מוצקים אפלטוניים בקצרה. בניית פרימיטיבים גרפיים

כל מי שלמד גיאומטריה מקודשת, או אפילו רק גיאומטריה רגילה, יודע שיש חמש צורות ייחודיות, והן חיוניות להבנת הגיאומטריה הקדושה והרגילה כאחד. הם נקראים מוצקים אפלטוניים(איור 6-15>).

המוצק האפלטוני מוגדר על ידי מאפיינים מסוימים. קודם כל, כל הפנים שלו באותו גודל. לדוגמה, לקובייה, המפורסמת מבין המוצקים האפלטוניים, יש ריבוע על כל פנים, וכל פניה באותו גודל. שנית, כל הקצוות של המוצק האפלטוני הם באותו אורך; כל הקצוות של קובייה זהים באורך. שלישית: כל הזוויות הפנימיות בין הפנים הן בגודל זהה. במקרה של קובייה, זווית זו היא 90 מעלות. ורביעית: אם המוצק האפלטוני ממוקם בתוך כדור (בעל צורה קבועה), אז כל קודקודיו יגעו במשטח הכדור. הגדרות כאלה, למעט קובה(א), רק ארבע צורות שיש להן את כל המאפיינים הללו עונות. השני יהיה אַרְבָּעוֹן(ב) (טטרה פירושו "ארבע") הוא רב-הדרון בעל ארבע פנים, כולם משולשים שווי-צלעות, אורכי קצה שווים וזוויות שוות, וכן - כל הקודקודים הנוגעים לפני השטח של כדור. צורה פשוטה נוספת היא אוקטהדרון(C) (okta פירושו "שמונה"), כל שמונת הפרצופים הם משולשים שווי צלעות באותו גודל, אורכי הקצוות והפינות זהים, וכל הקודקודים נוגעים בפני השטח של הכדור.

שני המוצקים האפלטוניים האחרים קצת יותר מסובכים. אחד נקרא איקוסהדרון(ד) - זה אומר שיש לו 20 פרצופים שנראים כמו משולשים שווי צלעות עם אותו אורך של קצוות ופינות; כל הקודקודים שלו נוגעים גם בפני השטח של הכדור. האחרון נקרא מחומש דודקהדרון(ה) (דודקה הוא 12), פניהם 12 מחומשים (מחומשים) בעלי אותו אורך קצוות ואותן זוויות; כל הקודקודים שלו נוגעים לפני השטח של הכדור.

אם אתה מהנדס או אדריכל, למדת את חמש הצורות הללו בקולג', לפחות באופן שטחי, כי הם מבנים בסיסיים.

המקור שלהם: הקובייה של מטטרון

אם אתה לומד גיאומטריה מקודשת, זה לא משנה איזה ספר אתה פותח: זה יראה לך את חמשת המוצקים האפלטוניים, כי הם ה-ABC של הגיאומטריה המקודשת. אבל אם אתה קורא את כל הספרים האלה - ואני קורא כמעט את כולם - ותשאל את המומחים: "מאיפה מגיעים מוצקים אפלטוניים? מה המקור שלהם?”, ואז כמעט כולם יגידו שהוא לא יודע. העובדה היא שחמשת המוצקים האפלטוניים הללו מקורם במערכת המידע הראשונה של פרי החיים. חבוי בשורות הקובייה של מטטרון (ראה.
איור 6-14> ), כל חמש הצורות הללו קיימות שם. כשאתה מסתכל על הקובייה של מטטרון, אתה מסתכל על כל חמשת המוצקים האפלטוניים בו זמנית. כדי לראות כל אחד מהם טוב יותר, תצטרך לעשות את הטריק שבו מחקת שוב כמה מהשורות. על ידי מחיקת כל השורות מלבד כמה ספציפיות, תקבל את הקובייה הזו (איור 6-16 >).

ובכן, אתה רואה את הקובייה? במציאות, זו קובייה בתוך קובייה. חלק מהקווים מנוקדים מכיוון שהם מסתיימים מאחורי הקצוות הקדמיים. הם בלתי נראים אם הקובייה הופכת לגוף מוצק ואטום. הנה הצורה האטומה של הקובייה הגדולה יותר (איור 6-16a>). (וודא שאתה יכול לראות את זה, כי זה יהפוך יותר ויותר קשה לראות את הדמויות הבאות ככל שנתקדם).

על ידי מחיקת קווים מסוימים וחיבור מרכזים אחרים (
איור 6-17>), מקבלים שני טטרהדרונים המוכנסים זה לזה, היוצרים טטרהדרון כוכב. כמו בקובייה, אתה למעשה מקבל שני טטרהדרות של כוכבים, אחד בתוך השני. הנה הצורה המוצקה של טטרהדרון כוכב גדול יותר (איור 6-17a>).

איור 6-18> הוא אוקטהדרון בתוך אוקטהדרון אחר, למרות שאתה מסתכל עליהם מזווית מיוחדת מסוימת. איור 6-18a> הוא גרסה אטומה של האוקטהדרון הגדול יותר.

איור 6-19> הוא איקוסהדרון אחד בתוך אחר, ואיור 6-19a> הוא גרסה אטומה של הגרסה הגדולה יותר. זה נהיה איכשהו קל יותר אם אתה מסתכל על זה כך.

אלו אובייקטים תלת מימדיים הנובעים משלושה עשר המעגלים של פרי החיים.

זהו ציור של שולמית וולף - ישו הילד בתוך איקוסהדרון (
איור 6-20>), וזה נכון מאוד, שכן האיקוסהדרון, כפי שתראו כעת, מייצג מים, והמשיח הוטבל במים, תחילתה של תודעה חדשה.

זוהי הצורה החמישית והאחרונה - שני דודקהדרונים מחומשים, אחד בתוך השני (איור 6-21>) (רק הדודקהדרון הפנימי מוצג כאן לשם הפשטות).

אורז. 21 הוא צורה מוצקה.

כפי שראינו, ניתן למצוא את כל חמשת המוצקים האפלטוניים בקוביית מטטרון ( איור 6-22>).

חסרים שורות

כשחיפשתי את המוצק האפלטוני האחרון בקוביית מטטרון, הדודקהדרון, זה לקח לי בערך עשרים שנה. אחרי שהמלאכים אמרו, "כולם בפנים", התחלתי לחפש, אבל לא מצאתי את הדודקהדרון. לבסוף, יום אחד אמר לי תלמיד: "היי, דרונבולו, שכחת כמה מהשורות של הקובייה של מטטרון." כשהוא הראה להם, הסתכלתי ואמרתי: "אתה צודק, שכחתי." חשבתי שחיברתי את כל המרכזים אחד עם השני, אבל מסתבר ששכחתי כמה. לא פלא שלא הצלחתי למצוא את הדודקהדרון הזה כי הוא הוגדר על ידי הקווים החסרים האלה! במשך למעלה מעשרים שנה הייתי משוכנע שכל הקווים שרטו לי, כשאין לי.

זו אחת הבעיות הגדולות של המדע כשחושבים שבעיה נפתרת; ואז הוא ממשיך הלאה ומשתמש במידע הזה כדי לקדם את בנייתו. כעת, למשל, למדע יש את אותו סוג של בעיה סביב גופים שנופלים בחלל ריק. תמיד האמינו שהם נופלים באותו קצב, וחלק ניכר מהמדע המתקדם שלנו מבוסס על "חוק" יסודי זה. הוכח שזה לא כך, אבל המדע ממשיך להשתמש בזה בכל מקרה. כדור מסתובב נופל מהר יותר באופן משמעותי מכדור שאינו מסתובב. מתישהו יבוא יום של התחשבנות מדעית.

כשהייתי נשוי למקי, היא גם התלהבה מאוד מהגיאומטריה הקדושה. העבודה שלה מאוד מעניינת אותי כי היא מייצגת את ההיבט הנשי, שבו פועלות האנרגיות המחומשות של ההמיספרה הימנית של המוח. זה מראה כיצד רגשות, צבעים וצורות כולם קשורים זה בזה. למעשה, היא מצאה את הדודקהדרון בקוביית מטטרון לפני שמצאתי. היא לקחה את זה ועשתה משהו שלעולם לא הייתי חושב עליו. אתה מבין, הקובייה של מטטרון מצוירת בדרך כלל על משטח שטוח, אבל היא למעשה צורה תלת מימדית. אז, יום אחד החזקתי את הצורה התלת מימדית הזו בידיים וניסיתי למצוא שם דודקהדרון, ומקי אמר, "תן לי להסתכל על הדבר הזה." היא לקחה את הצורה התלת מימדית וסובב אותה דרך זווית הפרופורציה f (יחס phi). (מה שעדיין לא דיברנו עליו הוא שהיחס של ממוצע הזהב, הנקרא גם f (יחס phi), הוא בדיוק 1.618). סיבוב הצורה בדרך זו היה משהו שלעולם לא הייתי חושב עליו. לאחר שעשתה זאת, היא תיארה את הצללים באמצעות טופס זה וקיבלה את התמונה הבאה (
איור 6-23>).

מקי יצרה אותו קודם בעצמה ואז העבירה אותו אליי. המרכז כאן נמצא בפנטגון A. לאחר מכן, אם אתה לוקח את חמשת המחומשים היוצאים מ-A (מחומש B) ומחומש נוסף שיוצא מכל אחד מחמשת אלה (מחומש C), תקבל מוּרחָבדודקהדרון. חשבתי, "וואו, זו הפעם הראשונה שאני מוצא את זה כאן." למעשה סוג של דודקהדרון." היא עשתה זאת בשלושה ימים. לא הצלחתי למצוא אותו במשך שתים עשרה שנים תמימות.

יום אחד בילינו כמעט את כל היום בהסתכלות על התמונה הזו. היא הייתה מדהימה כי כל אחדהקווים בתמונה זו תואמים את הפרופורציות של אמצע הזהב. ובכל מקום כאן יש מלבנים תלת מימדיים של אמצע הזהב. יש אחד בנקודה E, שבה שני היהלומים, העליון והתחתון, הם החלק העליון והתחתון של המלבן התלת מימדי של אמצע הזהב, והקווים המקווקוים הם הקצוות שלו. זה חומר מדהים. אמרתי, "אני לא יודע מה זה, אבל זה כנראה מאוד חשוב." אז, שמנו את זה בצד כדי לחשוב על זה מאוחר יותר.

קוואזי-גבישים

מאוחר יותר למדתי על מדע חדש לחלוטין. המדע החדש הזה ישנה לחלוטין את עולם הטכנולוגיה. עם הטכנולוגיה החדשה, מטלורגים כנראה יוכלו ליצור מתכת קשה פי עשרה מיהלום, אם אתה יכול לדמיין את זה. זה יהיה עמיד להפליא.

במשך זמן רב נחקרו מתכות באמצעות טכניקה הנקראת דיפרקציה של קרני רנטגן כדי לראות היכן ממוקמים אטומים. בקרוב אראה לך תמונת עקיפה בקרני רנטגן. התגלו מודלים מיוחדים מסוימים הקובעים את קיומם של מבנים אטומיים מסוימים בלבד. נראה היה שזה כל מה שאפשר לדעת, כי זה כל מה שאפשר לגלות. זה הגביל את היכולת לייצר מתכות.

לאחר מכן, המגזין Scientific American הפעיל משחק שהתבסס על מודל פנרוז. היה מתמטיקאי ורלטיביסט בריטי, רוג'ר פנרוז, שהבין כיצד להניח אריחים בצורת מחומש כך שיכסו לחלוטין משטח שטוח. אי אפשר לכסות לגמרי משטח שטוח באריחים בצורת מחומשים בלבד - אין דרך לגרום לזה לעבוד. לאחר מכן הוא הציע שתי צורות יהלום שנגזרו מהפנטגון, ובאמצעות שתי הצורות הללו הוא הצליח ליצור דוגמאות רבות ושונות המכסות משטח שטוח. בשנות השמונים הציע המגזין Scientific American משחק, שתמציתו הייתה לקפל את הדגמים הנתונים הללו לצורות חדשות; זה איפשר לאחר מכן למדענים מתכות שצפו במשחק להציע את קיומו של משהו חדש בפיזיקה.

בסופו של דבר, הם גילו דגם חדש של הסריג האטומי. זה תמיד היה קיים; הם רק גילו את זה. דפוסי הסריג הללו נקראים כיום קוואזי-גבישים; זה תופעה חדשה (1991). באמצעות מתכות הם מבינים אילו צורות ותבניות אפשריות. מדענים מוצאים דרכים להשתמש בצורות ובדוגמאות אלה לייצור מוצרי מתכת חדשים. אני מוכן להמר שהדגם שמקי קיבל מ-Metatron's Cube הוא המדהים מכולם, ושכל דגם של פנרוז הוא נגזרת שלו. למה? מכיוון שהכל כפוף לחוק חתך הזהב, זה בסיסי - זה הגיע ישירות מהדגם הראשי בקובייה של מטטרון. למרות שזה לא ענייני, מתישהו כנראה אקבע אם זה נכון. אני רואה שבמקום להשתמש בשני דגמי פנרוז ומחומש, הוא משתמש רק באחד מהדגמים הללו ובמחומש (רק חשבתי שהייתי מציע את האפשרות הזו). מה שקורה במדע החדש הזה עכשיו הוא מעניין.

מידע אחרון: לפי דיוויד אדאיר, נאס"א ייצרה זה עתה מתכת בחלל שחזקה פי 500 מטיטניום, קלה כמו קצף ושקופה כמו זכוכית. האם זה מבוסס על החוקים האלה?

ככל שהאירועים בספר זה יתפתחו, תגלו שגיאומטריה מקודשת יכולה להסביר כל נושא בפירוט. אין דבר אחד שאתה יכול לומר בקול שלך שלא יכול להיות מתואר לחלוטין, מלא ומושלם, תוך התחשבות בכל הידע האפשרי, גיאומטריה מקודשת. (אנו מבחינים בין המושגים "ידע" ו"חכמה": חוכמה זקוקה לניסיון). עם זאת, המטרה החשובה יותר של עבודה זו היא להזכיר לכם שלעצמכם יש את הפוטנציאל של שדה מר-קה-בה חי סביב גופכם וללמד אתכם כיצד להשתמש בו. אני אגיע כל הזמן למקומות שבהם אני סוטה לכל מיני שורשים וענפים ואדבר על כל מיני נושאים שאפשר להעלות על הדעת ובלתי נתפסים. אבל אני תמיד אחזור למסלול, כי אני מוביל הכל בכיוון אחד ספציפי, לעבר המר-קה-בה, הגוף הקל של האדם.

ביליתי שנים רבות בלימוד גיאומטריה מקודשת, ואני בטוח שאתה יכול ללמוד כל מה שבדרך כלל אפשר לדעת, כל מה שאתה רוצה על כל נושא, אתה רק צריך למקד את תשומת הלב שלך בגיאומטריה החבויה מאחורי הנושא הזה. כל מה שאתה צריך זה מצפן וסרגל - אתה אפילו לא צריך מחשב, למרות שזה עוזר. כל הידע שכבר יש לך בתוכך, וכל מה שאתה צריך לעשות הוא לחשוף אותו. אתה פשוט בוחן את מפת תנועת הרוח בריק הגדול, זה הכל. אתה יכול לפענח את המסתורין של כל חפץ.

לסיכום: מערכת המידע הראשונה יוצאת מפרי החיים דרך הקובייה של מטטרון. על ידי חיבור המרכזים של כל הספירות מקבלים חמש דמויות - בעצם שש, כי עדיין יש כדור מרכזי שממנו הכל התחיל. אז יש לך שש צורות מקוריות - טטרהדרון, קובייה, אוקטהדרון, איקוסהדרון, דודקהדרון וכדור.

מידע אחרון: בשנת 1998 אנו מתחילים לפתח מדע חדש נוסף: ננוטכנולוגיה. יצרנו "מכונות" מיקרוסקופיות שיכולות להיכנס לתוך מטריצות מתכת או גבישיות ולסדר מחדש אטומים. בשנת 1996 או 1997 נוצר יהלום מגרפיט באמצעות ננוטכנולוגיה באירופה. זה יהלום בקוטר של כמטר, והוא אמיתי. כאשר מדע הקוואזי-גבישים והננוטכנולוגיה יתחברו יחדיו, גם ההבנה שלנו לגבי החיים תשתנה. תסתכל על סוף המאה ה-18 בהשוואה להיום.

מוצקים ואלמנטים אפלטוניים

אלכימאים קדומים ונשמות גדולות כמו פיתגורס, אבי יוון, האמינו שכל אחת משש הדמויות הללו היא דגם של הדמויות המקבילות. אֵלֵמֶנט (איור 6-24>).

הטטרהדרון נחשב לדגם של יסוד האש, הקובייה - של אדמה, האוקטהדרון - של האוויר, האיקוסהדרון - של המים והדודקהדרון - של האתר. (אנרגיית אתר, פראנה וטכיון) כולם זהים; הוא נמצא בכל מקום ונגיש בכל נקודה במרחב/זמן/מימד. זוהי התעלומה הגדולה של טכנולוגיית נקודת האפס. והכדור מייצג את הריק. ששת היסודות הללו הם אבני הבניין של היקום. הם יוצרים את תכונות היקום.

האלכימיה מדברת בדרך כלל רק על היסודות הללו: אש, אדמה, אוויר ומים; לעתים רחוקות מוזכרים אתר או פראנה כי הם כל כך קדושים. בבית הספר בפיתגורס, אם רק היית מזכיר את המילה "דודקהדרון" מחוץ לכותלי בית הספר, היית נהרג במקום. הדמות הזו נחשבה כל כך קדושה. אפילו לא דיברו עליה. מאתיים שנה מאוחר יותר, במהלך חייו של אפלטון, הם דיברו על זה, אבל רק בזהירות רבה.

למה? כי הדודקהדרון ממוקם בקצה החיצוני שלך שדה אנרגיהוהוא הצורה הגבוהה ביותרתוֹדָעָה. כאשר תגיעו לגבול של 55 רגל של שדה האנרגיה שלכם, הוא יהיה בצורת כדור. אבל הדמות הפנימית הקרובה ביותר לכדור היא הדודקהדרון (למעשה מערכת יחסים דודקהדרלית-איקוסהדרלית). בנוסף לכך, אנו חיים בתוך דודקהדרון גדול המכיל את היקום. כשהמוח שלך מגיע לקצה גבול החלל - והגבול הוא כאן יש- ואז הוא נתקל בדודקהדרון סגור בכדור. אני יכול להגיד את זה כי גוף האדםהיא הולוגרמה של היקום ומכילה את אותם עקרונות וחוקים. שתים עשרה קבוצות הכוכבים של גלגל המזלות כלולים כאן. הדודקהדרון הוא הדמות הסופית של הגיאומטריה והיא חשובה מאוד. ברמה המיקרוסקופית, הדודקהדרון והאיקוסהדרון הם פרמטרים יחסיים של ה-DNA, התוכניות שעליהן בנויים כל החיים.

אתה יכול לקשר את שלושת הפסים בתמונה זו ( איור 6-24>) עם עץ החיים ושלוש האנרגיות הראשוניות של היקום: זכר (שמאל), נקבה (ימין) וילדותי (במרכז). או, אם אתה מתעמק ישירות במבנה היקום, יש לך פרוטון משמאל, אלקטרון מימין ונייטרון באמצע. העמוד המרכזי הזה, שהוא יצירתי, הוא התינוק. זכרו, כדי להתחיל בתהליך היציאה מהריק, הלכנו מהאוקטהדרון לכדור. זוהי תחילתו של תהליך הבריאה, והיא מצויה בתינוק, או בעמודה המרכזית.

העמודה השמאלית, המכילה טטרהדרון וקוביה, מייצגת את המרכיב הגברי של התודעה, ההמיספרה השמאלית של המוח. פניהם של מצולעים אלה הם משולשים או ריבועים. העמוד המרכזי הוא ה-corpus callosum, המחבר בין צד שמאל וצד ימין. העמודה הימנית המכילה את הדודקהדרון והאיקוסהדרון מייצגת את המרכיב הנשי של התודעה, ההמיספרה הימנית של המוח, והפנים של המצולעים הללו מורכבים ממשולשים ומחומשים. לפיכך, למצולעים משמאל יש פנים של שלושה וארבעה קצוות, ולצורות מימין יש פנים של שלושה וחמישה קצוות.

בשפת התודעה הארצית, העמוד הימני הוא המרכיב החסר. יצרנו את הצד הגברי (השמאלי) של תודעת כדור הארץ, וכעת, על מנת להשיג שלמות ואיזון, אנו משלימים את יצירת המרכיב הנשי. צד ימיןקשור גם לתודעת המשיח או לתודעת האחדות. הדודקהדרון הוא הצורה הבסיסית של הרשת של תודעת המשיח סביב כדור הארץ. שתי הצורות של העמודה הימנית מייצגות יחסית זו לזו את מה שנקרא דמויות זוגיות, כלומר, אם מחברים את מרכזי פני הדודקהדרון בקווים ישרים, מקבלים איקוסהדרון, אבל אם מחברים את המרכזים של איקוסהדרון, להשיג שוב דודקהדרון. לפוליהדרות רבות יש זוגות.

קדוש 72

ספרו של דן וינטר, Heartmath, מראה שמולקולת ה-DNA מורכבת מהיחסים הכפולים של דודקהדרונים ואיקוסהדרונים. ניתן גם לראות שמולקולת ה-DNA היא קובייה מסתובבת. כאשר מסובבים את הקוביה ברצף ב-72 מעלות לפי מודל מסוים, מתקבל איקוסהדרון, שבתורו יוצר זוג עם דודקהדרון. לפיכך, הגדיל הכפול של סליל ה-DNA בנוי על עיקרון של התכתבות דו-כיוונית: אחרי האיקוסהדרון מגיע הדודקהדרון, ואז האיקוסהדרון שוב, וכן הלאה. סיבוב זה דרך הקובייה יוצר מולקולת DNA. כבר נקבע כי מבנה ה-DNA מבוסס על גיאומטריה מקודשת, אם כי ייתכן שיתגלו קשרים נסתרים אחרים.

זווית זו של 72 מעלות מסתובבת ב-DNA שלנו קשורה לתוכנית/מטרה של האחווה הלבנה הגדולה. כפי שאתה אולי יודע, ישנם 72 מסדרים הקשורים לאחים הלבנים הגדולים. רבים מדברים על 72 סדרים של מלאכים, והיהודים מזכירים 72 שמות של אלוהים. הסיבה לכך שהוא 72 קשורה למבנה המוצקים האפלטוניים, שקשור גם לרשת של תודעת ישו מסביב לכדור הארץ.

אם תיקחו שני טטרהדרונים ותשימו אותם זה על גבי זה (אך במיקומים שונים), תקבלו טטרהדרון כוכב, אשר במבט מזווית מסוימת לא יראה אלא קובייה ( איור 6-25>). אתה יכול לראות איך הם מחוברים זה לזה. באותו אופן, ניתן להוסיף חמש טטרהדרות יחד ליצירת כובע איקוסהדרלי (איור 6-26).

אם אתה יוצר שתים עשרה כובעים איקוסהדרליים ותניח אחד על כל פנים של הדודקהדרון (ייקח 5 פעמים 12 או 60 טטרהדרות כדי ליצור דודקהדרון), אז זה יהיה כוכב - מכוכבים- דודקהדרון, כי כל אחד מקודקודיו נמצא בדיוק מעל מרכז כל פנים של הדודקהדרון. הדמות המזווגת אליו תורכב מ-12 קודקודים במרכז כל פנים של הדודקהדרון ותתברר כאיקוסהדרון. 60 הטטרהדרונים הללו בתוספת 12 נקודות במרכזים יצטברו ל-72 - שוב מספר המסדרים הקשורים לאחים הלבנים. האחווה פועלת למעשה דרך היחסים הפיזיים של צורת כוכב הדודקהדרון/איקוסהדרון זו, שהיא הבסיס לרשת של תודעת ישו ברחבי העולם. במילים אחרות, האחווה עושה ניסיונות לזהות את התודעה של ההמיספרה הימנית של המוח של הפלנטה.

המסדר המקורי היה מסדר האלפא והאומגה של מלכיצדק, אשר נוסד על ידי מכיוונטה מלכיצדק לפני כ-200,200 שנה. מאז נוסדו מסדרים נוספים, בסך הכל 71. הצעיר ביותר הוא אחוות שבע הקרניים בפרו/בוליביה, המסדר השבעים ושתיים.

לכל אחד מ-72 המסדרים יש קצב חיים הדומה לגל סינוס, שבו חלק מהם מופיעים לפרק זמן מסוים, ואז נעלמים לזמן מה. יש להם ביוריתמוסים בדיוק כמו שיש לגוף האנושי שלהם. המחזור של המסדר הרוסיקרוסי, למשל, נמשך מאה שנה. הם מופיעים במשך מאה שנים, ואז במשך מאה השנים הבאות הם נעלמים לחלוטין - הם ממש נעלמים מעל פני כדור הארץ. לאחר מאה שנים, הם מופיעים שוב בעולם הזה ופועלים במאה השנים הבאות.

כולם נמצאים במחזורים שונים וכולם עובדים יחד כדי להשיג מטרה אחת - להחזיר את תודעת המשיח לכוכב הזה, לשחזר את המרכיב הנשי האבוד הזה של התודעה ולהביא לאיזון להמיספרות השמאלית והימנית של המוח של הפלנטה. יש דרך אחרת להסתכל על התופעה הזו, שהיא באמת יוצאת דופן. אני אגיע לזה כשנדבר על אנגליה.

שימוש בפצצות והבנת המודל הבסיסי של הבריאה

שאלה: מה קורה ליסודות כאשר מפוצצת פצצת אטום?

באשר ליסודות, הם מומרים לאנרגיה ולאלמנטים אחרים. אבל זה לא רק זה. ישנם שני סוגים של פצצות: ריקבון ונמס - תרמו-גרעיני. ריקבון מפצל חומר לחתיכות, והתגובה התרמו-גרעינית ממזגת אותו יחד. ההיתוך ביחד בסדר - אף אחד לא מתלונן על זה. כל השמשות המוכרות ביקום הן כורי היתוך. אני מודע לכך שמה שאני אומר עכשיו עדיין לא מוכר על ידי המדע, אבל קריעת החומר לחתיכות כאן על כדור הארץ משפיעה על האזור המקביל בחלל החיצון - גם למעלה וגם למטה. במילים אחרות, מיקרוקוסמוס ומקרוקוסמוס קשורים זה בזה. זו הסיבה שתגובת הריקבון אינה חוקית בכל היקום.

פיצוץ פצצות אטום גורם גם לחוסר איזון מפלצתי בכדור הארץ. למשל, אם ניקח בחשבון שהבריאה מאזנת בין אדמה, אוויר, אש, מים ואתר, הרי שפצצת אטום גורמת לביטוי של כמות עצומה של אש במקום אחד. זה מוביל לחוסר איזון וכדור הארץ חייב להגיב לזה.

אם תשפוך 80 מיליארד טון מים על עיר, זה גם יהיה מצב לא מאוזן. אם במקום כלשהו יש יותר מדי אוויר, יותר מדי מים, יותר מדי מה שלא יהיה, אז זה מפר את האיזון. אלכימיה היא הידע כיצד לשמור על איזון כל התופעות הללו. אם אתה מבין את המשמעות של צורות גיאומטריות אלה ומכיר את מערכות היחסים ביניהן, אז אתה יכול ליצור מה שאתה רוצה. כל הרעיון הוא להבין את הבסיס קלפים. זכור, המפה מציגה את הנתיב שהרוח נעה בריק. אם אתה מכיר את המפה הבסיסית, אז יש לך את הידע וההבנה הדרושים ליצירה משותפת עם אלוהים.

איור 6-27> מציג את הקשר של כל הדמויות הללו. כל קודקוד מחובר לקודקוד הבא וכולם נמצאים בקשרים מתמטיים מסוימים הקשורים לפרופורציה f (יחס phi).

סטחוב א.פ.

"צופן דה וינצ'י", מוצקים אפלטוניים וארכימדיים, קוואזי-גבישים, פולרנים, סריגי פנרוז ועולמה האמנותי של האם טייה קראשק

ביאור

עבודתה של האמנית הסלובנית מתיושקה טיה קראשק אינה ידועה לקורא דובר הרוסית. במקביל, במערב הוא מכונה "Escher המזרח אירופי" ו"המתנה הסלובנית" לקהילה התרבותית העולמית. היצירות האמנותיות שלה שואבות השראה מהתגליות המדעיות האחרונות (פולרנים, קוואזי-גבישים של דן שכטמן, אריחי פנרוז), אשר, בתורם, מבוססים על מצולעים רגילים וחצי-סדירים (מוצקים אפלטוניים וארכימדיים), יחס הזהב ומספרי פיבונאצ'י.

מהו צופן דה וינצ'י?

אין ספק שכל אדם חשב יותר מפעם אחת על השאלה מדוע הטבע מסוגל ליצור מבנים הרמוניים מדהימים כל כך שמשמחים ומשמחים את העין. מדוע אמנים, משוררים, מלחינים, אדריכלים יוצרים יצירות אמנות מדהימות ממאה למאה. מהו סוד ההרמוניה שלהם ואילו חוקים עומדים בבסיס היצורים הרמוניים הללו?

החיפוש אחר החוקים הללו, "חוקי ההרמוניה של היקום", החל במדע העתיק. בתקופה זו של ההיסטוריה האנושית הגיעו מדענים למספר תגליות מדהימות שמחלחלות לכל ההיסטוריה של המדע. הראשון שבהם נחשב בצדק לפרופורציה מתמטית נפלאה המבטאת הרמוניה. קוראים לזה אחרת: "פרופורציה של זהב", "מספר זהב", "ממוצע זהב", "יחס הזהב"ואפילו "פרופורציה אלוהית" יחס הזהבהמכונה גם מספר PHIלכבודו של הפסל היווני הקדום הגדול פידיאס, שהשתמש במספר זה בפסליו.

מותחן "צופן דה וינצ'י", שכתב הסופר האנגלי הפופולרי דן בראון, הפך לרב מכר של המאה ה-21. אבל מה המשמעות של צופן דה וינצ'י? ישנן תשובות שונות לשאלה זו. זה ידוע כי "חתך הזהב" המפורסם היה נושא תשומת הלב והקסם של לאונרדו דה וינצ'י. יתר על כן, עצם השם "חתך הזהב" הוכנס לתרבות האירופית על ידי לאונרדו דה וינצ'י. ביוזמתו של לאונרדו, פרסם המתמטיקאי והנזיר המדעי האיטלקי המפורסם לוקה פאציולי, חבר ויועץ מדעי של ליאונרדו דה וינצ'י, את הספר "דיווינה פרופורציונלית", היצירה המתמטית הראשונה בספרות העולמית על חתך הזהב, שהמחבר כינה "אלוהי". פּרוֹפּוֹרצִיָה". ידוע גם שליאונרדו עצמו אייר את הספר המפורסם הזה, וצייר עבורו 60 רישומים נפלאים. עובדות אלו, שאינן מוכרות היטב לקהילה המדעית הכללית, הן שנותנות לנו את הזכות להעלות את ההשערה ש"צופן דה וינצ'י" אינו אלא "יחס הזהב". ואישור להשערה זו ניתן למצוא בהרצאה לסטודנטים באוניברסיטת הרווארד, אשר נזכרת על ידי הדמות הראשית של הספר "צופן דה וינצ'י", פרופ. לנגדון:

"למרות המקורות הכמעט מיסטיים שלו, מספר PHI שיחק תפקיד ייחודי בדרכו שלו. תפקידה של לבנה ביסוד בניית כל החיים על פני כדור הארץ. כל הצמחים, החיות ואפילו בני האדם ניחנים בפרופורציות פיזיקליות השוות בקירוב לשורש היחס בין מספר PHI ל-1. נוכחות זו של PHI בטבע... מעידה על הקשר של כל היצורים החיים. בעבר האמינו שמספר ה-PHI נקבע מראש על ידי בורא היקום. מדענים מהעת העתיקה כינו נקודה אחת שש מאות ושמונה עשרה אלפיות "הפרופורציה האלוהית".

לפיכך, המספר האי-רציונלי המפורסם PHI = 1.618, אשר לאונרדו דה וינצ'י כינה "יחס הזהב", הוא "צופן דה וינצ'י"!

תגלית מתמטית נוספת של המדע העתיק היא פוליהדרה רגילהשנקראו בשמות "מוצקים אפלטוניים"ו "פוליהדרה רגילה למחצה", שקוראים לו "מוצקים ארכימדיים".הדמויות הגיאומטריות המרחביות היפות להפליא הללו הן שעומדות בבסיס שתיים מהתגליות המדעיות הגדולות ביותר של המאה ה-20 - קוואזי-גבישים(מחבר התגלית הוא הפיזיקאי הישראלי דן שכטמן) ו פולרנים(פרס נובל 1996). שתי התגליות הללו הן האישור המשמעותי ביותר לעובדה שפרופורציית הזהב היא הקוד האוניברסלי של הטבע ("צופן דה וינצ'י"), העומד בבסיס היקום.

גילוי הקוואזי-גבישים והפולרנים נתן השראה לאמנים עכשוויים רבים ליצור יצירות המתארות בצורה אמנותית את התגליות הפיזיקליות החשובות ביותר של המאה ה-20. אחד מהאמנים הללו הוא האמן הסלובני אמא טייה קראשק.מאמר זה מציג את עולמה האמנותי של אמא טייה קראשק דרך הפריזמה של התגליות המדעיות האחרונות.

מוצקים אפלטוניים

אדם מגלה עניין במצולעים רגילים ובפוליהדרות לאורך כל פעילותו המודעת - מילד בן שנתיים המשחק עם קוביות עץ ועד למתמטיקאי בוגר. חלק מהגופים הרגילים והחצי-סדירים מתרחשים בטבע בצורת גבישים, אחרים - בצורת וירוסים הניתנים לבדיקה באמצעות מיקרוסקופ אלקטרונים.

מהו פולידרון רגיל? פולידרון רגיל הוא פולידרון כזה, שכל פניו שוות (או חופפות) זה לזה ובו בזמן הם מצולעים רגילים. כמה פוליהדרות רגילות יש? במבט ראשון, התשובה לשאלה זו פשוטה מאוד – ישנם מצולעים רגילים כמו שיש. עם זאת, זה לא. באלמנטים של אוקלידס אנו מוצאים הוכחה קפדנית לכך שיש רק חמש פולי-הדרות רגילות קמורות, והפנים שלהן יכולות להיות רק שלושה סוגים של מצולעים רגילים: משולשים, ריבועיםו מחומשים (מחומשים רגילים).

ספרים רבים מוקדשים לתורת הפוליהדרה. אחד המפורסמים ביותר הוא ספרו של המתמטיקאי האנגלי M. Wenniger "Models of Polyhedra". ספר זה פורסם בתרגום לרוסית על ידי הוצאת מיר בשנת 1974. האפיגרף לספר הוא הצהרה של ברטרנד ראסל: "למתמטיקה יש לא רק אמת, אלא גם יופי גבוה - יופי מחודד וקפדני, טהור לעילא ושואף לשלמות אמיתית, האופיינית רק לדוגמאות הגדולות ביותר של אמנות."

הספר מתחיל בתיאור של מה שנקרא פוליהדרה רגילה, כלומר, פולי-הדרה שנוצרו על ידי המצולעים הרגילים הפשוטים ביותר מאותו סוג. הפוליהדרות הללו נקראות בדרך כלל מוצקים אפלטוניים(איור 1) , נקרא על שמו של הפילוסוף היווני הקדום אפלטון, שהשתמש בפוליהדרות רגילות שלו קוסמולוגיה.

תמונה 1.מוצקים אפלטוניים: (א) אוקטהדרון ("אש"), (ב) משושה או קובייה ("כדור הארץ"),

(ג) אוקטהדרון ("אוויר"), (ד) איקוסהדרון ("מים"), (ה) דודקהדרון ("מוח אוניברסלי")

נתחיל את השיקול שלנו עם פוליהדרה רגילה, שפניהם הם משולשים שווי צלעות.הראשון הוא אַרְבָּעוֹן(איור 1-א). בארבעהדרון, שלושה משולשים שווי צלעות נפגשים בקודקוד אחד; באותו זמן, הבסיסים שלהם יוצרים משולש שווה צלעות חדש. לטטרהדרון יש המספר הקטן ביותרפונה בין המוצקים האפלטוניים ומהווה אנלוגי תלת מימדי של השטוח משולש רגיל, בעל מספר הצלעות הקטן ביותר מבין מצולעים רגילים.

הגוף הבא, שנוצר על ידי משולשים שווי צלעות, נקרא אוקטהדרון(איור 1-ב). באוקטדרון נפגשים ארבעה משולשים בקודקוד אחד; התוצאה היא פירמידה עם בסיס מרובע. אם מחברים שתי פירמידות כאלה עם הבסיס שלהן, מקבלים גוף סימטרי עם שמונה פרצופים משולשים - אוקטהדרון.

עכשיו אתה יכול לנסות לחבר חמישה משולשים שווי צלעות בנקודה אחת. התוצאה תהיה דמות עם 20 פרצופים משולשים - איקוסהדרון(איור 1-ד).

צורת המצולע הרגילה הבאה היא: כיכר.אם נחבר שלושה ריבועים בנקודה אחת ואז נוסיף עוד שלושה, נקבל צורה מושלמת עם שש צלעות שנקראות משושהאוֹ קוּבִּיָה(איור 1-ג).

לבסוף, ישנה אפשרות נוספת לבניית פוליידרון רגיל, המבוססת על השימוש במצולע הרגיל הבא - מְחוּמָשׁ. אם נאסוף 12 מחומשים בצורה כזו ששלושה מחומשים נפגשים בכל נקודה, נקבל מוצק אפלטוני נוסף, שנקרא דודקהדרון(איור 1-ד).

המצולע הרגיל הבא הוא מְשׁוּשֶׁה. אולם אם נחבר שלושה משושים בנקודה אחת, נקבל משטח, כלומר אי אפשר לבנות דמות תלת מימדית ממשושים. כל מצולע רגיל אחר מעל משושה אינו יכול ליצור מוצקים כלל. משיקולים אלה עולה שיש רק חמש רב-הידרות רגילות, שפניהן יכולות להיות רק משולשים שווי צלעות, ריבועים ומחומשים.

יש קשרים גיאומטריים מדהימים בין כולם פוליהדרה רגילה. לדוגמה, קוּבִּיָה(איור 1-ב) ו אוקטהדרון(איור 1-ג) הם כפולים, כלומר. מתקבלים זה מזה אם לוקחים את מרכזי הכובד של הפנים של אחד כקודקודים של השני ולהיפך. באופן דומה כפול איקוסהדרון(איור 1-ד) ו דודקהדרון(איור 1-ד) . אַרְבָּעוֹן(איור 1-א) הוא כפול לעצמו. דודקהדרון מתקבל מקוביה על ידי בניית "גגות" על פניה (שיטה אוקלידית); קודקודי הטטרהדרון הם כל ארבעה קודקודים של הקובייה שאינם סמוכים בזוגיות לאורך קצה, כלומר, כל שאר הפוליהדרות הרגילות יכולות להיות מתקבל מהקובייה. עצם קיומן של רק חמש פולי-הדרות סדירות באמת מפתיעה - אחרי הכל, יש אינסוף מצולעים סדירים במישור!

מאפיינים מספריים של מוצקים אפלטוניים

מאפיינים מספריים עיקריים מוצקים אפלטונייםהוא מספר הצדדים של הפנים M,מספר הפרצופים הנפגשים בכל קודקוד, M,מספר פרצופים G, מספר קודקודים IN,מספר צלעות רומספר זוויות שטוחות Uעל פני השטח של פולידרון, אוילר גילה והוכיח את הנוסחה המפורסמת

B P + G = 2,

מספר חיבורים של קודקודים, קצוות ופנים של כל פוליהדרון קמור. המאפיינים המספריים לעיל ניתנים בטבלה. 1.

שולחן 1

מאפיינים מספריים של מוצקים אפלטוניים

פֵּאוֹן	מספר דפנות הקצוות M	מספר הפרצופים הנפגשים בקודקוד נ	מספר פרצופים	מספר קודקודים	מספר צלעות	מספר זוויות שטוחות על פני השטח
אַרְבָּעוֹן
משושה (קוביה)
איקוסהדרון
דודקהדרון

יחס הזהב בדודקהדרון ובאיקוסהדרון

הדודקהדרון והאיקוסהדרון הכפול שלו (איור 1-d,e) תופסים מקום מיוחד בין מוצקים אפלטוניים. קודם כל, יש להדגיש כי הגיאומטריה דודקהדרוןו איקוסהדרוןקשור ישירות ליחס הזהב. אכן, קצוות דודקהדרון(איור 1-ה) הם מחומשים, כלומר מחומשים רגילים המבוססים על יחס הזהב. אם מסתכלים מקרוב על איקוסהדרון(איור 1-ד), אז אתה יכול לראות שחמישה משולשים מתכנסים בכל אחד מהקודקודים שלו, צדדים חיצונייםאיזה צורה מְחוּמָשׁ. עובדות אלו לבדן מספיקות כדי לשכנע אותנו שיחס הזהב משחק תפקיד משמעותי בעיצוב של שני אלה מוצקים אפלטוניים.

אבל יש ראיות מתמטיות עמוקות יותר לתפקיד הבסיסי שמילא יחס הזהב ב איקוסהדרוןו דודקהדרון. ידוע שלגופים אלה יש שלושה ספירות ספציפיות. הכדור (הפנימי) הראשון כתוב בגוף ונוגע בפניו. הבה נסמן את הרדיוס של הכדור הפנימי הזה ב ר i. הכדור השני או האמצעי נוגע בצלעותיו. הבה נסמן את הרדיוס של כדור זה ב רמ.לבסוף, הכדור השלישי (החיצוני) מתואר סביב הגוף ועובר דרך קודקודיו. בואו נסמן את הרדיוס שלו ב ר ג. בגיאומטריה הוכח כי ערכי הרדיוסים של הספירות המצוינות עבור דודקהדרוןו איקוסהדרון, בעל קצה של יחידת אורך, מתבטא דרך פרופורציית הזהב t (טבלה 2).

שולחן 2

יחס הזהב בספירות של הדודקהדרון והאיקוסהדרון

איקוסהדרון
דודקהדרון

שימו לב שהיחס בין רדיוסים = זהה לזה של איקוסהדרון, ועבור דודקהדרון. לפיכך, אם דודקהדרוןו איקוסהדרוןיש להם כדורים חרוטים זהים, אז גם הספירות המוקפות שלהם שווים זה לזה. ההוכחה לתוצאה מתמטית זו ניתנת ב התחלותאוקלידס.

בגיאומטריה ידועים יחסים אחרים דודקהדרוןו איקוסהדרון, המאשר את הקשר שלהם עם יחס הזהב. למשל, אם ניקח איקוסהדרוןו דודקהדרוןעם אורך הצלעות, שווה לאחד, ומחשבים את השטח והנפח החיצוניים שלהם, ואז הם באים לידי ביטוי באמצעות פרופורציית הזהב (טבלה 3).

שולחן 3

יחס הזהב בשטח החיצוני ובנפח של הדודקהדרון והאיקוסהדרון

	איקוסהדרון	דודקהדרון
אזור חיצוני

לפיכך, יש מספר עצום של מערכות יחסים שהושגו על ידי מתמטיקאים עתיקים, המאשרים את העובדה המדהימה שבדיוק יחס הזהב הוא החלק העיקרי של הדודקהדרון והאיקוסהדרון, ועובדה זו מעניינת במיוחד מנקודת המבט של מה שנקרא "דוקטרינה דודקהדרלית-איקוסהדרלית"אשר נבחן להלן.

הקוסמולוגיה של אפלטון

הפוליהדרות הרגילות שנדונו לעיל נקראות מוצקים אפלטוניים, שכן הם תפסו מקום חשוב בתפיסה הפילוסופית של אפלטון לגבי מבנה היקום.

אפלטון (427-347 לפנה"ס)

ארבעה רב-הדרונים גילמו בו ארבע מהויות או "יסודות". אַרְבָּעוֹןמְסוּמָל אֵשׁ, כיוון שהחלק העליון שלו מכוון כלפי מעלה; איקוסהדרון — מים, כיוון שזהו הפולידרון "המיועל" ביותר; קוּבִּיָה — כדור הארץ, כפולידרון ה"יציב" ביותר; אוקטהדרון — אוויר, בתור הפולידרון הכי "אוורירי". הפוליהדרון החמישי דודקהדרון, גילם "כל מה שקיים", "מוח אוניברסלי", סימל את היקום כולו ונחשב הדמות הגיאומטרית העיקרית של היקום.

היוונים הקדמונים ראו ביחסים הרמוניים את הבסיס של היקום, ולכן ארבעת היסודות שלהם היו מחוברים בפרופורציה הבאה: אדמה/מים = אוויר/אש. האטומים של "היסודות" כוונו על ידי אפלטון בעיצורים מושלמים, כמו ארבעת המיתרים של לירה. הבה נזכור שהעיצור הוא עיצור נעים. בהקשר לגופים אלו, מן הראוי לומר שמערכת יסודות כזו, שכללה ארבעה יסודות – אדמה, מים, אוויר ואש, הוכרזה על ידי אריסטו. יסודות אלו נותרו ארבע אבני היסוד של היקום במשך מאות שנים. אפשר בהחלט לזהות אותם עם ארבעת מצבי החומר המוכרים לנו: מוצק, נוזלי, גזי ופלזמה.

לפיכך, היוונים הקדמונים קשרו את הרעיון של ההרמוניה "מקצה לקצה" של הקיום עם התגלמותו במוצקים האפלטוניים. גם השפעתו של ההוגה היווני המפורסם אפלטון השפיעה התחלותאוקלידס. ספר זה, שבמשך מאות שנים היה ספר הלימוד היחיד בגיאומטריה, מתאר קווים "אידיאליים" ודמויות "אידיאליות". השורה הכי "אידיאלית" היא יָשָׁר, והמצולע הכי "אידיאלי" הוא שווה צלעות,בעל צלעות שוות וזוויות שוות. ניתן לשקול את המצולע הרגיל הפשוט ביותר משולש שווה צלעות,מכיוון שיש לו את המספר הקטן ביותר של צדדים שיכולים להגביל חלק מהמטוס. אני תוהה מה התחלותאוקלידס מתחיל בתיאור הבנייה משולש רגילולסיים בלימוד של חמישה מוצקים אפלטוניים.שים לב ש מוצקים אפלטונייםהגמר, כלומר, הספר ה-13 מוקדש התחילאוקלידס. אגב, עובדה זו, כלומר, מיקום התיאוריה של פוליהדרה רגילה בספר האחרון (כלומר, כאילו החשוב ביותר) התחילאוקלידס, הוליד את המתמטיקאי היווני הקדום פרוקלוס, שהיה פרשן על אוקלידס, להעלות השערה מעניינת לגבי מטרות אמיתיות, אשר אוקלידס רדף כאשר יצר את שלו התחלות. לפי פרוקלוס, אוקלידס יצר התחלותלא למטרת הצגת הגיאומטריה ככזו, אלא לתת תיאוריה שיטתית שלמה של בניית דמויות "אידיאליות", בפרט חמש מוצקים אפלטוניים, בו זמנית מדגיש כמה מההישגים האחרונים במתמטיקה!

לא במקרה אחד ממחברי גילוי הפולרנים, חתן פרס נובל הרולד קרוטו, בהרצאתו בנובל, מתחיל את סיפורו על סימטריה כ"בסיס לתפיסתנו את העולם הפיזי" ו"תפקידה בניסיונות להסביר זה באופן מקיף" בדיוק עם מוצקים אפלטונייםו"אלמנטים של כל הדברים": "המושג של סימטריה מבנית מתחיל עוד בימי קדם..." את הדוגמאות המפורסמות ביותר ניתן למצוא כמובן ב"טימאוס" של אפלטון, שם בסעיף 53, המתייחס ליסודות, הוא כותב: "ראשית, לכל (! ) "כמובן, ברור שאש ואדמה, מים ואוויר הם גופים, וכל גוף מוצק" (!!) אפלטון דן בבעיות הכימיה בשפת ארבעת היסודות הללו ומחבר אותן עם ארבעת האפלטונים. מוצקים (באותה תקופה רק ארבעה, עד שהיפרכוס לא גילה את החמישי - הדודקהדרון). למרות שבמבט ראשון פילוסופיה כזו עשויה להיראות תמימה במקצת, היא מעידה על הבנה עמוקה של איך הטבע פועל בפועל."

מוצקים ארכימדיים

פוליהדרה רגילה למחצה

ידועים עוד הרבה גופים מושלמים, הנקראים פוליהדרה סדירה למחצהאוֹ גופות ארכימדיות.יש להם גם את כל הזוויות הפולידריות שוות וכל הפנים הם מצולעים רגילים, אבל כמה סוגים שונים. ישנן 13 פולי-הדרות סדירות למחצה, שגילוין מיוחס לארכימדס.

ארכימדס (287 לפנה"ס - 212 לפנה"ס)

חבורה של מוצקים ארכימדייםניתן לחלק למספר קבוצות. הראשון שבהם מורכב מחמש פולי-הדרות, שמתקבלות מהן מוצקים אפלטונייםכתוצאה מהם גְמִימָה.גוף קטום הוא גוף שהחלק העליון נחתך. ל מוצקים אפלטונייםניתן לבצע חיתוך בצורה כזו שגם הפנים החדשות שיתקבלו וגם החלקים הנותרים של הישנים יהיו מצולעים רגילים. לְמָשָׁל, אַרְבָּעוֹן(איור 1-א) ניתן לקצץ כך שארבעת פניו המשולשים יהפכו לארבעה משושים, ונוסף אליהם ארבעה פנים משולשים רגילים. בדרך זו ניתן להשיג חמישה מוצקים ארכימדיים: טטרהדרון קטום, משושה קטום (קוביה), אוקטהדרון קטום, דודקהדרון קטוםו איקוסהדרון קטום(איור 2).

(א)	(ב)	(V)

(ז)	(ד)

איור 2. מוצקים ארכימדיים: (א) טטרהדרון קטום, (ב) קובייה קטומה, (ג) אוקטהדרון קטום, (ד) דודקהדרון קטום, (ה) איקוסהדרון קטום

בהרצאת נובל שלו, המדען האמריקני סמלי, ממחברי הגילוי הניסיוני של פולרנים, מדבר על ארכימדס (287-212 לפנה"ס) בתור החוקר הראשון של פולידרות קטומות, במיוחד, איקוסהדרון קטוםעם זאת, עם הסתייגות שאולי ארכימדס לוקח קרדיט על כך ואולי, איקוסהדרונים נקטעו הרבה לפניו. די להזכיר את אלה שנמצאו בסקוטלנד ומתוארכים בסביבות שנת 2000 לפני הספירה. מאות חפצי אבן (ככל הנראה למטרות פולחן) בצורת כדורים ושונים polyhedra(גופים תחום מכל הצדדים על ידי שטוח קצוות), כולל איקוסהדרונים ודודקהדרונים. העבודה המקורית של ארכימדס, למרבה הצער, לא שרדה, ותוצאותיה הגיעו אלינו, כמו שאומרים, "יד שנייה". בתקופת הרנסנס הכל מוצקים ארכימדייםבזה אחר זה "התגלו" שוב. אחרי הכל, קפלר בשנת 1619 בספרו "הרמוניה עולמית" ("Harmonice Mundi") נתן תיאור מקיף של כל הסט של המוצקים הארכימדיים - פוליהדרות, שכל פנים שלהן מייצגות שווה צלעות, וכל פסגותנמצאים במיקום שווה ערך (כמו אטומי פחמן במולקולת C 60). מוצקים ארכימדיים מורכבים לפחות משני סוגים שונים של מצולעים, בניגוד ל-5 מוצקים אפלטוניים, שכל פניהם זהים (כמו במולקולת C 20, למשל).

איור 3. בניית האיקוסהדרון הקטום הארכימדי
מהאיקוסהדרון האפלטוני

אז איך לעצב ארכימדס קטוע איקוסהדרוןמ איקוסהדרון אפלטוני? התשובה מומחשת באמצעות איור. 3. אכן, כפי שניתן לראות מטבלה. 1, 5 פרצופים מתכנסים בכל אחד מ-12 הקודקודים של האיקוסהדרון. אם בכל קודקוד מנותקים 12 חלקים מהאיקוסהדרון באמצעות מטוס, אז נוצרים 12 פנים מחומשים חדשים. יחד עם 20 הפנים הקיימים, שאחרי חיתוך כזה הפכו ממשולשים למשושים, הם יהוו 32 פנים של האיקוסהדרון הקטום. במקרה זה, יהיו 90 קצוות ו-60 קודקודים.

עוד קבוצה מוצקים ארכימדייםמורכב משני גופים הנקראים כמעט רגיל polyhedra. החלקיק ה"מעין" מדגיש כי פניהם של רב-הידרים הללו הם מצולעים רגילים משני סוגים בלבד, כאשר כל פנים מסוג אחד מוקפים במצולעים מסוג אחר. שני הגופים האלה נקראים rhombicuboctahedronו איקוסידודקהדרון(איור 4).

איור 5. מוצקים ארכימדיים: (א) rhombocuboctahedron, (ב) rhombicosidodecahedron

לבסוף, ישנם שני שינויים שנקראים "סנוב" - אחד עבור הקובייה ( קוביית סנוב), השני עבור הדודקהדרון ( דודקהדרון עקום) (איור 6).

(א)	(ב)

איור 6.מוצקים ארכימדיים: (א) קוביית סבוב, (ב) דודקהדרון עטוי

בספרו הנ"ל של Wenniger, Models of Polyhedra (1974), הקורא יכול למצוא 75 דגמים שונים של פוליהדרות רגילות. "התיאוריה של הפוליהדרות, בפרט הפוליהדרות הקמורות, היא אחד הפרקים המרתקים ביותר בגיאומטריה"זו דעתו של המתמטיקאי הרוסי L.A. ליוסטרק, שעשה הרבה בתחום זה של המתמטיקה. התפתחות התיאוריה הזו קשורה לשמות של מדענים מצטיינים. יוהנס קפלר (1571-1630) תרם תרומה רבה לפיתוח תורת הפוליהדרה. פעם הוא כתב מערכון "על פתית שלג", שבו העיר את ההערה הבאה: "בין הגופים הרגילים, הראשון, ההתחלה והאב של השאר הוא הקובייה, ואם יורשה לי לומר, בן זוגה הוא האוקטהדרון, כי לאוקטהדרון יש כמה זוויות כמו לקובייה יש פנים."קפלר היה הראשון לפרסם רשימה מלאהשְׁלוֹשׁ עֶשׂרֵה מוצקים ארכימדייםונתן להם את השמות שבהם הם ידועים היום.

קפלר היה הראשון שחקר את מה שנקרא פוליהדרת כוכבים,שבניגוד למוצקים האפלטוניים והארכימדיים, הם פוליהדרות קמורות רגילות. בתחילת המאה הקודמת פיתח המתמטיקאי והמכונאי הצרפתי ל' פוינסו (1777-1859), שעבודותיו הגיאומטריות קשורות לפוליהדרות כוכביות, את עבודתו של קפלר וגילה את קיומם של שני סוגים נוספים של רב-הידרות רגילות שאינן קמורות. אז, הודות לעבודתם של קפלר ופוינסו, נודעו ארבעה סוגים של דמויות כאלה (איור 7). בשנת 1812, O. Cauchy הוכיח שאין פולי-הדרה רגילה אחרת.

איור 7.פוליהדרת כוכבים רגילה (מוצקי פוינסוט)

קוראים רבים עשויים לשאול: "מדוע ללמוד פוליהדרה רגילה בכלל? מה התועלת בהם? ניתן לענות על שאלה זו: "מה התועלת של מוזיקה או שירה? האם הכל יפה מועיל? מודלים של polyhedra המוצגים באיור. 1-7, מעל הכל, עושים עלינו רושם אסתטי ויכולים לשמש כקישוטים דקורטיביים. אבל למעשה, המראה הנרחב של פולי-הדרות רגילות במבנים טבעיים גרמה לעניין עצום בענף הגיאומטריה הזה במדע המודרני.

המסתורין של לוח השנה המצרי

מהו לוח שנה?

פתגם רוסי אומר: "הזמן הוא עין ההיסטוריה". כל מה שקיים ביקום: השמש, כדור הארץ, כוכבים, כוכבי לכת, עולמות ידועים ולא ידועים, וכל מה שקיים בטבע של יצורים חיים ושאינם חיים, לכל דבר יש ממד מרחב-זמן. זמן נמדד על ידי התבוננות בתהליכים שחוזרים על עצמם מעת לעת למשך זמן מסוים.

אפילו בימי קדם, אנשים שמו לב שהיום תמיד מפנה את מקומו ללילה, והעונות חולפות ברצף קפדני: אחרי החורף בא האביב, אחרי האביב בא הקיץ, אחרי הקיץ בא הסתיו. בחיפוש אחר פתרון לתופעות הללו, האדם שם לב גרמי שמים- השמש, הירח, הכוכבים - והתדירות הקפדנית של תנועתם על פני השמים. אלו היו התצפיות הראשונות שקדמו להולדתו של אחד המדעים העתיקים ביותר - האסטרונומיה.

האסטרונומיה מבססת את מדידת הזמן על תנועת גרמי השמיים, המשקפת שלושה גורמים: סיבוב כדור הארץ סביב צירו, סיבוב הירח סביב כדור הארץ ותנועת כדור הארץ סביב השמש. מושגי הזמן השונים תלויים על איזו מהתופעות הללו מבוססת מדידת הזמן. האסטרונומיה יודעת כּוֹכָבִיזְמַן, שִׁמשִׁיזְמַן, מְקוֹמִיזְמַן, מוֹתֶןזְמַן, חופשת לידהזְמַן, אָטוֹמִיזמן וכו'.

השמש, כמו כל מאורות אחרים, משתתפת בתנועה על פני השמים. בנוסף לתנועה היומית, לשמש יש מה שנקרא תנועה שנתית, וכל נתיב התנועה השנתית של השמש על פני השמים נקרא אקליפטיקה.אם, למשל, נבחין במיקום קבוצות הכוכבים בשעה ערב מסוימת, ולאחר מכן נחזור על התצפית זו מדי חודש, אז תופיע לפנינו תמונה אחרת של השמים. מראה השמים זרועי הכוכבים משתנה ללא הרף: לכל עונה יש תבנית משלה של קבוצות ערב, וכל תבנית כזו חוזרת על עצמה מדי שנה. כתוצאה מכך, לאחר שנה, השמש חוזרת למקומה המקורי ביחס לכוכבים.

כדי להקל על ההתמצאות בעולם המכוכב, אסטרונומים חילקו את כל השמים ל-88 קבוצות כוכבים. לכל אחד מהם יש שם משלו. מתוך 88 קבוצות הכוכבים, מקום מיוחד באסטרונומיה תופסים אלו שדרכם עובר האקליפטיקה. לקבוצות הכוכבים הללו, בנוסף לשמות שלהן, יש גם שם כללי - גַלגַל הַמַזָלוֹת(מהמילה היוונית "זופ" = חיה), וכן סמלים (סימנים) המוכרים ברחבי העולם ודימויים אלגוריים שונים הכלולים במערכות לוח שנה.

ידוע שבתהליך התנועה לאורך האקליפטיקה, השמש חוצה 13 קבוצות כוכבים. עם זאת, אסטרונומים מצאו צורך לחלק את נתיב השמש לא ל-13, אלא ל-12 חלקים, תוך שילוב של קבוצות הכוכבים עקרב ואופיוצ'וס לאחד תחת השם הכללי עקרב (למה?).

הבעיות של מדידת זמן מטופלות על ידי מדע מיוחד שנקרא כרונולוגיה.זה עומד בבסיס כל מערכות לוח השנה שנוצרו על ידי האנושות. יצירת לוחות שנה בימי קדם הייתה אחת המשימות החשובות ביותר של האסטרונומיה.

מהו "לוח שנה" ואיזה סוגים קיימים? מערכות לוח שנה? מִלָה לוּחַ שָׁנָהמגיע מהמילה הלטינית קלנדריום, שפירושו המילולי "פנקס חובות"; בספרים כאלה צוינו הימים הראשונים של כל חודש - קאלנדס,שבו ב רומא העתיקההחייבים שילמו ריבית.

מאז ימי קדם, במדינות מזרח ודרום מזרח אסיה, בעת עריכת לוחות שנה, יוחסה חשיבות רבה למחזוריות של תנועות השמש, הירח וגם צדקו שַׁבְתַאִי, שני כוכבי לכת ענקיים של מערכת השמש. יש סיבה להאמין שהרעיון של יצירה לוח שנה ג'וביאניעם סמליות שמימית של מחזור החיות בן 12 השנים הקשור לסיבוב צדקסביב השמש, שעושה מהפכה שלמה סביב השמש תוך כ-12 שנים (11.862 שנים). מצד שני, כוכב הלכת הענק השני של מערכת השמש הוא שַׁבְתַאִיעושה מהפכה שלמה סביב השמש תוך כ-30 שנה (29.458 שנים). מתוך רצון ליצור הרמוניה בין מחזורי התנועה של כוכבי הלכת הענקיים, הסינים הקדמונים העלו את הרעיון להציג מחזור של 60 שנה של מערכת השמש. במהלך מחזור זה, שבתאי עושה 2 סיבובים מלאים סביב השמש, וצדק 5 סיבובים.

בעת יצירת לוחות שנה שנתיים, נעשה שימוש בתופעות אסטרונומיות: שינוי יום ולילה, שינוי שלבי ירחוחילופי העונות. השימוש בתופעות אסטרונומיות שונות הוביל ליצירת שלושה סוגי לוחות שנה בקרב עמים שונים: יְרֵחִי,מבוסס על תנועת הירח, שִׁמשִׁי,מבוסס על תנועת השמש, ו lunisolar.

מבנה לוח השנה המצרי

אחד מלוחות השנה הסולאריים הראשונים היה מִצרִי, נוצר באלף הרביעי לפני הספירה. שנת הקלנדר המצרית המקורית כללה 360 ימים. השנה חולקה ל-12 חודשים של 30 ימים בדיוק. עם זאת, מאוחר יותר התגלה כי אורך זה של השנה הקלנדרית אינו מתאים לזה האסטרונומי. ואחר כך הוסיפו המצרים עוד 5 ימים לשנה הקלנדרית, שאמנם לא היו ימי החודש. זה היה 5 חגים, חיבור בין שנים קלנדריות שכנות. לפיכך, לשנת הלוח המצרי היה המבנה הבא: 365 = 12ґ 30 + 5. שימו לב שהלוח המצרי הוא אב הטיפוס של הלוח המודרני.

נשאלת השאלה: מדוע חילקו המצרים את השנה הקלנדרית ל-12 חודשים? הרי היו לוחות שנה עם מספר שונה של חודשים בשנה. לדוגמה, בלוח המאיה, השנה כללה 18 חודשים עם 20 ימים בחודש. השאלה הבאה לגבי לוח השנה המצרי: מדוע בכל חודש היו בדיוק 30 ימים (ליתר דיוק, ימים)? אפשר להעלות כמה שאלות גם לגבי מערכת מדידת הזמן המצרית, במיוחד לגבי הבחירה של יחידות זמן כמו שעה, דקה, שניה.בפרט נשאלת השאלה: מדוע נבחרה יחידת השעות בצורה כזו שהיא מתאימה בדיוק 24 פעמים ליום, כלומר, מדוע יום אחד = 24 (2½ 12) שעות? הבא: למה שעה אחת = 60 דקות, ודקה אחת = 60 שניות? אותן שאלות חלות על בחירת יחידות של כמויות זוויתיות, בפרט: מדוע מחולק המעגל ל-360°, כלומר למה 2p =360° =12ґ 30°? לשאלות אלו מתווספות אחרות, במיוחד: מדוע אסטרונומים מצאו לנכון להאמין שיש 12 גַלגַל הַמַזָלוֹתסימנים, אם כי למעשה, במהלך תנועתה לאורך האקליפטיקה, השמש חוצה 13 קבוצות כוכבים? ועוד שאלה "מוזרה": מדוע למערכת המספרים הבבלית היה בסיס מאוד יוצא דופן - המספר 60?

הקשר בין לוח השנה המצרי לבין המאפיינים המספריים של הדודקהדרון

בניתוח הלוח המצרי, כמו גם את המערכות המצריות למדידת זמן וערכי זווית, אנו מוצאים שארבעה מספרים חוזרים על עצמם בקביעות מדהימה: 12, 30, 60 והמספר הנגזר מהם 360 = 12ґ 30. נשאלת השאלה: הוא האם יש אז רעיון מדעי בסיסי שיכול לספק הסבר פשוט והגיוני לשימוש במספרים אלה במערכות מצריות?

כדי לענות על שאלה זו, הבה נפנה שוב דודקהדרון, מוצג באיור. 1-ד. נזכיר שכל היחסים הגיאומטריים של הדודקהדרון מבוססים על יחס הזהב.

האם המצרים הכירו את הדודקהדרון? היסטוריונים של מתמטיקה מודים שלמצרים הקדמונים היה מידע על פולי-הדרה רגילה. אבל האם הם הכירו את כל חמשת הפוליהדרות הרגילות, במיוחד דודקהדרוןו איקוסהדרוןמהם הקשים ביותר? המתמטיקאי היווני הקדום פרוקלוס מייחס לפיתגורס את בניית הפוליהדרות הרגילות. אבל משפטים ותוצאות מתמטיים רבים (במיוחד משפט פיתגורס) פיתגורס שאל מהמצרים הקדמונים במהלך "נסיעת העסקים" הארוכה מאוד שלו למצרים (לפי מידע מסוים, פיתגורס חי במצרים 22 שנים!). לכן, אפשר להניח שייתכן שפיתגורס שאל ידע על רב-הדרות רגילות גם מהמצרים הקדמונים (ואולי מהבבלים הקדמונים, כי לפי האגדה, פיתגורס חי בבבל הקדומה 12 שנים). אבל יש ראיות אחרות ומשכנעות יותר לכך שלמצרים היה מידע על כל חמש הפוליהדרות הרגילות. בפרט, המוזיאון הבריטי מכיל קובייה מתקופת תלמי, שיש לה את הצורה איקוסהדרון, כלומר, "הסוליד האפלטוני", הכפול דודקהדרון. כל העובדות הללו נותנות לנו את הזכות להעלות את ההשערה ש הדודקהדרון היה ידוע למצרים.ואם זה כך, הרי שמערכת הרמונית מאוד נובעת מהשערה זו, המאפשרת לנו להסביר את מקור הלוח המצרי, ובמקביל את מקורה של המערכת המצרית של מדידת מרווחי זמן וזוויות גיאומטריות.

בעבר, קבענו שלדודקהדרון יש 12 פנים, 30 קצוות ו-60 זוויות שטוחות על פני השטח שלו (טבלה 1). על סמך ההשערה שהמצרים ידעו דודקהדרוןוהמאפיינים המספריים שלו הם 12, 30. 60, אז מה הייתה ההפתעה שלהם כשהם גילו שאותם מספרים מבטאים את המחזורים של מערכת השמש, כלומר, מחזור 12 השנים של צדק, מחזור 30 השנים של שבתאי ו, לבסוף, מחזור הקיץ בן 60 השנים של מערכת השמש. לפיכך, בין דמות מרחבית מושלמת כמו דודקהדרון, ו מערכת השמש, יש קשר מתמטי עמוק! מסקנה זו נעשתה על ידי מדענים עתיקים. זה הוביל לעובדה ש דודקהדרוןאומצה כ"דמות הראשית" שסימלה הרמוניה של היקום. ואז החליטו המצרים שכל המערכות העיקריות שלהם (מערכת לוח שנה, מערכת מדידת זמן, מערכת מדידת זווית) צריכות להתאים לפרמטרים מספריים דודקהדרון! מאחר שלטענת הקדמונים, תנועת השמש לאורך האקליפטיקה הייתה מעגלית לחלוטין, אז, על ידי בחירת 12 סימני גלגל המזלות, שמרחק הקשת ביניהם היה בדיוק 30°, המצרים תיאמו בצורה מפתיעה את התנועה השנתית של השמש. לאורך האקליפטיקה עם מבנה השנה הקלנדרית שלהם: חודש אחד התאים לתנועת השמש לאורך האקליפטיקה בין שני המזלות השכנים של גלגל המזלות!יתרה מכך, תנועת השמש במעלה אחת תאמה ליום אחד בשנת הקלנדר המצרי! במקרה זה, האקליפטיקה חולקה אוטומטית ל-360°. לאחר שחילקו כל יום לשני חלקים, בעקבות הדודקהדרון, חילקו המצרים כל חצי יום ל-12 חלקים (12 פרצופים דודקהדרון) ובכך הוצג שָׁעָה- יחידת הזמן החשובה ביותר. חלוקת שעה אחת ל-60 דקות (60 זוויות מישור על פני השטח דודקהדרון), הציגו המצרים בדרך זו דַקָה- יחידת הזמן החשובה הבאה. באותו אופן שהם הציגו תן לי שנייה- יחידת הזמן הקטנה ביותר לאותה תקופה.

לפיכך, בחירה דודקהדרוןכדמות ה"הרמונית" הראשית של היקום, ובאופן קפדני לפי המאפיינים המספריים של הדודקהדרון 12, 30, 60, הצליחו המצרים לבנות לוח שנה הרמוני ביותר, כמו גם מערכות למדידת זמן וערכי זווית. מערכות אלו היו עקביות לחלוטין עם "תורת ההרמוניה" שלהן, בהתבסס על פרופורציית הזהב, שכן פרופורציה זו היא העומדת בבסיס דודקהדרון.

אלו המסקנות המפתיעות הנובעות מההשוואה: דודקהדרוןעם מערכת השמש. ואם ההשערה שלנו נכונה (שמישהו ינסה להפריך אותה), אז מכאן נובע שבמשך אלפי שנים האנושות חיה תחת סימן יחס הזהב! ובכל פעם שאנו מסתכלים על החוגה של השעון שלנו, שבנוי גם הוא על שימוש במאפיינים מספריים דודקהדרון 12, 30 ו -60, אנחנו נוגעים ב"תעלומת היקום" הראשית - יחס הזהב, אפילו בלי לדעת את זה!

קוואזי-קריסטלים מאת דן שכטמן

ב-12 בנובמבר 1984, מאמר קצר שפורסם בכתב העת היוקרתי Physical Review Letters מאת הפיזיקאי הישראלי דן שכטמן סיפק עדויות ניסיוניות לקיומה של סגסוגת מתכת בעלת תכונות יוצאות דופן. כאשר נחקרה על ידי שיטות עקיפה של אלקטרונים, סגסוגת זו הראתה את כל הסימנים של גביש. דפוס העקיפה שלו מורכב מנקודות בהירות וברווחים קבועים, ממש כמו גביש. עם זאת, תמונה זו מאופיינת בנוכחות של סימטריה "איקוסהדרלית" או "חומשת", האסורה בהחלט בגביש מסיבות גיאומטריות. סגסוגות יוצאות דופן כאלה נקראו קוואזי-גבישים.תוך פחות משנה התגלו סגסוגות רבות אחרות מסוג זה. היו כל כך הרבה כאלה שהמצב הכמו-גבישי התברר כנפוץ הרבה יותר ממה שאפשר לדמיין.

הפיזיקאי הישראלי דן שכטמן

המושג קוואזי-גביש הוא בעל עניין מהותי מכיוון שהוא מכליל ומשלים את ההגדרה של גביש. התיאוריה המבוססת על מושג זה מחליפה את הרעיון הוותיק של "יחידה מבנית שחוזרת על עצמה במרחב באופן תקופתי בהחלט" במושג המפתח הזמנה לטווח ארוך.כפי שהודגש במאמר "קוואזיקריסטלים" מאת הפיזיקאי המפורסם D. Gratia, "המושג הזה הוביל להתרחבות הקריסטלוגרפיה, שאת עושרה החדש שהתגלה אנחנו רק מתחילים לחקור. ניתן להשוות את חשיבותו בעולם המינרלים לתוספת המושג של מספרים אי-רציונליים למספרים רציונליים במתמטיקה".

מהו קוואזי-קריסטל? מהן תכונותיו וכיצד ניתן לתאר אותה? כאמור לעיל, לפי החוק הבסיסי של הקריסטלוגרפיהמגבלות קפדניות מוטלות על מבנה הגביש. על פי מושגים קלאסיים, גביש מורכב עד אינסוף מתא בודד, שאמור "לכסות" בחוזקה (פנים אל פנים) את כל המישור ללא כל הגבלה.

כידוע, מילוי צפוף של המטוס יכול להתבצע באמצעות משולשים(איור 7-א), ריבועים(איור 7-ב) ו משושים(איור 7-ד). על ידי שימוש ב מחומשים (מחומשים) מילוי כזה הוא בלתי אפשרי (איור 7-ג).

א)	ב)	V)	ז)

איור 7.מילוי צפוף של המישור יכול להיעשות באמצעות משולשים (א), ריבועים (ב) ומשושים (ד)

אלה היו הקנונים של הקריסטלוגרפיה המסורתית, שהתקיימה לפני גילויה של סגסוגת יוצאת דופן של אלומיניום ומנגן, הנקראת קוואזי-גביש. סגסוגת כזו נוצרת על ידי קירור מהיר במיוחד של ההיתוך בקצב של 10 6 K לשנייה. יתרה מכך, במהלך מחקר עקיפה של סגסוגת כזו, מופיעה תבנית מסודרת על המסך, האופיינית לסימטריה של איקוסהדרון, בעלת צירי הסימטריה האסורים המפורסמים מסדר 5.

במהלך השנים הבאות, כמה קבוצות מדעיות ברחבי העולם חקרו סגסוגת יוצאת דופן זו באמצעות מיקרוסקופ אלקטרונים. ברזולוציה גבוהה. כולם אישרו את ההומוגניות האידיאלית של החומר, שבה נשמרה סימטריה מסדר חמישי באזורים מקרוסקופיים עם ממדים קרובים לאלו של אטומים (כמה עשרות ננומטרים).

על פי השקפות מודרניות, פותח המודל הבא לקבלת מבנה הגבישי של קוואזי-גביש. מודל זה מבוסס על הרעיון של "אלמנט בסיסי". לפי מודל זה, איקוסהדרון פנימי של אטומי אלומיניום מוקף באיקוסהדרון חיצוני של אטומי מנגן. איקוזהדרונים מחוברים על ידי אוקטהדרה של אטומי מנגן. "יסוד הבסיס" מכיל 42 אטומי אלומיניום ו-12 אטומי מנגן. במהלך תהליך ההתמצקות מתרחשת היווצרות מהירה של "אלמנטים בסיסיים", המחוברים במהירות זה לזה על ידי "גשרים" אוקטהדרלים נוקשים. נזכיר שהפנים של האיקוסהדרון הם משולשים שווי צלעות. על מנת שייווצר גשר מנגן אוקטהדרלי, יש צורך ששני משולשים כאלה (אחד בכל תא) יתקרבו מספיק זה לזה ויסתדרו במקביל. כתוצאה מתהליך פיזיקלי כזה, נוצר מבנה קוואזי-גבישי עם סימטריה "איקוסהדרלית".

בעשורים האחרונים התגלו סוגים רבים של סגסוגות קוואזי-גבישיות. בנוסף לאלו שיש להם סימטריה "איקוסהדרלית" (מסדר 5), ישנן גם סגסוגות בעלות סימטריה עשרונית (סדר 10) וסימטריה דודקגונלית (סדר 12). התכונות הפיזיקליות של קוואזי-גבישים החלו להיחקר רק לאחרונה.

מהי המשמעות המעשית של גילוי קוואזי-גבישים? כפי שצוין במאמרו של גרטיה שהוזכר לעיל, "החוזק המכני של סגסוגות קוואזי-גבישיות עולה בחדות; היעדר מחזוריות מוביל להאטה בהתפשטות הנקעים בהשוואה למתכות קונבנציונליות... לתכונה זו חשיבות מעשית רבה: השימוש בשלב האיקוסהדרלי יאפשר להשיג סגסוגות קלות וחזקות מאוד על ידי החדרת חלקיקים קטנים של קוואזי-גבישים לתוך מטריצת האלומיניום."

מהי המשמעות המתודולוגית של גילוי קוואזי-גבישים? קודם כל, גילוי הקוואזי-גבישים הוא רגע של ניצחון גדול של "דוקטרינת הדודקהדרלית-יקוזהדרלית", שמחלחלת לכל ההיסטוריה של מדעי הטבע ומהווה מקור לרעיונות מדעיים עמוקים ושימושיים. שנית, קוואזי-גבישים הרסו את הרעיון המסורתי של פער בלתי עביר בין עולם המינרלים, שבו נאסרה סימטריה "מחומשת", לבין עולם הטבע החי, שבו הסימטריה ה"מחומשת" היא אחת הנפוצות ביותר. ואסור לשכוח שהחלק העיקרי של האיקוסהדרון הוא "יחס הזהב". וגילוי הקוואזי-גבישים הוא אישור מדעי נוסף לכך שאולי "פרופורציית הזהב", המתבטאת הן בעולם הטבע החי והן בעולם המינרלים, היא החלק העיקרי של היקום.

אריחי פנרוז

כאשר דן שכטמן נתן הוכחה ניסיונית לקיומם של קוואזי-גבישים עם סימטריה איקוסהדרלית, פיזיקאים בחיפוש אחר הסבר תיאורטי לתופעת הקוואזי-גבישים, משכו את תשומת הלב לתגלית מתמטית שעשה 10 שנים קודם לכן המתמטיקאי האנגלי רוג'ר פנרוז. כ"אנלוגי שטוח" של קוואזי-גבישים, בחרנו אריחי פנרוז, שהם מבנים סדירים א-מחזוריים הנוצרים על ידי מעוינים "עבים" ו"דקים", המצייתים לפרופורציות של "חתך הזהב". בְּדִיוּק אריחי פנרוזאומצו על ידי קריסטלוגרפים כדי להסביר את התופעה קוואזי-גבישים. במקביל, התפקיד יהלומי פנרוזבמרחב של תלת מימד החלו לשחק איקוסהדרונים, בעזרתו מתבצע מילוי צפוף של חלל תלת מימדי.

בואו נסתכל מקרוב על המחומש באיור. 8.

הספרה 8.מְחוּמָשׁ

לאחר ציור אלכסונים בו, ניתן לייצג את המחומש המקורי כקבוצה של שלושה סוגים של דמויות גיאומטריות. במרכז יש מחומש חדש שנוצר על ידי נקודות החיתוך של האלכסונים. בנוסף, הפנטגון באיור. 8 כולל חמישה משולשים שווה שוקיים, צבועים צהוב, וחמישה משולשים שווה שוקיים בצבע אדום. משולשים צהובים הם "זהובים" כי היחס בין הירך לבסיס שווה ליחס הזהב; יש להם זוויות חדות של 36° בקודקוד וזוויות חדות של 72° בבסיס. משולשים אדומים הם גם "זהובים", שכן היחס בין הירך לבסיס שווה ליחס הזהב; יש להם זווית קהה של 108° בקודקוד וזווית חדה של 36° בבסיס.

כעת נחבר שני משולשים צהובים ושני משולשים אדומים עם הבסיסים שלהם. כתוצאה מכך נקבל שניים מעוין "זהוב".. לראשון שבהם (צהוב) יש זווית חדה של 36° וזווית קהה של 144° (איור 9).

(א)	(ב)

איור 9."מעוינים זהובים: א) מעוינים "דקים"; (ב) מעוין "עבה".

יהלום באיור. נקרא לזה 9 מעוין דק,והמעוין באיור. 9-ב - מעוין עבה.

המתמטיקאי והפיזיקאי האנגלי רוג'רס פנרוז השתמש ביהלומים "זהובים" באיור. 9 לבניית פרקט "זהוב", אשר נקרא אריחי פנרוז.אריחי פנרוז הם שילוב של יהלומים עבים ודקים, המוצגים באיור. 10.

איור 10. אריחי פנרוז

חשוב להדגיש זאת אריחי פנרוזיש סימטריה "מחומשת" או סימטריה מסדר 5, והיחס בין מספר המעוינים העבים לרזים נוטה ליחס הזהב!

פולרנים

עכשיו בואו נדבר על עוד תגלית מודרנית יוצאת דופן בתחום הכימיה. תגלית זו התגלתה בשנת 1985, כלומר מספר שנים לאחר קוואזי-גבישים. אנחנו מדברים על מה שנקרא "פולרנים". המונח "פולרנים" מתייחס למולקולות סגורות מסוג C 60, C 70, C 76, C 84, שבהן כל אטומי הפחמן ממוקמים על משטח כדורי או כדורי. במולקולות אלו, אטומי הפחמן מסודרים בקודקודים של משושים רגילים או מחומשים המכסים את פני השטח של כדור או כדור. המקום המרכזי בין פולרנים תופס על ידי מולקולת C 60, המאופיינת בסימטריה הגדולה ביותר וכתוצאה מכך, ביציבות הגדולה ביותר. במולקולה זו, הדומה לצמיג של כדור כדורגל ובעלת מבנה של איקוסהדרון קטום רגיל (איור 2-e ואיור 3), אטומי הפחמן ממוקמים על משטח כדורי בקודקודים של 20 משושים רגילים. 12 מחומשים רגילים כך שכל משושה גובל בשלושה משושים ושלושה מחומשים, וכל מחומש גובל במשושים.

המונח "פולרן" מקורו בשמו של האדריכל האמריקאי באקמינסטר פולר, אשר, מסתבר, השתמש במבנים כאלה בעת בניית כיפות מבנים (שימוש נוסף באיקוסהדרון הקטום!).

"פולרנים" הם בעצם מבנים "מעשה ידי אדם" הנובעים ממחקר פיזיקה בסיסי. הם סונתזו לראשונה על ידי המדענים ג'י קרוטו ור' סמלי (שקיבלו את פרס נובל ב-1996 על תגלית זו). אבל הם התגלו באופן בלתי צפוי בסלעים מהתקופה הקדם-קמבריית, כלומר, התברר שהפולרנים הם לא רק "מעשה ידי אדם", אלא תצורות טבעיות. פולרנים נחקרים כעת באופן אינטנסיבי במעבדות. מדינות שונות, מנסים לקבוע את תנאי היווצרותם, המבנה, המאפיינים ותחומי היישום האפשריים שלהם. הנציג הנחקר ביותר של משפחת הפולרן הוא פולרן-60 (C 60) (הוא נקרא לפעמים Buckminster fullerene. ידועים גם פולרן C 70 ו-C 84. פולרן C 60 מתקבל על ידי אידוי גרפיט באווירת הליום. זה מייצר אבקה עדינה דמוית פיח, המכילה 10% פחמן; כאשר היא מומסת בבנזן, האבקה נותנת תמיסה אדומה, ממנה גדלים גבישי C 60. לפולרנים יש כימיקלים יוצאי דופן תכונות גשמיות. אז, בלחץ גבוה, C 60 הופך קשה כמו יהלום. המולקולות שלו יוצרות מבנה גבישי, כאילו מורכב מכדורים חלקים לחלוטין, המסתובבים בחופשיות בסריג מעוקב במרכז הפנים. הודות לתכונה זו, C 60 יכול לשמש כחומר סיכה מוצק. לפולרנים יש גם תכונות מגנטיות ומוליכות-על.

המדענים הרוסים A.V. אלצקי וב.מ. סמירנוב במאמרו "Fullerenes", שפורסם בכתב העת "Uspekhi Fizicheskikh Nauk" (1993, כרך 163, מס' 2), ציין כי "פולרנים, שקיומם התקבע באמצע שנות ה-80, וטכנולוגיית בידוד יעילה שעבורה פותחה ב-1990, הפכה כעת לנושא של מחקר אינטנסיבי של עשרות קבוצות מדעיות. תוצאות מחקרים אלו מנוטרות מקרוב על ידי חברות יישומים. מכיוון שהשינוי הזה בפחמן הציג בפני מדענים מספר הפתעות, לא יהיה זה חכם לדון בתחזיות ובהשלכות האפשריות של חקר פולרנים בעשור הבא, אבל צריך להיות מוכנים להפתעות חדשות".

עולמו האמנותי של האמנית הסלובנית Matyushka Teja Krašek

Matjuska Teja Krasek קיבלה תואר ראשון בציור מהמכללה לאמנויות חזותיות (לובליאנה, סלובניה) והיא אמנית עצמאית. חי ועובד בלובליאנה. עבודתה התיאורטית והמעשית מתמקדת בסימטריה כקונספט מגשר בין אמנות למדע. עבודותיה האמנותיות הוצגו בתערוכות בינלאומיות רבות ופורסמו במגזינים בינלאומיים (לאונרדו ג'ורנל, לאונרדו און ליין).

מ.ט. קראשק בתערוכתו 'ניחוחות קלידוסקופיים', לובליאנה, 2005

היצירתיות האמנותית של אמא טייה קראשק קשורה לסוגים שונים של סימטריה, אריחי פנרוז ומעוינים, קוואזי-גבישים, יחס הזהב כמרכיב העיקרי של סימטריה, מספרי פיבונאצ'י וכו'. בעזרת השתקפות, דמיון ואינטואיציה היא מנסה בחר מערכות יחסים חדשות, רמות חדשות של מבנה, סוגים חדשים ושונים של סדר באלמנטים ובמבנים אלה. בעבודותיה היא משתמשת באופן נרחב בגרפיקה ממוחשבת כמאוד תרופה שימושיתליצור יצירות אמנות שמגשרות על הפער בין מדע, מתמטיקה ואמנות.

באיור. 11 מציג את ההרכב של ת.מ. קראשק קשור למספרי פיבונאצ'י. אם נבחר באחד ממספרי פיבונאצ'י (לדוגמה, 21 ס"מ) עבור אורך הצלע של היהלום פנרוז בקומפוזיציה הלא יציבה המוחשית הזו, נוכל לראות כיצד האורכיים של חלק מהקטעים בהרכב יוצרים רצף פיבונאצ'י.

איור 11.אמא טייה קראשק "מספרי פיבונאצ'י", בד, 1998.

חלק גדול מהחיבורים האמנותיים של האמן מוקדשים לקוואזי-גבישים שכטמן ולסריגים של פנרוז (איור 12).

(א)	(ב)

(V)	(ז)

איור 12.עולמו של טייה קראשק: (א) עולם הקוואזי-גבישים. גרפיקה ממוחשבת, 1996.
(ב) כוכבים. גרפיקה ממוחשבת, 1998 (ג) 10/5. קנבס, 1998 (ד) קוואזי-קובייה. קנבס, 1999

החיבור של אמא תייה קראשק וקליפורד פיקובר Biogenesis, 2005 (איור 13) כולל דקאגון המורכב מיהלומי פנרוז. ניתן לראות את היחסים בין המעוינים של פטרוז; כל שני יהלומי פנרוז סמוכים יוצרים כוכב מחומש.

איור 13.אמא תייה קראשק וקליפורד פיקובר. ביוגנזה, 2005.

בתמונה כוכב כפול GA(איור 14) אנו רואים כיצד אריחי פנרוז משתלבים ויוצרים ייצוג דו-ממדי של עצם בעל פוטנציאל היפר-ממדי עם בסיס עשר-גוני. כאשר תיאר את הציור, האמן השתמש בשיטת הקצה הנוקשה שהציע לאונרדו דה וינצ'י. שיטת תיאור זו היא המאפשרת לראות בהקרנה של התמונה על מטוס מספר רב של מחומשים ומחומשים, שנוצרים על ידי הקרנות של קצוות בודדים של מעוינים פנרוז. בנוסף, בהקרנה של התמונה על מטוס אנו רואים דקאגון שנוצר על ידי קצוות של 10 מעוינים סמוכים של פנרוז. בעיקרו של דבר, בתמונה זו, אמא טייה קראשק מצאה פולידרון רגיל חדש, אשר בהחלט קיים בטבע.

איור 14.אמא טייה קראשק. כוכב כפול GA

בקומפוזיציה של קראשק "כוכבים לדונלד" (איור 15) אנו יכולים לצפות באינטראקציה האינסופית של מעוינים פנרוז, מחומשים, מחומשים, הולכים ופוחתים לכיוון הנקודה המרכזית של הקומפוזיציה. יחסי הזהב מיוצגים בדרכים רבות ושונות בסולמות שונים.

איור 15.האם תיאה קראשק "כוכבים לדונלד", גרפיקה ממוחשבת, 2005.

היצירות האמנותיות של האם טייה קראשק משכו תשומת לב רבה מצד נציגי המדע והאמנות. האמנות שלה משולה לאמנותו של מאוריט Escher והאמן הסלובני נקרא "Escher Escher" ו"המתנה הסלובנית" לאמנות העולם.

סטחוב א.פ. "צופן דה וינצ'י", מוצקים אפלטוניים וארכימדיים, קוואזיסטלים, פולרנים, סריג פנרוז ועולמה האמנותי של האם טייה קראשק // "האקדמיה לטריניטריות", מ', אל מס' 77-6567, פאב 12561, 07.11. 2005

מאז ימי קדם, פוליהדרות רגילות משכו את תשומת לבם של פילוסופים, בנאים, אדריכלים, אמנים ומתמטיקאים. הם נדהמו מהיופי, השלמות וההרמוניה של הדמויות הללו.

פולידרון רגיל הוא דמות גיאומטרית קמורה תלת מימדית, שכל פניה הם מצולעים רגילים זהים וכל זוויות הפולידריות בקודקודים שוות זו לזו. יש הרבה מצולעים רגילים, אבל יש רק חמש פולי-הדרות רגילות. השמות של הפוליהדרות הללו באים יוון העתיקה, והם מציינים את המספר ("טטרה" - 4, "הקסה" - 6, "אוקטה" - 8, "דודקה" - 12, "יקוסה" - 20) של פרצופים ("הדרה").

הפוליהדרות הרגילות הללו נקראו מוצקים אפלטוניים על שם הפילוסוף היווני הקדום אפלטון, שנתן להם משמעות מיסטית, אך הם היו ידועים לפני אפלטון. הטטרהדרון התגלם באש, מכיוון שקודקודו פונה כלפי מעלה, כמו להבה מתלקחת; icosahedron - כמו היעיל ביותר - מים; הקובייה היא היציבה ביותר מבין הדמויות - כדור הארץ, והאוקטהדרון הוא האוויר. הדודקהדרון זוהה עם היקום כולו ונחשב החשוב ביותר.

פוליהדרות רגילות נמצאות בטבע החי. לדוגמה, השלד של האורגניזם החד-תאי Feodaria מעוצב כמו איקוסהדרון. גביש הפיריט (פיריט גופרית, FeS2) הוא בעל צורה של דודקהדרון.

הטטרהדרון הוא פירמידה משולשת רגילה, והמשושה הוא קובייה - דמויות שאנו פוגשים בהן כל הזמן. החיים האמיתיים. כדי להרגיש טוב יותר את הצורה של מוצקים אפלטוניים אחרים, עליך ליצור אותם בעצמך מנייר עבה או מקרטון. זה לא קשה לעשות פיתוח שטוח של דמויות. יצירת פוליהדרה רגילה מעניינת ביותר בתהליך העיצוב עצמו.

צורות שלמות ומוזרות של פוליהדרות רגילות נמצאות בשימוש נרחב באמנויות דקורטיביות. ניתן להפוך דמויות תלת מימדיות למעניינות יותר אם מצולעים רגילים שטוחים מיוצגים על ידי דמויות אחרות המתאימות למצולע. לדוגמא: ניתן להחליף מחומש רגיל בכוכב. לדמות תלת מימדית כזו לא יהיו קצוות. אתה יכול להרכיב אותו על ידי קשירת קצוות קרני הכוכבים. ו-10 כוכבים מורכבים סריקה שטוחה. דמות תלת מימדית מתקבלת לאחר הבטחת 2 הכוכבים הנותרים.

אם ילדכם אוהב לעשות מלאכת יד במו ידיו המיומנות, הזמינו אותו להרכיב דמות תלת מימדית דודקהדרונית מכוכבי פלסטיק שטוחים. התוצאה של העבודה תשמח את ילדכם: הוא יעשה עיצוב דקורטיבי מקורי במו ידיו, שניתן להשתמש בו לקישוט חדר ילד. אבל הדבר המדהים ביותר הוא שהכדור הפתוח זוהר בחושך. כוכבי פלסטיק מיוצרים בתוספת של חומר מודרני לא מזיק - זרחן.

פוליהדרות רגילות נקראות מוצקים אפלטוניים; הם תופסים מקום נכבד בתמונה הפילוסופית של העולם שפותחה על ידי ההוגה הגדול של יוון העתיקה, אפלטון.

אז, אפלטון הכיר חמש פולי-הדרות רגילות, ומספר היסודות (אש, אוויר, מים ואדמה) היה בדיוק ארבעה. כתוצאה מכך, מתוך חמש פולי-הדרות, יש לבחור ארבע שניתן להשוות עם האלמנטים.

אילו שיקולים הנחו את אפלטון בכך? קודם כל, כי כמה אלמנטים, כפי שהוא האמין, יכולים להפוך זה לזה. ניתן לבצע את ההפיכה של חלק מהפוליהדרות לאחרות על ידי מבנה מחדש של המבנה הפנימי שלהן. אך לשם כך היה צורך למצוא בגופים הללו אלמנטים מבניים כאלה שיהיו משותפים להם. מ מראה חיצוניפולי-הדרה רגילה, ברור שלפנים של שלוש פולי-הדרות - טטרהדרון, אוקטהדרון, איקוסהדרון - יש צורה של משולש שווה צלעות. שתי הפוליהדרות הנותרות - הקובייה והדודקהדרון - בנויות: הראשון - מריבועים, והשני - מחומשים רגילים, כך שלא ניתן להפוך אותם זה לזה או לשלושת הגופים הנחשבים. המשמעות היא שאם ניתן לחלקיקים של שלושת היסודות צורה של טטרהדרון, אוקטהדרון ואיקוסהדרון, אזי חלקיקי היסוד הרביעי ייחשבו לקוביות או לדודקהדרונים, אך היסוד הרביעי הזה לא יוכל להפוך לשלושת האחרים. , אבל תמיד יישאר עצמו. אפלטון החליט שרק כדור הארץ יכול להיות יסוד כזה ושהחלקיקים הקטנים ביותר מהם מורכב כדור הארץ חייבים להיות קוביות. הטטרהדרון, האוקטהדרון והאיקוסהדרון הושוו לאש, אוויר ומים, בהתאמה.

באשר לפוליהדרון החמישי - הדודקהדרון, הוא נותר ללא עבודה. לגבי זה, אפלטון מגביל את עצמו ב"טימאוס" להערה ש"אלוהים קבע זאת עבור היקום ופנה אליו כאשר צייר וקישט אותו".

נשאלת השאלה: "אילו שיקולים הנחו את אפלטון כאשר ייחס צורת טטרהדרון לחלקיקי אש, צורת קובייה לחלקיקי אדמה וכו'?" כאן הוא לוקח בחשבון את המאפיינים התחושתיים של היסודות המקבילים. אש היא האלמנט הנייד ביותר; יש לה השפעה הרסנית, חודר לתוך גופים אחרים (שריפה או התכה, או אידוי שלהם); כשאנו באים איתו במגע, אנו חווים תחושת כאב, כאילו דקרו אותנו או חתכו אותנו.

אילו חלקיקים יכולים לגרום לכל התכונות והפעולות הללו? ברור, החלקיקים הניידים והקלים ביותר, ויתרה מכך, בעלי קצוות חיתוך וזוויות פירסינג. מבין ארבע הפוליהדרות שניתן לדון בהן, הטטרהדרון הוא המספק ביותר. לכן, אומר אפלטון, הדימוי של פירמידה (כלומר, טטרהדרון) צריך להיות בהתאם להיגיון נכון ועם אמת, העיקרון הראשון וזרע האש, להיפך, כדור הארץ נראה בניסיון שלנו כחסר תנועה וחסר תנועה ביותר. יציב של כל האלמנטים. לכן, לחלקיקים מהם הוא מורכב חייבים להיות הבסיסים היציבים ביותר. מכל ארבעת הגופים, לקובייה יש תכונה זו במידה המרבית. לכן, לא נפר את הסבירות אם נייחס צורה מעוקבת לחלקיקי כדור הארץ. באופן דומה, נתאם חלקיקים בעלי תכונות ביניים עם שני היסודות האחרים. האיקוסהדרון, בהיותו היעיל ביותר, מייצג חלקיק מים, האוקטהדרון - חלקיק אוויר.

הפוליהדרון החמישי - הדודקהדרון - גילם את "כל מה שקיים", סימל את העולם כולו ונחשב החשוב ביותר.

אנו רואים כיצד עיקרון האמת משולב באפלטון עם שימוש בנתונים מהחוויה היומיומית. זה מוזר שאפלטון כמעט ואינו נוגע במניעים אחרים, ספקולטיביים גרידא, (למשל, הקשורים לתורת הפרופורציות), שמילאו תפקיד מכריע בבניית המושג הקוסמולוגי שלו ואשר יכלו להשפיע על כמה היבטים של התיאוריה שלו. של מבנה החומר.

נכון, טימאוס עצמו, מדבר פנימה במקרה הזהכפרופסור שנותן הרצאה על מבנה העולם, הוא, לכל הדעות, נציג של האסכולה הפיתגורית. עם זאת, עדיין לא ברור אם טימאוס היה קיים כדמות היסטורית או שהיה דמות פיקטיבית שהומצאה על ידי אפלטון כדי לא להפוך את הגיבור הרגיל שלו, סוקרטס, למחבר התיאוריות הקוסמולוגיות והפיזיקליות, כי זה יהיה לא עולה בקנה אחד עם התמונה של המכתב.

אפלטון ביצע "באופן סביר" את תמונת העולם. זה היה אחד הניסיונות הראשונים להכניס את עצם רעיון הסיסטמטיזציה למדע, שהתברר כפורה מאוד. זה עזר להפריד תחומי ידע מסוימים מאחרים, והפך את המחקר המדעי לממוקד יותר.

מוצקים אפלטוניים עם תיאור מפורט

מוצקים אפלטוניים [עמ'. - מיוונית אפלטון (427–347 לפנה"ס / ט' - מקור ראה BODY), מכלול כל הפוליהדרות הרגילות [כלומר. ה.גופים נפחיים (תלת מימדיים) התחום במצולעים רגילים שווים] של העולם התלת מימדי, שתואר לראשונה על ידי אפלטון (הספר האחרון, ה-13 של "היסודות" של אוקלידס תלמידו של אפלטון מוקדש גם להם); // עם כל המגוון האינסופי של מצולעים רגילים (דמויות גיאומטריות דו-ממדיות מוגבלות על ידי צלעות שוות, שזוגות סמוכים שלהן יוצרים זוויות שוות בזוגות), יש רק חמישה מצולעים נפחיים. (ראה טבלה 6), לפיה, מאז תקופת אפלטון, הוצבו חמשת היסודות של היקום; קיים קשר מוזר בין המשושה לאוקטהדרון, כמו גם בין הדודקהדרון והאיקוסהדרון: המרכזים הגיאומטריים של הפנים של כל אחד מהם הם הקודקודים של כל שנייה.

אדם מגלה עניין בפוליהדרה לאורך כל פעילותו המודעת - מילד בן שנתיים המשחק עם קוביות עץ ועד למתמטיקאי בוגר. חלק מהגופים הרגילים והחצי-סדירים מתרחשים בטבע בצורת גבישים, אחרים - בצורת וירוסים הניתנים לבדיקה באמצעות מיקרוסקופ אלקטרונים. מהו פולידרון? כדי לענות על שאלה זו, נזכיר כי הגיאומטריה עצמה מוגדרת לעתים כמדע המרחב והדמויות המרחביות - דו-ממדיות ותלת-ממדיות. ניתן להגדיר דמות דו מימדית כקבוצה של קטעים ישרים שקושרים חלק ממישור. כגון דמות שטוחהשנקרא מצולע. מכאן נובע שניתן להגדיר פולידרון כקבוצה של מצולעים שקושרים חלק מהמרחב התלת מימדי. המצולעים היוצרים פולידרון נקראים הפנים שלו.

מדענים התעניינו זה מכבר במצולעים "אידיאליים" או רגילים, כלומר, מצולעים בעלי צלעות שוות וזוויות שוות. המצולע הרגיל הפשוט ביותר יכול להיחשב כמשולש שווה צלעות, מכיוון שיש לו את מספר הצלעות הקטן ביותר שיכול להגביל חלק מהמישור. התמונה הכללית של המצולעים הרגילים המעניינים אותנו, יחד עם המשולש שווה הצלעות, הם: ריבוע (ארבע צלעות), מחומש (חמש צלעות), משושה (שש צלעות), מתומן (שמונה צלעות), דקאגון (עשר צלעות) וכו' . ברור שתיאורטית אין הגבלות על מספר הצלעות של מצולע רגיל, כלומר, מספר המצולעים הרגילים הוא אינסופי.

מהו פולידרון רגיל? פולידרון רגיל הוא פולידרון כזה, שכל פניו שוות (או חופפות) זה לזה ובו בזמן הם מצולעים רגילים. כמה פוליהדרות רגילות יש? במבט ראשון, התשובה לשאלה זו פשוטה מאוד – ישנם מצולעים רגילים כמו שיש. עם זאת, זה לא. באלמנטים של אוקלידס אנו מוצאים הוכחה קפדנית לכך שיש רק חמש פולי-הדרות רגילות, והפנים שלהן יכולות להיות רק שלושה סוגים של מצולעים רגילים: משולשים, ריבועים ומחומשים.

שם מספר הפנים אלמנט
טטרהדרון 4 אש
משושה/קוביה 6 כדור הארץ
אוקטהדרון 8 אייר
Icosahedron 10 מים
דודקהדרון 12 אתר

עולם הפוליהדרה של כוכבים

העולם שלנו מלא בסימטריה. מאז ימי קדם, הרעיונות שלנו על יופי קשורים אליו. זה כנראה מסביר את העניין המתמשך של האדם בסמלים המדהימים של סימטריה, שמשך את תשומת לבם של הוגים בולטים רבים, מאפלטון ואוקלידס ועד אוילר וקוצ'י.

עם זאת, פוליהדרות אינן בשום אופן רק אובייקטים מחקר מדעי. הצורות שלהם שלמות וגחמניות, ונמצאות בשימוש נרחב באמנויות דקורטיביות.

פוליאדרות בצורת כוכב הן דקורטיביות מאוד, מה שמאפשר שימוש נרחב בתעשיית התכשיטים בייצור כל מיני תכשיטים. הם משמשים גם באדריכלות. צורות רבות של פוליהדרות כוכביות מוצעות על ידי הטבע עצמו. פתיתי שלג הם פוליהדרות בצורת כוכב. מאז ימי קדם, אנשים ניסו לתאר את כל הסוגים האפשריים של פתיתי שלג וחיברו אטלסים מיוחדים. ידועים כיום כמה אלפי סוגים שונים של פתיתי שלג.

דודקהדרון כוכבי

דודקהדרון הכוכבים הגדול שייך למשפחת מוצקי קפלר-פוינסוט, כלומר, פוליהדרות רגילות שאינן קמורות. פניו של הדודקהדרון הכוכבים הגדול הם מחומשים, כמו אלו של הדודקהדרון הקטן. לכל קודקוד יש שלושה פנים מחוברים. קודקודי הדודקהדרון הגדול עולים בקנה אחד עם הקודקודים של הדודקהדרון המתואר.

הדודקהדרון הגדול תואר לראשונה על ידי קפלר בשנת 1619. זוהי צורת הכוכבים האחרונה של הדודקהדרון הרגיל.

דודקהדרון

החכמים הקדמונים אמרו: "כדי להכיר את הבלתי נראה, הסתכלו היטב על הנראה." במונחים של כוחות קדושים, הדודקהדרון הוא הפולידרון החזק ביותר. לא בכדי בחר סלבדור דאלי את הדמות הזו עבור "הסעודה האחרונה" שלו. הוא מכיל שנים עשר מחומשים - גם דמות חזקה, הכוחות מרוכזים בנקודה אחת - בישוע המשיח.

דודקהדרון(מהיוונית דודקה - שתים עשרה והדרה - פנים) הוא רב-הדרון רגיל המורכב משנים-עשר מחומשים שווי צלעות.

לדודקהדרון 20 קודקודים ו-30 קצוות.
קודקוד הדודקהדרון הוא קודקודם של שלושה מחומשים, כך שסכום זוויות המישור בכל קודקוד הוא 324°.
סכום אורכי כל הקצוות הוא 30a.
לדודקהדרון מרכז סימטריה ו-15 צירים של סימטריה.

כל אחד מהצירים עובר דרך נקודות האמצע של קצוות מקבילים מנוגדים. לדודקהדרון 15 מישורי סימטריה. כל אחד ממישורי הסימטריה עוברים בכל פנים דרך החלק העליון והאמצעי של הקצה הנגדי.

פוליהדרות רגילות מושכות עם השלמות של צורותיהן וסימטריה מלאה. חלק מהגופים הרגילים והסדירים למחצה נמצאים בטבע בצורה של גבישים, אחרים - בצורה של וירוסים, מיקרואורגניזמים פשוטים.
קריסטלים הם גופים בעלי צורה רבת פנים. הנה דוגמה אחת לגופים כאלה: גביש פיריט (גופרית פיריט FeS) - דגם טבעי של דודקהדרון.
נגיף הפוליו מעוצב כמו דודקהדרון. הוא יכול לחיות ולהתרבות רק בתאים אנושיים ופרימטים. זה, במיוחד, אומר שניתן לחלות בפוליו רק מאנשים. בנוסף, וירוסים רבים מועברים באמצעות וקטורים, שהם לרוב פרוקי רגליים (לדוגמה, קרציות). יתכן וירוסים כאלה טווח רחבמארחים, כולל חולייתנים וחסרי חוליות.

אצת Volvox - אחד מהאורגניזמים הרב-תאיים הפשוטים ביותר - היא מעטפת כדורית המורכבת בעיקר מתאי משושה, משושה ומחומש (כלומר, תאים עם שבעה, שישה או חמישה שכנים; שלושה תאים מתכנסים בכל "קודקוד").

ישנן דגימות בעלות תאים מרובעים ומתומנים כאחד, אבל ביולוגים שמו לב שאם אין תאים "לא סטנדרטיים" כאלה (עם פחות מחמישה ויותר משבעה) צדדים, אז תמיד יש בדיוק שנים עשר תאים מחומשים יותר מאשר תאים מחומשים. (יכולים להיות כמה מאות או אפילו אלפי תאים בסך הכל). הצהרה זו נובעת מנוסחת אוילר המפורסמת.
פולרנים הם סוג של פחמן. הם התגלו תוך כדי ניסיון לדמות תהליכים המתרחשים בחלל. מאוחר יותר, מדענים במעבדות על פני כדור הארץ הצליחו לסנתז ולחקור נגזרות רבות של מולקולות כדוריות אלו. הכימיה של פולרנים הופיעה. כמה תרכובות הכללה בסריג הקריסטל של פולרן C60 התבררו כ"מוליכים חמים" עם טמפרטורה קריטית של עד 117 K.
ניסיונות נערכים ליצור חומרים מבוססי פולרן עבור אלקטרוניקה מולקולרית מתפתחת. כל זה מעניין וחשוב. אבל, כפי שהתברר, פולרנים קיימים גם בסלעים יבשתיים. כעת, כמה חובבים מקשרים את ההשפעה המרפאת של מי מרסיאליים, שהתגלו ב-1714, שבהם טופל פיטר הגדול, עם נוכחותם של פולרנים בשונגיטים. והתגליות האחרונות של גיאוכימאים מאלצות אותנו לחזור לבעיית מקורם של פולרנים. ייתכן שמחקרים כימיים חדשים של פולרנים יבשתיים יפתחו דפים אחרים היסטוריה עשירהכדור הארץ!
האלכימיה מדברת בדרך כלל רק על היסודות הללו: אש, אדמה, אוויר ומים; האתר מוזכר לעתים רחוקות מכיוון שהוא כל כך קדוש. בבית הספר בפיתגורס, אם רק היית מזכיר את המילה "דודקהדרון" מחוץ לכותלי בית הספר, היית נהרג במקום. הדמות הזו נחשבה כל כך קדושה. אפילו לא דיברו עליה. מאתיים שנה מאוחר יותר, במהלך חייו של אפלטון, הם דיברו על זה, אבל רק בזהירות רבה. למה? כי הדודקהדרון ממוקם בקצה החיצוני של שדה האנרגיה שלכם והוא צורת התודעה הגבוהה ביותר. כאשר תגיעו לגבול של 55 רגל של שדה האנרגיה שלכם, הוא יהיה בצורת כדור. אבל הדמות הפנימית הקרובה ביותר לכדור היא הדודקהדרון (למעשה, מערכת יחסים דודקהדרלית-איקוסהדרלית). בנוסף לכך, אנו חיים בתוך דודקהדרון גדול המכיל את היקום. כשהמוח שלך מגיע לגבול החלל - ויש כאן גבול - אז הוא נתקל בדודקהדרון סגור בכדור. הדודקהדרון הוא הדמות הסופית של הגיאומטריה והיא חשובה מאוד.
ברמה המיקרוסקופית, הדודקהדרון והאיקוסהדרון הם פרמטרי DNA יחסיים שעליהם בנויים כל החיים. ניתן גם לראות שמולקולת ה-DNA היא קובייה מסתובבת. כאשר מסובבים את הקוביה ברצף ב-72 מעלות לפי מודל מסוים, מתקבל איקוסהדרון, שבתורו יוצר זוג עם דודקהדרון.
לפיכך, הגדיל הכפול של סליל ה-DNA בנוי על עיקרון של התכתבות דו-כיוונית: אחרי האיקוסהדרון מגיע הדודקהדרון, ואז האיקוסהדרון שוב, וכן הלאה. סיבוב זה דרך הקובייה יוצר מולקולת DNA.
מבנה ה-DNA מבוסס על גיאומטריה מקודשת, אם כי יתכן ויתגלו קשרים נסתרים אחרים.
ספרו Heartmath של דן וינטר מראה שמולקולת ה-DNA מורכבת מהיחסים הכפולים של דודקהדרונים ואיקוסהדרונים.