חשב את השטח של דמויות שטוחות התחום בקווים באינטרנט. דוגמאות

איך מכניסים נוסחאות מתמטיות לאתר?

אם אי פעם תצטרך להוסיף נוסחה מתמטית אחת או שתיים לדף אינטרנט, הדרך הקלה ביותר לעשות זאת היא כפי שמתואר במאמר: נוסחאות מתמטיות מוכנסות בקלות לאתר בצורה של תמונות שנוצרות אוטומטית על ידי Wolfram Alpha . בנוסף לפשטות, שיטה אוניברסלית זו תסייע לשפר את הנראות של האתר במנועי החיפוש. זה עובד כבר הרבה זמן (ולדעתי יעבוד לנצח), אבל כבר מיושן מבחינה מוסרית.

אם אתה משתמש בקביעות בנוסחאות מתמטיות באתר שלך, אז אני ממליץ לך להשתמש ב- MathJax - ספריית JavaScript מיוחדת המציגה סימון מתמטי בדפדפני אינטרנט באמצעות סימון MathML, LaTeX או ASCIIMathML.

ישנן שתי דרכים להתחיל להשתמש ב- MathJax: (1) באמצעות קוד פשוט, תוכל לחבר במהירות סקריפט MathJax לאתר האינטרנט שלך, שייטען אוטומטית משרת מרוחק בזמן הנכון (רשימת שרתים); (2) הורד את הסקריפט של MathJax משרת מרוחק לשרת שלך וחבר אותו לכל דפי האתר שלך. השיטה השנייה - מורכבת יותר וגוזלת זמן - תאיץ את הטעינה של דפי האתר שלך, ואם שרת האב MathJax יהפוך לבלתי זמין זמנית מסיבה כלשהי, זה לא ישפיע על האתר שלך בשום צורה. למרות היתרונות הללו, בחרתי בשיטה הראשונה שכן היא פשוטה יותר, מהירה יותר ואינה דורשת כישורים טכניים. בצע את הדוגמה שלי, ותוך 5 דקות בלבד תוכל להשתמש בכל התכונות של MathJax באתר שלך.

אתה יכול לחבר את הסקריפט של ספריית MathJax משרת מרוחק באמצעות שתי אפשרויות קוד שנלקחו מהאתר הראשי של MathJax או בדף התיעוד:

אחת מאפשרויות הקוד האלה צריכה להיות מועתקת ולהדביק בקוד של דף האינטרנט שלך, רצוי בין תגיות או מיד אחרי התג. לפי האפשרות הראשונה, MathJax נטען מהר יותר ומאט את העמוד פחות. אבל האפשרות השנייה מנטרת וטוענת באופן אוטומטי את הגרסאות העדכניות ביותר של MathJax. אם תכניס את הקוד הראשון, יהיה צורך לעדכן אותו מעת לעת. אם תכניס את הקוד השני, הדפים ייטענו לאט יותר, אך לא תצטרך לפקח כל הזמן על עדכוני MathJax.

הדרך הקלה ביותר לחבר את MathJax היא ב-Blogger או ב-WordPress: בלוח הבקרה של האתר, הוסף ווידג'ט שנועד להכניס קוד JavaScript של צד שלישי, העתק אליו את הגרסה הראשונה או השנייה של קוד ההורדה שהוצגו למעלה, והצב את הווידג'ט קרוב יותר. לתחילת התבנית (אגב, זה בכלל לא הכרחי, מכיוון שהסקריפט של MathJax נטען באופן אסינכרוני). זה הכל. כעת למד את תחביר הסימון של MathML, LaTeX ו-ASCIIMathML, ואתה מוכן להכניס נוסחאות מתמטיות לדפי האינטרנט של האתר שלך.

כל פרקטל בנוי לפי כלל מסוים, המוחל ברצף מספר בלתי מוגבל של פעמים. כל זמן כזה נקרא איטרציה.

האלגוריתם האיטרטיבי לבניית ספוג מנגר הוא די פשוט: הקובייה המקורית עם צלע 1 מחולקת על ידי מישורים מקבילים לפניה ל-27 קוביות שוות. קובייה מרכזית אחת ו-6 קוביות צמודות לה לאורך הפנים מוסרות ממנה. התוצאה היא סט המורכב מ-20 הקוביות הקטנות הנותרות. אם נעשה את אותו הדבר עם כל אחת מהקוביות הללו, נקבל סט המורכב מ-400 קוביות קטנות יותר. ממשיכים בתהליך הזה בלי סוף, אנחנו מקבלים ספוג מנגר.

IN הסעיף הקודםמוקדש לניתוח משמעות גיאומטריתאינטגרל מוגדר, השגנו מספר נוסחאות לחישוב השטח טרפז מעוקל:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x עבור פונקציה רציפה ולא שלילית y = f (x) על המרווח [ a ; ב] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x עבור פונקציה רציפה ולא חיובית y = f (x) על המרווח [ a ; ב] .

נוסחאות אלו ניתנות לפתרון משימות פשוטות. במציאות, לעתים קרובות נצטרך לעבוד עם דמויות מורכבות יותר. בהקשר זה, נקדיש חלק זה לניתוח אלגוריתמים לחישוב שטח הדמויות המוגבלים על ידי פונקציות בצורה מפורשת, כלומר. כמו y = f(x) או x = g(y).

מִשׁפָּט

תנו לפונקציות y = f 1 (x) ו- y = f 2 (x) להיות מוגדרות ורציפות על המרווח [ a ; b ] , ו- f 1 (x) ≤ f 2 (x) עבור כל ערך x מ- [ a ; ב] . אז הנוסחה לחישוב השטח של הדמות G, תחום בקווים x = a, x = b, y = f 1 (x) ו-y = f 2 (x) תיראה כמו S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

נוסחה דומה תחול על שטח של דמות התחום בקווים y = c, y = d, x = g 1 (y) ו-x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

הוכחה

בואו נסתכל על שלושה מקרים שהנוסחה תהיה תקפה עבורם.

במקרה הראשון, תוך התחשבות בתכונת התוספת של השטח, סכום השטחים של הדמות G המקורית והטרפז העקמומי G 1 שווה לשטח הדמות G 2. זה אומר ש

לכן, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

אנו יכולים לבצע את המעבר האחרון באמצעות התכונה השלישית של האינטגרל המוגדר.

במקרה השני, השוויון נכון: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) ד x

האיור הגרפי ייראה כך:

אם שתי הפונקציות אינן חיוביות, נקבל: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . האיור הגרפי ייראה כך:

נעבור לשקול את המקרה הכללי כאשר y = f 1 (x) ו- y = f 2 (x) חותכים את ציר O x.

נסמן את נקודות החיתוך כ-x i, i = 1, 2,. . . , n - 1 . נקודות אלו מפצלות את הקטע [א; b] לתוך n חלקים x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, כאשר α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

לָכֵן,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

אנו יכולים לבצע את המעבר האחרון באמצעות התכונה החמישית של האינטגרל המוגדר.

הבה נמחיש את המקרה הכללי בגרף.

הנוסחה S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x יכולה להיחשב מוכחת.

כעת נעבור לניתוח דוגמאות לחישוב שטח הדמויות המוגבלים על ידי הקווים y = f (x) ו-x = g (y).

נתחיל את השיקול שלנו בכל אחת מהדוגמאות על ידי בניית גרף. התמונה תאפשר לנו לייצג דמויות מורכבות כאיגודים של יותר דמויות פשוטות. אם בניית גרפים ודמויות עליהם קשה לכם, תוכלו ללמוד את הקטע של פונקציות יסודיות בסיסיות, טרנספורמציה גיאומטרית של גרפים של פונקציות וכן בניית גרפים תוך כדי לימוד פונקציה.

דוגמה 1

יש צורך לקבוע את שטח הדמות, המוגבלת על ידי הפרבולה y = - x 2 + 6 x - 5 וקווים ישרים y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

פִּתָרוֹן

נצייר את הקווים בגרף במערכת הקואורדינטות הקרטזית.

על הקטע [1; 4 ] הגרף של הפרבולה y = - x 2 + 6 x - 5 ממוקם מעל לקו הישר y = - 1 3 x - 1 2. בהקשר זה, כדי לקבל את התשובה אנו משתמשים בנוסחה שהתקבלה קודם לכן, כמו גם בשיטת חישוב האינטגרל המובהק באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

תשובה: S(G) = 13

בואו נסתכל על דוגמה מורכבת יותר.

דוגמה 2

יש צורך לחשב את השטח של הדמות, אשר מוגבל על ידי הקווים y = x + 2, y = x, x = 7.

פִּתָרוֹן

IN במקרה הזהיש לנו רק ישר אחד המקביל לציר ה-x. זה x = 7. זה מחייב אותנו למצוא את הגבול השני של האינטגרציה בעצמנו.

בואו נבנה גרף ונשרטט עליו את הקווים הניתנים בהצהרת הבעיה.

כאשר הגרף נמצא לנגד עינינו, נוכל לקבוע בקלות שהגבול התחתון של האינטגרציה יהיה האבססיס של נקודת החיתוך של גרף הישר y = x והפרבולה למחצה y = x + 2. כדי למצוא את האבשיסה אנו משתמשים בשוויון:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

מסתבר שהאבססיס של נקודת החיתוך הוא x = 2.

אנו מפנים את תשומת לבך לעובדה שב דוגמה כלליתבשרטוט, הקווים y = x + 2, y = x מצטלבים בנקודה (2; 2), כך שחישובים מפורטים כאלה עשויים להיראות מיותרים. הבאנו את זה לכאן פתרון מפורטרק כי יש עוד מקרים קשיםהפתרון אולי לא כל כך ברור. זה אומר שתמיד עדיף לחשב את הקואורדינטות של מפגש הקווים בצורה אנליטית.

על המרווח [2; 7] הגרף של הפונקציה y = x ממוקם מעל הגרף של הפונקציה y = x + 2. בוא ניישם את הנוסחה כדי לחשב את השטח:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

תשובה: S (G) = 59 6

דוגמה 3

יש צורך לחשב את שטח הדמות, המוגבלת על ידי הגרפים של הפונקציות y = 1 x ו- y = - x 2 + 4 x - 2.

פִּתָרוֹן

בואו נשרטט את הקווים בגרף.

בואו נגדיר את גבולות האינטגרציה. לשם כך, אנו קובעים את הקואורדינטות של נקודות החיתוך של הקווים על ידי השוואת הביטויים 1 x ו - x 2 + 4 x - 2. בתנאי ש-x אינו אפס, השוויון 1 x = - x 2 + 4 x - 2 הופך שווה ערך למשוואת המעלה השלישית - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 עם מקדמים שלמים. כדי לרענן את הזיכרון שלך לגבי האלגוריתם לפתרון משוואות כאלה, נוכל להתייחס לסעיף "פתרון משוואות מעוקבות".

השורש של משוואה זו הוא x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

מחלקים את הביטוי - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 בבינומי x - 1, נקבל: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

נוכל למצוא את השורשים הנותרים מהמשוואה x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

מצאנו את המרווח x ∈ 1; 3 + 13 2, שבו הדמות G כלולה מעל הכחול ומתחת לקו האדום. זה עוזר לנו לקבוע את השטח של הדמות:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

תשובה: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

דוגמה 4

יש צורך לחשב את השטח של הדמות, אשר מוגבל על ידי העקומות y = x 3, y = - log 2 x + 1 וציר האבססיס.

פִּתָרוֹן

בואו נשרטט את כל הקווים בגרף. נוכל לקבל את הגרף של הפונקציה y = - log 2 x + 1 מהגרף y = log 2 x אם נמקם אותו באופן סימטרי על ציר ה-x ונעביר אותו למעלה יחידה אחת. משוואת ציר x היא y = 0.

הבה נסמן את נקודות החיתוך של הקווים.

כפי שניתן לראות מהאיור, הגרפים של הפונקציות y = x 3 ו- y = 0 מצטלבים בנקודה (0; 0). זה קורה כי x = 0 הוא השורש האמיתי היחיד של המשוואה x 3 = 0.

x = 2 הוא השורש היחיד של המשוואה - log 2 x + 1 = 0, כך שהגרפים של הפונקציות y = - log 2 x + 1 ו- y = 0 מצטלבים בנקודה (2; 0).

x = 1 הוא השורש היחיד של המשוואה x 3 = - log 2 x + 1 . בהקשר זה, הגרפים של הפונקציות y = x 3 ו- y = - log 2 x + 1 מצטלבים בנקודה (1; 1). ההצהרה האחרונה אולי לא ברורה, אבל המשוואה x 3 = - log 2 x + 1 לא יכולה להיות יותר משורש אחד, מכיוון שהפונקציה y = x 3 הולכת וגדלה לחלוטין, והפונקציה y = - log 2 x + 1 היא יורד בהחלט.

הפתרון הנוסף כולל מספר אפשרויות.

אופציה 1

אנו יכולים לדמיין את דמות G כסכום של שני טרפזים עקומים הממוקמים מעל ציר ה-x, שהראשון שבהם ממוקם מתחת קו אמצעעל הקטע x ∈ 0; 1, והשני נמצא מתחת לקו האדום בקטע x ∈ 1; 2. המשמעות היא שהשטח יהיה שווה ל-S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

אפשרות מס' 2

איור G יכול להיות מיוצג כהבדל של שתי דמויות, שהראשונה ממוקמת מעל ציר ה-x ומתחת לקו הכחול בקטע x ∈ 0; 2, והשני בין הקווים האדומים והכחולים בקטע x ∈ 1; 2. זה מאפשר לנו למצוא את האזור באופן הבא:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

במקרה זה, כדי למצוא את השטח תצטרך להשתמש בנוסחה בצורה S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. למעשה, הקווים שקושרים את הדמות יכולים להיות מיוצגים כפונקציות של הארגומנט y.

בואו נפתור את המשוואות y = x 3 ו- log 2 x + 1 ביחס ל-x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

נקבל את השטח הנדרש:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

תשובה: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

דוגמה 5

יש צורך לחשב את השטח של הדמות, המוגבלת על ידי הקווים y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

פִּתָרוֹן

עם קו אדום נשרטט את הקו המוגדר על ידי הפונקציה y = x. אנו מציירים את הקו y = - 1 2 x + 4 בכחול, ואת הקו y = 2 3 x - 3 בשחור.

בואו נסמן את נקודות ההצטלבות.

בואו נמצא את נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציות y = x ו- y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 בדוק: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 לא האם הפתרון למשוואה x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 הוא הפתרון למשוואה ⇒ (4; 2) נקודת החיתוך i y = x ו- y = - 1 2 x + 4

בוא נמצא את נקודת החיתוך של הגרפים של הפונקציות y = x ו- y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 בדוק: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 הוא הפתרון למשוואה ⇒ (9 ; 3) נקודה a s y = x ו- y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 אין פתרון למשוואה

בוא נמצא את נקודת החיתוך של הקווים y = - 1 2 x + 4 ו- y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1 ) נקודת החיתוך y = - 1 2 x + 4 ו- y = 2 3 x - 3

שיטה מס' 1

הבה נדמיין את שטח הדמות הרצויה כסכום השטחים של דמויות בודדות.

ואז השטח של הדמות הוא:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

שיטה מס' 2

השטח של הדמות המקורית יכול להיות מיוצג כסכום של שתי דמויות אחרות.

לאחר מכן אנו פותרים את משוואת הישר ביחס ל-x, ורק לאחר מכן אנו מיישמים את הנוסחה לחישוב שטח הדמות.

y = x ⇒ x = y 2 קו אדום y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 קו שחור y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

אז השטח הוא:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

כפי שאתה יכול לראות, הערכים זהים.

תשובה: S (G) = 11 3

תוצאות

כדי למצוא את השטח של דמות המוגבלת על ידי קווים נתונים, עלינו לבנות קווים במישור, למצוא את נקודות החיתוך שלהם וליישם את הנוסחה כדי למצוא את השטח. בחלק זה, בחנו את הגרסאות הנפוצות ביותר של משימות.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

בעיה 1 (על חישוב השטח של טרפז מעוקל).

במערכת הקואורדינטות המלבנית הקרטזית xOy ניתנת דמות (ראה איור) תחומה על ידי ציר x, ישרים x = a, x = b (a על ידי טרפז עקום. יש צורך לחשב את שטחו של עקמומיות טרפז.
פִּתָרוֹן. הגיאומטריה נותנת לנו מתכונים לחישוב השטחים של מצולעים וכמה חלקים של מעגל (מגזר, קטע). באמצעות שיקולים גיאומטריים, נוכל למצוא רק ערך משוער של השטח הנדרש, תוך הנמקה כדלקמן.

בואו נחלק את הקטע [א; ב] (בסיס של טרפז מעוקל) ל-n חלקים שווים; מחיצה זו מתבצעת באמצעות נקודות x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. בואו נצייר קווים ישרים דרך הנקודות האלה, צירים מקבילים u. ואז הטרפז העקום הנתון יחולק ל-n חלקים, ל-n עמודות צרות. שטח הטרפז כולו שווה לסכום שטחי העמודים.

הבה נבחן את העמודה K-th בנפרד, כלומר. טרפז מעוקל שבסיסו הוא קטע. נחליף אותו במלבן בעל אותו בסיס וגובה שווה ל-f(x k) (ראה איור). שטח המלבן שווה ל-\(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), כאשר \(\Delta x_k \) הוא אורך הקטע; זה טבעי לשקול את המוצר המתקבל כערך משוער של שטח העמודה ה-k.

אם נעשה את אותו הדבר כעת עם כל שאר העמודות, נגיע לתוצאה הבאה: שטח S של טרפז עקום נתון שווה בערך לשטח S n של דמות מדורגת המורכבת מ-n מלבנים (ראה איור):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
כאן, למען אחידות הסימון, אנו מניחים כי a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - אורך הקטע, \(\Delta x_1 \) - אורך הקטע וכו'; במקרה זה, כפי שהסכמנו לעיל, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

אז, \(S \approx S_n \), והשוויון המשוער הזה מדויק יותר, ככל ש-n גדול יותר.
בהגדרה, מאמינים שהשטח הנדרש של טרפז עקום שווה לגבול הרצף (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

בעיה 2 (על הזזת נקודה)
נקודה חומרית נעה בקו ישר. התלות של המהירות בזמן מתבטאת בנוסחה v = v(t). מצא את התנועה של נקודה על פני פרק זמן [א; ב].
פִּתָרוֹן. אם התנועה הייתה אחידה, אז הבעיה הייתה נפתרת בפשטות רבה: s = vt, כלומר. s = v(b-a). לתנועה לא אחידה, עליך להשתמש באותם רעיונות שעליהם התבסס הפתרון לבעיה הקודמת.
1) חלקו את מרווח הזמן [א; ב] ל-n חלקים שווים.
2) חשבו על פרק זמן והנח שבפרק זמן זה המהירות הייתה קבועה, זהה לזמן t k. אז אנחנו מניחים ש-v = v(t k).
3) בואו נמצא את הערך המשוער של תנועת הנקודה על פני תקופה; נסמן את הערך המשוער הזה כ-s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) מצא את הערך המשוער של תזוזה s:
\(s \approx S_n \) איפה
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) התזוזה הנדרשת שווה לגבול הרצף (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

בואו נסכם. פתרונות לבעיות שונות צומצמו לאותו מודל מתמטי. בעיות רבות מתחומי מדע וטכנולוגיה שונים מובילות לאותו מודל בתהליך הפתרון. אז זה מודל מתמטיצריך ללמוד במיוחד.

הרעיון של אינטגרל מובהק

הבה ניתן תיאור מתמטי של המודל שנבנה בשלוש הבעיות הנחשבות עבור הפונקציה y = f(x), רציף (אך לא בהכרח לא שלילי, כפי שהונח בבעיות הנחשבות) על המרווח [a; ב]:
1) לפצל את הקטע [א; ב] ל-n חלקים שווים;
2) הרכיב את הסכום $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) חשב $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

במהלך הניתוח המתמטי הוכח שגבול זה קיים במקרה של פונקציה רציפה (או רציפה חלקית). זה נקרא האינטגרל המובהק של הפונקציה y = f(x) מעל הקטע [a; ב] ומסומן כדלקמן:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
המספרים a ו-b נקראים גבולות האינטגרציה (תחתון ועליון, בהתאמה).

נחזור למשימות שנדונו לעיל. כעת ניתן לשכתב את הגדרת השטח שניתנה בבעיה 1 באופן הבא:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
כאן S הוא השטח של הטרפז המעוקל המוצג באיור שלמעלה. זוהי המשמעות הגאומטרית של האינטגרל המובהק.

ניתן לשכתב את ההגדרה של העקירה s של נקודה הנעה בקו ישר במהירות v = v(t) לאורך פרק הזמן מ-t = a ל-t = b, הניתנת בבעיה 2:

נוסחת ניוטון-לייבניץ

ראשית, בואו נענה על השאלה: מה הקשר בין האינטגרל המובהק לבין האנטי-נגזרת?

את התשובה ניתן למצוא בבעיה 2. מצד אחד, התזוזה s של נקודה הנעה בקו ישר במהירות v = v(t) לאורך פרק הזמן מ-t = a ל-t = b מחושבת על ידי הנוסחה
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

מצד שני, הקואורדינטה של ​​נקודה נעה היא נגזרת אנטי למהירות - נסמן אותה s(t); המשמעות היא שהעקירה s מתבטאת בנוסחה s = s(b) - s(a). כתוצאה מכך אנו מקבלים:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
כאשר s(t) הוא הנגזרת האנטי-נגזרת של v(t).

המשפט הבא הוכח במהלך ניתוח מתמטי.
מִשׁפָּט. אם הפונקציה y = f(x) היא רציפה במרווח [a; b], אז הנוסחה תקפה
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
כאשר F(x) היא הנגזרת האנטי-נגזרת של f(x).

הנוסחה הנ"ל נקראת בדרך כלל נוסחת ניוטון-לייבניץ לכבודם של הפיזיקאי האנגלי אייזק ניוטון (1643-1727) והפילוסוף הגרמני גוטפריד לייבניץ (1646-1716), אשר השיגו אותה באופן עצמאי זה מזה וכמעט בו-זמנית.

בפועל, במקום לכתוב F(b) - F(a), הם משתמשים בסימון \(\left. F(x)\right|_a^b \) (נקרא לפעמים חילוף כפול) ובהתאם לכך, כותבים מחדש את הניוטון -נוסחת לייבניץ בצורה זו טופסת:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

בעת חישוב אינטגרל מוגדר, מצא תחילה את הנגזרת האנטי, ולאחר מכן בצע החלפה כפולה.

בהתבסס על נוסחת ניוטון-לייבניץ, אנו יכולים לקבל שתי תכונות של האינטגרל המוגדר.

תכונה 1. אינטגרל של סכום הפונקציות שווה לסכוםאינטגרלים:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

תכונה 2. ניתן להוציא את הגורם הקבוע מהסימן האינטגרלי:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

חישוב השטחים של דמויות מישוריות באמצעות אינטגרל מוגדר

באמצעות האינטגרל, אתה יכול לחשב את השטחים לא רק של טרפזים מעוקלים, אלא גם של דמויות מישוריות מסוג מורכב יותר, למשל, זה המוצג באיור. הדמות P מוגבלת בקווים ישרים x = a, x = b וגרפים של פונקציות רציפות y = f(x), y = g(x), ועל הקטע [a; b] אי השוויון \(g(x) \leq f(x) \) מתקיים. כדי לחשב את שטח S של דמות כזו, נמשיך כדלקמן:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

אז, השטח S של דמות תחום בקווים ישרים x = a, x = b וגרפים של פונקציות y = f(x), y = g(x), רציף על הקטע וכזה שעבור כל x מהקטע [א; b] אי השוויון \(g(x) \leq f(x) \) מסופק, מחושב על ידי הנוסחה
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

טבלה של אינטגרלים בלתי מוגדרים (אנטי-נגזרים) של כמה פונקציות $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^ (n +1))(n+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

א)

פִּתָרוֹן.

ראשית ו הרגע החשוב ביותרפתרונות - בניית שרטוט.

בואו נעשה את הציור:

המשוואה y=0קובע את ציר "x";

- x=-2ו x=1- ישר, מקביל לציר OU;

- y=x 2 +2 -פרבולה, שענפיה מופנים כלפי מעלה, כשהקודקוד נמצא בנקודה (0;2).

תגובה. כדי לבנות פרבולה, מספיק למצוא את נקודות החיתוך שלה עם צירי הקואורדינטות, כלומר. לשים x=0למצוא את הצומת עם הציר OUומחליטים בהתאם משוואה ריבועית, מצא את החתך עם הציר אה .

ניתן למצוא את הקודקוד של פרבולה באמצעות הנוסחאות:

ניתן גם לבנות קווים נקודה אחר נקודה.

על המרווח [-2;1] הגרף של הפונקציה y=x 2 +2ממוקם מעל הציר שׁוֹר, בגלל זה:

תשובה: ס=9 יחידות מ"ר

לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, יהיו בערך 9, נראה שזה נכון. ברור לחלוטין שאם קיבלנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

מה לעשות אם טרפז מעוקל ממוקם מתחת לציר אה?

ב) חשב את שטח הדמות התחום בקווים y=-e x , x=1ולתאם צירים.

פִּתָרוֹן.

בואו נעשה ציור.

אם טרפז מעוקל ממוקם לחלוטין מתחת לציר אה , ואז ניתן למצוא את השטח שלו באמצעות הנוסחה:

תשובה: S=(e-1)יחידות מ"ר" 1.72 יחידות מ"ר

תשומת הלב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור פשוט אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא עשוי להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנידונה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת במישור החצי העליון והתחתון כאחד.

ג) מצא את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים y=2x-x 2, y=-x.

פִּתָרוֹן.

ראשית עליך להשלים את הציור. באופן כללי, כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. בואו נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה וישר ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. השיטה הראשונה היא אנליטית.

נפתור את המשוואה:

זה אומר שהגבול התחתון של אינטגרציה a=0, גבול עליון של אינטגרציה b=3 .

אנו בונים את הקווים הנתונים: 1. פרבולה - קודקוד בנקודה (1;1); צומת ציר אה -נקודות (0;0) ו-(0;2). 2. קו ישר - חוצה של זוויות הקואורדינטות ה-2 וה-4. ועכשיו שימו לב! אם על הקטע [ א;ב] פונקציה רציפה כלשהי f(x)גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי g(x), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה באמצעות הנוסחה: . וזה לא משנה איפה הדמות ממוקמת - מעל הציר או מתחת לציר, אבל מה שחשוב זה איזה גרף גבוה יותר (ביחס לגרף אחר), ואיזה מתחת. בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל הקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו

אתה יכול לבנות קווים נקודה אחר נקודה, וגבולות האינטגרציה מתבהרים "מעצמם". עם זאת, השיטה האנליטית של מציאת גבולות עדיין צריכה לשמש לפעמים אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהבנייה המפורטת לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים).

הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מעל וקו ישר למטה.

על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה: ס=4.5 יחידות מ"ר

אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות

הבה נעבור לשקול יישומים של חשבון אינטגרלי. בשיעור זה ננתח את הבעיה האופיינית והנפוצה ביותר - כיצד לחשב שטח של דמות מישור באמצעות אינטגרל מוגדר. לבסוף, מי שמחפש משמעות במתמטיקה גבוהה יותר - שימצאו אותה. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך עלילת דאצ'ה באמצעות פונקציות יסודיות ולמצוא את השטח שלה באמצעות אינטגרל מוגדר.

כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:

1) להבין אינטגרל בלתי מוגבללפחות ברמה ממוצעת. לפיכך, על בובות להכיר תחילה את השיעור לא.

2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מוגדרים בדף אינטגרל מוגדר. דוגמאות לפתרונות.

למעשה, כדי למצוא את השטח של דמות, אתה לא צריך כל כך הרבה ידע על האינטגרל הבלתי מוגדר והמוגדר. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית שרטוט, כך שהיא הרבה יותר נושא אקטואלייהיו הידע והכישורים שלך בציור. בהקשר זה, כדאי לרענן את הזיכרון שלך מהגרפים של פונקציות בסיסיות, ולכל הפחות, להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה. זה יכול להיעשות (עבור רבים, זה הכרחי) באמצעות חומר מתודולוגיומאמרים על טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים.

למעשה, כולם מכירים את המשימה של מציאת השטח באמצעות אינטגרל מובהק מאז בית הספר, ולא נתרחק הרבה יותר. מערכת של ביהס. המאמר הזה אולי לא היה קיים בכלל, אבל העובדה היא שהבעיה מתרחשת ב-99 מקרים מתוך 100, כאשר תלמיד סובל מבית ספר שנוא ושולט בהתלהבות בקורס במתמטיקה גבוהה יותר.

החומרים של סדנה זו מוצגים בפשטות, בפירוט ובמינימום תיאוריה.

נתחיל עם טרפז מעוקל.

טרפז מעוקל הוא דמות שטוחה התחום על ידי ציר, קווים ישרים וגרף של פונקציה רציפה על קטע שאינו משנה סימן במרווח זה. תן לדמות הזו להיות ממוקם לא פחותציר x:

אז השטח של הטרפז העקום שווה מספרית לאינטגרל המובהק. לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בשיעור אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות אמרתי שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד אחד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא AREA.

כלומר, אינטגרל מסוים (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות מסוימת. לדוגמה, שקול את האינטגרל המובהק. האינטגרנד מגדיר עקומה במישור הממוקם מעל הציר (מי שרוצה יכול לצייר ציור), והאינטגרל המוגדר עצמו הוא מספרית שווה לשטחטרפז מעוקל מקביל.

דוגמה 1

זוהי הצהרת משימה טיפוסית. הנקודה הראשונה והחשובה ביותר בהחלטה היא ציור. יתר על כן, השרטוט חייב להיות בנוי בצורה נכונה.

כשבונים ציור, אני ממליץ על הסדר הבא: ראשית, עדיף לבנות את כל הקווים הישרים (אם יש) ורק אחר כך - פרבולות, היפרבולות וגרפים של פונקציות אחרות. רווחי יותר לבנות גרפים של פונקציות בצורה נקודתית; הטכניקה של בנייה נקודתית ניתן למצוא בחומר הייחוס גרפים ומאפיינים של פונקציות אלמנטריות. שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד לשיעור שלנו - איך לבנות מהר פרבולה.

בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.
נצייר את הציור (שים לב שהמשוואה מגדירה את הציר):

אני לא אצל את הטרפז המעוקל; כאן ברור על איזה אזור אנחנו מדברים. הפתרון ממשיך כך:

על הקטע, הגרף של הפונקציה ממוקם מעל הציר, לכן:

תשובה:

למי יש קשיים בחישוב האינטגרל המובהק ויישום נוסחת ניוטון-לייבניץ , עיין בהרצאה Definite Integral. דוגמאות לפתרונות.

לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, אנו סופרים את מספר התאים בציור "בעין" - ובכן, יהיו בערך 9, נראה שזה נכון. ברור לחלוטין שאם קיבלנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

דוגמה 2

חשב את השטח של דמות התחום בקווים, , וציר

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלאוהתשובה בסוף השיעור.

מה לעשות אם טרפז מעוקל ממוקם מתחת לציר?

דוגמה 3

חשב את שטח הדמות התחום בקווים ובצירי קואורדינטות.

פתרון: בואו נעשה ציור:

אם טרפז מעוקל ממוקם מתחת לציר (או, לפי לפחות, לא גבוה יותרציר נתון), אז ניתן למצוא את השטח שלו באמצעות הנוסחה:
במקרה הזה:

תשומת הלב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור פשוט אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא עשוי להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנידונה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת הן בחצי המישור העליון והן בחצי המישור התחתון, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר נעבור לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 4

מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים, .

פתרון: ראשית אתה צריך לעשות ציור. באופן כללי, כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. בוא נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה והקו הישר. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. השיטה הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:

זה אומר שהגבול התחתון של האינטגרציה הוא , הגבול העליון של האינטגרציה הוא .
עדיף, אם אפשר, לא להשתמש בשיטה זו.

הרבה יותר רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, וגבולות האינטגרציה מתבהרים "מעצמם". הטכניקה של בנייה נקודתית עבור גרפים שונים נדונה בפירוט בעזרה גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. עם זאת, השיטה האנליטית של מציאת גבולות עדיין צריכה לשמש לפעמים אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהבנייה המפורטת לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). וגם נשקול דוגמה כזו.

נחזור למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות קודם קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה את הציור:

אני חוזר על כך שכאשר בונים באופן נקודתי, גבולות האינטגרציה מתגלים לרוב "באופן אוטומטי".

ועכשיו נוסחת העבודה: אם בקטע פונקציה רציפה כלשהי גדולה או שווה לפונקציה רציפה כלשהי, אזי ניתן למצוא את שטח הדמות המוגבלת על ידי הגרפים של הפונקציות והקווים הישרים באמצעות הנוסחה:

כאן כבר לא צריך לחשוב היכן הדמות ממוקמת - מעל הציר או מתחת לציר, ובגדול, חשוב איזה גרף גבוה יותר (ביחס לגרף אחר) ואיזה מתחת.

בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל לקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו

הפתרון המושלם עשוי להיראות כך:

הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מעל וקו ישר למטה.
על הקטע, לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה פשוטה מס' 3) היא מקרה מיוחדנוסחאות . מכיוון שהציר מוגדר על ידי המשוואה, והגרף של הפונקציה נמצא לא גבוה יותרצירים, אם כן

ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון משלך

דוגמה 5

דוגמה 6

מצא את השטח של הדמות התחום בקווים, .

כאשר פותרים בעיות הכרוכות בחישוב שטח באמצעות אינטגרל מוגדר, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. הציור נעשה נכון, החישובים היו נכונים, אבל בגלל חוסר זהירות... נמצא השטח של הדמות הלא נכונה, כך בדיוק השתבש המשרת הצנוע שלך מספר פעמים. הנה מקרה מהחיים האמיתיים:

דוגמה 7

חשב את שטח הדמות התחום על ידי הקווים , , , .

פתרון: ראשית, בואו נעשה ציור:

...אה, הציור יצא שטויות, אבל הכל נראה קריא.

הדמות שאת שטחה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול (הסתכלו היטב על המצב - איך הדמות מוגבלת!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, מתעוררת לעתים קרובות "תקלה" שאתה צריך למצוא את השטח של דמות מוצלת ירוק!

דוגמה זו שימושית גם בכך שהיא מחשבת את השטח של דמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:

1) על הקטע שמעל הציר יש גרף של קו ישר;

2) על הקטע שמעל הציר יש גרף של היפרבולה.

ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:

תשובה:

נעבור למשימה משמעותית אחרת.

דוגמה 8

חשב את השטח של דמות התחום בקווים,
בואו נציג את המשוואות בצורה "בית ספר" ונעשה ציור נקודתי:

מהציור ברור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב":.
אבל מה הגבול התחתון?! ברור שזה לא מספר שלם, אבל מה זה? אולי ? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, בהחלט יכול להתברר ש... או השורש. מה אם בנינו את הגרף בצורה לא נכונה?

במקרים כאלה, אתה צריך להשקיע זמן נוסף ולהבהיר את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.

בוא נמצא את נקודות החיתוך של קו ישר ופרבולה.
לשם כך נפתור את המשוואה:


,

באמת, .

הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי, העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים, החישובים כאן הם לא הכי פשוטים.

על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

ובכן, לסיום השיעור, בואו נסתכל על עוד שתי משימות קשות.

דוגמה 9

חשב את שטח הדמות התחום בקווים , ,

פתרון: הבה נתאר את הדמות הזו בציור.

לעזאזל, שכחתי לחתום על לוח הזמנים, וסליחה, לא רציתי לחזור על התמונה. לא יום ציור, בקיצור, היום זה היום =)

לבנייה נקודתית אתה צריך לדעת מראה חיצוניסינוסואידים (ובאופן כללי זה שימושי לדעת את הגרפים של כל הפונקציות היסודיות), כמו גם כמה ערכי סינוס, ניתן למצוא אותם בטבלה הטריגונומטרית. במקרים מסוימים (כמו במקרה זה), ניתן לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג בצורה נכונה את הגרפים ומגבלות האינטגרציה.

אין כאן בעיות עם גבולות האינטגרציה; הם נובעים ישירות מהתנאי: "x" משתנה מאפס ל-"pi". בואו נקבל החלטה נוספת:

על הקטע, הגרף של הפונקציה ממוקם מעל הציר, לכן: