

הפונקציה נקראת ירידהעל המרווח הנדון, אם ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה y(x). המשמעות היא שאם שני ארגומנטים שרירותיים x 1 ו- x 2 נלקחים מהמרווח הנדון, ו- x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) אפסים פונקציה.

הנקודות שבהן הפונקציה F = y (x) חותכת את ציר האבססיס (הן מתקבלות על ידי פתרון המשוואה y(x) = 0) נקראות אפסים של הפונקציה.

4) פונקציות זוגיות ואי-זוגיות.

הפונקציה נקראת אפילו,אם עבור כל ערכי הארגומנטים מההיקף

y(-x) = y(x).

הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי לגבי הסמטה.

הפונקציה נקראת אי זוגי, אם עבור כל הערכים של הטיעון מתחום ההגדרה

y(-x) = -y(x).

הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי לגבי המקור.

פונקציות רבות אינן זוגיות ואינן מוזרות.

5) מחזוריות של הפונקציה.

הפונקציה נקראת מחזורית,אם יש מספר P כך שלכל ערכי הטיעון מתחום ההגדרה

y(x + P) = y(x).

פונקציה לינארית, המאפיינים והגרף שלו.

פונקציה לינארית היא פונקציה של הצורה y = kx + b, המוגדר על קבוצת כל המספרים הממשיים.

ק- שיפוע (מספר אמיתי)

ב- מונח דמה (מספר אמיתי)

איקס- משתנה בלתי תלוי.

· במקרה המיוחד, אם k = 0, נקבל פונקציה קבועה y = b, שהגרף שלה הוא ישר מקביל לציר השור העובר בנקודה בעלת הקואורדינטות (0; b).

· אם b = 0, אז נקבל את הפונקציה y = kx, שהיא מידתיות ישירה.

o משמעות גיאומטריתמקדם b הוא אורך הקטע המנותק על ידי הקו הישר לאורך ציר Oy, בספירה מהמקור.

o המשמעות הגיאומטרית של מקדם k היא זווית הנטייה של הקו הישר לכיוון החיובי של ציר השור, מחושבת נגד כיוון השעון.

מאפיינים של פונקציה לינארית:

1) תחום ההגדרה של פונקציה לינארית הוא כל הציר האמיתי;

2) אם k ≠ 0, אז טווח הערכים של הפונקציה הליניארית הוא כל הציר האמיתי.

אם k = 0, אז טווח הערכים של הפונקציה הליניארית מורכב מהמספר b;

3) זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה לינארית תלויים בערכי המקדמים k ו-b.

a) b ≠ 0, k = 0, לכן, y = b - אפילו;

ב) b = 0, k ≠ 0, לכן y = kx – אי זוגי;

ג) b ≠ 0, k ≠ 0, לכן y = kx + b היא פונקציה של צורה כללית;

ד) b = 0, k = 0, לכן y = 0 היא גם פונקציה זוגית וגם אי זוגית.

4) לפונקציה לינארית אין תכונה של מחזוריות;

5) נקודות חיתוך עם צירי קואורדינטות:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, לכן (-b/k; 0) היא נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

Oy: y = 0k + b = b, לכן (0; b) היא נקודת החיתוך עם הסמין.

תגובה. אם b = 0 ו-k = 0, אז הפונקציה y = 0 נעלמת עבור כל ערך של המשתנה x. אם b ≠ 0 ו-k = 0, אז הפונקציה y = b לא נעלמת עבור שום ערך של המשתנה x.

6) המרווחים של סימן קבוע תלויים במקדם k.

א) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - חיובי ב-x מ-(-b/k; +∞),

y = kx + b - שלילי עבור x מ (-∞; -b/k).

ב)ק< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - חיובי ב-x מ-(-∞; -b/k),

y = kx + b - שלילי עבור x של (-b/k; +∞).

ג) k = 0, b > 0; y = kx + b הוא חיובי בכל תחום ההגדרה,

k = 0, ב< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) מרווחי המונוטוניות של פונקציה לינארית תלויים במקדם k.

k > 0, לכן y = kx + b גדל לאורך כל תחום ההגדרה,

ק< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. פונקציה y = ax 2 + bx + c, המאפיינים והגרף שלה.

הפונקציה y = ax 2 + bx + c (a, b, c הם קבועים, a ≠ 0) נקראת רִבּוּעִיבמקרה הפשוט ביותר, y = ax 2 (b = c = 0) הגרף הוא קו עקום העובר דרך המקור. העקומה המשמשת כגרף של הפונקציה y = ax 2 היא פרבולה. לכל פרבולה יש ציר סימטריה שנקרא ציר הפרבולה.הנקודה O של החיתוך של פרבולה עם הציר שלה נקראת קודקוד הפרבולה.

ניתן לבנות את לוח הזמנים בהתאם התרשים הבא: 1) מצא את הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) נבנה עוד מספר נקודות ששייכות לפרבולה, בעת הבנייה נוכל להשתמש בסימטריות של הפרבולה ביחס לישר x = -b/2a. 3) חבר את הנקודות המצוינות בקו חלק. דוגמא. גרף את הפונקציה b = x 2 + 2x - 3.פתרונות. גרף הפונקציה הוא פרבולה, שענפיה מופנים כלפי מעלה. האבססיס של קודקוד הפרבולה x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, הסמינטות שלה y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. אז, קודקוד הפרבולה הוא נקודה (-1; -4). בואו נערוך טבלת ערכים עבור מספר נקודות הממוקמות מימין לציר הסימטריה של הפרבולה - קו ישר x = -1. מאפייני פונקציה.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובתך אימיילוכו '

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך, בהתאם לחוק, הליך שיפוטי,V ניסוי, ו/או בהתבסס על בקשות ציבוריות או בקשות של סוכנויות ממשלתיות בפדרציה הרוסית - חשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

הגדרה של פונקציה לינארית

הבה נציג את ההגדרה של פונקציה לינארית

הַגדָרָה

פונקציה בצורה $y=kx+b$, שבה $k$ אינו אפס, נקראת פונקציה לינארית.

הגרף של פונקציה לינארית הוא קו ישר. המספר $k$ נקרא השיפוע של הקו.

כאשר $b=0$ הפונקציה הליניארית נקראת פונקציה של פרופורציונליות ישירה $y=kx$.

שקול את איור 1.

אורז. 1. משמעות גיאומטרית של שיפוע של קו

שקול את המשולש ABC. אנו רואים ש$ВС=kx_0+b$. בוא נמצא את נקודת החיתוך של הישר $y=kx+b$ עם הציר $Ox$:

\ \

אז $AC=x_0+\frac(b)(k)$. בואו נמצא את היחס בין הצדדים האלה:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

מצד שני, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

לפיכך, אנו יכולים להסיק את המסקנה הבאה:

סיכום

משמעות גיאומטרית של מקדם $k$. גורם שיפועהישר $k$ שווה לטנגנס של זווית הנטייה של הישר הזה לציר $Ox$.

לימוד הפונקציה הליניארית $f\left(x\right)=kx+b$ והגרף שלה

ראשית, שקול את הפונקציה $f\left(x\right)=kx+b$, כאשר $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. כתוצאה מכך, פונקציה זו גדלה על פני כל תחום ההגדרה. אין נקודות קיצון.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. גרף (איור 2).

אורז. 2. גרפים של הפונקציה $y=kx+b$, עבור $k > 0$.

כעת שקול את הפונקציה $f\left(x\right)=kx$, כאשר $k

1. תחום ההגדרה הוא כל המספרים.
2. טווח הערכים הוא כל המספרים.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. הפונקציה אינה זוגית ואינה.
4. עבור $x=0,f\left(0\right)=b$. כאשר $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

נקודות חיתוך עם צירי קואורדינטות: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ ו-$\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. לכן, לפונקציה אין נקודות פיתול.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. גרף (איור 3).