מטוס קואורדינטות: מה זה? איך לסמן נקודות ולבנות דמויות במישור קואורדינטות? מטוס קואורדינטות (כיתה ו') - היפרמרקט ידע.

מהו מישור קואורדינטות?

המונח "קואורדינטות" מתורגם מ שפה לטיניתפירושו המילה "הורה".

נניח שעלינו לציין את מיקומה של נקודה במישור. לשם כך, ניקח 2 ישרים מאונכים, הנקראים צירי קואורדינטות, כאשר X יהיה ציר האבססיס, Y יהיה ציר הקואורדינטות, ומקור הקואורדינטות יהיה נקודה O. הזוויות הישר נוצרות באמצעות צירי הקואורדינטות ייקרא זוויות קואורדינטות.

כך הגענו להגדרה וכעת אנו יודעים שמישור קואורדינטות הוא מישור עם מערכת קואורדינטות נתונה.

כעת נסתכל על המספור של זוויות הקואורדינטות:

כעת נציג מערכת קואורדינטות מלבנית ונסמן בה נקודה M.

לאחר מכן, עלינו לצייר קו ישר דרך נקודה M, שתהיה מקבילה לציר Y. כעת, בואו נראה מה יש לנו. כפי שאנו רואים, הישר חוצה את ציר X בנקודה שבה הקואורדינטה תהיה שווה ל-2. קואורדינטה זו היא האבשיסה של נקודה M.

כעת עלינו לצייר קו ישר דרך נקודה M שיהיה מקביל לציר X.

אנו רואים שהקו הישר הזה חוצה את ציר ה-X בנקודה שהקואורדינטה שלה שווה לשלוש. קואורדינטה זו תהיה הקואורדינטה של ​​נקודה M.

רישום הקואורדינטות של M הנוכחי ייראה כך:

בסימון כזה, האבשיסה מוצבת תמיד במקום הראשון, והאורדינטה במקום השני. אם ניקח בחשבון את הדוגמה של הקואורדינטות של נקודה M(-2;3), אז -2 פועל כאבססיס של נקודה M, והאורדינטה של ​​נקודה זו תהיה המספר 3.

מכאן נובע שבמישור הקואורדינטות כל נקודה M מתאימה לזוג מספרים כמו האבשיסה והאורדינטה שלה. גם המשפט ההפוך יהיה נכון, כלומר, כל זוג מספרים כזה מתאים לנקודה אחת במישור שעבורה המספרים הללו הם קואורדינטות.

תרגיל:

מישור תיאום בחיים

האם אתה חושב שזה יכול להיות שימושי ב חיי היום - יוםידע על מישור הקואורדינטות? והאם שמעתם פעם משפט כמו "עזוב את הקואורדינטות שלך" או "באיזה קואורדינטות ניתן למצוא אותך"? והאם אי פעם חשבת על המשמעות של הביטויים האלה?

מסתבר שהכל מאוד פשוט ובנאלי, וזה אומר המיקום של חפץ זה או אחר, שבאמצעותו קל למצוא אדם או מקום ספציפי. אנו יכולים לומר בביטחון שמערכות קואורדינטות נחוצות בחייו המעשיים של אדם בכל מקום.

מערכת קואורדינטות כזו יכולה להיות כתובת בית, מספר טלפון, מקום עבודה וכו'.

הרי גם בקניית כרטיסים לרכבת יודעים לא רק את מספרה ויעדה, אלא יש לציין גם את מספר הקרון והמושב.

כדי ללכת לבקר חבר לכיתה, לא מספיק לדעת רק את הבית שבו הוא גר, אלא צריך לדעת גם את מספר הדירה.

תרגיל

1. איזה מידע צריך לדעת כדי לשבת בתיאטרון?
2. אילו נתונים צריכים כדי לקבוע נקודות על פני כדור הארץ?
3. באילו קואורדינטות ניתן לקבוע מקום בקולנוע?
4. מה צריך לדעת כדי לקבוע את מיקומו של כלי על לוח שחמט?
5. באילו קואורדינטות אתה משתמש בעת משחק קרב ים?

התייחסות היסטורית

הרעיון של שימוש בקואורדינטות מתחיל בימי קדם. בתחילה, אסטרונומים החלו להשתמש בהם כדי לקבוע גופים שמימייםוגיאוגרפים - כדי לקבוע את המיקום והעצמים על פני כדור הארץ.

הודות לעבודותיו של האסטרונום היווני העתיק קלאודיוס פלוטומאוס, כבר במאה השנייה, למדו מדענים לקבוע קווי אורך ורוחב.

האם אתה יודע למה במתמטיקה יש דבר כזה "מערכת קואורדינטות קרטזית"? מסתבר ששיטת הקואורדינטות, בעלת משמעות מתמטית כללית, התגלתה על ידי המתמטיקאים הצרפתים פייר פרמה ורנה דקארט במאה ה-17, ובשנת 1637 תיאר אותה רנה דקארט לראשונה בספר על גיאומטריה.

אבל המונחים "אבשיסה", "אורדינטה" ו"קואורדינטות" הוצגו לראשונה על ידי וילהלם לייבניץ במאה השבע-עשרה.

שיעורי בית:

משוואת מעגל במישור הקואורדינטות

הגדרה 1. ציר מספר ( קו מספר, קו קואורדינטות) Ox הוא הקו הישר שבו נבחרת נקודה O מוצא (מקור הקואורדינטות)(איור 1), כיוון

O → איקס

רשום כ כיוון חיוביומסומן קטע, שאורכו נחשב יחידת אורך.

הגדרה 2. קטע שאורכו נלקח כיחידת אורך נקרא קנה מידה.

לכל נקודה בציר המספרים יש קואורדינטה שהיא מספר ממשי. הקואורדינטה של ​​נקודה O היא אפס. הקואורדינטה של ​​נקודה שרירותית A השוכנת על הקרן Ox שווה לאורך הקטע OA. הקואורדינטה של ​​נקודה שרירותית A של הציר המספרי שאינה מונחת על הקרן Ox היא שלילית, ובערך מוחלט שווה לאורך הקטע OA.

הגדרה 3. מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית אוקסי במישורלהתקשר לשניים באופן הדדי אֲנָכִיצירים מספריים Ox ו-Oy עם אותו קנה מידהו נקודת התייחסות משותפתבנקודה O, וכך הסיבוב מ-ray Ox בזווית של 90° ל-ray Oy מתבצע בכיוון נגד כיוון השעון(איור 2).

הערה. מערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית אוקסי, המוצגת באיור 2, נקראת מערכת קואורדינטות נכונה, בניגוד מערכות קואורדינטות שמאליות, שבו סיבוב הקרן Ox בזווית של 90° אל הקרן Oy מתבצע בכיוון השעון. במדריך זה אנחנו אנו רואים רק מערכות קואורדינטות ימניות, מבלי לציין זאת במפורש.

אם נציג איזו מערכת של קואורדינטות קרטזיות מלבניות אוקסי במישור, אז כל נקודה במישור תרכוש שתי קואורדינטות – אבשיסהו להסדיר, אשר מחושבים כדלקמן. תן ל-A להיות נקודה שרירותית במישור. הבה נשאיר ניצבים מנקודה A א.א. 1 ו א.א. 2 לקווים ישרים Ox ו-Oy, בהתאמה (איור 3).

הגדרה 4. האבשיסה של נקודה A היא הקואורדינטה של ​​הנקודה א 1 על ציר המספרים Ox, הקואורדינטה של ​​נקודה A היא הקואורדינטה של ​​הנקודה א 2 על ציר המספרים Oy.

יִעוּד קואורדינטות (abscissa ו-ordinate) של הנקודהבדרך כלל מסומן A במערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית Oxy (איור 4). א(איקס;y) אוֹ א = (איקס; y).

הערה. נקודה O, נקראת מָקוֹר, יש קואורדינטות O(0 ; 0) .

הגדרה 5. במערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית Oxy, הציר המספרי Ox נקרא ציר האבססיס, והציר המספרי Oy נקרא ציר הסמיכה (איור 5).

הגדרה 6. כל מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית מחלקת את המישור ל-4 רבעים (רבעים), שמספרם מוצג באיור 5.

הגדרה 7. המישור שבו נתונה מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית נקרא מישור קואורדינטות.

הערה. ציר האבשיסה מצוין במישור הקואורדינטות על ידי המשוואה y= 0, ציר הקואורדינטות ניתן במישור הקואורדינטות על ידי המשוואה איקס = 0.

הצהרה 1. מרחק בין שתי נקודותמישור קואורדינטות

א 1 (איקס 1 ;y 1) ו א 2 (איקס 2 ;y 2)

מְחוֹשָׁב לפי הנוסחה

הוכחה . שקול את איור 6.

|א 1 א 2 | 2 = = (איקס 2 -איקס 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 .

(1)

לָכֵן,

Q.E.D.

משוואת מעגל במישור הקואורדינטות

הבה נבחן במישור הקואורדינטות Oxy (איור 7) מעגל ברדיוס R עם המרכז בנקודה א 0 (איקס 0 ;y 0) .

הבנת מישור הקואורדינטות

לכל חפץ (לדוגמה, בית, מקום באודיטוריום, נקודה במפה) יש כתובת מסודרת משלו (קואורדינטות), בעלת ייעוד מספרי או אותיות.

מתמטיקאים פיתחו מודל המאפשר לקבוע את מיקומו של עצם ונקרא מישור קואורדינטות.

כדי לבנות מישור קואורדינטות, אתה צריך לצייר קווים ישרים מאונכים $2, שבסופם הכיוונים "ימינה" ו"מעלה" מסומנים באמצעות חיצים. חלוקות מוחלות על הקווים, ונקודת החיתוך של הקווים היא סימן האפס עבור שני הסולמות.

הגדרה 1

הקו האופקי נקרא ציר xוהוא מסומן על ידי x, והקו האנכי נקרא ציר yומסומן ב-y.

שני צירי x ו- y מאונכים עם חלוקות מרכיבים מַלבֵּנִי, או קרטזיאני, מערכת קואורדינטות, שהוצע על ידי הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי רנה דקארט.

מטוס קואורדינטות

קואורדינטות נקודות

נקודה במישור קואורדינטות מוגדרת על ידי שתי קואורדינטות.

כדי לקבוע את הקואורדינטות של נקודה $A$ במישור הקואורדינטות, צריך לצייר דרכה קווים ישרים שיהיו מקבילים לצירי הקואורדינטות (מסומנים על ידי קו מנוקד באיור). החיתוך של הישר עם ציר ה-x נותן את הקואורדינטה $x$ של הנקודה $A$, והחתך עם ציר ה-y נותן את קואורדינטת ה-y של הנקודה $A$. כשכותבים את הקואורדינטות של נקודה, תחילה נכתבת הקואורדינטה $x$, ולאחר מכן את הקואורדינטה $y$.

לנקודה $A$ באיור יש קואורדינטות $(3; 2)$, ונקודה $B (–1; 4)$.

כדי לשרטט נקודה במישור הקואורדינטות, פעל בסדר הפוך.

בניית נקודה בקואורדינטות שצוינו

דוגמה 1

במישור הקואורדינטות, בנה נקודות $A(2;5)$ ו-$B(3; –1).$

פִּתָרוֹן.

בניית נקודה $A$:

• שים את המספר $2$ על ציר $x$ וצייר קו מאונך;
• על ציר ה-y נשרטט את המספר $5$ ונצייר קו ישר בניצב לציר $y$. במפגש של קווים מאונכים נקבל את הנקודה $A$ עם קואורדינטות $(2; 5)$.

בניית נקודה $B$:

• הבה נשרטט את המספר $3$ על ציר $x$ ונצייר קו ישר מאונך לציר x;
• בציר $y$ נשרטט את המספר $(–1)$ ונצייר קו ישר מאונך לציר $y$. במפגש של קווים מאונכים נקבל נקודה $B$ עם קואורדינטות $(3; –1)$.

דוגמה 2

בנה נקודות במישור הקואורדינטות עם קואורדינטות נתונות $C (3; 0)$ ו-$D(0; 2)$.

פִּתָרוֹן.

בניית נקודה $C$:

• שים את המספר $3$ על ציר $x$;
• הקואורדינטה $y$ שווה לאפס, מה שאומר שהנקודה $C$ תהיה על ציר $x$.

בניית נקודה $D$:

• שים את המספר $2$ על ציר $y$;
• קואורדינטה $x$ שווה לאפס, מה שאומר שנקודה $D$ תהיה על ציר $y$.

הערה 1

לכן, בקואורדינטה $x=0$ הנקודה תשכב על ציר $y$, ובקואורדינטה $y=0$ הנקודה תשכב על ציר $x$.

דוגמה 3

קבע את הקואורדינטות של נקודות A, B, C, D.$

פִּתָרוֹן.

בואו נקבע את הקואורדינטות של הנקודה $A$. לשם כך, נשרטט קווים ישרים דרך נקודה זו $2$ שיהיו מקבילים לצירי הקואורדינטות. החיתוך של הישר עם ציר ה-x נותן את הקואורדינטה $x$, החיתוך של הישר עם ציר ה-y נותן את הקואורדינטה $y$. לפיכך, נקבל את הנקודה $A (1; 3).$

בואו נקבע את הקואורדינטות של נקודה $B$. לשם כך, נשרטט קווים ישרים דרך נקודה זו $2$ שיהיו מקבילים לצירי הקואורדינטות. החיתוך של הישר עם ציר ה-x נותן את הקואורדינטה $x$, החיתוך של הישר עם ציר ה-y נותן את הקואורדינטה $y$. אנו מוצאים את הנקודה $B (–2; 4).$

בואו נקבע את הקואורדינטות של הנקודה $C$. כי הוא ממוקם על ציר $y$, ואז הקואורדינטה $x$ של נקודה זו היא אפס. קואורדינטת ה-y היא $–2$. לפיכך, נקודה $C (0; –2)$.

בואו נקבע את הקואורדינטות של נקודה $D$. כי הוא נמצא על ציר $x$, ואז הקואורדינטה $y$ היא אפס. הקואורדינטה של ​​$x$ של נקודה זו היא $–5$. לפיכך, נקודה $D (5; 0).$

דוגמה 4

בנו נקודות $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

פִּתָרוֹן.

בניית נקודה $E$:

• שימו את המספר $(–3)$ על ציר $x$ ושרטטו קו מאונך;
• על ציר $y$ נשרטט את המספר $(–2)$ ונצייר קו מאונך לציר $y$;
• במפגש של קווים מאונכים נקבל את הנקודה $E (–3; –2).$

בניית נקודה $F$:

• קואורדינטה $y=0$, כלומר הנקודה נמצאת על ציר $x$;
• הבה נשרטט את המספר $5$ על ציר $x$ ונקבל את הנקודה $F(5; 0).$

בניית נקודה $G$:

• שימו את המספר $3$ על ציר $x$ ושרטטו קו מאונך לציר $x$;
• על ציר $y$ נשרטט את המספר $4$ ונצייר קו מאונך לציר $y$;
• במפגש של קווים מאונכים נקבל את הנקודה $G(3; 4).$

בניית נקודה $H$:

• קואורדינטה $x=0$, כלומר הנקודה נמצאת על ציר $y$;
• הבה נשרטט את המספר $(–4)$ על ציר $y$ ונקבל את הנקודה $H(0;–4).$

בניית נקודה $O$:

• שתי הקואורדינטות של הנקודה שוות לאפס, מה שאומר שהנקודה שוכנת בו זמנית הן על ציר $y$ והן על ציר $x$, לכן היא נקודת החיתוך של שני הצירים (מקור הקואורדינטות).

מתמטיקה היא מדע מורכב למדי. תוך כדי לימוד זה, אתה צריך לא רק לפתור דוגמאות ובעיות, אלא גם לעבוד עם צורות שונות ואפילו מישורים. אחד מהשימושים ביותר במתמטיקה הוא מערכת הקואורדינטות במישור. עבודה נכונהילדים מלמדים איתה יותר משנה. לכן, חשוב לדעת במה מדובר ואיך לעבוד איתו נכון.

בואו להבין מהי מערכת זו, אילו פעולות ניתן לבצע בעזרתה, וגם לגלות את המאפיינים והתכונות העיקריים שלה.

הגדרת המושג

מישור קואורדינטות הוא מישור שבו מוגדרת מערכת קואורדינטות ספציפית. מישור כזה מוגדר על ידי שני קווים ישרים המצטלבים בזוויות ישרות. בנקודת החיתוך של קווים אלו נמצא מקור הקואורדינטות. כל נקודה במישור הקואורדינטות מוגדרת על ידי זוג מספרים הנקראים קואורדינטות.

בקורס מתמטיקה בבית הספר, תלמידי בית הספר צריכים לעבוד די צמוד עם מערכת קואורדינטות - לבנות עליה דמויות ונקודות, לקבוע לאיזה מישור קואורדינטה מסוימת שייכת, וכן לקבוע את הקואורדינטות של נקודה ולכתוב או לתת להן שם. לכן, בואו נדבר ביתר פירוט על כל התכונות של קואורדינטות. אבל קודם כל, בואו ניגע בהיסטוריה של הבריאה, ואז נדבר על איך לעבוד במישור הקואורדינטות.

התייחסות היסטורית

רעיונות ליצירת מערכת קואורדינטות היו קיימים עוד בתקופת תלמי. כבר אז, אסטרונומים ומתמטיקאים חשבו כיצד ללמוד לקבוע את המיקום של נקודה במטוס. למרבה הצער, באותה תקופה לא הייתה מערכת קואורדינטות מוכרת לנו, ומדענים נאלצו להשתמש במערכות אחרות.

בתחילה, הם ציינו נקודות באמצעות קווי רוחב ואורך. במשך זמן רבזו הייתה אחת השיטות הנפוצות ביותר להצבת מידע זה או אחר על המפה. אבל בשנת 1637, רנה דקארט יצר מערכת קואורדינטות משלו, שנקראה מאוחר יותר על שם זו "הקרטזית".

כבר בסוף המאה ה-17. המושג "מישור קואורדינטות" הפך בשימוש נרחב בעולם המתמטיקה. למרות העובדה שחלפו כמה מאות שנים מאז יצירת מערכת זו, היא עדיין נמצאת בשימוש נרחב במתמטיקה ואפילו בחיים.

דוגמאות למישור קואורדינטות

לפני שנדבר על תיאוריה, בואו ניתן כמה דוגמאות להמחשהמישור קואורדינטות כדי שתוכלו לדמיין אותו. מערכת הקואורדינטות משמשת בעיקר בשחמט. על הלוח, לכל ריבוע קואורדינטות משלו - קואורדינטה אחת היא אלפביתית, השנייה דיגיטלית. בעזרתו אתה יכול לקבוע את המיקום של חתיכה מסוימת על הלוח.

השני הכי הרבה דוגמה נוצצתהמשחק האהוב "ספינת קרב" יכול לשמש פתרון. זכור כיצד, בעת משחק, אתה שם קואורדינטה, למשל, B3, ובכך מציין בדיוק לאן אתה מכוון. במקביל, בעת הצבת ספינות, אתה מציין נקודות במישור הקואורדינטות.

מערכת קואורדינטות זו נמצאת בשימוש נרחב לא רק במשחקי מתמטיקה ולוגיקה, אלא גם בענייני צבא, אסטרונומיה, פיזיקה ומדעים רבים אחרים.

צירי קואורדינטות

כפי שכבר הוזכר, ישנם שני צירים במערכת הקואורדינטות. בואו נדבר עליהם מעט, שכן יש להם חשיבות לא מבוטלת.

הציר הראשון הוא אבשסיס - אופקי. זה מסומן כ( שׁוֹר). הציר השני הוא הסמטה, העוברת אנכית דרך נקודת הייחוס ומסומנת כ( אוי). שני הצירים הללו הם שיוצרים את מערכת הקואורדינטות, המחלקים את המישור לארבעה רבעים. המקור ממוקם בנקודת החיתוך של שני הצירים הללו ולוקח את הערך 0 . רק אם המישור נוצר משני צירים המצטלבים בניצב ובעלי נקודת ייחוס, זהו מישור קואורדינטות.

שימו לב גם שלכל אחד מהצירים יש כיוון משלו. בדרך כלל, כאשר בונים מערכת קואורדינטות, נהוג לציין את כיוון הציר בצורת חץ. בנוסף, בעת בניית מישור קואורדינטות, כל אחד מהצירים חתום.

מְגוּרִים

עכשיו בואו נגיד כמה מילים על מושג כזה כמו רבעים של מישור הקואורדינטות. המטוס מחולק לארבעה רבעים על ידי שני צירים. לכל אחד מהם יש מספר משלו, והמטוסים ממוספרים נגד כיוון השעון.

לכל אחד מהרבעים יש מאפיינים משלו. אז, ברבע הראשון האבשיסה והאורדינטה חיוביים, ברבע השני האבשיסה שלילית, האסמינטה חיובית, בשלישי גם האבשיסה והאורדינטה שליליות, ברבע השני האבשסיס חיובית והאורדינטה שלילית. .

על ידי זכירת תכונות אלו, תוכל לקבוע בקלות לאיזה רבע נקודה מסוימת שייכת. בנוסף, מידע זה עשוי להיות שימושי עבורך אם עליך לבצע חישובים באמצעות המערכת הקרטזיאנית.

עבודה עם מישור הקואורדינטות

לאחר שהבנו את המושג מטוס ודיברנו על הרבעים שלו, נוכל לעבור לבעיה כמו עבודה עם המערכת הזו, וגם לדבר על איך לשים עליה נקודות וקואורדינטות של דמויות. במישור הקואורדינטות, זה לא כל כך קשה כמו שזה עשוי להיראות במבט ראשון.

קודם כל, המערכת עצמה בנויה, כל הייעודים החשובים מוחלים עליה. לאחר מכן אנו עובדים ישירות עם נקודות או צורות. יתרה מכך, גם כאשר בונים דמויות, מציירים תחילה נקודות במישור, ולאחר מכן מציירים את הדמויות.

כללים לבניית מטוס

אם תחליט להתחיל לסמן צורות ונקודות על נייר, תצטרך מישור קואורדינטות. קואורדינטות הנקודות משורטטות עליו. כדי לבנות מישור קואורדינטות, אתה צריך רק סרגל ועט או עיפרון. ראשית זה מצויר ציר אופקי abscissa, ואז אנכי - ordinate. חשוב לזכור שהצירים מצטלבים בזוויות ישרות.

הַבָּא פריט חובהמסמן. בכל אחד מהצירים בשני הכיוונים, קטעי יחידה מסומנים ומתויגים. זה נעשה כדי שתוכל לאחר מכן לעבוד עם המטוס בנוחות מירבית.

סמן נקודה

עכשיו בואו נדבר על איך לשרטט את הקואורדינטות של נקודות במישור הקואורדינטות. זה היסודות שאתה צריך לדעת כדי להצליח להציב מגוון צורות במישור, ואפילו לסמן משוואות.

בעת בניית נקודות, עליך לזכור כיצד הקואורדינטות שלהן כתובות בצורה נכונה. לכן, בדרך כלל כאשר מציינים נקודה, שני מספרים נכתבים בסוגריים. הספרה הראשונה מציינת את הקואורדינטה של ​​הנקודה לאורך ציר האבשיסה, השנייה - לאורך ציר הסמטה.

הנקודה צריכה להיות בנויה בצורה כזו. סימון ראשון על הציר שׁוֹרנקודה שצוינה, ולאחר מכן סמן את הנקודה על הציר אוי. לאחר מכן, צייר קווים דמיוניים מהייעודים הללו ומצא את המקום שבו הם מצטלבים - זו תהיה הנקודה הנתונה.

כל שעליכם לעשות הוא לסמן ולחתום עליו. כפי שאתה יכול לראות, הכל די פשוט ואינו דורש שום כישורים מיוחדים.

מקם את הדמות

כעת נעבור לנושא בניית דמויות במישור קואורדינטות. כדי לבנות כל דמות במישור הקואורדינטות, כדאי לדעת למקם עליה נקודות. אם אתה יודע איך לעשות את זה, אז הצבת דמות על מטוס זה לא כל כך קשה.

קודם כל, תצטרך את הקואורדינטות של הנקודות של הדמות. לפיהם ניישם את אלו שבחרתם במערכת הקואורדינטות שלנו, הבה נבחן את היישום של מלבן, משולש ומעגל.

נתחיל עם מלבן. זה די קל ליישם. ראשית, ארבע נקודות מסומנות במישור, המציינות את פינות המלבן. ואז כל הנקודות מחוברות זו לזו ברצף.

ציור משולש אינו שונה. הדבר היחיד הוא שיש לו שלוש זוויות, כלומר שלוש נקודות מסומנות במישור, המציינות את הקודקודים שלו.

לגבי המעגל, כדאי לדעת את הקואורדינטות של שתי נקודות. הנקודה הראשונה היא מרכז המעגל, השנייה היא הנקודה המציינת את הרדיוס שלו. שתי נקודות אלו משורטטות על המטוס. לאחר מכן קחו מצפן ומדדו את המרחק בין שתי נקודות. נקודת המצפן ממוקמת בנקודה המסמנת את המרכז, ומתואר מעגל.

כפי שאתה יכול לראות, גם כאן אין שום דבר מסובך, העיקר שתמיד יהיו לך סרגל ומצפן בהישג יד.

עכשיו אתה יודע איך לשרטט את הקואורדינטות של דמויות. לעשות זאת במישור הקואורדינטות אינו קשה כפי שזה עשוי להיראות במבט ראשון.

מסקנות

אז, בדקנו את אחד המושגים המעניינים והבסיסיים ביותר למתמטיקה שכל תלמיד בית ספר צריך להתמודד איתו.

גילינו שמישור הקואורדינטות הוא מישור שנוצר על ידי חיתוך של שני צירים. בעזרתו תוכלו לקבוע קואורדינטות של נקודות ולצייר עליה צורות. המטוס מחולק לרבעים שלכל אחד מהם מאפיינים משלו.

המיומנות העיקרית שצריך לפתח בעבודה עם מישור קואורדינטות היא היכולת לשרטט נכון נקודות נתונות עליו. כדי לעשות זאת אתה צריך לדעת מיקום נכוןצירים, תכונות של הרבעים, כמו גם הכללים שלפיהם מצוינות הקואורדינטות של הנקודות.

אנו מקווים שהמידע שהצגנו היה נגיש ומובן, וגם היה שימושי עבורך ועזר לך להבין טוב יותר את הנושא הזה.

טקסט העבודה מתפרסם ללא תמונות ונוסחאות.
גרסה מלאההעבודה זמינה בלשונית "קבצי עבודה" בפורמט PDF

מבוא

בדיבור של מבוגרים, אולי שמעתם את המשפט הבא: "השאירו לי את הקואורדינטות שלכם." משמעות ביטוי זה היא שעל בן שיחו להשאיר את כתובתו או מספר הטלפון שבו ניתן למצוא אותו. אלו מכם ששיחקו ב"קרב ים" השתמשו במערכת הקואורדינטות המתאימה. מערכת קואורדינטות דומה משמשת בשחמט. מושבים באולם קולנוע מצוינים בשני מספרים: המספר הראשון מציין את מספר השורה, והמספר השני מציין את מספר המושב בשורה זו. הרעיון של ציון המיקום של נקודה במישור באמצעות מספרים מקורו בימי קדם. מערכת הקואורדינטות מחלחלת להכל חיים מעשייםאנושי ויש לו ענק שימוש מעשי. לכן, החלטנו ליצור את הפרויקט הזה כדי להרחיב את הידע שלנו בנושא "מטוס תיאום"

מטרות הפרויקט:

להכיר את ההיסטוריה של הופעת מערכת קואורדינטות מלבנית במישור;

דמויות בולטות המעורבות בנושא זה;

למצוא מעניין עובדות היסטוריות;

תופס היטב קואורדינטות באוזן; לבצע קונסטרוקציות בצורה ברורה ומדויקת;

להכין מצגת.

פרק א'. מטוס קואורדינטות

הרעיון של ציון המיקום של נקודה במטוס באמצעות מספרים מקורו בימי קדם - בעיקר בקרב אסטרונומים וגיאוגרפים בעת הידור מפות ולוחות שנה של כוכבים וגיאוגרפיים.

§1. מקור הקואורדינטות. מערכת קואורדינטות בגיאוגרפיה

200 שנה לפני הספירה, המדען היווני היפרכוס הציג קואורדינטות גיאוגרפיות. הוא הציע לצייר על מפה גיאוגרפיתמקבילים ומרידיאנים ומציינים קווי רוחב ואורך עם מספרים. באמצעות שני המספרים הללו, אתה יכול לקבוע במדויק את מיקומו של אי, כפר, הר או באר במדבר ולשרטט אותם על מפה או גלובוס, לאחר שלמדת לקבוע עולם פתוחקו הרוחב והאורך של מיקום הספינה, המלחים יכלו לבחור את הכיוון שהם צריכים.

קו אורך מזרחי וקווי רוחב צפוני מסומנים במספרים עם סימן פלוס, וקו אורך מערבי וקו רוחב דרומי מסומנים במספרים עם סימן מינוס. לפיכך, זוג מספרים חתומים מזהה באופן ייחודי נקודה על הגלובוס.

קו רוחב גיאוגרפי? - הזווית בין קו המשווה בנקודה נתונה למישור קו המשווה, נמדדת מ-0 עד 90 משני צדי קו המשווה. קו אורך גיאוגרפי? - הזווית בין מישור המרידיאן העובר דרך נקודה נתונה למישור המוצא של המרידיאן (ראה מרידיאן גריניץ'). קווי אורך מ-0 עד 180 ממזרח לתחילת המרידיאן נקראים מזרחי, וממערב - מערבי.

כדי למצוא חפץ מסוים בעיר, ברוב המקרים מספיק לדעת את כתובתו. מתעוררים קשיים אם אתה צריך להסביר היכן, למשל, ממוקם קוטג' קיץ או מקום ביער. תרופה אוניברסליתקואורדינטות גיאוגרפיות משמשות כחיווי מיקום.

כאשר הוא מתמודד עם מצב חירום, הדבר הראשון שאדם צריך לעשות הוא להיות מסוגל לנווט באזור. לפעמים יש צורך לקבוע את הקואורדינטות הגיאוגרפיות של מיקומך, למשל לשדר לשירות ההצלה או למטרות אחרות.

ניווט מודרני משתמש במערכת הקואורדינטות העולמית WGS-84 כסטנדרט. כל נווטי ה-GPS והפרויקטים הקרטוגרפיים הגדולים באינטרנט פועלים במערכת קואורדינטות זו. קואורדינטות במערכת WGS-84 נמצאות בשימוש נפוץ ומובן על ידי כולם כמו זמן אוניברסלי. הדיוק הזמין בדרך כלל בעבודה עם קואורדינטות גיאוגרפיות הוא 5 - 10 מטרים על הקרקע.

קואורדינטות גיאוגרפיות הן מספרים חתומים (קו רוחב מ-90° עד +90°, קו אורך מ-180° עד +180°) וניתן לכתוב אותם צורות שונות: במעלות (ddd.ddddd°); מעלות ודקות (ddd° mm.mmm"); מעלות, דקות ושניות (ddd° mm" ss.s"). ניתן להמיר בקלות את טפסי ההקלטה אחד לשני (מעלה אחת = 60 דקות, דקה אחת = 60 שניות ) לציון סימן הקואורדינטות, משתמשים לרוב באותיות, המבוססות על שמות הכיוונים הקרדינליים: N ו-E - קו רוחב צפוני וקו אורך מזרחי - מספרים חיוביים, S ו-W - קו רוחב דרומי וקו אורך מערבי - מספרים שליליים.

צורת רישום הקואורדינטות ב-DEGREES נוחה ביותר להזנה ידנית ועומדת בקנה אחד עם סימון מתמטי של מספר. צורת רישום הקואורדינטות ב-DEGREES AND MINUTES מועדפת במקרים רבים; פורמט זה מוגדר כברירת מחדל ברוב נווטי ה-GPS ומשמש באופן סטנדרטי בתעופה ובים. הצורה הקלאסית של הקלטת קואורדינטות ב-DEGREES, MINUTES ו-SECONDS אינה מוצאת שימוש מעשי במיוחד.

§2. מערכת קואורדינטות באסטרונומיה. מיתוסים על קבוצות כוכבים

כפי שהוזכר לעיל, הרעיון של ציון המיקום של נקודה במישור באמצעות מספרים מקורו בימי קדם בקרב אסטרונומים בעת שרטוט מפות כוכבים. אנשים היו צריכים לספור זמן, לחזות תופעות עונתיות (גאות ושפל, גשמים עונתיים, שיטפונות), והיו צריכים לנווט בשטח תוך כדי נסיעה.

אסטרונומיה היא מדע של כוכבים, כוכבי לכת, גרמי שמיים, מבנהם והתפתחותם.

אלפי שנים חלפו, המדע צעד רחוק קדימה, אבל אנשים עדיין לא יכולים להסיר את העיניים מהיופי של שמי הלילה.

קבוצות כוכבים - אזורים שמים עטורי כוכבים, דמויות אופייניות שנוצרו על ידי כוכבים בהירים. השמים כולו מחולקים ל-88 קבוצות כוכבים, המקלים על הניווט בין הכוכבים. רוב שמות קבוצות הכוכבים מגיעים מהעת העתיקה.

קבוצת הכוכבים המפורסמת ביותר היא Ursa Major. IN מצרים העתיקההוא נקרא "היפופוטם", והקזחים קראו לו "סוס ברצועה", למרות שמבחינה חיצונית קבוצת הכוכבים אינה דומה לא אחת או לחיה אחרת. איך זה?

ליוונים הקדמונים הייתה אגדה על קבוצות הכוכבים אורסה מז'ור ואורסה מינור. האל הכל יכול זאוס החליט להתחתן עם הנימפה היפה קליסטו, אחת ממשרתה של האלה אפרודיטה, בניגוד לרצונה של האחרונה. כדי להציל את Kalisto מרדיפת האלה, זאוס הפך את Kalisto ל-Ursa Major, את הכלבה האהובה ל-Ursa Minor ולקח אותם לגן עדן. העבירו את קבוצות הכוכבים Ursa Major ו- Ursa Minor מהשמיים זרועי הכוכבים למישור הקואורדינטות. . לכל אחד מהכוכבים בדבל הגדול יש שם משלו.

URSA נהדר

אני מזהה את זה לפי הדלי!

שבעה כוכבים נוצצים כאן

הנה מה שמם:

DUBHE מאיר את החושך,

מראק בוער לידו,

בצד FEKDA עם MEGRETZ,

בחור נועז.

מMEGRETZ ליציאה

ALIOT נמצא

ומאחוריו - MITZAR עם ALCOR

(שני אלה זורחים יחד.)

המצקת שלנו נסגרת

BENETNASH שאין דומה לו.

הוא מצביע על העין

הדרך לקבוצת הכוכבים BOOTES,

איפה ARCTURUS היפה זורח,

כולם ישימו לב אליו עכשיו!

לא פחות אגדה יפהעל קבוצות הכוכבים קפיאוס, קסיופיה ואנדרומדה.

אתיופיה נשלטה פעם על ידי המלך קפיאוס. יום אחד הייתה לאשתו, המלכה קסיופה, החוצפה להראות את יופיה בפני תושבי הים - הנרידים. האחרון, נעלב, התלונן בפני אל הים פוסידון, ושליט הימים, הזועם מחוצפה של קסיופיה, שחרר מפלצת ים - לוויתן - לחופי אתיופיה. כדי להציל את ממלכתו מהרס, החליט קפיאוס, בעצת האורקל, להקריב קורבן למפלצת ולתת לו את בתו האהובה אנדרומדה להיטרף. הוא כבל את אנדרומדה לסלע חוף והשאיר אותה בהמתנה להחלטת גורלה.

ובזמן הזה, בצד השני של העולם, הגיבור המיתולוגי פרסאוס השיג הישג אמיץ. הוא נכנס לאי מבודד שבו חיו גורגונים - מפלצות מדהימות בדמות נשים שראשיהן רוחשים נחשים במקום שיער. מבטם של הגורגונים היה כל כך נורא שכל מי שהם הסתכלו בו הפך מיד לאבן.

תוך ניצול שנתן של המפלצות הללו, פרסאוס חתך את ראשה של אחת מהן, מדוזה הגורגון. באותו רגע עף הסוס פגסוס מהגופה הכרותה של מדוזה. פרסאוס תפס את ראשה של המדוזה, קפץ על פגסוס ומיהר באוויר למולדתו. כשהוא טס מעל אתיופיה, הוא ראה את אנדרומדה כבולה לסלע. ברגע זה כבר הגיח הלוויתן ממעמקי הים והתכונן לבלוע את קורבנו. אבל פרסאוס, מיהר לקרב תמותה עם קית', הביס את המפלצת. הוא הראה לקית' את ראש המדוזה, שעדיין לא איבד את כוחו, והמפלצת מאובנת והפכה לאי. באשר לפרסאוס, לאחר שפרש את אנדרומדה, הוא החזיר אותה לאביה, וקפיאוס, עבר באושר, נתן את אנדרומדה כאישה לפרסאוס. כך הסתיים הסיפור הזה בשמחה, שדמויותיו הראשיות הוצבו בגן עדן על ידי היוונים הקדמונים.

על מפת הכוכבים אפשר למצוא לא רק את אנדרומדה עם אביה, אמה ובעלה, אלא גם את הסוס הקסום פגסוס ואת האשם בכל הצרות - המפלצת קית'.

קבוצת הכוכבים קטוס ממוקמת מתחת לפגסוס ולאנדרומדה. למרבה הצער, הוא אינו מסומן על ידי כוכבים בהירים אופייניים ולכן שייך למספר קבוצות הכוכבים הקטנות.

§3. שימוש ברעיון של קואורדינטות מלבניות בציור.

עקבות של יישום הרעיון של קואורדינטות מלבניות בצורה של רשת מרובעת (פלטה) מתוארים על הקיר של אחד מחדרי הקבורה של מצרים העתיקה. בחדר הקבורה של הפירמידה של האב רעמסס, יש רשת של ריבועים על הקיר. בעזרתם, התמונה מועברת בצורה מוגדלת. אמני הרנסנס השתמשו גם ברשת מלבנית.

המילה "פרספקטיבה" היא לטינית ל"ראייה ברורה". IN אמנותפרספקטיבה לינארית היא תמונה של עצמים במישור בהתאם לשינויים הנראים בגודלם. הבסיס תיאוריה מודרניתפרספקטיבות הונחו על ידי האמנים הגדולים של הרנסנס - ליאונרדו דה וינצ'י, אלברכט דורר ואחרים. אחת התחריטים של דורר (איור 3) מתארת ​​שיטת ציור מהחיים דרך זכוכית עם רשת מרובעת. תהליך זה יכול להיות מתואר כך: אם אתה עומד מול חלון, ובלי לשנות את נקודת המבט שלך, מעגל על ​​הזכוכית את כל מה שנראה מאחוריו, הרישום המתקבל יהיה תמונה פרספקטיבית של החלל.

שיטות עיצוב מצריות שנראה שהתבססו על דפוסי רשת מרובעים. ישנן דוגמאות רבות באמנות המצרית המראות שאמנים ופסלים ציירו תחילה רשת על הקיר, שהיה צריך לצבוע או לגלף כדי לשמור על הפרופורציות שנקבעו. היחסים המספריים הפשוטים של הרשתות הללו מהווים את הליבה של כל היצירות האמנותיות הגדולות של המצרים.

באותה שיטה השתמשו אמני הרנסנס רבים, כולל לאונרדו דה וינצ'י. במצרים העתיקה, זה התגלם בפירמידה הגדולה, אשר מתחזקת בקשר ההדוק שלה עם התבנית במרלבורו דאון.

כשהחל בעבודה, צירף האמן המצרי את הקיר ברשת של קווים ישרים ולאחר מכן העביר אליו בזהירות את הדמויות. אבל הסדר הגיאומטרי לא מנע ממנו לשחזר את הטבע בדיוק מפורט. המראה של כל דג וכל ציפור מועברת באמיתות כזו, עד כי זואולוגים מודרניים יכולים לקבוע בקלות את המינים שלהם. איור 4 מציג פרט של הקומפוזיציה מהאיור - עץ עם ציפורים שנלכדו ברשת של Khnumhotep. תנועת ידו של האמן הונחה לא רק על ידי עתודות כישוריו, אלא גם על ידי העין, הרגישה לקווי המתאר של הטבע.

איור.4 ציפורים על שיטה

פרק ב. שיטת קואורדינטות במתמטיקה

§1. יישום קואורדינטות במתמטיקה. יתרונות

המתמטיקאי הצרפתי רנה דקארט

במשך זמן רב, רק הגיאוגרפיה "תיאור הארץ" השתמש בהמצאה הנפלאה הזו, ורק במאה ה-14 ניסה המתמטיקאי הצרפתי ניקולא אורסמה (1323-1382) ליישם אותה על "מדידת קרקע" - גיאומטריה. הוא הציע לכסות את המטוס ברשת מלבנית ולקרוא לקווי רוחב ולקו אורך מה שאנו מכנים כעת אבשיסה ואורינטה.

בהתבסס על חידוש מוצלח זה, עלתה שיטת הקואורדינטות, המקשרת בין גיאומטריה לאלגברה. הקרדיט העיקרי ליצירת שיטה זו שייך למתמטיקאי הצרפתי הגדול רנה דקארט (1596 - 1650). לכבודו, מערכת קואורדינטות כזו נקראת קרטזיאנית, המציינת את מיקומה של כל נקודה במישור לפי המרחקים מנקודה זו ל"קו הרוחב האפס" - ציר האבשיסה ו"מרידיאן האפס" - ציר הסמין.

עם זאת, המדען וההוגה הצרפתי המבריק הזה של המאה ה-17 (1596 - 1650) לא מצא מיד את מקומו בחיים. דקארט, שנולד למשפחה אצילה, קיבל חינוך טוב. בשנת 1606 שלח אותו אביו לקולג' הישועי של לה פלש. בהתחשב לא מאוד בריאות טובהדקארט, הוא קיבל כמה הרפיות במשטר הקפדני של זה מוסד חינוכילמשל, הם הורשו לקום מאוחר יותר מאחרים. לאחר שרכש ידע רב בקולג', דקארט הפך במקביל חדור באנטיפתיה כלפי הפילוסופיה הלימודית, עליה שמר לאורך כל חייו.

לאחר שסיים את לימודיו בקולג', המשיך דקארט את לימודיו. בשנת 1616, באוניברסיטת פואטייה, קיבל תואר ראשון במשפטים. ב-1617 התגייס דקארט לצבא ונסע רבות ברחבי אירופה.

שנת 1619 התבררה כשנת מפתח עבור דקארט מבחינה מדעית.

בתקופה זו, כפי שהוא עצמו כתב ביומנו, נחשפו בפניו היסודות של "מדע מדהים ביותר" חדש. ככל הנראה, דקארט חשב על גילוי שיטה מדעית אוניברסלית, שאותה יישם לאחר מכן במגוון דיסציפלינות.

בשנות ה-20 של המאה ה-20 פגש דקארט את המתמטיקאי מ' מרסן, שדרכו הוא שנים ארוכות"שמר על קשר" עם כל הקהילה המדעית האירופית.

ב-1628 התיישב דקארט בהולנד במשך יותר מ-15 שנים, אך לא התיישב באף מקום אחד, אלא שינה את מקום מגוריו כשני תריסר פעמים.

בשנת 1633, לאחר שנודע על גינוי גלילאו על ידי הכנסייה, סירב דקארט לפרסם את יצירתו הפילוסופית הטבעית "העולם", שהתווה את רעיונות המקור הטבעי של היקום על פי החוקים המכניים של החומר.

בשנת 1637 על צָרְפָתִיתמתפרסם עבודתו של דקארט "שיח על השיטה", שבה, כפי שרבים מאמינים, החלה הפילוסופיה האירופית המודרנית.

גם ליצירתו הפילוסופית האחרונה של דקארט, "תשוקות הנפש", שיצא לאור ב-1649, הייתה השפעה רבה על המחשבה האירופית. באותה שנה, בהזמנת המלכה השוודית כריסטינה, נסע דקארט לשוודיה. האקלים הקשה והמשטר החריג (המלכה אילצה את דקארט לקום ב-5 בבוקר כדי לתת שיעורים ולבצע מטלות אחרות) ערערו את בריאותו של דקארט, ולאחר שהצטנן, הוא

מת מדלקת ריאות.

על פי המסורת שהציג דקארט, "קו הרוחב" של נקודה מסומן באות x, "קו אורך" באות y

דרכים רבות לציון מקום מבוססות על מערכת זו.

לדוגמה, על כרטיס קולנוע יש שני מספרים: שורה ומושב - הם יכולים להיחשב כקואורדינטות של מושב בתיאטרון.

קואורדינטות דומות מקובלות בשחמט. במקום אחד המספרים, נלקחת אות: שורות התאים האנכיות מסומנות באותיות של האלפבית הלטיני, והשורות האופקיות במספרים. לפיכך, לכל ריבוע של לוח השחמט מוקצה זוג אותיות ומספרים, ושחקני השחמט יכולים להקליט את משחקיהם. קונסטנטין סימונוב כותב על השימוש בקואורדינטות בשירו "בנו של התותחן".

כל הלילה, הולך כמו מטוטלת,

הרס"ן לא עצם את עיניו,

להתראות ברדיו בבוקר

האות הראשון הגיע:

"זה בסדר, הגעתי לשם,

הגרמנים משמאלי,

קואורדינטות (3;10),

בואו לירות בקרוב!

הרובים טעונים

הרס"ן חישב הכל בעצמו.

ובשאגה המטחים הראשונים

הם פגעו בהרים.

ושוב האות ברדיו:

"הגרמנים צודקים יותר ממני,

קואורדינטות (5; 10),

עוד אש בקרוב!

אדמה וסלעים עפו,

עשן עלה בעמוד.

נראה היה שעכשיו משם

אף אחד לא ייצא בחיים.

אות רדיו שלישי:

"הגרמנים סביבי,

קואורדינטות (4; 10),

אל תחסוך על האש.

המייג'ור החוויר כששמע:

(4;10) - סתם

המקום שבו ליונקה שלו

חייב לשבת עכשיו.

קונסטנטין סימונוב "בנו של תותחן"

§2. אגדות על המצאת מערכת הקואורדינטות

ישנן מספר אגדות על המצאת מערכת הקואורדינטות, הנושאת את שמו של דקארט.

אגדה 1

הסיפור הזה הגיע לזמננו.

בביקור בתיאטראות פריזאיים, דקארט מעולם לא נמאס להיות מופתע מהבלבול, המריבות, ולפעמים אפילו האתגרים לדו-קרב שנגרמו בגלל היעדר סדר חלוקה יסודי של הקהל באולם. שיטת המספור שהציע, שבה כל מושב קיבל מספר שורה ומספר סידורי מהקצה, הסירה מיד את כל הסיבות למחלוקת ויצרה סנסציה אמיתית בחברה הגבוהה בפריז.

אגדה 2. יום אחד, רנה דקארט שכב כל היום במיטה, חשב על משהו, וזבוב זמזם מסביב ולא אפשר לו להתרכז. הוא התחיל לחשוב איך לתאר את מיקומו של זבוב בכל זמן נתון בצורה מתמטית כדי להיות מסוגל לחבוט בו בלי להחמיץ. ו...המצאתי קואורדינטות קרטזיות, אחת מהן ההמצאות הגדולות ביותרבהיסטוריה של האנושות.

מרקובצב יו.

פעם בעיר לא מוכרת

דקארט הצעיר הגיע.

הוא התייסר נורא ברעב.

זה היה חודש מרץ קריר.

החלטתי לשאול עובר אורח

דקארט, מנסה להרגיע את הרעד:

איפה המלון, תגיד לי?

והגברת התחילה להסביר:

- לך למחלבה

אחר כך למאפייה, מאחוריה

אישה צוענייה מוכרת סיכות

ורעל לחולדות ועכברים,

בטוח תמצא אותם

גבינות, ביסקוויטים, פירות

ומשי צבעוניים...

הקשבתי לכל ההסברים האלה

דקארט, רועד מהקור.

הוא באמת רצה לאכול

- מאחורי החנויות יש בית מרקחת

(הרוקח שם הוא שוודי משופם),

והכנסייה שבה בתחילת המאה

נראה שסבא שלי התחתן...

כשהגברת השתתקה לרגע,

לפתע אמר המשרת שלה:

- לכו ישר שלושה רחובות

ושניים מימין. כניסה מהפינה.

זהו הסיפור השלישי על התקרית שנתנה לדקארט את הרעיון של קואורדינטות.

סיכום

בזמן יצירת הפרויקט שלנו, למדנו על השימוש במישור הקואורדינטות ב תחומים שוניםמדע וחיי היומיום, קצת מידע מההיסטוריה של מוצאו של מישור הקואורדינטות ומתמטיקאים שתרמו תרומה גדולה להמצאה זו. החומר שאספנו במהלך כתיבת העבודה יכול לשמש בשיעורי המועדון בבית הספר, כחומר נוסף לשיעורים. כל זה יכול לעניין את תלמידי בית הספר ולהאיר את תהליך הלמידה.

וברצוננו לסיים במילים אלו:

"דמיין את חייך כמטוס קואורדינטות. ציר ה-Y הוא המיקום שלך בחברה. ציר ה-x נע קדימה, לעבר המטרה, לעבר החלום שלך. וכידוע, זה אינסופי... אנחנו יכולים ליפול למטה, ללכת עוד ועוד למינוס, אנחנו יכולים להישאר על האפס ולא לעשות כלום, ממש כלום. אנחנו יכולים להתרומם, אנחנו יכולים ליפול, אנחנו יכולים ללכת קדימה או לחזור אחורה, והכל בגלל שכל החיים שלנו הם מישור קואורדינטות והדבר הכי חשוב כאן הוא מה הקואורדינטה שלך..."

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

גלזר ג.י. תולדות המתמטיקה בבית הספר: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 עמ', ill.

ליאטקר יא א דקארט. מ.: Mysl, 1975. - (הוגי העבר)

Matvievskaya G. P. Rene Descartes, 1596-1650. מ.: נאוקה, 1976.

א סאווין. קואורדינטות קוונטים. 1977. מס' 9

מתמטיקה - מוסף לעיתון "ראשון בספטמבר", מס' 7, מס' 20, מס' 17, 2003, מס' 11, 2000.

סיגל F.Yu. אלפבית כוכבים: מדריך לתלמידים. - מ.: חינוך, 1981. - 191 עמ', אילוז.

סטיב פרקר, ניקולס האריס. אנציקלופדיה מאוירת לילדים. סודות היקום. חרקוב בלגורוד. 2008

חומרים מהאתר http://istina.rin.ru/