هل من الممكن إضافة جذور متطابقة؟ كيفية طرح جذر من رقم

محتوى:

لا يمكنك جمع وطرح الجذور التربيعية إلا إذا كان لها نفس التعبير الجذري، أي أنه يمكنك إضافة أو طرح 2√3 و4√3، لكن ليس 2√3 و2√5. يمكنك تبسيط التعبيرات الجذرية لاختزالها إلى جذور بنفس التعبيرات الجذرية (ثم إضافتها أو طرحها).

خطوات

الجزء 1 فهم الأساسيات

1. 1 (التعبير تحت علامة الجذر).للقيام بذلك، قم بتحليل الرقم الجذري إلى عاملين، أحدهما رقم مربع (رقم يمكنك من خلاله أخذ جذر كامل، على سبيل المثال، 25 أو 9). بعد ذلك، استخرج جذر الرقم المربع واكتب القيمة التي تم العثور عليها أمام علامة الجذر (سيبقى العامل الثاني تحت علامة الجذر). على سبيل المثال، 6√50 - 2√8 + 5√12. الأرقام الموجودة أمام علامة الجذر هي عوامل الجذور المقابلة، والأرقام الموجودة تحت علامة الجذر هي أرقام جذرية (تعبيرات). وإليك كيفية حل هذه المشكلة:
   • 6√50 = 6√(25 × 2) = (6 × 5)√2 = 30√2. هنا تقوم بتحليل 50 إلى عوامل 25 و 2؛ ثم من 25 تستخرج الجذر الذي يساوي 5، وتخرج 5 من تحت الجذر. ثم اضرب 5 في 6 (المضاعف في الجذر) واحصل على 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 × 2) = (2 × 2)√2 = 4√2. هنا تقوم بتحليل 8 إلى عوامل 4 و 2؛ ثم من 4 تأخذ الجذر الذي يساوي 2، وتخرج 2 من تحت الجذر. ثم اضرب 2 في 2 (المضاعف في الجذر) واحصل على 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 × 3) = (5 × 2)√3 = 10√3. هنا تقوم بتحليل 12 إلى عوامل 4 و 3؛ ثم من 4 تأخذ الجذر الذي يساوي 2، وتخرج 2 من تحت الجذر. ثم اضرب 2 في 5 (المضاعف في الجذر) واحصل على 10√3.
2. 2 ضع خطًا تحت الجذور التي تتشابه تعبيراتها الجذرية.في مثالنا، التعبير المبسط يبدو كما يلي: 30√2 - 4√2 + 10√3. يجب عليك فيه وضع خط تحت المصطلحين الأول والثاني ( 30√2 و 4√2 )، لأن لهما نفس الرقم الجذري 2. فقط هذه الجذور يمكنك جمعها وطرحها.
3. 3 إذا أعطيت تعبيرا مع كمية كبيرةالمصطلحات، العديد منها لها نفس التعبيرات الجذرية، تستخدم شرطات سفلية مفردة ومزدوجة وثلاثية للإشارة إلى هذه المصطلحات لتسهيل حل هذا التعبير.
4. 4 بالنسبة للجذور التي تكون تعبيراتها الجذرية متماثلة، قم بإضافة أو طرح العوامل أمام علامة الجذر، واترك التعبير الجذري كما هو (لا تضيف أو تطرح أرقامًا جذرية!). تتمثل الفكرة في إظهار عدد الجذور التي تحتوي على تعبير جذري معين في تعبير معين.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

الجزء الثاني هيا نتدرب مع الأمثلة

1. 1 مثال 1: √(45) + 4√5.
   • بسّط √(45). العامل 45: √(45) = √(9 × 5).
   • أخرج 3 من تحت الجذر (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • الآن أضف العوامل الموجودة في الجذور: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 مثال 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • بسّط 6√(40). العامل 40: 6√(40) = 6√(4 × 10).
   • استخرج 2 من تحت الجذر (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 × 10) = (6 × 2)√10.
   • اضرب العوامل قبل الجذر واحصل على 12√10.
   • الآن يمكن كتابة التعبير بالشكل 12√10 - 3√(10) + √5. بما أن الحدين الأولين لهما نفس الجذر، فيمكنك طرح الحد الثاني من الأول وترك الحد الأول دون تغيير.
   • ستحصل على: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 مثال 3. 9√5 -2√3 - 4√5. هنا، لا يمكن تحليل أي من التعبيرات الجذرية، لذلك لا يمكن تبسيط هذا التعبير. يمكنك طرح الحد الثالث من الأول (لأن لهما نفس الجذور) وترك الحد الثاني دون تغيير. ستحصل على: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 مثال 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 × 3) = 3.
   • √4 = √(2 × 2) = 2.
   • الآن يمكنك ببساطة إضافة 3 + 2 لتحصل على 5.
   • الإجابة النهائية: 5 - 3√2.
5. 5 مثال 5.حل تعبير يحتوي على الجذور والكسور. يمكنك فقط جمع وحساب الكسور التي لها مقام مشترك (نفس). التعبير (√2)/4 + (√2)/2 معطى.
   • أوجد القاسم المشترك الأصغر بين هذه الكسور. هذا رقم قابل للقسمة بالتساوي على كل مقام. في مثالنا، الرقم 4 يقبل القسمة على 4 و 2.
   • الآن اضرب الكسر الثاني في 2/2 (لإحضاره إلى القاسم المشترك; تم اختصار الكسر الأول إليه بالفعل): (√2)/2 × 2/2 = (2√2)/4.
   • اجمع بسط الكسور واترك المقام كما هو: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• قبل جمع أو طرح الجذور، تأكد من تبسيط التعبيرات الجذرية (إن أمكن).

تحذيرات

• لا تقم أبدًا بإضافة أو طرح جذور ذات تعبيرات جذرية مختلفة.
• لا تقم أبدًا بجمع أو طرح عدد صحيح وجذر، على سبيل المثال. 3 + (2س) 1/2 .
  • ملاحظة: "x" أس الثانية والجذر التربيعي لـ "x" هما نفس الشيء (أي x 1/2 = √x).

في عصرنا هذا مع وجود أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية الحديثة، لا يبدو أن حساب جذر الرقم مهمة صعبة. على سبيل المثال، √2704=52، أي آلة حاسبة ستحسب ذلك لك. لحسن الحظ، الآلة الحاسبة متاحة ليس فقط في نظام التشغيل Windows، ولكن أيضًا في الهاتف العادي، وحتى الأبسط. صحيح، إذا فجأة (مع درجة صغيرة من الاحتمال، وحسابها، بالمناسبة، يتضمن إضافة الجذور) تجد نفسك بدون الأموال المتاحةإذن، للأسف، سيتعين عليك الاعتماد فقط على عقلك.

تدريب العقل لا يفشل أبدا. خاصة بالنسبة لأولئك الذين لا يتعاملون مع الأرقام كثيرًا، ناهيك عن الجذور. تعد إضافة الجذور وطرحها تمرينًا جيدًا للعقل الملل. سأوضح لك أيضًا كيفية إضافة الجذور خطوة بخطوة. قد تكون أمثلة التعبيرات على النحو التالي.

معادلة للتبسيط:

√2+3√48-4×√27+√128

هذا تعبير غير عقلاني. من أجل تبسيطها، تحتاج إلى تقليل جميع التعبيرات الجذرية إلى المظهر العام. نحن نفعل ذلك خطوة بخطوة:

لم يعد من الممكن تبسيط الرقم الأول. دعنا ننتقل إلى الفصل الدراسي الثاني.

3√48 نقوم بتحليل 48: 48=2×24 أو 48=3×16. من 24 ليس عددا صحيحا، أي. لديه باقي كسري. لأننا نحتاج القيمة الدقيقةفالجذور التقريبية ليست مناسبة لنا. الجذر التربيعي لـ 16 هو 4، أخرجه من الأسفل نحصل على: 3×4×√3=12×√3

التعبير التالي هو سلبي، أي. مكتوبة بعلامة الطرح -4×√(27.) نقوم بتحليل 27. نحصل على 27=3×9. نحن لا نستخدم العوامل الكسرية لأنه من الصعب حساب الجذر التربيعي للكسور. نخرج 9 من تحت اللافتة، أي. حساب الجذر التربيعي. نحصل على التعبير التالي: -4×3×√3 = -12×√3

الحد التالي √128 يحسب الجزء الذي يمكن إخراجه من تحت الجذر. 128=64×2، حيث √64=8. إذا كان الأمر أسهل بالنسبة لك، يمكنك تخيل هذا التعبير على النحو التالي: √128=√(8^2×2)

نعيد كتابة التعبير بعبارات مبسطة:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

الآن نجمع الأرقام باستخدام نفس التعبير الجذري. لا يمكنك إضافة أو طرح تعبيرات ذات تعبيرات جذرية مختلفة. تتطلب إضافة الجذور الامتثال لهذه القاعدة.

نحصل على الجواب التالي:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - آمل ألا تكون حقيقة أنه من المعتاد في الجبر حذف مثل هذه العناصر أمرًا جديدًا بالنسبة لك.

يمكن تمثيل التعبيرات ليس فقط بالجذر التربيعي، ولكن أيضًا بالجذر المكعب أو الجذر النوني.

جمع وطرح الجذور ذات الأسس المختلفة، ولكن مع تعبير جذري مكافئ، يحدث على النحو التالي:

إذا كان لدينا تعبير بالصيغة √a+∛b+∜b، فيمكننا تبسيط هذا التعبير كما يلي:

∛ب+∜ب=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

لقد قمنا بتبسيط حدين متشابهين إلى جذر مشترك. هنا تم استخدام خاصية الجذور، والتي تنص على: إذا ضرب عدد درجة التعبير الجذري وعدد أس الجذر في نفس العدد، فإن حسابها سيبقى دون تغيير.

ملاحظة: يتم جمع الأسس فقط عند الضرب.

لنفكر في مثال عندما يحتوي التعبير على كسور.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

سنقرر على مراحل:

5√8=5*2√2 - نخرج الجزء المستخرج من تحت الجذر.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

إذا تم تمثيل جسم الجذر بكسر، فغالبًا لن يتغير هذا الكسر إذا أخذت الجذر التربيعي للمقسوم والمقسوم عليه. ونتيجة لذلك، حصلنا على المساواة المذكورة أعلاه.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

هنا هو الجواب.

الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو ذلك أرقام سلبيةلا يمكن استخراج الجذر ذو الأس الزوجي. إذا كان التعبير الجذري للدرجة الزوجية سالبًا، فإن التعبير غير قابل للحل.

لا يمكن إضافة الجذور إلا إذا كانت التعبيرات الجذرية متطابقة، لأنها كذلك مصطلحات مماثلة. الأمر نفسه ينطبق على الفرق.

يتم تنفيذ عملية إضافة الجذور ذات الأسس العددية المختلفة عن طريق تقليل كلا الحدين إلى درجة جذر مشترك. يعمل هذا القانون بنفس طريقة الاختزال إلى قاسم مشترك عند إضافة أو طرح الكسور.

إذا كان التعبير الجذري يحتوي على رقم مرفوع لقوة، فيمكن تبسيط هذا التعبير بشرط وجود قاسم مشترك بين أس الجذر والقوة.

في الرياضيات، يمكن أن تكون الجذور مربعة أو مكعبة أو لها أي أس آخر (قوة)، والتي تكون مكتوبة على اليسار فوق علامة الجذر. يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر بالتعبير الجذري. إن إضافة الجذور يشبه إضافة الأطراف تعبير جبريأي أنه يتطلب تحديد الجذور المتشابهة.

خطوات

تعيين الجذور.التعبير الموجود تحت علامة الجذر () يعني أنه من الضروري استخراج جذر درجة معينة من هذا التعبير.

• يشار إلى الجذر بعلامة.
• يتم كتابة أس (درجة) الجذر على اليسار فوق علامة الجذر. على سبيل المثال، يتم كتابة الجذر التكعيبي للرقم 27 على النحو التالي: (27)
• إذا كان مؤشر (درجة) الجذر مفقودًا، فإن الأس يعتبر مساويًا لـ 2، أي أنه جذر تربيعي (أو جذر الدرجة الثانية).
• الرقم المكتوب قبل علامة الجذر يسمى مضاعف (أي أن هذا الرقم مضروب في الجذر)، على سبيل المثال 5 (2)
• إذا لم يكن هناك عامل أمام الجذر، فهو يساوي 1 (تذكر أن أي رقم مضروب في 1 يساوي نفسه).
• إذا كانت هذه هي المرة الأولى التي تتعامل فيها مع الجذور، فقم بتدوين الملاحظات المناسبة حول المضاعف والأس الجذري لتجنب الارتباك وفهم الغرض منهما بشكل أفضل.

تذكر أي الجذور يمكن طيها وأيها لا يمكن طيها.مثلما لا يمكنك إضافة مصطلحات مختلفة للتعبير، على سبيل المثال، 2a + 2b 4ab، لا يمكنك إضافة جذور مختلفة.

تحديد وتجميع الجذور المتشابهة.الجذور المتشابهة هي الجذور التي لها نفس المؤشرات ونفس التعبيرات الجذرية. على سبيل المثال، النظر في التعبير:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• أولاً، أعد كتابة التعبير بحيث تقع الجذور التي لها نفس الفهرس بشكل تسلسلي.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• ثم أعد كتابة التعبير بحيث تكون الجذور التي لها نفس الأس ونفس التعبير الجذري موجودة بالتتابع.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

بسّط الجذور.للقيام بذلك، قم بتحليل (حيثما أمكن) التعبيرات الجذرية إلى عاملين، يتم إخراج أحدهما من تحت الجذر. في هذه الحالة، يتم ضرب الرقم المحذوف والعامل الجذري.

أضف العوامل ذات الجذور المتشابهة.في مثالنا، هناك جذور تربيعية متشابهة للرقم 2 (يمكن إضافتها) وجذور تربيعية مماثلة للرقم 3 (يمكن إضافتها أيضًا). الجذر التكعيبي للعدد 3 ليس له مثل هذه الجذور.

• لا توجد قواعد مقبولة بشكل عام للترتيب الذي يتم به كتابة الجذور في التعبير. لذلك، يمكنك كتابة الجذور بترتيب تصاعدي لمؤشراتها وبترتيب تصاعدي للتعبيرات الجذرية.

كل شيء مثير للاهتمام

غالبًا ما يتعارض الرقم الموجود أسفل علامة الجذر مع حل المعادلة ويكون غير مناسب للعمل معه. حتى لو تم رفعه إلى قوة أو كسر أو لا يمكن تمثيله كرقم صحيح إلى قوة معينة، يمكنك محاولة استخلاصه من...

جذر الرقم x هو الرقم الذي عند رفعه إلى قوة الجذر يساوي x. المضاعف هو الرقم الذي يتم ضربه. أي أنه في تعبير بالصيغة x*ª-&radic-y تحتاج إلى إدخال x تحت الجذر. تعليمات 1 تحديد الدرجة...

إذا كان التعبير الجذري يحتوي على مجموعة من العمليات الرياضية ذات المتغيرات، ففي بعض الأحيان نتيجة لتبسيطه، من الممكن الحصول على قيمة بسيطة نسبيًا، يمكن إخراج جزء منها من تحت الجذر. قد يكون هذا التبسيط مفيدًا..

يمكن للعمليات الحسابية ذات الجذور ذات الدرجات المختلفة أن تبسط بشكل كبير العمليات الحسابية في الفيزياء والتكنولوجيا وتجعلها أكثر دقة. عند الضرب والقسمة، يكون من الأفضل عدم استخراج جذر كل عامل أو مقسوم ومقسوم، ولكن أولاً...

الجذر التربيعي للرقم x هو الرقم a، والذي عند ضربه في نفسه يعطي الرقم x: a * a = a^2 = x, x = a. كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك إجراء العمليات الحسابية من الجمع والطرح مع الجذور التربيعية. تعليمات...

يمكن أن يكون للجذر في الرياضيات معنيان: فهو عملية حسابية ولكل حل من حلول المعادلة، الجبرية، البارامترية، التفاضلية أو أي شيء آخر. تعليمات 1الجذر النوني لـ a هو رقم مثل...

عند أداء مختلف عمليات حسابيةمع الجذور، غالبًا ما تكون القدرة على تحويل التعبيرات الجذرية ضرورية. لتبسيط الحسابات، قد تحتاج إلى نقل المضاعف خارج علامة الجذر أو إضافته تحتها. هذا الإجراء يمكن...

الجذر هو رمز يشير إلى العملية الرياضية للعثور على رقم، ويجب أن يؤدي رفعه إلى القوة المشار إليها أمام علامة الجذر إلى إعطاء الرقم المشار إليه تحت هذه العلامة بالذات. في كثير من الأحيان، لحل المشاكل التي تنطوي على...

علامة الجذر في العلوم الرياضيةمُسَمًّى رمزللجذور. الرقم الموجود تحت علامة الجذر يسمى تعبيرًا جذريًا. إذا لم يكن هناك أس، فإن الجذر هو جذر تربيعي، وإلا فإن الرقم يشير إلى...

الجذر الحسابي الدرجة التاسعةمن عدد حقيقي a يسمى عدد غير سالب x، الدرجة التاسعةوالذي يساوي العدد أ. أولئك. (ن) أ = س، س^ن = أ. يخرج طرق مختلفةإضافة الجذر الحسابيو عدد منطقي...

الجذر n للرقم الحقيقي a هو الرقم b الذي تكون المساواة فيه b^n = a. الجذور الفردية توجد للأعداد السالبة والموجبة، لكن الجذور الزوجية توجد فقط للأعداد الموجبة.

في الرياضيات، أي عمل له زوج معاكس - في جوهره، هذا هو أحد مظاهر قانون الديالكتيك الهيغلي: "وحدة وصراع الأضداد". يهدف أحد الإجراءات في مثل هذا "الزوج" إلى زيادة العدد، والآخر، عكسه، يهدف إلى تقليله. على سبيل المثال، عكس الجمع هو الطرح، والقسمة هو عكس الضرب. الأسي له أيضًا زوج جدلي متقابل خاص به. نحن نتحدث عن استخراج الجذر.

إن استخراج جذر قوة كذا وكذا من رقم يعني حساب الرقم الذي يجب رفعه إلى القوة المناسبة حتى ينتهي الأمر برقم معين. والدرجتان لهما أسماء منفصلة خاصة بهما: الدرجة الثانية تسمى "مربع"، والثالثة تسمى "مكعب". وعليه فمن الجميل أن نطلق على جذور هذه القوى جذور تربيعية ومكعبية. الإجراءات ذات الجذور التكعيبية هي موضوع لمناقشة منفصلة، ​​ولكن الآن دعونا نتحدث عن الجمع الجذور التربيعية.

لنبدأ بحقيقة أنه في بعض الحالات يكون من الأسهل استخراج الجذور التربيعية أولاً ثم إضافة النتائج. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد قيمة التعبير التالي:

ففي نهاية المطاف، ليس من الصعب على الإطلاق حساب أن الجذر التربيعي لـ 16 هو 4، و121 هو 11. وبالتالي،

√16+√121=4+11=15

ومع ذلك، هذه هي الحالة الأبسط - نحن هنا نتحدث عن مربعات كاملة، أي. حول تلك الأرقام التي تم الحصول عليها عن طريق تربيع الأعداد الصحيحة. ولكن هذا لا يحدث دائما. على سبيل المثال، الرقم 24 ليس مربعًا كاملاً (لا يوجد عدد صحيح يؤدي إلى 24 عند رفعه إلى القوة الثانية). الأمر نفسه ينطبق على رقم مثل 54... ماذا لو أردنا إضافة الجذور التربيعية لهذه الأرقام؟

في هذه الحالة، لن نتلقى في الإجابة رقمًا، بل تعبيرًا آخر. أقصى ما يمكننا فعله هنا هو تبسيط التعبير الأصلي قدر الإمكان. للقيام بذلك، سيتعين عليك إخراج العوامل من تحت الجذر التربيعي. دعونا نرى كيف يتم ذلك باستخدام الأرقام المذكورة أعلاه كمثال:

أولًا، دعونا نحلل 24 إلى عوامل بحيث يمكن بسهولة استخراج أحدها كجذر تربيعي (أي بحيث يكون مربعًا كاملاً). يوجد مثل هذا الرقم - إنه 4:

الآن دعونا نفعل الشيء نفسه مع 54. في تكوينه، سيكون هذا الرقم 9:

وبذلك نحصل على ما يلي:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

والآن لنستخرج الجذور مما يمكننا استخلاصها منه: 2*√6+3*√6

هناك عامل مشترك هنا يمكننا إخراجه من الأقواس:

(2+3)* √6=5*√6

ستكون هذه نتيجة الإضافة - لا يمكن استخراج أي شيء آخر هنا.

صحيح أنه يمكنك اللجوء إلى استخدام الآلة الحاسبة - لكن النتيجة ستكون تقريبية وبها عدد كبير من المنازل العشرية:

√6=2,449489742783178

وبتقريبه تدريجيًا، نحصل على 2.5 تقريبًا. إذا كنا لا نزال نرغب في إيصال حل المثال السابق إلى نهايته المنطقية، فيمكننا ضرب هذه النتيجة في 5 - وسنحصل على 12.5. من المستحيل الحصول على نتيجة أكثر دقة بهذه البيانات الأولية.

الجذر التربيعي للرقم x هو الرقم a، والذي عند ضربه في نفسه يعطي الرقم x: a * a = a^2 = x, √x = a. كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك إجراء العمليات الحسابية من الجمع والطرح مع الجذور التربيعية.

تعليمات

• أولًا، عند إضافة الجذور التربيعية، حاول استخراج تلك الجذور. سيكون هذا ممكنًا إذا كانت الأرقام الموجودة أسفل علامة الجذر عبارة عن مربعات كاملة. على سبيل المثال، لنفترض أن التعبير √4 + √9 معطى. الرقم الأول 4 هو مربع الرقم 2. والرقم الثاني 9 هو مربع الرقم 3. وهكذا يتبين أن: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• إذا لم تكن هناك مربعات كاملة تحت علامة الجذر، فحاول إزالة مضاعف الرقم من تحت علامة الجذر. على سبيل المثال، لنفترض أن التعبير √24 + √54 معطى. قم بتحليل الأرقام: 24 = 2 * 2 * 2 * 3، 54 = 2 * 3 * 3 * 3. الرقم 24 له عامل 4، والذي يمكن إخراجه تحت علامة الجذر التربيعي. الرقم 54 له عامل 9. وهكذا يتبين أن: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . في هذا المثال، نتيجة لإزالة المضاعف من تحت علامة الجذر، كان من الممكن تبسيط التعبير المحدد.
• اجعل مجموع الجذرين التربيعيين هو مقام الكسر، على سبيل المثال، A / (√a + √b). ولتكن مهمتك "التخلص من اللاعقلانية في القاسم". ثم يمكنك استخدام الطريقة التالية. اضرب بسط الكسر ومقامه بالتعبير √a - √b. وهكذا نحصل في المقام على صيغة الضرب المختصرة: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. قياسًا على ذلك، إذا كان المقام يحتوي على الفرق بين الجذور: √a - √b، فيجب ضرب بسط ومقام الكسر بالتعبير √a + √b. على سبيل المثال، لنفترض أن الكسر 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• فكر في المزيد مثال معقدالتخلص من اللاعقلانية في القاسم. افترض أن الكسر 12 / (√2 + √3 + √5) معطى. من الضروري ضرب بسط ومقام الكسر بالتعبير √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• أخيرًا، إذا كنت تحتاج فقط إلى قيمة تقريبية، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة لحساب الجذور التربيعية. احسب القيم لكل رقم بشكل منفصل واكتبها بالدقة المطلوبة (على سبيل المثال، منزلتين عشريتين). ومن ثم إجراء العمليات الحسابية المطلوبة كما هو الحال مع الأعداد العادية. على سبيل المثال، لنفترض أنك تريد معرفة القيمة التقريبية للتعبير √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89.