מצא את הקרנת הווקטור על ציר מקביל לווקטור. הקרנה של וקטור על ציר

תן שני וקטורים וניתן במרחב. בוא נדחה מנקודה שרירותית Oוקטורים ו. זָוִיתבין וקטורים נקרא הקטנה מבין הזוויות. יָעוּדִי .

קחו בחשבון את הציר לומשרטטים עליו וקטור יחידה (כלומר, וקטור שאורכו שווה לאחד).

בזווית בין הווקטור לציר ללהבין את הזווית בין הוקטורים ו.

אז תן להוא ציר כלשהו והוא וקטור.

הבה נסמן ב א 1ו ב 1הקרנות על הציר לנקודות בהתאמה או ב. בואו נעמיד פנים כך א 1יש קואורדינטה x 1, א ב 1- לתאם x 2על הציר ל.

לאחר מכן הַקרָנָהוקטור לכל ציר לשנקרא הבדל x 1 – x 2בין הקואורדינטות של הקרנות של סוף ותחילת הווקטור על ציר זה.

הקרנה של הווקטור על הציר לנסמן .

ברור שאם הזווית בין הווקטור לציר לחריף אז x 2> x 1, והקרנה x 2 – x 1> 0; אם זווית זו קהה, אז x 2< x 1והקרנה x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ל, זה x 2= x 1ו x 2– x 1=0.

לפיכך, הקרנת הווקטור על הציר להוא אורך הקטע א 1 ב 1, נלקח עם סימן מסוים. לכן, ההשלכה של הווקטור על הציר היא מספר או סקלר.

ההשלכה של וקטור אחד למשנהו נקבעת באופן דומה. במקרה זה, ההקרנות של הקצוות של וקטור זה על הקו שעליו נמצא הווקטור השני.

בואו נסתכל על כמה בסיסיים תכונות של תחזיות.

מערכות וקטוריות תלויות ליניאריות ולינאריות בלתי תלויות

בואו ניקח בחשבון כמה וקטורים.

צירוף ליניארימהווקטורים האלה הוא כל וקטור מהצורה , שם יש מספרים. המספרים נקראים מקדמי שילוב ליניאריים. הם גם אומרים שבמקרה הזה זה בא לידי ביטוי ליניארי דרך הוקטורים האלה, כלומר. מתקבל מהם באמצעות פעולות ליניאריות.

לדוגמה, אם ניתנים שלושה וקטורים, אז הווקטורים הבאים יכולים להיחשב כשילוב הליניארי שלהם:

אם וקטור מיוצג כשילוב ליניארי של כמה וקטורים, אזי אומרים שהוא מונחלאורך הוקטורים הללו.

הווקטורים נקראים תלוי ליניארי, אם יש מספרים, לא כולם שווים לאפס, כך . ברור שוקטורים נתונים יהיו תלויים ליניארית אם כל אחד מהווקטורים הללו מבוטא באופן ליניארי במונחים של האחרים.

אחרת, כלומר. כאשר היחס מבוצע רק כאשר , וקטורים אלה נקראים עצמאית ליניארית.

משפט 1.כל שני וקטורים תלויים ליניארית אם ורק אם הם קולינאריים.

הוכחה:

ניתן להוכיח את המשפט הבא באופן דומה.

משפט 2.שלושה וקטורים תלויים ליניארית אם ורק אם הם דו מישוריים.

הוכחה.

בָּסִיס

בָּסִיסהוא אוסף של וקטורים בלתי תלויים ליניאריים שאינם באפס. נסמן את מרכיבי הבסיס ב-.

בפסקה הקודמת ראינו ששני וקטורים לא-קולינאריים במישור הם בלתי תלויים ליניארית. לכן, לפי משפט 1 מהפסקה הקודמת, בסיס במישור הוא כל שני וקטורים לא-קולינאריים במישור הזה.

באופן דומה, כל שלושה וקטורים שאינם קומפלנריים הם בלתי תלויים ליניארית במרחב. כתוצאה מכך, אנו קוראים לשלושה וקטורים לא-קומפלרים בסיס במרחב.

האמירה הבאה נכונה.

מִשׁפָּט.תן בסיס במרחב. אז כל וקטור יכול להיות מיוצג כשילוב ליניארי , איפה איקס, y, ז- כמה מספרים. זהו הפירוק היחיד.

הוכחה.

לפיכך, הבסיס מאפשר לכל וקטור להיות משויך באופן ייחודי לשלשת מספרים - מקדמי ההתרחבות של וקטור זה לוקטורי הבסיס: . גם ההיפך נכון, על כל שלושה מספרים x, y, zבאמצעות הבסיס, אתה יכול להשוות את הווקטור אם אתה יוצר שילוב ליניארי .

אם הבסיס ו , ואז המספרים x, y, zנקראים קואורדינטותוקטור בבסיס נתון. קואורדינטות וקטור מסומנות על ידי .

מערכת קואורדינאות קרטזית

תן נקודה במרחב Oושלושה וקטורים לא קומפלנריים.

מערכת קואורדינטות קרטזיתבמרחב (במישור) הוא אוסף של נקודה ובסיס, כלומר. קבוצה של נקודה ושלושה וקטורים לא-קופלנריים (2 וקטורים לא-קולינאריים) הנובעים מנקודה זו.

נְקוּדָה Oנקרא המקור; קווים ישרים העוברים דרך מוצא הקואורדינטות בכיוון וקטורי הבסיס נקראים צירי קואורדינטות - ציר האבססיס, הציר והיישומים. מטוסים העוברים דרך צירי הקואורדינטות נקראים מישורי קואורדינטות.

שקול נקודה שרירותית במערכת הקואורדינטות שנבחרה M. הבה נציג את המושג קואורדינטות נקודות M. וקטור המחבר את המקור לנקודה M. שקוראים לו וקטור רדיוסנקודות M.

וקטור בבסיס שנבחר יכול להיות משויך לשלשת מספרים - הקואורדינטות שלו: .

קואורדינטות של וקטור הרדיוס של הנקודה M. נקראים קואורדינטות של נקודה M. במערכת הקואורדינטות הנבדקת. M(x,y,z). הקואורדינטה הראשונה נקראת אבשיסה, השנייה היא הסמכה, והשלישית היא היישום.

מוגדר באופן דומה קואורדינטות קרטזיותעל פני השטח. כאן לנקודה יש ​​רק שתי קואורדינטות - אבשיסה ואורדינאטה.

קל לראות שלמערכת קואורדינטות נתונה, לכל נקודה יש ​​קואורדינטות מסוימות. מצד שני, לכל משולש מספרים יש נקודה ייחודית שיש לה את המספרים האלה כקואורדינטות.

אם הוקטורים שנלקחו כבסיס במערכת הקואורדינטות שנבחרה הם בעלי יחידת אורך והם מאונכים בזוגות, אזי מערכת הקואורדינטות נקראת מלבני קרטזיאני.

קל להראות זאת.

קוסינוס הכיוון של וקטור קובע לחלוטין את הכיוון שלו, אך אינו אומר דבר על אורכו.

יש לתת קו l וקו חוצה אותו m במישור. הקרנה וקטוריתלישר l מקביל לישר m (לאורך ישר m) נקרא וקטור (איור 1.13, א). אם הישר m מאונך לקו l, אז ההקרנה נקראת אורתוגונלית.

תנו קו l ומישור החותכים אותו במרחב. הקרנה וקטורית \vec(a)=\overrightarrow(AB)לישר l המקביל למישור \rho (לאורך המישור \rho ) נקרא וקטור \vec(a)_l=\overrightarrow(AB)_l, שתחילתו היטל A_l, תחילתו של A, והסוף הוא היטל B_l של סוף B של הווקטור \overrightarrow(AB)(איור 1.13,6). אם המישור \rho מאונך לישר l, אז ההקרנה נקראת אורתוגונלית.

הקרנה של וקטור על מישור

תנו למישור i וקו ישר החותכים אותו במרחב. הקרנה וקטורית \vec(a)=\overrightarrow(AB)במישור \rho המקביל לישר m (לאורך הישר m) נקרא וקטור \vec(a)_(\rho)=\overrightarrow(AB)_(\rho), שתחילתו היטל A_(\rho) של תחילת A, והסוף הוא היטל B_(\rho) של סוף B של הווקטור \overrightarrow(AB)(איור 1.14). אם הישר m מאונך למישור \rho, אז ההקרנה נקראת אורתוגונלית.

מאפיינים של וקטורי הקרנה

1. ההקרנות של וקטור על קווים מקבילים (או על מישורים מקבילים) שוות.

2. הקרנות של וקטורים שווים שוות.

3. ההשלכה של סכום הוקטורים שווה לסכום ההשלכות שלהם.

4. היטל המכפלה של וקטור במספר שווה למכפלת המספר הזה על ידי היטל הווקטור, במילים אחרות, היחס בין הוקטורים הקולינאריים שווה ליחס ההשלכות שלהם (אם מוגדר).

5. ההטלה של שילוב ליניארי של וקטורים שווה לשילוב ליניארי של תחזיות.

הבה נבחן את המאפיינים הללו עבור הקרנות של וקטורים על קו l המקביל לישר m. עבור הקרנות של וקטורים על מישור או על קו מקביל למישור, ההוכחות דומות.

בואו נוכיח את הנכס הראשון. תן \vec(a)_l להיות ההשלכה של הווקטור \vec(a) על הישר l לאורך הישר m, ו-\vec(a)_l תהיה ההשלכה של הווקטור \vec(a) על הישר l" לאורך אותו קו m, והקווים l ו-l" מקבילים (איור 1.15). מרובע שנוצר על ידי חיתוך של זוג ישרים מקבילים l ו-l" עם קווים מקווקוים מקבילים לישר m הוא מקבילית. לכן, \vec(a)_(l")=\vec(a)_l, כלומר ההטלות של אותו וקטור \vec(a) על קווים מקבילים שוות.

בואו נוכיח את הנכס השני. תנו לוקטורים שווים במישור \overrightarrow(AB)ו \overrightarrow(CD), לא מקביל לישר m (ראה איור 1.16). בואו נבנה וקטורים שווים להם \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(AB))\limits_(.)ו \mathop(\overrightarrow(C_lD")= \overrightarrow(CD))\limits_(.). מתוך שוויון \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(C_lD"))\limits_(.)מכאן נובע שהמרובע A_lB"D"C_l הוא מקבילית, והמשולשים A_lB"B_l ו-C_lD"D_l שווים בצלע ובשתי זוויות סמוכות

\big(A_lB"=C_lD",\qquad \angle B"A_lB_l=\angle D"C_lD_l,\qquad \angle A_lB"B_l=\angle C_lD"D_l

כזוויות עם בהתאמה צדדים מקבילים). לָכֵן, \mathop(\overrightarrow(A_lB_l)= \overrightarrow(C_lD_l))\limits_(.), כלומר לוקטורים שווים שאינם מקבילים לישר m יש תחזיות שוות. אם הוקטורים מקבילים לישר m, אזי ההקרנות שלהם שוות גם לוקטורים האפסים. הנכס השני הוכח.

ההוכחה של המאפיין השלישי ברורה לוקטורים \overrightarrow(AB)וכן (איור 1.17): הקרנה וקטורית \overrightarrow(AC)=\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)שווה לסכום התחזיות ו \overrightarrow(B_lC_l), וקטורים \overrightarrow(AB)ו \overrightarrow(BC), כלומר \overrightarrow(A_lC_l)= \overrightarrow(A_lB_l)+ \overrightarrow(B_lC_l). עבור וקטורים שרירותיים \vec(a) ו-\vec(b) (שעבורם סוף הווקטור \vec(a) אינו עולה בקנה אחד עם תחילת הווקטור \vec(b)), ההוכחה מצטמצמת למקרה הנחשב עבור וקטורים שווים להם \overrightarrow(AB)=\vec(a)ו \overrightarrow(BC)=\vec(b), שכן לוקטורים שווים יש תחזיות שוות (לפי המאפיין השני).

ההוכחה של התכונה הרביעית נובעת ממשפט תאלס (ראה סעיף ב.2). איור 1.18 מציג את הוקטורים \overrightarrow(AB)ו \overrightarrow(AC)=\lambda\overrightarrow(AB)(\lambda>0), כמו גם ההשלכות שלהם \overrightarrow(A_lB_l)ו \overrightarrow(A_lC_l). לפי משפט תאלס \frac(AC)(AB)=\frac(A_lC_l)(A_lB_l)=\lambda, ומכאן, \overrightarrow(A_lC_l)= \lambda\overrightarrow(A_lB_l), וזה מה שהיה צריך להוכיח. במקרה של \lambda<0 доказательство аналогичное.

המאפיין החמישי של תחזיות נובע מהשלישי והרביעי.

משפט 1.1 (על הקרנות של וקטור על קווים מצטלבים).

1. אם שני קווים מצטלבים l_1 ו-l_2 ניתנים במישור, אז כל וקטור \vec(a) במישור יכול להיות מיוצג באופן ייחודי כסכום ההשלכות שלו \vec(a)_1 ו-\vec(a)_2 על גבי המישור קווים אלה (השלכות על כל קו ישר נלקחות לאורך קו ישר אחר), כלומר. .

2. אם ניתנים במרחב שלושה קווים l_1, l_2 ו-l_3, מצטלבים בנקודה אחת ולא נמצאים באותו מישור, אז כל וקטור \vec(a) במרחב יכול להיות מיוצג באופן ייחודי כסכום ההשלכות שלו \vec(a)_1,\vec(a)_2,\vec(a)_3על הקווים הללו (ההקרנות על כל קו נלקחות לאורך מישור המכיל שני קווים אחרים), כלומר. .

למעשה, הניחו לקווים l_1 ו-l_2 להצטלב בנקודה O (איור 1.19a). הבה נחיל את הווקטור \vec(a) על הנקודה O, כלומר. לשקול וקטור \overrightarrow(OA)=\vec(a). באמצעות כלל המקבילית של חיבור וקטור (ראה סעיף 1.2), נקבל את השוויון \overrightarrow(OA)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, השווה לשוויון המוכח \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, שכן לוקטורים שווים יש תחזיות שוות (ראה תכונה של 2 תחזיות). ייחודו של הייצוג נובע מהייחודיות של מציאת ההטלות של הווקטור.

אם הווקטור \vec(a) קולינארי לאחד מהקווים, למשל l_1, אזי ההשלכות המתאימות הן בצורת: \vec(a)_1=\vec(a),~\vec(a)_2=\vec(o)ושוויון \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2=\vec(a)+\vec(o), ברור שמילא.

האמירה השנייה מוכחת באופן דומה.

הערה 1.3.

ההצהרות המתאימות לאלו המצוינות במשפט 1.1 נכונות.

אם וקטור במישור שווה לסכום של שני וקטורים לא קולינאריים, כלומר. \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, אז המונחים \vec(a)_1 ו-\vec(a)_2 הם השלכות של הווקטור \vec(a) על קווים המכילים את הוקטורים \vec(a)_1 ו-\vec(a)_2, בהתאמה.

אם וקטור במרחב שווה לסכום של שלושה וקטורים לא קומפלנריים, כלומר. \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3, ואז התנאים \vec(a)_,\vec(a)_2ו-\vec(a)_3 הם ההשלכות של הווקטור \vec(a) על הקווים המכילים את הוקטורים \vec(a)_,\vec(a)_2,\vec(a)_3בהתאמה.

אכן, הבה נתווה מנקודה שרירותית O את הווקטורים \overrightarrow(OA)=\vec(a),\,\overrightarrow(OA_1)=\vec(a)_1,\,\overrightarrow(OA_2)=\vec(a)_2,\,\overrightarrow(OA_3)= \vec(a)_3(איור 1.19.6). ואז מהשוויון \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3עוקב אחרי זה \overrightarrow(OA)=\overrightarrow(OA_1)+\overrightarrow(OA_2)+\overrightarrow(OA_3), כלומר וקטור הוא האלכסון של מקבילי הבנוי על וקטורים (ומכאן הכלל המקבילי של הוספת שלושה וקטורים לא-קומפלרים). בגלל זה \overrightarrow(OA_1),\,\overrightarrow(OA_2),\,\overrightarrow(OA_3)- הקרנות וקטוריות \overrightarrow(OA)על הקווים l_1,\,l_2,\,l_3 (ההקרנה על כל קו נלקחת לאורך המישור העובר דרך שני הקווים האחרים). מאז וקטורים שווים \vec(a) ו \overrightarrow(OA)בעלות השלכות שוות (תכונה 2), אנו מסיקים שההטלות של הווקטור \vec(a) על הקווים l_1,\,l_2,\,l_3 שוות, בהתאמה. לבסוף, ההקרנות על הקווים l_1,\,l_2,\,l_3 שוות להשלכות על קווים מקבילים המכילים את הוקטורים \vec(a)_1,\,\vec(a)_2,\,\vec(a)_3בהתאמה.

דוגמה 1.5. אם ישר חוצה את הצלעות AB,~BC,~CA של משולש ABC (או ההרחבה שלהם) בנקודות C_1,~B_1,~C_1 בהתאמה, אז

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=1.

פִּתָרוֹן.הבה נמצא את היחס בין השלכות הוקטורים על קו AB לאורך הישר A_1C_1 (איור 1.20). לשם כך, דרך נקודה B נשרטט קו BB_2 מקביל לישר A_1C_1. לפי המאפיין של 4 תחזיות יש לנו:

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1));~~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (CA_1))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1)).

מכפיל את הפרופורציות האלה, אנחנו מקבלים \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) ), השווה לשוויון המוכח.

שימו לב שהמשפט המוכח הוא חלק ממשפט מנלאוס.

דוגמה 1.6. אם בצדות AB,~BC,~CA של המשולש ABC נלקחות הנקודות A_1,~B_1,~C_1 בהתאמה כך שהקווים AA_1,~BB_1,~CC_1 נחתכים בנקודה אחת, אז

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=-1.

פִּתָרוֹן.תנו ליווים להצטלב בנקודה Q (איור 1.21). דרך נקודה C_1 נשרטט קווים ישרים C_1B_2 ו-C_1A_2 במקביל ל-BB_1 ו-AA_1, בהתאמה. לפי מאפיין ההקרנות (נכס 4):

\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))=-\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(BC_1));~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1));~~~\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CQ) )(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))

בהתחשב בשוויון הזה ובמאפייני היחסים של וקטורים קולינאריים (ראה סעיף 1.2.1), אנו הופכים את הצד השמאלי והימני של השוויון האחרון:

\begin(gathered)\frac(\overrightarrow(CQ))(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\ overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB) )(\overrightarrow(AC_1))\\\frac(\overrightarrow(C_1Q))(\overrightarrow(CQ))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1))=\frac(\overrightarrow( AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(AB_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\left( -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)\end(gathered)

הבה נכתוב את המכפלה של הצדדים הימניים של השוויון הללו, תוך התחשבות בכך שהמכפלה של הצלעות השמאלית שווה לאחד:

\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) ))\cdot\left(-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)=-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac( \overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AB))= -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow( CB_1))=1

בוא נמצא את היחס ההפוך \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1) ))=-1, וזה מה שהיה צריך להוכיח.

שימו לב שהמשפט המוכח הוא חלק ממשפט סווה.

Javascript מושבת בדפדפן שלך.
כדי לבצע חישובים, עליך להפעיל פקדי ActiveX!

ועל ציר או וקטור אחר יש את המושגים של ההשלכה הגיאומטרית שלו וההשלכה המספרית (או האלגברית). התוצאה של היטל גיאומטרי תהיה וקטור, והתוצאה של היטל אלגברי תהיה מספר ממשי לא שלילי. אבל לפני שנמשיך למושגים האלה, בואו נזכור את המידע הדרוש.

מידע ראשוני

המושג העיקרי הוא מושג הווקטור עצמו. על מנת להציג את ההגדרה של וקטור גיאומטרי, הבה נזכור מהו קטע. הבה נציג את ההגדרה הבאה.

הגדרה 1

קטע הוא חלק מקו שיש לו שני גבולות בצורה של נקודות.

לקטע יכולים להיות 2 כיוונים. לציון הכיוון נקרא לאחד מגבולות הקטע תחילתו, ולגבול השני סופו. הכיוון מצוין מתחילתו ועד סוף הקטע.

הגדרה 2

וקטור או קטע מכוון יהיה קטע שעבורו ידוע איזה מגבולות הקטע נחשב להתחלה ומהו הסוף שלו.

ייעוד: בשתי אותיות: $\overline(AB)$ – (כאשר $A$ הוא ההתחלה שלו, ו-$B$ הוא הסוף שלו).

באות קטנה אחת: $\overline(a)$ (איור 1).

הבה נציג עוד כמה מושגים הקשורים למושג וקטור.

הגדרה 3

נכנה שני וקטורים שאינם אפס קולינאריים אם הם נמצאים על אותו קו או על קווים מקבילים זה לזה (איור 2).

הגדרה 4

נכנה שני וקטורים שאינם אפס קוכיווני אם הם עומדים בשני תנאים:

1. וקטורים אלה הם קולינאריים.
2. אם הם מכוונים לכיוון אחד (איור 3).

סימון: $\overline(a)\overline(b)$

הגדרה 5

נקרא לשני וקטורים שאינם אפס מכוונים הפוכים אם הם עומדים בשני תנאים:

1. וקטורים אלה הם קולינאריים.
2. אם הם מכוונים לכיוונים שונים (איור 4).

סימון: $\overline(a)↓\overline(d)$

הגדרה 6

אורך הווקטור $\overline(a)$ יהיה אורך הקטע $a$.

סימון: $|\overline(a)|$

נעבור לקביעת השוויון של שני וקטורים

הגדרה 7

נקרא לשני וקטורים שווים אם הם עומדים בשני תנאים:

1. הם דו-כיווניים;
2. אורכם שווים (איור 5).

הקרנה גיאומטרית

כפי שאמרנו קודם, התוצאה של הקרנה גיאומטרית תהיה וקטור.

הגדרה 8

ההשלכה הגיאומטרית של הווקטור $\overline(AB)$ על ציר היא וקטור שמתקבל באופן הבא: נקודת המוצא של הווקטור $A$ מוקרנת על ציר זה. נקבל את הנקודה $A"$ - תחילתו של הווקטור הרצוי. נקודת הסיום של הווקטור $B$ מוקרנת על ציר זה. נקבל את הנקודה $B"$ - סוף הווקטור הרצוי. הווקטור $\overline(A"B")$ יהיה הווקטור הרצוי.

בואו נבחן את הבעיה:

דוגמה 1

בנה השלכה גיאומטרית $\overline(AB)$ על ציר $l$ המוצג באיור 6.

הבה נצייר מאונך מנקודה $A$ לציר $l$, נקבל עליו נקודה $A"$. לאחר מכן, נצייר מאונך מנקודה $B$ לציר $l$, נקבל את נקודה $B "$ עליו (איור 7).

הקרנת קווים ומשטחים שונים על מישור מאפשרת לבנות תמונה ויזואלית של אובייקטים בצורה של ציור. נשקול הקרנה מלבנית, שבה הקרניים המקרינות מאונכות למישור ההקרנה. הקרנה של וקטור במטוס ראו את הווקטור = (איור 3.22), מוקף בין הניצבים שהושמטו מתחילתו וסופו.

אורז. 3.22. הקרנה וקטורית של וקטור על מישור.

אורז. 3.23. הקרנה וקטורית של וקטור על ציר.

באלגברה וקטורית, לעתים קרובות יש צורך להקרין וקטור על AXIS, כלומר על קו ישר בעל אוריינטציה מסוימת. עיצוב כזה קל אם הווקטור וציר L נמצאים באותו מישור (איור 3.23). עם זאת, המשימה הופכת קשה יותר כאשר תנאי זה אינו מתקיים. הבה נבנה השלכה של הווקטור על הציר כאשר הווקטור והציר אינם נמצאים באותו מישור (איור 3.24).

אורז. 3.24. הקרנת וקטור על ציר
בכללי.

דרך קצוות הווקטור אנו מציירים מישורים מאונכים לישר L. במפגש עם הישר הזה, מישורים אלו מגדירים שתי נקודות A1 ו-B1 - וקטור, שנקרא לו הקרנה וקטורית של וקטור זה. הבעיה של מציאת הקרנה וקטורית יכולה להיפתר ביתר קלות אם הווקטור מוכנס לאותו מישור כמו הציר, דבר שניתן לעשות שכן וקטורים חופשיים נחשבים באלגברה וקטורית.

יחד עם ההקרנה הווקטורית קיימת גם SCALAR PROJECTION השווה למודול ההקרנה הווקטורית אם ההקרנה הווקטורית עולה בקנה אחד עם הכיוון של ציר L, ושווה לערכו ההפוך אם הקרנת הווקטור וה-L לציר יש כיוון הפוך. נסמן את ההשלכה הסקלרית:

תחזיות וקטוריות וסקלריות אינן תמיד מופרדות באופן טרמינולוגי באופן קפדני בפועל. בדרך כלל משתמשים במונח "הקרנת וקטור", כלומר הקרנה סקלרית של וקטור. בעת קבלת החלטה, יש צורך להבחין בבירור בין מושגים אלו. בהתאם למסורת שנקבעה, נשתמש במונחים "הקרנה וקטורית", כלומר הקרנה סקלרית, ו"הקרנה וקטורית" - בהתאם למשמעות שנקבעה.

הבה נוכיח משפט המאפשר לנו לחשב את ההטלה הסקלרית של וקטור נתון.

משפט 5. השלכת וקטור על ציר L שווה למכפלת המודולוס שלו והקוסינוס של הזווית בין הווקטור לציר, כלומר

(3.5)

אורז. 3.25. מציאת וקטור וסקלאר
הקרנות וקטוריות על ציר L
(וציר L מכוונים באותה מידה).

הוכחה. תחילה נבצע קונסטרוקציות המאפשרות לנו למצוא את הזווית Gבין הווקטור לציר L. לשם כך נבנה ישר MN, מקביל לציר L ועובר בנקודה O - תחילת הווקטור (איור 3.25). הזווית תהיה הזווית הרצויה. הבה נצייר שני מישורים דרך נקודות A ו-O, בניצב לציר L. נקבל:

מכיוון שציר L והקו הישר MN מקבילים.

הבה נדגיש שני מקרים של מיקום יחסי של הווקטור ושל ציר L.

1. הניחו להקרנה הווקטורית ולציר L להיות מכוונים באופן שווה (איור 3.25). ואז ההקרנה הסקלרית המתאימה .

2. תנו ו-L להיות מכוונים בכיוונים שונים (איור 3.26).

אורז. 3.26. מציאת ההקרנות הווקטוריות והסקלריות של הווקטור על ציר L (וציר L מכוון בכיוונים מנוגדים).

לפיכך, בשני המקרים המשפט נכון.

משפט 6. אם המקור של הווקטור מובא לנקודה מסוימת על ציר L, והציר הזה ממוקם במישור s, הווקטור יוצר זווית עם הקרנת הווקטור במישור s, וזווית עם הווקטור. הקרנה על ציר L, בנוסף, ההקרנות הווקטוריות עצמן יוצרות זווית זו עם זו , זה