אמירות פשוטות ומורכבות. שלילת הצהרה

הלוגיקה המתמטית, שאת יסודותיה הניח ג' לייבניץ עוד במאה ה-17, נוצרה כדיסציפלינה מדעית רק באמצע המאה ה-19 הודות לעבודתם של המתמטיקאים ג'יי בול ואו מורגן, שיצרו את אלגברה של לוגיקה.

1. משפט הוא כל משפט הצהרתי שידוע שהוא נכון או לא נכון. ניתן להביע אמירות באמצעות מילים, כמו גם סמלים מתמטיים, כימיים ואחרים. הנה כמה דוגמאות:

ב) 2+6>8 (הצהרה כוזבת),

ג) סכום המספרים 2 ו-6 מספר נוסף 8 (הצהרה כוזבת);

ד) II + VI > VII (הצהרה אמיתית);

ה) יש תרבויות מחוץ לכדור הארץ בתוך הגלקסיה שלנו (הצהרה זו היא ללא ספק נכונה או שקרית, אך עדיין לא ידוע איזו מהאפשרויות הללו נכונה).

ברור שאמירות ב) ו-ג) אומרות אותו דבר, אבל הן מתבטאות אחרת. באופן כללי, נכתוב הצהרות כך: א: (הירח הוא לוויין של כדור הארץ); b:(יש מספר ממשי x כך ש-2x+5=15); c: (כל המשולשים הם שווה שוקיים).

לא כל משפט הוא אמירה. לדוגמה, משפטי קריאה וחקירה אינם אמירות ("איזה צבע הבית הזה?", "שתה" מיץ עגבניות!", "עצור!" וכו'). הגדרות אינן הצהרות, למשל, "בואו נקרא לקטע המחבר את קודקוד המשולש עם אמצע הצלע הנגדית כחציון." כאן, רק שם של עצם כלשהו לפיכך, הגדרות, אך יכולות להיות נכונות או שגויות, הן רק רושמות שימוש מקובלתנאים. גם המשפטים "יש לו עין אפורה" או "x 2 - 4x + 3 = 0" אינם הצהרות - הם לא מציינים איזה האיש הולךדיבור או באיזה x נחשב שוויון. משפטים כאלה עם איבר לא ידוע (משתנה) נקראים אמירות מעורפלות. שימו לב שהמשפט "לחלק מהאנשים יש עיניים אפורות" או "עבור כל x השוויון x 2 - 4x + 3 = 0" הוא כבר משפט (הראשון שבהם נכון, והשני הוא שקר).

2. אמירה שניתן לפרק לחלקים תיקרא מורכבת, ואמירה שאי אפשר לפרק אותה עוד תיקרא פשוטה. לדוגמה, האמירה "היום בשעה 4 אחר הצהריים הייתי בבית הספר, ובשעה 6 בערב הלכתי למשטח החלקה" מורכבת משני חלקים: "היום בשעה 4 בצהריים אחר הצהריים הייתי בבית הספר" ו"היום בשעה 6 בערב הלכתי למשטח החלקה". או המשפט הזה: "הפונקציה y = ax 2 + bx + c היא רציפה וניתנת להבדלה עבור כל הערכים איקס"מורכבת משתי הצהרות פשוטות: "הפונקציה y = ax 2 + bx + c היא רציפה עבור כל הערכים של x" ו"הפונקציה y = ax 2 + bx + c ניתנת להפרדה עבור כל ערכי x."

כשם שניתן לקבל מספרים אחרים ממספרים נתונים באמצעות פעולות חיבור, חיסור, כפל וחילוק, כך מהצהרות נתונות ניתן לקבל מספרים חדשים באמצעות פעולות שיש להן שמות מיוחדים: צירוף, ניתוק, רמז, שקילות, שלילה. למרות ששמות אלו נשמעים יוצאי דופן, הם מתכוונים רק לחיבורים הידועים של משפטים בודדים עם חיבורים "ו", "או", "אם...אז...", "אם ורק אם...", גם כן. כתוספת של החלקיק "לא" לאמירה.

3. שלילה של משפט a היא משפט a כך ש- a שקר אם a נכון, ו- a נכון אם a שקר. הסימן a קורא כך: "לא a", או "זה לא נכון שא." בואו ננסה להבין את ההגדרה הזו בעזרת דוגמאות. שקול את ההצהרות הבאות:

ת: (היום בשעה 12 בצהריים הייתי במשטח החלקה);

ב: (היום הייתי במשטח החלקה לא ב-12 בצהריים);

s: (הייתי במשטח החלקה ב-12 בצהריים, לא היום);

ד:(היום בשעה 12 בצהריים הייתי בבית הספר);

ה: (היום הייתי במשטח החלקה בשעה 3 בצהריים);

ו:(היום ב-12 בצהריים לא הייתי במשטח החלקה);

במבט ראשון, כל ההצהרות b - f שוללות משפט א. אבל בעצם זה לא. אם תקראו בעיון את המשמעות של משפט ב', תשימו לב שהצהרות א' וגם ב' יכולות להתברר בו זמנית כשגויות - זה יקרה אם היום לא הייתי בכלל במשטח החלקה. כך גם לגבי ההצהרות a ו-c, a ו-a. והצהרות א ו-ה יכולות להתברר גם כנכונות (אם, למשל, החלקתי מ-11 עד 4 אחר הצהריים) וגם כשגויות (אם היום לא הייתי במשטח החלקה בכלל ). ורק לאמירה f יש הנכס הבא: זה נכון במקרה שבו ההצהרה a היא שקר, ושקר במקרה שבו ההצהרה a נכונה. זה אומר שהמשפט f הוא שלילת ההצהרה a, כלומר f = a. הטבלה הבאה מציגה את הקשר בין ההצהרות a ו-;

האותיות "i" ו-"l" הן קיצורים של המילים "true" ו-"false", בהתאמה. מילים אלו בלוגיקה נקראות ערכי אמת. הטבלה נקראת טבלת אמת.

היגדים לוגיים , הנקרא גם לוגיקה פרופוזיציונית, הוא ענף של מתמטיקה ולוגיקה החוקר את הצורות הלוגיות של הצהרות מורכבות הבנויות מהצהרות פשוטות או אלמנטריות תוך שימוש בפעולות לוגיות.

לוגיקה פרופוזיציונית מפשטת מתוכן הצהרות ולומדת את ערך האמת שלהן, כלומר האם האמירה נכונה או שקרית.

התמונה למעלה היא המחשה של תופעה המכונה פרדוקס השקרן. יחד עם זאת, לדעת מחבר הפרויקט, פרדוקסים כאלה אפשריים רק בסביבות שאינן נקיות מבעיות פוליטיות, שבהן ניתן אפריורי לתייג מישהו כשקרן. בעולם הטבעי הרב-שכבתי הנושא של "אמת" או "שקר" רק הצהרות בודדות מוערכות . ובהמשך השיעור הזה תכירו ההזדמנות להעריך בעצמך אמירות רבות בנושא זה (ואז תסתכל על התשובות הנכונות). כולל הצהרות מורכבות שבהן פשוטות יותר קשורות זו בזו על ידי סימנים של פעולות לוגיות. אבל ראשית, בואו נבחן את הפעולות הללו על הצהרות עצמן.

לוגיקה פרופוזיציונית משמשת במדעי המחשב ובתכנות בצורה של הכרזה על משתנים לוגיים והקצאת ערכים לוגיים "שקר" או "נכון", שבהם תלוי מהלך המשך הביצוע של התוכנית. בתוכניות קטנות שבהן מעורב רק משתנה בוליאני אחד, לרוב ניתן למשתנה הבוליאני שם כגון "דגל" והמשמעות היא "דגל למעלה" כאשר ערך המשתנה הוא "נכון" ו"דגל למטה". , כאשר הערך של משתנה זה הוא "false". בתוכנות גדולות, בהן יש כמה או אפילו הרבה משתנים לוגיים, אנשי מקצוע נדרשים להמציא שמות למשתנים לוגיים בעלי צורה של הצהרות ומשמעות סמנטית המבדילה אותם ממשתנים לוגיים אחרים ומובן לאנשי מקצוע אחרים. יקרא את הטקסט של תוכנית זו.

לפיכך, ניתן להצהיר על משתנה לוגי בשם "UserRegistered" (או האנלוגי שלו בשפה האנגלית) בצורה של הצהרה, שניתן להקצות לה את הערך הלוגי "true" אם מתקיימים התנאים לכך שנתוני הרישום נשלחו על ידי המשתמש ונתונים אלו מוכרים כתקפים על ידי התוכנית. בחישובים נוספים, ערכי המשתנים עשויים להשתנות בהתאם לערך הלוגי (true or false) של המשתנה UserRegistered. במקרים אחרים, למשתנה, למשל, בשם "יותר משלושה ימים נותרו לפני היום", ניתן להקצות את הערך "True" לפני בלוק מסוים של חישובים, ובמהלך המשך ביצוע התוכנית יכול להיות ערך זה נשמר או שונה ל-"false" והתקדמות ביצוע נוסף תלויה בערך של תוכניות משתנה זה.

אם תוכנה משתמשת במספר משתנים לוגיים, שלשמותיהם יש צורה של הצהרות, ומהם נבנות הצהרות מורכבות יותר, אז קל הרבה יותר לפתח את התוכנה אם לפני פיתוחה נכתוב את כל הפעולות מתוך הצהרות בצורה של נוסחאות המשמשות בלוגיקה של הצהרות ממה שאנו עושים במהלך השיעור הזה הוא מה שנעשה.

פעולות לוגיות על הצהרות

לגבי הצהרות מתמטיות תמיד אפשר לבחור בין שתי חלופות שונות, "נכון" ו"לא נכון", אבל לגבי הצהרות שנאמרות בשפה "מילולית", המושגים "אמת" ו"שקר" מעט מעורפלים יותר. עם זאת, למשל, צורות מילוליות כמו "לך הביתה" ו"יורד גשם?" אינן הצהרות. לכן ברור ש הצהרות הן צורות מילוליות שבהן נאמר משהו . משפטי חקירה או קריאה, ערעורים, כמו גם משאלות או דרישות אינן הצהרות. לא ניתן להעריך אותם עם הערכים "נכון" ו"לא נכון".

הצהרות, להיפך, יכולות להיחשב ככמויות שיכולות לקבל שתי משמעויות: "נכון" ו"לא נכון".

לדוגמה, ניתנים פסקי הדין הבאים: "כלב הוא חיה", "פריז היא בירת איטליה", "3

את הראשון מבין ההצהרות הללו ניתן להעריך עם הסמל "נכון", השני עם "לא נכון", השלישי עם "נכון" והרביעי עם "לא נכון". פרשנות זו של הצהרות היא הנושא של אלגברה פרופוזיציונית. נסמן הצהרות באותיות גדולות א, ב, ..., והמשמעויות שלהם, כלומר, אמת ושקר, בהתאמה וו ל. בדיבור רגיל משתמשים בקשרים בין הצהרות "ו", "או" ואחרות.

קשרים אלו מאפשרים, על ידי חיבור של הצהרות שונות זו לזו, ליצור הצהרות חדשות - אמירות מורכבות . לדוגמה, ה"ו" המחבר. תנו להצהרות להינתן: " π יותר מ-3" והמשפט " π פחות מ-4". אתה יכול לארגן הצהרה חדשה - מורכבת " π יותר מ-3 ו π פחות מ-4". הצהרה "אם π לא רציונלי אז π ² הוא גם לא רציונלי" מתקבל ע"י חיבור שני היגדים עם החיבור "אם - אז". לבסוף, נוכל לקבל מכל משפט חדש - משפט מורכב - ע"י הכחשת ההצהרה המקורית.

התחשבות בהצהרות ככמויות שמקבלות משמעויות וו ל, נגדיר עוד פעולות לוגיות על הצהרות , המאפשרים לנו לקבל הצהרות מורכבות חדשות מהצהרות אלו.

תנו שתי הצהרות שרירותיות או ב.

1 . הפעולה הלוגית הראשונה על הצהרות אלו - צירוף - מייצגת היווצרות של אמירה חדשה, אותה נסמן א ∧ בוזה נכון אם ורק אם או באמיתיים. בדיבור רגיל, פעולה זו מתאימה לחיבור של הצהרות עם "ו" המחבר.

טבלת אמת לצירוף:

א	ב	א ∧ ב
ו	ו	ו
ו	ל	ל
ל	ו	ל
ל	ל	ל

2 . פעולה לוגית שניה על הצהרות או ב- ניתוק מתבטא כ א ∨ ב, מוגדר כדלקמן: זה נכון אם ורק אם לפחות אחת מההצהרות המקוריות נכונה. בדיבור רגיל, פעולה זו מתאימה לחיבור הצהרות עם החיבור "או". עם זאת, כאן יש לנו "או", שאינו מפריד, המובן במובן של "או או" כאשר או בשניהם לא יכולים להיות נכונים. בהגדרת היגיון פרופוזיציוני א ∨ בנכון גם אם רק אחת מהמשפטים נכונה, וגם אם שתי ההצהרות נכונות או ב.

טבלת אמת להפרדה:

א	ב	א ∨ ב
ו	ו	ו
ו	ל	ו
ל	ו	ו
ל	ל	ל

3 . הפעולה ההגיונית השלישית על הצהרות או ב, מתבטא כ א → ב; ההצהרה שהתקבלה כך היא שקרית אם ורק אם אנכון, אבל בשֶׁקֶר. אשקוראים לו לפי חבילה , ב - תוֹצָאָה , וההצהרה א → ב - הבא , הנקרא גם השלכה. בדיבור רגיל, פעולה זו מתאימה לחיבור "אם-אז": "אם א, זה ב". אבל בהגדרה של לוגיקה פרופוזיציונית, הצהרה זו תמיד נכונה ללא קשר אם ההצהרה נכונה או לא נכונה ב. נסיבה זו יכולה להתנסח בקצרה כך: "מהשווא הכל נובע". בתורו, אם אנכון, אבל בהוא שקר, אז כל ההצהרה א → בשֶׁקֶר. זה יהיה נכון אם ורק אם א, ו באמיתיים. בקצרה, ניתן לנסח זאת באופן הבא: "שקר אינו יכול לנבוע מהאמת."

טבלת אמת לעקוב אחר (משמעות):

א	ב	א → ב
ו	ו	ו
ו	ל	ל
ל	ו	ו
ל	ל	ו

4 . הפעולה ההגיונית הרביעית על אמירות, ליתר דיוק על אמירה אחת, נקראת שלילה של אמירה אומסומן על ידי ~ א(אתה יכול גם למצוא את השימוש לא בסמל ~, אלא בסמל ¬, כמו גם ניקוד יתר למעלה א). ~ איש הצהרה שהיא שקרית מתי אנכון, ונכון מתי אשֶׁקֶר.

טבלת אמת לשלילה:

א	~ א
ל	ו
ו	ל

5 . ולבסוף, הפעולה ההגיונית החמישית על הצהרות נקראת שקילות והיא מסומנת א ↔ ב. ההצהרה שהתקבלה א ↔ באמירה נכונה אם ורק אם או בשניהם נכונים או שניהם שקר.

טבלת אמת לשקולות:

א	ב	א → ב	ב → א	א ↔ ב
ו	ו	ו	ו	ו
ו	ל	ל	ו	ל
ל	ו	ו	ל	ל
ל	ל	ו	ו	ו

לרוב שפות התכנות יש סמלים מיוחדים לציון המשמעויות הלוגיות של הצהרות; הם כתובים כמעט בכל השפות כאמת ושקר.

בואו נסכם את האמור לעיל. היגדים לוגיים בוחן קשרים שנקבעים לחלוטין על ידי האופן שבו הצהרות מסוימות בנויות מאחרות, הנקראות יסודיות. במקרה זה, הצהרות אלמנטריות נחשבות כשלמות ולא ניתן לפרק אותן לחלקים.

הבה נעשה שיטתיות בטבלה למטה את השמות, הסימונים והמשמעות של פעולות לוגיות על הצהרות (בקרוב נצטרך אותם שוב כדי לפתור דוגמאות).

צְרוֹר	יִעוּד	שם המבצע
לֹא		שְׁלִילָה
ו		צירוף
אוֹ		ניתוק
אם... אז...		מַשְׁמָעוּת
אז ורק אז		שְׁקִילוּת

נכון לפעולות לוגיות חוקי לוגיקה אלגברה, שבו ניתן להשתמש כדי לפשט ביטויים לוגיים. יש לציין כי בלוגיקה פרופוזיציונית מופשטים מהתוכן הסמנטי של אמירה ומגבילים את עצמם להתחשב בה מתוך העמדה שהיא נכונה או שקרית.

דוגמה 1.

1) (2 = 2) AND (7 = 7);

2) לא(15;

3) ("אורן" = "אלון") או ("דובדבן" = "מייפל");

4) Not("אורן" = "אלון");

5) (לא(15 20) ;

6) ("העיניים נתונות לראות") וגם ("מתחת לקומה השלישית נמצאת הקומה השנייה");

7) (6/2 = 3) או (7*5 = 20) .

1) משמעות האמירה בסוגריים הראשונים היא "אמת", גם משמעות הביטוי בסוגריים השניים נכונה. שתי ההצהרות קשורות בפעולה הלוגית "AND" (ראה את הכללים לפעולה זו למעלה), לכן הערך הלוגי של כל המשפט הזה הוא "נכון".

2) משמעות האמירה בסוגריים היא "שקר". לפני אמירה זו ישנה פעולה לוגית של שלילה, לכן המשמעות ההגיונית של כל האמירה הזו היא "אמיתית".

3) משמעות האמירה בסוגריים הראשונים היא "שקר", משמעות ההצהרה בסוגריים השניה היא גם "שקר". הצהרות מחוברות בפעולה הלוגית "OR" ולאף אחת מהמשפטים אין את הערך "true". לכן, המשמעות ההגיונית של כל ההצהרה הזו היא "שקר".

4) משמעות האמירה בסוגריים היא "שקר". קודמת לאמירה זו הפעולה הלוגית של השלילה. לכן, המשמעות ההגיונית של כל ההצהרה הזו היא "אמיתית".

5) ההצהרה בסוגריים הפנימיים מבוטלת בסוגריים הראשונים. לאמירה זו בסוגריים פנימיים יש משמעות "שקר", ולכן לשלילתה תהיה המשמעות הלוגית "אמת". משמעות ההצהרה בסוגריים השנייה היא "שקר". שתי ההצהרות הללו מחוברות על ידי הפעולה הלוגית "AND", כלומר מתקבלת "true AND false". לכן, המשמעות ההגיונית של כל ההצהרה הזו היא "שקר".

6) משמעות האמירה בסוגריים הראשונים היא "אמת", משמעות האמירה בסוגריים השניה היא גם "אמת". שתי ההצהרות הללו מחוברות על ידי הפעולה הלוגית "AND", כלומר מתקבלת "אמת ואמת". לכן, המשמעות הלוגית של כל ההצהרה הנתונה היא "אמיתית".

7) משמעות האמירה בסוגריים הראשונים היא "אמת". משמעות האמירה בסוגריים השניה היא "שקר". שתי ההצהרות הללו קשורות בפעולה הלוגית "OR", כלומר, "true OR false". לכן, המשמעות הלוגית של כל ההצהרה הנתונה היא "אמיתית".

דוגמה 2.כתוב את ההצהרות המורכבות הבאות באמצעות פעולות לוגיות:

1) "המשתמש אינו רשום";

2) "היום יום ראשון וחלק מהעובדים עובדים";

3) "המשתמש רשום אם ורק אם הנתונים שנמסרו על ידי המשתמש נחשבים תקפים."

1) ע- הצהרה יחידה "המשתמש רשום", פעולה לוגית: ;

2) ע- הצהרה יחידה "היום יום ראשון", ש- "חלק מהעובדים בעבודה", פעולה הגיונית: ;

3) ע- הצהרה יחידה "המשתמש רשום", ש- "הנתונים שנשלחו על ידי המשתמש נמצאו תקפים", פעולה לוגית: .

פתרו בעצמכם דוגמאות של היגיון פרופוזיציוני, ואז הסתכלו על הפתרונות

דוגמה 3.חשב את הערכים הלוגיים של ההצהרות הבאות:

1) ("יש 70 שניות בדקה") או ("שעון רץ אומר את השעה");

2) (28 > 7) AND (300/5 = 60);

3) ("טלוויזיה היא מכשיר חשמלי") AND ("זכוכית היא עץ");

4) לא((300 > 100) או ("אתה יכול להרוות את הצמא במים"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

דוגמה 4.רשום את ההצהרות המורכבות הבאות באמצעות פעולות לוגיות וחשב את הערכים הלוגיים שלהן:

1) "אם השעון מראה את השעה בצורה לא נכונה, אז אתה עלול להגיע לשיעור בזמן הלא נכון";

2) "במראה אתה יכול לראות את ההשתקפות שלך ואת פריז, בירת ארה"ב";

דוגמה 5.קבע את הערך הבוליאני של ביטוי

(ע → ש) ↔ (ר → ס) ,

ע = "278 > 5" ,

ש= "תפוח = תפוז",

ע = "0 = 9" ,

ס= "הכובע מכסה את הראש".

נוסחאות לוגיקה פרופוזיציונית

מושג הצורה הלוגית של אמירה מורכבת מובהר באמצעות המושג נוסחאות לוגיקה הצעה .

בדוגמאות 1 ו-2 למדנו לכתוב הצהרות מורכבות באמצעות פעולות לוגיות. למעשה, הם נקראים נוסחאות לוגיקה פרופוזיציונית.

לציון הצהרות, כמו בדוגמה המוזכרת, נמשיך להשתמש באותיות

ע, ש, ר, ..., ע 1 , ש 1 , ר 1 , ...

אותיות אלה ישחקו את התפקיד של משתנים שלוקחים את ערכי האמת "נכון" ו"לא נכון" כערכים. משתנים אלו נקראים גם משתנים פרופוזיציוניים. עוד נתקשר אליהם נוסחאות יסוד אוֹ אטומים .

כדי לבנות נוסחאות היגיון פרופוזיציוניות, בנוסף לאותיות המצוינות לעיל, נעשה שימוש בסימנים של פעולות לוגיות

~, ∧, ∨, →, ↔,

וכן סמלים המספקים אפשרות לקריאה חד משמעית של נוסחאות - סוגריים ימין ושמאל.

מוּשָׂג נוסחאות לוגיקה הצעה בוא נגדיר את זה כך:

1) נוסחאות יסוד (אטומים) הן נוסחאות של לוגיקה פרופוזיציונית;

2) אם או ב- נוסחאות לוגיקה פרופוזיציונית, ואז ~ א , (א ∧ ב) , (א ∨ ב) , (א → ב) , (א ↔ ב) הן גם נוסחאות של היגיון פרופוזיציוני;

3) רק אותם ביטויים הם נוסחאות לוגיות פרופוזיציוניות שעבורן זה נובע מ-1) ו-2).

ההגדרה של נוסחת לוגיקה פרופוזיציונית מכילה פירוט של הכללים ליצירת נוסחאות אלו. על פי ההגדרה, כל נוסחת לוגיקה פרופוזיציונית היא או אטום או נוצרת מאטומים כתוצאה מיישום עקבי של כלל 2).

דוגמה 6.לתת ע- משפט יחיד (אטום) "כל המספרים הרציונליים הם אמיתיים", ש- "כמה מספרים ממשיים הם מספרים רציונליים" ר- "כמה מספרים רציונליים הם אמיתיים." תרגם את הנוסחאות הבאות של לוגיקה פרופוזיציונית לצורה של הצהרות מילוליות:

6) .

1) "אין מספרים ממשיים שהם רציונליים";

2) "אם לא כל המספרים הרציונליים הם אמיתיים, אז לא מספר רציונלי, אשר תקפים";

3) "אם כל המספרים הרציונליים הם ממשיים, אז חלק מהמספרים הממשיים הם מספרים רציונליים וחלק מהמספרים הרציונליים הם אמיתיים";

4) "כל המספרים הממשיים הם מספרים רציונליים וחלק מהמספרים הממשיים הם מספרים רציונליים וחלק מהמספרים הרציונליים הם מספרים ממשיים";

5) "כל המספרים הרציונליים הם אמיתיים אם ורק אם לא כל המספרים הרציונליים הם אמיתיים";

6) "זה לא המקרה שלא כל המספרים הרציונליים הם אמיתיים ואין מספרים ממשיים שהם רציונליים או שאין מספרים רציונליים שהם ממשיים."

דוגמה 7.צור טבלת אמת עבור נוסחת הלוגיקה הטענתית , אשר בטבלה ניתן לייעד ו .

פִּתָרוֹן. אנו מתחילים להרכיב טבלת אמת על ידי רישום ערכים ("נכון" או "שקר") עבור הצהרות בודדות (אטומים) ע , שו ר. את כל ערכים אפשרייםכתובים בשמונה שורות בטבלה. יתרה מכך, בעת קביעת ערכי פעולת ההשלכה ומעבר ימינה בטבלה, אנו זוכרים שהערך שווה ל"שקר" כאשר "שקר" נובע מ"נכון".

ע	ש	ר					ו
ו	ו	ו	ו	ו	ו	ו	ו
ו	ו	ל	ו	ו	ו	ל	ו
ו	ל	ו	ו	ל	ל	ל	ל
ו	ל	ל	ו	ל	ל	ו	ו
ל	ו	ו	ל	ו	ל	ו	ו
ל	ו	ל	ל	ו	ל	ו	ל
ל	ל	ו	ו	ו	ו	ו	ו
ל	ל	ל	ו	ו	ו	ל	ו

שימו לב שלאף אטום אין את הצורה ~ א , (א ∧ ב) , (א ∨ ב) , (א → ב) , (א ↔ ב). לנוסחאות מורכבות יש סוג זה.

ניתן להקטין את מספר הסוגריים בנוסחאות לוגיקה פרופוזיציונית אם נקבל זאת

1) בנוסחה מורכבת נשמיט את צמד הסוגריים החיצוניים;

2) בואו נסדר את הסימנים של פעולות לוגיות "לפי סדר עדיפות":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

ברשימה זו, לסימן ↔ יש את ההיקף הגדול ביותר ולסימן ~ יש את ההיקף הקטן ביותר. היקפו של סימן פעולה מתייחס לאותם חלקים בנוסחת הלוגיקה הטענתית שעליהם חלה התרחשות של סימן זה הנדון (עליהם הוא פועל). לפיכך, ניתן להשמיט בכל נוסחה את אותם זוגות סוגריים שניתן לשחזר, תוך התחשבות ב"סדר העדיפות". וכאשר משחזרים סוגריים, קודם כל ממקמים את כל הסוגריים הקשורים לכל המופעים של הסימן ~ (נעבור משמאל לימין), אחר כך לכל המופעים של הסימן ∧, וכן הלאה.

דוגמה 8.שחזר את הסוגריים בנוסחת הלוגיקה ההצעה ב ↔ ~ ג ∨ ד ∧ א .

פִּתָרוֹן. הסוגריים משוחזרים שלב אחר שלב באופן הבא:

ב ↔ (~ ג) ∨ ד ∧ א

ב ↔ (~ ג) ∨ (ד ∧ א)

ב ↔ ((~ ג) ∨ (ד ∧ א))

(ב ↔ ((~ ג) ∨ (ד ∧ א)))

לא כל נוסחת לוגיקה טענה ניתנת לכתיבה ללא סוגריים. למשל בנוסחאות א → (ב → ג) ו~( א → ב) אי הכללה נוספת של סוגריים אינה אפשרית.

טאוטולוגיות וסתירות

טאוטולוגיות לוגיות (או פשוט טאוטולוגיות) הן נוסחאות של לוגיקה פרופוזיציונית כך שאם אותיות מוחלפות באופן שרירותי בהצהרות (נכון או לא נכון), התוצאה תמיד תהיה אמירה אמיתית.

מכיוון שהאמת או השקר של אמירות מורכבות תלויות רק במשמעויות, ולא בתוכן האמירות, שכל אחת מהן מתאימה לאות מסוימת, אזי לבדוק אם אמירה נתונה היא טאוטולוגיה יכולה להיעשות בדרך הבאה. בביטוי הנחקר, הערכים 1 ו-0 (בהתאמה "נכון" ו"לא נכון") מוחלפים באותיות בכל הדרכים האפשריות, והערכים הלוגיים של הביטויים מחושבים באמצעות פעולות לוגיות. אם כל הערכים הללו שווים ל-1, אז הביטוי הנחקר הוא טאוטולוגיה, ואם לפחות החלפה אחת נותנת 0, אז זה לא טאוטולוגיה.

לפיכך, נוסחת לוגיקה פרופוזיציונית שלוקחת את הערך "נכון" עבור כל התפלגות של ערכי האטומים הכלולים בנוסחה זו נקראת זהה לנוסחה האמיתית אוֹ טָאוּטוֹלוֹגִיָה .

המשמעות ההפוכה היא סתירה לוגית. אם כל הערכים של ההצהרות שווים ל-0, אז הביטוי הוא סתירה לוגית.

לפיכך, נוסחת לוגיקה פרופוזיציונית שלוקחת את הערך "שקר" עבור כל התפלגות של ערכי האטומים הכלולים בנוסחה זו נקראת נוסחה שגויה זהה אוֹ סְתִירָה .

בנוסף לטאוטולוגיות ולסתירות לוגיות, ישנן נוסחאות של לוגיקה פרופוזיציונית שאינן טאוטולוגיות ולא סתירות.

דוגמה 9.בנו טבלת אמת לנוסחת לוגיקה טענה וקבעו אם היא טאוטולוגיה, סתירה או אף אחת מהן.

פִּתָרוֹן. בואו ניצור טבלת אמת:

ו	ו	ו	ו	ו
ו	ל	ל	ל	ו
ל	ו	ל	ו	ו
ל	ל	ל	ל	ו

במשמעויות ההשלכה איננו מוצאים שורה שבה "נכון" מרמז על "שקר". כל הערכים של ההצהרה המקורית שווים ל"נכון". כתוצאה מכך, נוסחה זו של לוגיקה פרופוזיציונית היא טאוטולוגיה.

כל אדם הוא אינדיבידואל עם פרמטרים שונים, אשר, כמו מילוי מחשב, יכול לבצע בו פעולות שונות זמן שונה. אדם הוא בוודאי לא מחשב, הוא הרבה יותר מגניב, גם אם זה המחשב הכי מודרני.

כל אדם מכיל דגן מסוים, זה נקרא גרגיר האמת; אם אדם ישמור על התבואה בתוכו, אז יצמח קציר מצוין שישמח אותו!

אתה מבין שדגן הוא הנשמה שלנו, כדי להרגיש את הנשמה, אתה צריך להיות בעל סוג של יכולות על-חושיות.

דוגמה נוספת - אדם מייצר גזע כל יום, עוזב בלבד אבני חן. אם, כמובן, הוא יודע איך נראות אבנים יקרות, אבל אם הוא רק ממיין עפרות, מדלג על יהלומים ואבנים יקרות אחרות, מתוך אמונה שהן רק אבנים, אז לאדם הזה יש בעיות בחיים.

החיים הם דבר כזה, הם כמו אדם שדוחף עפרות כדי למצוא יהלומים! מה הם יהלומים? זו המוטיבציה שנותנת לנו לפעול בעולם הזה, אבל הפתילים של המוטיבציה נמסים כל הזמן, צריך לתדלק את המוטיבציה שלנו כדי להמשיך לפעול ביעילות. מאיפה מגיעה המוטיבציה? אבן הפינה היא מידע, מידע נכון הוא כמו קפיץ דחוס, אם נקבל אותו נכון, הקפיץ נפתח ויורה בדיוק למטרה ומהר מאוד מגיעים למטרה. אם אנחנו מתייחסים למוטיבציה בצורה לא נכונה, אז למה, אז האביב יורה לתוך המצח. למה זה קורה? כי הכוונה הפנימית שלנו היא הבסיס למה אנחנו פועלים, מה אנחנו רוצים להשיג, והאם הפעולות המוטיבציות שלנו יפגעו באחרים!

במאמר זה אספתי את הציטוטים והסטטוסים המניעים ביותר, כמו שאומרים, מכל הזמנים והעמים. אבל כמובן, זה תלוי בך לבחור מה הכי יכבוש אותך. בינתיים בואו נהיה נוחים, לעטות פנים חכמות ביותר, לכבות את כל אמצעי התקשורת ופשוט ליהנות מחוכמתם של משוררים, אמנים וסתם שרברבים!

U
אני ו ציטוטים חכמיםואמירות על החיים

ידע זה לא מספיק, צריך ליישם אותו. איחולים זה לא מספיק, אתה חייב לפעול.

ואני עומד על הדרך הנכונה. אני עומד. אבל כדאי שנלך.

העבודה על עצמך היא העבודה הקשה ביותר, ולכן מעט אנשים עושים זאת.

נסיבות החיים מעוצבות לא רק על ידי פעולות ספציפיות, אלא גם על ידי אופי המחשבות של האדם. אם אתה עוין את העולם, הוא יגיב לך בעין יפה. אם תביע כל הזמן את חוסר שביעות הרצון שלך, יהיו לכך עוד ועוד סיבות. אם השליליות תגבר ביחס שלך למציאות, אז העולם יפנה כלפיך את הצד הגרוע ביותר שלו. להיפך, גישה חיובית תשנה את חייך באופן טבעי לטובה. אדם מקבל מה שהוא בוחר. זו המציאות, בין אם תרצו או לא.

זה שאתה נעלבת לא אומר שאתה צודק ריקי ג'רווייס

שנה אחרי שנה, חודש אחרי חודש, יום אחרי יום, שעה אחרי שעה, דקה אחרי דקה ואפילו שניה אחרי שניה - הזמן טס בלי לעצור לרגע. שום כוח לא יכול להפריע לריצה הזו; זה לא בכוחנו. כל מה שאנחנו יכולים לעשות הוא לבלות זמן שימושי, בונה, או לבזבז אותו בצורה מזיקה. הבחירה הזו היא שלנו; ההחלטה בידיים שלנו.

בשום פנים ואופן אסור לאבד תקווה. תחושת הייאוש כבר כאן הסיבה האמיתיתכשלים. זכור שאתה יכול להתגבר על כל קושי.

האדם מעוצב בצורה כזו שכאשר משהו מאיר את נשמתו, הכל הופך לאפשרי. ז'אן דה לפונטיין

כל מה שקורה לך עכשיו, אתה יצרת את עצמך פעם. ואדים זילנד

בתוכנו יש הרבה הרגלים ופעילויות מיותרות עליהם אנו מבזבזים זמן, מחשבות, אנרגיה ושאינו מאפשרים לנו לפרוח. אם נזרוק באופן קבוע כל מיותר, הזמן והאנרגיה המתפנות יעזרו לנו להשיג את הרצונות והמטרות האמיתיות שלנו. על ידי הסרת כל מה ישן וחסר תועלת בחיינו, אנו נותנים את ההזדמנות להפריח את הכישרונות והרגשות החבויים בתוכנו.

אנחנו עבדים להרגלים שלנו. שנה את ההרגלים שלך, החיים שלך ישתנו. רוברט קיוסאקי

האדם שאתה מיועד להיות הוא רק האדם שאתה בוחר להיות. ראלף וולדו אמרסון

קסם זה להאמין בעצמך. וכשאתה מצליח, אז כל השאר מצליח.

בזוג, כל אחד צריך לפתח את היכולת להרגיש את הרטטים של השני, צריך להיות לו עמותות כלליותוערכים משותפים, היכולת לשמוע מה חשוב לאחר, ואיזו הסכמה הדדית כיצד לפעול כאשר ערכים מסוימים אינם תואמים. סלבדור מינוג'ין

כל אדם יכול להיות מושך מבחינה מגנטית ויפה להפליא. יופי אמיתי הוא הזוהר הפנימי של הנשמה האנושית.

אני מאוד מעריך שני דברים - קרבה רוחנית ויכולת להביא שמחה. ריצ'רד באך

להילחם עם אחרים הוא רק טריק כדי להימנע ממאבק פנימי. אושו

כאשר אדם מתחיל להתלונן או להמציא תירוצים לכישלונותיו, הוא מתחיל להתדרדר בהדרגה.

מוטו לחיים טובים הוא עזור לעצמך.

חכם הוא לא זה שיודע הרבה, אלא זה שהידע שלו מועיל. אייסכילוס

יש אנשים שמחייכים כי אתה מחייך. וחלקם רק כדי לגרום לך לחייך.

מי ששולט בתוכו ושולט בתשוקותיו, רצונותיו ופחדיו הוא יותר ממלך. ג'ון מילטון

כל גבר בוחר בסופו של דבר את האישה שמאמינה בו יותר ממנו.

יום אחד, שב ותקשיב למה שהנשמה שלך רוצה?

אנחנו כל כך הרבה פעמים לא מקשיבים לנשמה, מתוך הרגל אנחנו ממהרים להגיע לאנשהו.

אתה נמצא איפה שאתה ומי שאתה בגלל איך שאתה תופס את עצמך. שנה את הדרך שבה אתה חושב על עצמך ותשנה את חייך. בריאן טרייסי

החיים הם שלושה ימים: אתמול, היום ומחר. אתמול כבר חלף ולא תשנה בו כלום, מחר עדיין לא הגיע. לכן, נסו לנהוג בכבוד היום כדי לא להתחרט.

אדם אציל באמת אינו נולד עם נשמה גדולה, אלא הופך את עצמו לכזה באמצעות מעשיו המפוארים. פרנצ'סקו פטרקה

תמיד הראה את הפנים שלך אוֹר שֶׁמֶשׁוהצללים יהיו מאחוריך, וולט ויטמן

היחיד שפעל בחוכמה היה החייט שלי. הוא לקח את המידות שלי שוב בכל פעם שראה אותי. ברנרד שואו

אנשים אף פעם לא משתמשים במלוא הכוחות שלהם כדי להשיג טוב בחיים, כי הם מקווים לכוח כלשהו חיצוני לעצמם - הם מקווים שהוא יעשה את מה שהם עצמם אחראים לו.

לעולם אל תחזור לעבר. זה הורג היקר שלךזְמַן. אל תישאר באותו מקום. האנשים שזקוקים לך ידביקו אותך.

הגיע הזמן לנער מחשבות רעות מהראש.

אם אתה מחפש את הרע, אתה בהחלט תמצא אותו, ולא תבחין בשום דבר טוב. לכן, אם כל חייכם תחכו ותתכוננו לגרוע מכל, זה בהחלט יקרה, ולא תתאכזבו מהפחדים והחששות שלכם, ותמצאו להם עוד ועוד אישור. אבל אם תקווה ותתכונן לטוב, לא תמשוך דברים רעים לחייך, אלא פשוט תסתכן לפעמים להתאכזב - החיים בלתי אפשריים בלי אכזבות.

מצפה לגרוע מכל, אתה מבין, מפסיד את כל הדברים הטובים בחיים שקיימים בו בפועל. ולהיפך, אתה יכול לרכוש חוזק כזה, שבזכותו בכל מצב מלחיץ וקריטי בחיים תראה את הצדדים החיוביים שלו.

באיזו תדירות, מתוך טיפשות או עצלות, אנשים מתגעגעים לאושרם.

רבים רגילים להתקיים על ידי דחיית החיים למחר. הם זוכרים את השנים הבאות, כאשר הם יצרו, ייצרו, יעשו, ילמדו. הם חושבים שיש להם הרבה זמן קדימה. זו הטעות הכי גדולה שאתה יכול לעשות. למעשה, יש לנו מעט מאוד זמן.

זכור את ההרגשה שאתה מקבל כשאתה עושה את הצעד הראשון, לא משנה מה יתברר, בכל מקרה זה יהיה הרבה יותר טוב מהתחושה שאתה מקבל רק לשבת בשקט. אז קום ותעשה משהו. קח את הצעד הראשון - רק צעד קטן קדימה.

הנסיבות לא חשובות. יהלום שנזרק לעפר אינו מפסיק להיות יהלום. לב מלא יופי וגדולה מסוגל לשרוד רעב, קור, בגידה וכל מיני אובדנים, אבל להישאר בעצמו, להישאר אוהב וחותר לאידיאלים גדולים. אל תסמוך על הנסיבות. תאמין בחלומך.

בודהה תיאר שלושה סוגים של עצלות: הראשון הוא העצלות שכולנו יודעים עליה. כשאין לנו חשק לעשות כלום.השנייה היא עצלות, הרגשה לא נכונה של עצמו - עצלות חשיבה. "לעולם לא אעשה שום דבר בחיים", "אני לא יכול לעשות כלום, לא שווה לנסות." השלישי הוא עיסוק מתמיד בעניינים לא חשובים. תמיד יש לנו הזדמנות למלא את הוואקום של זמננו על ידי השארת עצמנו "עסוקים". אבל, בדרך כלל, זו רק דרך להימנע ממפגש עם עצמך.

לא משנה כמה יפות המילים שלך, אתה תישפט לפי מעשיך.

אל תתעכב על העבר, אתה לא תהיה שם יותר.

תן לגוף שלך להיות בתנועה, לנפש שלך במנוחה, ולנשמה שלך שקופה כמו אגם הררי.

מי שלא חושב חיובי נגעל מהחיים.

האושר לא מגיע לבית, שבו הם מייללים יום אחר יום.

לפעמים, אתה רק צריך לקחת הפסקה ולהזכיר לעצמך מי אתה ומי אתה רוצה להיות.

העיקר בחיים הוא ללמוד להפוך את כל פיתולי הגורל לזגזגים של מזל.

אל תיתן לשום דבר לצאת ממך שיכול להזיק לאחרים. אל תכניס לתוכך שום דבר שיכול להזיק לך.

אתה תצא מיד מכל מצב קשה אם רק תזכור שאתה חי לא עם הגוף שלך, אלא עם הנשמה שלך, ותזכור שיש בך משהו חזק יותר מכל דבר בעולם. לב טולסטוי

סטטוסים על החיים. אמירות נבונות.

היו כנים גם כשאתם לבד עם עצמכם. כנות הופכת אדם לשלם. כשאדם חושב, אומר ועושה את אותו הדבר, כוחו גדל פי שלושה.

העיקר בחיים הוא למצוא את עצמך, שלך ושלך.

במי שאין אמת, יש מעט טוב.

בצעירותנו אנו מחפשים גוף יפה, לאורך השנים - רוח קרובה. ואדים זילנד

מה שחשוב זה מה אדם עושה, לא מה הוא רצה לעשות. וויליאם ג'יימס

הכל בחיים האלה חוזר כמו בומרנג, אין ספק בכך.

כל המכשולים והקשיים הם צעדים שלאורכם אנו גדלים למעלה.

כולם יודעים לאהוב, כי הם מקבלים את המתנה הזו בלידה.

כל מה שאתה שם לב אליו גדל.

כל מה שאדם חושב שהוא אומר על אחרים, הוא בעצם אומר על עצמו.

כשאתה נכנס לאותם מים פעמיים, אל תשכח מה גרם לך לצאת בפעם הראשונה.

אתה חושב שזה רק עוד יום בחייך. זה לא סתם עוד יום, זה היום היחיד שניתן לכם היום.

צאו ממסלול הזמן והיכנסו למסלול האהבה. הוגו וינקלר

אפילו פגמים יכולים לאהוב אם הנשמה באה לידי ביטוי בהם.

אֲפִילוּ איש בעל שכליהפוך לטיפש אם הוא לא ישפר את עצמו.

תן לנו כוח לנחם ולא להתנחם; להבין, לא להיות מובן; לאהוב, לא להיות נאהב. כי כשאנחנו נותנים, אנחנו מקבלים. ועל ידי סליחה, אנו זוכים לסליחה לעצמנו.

נע לאורך דרך החיים, אתה בעצמך יוצר את היקום שלך.

מוטו היום: מסתדר לי, אבל זה יהיה אפילו יותר טוב! ד ג'וליאנה ווילסון

אין דבר יקר יותר מהנשמה שלך בעולם. דניאל שלברגר

אם יש תוקפנות בפנים, החיים "יתקפו" אותך.

אם יש לך רצון להילחם בפנים, תקבל יריבים.

אם אתה נעלבת מבפנים, החיים יתנו לך סיבות להיעלב עוד יותר.

אם יש לך פחד בפנים, החיים יפחידו אותך.

אם אתה מרגיש אשמה בפנים, החיים ימצאו דרך "להעניש" אותך.

אם אני מרגיש רע, אז זו לא סיבה לגרום סבל לאחרים.

אם אי פעם תרצה למצוא אדם שיכול להתגבר על כל מצוקה, אפילו הקשה ביותר, ולשמח אותך כשאף אחד אחר לא יכול, פשוט תסתכל במראה ותגיד "שלום".

אם אתה לא אוהב משהו, שנה אותו. אם אין לך מספיק זמן, תפסיק לבהות בטלוויזיה.

אם אתה מחפש את אהבת חייך, תפסיק. היא תמצא אותך כשאתה עושה רק מה שאתה אוהב. פתחו את הראש, הידיים והלב למשהו חדש. אל תפחד לשאול. ואל תפחדו לענות. אל תפחד לשתף את החלום שלך. הזדמנויות רבות מופיעות רק פעם אחת. החיים עוסקים באנשים בדרכך ובמה שאתה יוצר איתם. אז תתחיל ליצור. החיים מאוד מהירים. הגיע הזמן להתחיל.

אם אתה מתקדם בכיוון הנכון, אתה תרגיש זאת בלב שלך.

אם תדליק נר עבור מישהו, זה יאיר גם את הדרך שלך.

אם אתה רוצה שאנשים טובים וחביבים יהיו בסביבתך, נסו להתייחס אליהם בקשב, אדיב, בנימוס – תראו שכולם ישתפרו. הכל בחיים תלוי בך, תאמין לי.

אם אדם רוצה, הוא ישים הר על הר

החיים הם תנועה נצחית, התחדשות והתפתחות מתמדת, מדור לדור, מינקות לחוכמה, תנועת הנפש והתודעה.

החיים רואים אותך כמו שאתה מבפנים.

לעתים קרובות אדם שנכשל לומד יותר על איך לנצח מאשר מישהו שמצליח מיד.

כעס הוא הרגשות הכי חסרי תועלת. הורס את המוח ופוגע בלב.

אני בקושי מכיר אנשים מרושעים. יום אחד פגשתי אחד שפחדתי ממנו וחשבתי שהוא רשע; אבל כשהסתכלתי עליו יותר מקרוב, הוא היה רק ​​אומלל.

וכל זה במטרה אחת להראות לך מה אתה, מה אתה נושא בנשמתך.

בכל פעם שאתה רוצה להגיב באותה דרך ישנה, ​​שאל את עצמך אם אתה רוצה להיות שבוי של העבר או חלוץ העתיד.

כולם כוכבים ומגיעה להם הזכות לזרוח.

לא משנה מה הבעיה שלך, הסיבה שלה טמונה בדפוס החשיבה שלך, וניתן לשנות כל דפוס.

כשאתה לא יודע מה לעשות, התנהג כמו בן אדם.

כל קושי נותן חוכמה.

כל סוג של מערכת יחסים הוא כמו חול שאתה מחזיק ביד. שמור את זה רופף פנימה יד פתוחה- והחול נשאר בו. ברגע שאתה לוחץ את היד בחוזקה, חול יתחיל לזרום החוצה דרך האצבעות שלך. כך אתה יכול לשמור קצת חול, אבל רובו ישפך החוצה. במערכות יחסים זה בדיוק אותו הדבר. התייחסו לאדם האחר ולחופש שלו בזהירות ובכבוד, הישאר קרוב. אבל אם תלחצו חזק מדי ועם טענה להחזיק אדם אחר, הקשר יתדרדר ויתפרק.

המדד לבריאות הנפש הוא הנכונות למצוא טוב בכל דבר.

העולם מלא ברמזים, היו קשובים לסימנים.

הדבר היחיד שאני לא מבין הוא איך אני, כמו כולנו, מצליח למלא את חיינו בכל כך הרבה זבל, ספקות, חרטות, עבר שכבר לא קיים ועתיד שעדיין לא קרה, פחדים שיעלו סביר להניח שלעולם לא יתגשם, אם הכל כל כך פשוט.

לדבר הרבה ולומר הרבה זה לא אותו דבר.

אנחנו לא רואים הכל כמו שהוא - אנחנו רואים הכל כמו שאנחנו.

תחשוב חיובי, אם זה לא עובד חיובי, זו לא מחשבה. מרלין מונרו

מצא שקט בראש ואהבה בלב. ולא משנה מה קורה סביבכם, אל תתנו לשום דבר לשנות את שני הדברים האלה.

לא כולם מובילים לשינויים חיוביים בחיינו, אבל אנחנו בהחלט לא יכולים להשיג אושר בלי לעשות דבר.

אל תתנו לרעש של דעות של אחרים להטביע את דעתכם. קול פנימי. אזרו את האומץ ללכת בעקבות הלב והאינטואיציה שלכם.

אל תהפוך את ספר החיים שלך לקינה.

אל תמהרו להבריח רגעים של בדידות. אולי זו המתנה הגדולה ביותר של היקום - להגן עליך לזמן מה מכל מיותר על מנת לאפשר לך להפוך לעצמך.

חוט אדום בלתי נראה מחבר את מי שנועד להיפגש, למרות הזמן, המקום והנסיבות. החוט עשוי להימתח או להסתבך, אך לעולם לא ישבר.

אתה לא יכול למסור את מה שאין לך. אתה לא יכול לשמח אנשים אחרים אם אתה עצמך לא מרוצה.

אי אפשר לנצח מישהו שלא מוותר.

בלי אשליות - בלי אכזבות. אתה צריך להיות רעב כדי להעריך אוכל, לחוות קור כדי להבין את היתרונות של חום, ולהיות ילד כדי לראות את הערך של ההורים.

אתה צריך להיות מסוגל לסלוח. אנשים רבים מאמינים שסליחה היא סימן לחולשה. אבל המילים "אני סולח לך" לא אומרות בכלל - "אני אדם רך מדי, אז אני לא יכול להיעלב ואתה יכול להמשיך להרוס לי את החיים, אני לא אגיד לך מילה אחת, " הם מתכוונים "אני לא אתן לעבר לקלקל את העתיד שלי ואת ההווה, אז אני סולח לך ומשחרר את כל התלונות."

טינה היא כמו אבנים. אל תאגור אותם בתוכך. אחרת תיפול תחת משקלם.

יום אחד בכיתה בעיות חברתיותהפרופסור שלנו הרים את הספר השחור ואמר שהספר הזה אדום.

אחת הסיבות העיקריות לאדישות היא היעדר מטרה בחיים. כשאין מה לשאוף, מתרחשת התמוטטות, התודעה צוללת למצב ישנוני. להיפך, כשיש רצון להשיג משהו, אנרגיית הכוונה מופעלת והחיוניות גוברת. מלכתחילה, אתה יכול לקחת את עצמך כמטרה – תשמור על עצמך. מה יכול להביא לך הערכה עצמית וסיפוק? יש הרבה דרכים לשפר את עצמך. אתה יכול להציב לעצמך מטרה להשתפר בהיבט אחד או יותר. אתה יודע טוב יותר מה יביא סיפוק. ואז יופיע טעם לחיים, וכל השאר יסתדר אוטומטית.

הוא הפך את הספר, והכריכה האחורית שלו הייתה אדומה. ואז הוא אמר, "אל תגיד למישהו שהוא טועה עד שאתה מסתכל על המצב מנקודת המבט שלו."

פסימי הוא אדם שמתלונן על הרעש כשהמזל דופק על דלתו. פטר מאמונוב

רוחניות אמיתית לא כופה - אדם מוקסם ממנה.

זכרו, לפעמים שתיקה היא התשובה הטובה ביותר לשאלות.

זה לא עוני או עושר שמקלקל אנשים, אלא קנאה ותאוות בצע.

נכונות הדרך שתבחר נקבעת לפי מידת האושר שלך בזמן ההליכה בו.

ציטוטים מוטיבציוניים

סליחה לא משנה את העבר, אבל היא משחררת את העתיד.

דיבורו של אדם הוא מראה של עצמו. כל דבר שקרי ומטעה, איך שלא ננסה להסתיר אותו מאחרים, כל ריקנות, גסות רוח או גסות רוח פורצים בדיבור באותו כוח וברור שבו באים לידי ביטוי הכנות והאצילות, העומק והעדינות של המחשבות והרגשות. .

הדבר החשוב ביותר הוא הרמוניה בנשמה שלך, כי היא מסוגלת ליצור אושר יש מאין.

המילה "בלתי אפשרי" חוסמת את הפוטנציאל שלך, ואילו השאלה "איך אני יכול לעשות את זה?" גורם למוח לעבוד במלואו.

המילה חייבת להיות אמת, הפעולה חייבת להיות מכרעת.

משמעות החיים היא בעוצמת הרצון למטרה, ויש צורך שלכל רגע של קיום תהיה מטרה גבוהה משלו.

יהירות מעולם לא הובילה אף אחד להצלחה. ככל שיותר שלווה בנפש, כך כל הבעיות נפתרות בקלות ובמהירות.

יש מספיק אור למי שרוצה לראות, ומספיק חושך למי שלא רוצה.

יש דרך אחת ללמוד - על ידי פעולה אמיתית. דיבורי סרק הם חסרי טעם.

אושר זה לא בגדים שאפשר לקנות בחנות או לתפור בסטודיו.

אושר הוא הרמוניה פנימית. אי אפשר להשיג את זה מבחוץ. רק מבפנים.

עננים כהים הופכים לפרחים שמימיים כשהאור מנשק אותם.

מה שאתה אומר על אחרים לא מאפיין אותם, אלא אותך.

מה שיש באדם הוא ללא ספק חשוב יותר ממה שיש לאדם.

למי שיכול להיות עדין יש כוח פנימי גדול.

אתה חופשי לעשות מה שאתה רוצה - רק אל תשכח מההשלכות.

הוא יצליח,” אמר אלוהים בשקט.

אין לו סיכוי - הנסיבות הכריזו בקול רם. ויליאם אדוארד הארטפול לקי

אם אתה רוצה לחיות בעולם הזה, חי ותשמח, ואל תסתובב עם פרצוף לא מרוצה שהעולם אינו מושלם. אתה בורא את העולם - בראש שלך.

אדם יכול לעשות הכל. רק הוא בדרך כלל מקשה על ידי עצלות, פחד והערכה עצמית נמוכה.

אדם מסוגל לשנות את חייו רק על ידי שינוי נקודת המבט שלו.

מה שחכם עושה בהתחלה, טיפש עושה בסוף.

כדי להיות מאושר, אתה צריך להיפטר מכל מיותר. מדברים מיותרים, מהומה מיותרת, והכי חשוב - ממחשבות מיותרות.

אני לא גוף שניחן בנשמה, אני נשמה שחלק ממנה נראה ונקרא הגוף.

חברים יקרים, אנו שמחים לראותכם בעמוד זה! מבקר יקר, ייתכן שאתה מחפש ציטוטים פשוטיםעם ציורים בנושא זה. מגניב! מצאת את מה שחיפשת. אנו מאחלים לך קריאה מרשימה ושיפור עצמי!

אלה שבוחנים את חייהם בהתמדה עד הקצה, במוקדם או במאוחר משיגים את מטרתם ומסיימים אותה בצורה מרהיבה.

הבנתי שכדי להבין את משמעות החיים צריך קודם כל שהחיים לא יהיו חסרי משמעות ורעים, ואחר כך הגיון כדי להבין אותם. טולסטוי ל.נ.

אֵיך אהבה חזקה יותר, ככל שהיא חסרת הגנה. הדוכסית דיאנה (מארי דה בוסאק)

פעם בחיים, המזל דופק על דלתו של כל אדם, אבל בזמן הזה אדם יושב לעתים קרובות בפאב הקרוב ולא שומע שום דפיקה. מרק טווין

אני לא מפחד ממישהו שלומד 10,000 שביתות שונות. אני מפחד ממי שלומד מכה אחת 10,000 פעמים.

אני חולם עליך כל יום, אני חושב עליך בלילה!

מי שאינו יכול לקבל 2/3 יממה לעצמו צריך להיקרא עבד. פרידריך ניטשה

הייתי מאלה שהסכימו לדבר על משמעות החיים כדי להיות מוכן לערוך את הפריסה בנושא זה. Eco U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - אישה יפה על קצוות העליונים בזנב דג.

אנחנו עבדים להרגלים שלנו. שנה את ההרגלים שלך, החיים שלך ישתנו. רוברט קיוסאקי

אתה יכול להושיט יד ולתפוס אושר. זה מאוד קרוב! אבל אתה תמיד מסתכל אחורה

אתה תמיד יכול לסלוח לעצמך על טעויות אם יש לך רק את האומץ להודות בהן. ברוס לי

נשימה ראשונה של אהבה היא נשימה אחרונה של חוכמה. אנתוני ברט.

חברות היא אהבה ללא כנפיים. ביירון

אם אדם יכול לומר מהי אהבה, אז הוא לא אהב אף אחד.

בכל מה שאתה מתאהב בו, נשק אותו.

בגלל כמה אנשים אני יכול לעבור על הגאווה שלי והפחד שלי...

האהבה שלנו התחילה ממבט ראשון.

קנאה היא בגידה על ידי חשד לבגידה. ו' קרוטוב

עם גבר ייחודי - אני רוצה לחזור על זה!

אישה בעלת נטייה רומנטית נגעלת ממין ללא אהבה. לכן היא ממהרת להתאהב ממבט ראשון. לידיה יאסינסקאיה

אהבה נמצאת בתוך כולם, אבל כדאי להראות אותה רק למי שפתוחים אליך.

סוד האהבה לאדם מתחיל ברגע בו אנו מסתכלים עליו ללא הרצון להחזיק בו, ללא הרצון לשלוט בו, ללא הרצון לנצל את המתנות שלו או את אישיותו בשום צורה - אנו רק מסתכלים ונדהמים מהיופי שהתגלה לנו . אנתוני, מטרופולין סורוז'

הייתי רוצה להיות בחברה פרימיטיבית. אתה לא צריך לחשוב על כסף, על צבא, על שום תארים או תארים אקדמיים. רק נקבות, בקר ועבדים חשובים.

כשלא נוח לאדם לשכב על צד אחד, הוא מתהפך לצד השני, וכשלא נוח לו לחיות הוא רק מתלונן. ואתה מתאמץ ומתהפך. מקסים גורקי

היד האיטית של הזמן מחליקה את ההרים. וולטייר

לנשים יש את כל הלב, אפילו את הראש. ז'אן פול

הנשיקה שלך הייתה כל כך מתוקה שפשוט קיבלתי השראה מאושר!

אדם מושיט את ידו, כמו נבט, לעבר ה-Laminary והופך גבוה יותר. חולם על חלומות בלתי אפשריים, הוא מגיע לגבהים בשמיים.

חברות אמיתית עדיפה על אהבה מזויפת!

לא ניתן לשלול מאיתנו כבוד עצמי אלא אם כן ניתן אותו לגנדי בעצמנו.

אהבה היא אנוכיות ביחד.

הידע הופך את האדם למשמעותי יותר, והפעולות נותנות לו ברק. אבל אנשים רבים נוטים להסתכל אבל לא לשקול. טי קרלייל

רק ברוסיה קוראים לאהובים... צער שלי!

אהבה נכזבת היא לא אהבה, אלא עינוי!

הלימה היא היכולת לעשות שני דברים: לשתוק בזמן ולדבר בזמן.

אושר מגיע עם שיפוט נכון, שיפוט נכון מגיע עם ניסיון, וניסיון בא עם שיפוט שגוי.

אל תצפה שדברים יהיו קלים יותר, פשוטים יותר, טובים יותר. זה לא יהיה. תמיד יהיו קשיים. למד להיות שמח עכשיו. אחרת לא יהיה לך זמן.

החיים, מאושרים או אומללים, מוצלחים או לא מוצלחים, עדיין מעניינים ביותר. ב.שו

אל תחשב את עצמך לחכם: אחרת תתנשא נשמתך בגאווה, ואתה תיפול בידי אויביך. אנתוני הגדול

החיזור לאשתו נראה לו אבסורדי כמו ציד אחר ציד צלי. אמיל קרוטקי

מכתבים ומתנות ותמונות מבריקות המביעות חיבה חשובים. אבל זה אפילו יותר חשוב להקשיב אחד לשני פנים אל פנים; זו אמנות גדולה ונדירה. טי ינסון.

החיים מסודרים בצורה כל כך שטנית, עד שבלי לדעת לשנוא, אי אפשר לאהוב בכנות. מ' גורקי

זה נחמד כשאהובך פשוט נותן לך זר ענק, זה נחמד, לעזאזל!

ללא פחד, אנשים הופכים לטיפשים פזיזים שלעתים קרובות מאבדים את חייהם. אייזק אסימוב מסע פנטסטי ב'

חבר הוא נשמה אחת החיה בשני גופים. אריסטו

להיות אדם שחושב רק על עצמו לא אומר לעשות מה שהוא רוצה. זה אומר לרצות שכל העולם יחיה כמו שאתה רוצה. - או. ווילד

כל אמא צריכה להקצות לעצמה כמה דקות של זמן פנוי כדי לשטוף כלים.

אמירה היא מבנה מורכב יותר מאשר שם. כאשר אנו מפרקים הצהרות לחלקים פשוטים יותר, אנו תמיד מקבלים שם כזה או אחר. נניח, ההצהרה "השמש היא כוכב" כוללת את השמות "שמש" ו"כוכב" כחלקיה.

הצהרה -מבחינה דקדוקית משפט נכון, נלקח יחד עם המשמעות (התוכן) שהוא מבטא והיותו נכון או שקרי.

המושג אמירה הוא אחד המושגים הראשוניים והמפתחים של ההיגיון המודרני. ככזה זה לא מאפשר הגדרה מדויקת, ישים באותה מידה בסעיפים השונים שלו.

אמירה נחשבת לאמיתה אם התיאור שהיא נותנת תואם את המצב האמיתי, ושקרי אם אינו תואם לו. "נכון" ו"שקר" נקראים "ערכי אמת של הצהרות".

מתוך הצהרות בודדות דרכים שונותאתה יכול לבנות הצהרות חדשות. לדוגמה, מההצהרות "הרוח נושבת" ו"יורד גשם" ניתן ליצור אמירות מורכבות יותר "הרוח נושבת ויורד גשם", "או שהרוח נושבת או שיורד גשם", "אם זה יורד". יורד גשם ואז הרוח נושבת" וכו'.

ההצהרה נקראת פָּשׁוּט,אלא אם כן הוא כולל הצהרות אחרות כחלק ממנו.

ההצהרה נקראת מורכב,אם הוא מתקבל באמצעות חיבורים לוגיים מהצהרות פשוטות אחרות.

הבה נבחן את הדרכים החשובות ביותר לבניית הצהרות מורכבות.

הצהרה שליליתמורכב מהצהרה ראשונית ושלילה, המתבטאים בדרך כלל במילים "לא", "זה לא נכון". אמירה שלילית היא אפוא אמירה מורכבת: היא כוללת כחלקה אמירה שונה ממנה. לדוגמה, השלילה של המשפט "10 הוא מספר זוגי" היא המשפט "10 הוא לא מספר זוגי" (או: "זה לא נכון ש-10 הוא מספר זוגי").

בואו נסמן את ההצהרות באותיות א ב ג,... משמעותו המלאה של מושג שלילת אמירה נתונה בתנאי: אם האמירה אנכון, שלילתו שקרית, ואם אהוא שקרי, השלילה שלו נכונה. לדוגמה, מכיוון שהמשפט "1 הוא מספר שלם חיובי" נכון, השלילה שלו "1 אינו מספר שלם חיובי" היא שקר, ומכיוון ש"1 הוא מספר ראשוני" הוא שקר, השלילה שלו "1 אינו מספר ראשוני" " נכון.

חיבור שתי הצהרות באמצעות המילה "ו" מייצר משפט מורכב שנקרא צירוף.הצהרות הקשורות בדרך זו נקראות "חברי צירוף".

לדוגמה, אם משולבים בצורה זו ההצהרות "חם היום" ו"אתמול היה קר", מתקבל הצירוף "היום חם ואתמול היה קר".

צירוף נכון רק אם שני ההיגדים הכלולים בו נכונים; אם לפחות אחד מהאיברים שלו שקרי, אזי הצירוף כולו שקרי.

בשפה רגילה, שתי אמירות מחוברות בצירוף "ו" כאשר הן קשורות זו לזו בתוכן או במשמעותן. טיבו של הקשר הזה לא לגמרי ברור, אבל ברור שלא היינו רואים בצירוף "הוא הלך במעיל, ואני הלכתי לאוניברסיטה" כביטוי שיש לו משמעות ויכול להיות נכון או שקר. למרות ההצהרות "2 הוא מספר ראשוני" ו"מוסקבה היא עיר גדולה"נכונים, איננו נוטים לשקול את הצירוף שלהם "2 הוא מספר ראשוני ומוסקבה היא עיר גדולה" כנכון, שכן ההצהרות המרכיבות אינן קשורות זו לזו במשמעותן. על ידי פישוט המשמעות של צירוף וחיבורים לוגיים אחרים, ולצורך כך, נטישת המושג הלא ברור של "חיבור הצהרות לפי משמעות", ההיגיון הופך את המשמעות של קישורים אלה לרחבה יותר וספציפית יותר.

חיבור שתי הצהרות באמצעות המילה "או" נותן ניתוקההצהרות הללו. הצהרות היוצרות ניתוק נקראות "חברי הניתוק".

למילה "או" יש שתי משמעויות שונות בשפה היומיומית. לפעמים זה אומר "זה או זה או שניהם", ולפעמים "זה או אחר, אבל לא שניהם". לדוגמה, האמירה "העונה אני רוצה ללכת למלכת הספידים או לאאידה" מאפשרת את האפשרות לבקר באונרה פעמיים. ההצהרה "הוא לומד במוסקבה או באוניברסיטת ירוסלב" מרמזת שהאדם הזכיר לימודים רק באחת מהאוניברסיטאות הללו.

התחושה הראשונה של "או" נקראת לא בלעדי.במובן זה, ניתוק שתי אמירות פירושו שלפי לפחות, אחת מההצהרות הללו נכונה, ללא קשר אם שתיהן נכונות או לא. צולם בשני בִּלעָדִיאו במובן המחמיר, הניתוק של שתי הצהרות קובע שאחת מההצהרות היא אמת והשנייה היא שקר.

ניתוק לא בלעדי הוא נכון כאשר לפחות אחת מההצהרות המרכיבות אותו נכון, ושקר רק כאשר שני האיברים שלו שקריים.

ניתוק בלעדי נכון כאשר רק אחד מהמונחים שלו נכון, והוא שקר כאשר שני המונחים שלו נכונים או שניהם שקריים.

בלוגיקה ומתמטיקה, המילה "או" משמשת כמעט תמיד במשמעות לא בלעדית.

הצהרה מותנית -אמירה מורכבת, המנוסחת בדרך כלל תוך שימוש בחיבור "אם..., אז..." ומבססת את אותו אירוע, מדינה וכו'. הוא במובן זה או אחר הבסיס או התנאי לאחר.

לדוגמה: "אם יש אש, אז יש עשן", "אם מספר מתחלק ב-9, הוא מתחלק ב-3" וכו'.

אמירה מותנית מורכבת משתי הצהרות פשוטות יותר. זה שלפניו המילה "אם" נקרא בָּסִיס,אוֹ קדם(הקודם), האמירה הבאה אחרי המילה "זה" נקראת תוֹצָאָה,אוֹ תוצאתי(בהמשך).

באישור אמירה מותנית, כוונתנו קודם כל שלא יכול להיות שהאמור בבסיסה מתקיים, ומה שנאמר בתוצאה נעדר. במילים אחרות, לא יכול לקרות שהקדמה היא אמת והתוצאה היא שקרית.

במונחים של אמירה מותנית, בדרך כלל מוגדרים המושגים של תנאים מספיקים והכרחיים: הקדם (הקרקע) הוא תנאי מספיק לתוצאה (התוצאה), והתוצא הוא תנאי הכרחיעבור הקדמה. לדוגמה, אמיתות האמירה המותנית "אם הבחירה היא רציונלית, אזי הבחירה הטובה מבין האלטרנטיבות הקיימות" פירושה שרציונליות היא סיבה מספקת לבחירה במיטב האפשרויות הקיימות ושהבחירה באפשרות כזו היא תנאי הכרחי לרציונליות שלו.

פונקציה טיפוסית של אמירה מותנית היא להצדיק הצהרה אחת בהתייחסות להצהרה אחרת. לדוגמה, ניתן להצדיק את העובדה שכסף מוליך חשמלית בהתייחסות לעובדה שהוא מתכת: "אם כסף הוא מתכת, הוא מוליך חשמלית".

קשה לאפיין את הקשר בין המבסס למוצדק (ביסוס ותוצאה) המתבטא באמירה מותנית. השקפה כללית, ורק לפעמים טיבו ברור יחסית. קשר זה יכול להיות, ראשית, קשר בעל תוצאה הגיונית המתקיים בין הנחות היסוד לבין מסקנה של מסקנה נכונה ("אם כל היצורים הרב-תאיים החיים הם בני תמותה, והמדוזה היא יצור כזה, אז היא בת תמותה"); שנית, לפי חוק הטבע ("אם הגוף נתון לחיכוך, הוא יתחיל להתחמם"); שְׁלִישִׁית, סִבָּתִיוּת("אם הירח נמצא בצומת מסלולו בירח החדש, ליקוי חמה"); רביעית, סדירות חברתית, שלטון, מסורת וכו'. ("אם החברה משתנה, כך גם האדם", "אם העצה סבירה, יש ליישם אותה").

הקשר המתבטא באמירה מותנית מלווה בדרך כלל באמונה שהתוצאה "נובעת" בכורח מסוים מהסיבה וכי ישנו איזשהו חוק כללי, אשר לאחר שהצלחנו לנסח, נוכל להסיק באופן הגיוני את התוצאה מתוך סיבה.

לדוגמה, נראה שהמשפט המותנה "אם ביסמוט הוא מתכת הוא פלסטיק" מניח את החוק הכללי "אין מתכות הן פלסטיות", מה שהופך את התוצאה של אמירה זו לתוצאה הגיונית של הקדמה שלה.

הן בשפה הרגילה והן בשפת המדע, אמירה מותנית, בנוסף לתפקיד ההצדקה, יכולה לבצע גם מספר משימות אחרות: לנסח מצב שאינו קשור לשום רמוז. המשפט המקובלאו כלל ("אם ארצה, אחתוך את גלימתי"); להקליט כל רצף ("אם הקיץ האחרון היה יבש, אז השנה גשום"); להביע חוסר אמון בצורה מוזרה ("אם תפתור את הבעיה הזו, אני אוכיח את המשפט האחרון של פרמה"); התנגדות ("אם סמבוק גדל בגינה, אז בחור גר בקייב") וכו'. הריבוי וההטרוגניות של הפונקציות של הצהרה מותנית מסבכים באופן משמעותי את הניתוח שלה.

השימוש בהצהרה מותנית קשור לחלק מסוים גורמים פסיכולוגיים. לפיכך, אנו בדרך כלל מנסחים הצהרה כזו רק אם איננו יודעים בוודאות אם הקדמה והתוצאה שלה נכונים או שקריים. אחרת, השימוש בו נראה לא טבעי ("אם צמר גפן הוא מתכת, זה מוליך חשמלי").

ההצהרה המותנית היא מאוד יישום רחבבכל תחומי ההיגיון. בלוגיקה הוא מיוצג בדרך כלל על ידי אמירה משתמעת,אוֹ השלכות.במקביל, ההיגיון מבהיר, מסדר ומפשט את השימוש ב"אם..., אז...", ומשחרר אותו מהשפעתם של גורמים פסיכולוגיים.

ההיגיון מופשט, במיוחד, מהעובדה שהקשר בין סיבה לתוצאה, האופיינית לאמירה מותנית, בהתאם להקשר, יכול לבוא לידי ביטוי לא רק באמצעות "אם..., אז...", אלא גם אחרים אמצעים לשוניים. לדוגמה, "מכיוון שמים הם נוזל, הם מעבירים לחץ לכל הכיוונים באופן שווה", "למרות שפלסטלינה היא לא מתכת, היא פלסטיק", "אם עץ היה מתכת, הוא היה מוליך חשמלית" וכו'. אמירות אלו ודומות לה מיוצגות בשפת ההיגיון ברמז, אם כי השימוש ב"אם..., אז..." בהן לא יהיה טבעי לחלוטין.

בטענת השלכה, אנו טוענים שלא יכול לקרות שהבסיס שלה קיים והתוצאה שלה נעדרת. במילים אחרות, השלכה שקרית רק אם הסיבה שלה נכונה והתוצאה שלה שקרית.

הגדרה זו מניחה, כמו ההגדרות הקודמות של חיבורים, שכל משפט הוא נכון או לא נכון ושערך האמת של אמירה מורכבת תלוי רק בערכי האמת של ההצהרות המרכיבות ובאופן החיבור שלהן.

השלכה נכונה כאשר הן הסיבה והן התוצאה שלה הן נכונות או שקריות; זה נכון אם הסיבה שלו שקרית והתוצאה שלה נכונה. רק במקרה הרביעי, כשהסיבה נכונה והתוצאה שקרית, ההשלכה שקרית.

לא משתמע שההצהרות או INקשורים איכשהו זה לזה בתוכן. אם זה נכון INהצהרה "אם א,זֶה ב"נכון בלי קשר לשאלה אם אנכון או לא נכון וזה קשור במשמעות עם INאו שלא.

לדוגמה, ההצהרות הבאות נחשבות לנכונות: "אם יש חיים על השמש, אז שניים ושניים שווים לארבע", "אם הוולגה היא אגם, אז טוקיו היא כפר גדול" וכו'. הצהרה מותנית נכונה גם מתי אשקר, ושוב אדיש, ​​נכון INאו לא והאם זה קשור בתוכן אאו שלא. הצהרות נכונות כוללות: "אם השמש היא קובייה, אז כדור הארץ הוא משולש", "אם שניים ועוד שניים שווה חמש, אז טוקיו היא עיירה קטנה" וכולי.

בהיגיון רגיל, לא סביר שכל ההצהרות הללו ייחשבו כמשמעותיות, ועדיין פחות כנכונות.

למרות שהמשמעות שימושית למטרות רבות, היא אינה תואמת לחלוטין את ההבנה הרגילה של קשר מותנה. ההשלכה מכסה מאפיינים חשובים רבים של ההתנהגות הלוגית של אמירה מותנית, אך יחד עם זאת היא אינה תיאור מספק שלה.

בחצי המאה האחרונה היו ניסיונות נמרצים לרפור את תורת ההשלכה. יחד עם זאת, לא היה מדובר בנטישת מושג ההשתמעות המתואר, אלא בהחדרת, יחד איתו, מושג נוסף המביא בחשבון לא רק את ערכי האמת של אמירות, אלא גם את הקשר ביניהם בתוכן.

קשור קשר הדוק למשמעות שְׁקִילוּת,נקרא לפעמים "השלכה כפולה".

שקילות היא אמירה מורכבת "A if ורק אם B", שנוצרה מהצהרות של Li B ומתפרקת לשתי השלכות: "אם א,אז B", ו"אם B, אז א".לדוגמה: "משולש הוא שווה צלעות אם ורק אם הוא שווה צלעות." המונח "שקילות" מציין גם את החיבור "..., אם ורק אם...", שבעזרתו נוצרת אמירה מורכבת נתונה משתי היגדים. במקום "אם ורק אם", "אם ורק אם", "אם ורק אם" וכו' ניתן להשתמש למטרה זו.

אם חיבורים לוגיים מוגדרים במונחים של אמת ושקר, שקילות נכונה אם ורק אם לשתי ההצהרות המרכיבות אותו ערך אמת, כלומר. כאשר שניהם נכונים או שניהם שקריים. בהתאם לכך, שקילות היא שקרית כאשר אחת מההצהרות הכלולות בה נכונה והשנייה היא שקרית.