المواد الصلبة الأفلاطونية ومشروع خصائصها. بناء البدائيات الرسومية

مقدمة

المواد الصلبة عند أفلاطون

ما هي شفرة دافنشي؟

المواد الصلبة الأفلاطونية

المواد الصلبة الارخميدية

سر التقويم المصري

أشباه البلورات لدان شيختمان

بلاط بنروز

الفوليرين

العالم الفني للفنانة السلوفينية ماتيوشكا تيجا كراسيك

22.09.2019

ستاخوف أ.ب.

"شفرة دافنشي"، والمواد الصلبة الأفلاطونية والأرشميدسية، وأشباه البلورات، والفوليرين، وشبكات بنروز، والعالم الفني للأم تيا كراشيك

حاشية. ملاحظة

عمل الفنانة السلوفينية ماتيوشكا تيجا كراسيك غير معروف كثيرًا للقارئ الناطق بالروسية. وفي الوقت نفسه، يطلق عليها في الغرب اسم "إيشر أوروبا الشرقية" و"الهدية السلوفينية" للمجتمع الثقافي العالمي. مؤلفاتها الفنية مستوحاة من أحدث الاكتشافات العلمية (الفوليرين، وأشباه بلورات دان شيختمان، وبلاط بنروز)، والتي بدورها تعتمد على المضلعات المنتظمة وشبه المنتظمة (المواد الصلبة الأفلاطونية والأرخميدية)، والنسبة الذهبية وأرقام فيبوناتشي.

من المؤكد أن كل شخص قد فكر أكثر من مرة في مسألة سبب قدرة الطبيعة على إنشاء مثل هذه الهياكل المتناغمة المذهلة التي تسعد العين وتسعدها. لماذا يبتكر الفنانون والشعراء والملحنون والمهندسون المعماريون أعمالًا فنية مذهلة من قرن إلى قرن؟ ما هو سر انسجامهم وما هي القوانين التي تكمن وراء هذه المخلوقات المتناغمة؟

بدأ البحث عن هذه القوانين، "قوانين انسجام الكون"، في العلوم القديمة. خلال هذه الفترة من تاريخ البشرية توصل العلماء إلى عدد من الاكتشافات المذهلة التي تتخلل تاريخ العلم بأكمله. يعتبر الأول بحق نسبة رياضية رائعة تعبر عن الانسجام. يطلق عليه بشكل مختلف: "النسبة الذهبية" الرقم الذهبي"،"الوسط الذهبي"،"النسبة الذهبية"وحتى "النسبة الإلهية"وتسمى أيضًا النسبة الذهبية عدد PHIتكريماً للنحات اليوناني القديم الكبير فيدياس الذي استخدم هذا الرقم في منحوتاته.

أصبح فيلم الإثارة "شفرة دافنشي"، الذي كتبه الكاتب الإنجليزي الشهير دان براون، من أكثر الكتب مبيعًا في القرن الحادي والعشرين. ولكن ماذا تعني شفرة دافنشي؟ هناك إجابات مختلفة على هذا السؤال. ومن المعروف أن "القسم الذهبي" الشهير كان موضع اهتمام شديد وسحر ليوناردو دافنشي. علاوة على ذلك، تم إدخال اسم "القسم الذهبي" في الثقافة الأوروبية من قبل ليوناردو دافنشي. بمبادرة من ليوناردو، نشر عالم الرياضيات الإيطالي الشهير والراهب العلمي لوكا باسيولي، وهو صديق ومستشار علمي لليوناردو دافنشي، كتاب "النسبة الإلهية"، وهو أول عمل رياضي في الأدب العالمي عن القسم الذهبي، والذي أطلق عليه المؤلف "النسبة الإلهية" حَجم". ومن المعروف أيضًا أن ليوناردو نفسه رسم هذا الكتاب الشهير، حيث رسم له 60 رسمة رائعة. هذه الحقائق، التي ليست معروفة جيدا للمجتمع العلمي العام، هي التي تمنحنا الحق في طرح فرضية مفادها أن "شفرة دافنشي" ليست أكثر من "النسبة الذهبية". ويمكن العثور على تأكيد لهذه الفرضية في محاضرة للطلاب في جامعة هارفارد، والتي تذكر الشخصية الرئيسيةكتب "شفرة دافنشي" للبروفيسور. لانغدون:

"على الرغم من أصوله الغامضة تقريبًا، لعب رقم PHI دورًا فريدًا بطريقته الخاصة. دور الطوب في أساس بناء كل أشكال الحياة على الأرض. تتمتع جميع النباتات والحيوانات وحتى البشر بنسب فيزيائية تساوي تقريبًا جذر نسبة الرقم PHI إلى 1. وهذا الوجود المطلق للرقم PHI في الطبيعة... يشير إلى الارتباط بين جميع الكائنات الحية. كان يُعتقد سابقًا أن رقم PHI قد تم تحديده مسبقًا بواسطة خالق الكون. لقد أطلق علماء العصور القديمة على فاصلة وستمائة وثمانية عشر ألفًا اسم "النسبة الإلهية".

وهكذا فإن الرقم غير النسبي الشهير PHI = 1.618، والذي أطلق عليه ليوناردو دافنشي "النسبة الذهبية"، هو "شفرة دافنشي"!

اكتشاف رياضي آخر للعلوم القديمة هو متعددات الوجوه العادية التي تم تسميتها "المواد الصلبة الأفلاطونية"و "متعددات الوجوه شبه المنتظمة"، مُسَمًّى “المواد الصلبة أرخميدس”.هذه الأشكال الهندسية المكانية الجميلة بشكل مذهل هي التي تكمن وراء اثنين من أكبر الاكتشافات العلمية في القرن العشرين - أشباه البلورات(مؤلف الاكتشاف هو الفيزيائي الإسرائيلي دان شيختمان) و الفوليرين(جائزة نوبل 1996). يعد هذان الاكتشافان أهم تأكيد على حقيقة أن النسبة الذهبية هي الكود العالمي للطبيعة ("شفرة دافنشي")، الذي يكمن وراء الكون.

ألهم اكتشاف أشباه البلورات والفوليرين العديد من الفنانين المعاصرين لإنشاء أعمال تصور بشكل فني أهم الاكتشافات الفيزيائية في القرن العشرين. أحد هؤلاء الفنانين هو الفنان السلوفيني الأم تيا كراشيك. هذا المقاليقدم العالم الفني للأم تيا كراشيك من خلال منظور أحدث الاكتشافات العلمية.

يُظهر الشخص اهتمامًا بالمضلعات المنتظمة ومتعددات الوجوه طوال نشاطه الواعي بأكمله - بدءًا من طفل يبلغ من العمر عامين يلعب بكتل خشبية وحتى عالم رياضيات ناضج. وبعض الصحيحين وشبه الهيئات الصحيحةتوجد في الطبيعة على شكل بلورات، والبعض الآخر على شكل فيروسات يمكن فحصها باستخدام المجهر الإلكتروني.

ما هو متعدد السطوح العادية؟ متعدد السطوح المنتظم هو متعدد السطوح، جميع وجوهه متساوية (أو متطابقة) مع بعضها البعض وفي نفس الوقت مضلعات منتظمة. كم عدد متعددات الوجوه العادية الموجودة؟ للوهلة الأولى، الإجابة على هذا السؤال بسيطة للغاية - هناك عدد كبير من المضلعات المنتظمة. ومع ذلك، فهو ليس كذلك. في كتاب العناصر لإقليدس نجد دليلا قاطعا على أنه لا يوجد سوى خمسة متعددات وجوه منتظمة محدبة، ووجوهها يمكن أن تكون ثلاثة أنواع فقط من المضلعات المنتظمة: مثلثات, مربعاتو الخماسيات (الخماسيات العادية).

تم تخصيص العديد من الكتب لنظرية متعددات الوجوه. ومن أشهرها كتاب عالم الرياضيات الإنجليزي م. فينيجر "نماذج متعددات الوجوه". تم نشر هذا الكتاب بالترجمة الروسية من قبل دار مير للنشر في عام 1974. والنقش الموجود في الكتاب عبارة عن بيان بقلم برتراند راسل: "الرياضيات لا تمتلك الحقيقة فحسب، بل تمتلك أيضًا جمالًا عاليًا - جمال حاد وصارم ونقي للغاية ويسعى إلى الكمال الحقيقي، وهو ما يميز فقط أعظم أمثلة الفن."

يبدأ الكتاب بوصف ما يسمى ب متعددات الوجوه العادية، أي متعددات الوجوه مكونة من أبسط المضلعات المنتظمة من نفس النوع. وعادة ما تسمى هذه متعددات الوجوه المواد الصلبة الأفلاطونية(رسم بياني 1) , سميت على اسم الفيلسوف اليوناني القديم أفلاطون، الذي استخدم متعددات الوجوه العادية في كتاباته علم الكونيات.

الصورة 1.المواد الصلبة الأفلاطونية: (أ) المجسم الثماني ("النار")، (ب) السداسي أو المكعب ("الأرض")،

(ج) ثماني السطوح ("الهواء")، (د) عشري الوجوه ("ماء")، (هـ) ثنائي السطوح ("العقل العالمي")

سنبدأ نظرنا مع متعددات الوجوه العادية، وجوه منها مثلثات متساوية الأضلاع.اول واحد هو رباعي الاسطح(الشكل 1-أ). في رباعي السطوح، تلتقي ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع في قمة واحدة؛ وفي الوقت نفسه، تشكل قواعدها مثلثًا متساوي الأضلاع جديدًا. يحتوي رباعي السطوح على أصغر عدد من الوجوه بين المواد الصلبة الأفلاطونية وهو نظير ثلاثي الأبعاد للمسطح. مثلث منتظم، الذي يحتوي على أقل عدد من الجوانب بين المضلعات المنتظمة.

ويسمى الجسم التالي، الذي يتكون من مثلثات متساوية الأضلاع المجسم الثماني(الشكل 1-ب). في المجسم الثماني، تلتقي أربعة مثلثات في قمة واحدة؛ والنتيجة هي هرم ذو قاعدة رباعية الزوايا. إذا قمت بربط اثنين من هذه الأهرامات بقواعدهما، فستحصل على جسم متماثل بثمانية وجوه مثلثة - المجسم الثماني.

يمكنك الآن محاولة توصيل خمسة مثلثات متساوية الأضلاع عند نقطة واحدة. ستكون النتيجة شكلاً له 20 وجهًا مثلثًا - متعدد الوجوه(الشكل 1-د).

الشكل المضلع المنتظم التالي هو: مربع.إذا قمنا بتوصيل ثلاثة مربعات عند نقطة واحدة ثم أضفنا ثلاثة مربعات أخرى، فسنحصل على شكل مثالي به ستة أضلاع المكعبأو مكعب(الشكل 1-ج).

وأخيرًا، هناك إمكانية أخرى لبناء متعدد السطوح منتظم، بناءً على استخدام المضلع المنتظم التالي - خماسي الاضلاع. إذا جمعنا 12 خماسيًا بحيث تلتقي ثلاثة خماسيات في كل نقطة، فسنحصل على مجسم أفلاطوني آخر يسمى الاثني عشر وجها(الشكل 1-د).

المضلع المنتظم التالي هو سداسي الزوايا. ومع ذلك، إذا قمنا بربط ثلاثة أشكال سداسية في نقطة واحدة، فسنحصل على سطح، أي أنه من المستحيل البناء من السداسيات شخصية ثلاثية الأبعاد. لا يمكن لأي مضلعات منتظمة أخرى فوق الشكل السداسي أن تشكل مواد صلبة على الإطلاق. ويترتب على هذه الاعتبارات أنه لا يوجد سوى خمسة متعددات وجوه منتظمة، يمكن أن تكون وجوهها فقط مثلثات ومربعات وخماسيات متساوية الأضلاع.

هناك روابط هندسية مذهلة بين الجميع متعددات الوجوه العادية. على سبيل المثال، مكعب(الشكل 1-ب) و المجسم الثماني(الشكل 1-ج) مزدوجان، أي. يتم الحصول عليها من بعضها البعض إذا تم أخذ مراكز ثقل وجوه أحدها كرؤوس للآخر والعكس صحيح. ثنائي بالمثل متعدد الوجوه(الشكل 1-د) و الاثني عشر وجها(الشكل 1-د) . رباعي الاسطح(الشكل 1-أ) مزدوج لذاته. يتم الحصول على الاثني عشر وجهًا من مكعب عن طريق بناء "أسقف" على وجوهه (الطريقة الإقليدية)؛ رؤوس رباعي الوجوه هي أي أربعة رؤوس للمكعب ليست متجاورة بشكل زوجي على طول الحافة، أي أن جميع متعددات الوجوه المنتظمة الأخرى يمكن أن تكون تم الحصول عليها من المكعب. إن حقيقة وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة فقط هي حقيقة مثيرة للدهشة - ففي نهاية المطاف، يوجد عدد لا نهائي من المضلعات المنتظمة على المستوى!

الخصائص العددية للمواد الصلبة الأفلاطونية

الخصائص العددية الرئيسية المواد الصلبة الأفلاطونيةهو عدد جوانب الوجه م،عدد الوجوه الملتقية عند كل قمة م،عدد الوجوه ز، عدد القمم في،عدد الأضلاع روعدد الزوايا المسطحة شعلى سطح متعدد السطوح، اكتشف أويلر الصيغة الشهيرة وأثبتها

ب ف + ز = 2,

عدد الرؤوس والحواف والوجوه المتصلة لأي متعدد وجوه محدب. الخصائص العددية المذكورة أعلاه موضحة في الجدول. 1.

الجدول 1

الخصائص العددية للمواد الصلبة الأفلاطونية

النسبة الذهبية في الاثني عشري الوجوه والإثني عشري الوجوه

يحتل المجسم الاثني عشري والمجسم العشروني (الشكل 1-د،هـ) مكانة خاصة بين المواد الصلبة الأفلاطونية. بادئ ذي بدء، يجب التأكيد على أن الهندسة الاثني عشر وجهاو متعدد الوجوهترتبط مباشرة مع النسبة الذهبية. في الواقع، الحواف الاثني عشر وجها(الشكل 1-د) هي البنتاغونات، أي. خماسيات منتظمة على أساس النسبة الذهبية. إذا نظرت عن كثب متعدد الوجوه(الشكل 1-د)، إذًا يمكنك أن ترى أنه عند كل من رؤوسه تتقارب خمسة مثلثات، تتشكل أضلاعها الخارجية خماسي الاضلاع. هذه الحقائق وحدها كافية لإقناعنا بأن النسبة الذهبية تلعب دوراً هاماً في تصميم هذين الرقمين المواد الصلبة الأفلاطونية.

ولكن هناك أدلة رياضية أعمق للدور الأساسي الذي تلعبه النسبة الذهبية في متعدد الوجوهو الاثني عشر وجها. ومن المعروف أن هذه الأجسام لها ثلاثة مجالات محددة. الكرة الأولى (الداخلية) منقوشة في الجسم وتلامس وجوهه. دعونا نشير إلى نصف قطر هذا المجال الداخلي بواسطة ص ط. الكرة الثانية أو الوسطى تلامس أضلاعها. دعونا نشير إلى نصف قطر هذه الكرة بواسطة جمهورية مقدونيا.وأخيرًا، يتم وصف الكرة الثالثة (الخارجية) حول الجسم وتمر عبر رؤوسها. دعونا نشير إلى نصف قطرها بواسطة RC. لقد ثبت في الهندسة أن قيم أنصاف أقطار المجالات المشار إليها الاثني عشر وجهاو متعدد الوجوه، التي لها حافة طول الوحدة، يتم التعبير عنها من خلال النسبة الذهبية t (الجدول 2).

الجدول 2

النسبة الذهبية في مجالات الاثني عشري الوجوه والإثني عشري الوجوه


عشروني الوجوه
الاثني عشر وجها

لاحظ أن نسبة نصف القطر = هي نفسها بالنسبة لـ متعدد الوجوه، ولل الاثني عشر وجها. وهكذا إذا الاثني عشر وجهاو متعدد الوجوهلها مجالات منقوشة متطابقة، فإن مجالاتها المحددة متساوية أيضًا مع بعضها البعض. ويرد دليل على هذه النتيجة الرياضية في البداياتإقليدس.

وفي الهندسة علاقات أخرى معروفة الاثني عشر وجهاو متعدد الوجوهمما يؤكد ارتباطهم بالنسبة الذهبية. على سبيل المثال، إذا أخذنا متعدد الوجوهو الاثني عشر وجهامع طول الضلع، يساوي واحدوحساب مساحتها الخارجية وحجمها، ثم يتم التعبير عنها من خلال النسبة الذهبية (الجدول 3).

الجدول 3

النسبة الذهبية في المنطقة الخارجية وحجم الاثني عشري الوجوه والمجسمات

	عشروني الوجوه	الاثني عشر وجها
المنطقة الخارجية

وهكذا، هناك عدد هائل من العلاقات التي حصل عليها علماء الرياضيات القدماء، مما يؤكد الحقيقة الرائعة التي هي بالضبط النسبة الذهبية هي النسبة الرئيسية من الاثني عشري الوجوه والإثني عشري الوجوهوهذه الحقيقة مثيرة للاهتمام بشكل خاص من وجهة نظر ما يسمى ب "عقيدة الاثني عشري السطوح"والتي سننظر إليها أدناه.

علم الكونيات عند أفلاطون

تسمى متعددات الوجوه العادية التي تمت مناقشتها أعلاه المواد الصلبة الأفلاطونيةلأنها احتلت مكانة مهمة في مفهوم أفلاطون الفلسفي عن بنية الكون.

أفلاطون (427-347 قبل الميلاد)

جسدت الأشكال المتعددة السطوح أربعة جواهر أو "عناصر" فيها. رباعي الاسطحيرمز نارحيث أن قمته موجهة نحو الأعلى؛ عشروني الوجوه ماء، لأنه متعدد السطوح الأكثر "انسيابية" ؛ مكعب أرضباعتباره متعدد السطوح الأكثر "ثباتًا" ؛ المجسم الثماني هواء، باعتباره متعدد السطوح "متجدد الهواء". متعدد السطوح الخامس الاثني عشر وجها، يجسد "كل ما هو موجود"، "العقل العالمي"، يرمز إلى الكون بأكمله ويعتبر الشكل الهندسي الرئيسي للكون.

اعتبر اليونانيون القدماء أن العلاقات المتناغمة هي أساس الكون، فارتبطت عناصرها الأربعة بالتناسب التالي: الأرض/الماء = الهواء/النار. لقد ضبط أفلاطون ذرات "العناصر" بتناغم تام، مثل أوتار القيثارة الأربعة. دعونا نتذكر أن التناغم هو تناغم لطيف. فيما يتعلق بهذه الهيئات، سيكون من المناسب أن نقول أن مثل هذا النظام من العناصر، والذي يتضمن أربعة عناصر - الأرض والماء والهواء والنار، قد تم تقديسه من قبل أرسطو. وظلت هذه العناصر هي الأركان الأربعة للكون لعدة قرون. ومن الممكن تمامًا التعرف عليها من خلال حالات المادة الأربع المعروفة لدينا: الصلبة والسائلة والغازية والبلازما.

وهكذا ربط اليونانيون القدماء فكرة الانسجام "الشامل" للوجود مع تجسيدها في المواد الصلبة الأفلاطونية. كما تأثر تأثير المفكر اليوناني الشهير أفلاطون البداياتإقليدس. يصف هذا الكتاب، الذي كان لعدة قرون الكتاب المدرسي الوحيد في الهندسة، الخطوط "المثالية" والأشكال "المثالية". الخط الأكثر "مثالية" هو مستقيموالمضلع الأكثر "مثالية" هو مضلع منتظم،وجود جوانب متساوية وزوايا متساوية. يمكن اعتبار أبسط مضلع منتظم مثلث متساوي الاضلاع،لأنه يحتوي على أقل عدد من الجوانب التي يمكن أن تحد من جزء من المستوى. أتساءل ما البداياتيبدأ إقليدس بوصف البناء مثلث منتظموتنتهي بدراسة الخمس المواد الصلبة الأفلاطونية.لاحظ أن المواد الصلبة الأفلاطونيةالنهائي، أي الكتاب الثالث عشر مخصص ل بدأإقليدس. بالمناسبة، هذه الحقيقة، أي وضع نظرية متعددات الوجوه المنتظمة في الكتاب النهائي (أي كما لو كان الأهم) بدأإقليدس، أدى إلى قيام عالم الرياضيات اليوناني القديم بروكلس، الذي كان أحد المعلقين على إقليدس، بطرح فرضية مثيرة للاهتمام حول الأهداف الحقيقية التي سعى إليها إقليدس عند إنشاء كتابه. البدايات. وفقا لبروكلس، خلق إقليدس البداياتليس لغرض تقديم الهندسة على هذا النحو، ولكن لإعطاء نظرية منظمة كاملة لبناء الأشكال "المثالية"، ولا سيما الخمسة المواد الصلبة الأفلاطونية، وتسليط الضوء في الوقت نفسه على بعض من أحدث الإنجازات في الرياضيات!

وليس من قبيل الصدفة أن أحد مؤلفي اكتشاف الفوليرين، حائز على جائزة نوبليبدأ هارولد كروتو، في محاضرته بجائزة نوبل، حديثه عن التناظر باعتباره "أساس تصورنا للعالم المادي" و"دوره في محاولات تفسيره بشكل شامل" مع المواد الصلبة الأفلاطونيةو"عناصر كل شيء": "يعود مفهوم التناظر البنيوي إلى العصور القديمة..." يمكن العثور على الأمثلة الأكثر شهرة بالطبع في كتاب طيماوس لأفلاطون، حيث كتب في القسم 53، المتعلق بالعناصر: "أولاً، لكل واحد (! ) “طبعا واضح أن النار والأرض والماء والهواء أجسام، وكل جسم صلب” (!!) يناقش أفلاطون مشاكل الكيمياء بلغة هذه العناصر الأربعة ويربطها بالأفلاطونية الأربعة المواد الصلبة (في ذلك الوقت أربعة فقط، حتى لم يكتشف هيبارخوس المادة الخامسة - الاثني عشر وجهًا). وعلى الرغم من أن هذه الفلسفة قد تبدو للوهلة الأولى ساذجة إلى حد ما، إلا أنها تشير إلى فهم عميق لكيفية عمل الطبيعة في الواقع.

متعددات الوجوه شبه منتظمة

هناك العديد من الهيئات المثالية المعروفة، والتي تسمى متعددات الوجوه شبه منتظمةأو الهيئات الارخميدية.لديهم أيضًا جميع زوايا متعددة السطوح متساوية وجميع الوجوه عبارة عن مضلعات منتظمة، ولكن متعددة أنواع مختلفة. هناك 13 متعدد وجوه شبه منتظم، يُنسب اكتشافها إلى أرخميدس.

أرخميدس (287 ق.م. – 212 ق.م.)

مجموعة من المواد الصلبة الارخميديةيمكن تقسيمها إلى عدة مجموعات. الأول منهم يتكون من خمسة متعددات الوجوه، والتي يتم الحصول عليها من المواد الصلبة الأفلاطونيةنتيجة لهم اقتطاع.الجسم المقطوع هو الجسم الذي تم قطع الجزء العلوي منه. ل المواد الصلبة الأفلاطونيةيمكن إجراء الاقتطاع بطريقة تجعل كلاً من الوجوه الجديدة الناتجة والأجزاء المتبقية من الوجوه القديمة مضلعات منتظمة. على سبيل المثال، رباعي الاسطح(الشكل 1-أ) يمكن اقتطاعه بحيث تتحول أوجهه الأربعة المثلثة إلى أربعة أوجه سداسية، ويضاف إليها أربعة أوجه مثلثية منتظمة. وبهذه الطريقة يمكن الحصول على خمسة المواد الصلبة الارخميدية: رباعي السطوح المقطوع، السداسي المقطوع (المكعب)، المجسم الثماني المقطوع، الاثني عشري السطوح المقطوعو المجسمات المقطوعة(الصورة 2).


(أ)	(ب)	(الخامس)


(ز)	(هـ)

الشكل 2. المواد الصلبة الأرخميدية: (أ) رباعي السطوح المقطوع، (ب) المكعب المقطوع، (ج) المجسم الثماني المقطوع، (د) الاثني عشري الوجوه المقطوع، (هـ) العشروني الوجوه المقطوع

ويتحدث العالم الأمريكي سمولي، وهو أحد مؤلفي الاكتشاف التجريبي للفوليرين، في محاضرة نوبل التي ألقاها عن أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) باعتباره أول باحث في متعددات الوجوه المبتورة، على وجه الخصوص، المجسمات المقطوعةومع ذلك، مع التحذير من أنه ربما يكون لأرخميدس الفضل في ذلك، وربما تم اقتطاع الأشكال العشرونية الوجوه قبله بوقت طويل. ويكفي أن نذكر تلك الموجودة في اسكتلندا والتي يرجع تاريخها إلى حوالي عام 2000 قبل الميلاد. مئات الأشياء الحجرية (على ما يبدو لأغراض طقوسية) على شكل مجالات ومختلفة متعددات الوجوه(الأجساد يحدها من كل جانب مسطح حواف)، بما في ذلك المجسمات العشرونية والاثني عشرية. لسوء الحظ، لم ينج العمل الأصلي لأرخميدس، ووصلت نتائجه إلينا، كما يقولون، "مستعملة". خلال عصر النهضة كل شيء المواد الصلبة الارخميديةتم "اكتشاف" واحدا تلو الآخر مرة أخرى. بعد كل شيء، قدم كيبلر في عام 1619 في كتابه "الوئام العالمي" ("هارمونيس موندي") وصفا شاملا لمجموعة كاملة من المواد الصلبة أرخميدس - متعددات الوجوه، يمثل كل وجه منها مضلع منتظم، وكل قممتكون في موضع متكافئ (مثل ذرات الكربون في جزيء C60). تتكون المواد الصلبة الأرخميدية من اثنين على الأقل أنواع مختلفةالمضلعات، مقابل 5 المواد الصلبة الأفلاطونية، وجميع وجوهها متطابقة (كما هو الحال في جزيء C 20، على سبيل المثال).

الشكل 3. بناء المجسم العشروني المسطح المقطوع
من المجسمات الأفلاطونية

فكيف التصميم أرخميدس مجسم عشروني الوجوه مقطوعًامن المجسم الأفلاطوني؟ الجواب موضح باستخدام الشكل. 3. في الواقع، كما يتبين من الجدول. 1،5 وجوه تتلاقى في أي من القمم الـ 12 للمجسم العشروني. إذا تم قطع 12 جزءًا من المجسم العشريني في كل قمة بمستوى، فسيتم تشكيل 12 وجهًا خماسيًا جديدًا. جنبًا إلى جنب مع الوجوه العشرين الموجودة، والتي تحولت بعد هذا القطع من الشكل الثلاثي إلى الشكل السداسي، ستشكل 32 وجهًا من المجسم العشروني المقطوع. في هذه الحالة، سيكون هناك 90 حرفًا و60 رأسًا.

مجموعة أخرى المواد الصلبة الارخميديةتتكون من جسمين يسمى شبه منتظممتعددات الوجوه. ويؤكد الجسيم "شبه" أن وجوه هذه متعددات الوجوه هي مضلعات منتظمة من نوعين فقط، كل وجه من نوع واحد محاط بمضلعات من نوع آخر. ويطلق على هذين الجسمين معيني الشكلو إيكوسيدوكاهيدرون(الشكل 4).

الشكل 5. المواد الصلبة الأرخميدية: (أ) المكعبات المربعة الشكل، (ب) المسطحات المعينية

أخيرًا، هناك تعديلان يُطلق عليهما "الازدراء" - أحدهما للمكعب ( مكعب ازدراء) ، والآخر للاثني عشر وجها ( ازدراء الاثني عشر وجها) (الشكل 6).


(أ)	(ب)

الشكل 6.المواد الصلبة الأرخميدية: (أ) المكعب الأفطس، (ب) الاثني عشري الشكل الأفطس

في كتاب فينيجر المذكور أعلاه، نماذج متعددات الوجوه (1974)، يمكن للقارئ أن يجد 75 نموذجًا مختلفًا لمتعددات الوجوه العادية. "إن نظرية متعددات الوجوه، وخاصة متعددات الوجوه المحدبة، هي واحدة من أكثر فصول الهندسة روعة"هذا هو رأي عالم الرياضيات الروسي ل.أ. ليوستيرناك الذي فعل الكثير في هذا المجال من الرياضيات. يرتبط تطور هذه النظرية بأسماء العلماء البارزين. قدم يوهانس كيبلر (1571-1630) مساهمة كبيرة في تطوير نظرية متعددات الوجوه. ذات مرة كتب رسمًا تخطيطيًا بعنوان "حول ندفة الثلج" أدلى فيه بالملاحظة التالية: "من بين الأجسام المنتظمة، أول وبداية وسلف الباقي هو المكعب، وإذا جاز لي أن أقول، فإن زوجه هو المجسم الثماني، لأن المجسم الثماني له زوايا عديدة مثل وجوه المكعب."وكان كيبلر أول من نشر القائمة الكاملةثلاثة عشر المواد الصلبة الارخميديةوأعطاهم الأسماء التي يعرفون بها اليوم.

كان كيبلر أول من درس ما يسمى ب متعدد الوجوه النجمي,والتي، على عكس المواد الصلبة الأفلاطونية والأرخميدية، هي متعددات وجوه محدبة منتظمة. في بداية القرن الماضي، قام عالم الرياضيات والميكانيكي الفرنسي ل. بوينسو (1777-1859)، الذي ترتبط أعماله الهندسية بمتعددات الوجوه النجمية، بتطوير عمل كبلر واكتشف وجود نوعين آخرين من متعددات الوجوه المنتظمة غير المحدبة. لذلك، بفضل عمل كيبلر وبوانسوت، أصبحت أربعة أنواع من هذه الأرقام معروفة (الشكل 7). في عام 1812، أثبت أو. كوشي أنه لا توجد متعددات وجوه نجمية منتظمة أخرى.

الشكل 7.متعددات الوجوه النجمية المنتظمة (المواد الصلبة بوينسو)

قد يتساءل العديد من القراء: لماذا ندرس متعددات الوجوه المنتظمة على الإطلاق؟ ما هو استخدامها؟ يمكن الإجابة على هذا السؤال: ما فائدة الموسيقى أو الشعر؟ هل كل شيء جميل مفيد؟ نماذج متعددات الوجوه الموضحة في الشكل. 1-7، قبل كل شيء، تترك انطباعًا جماليًا علينا ويمكن استخدامها كديكورات زخرفية. ولكن في الواقع، فإن ظهور متعددات الوجوه المنتظمة على نطاق واسع في الهياكل الطبيعية قد سبب اهتمامًا كبيرًا بهذا الفرع من الهندسة العلم الحديث.

ما هو التقويم؟

يقول المثل الروسي: "الزمن هو عين التاريخ". كل ما هو موجود في الكون: الشمس، الأرض، النجوم، الكواكب، العوالم المعروفة وغير المعروفة، وكل ما هو موجود في طبيعة الكائنات الحية وغير الحية، كل شيء له بعد مكاني زماني. يتم قياس الوقت من خلال مراقبة العمليات المتكررة بشكل دوري لمدة معينة.

حتى في العصور القديمة، لاحظ الناس أن النهار يفسح المجال دائمًا لليل، وأن الفصول تمر بتسلسل صارم: بعد الشتاء يأتي الربيع، وبعد الربيع يأتي الصيف، وبعد الصيف يأتي الخريف. وفي البحث عن حل لهذه الظواهر، اهتم الإنسان بالأجرام السماوية - الشمس والقمر والنجوم - وبالتواتر الصارم لحركاتها عبر السماء. كانت هذه الملاحظات الأولى التي سبقت ولادة أحد أقدم العلوم - علم الفلك.

يعتمد علم الفلك في قياس الوقت على حركة الأجرام السماوية، والتي تعكس ثلاثة عوامل: دوران الأرض حول محورها، وثورة القمر حول الأرض، وحركة الأرض حول الشمس. تعتمد المفاهيم المختلفة للوقت على أي من هذه الظواهر يعتمد قياس الوقت عليها. علم الفلك يعرف ممتازوقت، مشمسوقت، محليوقت، وَسَطوقت، إجازة أمومةوقت، الذريالوقت، الخ.

الشمس، مثل كل النجوم الأخرى، تشارك في الحركة عبر السماء. بالإضافة إلى الحركة اليومية، فإن للشمس ما يسمى بالحركة السنوية، ويسمى المسار الكامل لحركة الشمس السنوية عبر السماء مسير الشمس.فإذا لاحظنا مثلاً موقع الأبراج في ساعة مسائية معينة، ثم كررنا هذه الملاحظة كل شهر، فستظهر أمامنا صورة مختلفة للسماء. يتغير مظهر السماء المرصعة بالنجوم بشكل مستمر: كل موسم له نمطه الخاص من الأبراج المسائية، ويتكرر كل نمط من هذا القبيل كل عام. وبالتالي، بعد عام، تعود الشمس إلى مكانها الأصلي بالنسبة للنجوم.

ولتسهيل التوجيه في عالم النجوم، قسم علماء الفلك السماء بأكملها إلى 88 كوكبة. كل واحد منهم له اسمه الخاص. من بين 88 كوكبة، تحتل مكانة خاصة في علم الفلك تلك التي يمر عبرها مسير الشمس. هذه الأبراج، بالإضافة إلى أسمائها، لها أيضًا اسم عام - الأبراج الفلكية(من الكلمة اليونانية "zoop" = حيوان)، بالإضافة إلى الرموز (الإشارات) المعروفة على نطاق واسع في جميع أنحاء العالم والصور المجازية المختلفة المدرجة في أنظمة التقويم.

ومن المعروف أنه في عملية التحرك على طول مسير الشمس، تعبر الشمس 13 كوكبة. ومع ذلك، وجد علماء الفلك أنه من الضروري تقسيم مسار الشمس ليس إلى 13، بل إلى 12 جزءًا، والجمع بين كوكبتي العقرب والحواء في كوكبة واحدة تحت الاسم العام برج العقرب (لماذا؟).

إن مسائل قياس الزمن يعالجها علم خاص يسمى التسلسل الزمني.إنه يكمن وراء جميع أنظمة التقويم التي أنشأتها البشرية. كان إنشاء التقويمات في العصور القديمة من أهم مهام علم الفلك.

ما هو "التقويم" وما هي أنواعه؟ أنظمة التقويم؟ كلمة تقويميأتي من الكلمة اللاتينية تقويموالتي تعني حرفيًا "دفتر الديون" ؛ في مثل هذه الكتب تم الإشارة إلى الأيام الأولى من كل شهر - كاليندز،حيث كان المدينون في روما القديمة يدفعون الفائدة.

منذ العصور القديمة في دول شرق وجنوب شرق آسيا عند تجميع التقاويم أهمية عظيمةأعطى دورية لحركات الشمس والقمر وأيضا كوكب المشتريو زحل، كوكبان عملاقان في النظام الشمسي. هناك سبب للاعتقاد بأن فكرة الخلق التقويم اليوفيمع رمزية سماوية لدورة الحيوان البالغة 12 عامًا والمرتبطة بالدوران كوكب المشتريحول الشمس مما يحدث ثورة كاملة حول الشمس في حوالي 12 سنة (11.862 سنة). ومن ناحية أخرى، فإن الكوكب العملاق الثاني للنظام الشمسي هو زحليقوم بدورة كاملة حول الشمس في حوالي 30 سنة (29.458 سنة). رغبةً منهم في تنسيق دورات حركة الكواكب العملاقة، توصل الصينيون القدماء إلى فكرة تقديم دورة النظام الشمسي التي مدتها 60 عامًا. خلال هذه الدورة، يقوم زحل بدورتين كاملتين حول الشمس، والمشتري خمس دورات.

عند إنشاء التقاويم السنوية، يتم استخدام الظواهر الفلكية: تغير النهار والليل وتغيير مراحل القمر وتغير الفصول. أدى استخدام الظواهر الفلكية المختلفة إلى إنشاء ثلاثة أنواع من التقويمات بين مختلف الشعوب: قمري,على أساس حركة القمر، مشمس،على أساس حركة الشمس، و القمري الشمسي.

بناء التقويم المصري

كان أحد التقويمات الشمسية الأولى مصري، تم إنشاؤها في الألفية الرابعة قبل الميلاد. تتكون السنة التقويمية المصرية الأصلية من 360 يومًا. تم تقسيم السنة إلى 12 شهرًا، كل منها 30 يومًا بالضبط. ومع ذلك، فقد اكتشف لاحقًا أن طول السنة التقويمية هذا لا يتوافق مع السنة الفلكية. ثم أضاف المصريون 5 أيام أخرى إلى السنة التقويمية، والتي، مع ذلك، لم تكن أيام الشهر. كان 5 العطل، ربط السنوات التقويمية المجاورة. وهكذا، كان للسنة التقويمية المصرية البنية التالية: 365 = 12 30 + 5. لاحظ أن التقويم المصري هو النموذج الأولي للتقويم الحديث.

والسؤال الذي يطرح نفسه: لماذا قسم المصريون السنة التقويمية إلى 12 شهرا؟ بعد كل شيء، كانت هناك تقاويم بعدد مختلف من أشهر السنة. على سبيل المثال، في تقويم المايا، تتكون السنة من 18 شهرًا، بواقع 20 يومًا في الشهر. السؤال التالي فيما يتعلق بالتقويم المصري: لماذا كان كل شهر يتكون من 30 يومًا بالضبط (بتعبير أدق، أيام)؟ يمكن أيضًا طرح بعض الأسئلة حول النظام المصري لقياس الوقت، خاصة فيما يتعلق باختيار وحدات الوقت مثل ساعة، دقيقة، ثانية.على وجه الخصوص، ينشأ السؤال: لماذا تم اختيار وحدة الساعة بحيث تناسب بالضبط 24 مرة في اليوم، أي لماذا يوم واحد = 24 (2½ 12) ساعة؟ التالي: لماذا الساعة الواحدة = 60 دقيقة، والدقيقة = 60 ثانية؟ تنطبق نفس الأسئلة على اختيار وحدات الكميات الزاوية، على وجه الخصوص: لماذا تنقسم الدائرة إلى 360 درجة، أي لماذا 2ع =360° =12 30 درجة؟ وتضاف إلى هذه الأسئلة أسئلة أخرى، على وجه الخصوص: لماذا وجد علماء الفلك أنه من المناسب الاعتقاد بوجود 12 كوكبًا؟ الأبراج الفلكيةعلامات رغم أن الشمس في الواقع تعبر 13 كوكبة أثناء حركتها على طول مسير الشمس؟ وسؤال آخر "غريب": لماذا كان لنظام الأرقام البابلي قاعدة غير عادية للغاية - الرقم 60؟

العلاقة بين التقويم المصري والخصائص العددية للاثني عشر وجهًا

وبتحليل التقويم المصري وكذلك الأنظمة المصرية لقياس الوقت وقيم الزوايا نجد أن أربعة أرقام تتكرر بثبات مذهل: 12، 30، 60 والرقم المشتق منها 360 = 12 30. والسؤال الذي يطرح نفسه: هل فهل توجد إذن فكرة علمية أساسية يمكن أن تقدم تفسيرا بسيطا ومنطقيا لاستخدام هذه الأرقام في الأنظمة المصرية؟

للإجابة على هذا السؤال، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى الاثني عشر وجها، كما هو موضح في الشكل. 1-د. دعونا نتذكر أن جميع النسب الهندسية للمجسم الاثني عشري تعتمد على النسبة الذهبية.

هل عرف المصريون الاثني عشر وجها؟ يعترف مؤرخو الرياضيات أن المصريين القدماء كان لديهم معلومات عن متعددات الوجوه المنتظمة. لكن هل كانوا يعرفون جميع متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة، على وجه الخصوص؟ الاثني عشر وجهاو متعدد الوجوهما هي أصعبها؟ يعزو عالم الرياضيات اليوناني القديم بروكلس بناء متعددات الوجوه المنتظمة إلى فيثاغورس. لكن العديد من النظريات والنتائج الرياضية (على وجه الخصوص نظرية فيثاغورس) استعار فيثاغورس من المصريين القدماء خلال "رحلة عمله" الطويلة جدًا إلى مصر (بحسب بعض المعلومات، عاش فيثاغورس في مصر لمدة 22 عامًا!). لذلك، يمكننا أن نفترض أن فيثاغورس ربما يكون أيضًا قد استعار المعرفة حول متعددات الوجوه المنتظمة من المصريين القدماء (وربما من البابليين القدماء، لأنه وفقًا للأسطورة، عاش فيثاغورس في بابل القديمة لمدة 12 عامًا). ولكن هناك أدلة أخرى أكثر إقناعًا على أن المصريين كان لديهم معلومات حول متعددات الوجوه الخمسة المنتظمة. وعلى وجه الخصوص، يضم المتحف البريطاني قالبًا من العصر البطلمي، له هذا الشكل متعدد الوجوهأي "الصلب الأفلاطوني" المزدوج الاثني عشر وجها. كل هذه الحقائق تعطينا الحق في طرح فرضية ذلك كان الاثني عشر وجها معروفا لدى المصريين.وإذا كان الأمر كذلك، فإن من هذه الفرضية يتبع نظام متناغم للغاية، مما يسمح لنا بشرح أصل التقويم المصري، وفي نفس الوقت أصل النظام المصري لقياس الفترات الزمنية والزوايا الهندسية.

لقد أثبتنا سابقًا أن المجسم الاثني عشري له 12 وجهًا و30 حافة و60 زاوية مسطحة على سطحه (الجدول 1). بناء على الفرضية التي عرفها المصريون الاثني عشر وجهاوخصائصها العددية هي 12، 30. 60، فما كانت دهشتهم عندما اكتشفوا أن نفس الأرقام تعبر عن دورات النظام الشمسي، وهي دورة المشتري التي تبلغ 12 سنة، ودورة زحل التي تبلغ 30 سنة، و، وأخيرًا، دورة الصيف التي تبلغ 60 عامًا للنظام الشمسي. وهكذا، بين مثل هذا الشكل المكاني المثالي مثل الاثني عشر وجها، والنظام الشمسي، هناك اتصال رياضي عميق! تم التوصل إلى هذا الاستنتاج من قبل العلماء القدماء. هذا أدى إلى حقيقة ذلك الاثني عشر وجهاتم اعتماده باعتباره "الشخصية الرئيسية" التي ترمز انسجام الكون. ومن ثم قرر المصريون أن جميع أنظمتهم الرئيسية (نظام التقويم، نظام قياس الوقت، نظام قياس الزوايا) يجب أن تتوافق مع المعلمات العددية الاثني عشر وجها! نظرًا لأن حركة الشمس على طول مسير الشمس، وفقًا للقدماء، كانت دائرية تمامًا، فمن خلال اختيار 12 علامة زودياك، كانت المسافة القوسية بينها 30 درجة بالضبط، قام المصريون بتنسيق الحركة السنوية للشمس بشكل مدهش على طول مسير الشمس مع هيكل السنة التقويمية الخاصة بهم: شهر واحد يتوافق مع حركة الشمس على طول مسير الشمس بين برجين متجاورين من دائرة الأبراج!علاوة على ذلك فإن حركة الشمس بدرجة واحدة تقابل يوما واحدا في السنة التقويمية المصرية! في هذه الحالة، تم تقسيم دائرة البروج تلقائيًا إلى 360 درجة. وبعد أن قسموا كل يوم إلى قسمين، متبعين الاثني عشر وجهًا، قسم المصريون بعد ذلك كل نصف من اليوم إلى 12 جزءًا (12 وجهًا) الاثني عشر وجها) وبذلك قدم ساعة- أهم وحدة زمنية. تقسيم الساعة إلى 60 دقيقة (60 زاوية مستوية على السطح). الاثني عشر وجها) قدم المصريون بهذه الطريقة دقيقة- الوحدة الزمنية المهمة التالية. بنفس الطريقة التي قدموا بها اعطني ثانية- أصغر وحدة زمنية لتلك الفترة.

وهكذا اختيار الاثني عشر وجهاباعتباره الشكل "التوافقي" الرئيسي للكون، وباتباع الخصائص العددية للاثني عشر وجهًا بدقة 12، 30، 60، تمكن المصريون من بناء تقويم متناغم للغاية، بالإضافة إلى أنظمة لقياس الوقت والقيم الزاوية. وكانت هذه الأنظمة منسجمة تماماً مع "نظرية التناغم" الخاصة بها، القائمة على النسبة الذهبية، إذ أن هذه النسبة هي التي تقوم عليها الاثني عشر وجها.

هذه هي الاستنتاجات المدهشة التي تلي المقارنة: الاثني عشر وجهامع النظام الشمسي. وإذا كانت فرضيتنا صحيحة (دع أحدهم يحاول دحضها)، فهذا يعني أن البشرية تعيش منذ آلاف السنين تحت علامة النسبة الذهبية! وفي كل مرة ننظر فيها إلى قرص ساعتنا، والذي يعتمد أيضًا على استخدام الخصائص الرقمية الاثني عشر وجها 12 و 30 و 60، نلمس "لغز الكون" الرئيسي - النسبة الذهبية، دون أن نعرف ذلك!

في 12 نوفمبر 1984، قدمت ورقة بحثية قصيرة نشرت في المجلة المرموقة Physical Review Letters بقلم الفيزيائي الإسرائيلي دان شيختمان، أدلة تجريبية على وجود سبيكة معدنية ذات خصائص استثنائية. عند دراستها بطرق حيود الإلكترون، أظهرت هذه السبيكة جميع العلامات البلورية. ويتكون نمط حيوده من نقاط مشرقة ومتباعدة بشكل منتظم، تماما مثل البلورة. إلا أن هذه الصورة تتميز بوجود تناظر "عشريني السطوح" أو "خماسي"، وهو أمر ممنوع منعا باتا في البلورة لأسباب هندسية. تم استدعاء هذه السبائك غير العادية أشباه البلورات.وفي أقل من عام تم اكتشاف العديد من السبائك الأخرى من هذا النوع. كان هناك الكثير منهم لدرجة أن الحالة شبه البلورية أصبحت أكثر شيوعًا مما قد يتخيله المرء.

الفيزيائي الإسرائيلي دان شيختمان

إن مفهوم شبه البلورة له أهمية أساسية لأنه يعمم ويكمل تعريف البلورة. تستبدل النظرية المبنية على هذا المفهوم الفكرة القديمة المتمثلة في "وحدة هيكلية تتكرر في الفضاء بطريقة دورية صارمة" بالمفهوم الأساسي أمر بعيد المدى.وكما تم التأكيد عليه في مقال "أشباه البلورات" للفيزيائي الشهير د. جراتيا، "أدى هذا المفهوم إلى التوسع في علم البلورات، والثروات المكتشفة حديثًا والتي بدأنا للتو في استكشافها. ويمكن وضع أهميتها في عالم المعادن على قدم المساواة مع إضافة مفهوم الأعداد غير النسبية إلى الأعداد النسبية في الرياضيات.

ما هو شبه البلورة؟ وما هي خصائصه وكيف يمكن وصفه؟ كما ذكر أعلاه، وفقا ل القانون الأساسي لعلم البلوراتيتم فرض قيود صارمة على الهيكل البلوري. وفقًا للمفاهيم الكلاسيكية، تتكون البلورة إلى ما لا نهاية من خلية واحدة، والتي يجب أن "تغطي" المستوى بأكمله بإحكام (وجهًا لوجه) دون أي قيود.

كما هو معروف، يمكن إجراء ملء كثيف للطائرة باستخدام مثلثات(الشكل 7-أ)، مربعات(الشكل 7-ب) و السداسيات(الشكل 7-د). باستخدام البنتاغونات (البنتاغونات) مثل هذا الحشو مستحيل (الشكل 7-ج).


أ)	ب)	الخامس)	ز)

الشكل 7.يمكن إجراء التعبئة الكثيفة للمستوى باستخدام المثلثات (أ) والمربعات (ب) والأشكال السداسية (د)

كانت هذه هي شرائع علم البلورات التقليدي، والتي كانت موجودة قبل اكتشاف سبيكة غير عادية من الألومنيوم والمنغنيز، تسمى شبه البلورات. يتم تشكيل هذه السبيكة عن طريق التبريد فائق السرعة للمصهور بمعدل 106 كلفن في الثانية. علاوة على ذلك، أثناء دراسة الحيود لمثل هذه السبيكة، يظهر نمط منظم على الشاشة، وهو سمة من سمات تناظر المجسم العشروني، الذي يحتوي على محاور التناظر الشهيرة من الدرجة الخامسة المحظورة.

وعلى مدى السنوات القليلة التالية، قامت عدة مجموعات علمية حول العالم بدراسة هذه السبيكة غير العادية باستخدام المجهر الإلكتروني عالي الدقة. وأكدت جميعها التجانس المثالي للمادة، حيث تم الحفاظ على التناظر من الدرجة الخامسة في المناطق العيانية ذات الأبعاد القريبة من أبعاد الذرات (عدة عشرات من النانومترات).

وفقا لوجهات النظر الحديثة، تم تطوير النموذج التالي للحصول على البنية البلورية لشبه البلورة. يعتمد هذا النموذج على مفهوم "العنصر الأساسي". ووفقا لهذا النموذج، فإن المجسم العشروني الداخلي المكون من ذرات الألومنيوم محاط بالمجسم العشروني الخارجي المكون من ذرات المنغنيز. ترتبط المجسمات العشرونية بواسطة ثماني السطوح من ذرات المنغنيز. ويحتوي "العنصر الأساسي" على 42 ذرة ألومنيوم و12 ذرة منجنيز. أثناء عملية التصلب، يحدث التكوين السريع لـ "العناصر الأساسية"، والتي ترتبط بسرعة ببعضها البعض بواسطة "جسور" صلبة ذات ثماني السطوح. تذكر أن وجوه المجسم العشروني هي مثلثات متساوية الأضلاع. من أجل تكوين جسر منجنيز ثماني السطوح، من الضروري أن يقترب مثلثان من هذا القبيل (واحد في كل خلية) بدرجة كافية من بعضهما البعض ويصطفان بالتوازي. نتيجة لهذا العملية الجسديةويتم تشكيل بنية شبه بلورية ذات تناظر "عشروني الوجوه".

في العقود الأخيرة، تم اكتشاف أنواع عديدة من السبائك شبه البلورية. بالإضافة إلى تلك التي لها تماثل "عشروني الوجوه" (الترتيب الخامس)، هناك أيضًا سبائك ذات تماثل عشري الأضلاع (الترتيب العاشر) وتماثل اثني عشري (الترتيب الثاني عشر). بدأت دراسة الخصائص الفيزيائية لأشباه البلورات مؤخرًا فقط.

ما هي الأهمية العملية لاكتشاف أشباه البلورات؟ كما هو مذكور في مقالة جراتيا المذكورة أعلاه، "تزداد القوة الميكانيكية للسبائك شبه البلورية بشكل حاد؛ يؤدي غياب الدورية إلى تباطؤ في انتشار الاضطرابات مقارنة بالمعادن التقليدية... هذه الخاصية لها أهمية عملية كبيرة: استخدام الطور العشريني الوجوه سيجعل من الممكن الحصول على سبائك خفيفة وقوية جدًا عن طريق إدخال جزيئات صغيرة من أشباه البلورات في مصفوفة الألومنيوم."

ما هي الأهمية المنهجية لاكتشاف أشباه البلورات؟ بادئ ذي بدء، يعد اكتشاف أشباه البلورات لحظة انتصار كبير لـ "عقيدة الاثني عشري السطوح"، التي تتخلل تاريخ العلوم الطبيعية بأكمله وهي مصدر الأفكار العلمية العميقة والمفيدة. ثانيًا، دمرت أشباه البلورات الفكرة التقليدية المتمثلة في وجود انقسام لا يمكن التغلب عليه بين عالم المعادن، الذي كان فيه التماثل "الخماسي" محظورًا، وعالم الطبيعة الحية، حيث يعد التماثل "الخماسي" أحد أكثر التماثلات شيوعًا. ويجب ألا ننسى أن النسبة الرئيسية للمجسم العشروني هي "النسبة الذهبية". واكتشاف أشباه البلورات هو تأكيد علمي آخر على أنه ربما تكون "النسبة الذهبية" التي تتجلى في عالم الطبيعة الحية وفي عالم المعادن هي النسبة الرئيسية للكون.

عندما قدم دان شيختمان دليلاً تجريبيًا على وجود أشباه البلورات التماثل الايكوساهدرالفت الفيزيائيون الذين يبحثون عن تفسير نظري لظاهرة أشباه البلورات الانتباه إلى اكتشاف رياضي قام به عالم الرياضيات الإنجليزي روجر بنروز قبل 10 سنوات. لقد اخترنا ذلك باعتباره "نظيرًا مسطحًا" لأشباه البلورات بلاط بنروز، وهي هياكل منتظمة غير دورية تتكون من معينات "سميكة" و"رفيعة"، تخضع لنسب "القسم الذهبي". بالضبط بلاط بنروزوقد اعتمدها علماء البلورات لتفسير هذه الظاهرة أشباه البلورات. وفي نفس الوقت الدور الماس بنروزفي الفضاء ثلاثي الأبعاد بدأ اللعب المجسمات، والتي يتم من خلالها تنفيذ التعبئة الكثيفة للمساحة ثلاثية الأبعاد.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على البنتاغون في الشكل. 8.

الشكل 8.خماسي الاضلاع

بعد رسم الأقطار فيه، يمكن تمثيل البنتاغون الأصلي كمزيج من ثلاثة أنواع الأشكال الهندسية. يوجد في الوسط شكل خماسي جديد يتكون من نقاط تقاطع الأقطار. بالإضافة إلى ذلك، البنتاغون في الصورة. 8 يتضمن خمسة مثلثات متساوية الساقين باللون الأصفر وخمسة مثلثات متساوية الساقين باللون الأحمر. المثلثات الصفراء "ذهبية" لأن نسبة الورك إلى القاعدة تساوي النسبة الذهبية؛ لديهم زوايا حادة قدرها 36 درجة عند القمة وزوايا حادة قدرها 72 درجة عند القاعدة. المثلثات الحمراء أيضًا "ذهبية"، لأن نسبة الورك إلى القاعدة تساوي النسبة الذهبية؛ لديهم زاوية منفرجة قدرها 108 درجة عند القمة وزاوية حادة قدرها 36 درجة عند القاعدة.

الآن دعونا نربط مثلثين أصفرين ومثلثين أحمرين بقاعدتيهما. ونتيجة لذلك نحصل على اثنين المعين "الذهبي".. الأول (الأصفر) لديه زاوية حادةعند 36 درجة وزاوية منفرجة عند 144 درجة (الشكل 9).


(أ)	(ب)

الشكل 9."المعين الذهبي: أ) المعين "الرفيع"؛ (ب) المعين "السميك".

الماس في الشكل. سوف نسميها 9 المعين رقيقة،والمعين في الشكل. 9-ب – المعين السميك.

استخدم عالم الرياضيات والفيزياء الإنجليزي روجرز بنروز الماس "الذهبي" في الشكل 1. 9 ـ لبناء الباركيه “الذهبي” الذي كان يسمى بلاط بنروز.بلاط بنروز عبارة عن مزيج من الماس السميك والرفيع، كما هو موضح في الشكل. 10.

الشكل 10. بلاط بنروز

ومن المهم التأكيد على ذلك بلاط بنروزلها تناظر "خماسي" أو تناظر من الدرجة الخامسة، ونسبة عدد المعينات السميكة إلى المعينات الرفيعة تميل إلى النسبة الذهبية!

الآن دعونا نتحدث عن اكتشاف حديث رائع آخر في مجال الكيمياء. وقد تم هذا الاكتشاف في عام 1985، أي بعد عدة سنوات من ظهور أشباه البلورات. نحن نتحدث عن ما يسمى ب "الفوليرين". يشير مصطلح "الفوليرين" إلى الجزيئات المغلقة من النوع C 60، C 70، C 76، C 84، والتي توجد فيها جميع ذرات الكربون على سطح كروي أو كروي. في هذه الجزيئات، تترتب ذرات الكربون عند رؤوس أشكال سداسية أو خماسية منتظمة تغطي سطح الكرة أو الشكل الكروي. يحتل جزيء C60 المكانة المركزية بين الفوليرين، والذي يتميز بأكبر قدر من التناظر، وبالتالي، أكبر قدر من الاستقرار. في هذا الجزيء، الذي يشبه إطار كرة القدم وله هيكل عشروني الوجوه منتظم (الشكل 2-هـ والشكل 3)، تقع ذرات الكربون على سطح كروي عند رؤوس 20 شكلًا سداسيًا منتظمًا و 12 خماسياً منتظماً بحيث يحد كل سداسي ثلاثة أشكال سداسية وثلاثة خماسيات، وكل خماسي يحده أشكال سداسية.

يأتي مصطلح "الفوليرين" من اسم المهندس المعماري الأمريكي بكمنستر فولر، الذي اتضح أنه استخدم مثل هذه الهياكل عند بناء قباب المباني (استخدام آخر للمجسم العشروني المسطح!).

"الفوليرين" هي في الأساس هياكل "من صنع الإنسان" ناشئة عن أبحاث الفيزياء الأساسية. تم تصنيعها لأول مرة من قبل العلماء ج. كروتو و ر. سمالي (الذين حصلوا على جائزة نوبل في عام 1996 لهذا الاكتشاف). ولكن تم اكتشافها بشكل غير متوقع في صخور فترة ما قبل الكمبري، أي أن الفوليرين لم يكن فقط "من صنع الإنسان"، بل تكوينات طبيعية. تتم الآن دراسة الفوليرين بشكل مكثف في المختبرات. دول مختلفة، في محاولة لتحديد شروط تكوينها وبنيتها وخصائصها ومجالات تطبيقها المحتملة. الممثل الأكثر دراسة لعائلة الفوليرين هو الفوليرين -60 (C 60) (ويسمى أحيانًا فوليرين بكمنستر. ومن المعروف أيضًا الفوليرين C 70 وC 84. ويتم الحصول على الفوليرين C 60 عن طريق تبخير الجرافيت في جو من الهيليوم. وهذا ينتج مسحوق ناعم يشبه السخام، يحتوي على 10% كربون، وعندما يذوب في البنزين يعطي المسحوق محلولاً أحمر اللون، تنمو منه بلورات C 60. يحتوي الفوليرين على مادة كيميائية غير عادية و الخصائص الفيزيائية. نعم عندما ضغط دم مرتفعمن 60 يصبح قاسيا مثل الماس. تشكل جزيئاتها بنية بلورية، كما لو كانت تتكون من كرات ناعمة تمامًا، تدور بحرية في شبكة مكعبة مركزية الوجه. بفضل هذه الخاصية، يمكن استخدام C 60 كمادة تشحيم صلبة. تمتلك الفوليرينات أيضًا خصائص مغناطيسية وفائقة التوصيل.

العلماء الروس أ.ف. إليتسكي وبي إم. لاحظ سميرنوف في مقالته "Fullerenes"، المنشورة في مجلة "Uspekhi Fizicheskikh Nauk" (1993، المجلد 163، العدد 2)، أن "الفوليرين، الذي تم إثبات وجوده في منتصف الثمانينات، وأصبحت تقنية العزل الفعالة التي تم تطويرها في عام 1990، الآن موضوع بحث مكثف من قبل عشرات المجموعات العلمية. تتم مراقبة نتائج هذه الدراسات عن كثب من قبل شركات التطبيقات. وبما أن هذا التعديل للكربون قد قدم للعلماء عددًا من المفاجآت، فلن يكون من الحكمة مناقشة التوقعات والتوقعات العواقب المحتملةدراسة الفوليرين في العقد المقبل، ولكن يجب أن نكون مستعدين لمفاجآت جديدة.

حصلت ماتجوسكا تيجا كراسيك على درجة البكالوريوس في الرسم من كلية الفنون البصرية (ليوبليانا، سلوفينيا) وهي فنانة مستقلة. يعيش ويعمل في ليوبليانا. نظريتها و العمل التطبيقييركز على التناظر كمفهوم يربط بين الفن والعلم. عُرضت أعمالها الفنية في العديد من المعارض الدولية وتم نشرها في مجلات عالمية (Leonardo Journal، Leonardo online).

إم تي. كراسيك في معرضه "العطور المشكالية"، ليوبليانا، 2005

يرتبط الإبداع الفني للأم تيا كراشيك بأنواع مختلفة من التماثل، وبلاطات بنروز والمعينات، وأشباه البلورات، والنسبة الذهبية باعتبارها العنصر الرئيسي للتماثل، وأرقام فيبوناتشي، وما إلى ذلك. وبمساعدة التأمل والخيال والحدس، تحاول الأم تحديد علاقات جديدة، ومستويات جديدة من البنية، وأنواع جديدة ومختلفة من النظام في هذه العناصر والهياكل. تستخدم في أعمالها رسومات الكمبيوتر على نطاق واسع كأداة للغاية علاج مفيدلإنشاء عمل فني يسد الفجوة بين العلوم والرياضيات والفن.

في التين. 11 يوضح تكوين T.M. Krashek المتعلقة بأرقام فيبوناتشي. إذا اخترنا أحد أرقام فيبوناتشي (على سبيل المثال، 21 سم) لطول جانب ماسة بنروز في هذا التكوين غير المستقر بشكل واضح، فيمكننا ملاحظة كيف تشكل أطوال بعض الأجزاء في التكوين تسلسل فيبوناتشي.

الشكل 11.الأم تيا كراشيك "أرقام فيبوناتشي"، قماش، 1998.

تم تخصيص عدد كبير من المؤلفات الفنية للفنان لأشباه بلورات شيختمان وشبكات بنروز (الشكل 12).


(أ)	(ب)


(الخامس)	(ز)

الشكل 12.عالم تيا كراشيك: (أ) عالم أشباه البلورات. رسومات الحاسوب، 1996.
(ب) النجوم. رسومات الحاسوب، 1998 (ج) 10/5. كانفاس، 1998 (د) شبه المكعب. قماش، 1999

تتميز تركيبة الأم ثيا كراشيك وكليفورد بيكوفر Biogenesis، 2005 (الشكل 13) بوجود عشاري الأضلاع يتكون من ألماس بنروز. يمكن ملاحظة العلاقات بين معينات بيتروز؛ تشكل كل ماستين بنروز متجاورتين نجمة خماسية.

الشكل 13.الأم ثيا كراشيك وكليفورد بيكوفر. التولد الحيوي، 2005.

في الصورة دبل ستار جي ايه(الشكل 14) نرى كيف تتحد بلاطات بنروز لتشكل تمثيلاً ثنائي الأبعاد لكائن يحتمل أن يكون مفرط الأبعاد بقاعدة عشرية الأضلاع. عند تصوير اللوحة، استخدم الفنان طريقة الحافة الصلبة التي اقترحها ليوناردو دافنشي. هذه الطريقة في التصوير هي التي تسمح للمرء أن يرى في إسقاط الصورة على المستوى عددًا كبيرًا من الخماسيات والخماسيات، والتي تتشكل من إسقاطات الحواف الفردية لمعينات بنروز. بالإضافة إلى ذلك، في إسقاط الصورة على المستوى، نرى عشري الأضلاع يتكون من حواف 10 معينات بنروز المجاورة. في الأساس، في هذه الصورة، عثرت الأم تيا كراشيك على متعدد وجوه منتظم جديد، والذي من المحتمل جدًا أن يكون موجودًا بالفعل في الطبيعة.

الشكل 14.الأم تيا كراشيك. دبل ستار جي ايه

في تكوين كراشيك "نجوم لدونالد" (الشكل 15) يمكننا أن نلاحظ التفاعل اللامتناهي لمعينات بنروز، والخماسيات، والأضلاع الخماسية، المتناقصة نحو النقطة المركزية للتكوين. يتم تمثيل نسب النسبة الذهبية بعدة طرق مختلفة وعلى مقاييس مختلفة.

الشكل 15.الأم ثيا كراشيك "نجوم لدونالد"، رسومات الحاسوب, 2005.

جذبت المؤلفات الفنية للأم تيا كراشيك اهتمامًا كبيرًا من ممثلي العلم والفن. يتساوى فنها مع فن موريتس إيشر ويطلق على الفنانة السلوفينية لقب "إيشر أوروبا الشرقية" و"الهدية السلوفينية" للفن العالمي.

ستاخوف أ.ب. "شفرة دافنشي"، المواد الصلبة الأفلاطونية والأرخميدية، وأشباه البلورات، والفوليرينات، وشبكات بنروز والعالم الفني للأم تيا كراشيك // "أكاديمية التثليث"، م، إل رقم 77-6567، حانة 12561، 07.11. 2005

المضلع المنتظم هو شكل مسطح محاط بخطوط مستقيمة ذات جوانب متساوية وزوايا داخلية متساوية. ومن الواضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من هذه الشخصيات. التناظرية للمضلع المنتظم في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو متعدد السطوح المنتظم: شكل مكاني ذو وجوه متطابقة على شكل مضلعات منتظمة وزوايا متعددة السطوح متطابقة عند القمم. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هناك أيضًا عددًا لا حصر له من متعددات الوجوه، لكنها في الواقع، كما قال لويس كارول ذات مرة، "عدد قليل جدًا". لا يوجد سوى خمسة متعددات وجوه محدبة منتظمة: رباعي السطوح العادي، والمكعب، والمجسم الثماني، والاثني عشري الوجوه (الشكل 90).

ويبدو أن أول دراسة منهجية للأجسام المنتظمة الخمسة قد أجريت في العصور القديمة على يد الفيثاغوريين. وفقًا لآرائهم، فإن رباعي السطوح والمكعب والمجسم الثماني والأيكوساهيدرون يكمن وراء العناصر الأربعة التقليدية: النار والأرض والهواء والماء. ولأسباب غير معروفة، حدد الفيثاغوريون دوديكاير بالكون بأكمله. نظرًا لأن آراء الفيثاغوريين مذكورة بالتفصيل في محاورة طيماوس لأفلاطون، فإن متعددات الوجوه العادية تسمى عادةً بالمواد الصلبة الأفلاطونية. لقد جذب الجمال والخصائص الرياضية المذهلة للأجسام المنتظمة الخمسة انتباه العلماء مرارًا وتكرارًا حتى بعد أفلاطون. تحليل المواد الصلبة الأفلاطونية هو ذروة الكتاب الأخير من كتاب العناصر لإقليدس. اعتقد يوهانس كيبلر في شبابه أن المسافات بين مدارات الكواكب الستة المعروفة في عصره يمكن الحصول عليها عن طريق نقش خمسة أجسام منتظمة بترتيب معين في مدار زحل. في الوقت الحاضر، لا يعزو علماء الرياضيات خصائص غامضة إلى المواد الصلبة الأفلاطونية، ولكنهم يدرسون خصائص التناظر لمتعددات الوجوه المنتظمة باستخدام أساليب نظرية المجموعة. تلعب المواد الصلبة الأفلاطونية أيضًا دورًا مهمًا في الرياضيات مسلية. دعونا ننظر، على الأقل لفترة وجيزة، في العديد من المشاكل ذات الصلة.

هناك أربع طرق مختلفة لقص ظرف مختوم وطيه على شكل رباعي السطوح. هنا هو أبسط منهم. على جانبي الظرف عند نفس الحافة، ارسم مثلثًا متساوي الأضلاع (الشكل 91) وقم بقص الظرف على طول الخط المنقط. لا نحتاج إلى النصف الأيمن، لكننا سنثني النصف الأيسر على طول جانبي المثلث المرسوم (على جانبي المظروف) ونجمع بين النقطتين A وB. رباعي الاسطح جاهز!

اللغز الموضح في الشكل 92، يرتبط أيضًا برباعي السطوح. المسح الموضح في الشكل 92 على اليسار، يمكن قصها من البلاستيك أو الورق السميك. قم بعمل مسحين من هذا القبيل. (في الرسم، جميع الخطوط المنقطة، باستثناء خط واحد، وهو أطول بشكل ملحوظ من الخطوط الأخرى، لها نفس الطول.) لنقم بطي المسح الضوئي، وثنيه على طول الخطوط المشار إليها في الرسم. يتم لصق الحواف التي تتقاطع مع بعضها البعض على طول الحواف الموضحة في الرسم كخط متصل مع بعضها البعض بشريط لاصق. ونتيجة لذلك، نحصل على الجسم الهندسي الموضح في الشكل. 92 على اليمين. أنت بحاجة إلى محاولة تشكيل رباعي السطوح من هيئتين من هذا القبيل. أعرف عالم رياضيات يحب مضايقة أصدقائه بنكتة سطحية إلى حد ما. يقوم بتجميع نموذجين من نموذجين، ويصنع منهما شكلًا رباعيًا ويضعه على الطاولة، ويحمل النموذج الثالث في يده سرًا. ثم، بضربة من يده، يقوم بتسوية رباعي السطوح وفي نفس الوقت يضع التطوير الثالث على الطاولة. من الواضح تمامًا أن أصدقائه لا يستطيعون تجميع شكل رباعي السطوح من ثلاث كتل.

من مختلف المهام الترفيهيةوفيما يتعلق بالمكعب، سأكتفي بذكر لغز حساب ممانعة دائرة كهربائية مكونة من حواف مكعب سلكي، والحقيقة المذهلة المتمثلة في أن المكعب يمكن أن يمر عبر ثقب في مكعب أصغر. في الواقع، إذا أخذت المكعب بحيث تكون إحدى رؤوسه موجهة نحوك مباشرة، وتشكل حوافه شكلا سداسيا منتظما، فسوف ترى أنه في القسم المتعامد على خط البصر توجد مساحة كافية لفتحة مربعة أكبر قليلاً من حافة المكعب نفسه. يتضمن اللغز الكهربائي الدائرة الموضحة في الشكل. 93. مقاومة كل حافة للمكعب هي واحد أوم. ما مقاومة الدائرة بأكملها إذا كان التيار يتدفق من A إلى B؟ لقد استنفد مهندسو الكهرباء الكثير من الأوراق في محاولة حل هذه المشكلة، على الرغم من أنه مع اتباع النهج الصحيح ليس من الصعب إيجاد حل.

تم استخدام جميع المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة كنرد. بعد المكعب، أصبح النرد ذو الشكل الثماني هو الأكثر شعبية. تظهر كيفية صنع مثل هذا العظم في الشكل. 94. بعد رسم الشريط وقطعه وترقيم الحواف، يتم طيه على طول الحواف، ويتم لصق الحواف "المفتوحة" مع شريط شفاف. وينتج عن هذا مجسم مجسم مصغر. مجموع النقاط على الوجوه المتقابلة لمكعب ثماني السطوح، مثل المكعب العادي، هو سبعة. إذا كنت ترغب في ذلك، يمكنك استخدام نرد جديد لأداء خدعة مضحكة تتمثل في تخمين الرقم المقصود. اطلب من شخص ما أن يخمن أي رقم من 0 إلى 7. ضع المجسم الثماني على الطاولة حتى يتمكن الحازر من رؤية الجوانب التي تحتوي على الأرقام 1 و3 و5 و7 فقط، واسأله عما إذا كان يمكنه رؤية الرقم الذي يدور في ذهنه. إذا أجاب بالإيجاب، تتذكر الرقم 1. ثم تقلب المجسم الثماني بحيث يتمكن الشخص الذي يخمن رؤية الوجوه بالأرقام 2 و 3 و 6 و 7، ويطرح نفس السؤال مرة أخرى. هذه المرة، الإجابة بنعم تعني أنه يجب عليك تذكر الرقم 2. وللمرة الثالثة (والأخيرة)، تكرر سؤالك، مع تدوير المجسم الثماني بحيث يتمكن الشخص الذي يخمن رؤية الوجوه ذات الأرقام 4 و5 و6 و 7. الإجابة الإيجابية في هذه الحالة تقدر بـ 4. وبجمع درجات الإجابات الثلاثة، ستحصل على الرقم الذي يدور في ذهن صديقك. يمكن شرح هذه الخدعة بسهولة من قبل أي شخص على دراية بنظام الأرقام الثنائية. لتسهيل العثور عليها الأحكام اللازمةالمجسم الثماني، حدد بطريقة ما القمم الثلاثة التي يجب أن تواجهك عندما تواجه المشاهد (الذي لديه الرقم في الاعتبار).

هناك طرق أخرى مثيرة للاهتمام لترقيم وجوه حجر النرد الثماني السطوح. على سبيل المثال، يمكن ترتيب الأرقام من 1 إلى 8 بحيث يكون مجموع الأرقام على الوجوه الأربعة المتقاربة عند قمة مشتركة ثابتًا. هذا المجموع يساوي دائمًا 18، ولكن هناك ثلاث طرق مختلفة لترقيم الوجوه (لا نعتبر العظام التي تتحول إلى بعضها البعض أثناء الدوران والانعكاسات) مختلفة، مما يستوفي الشرط المذكور أعلاه.

تم اقتراح طريقة أنيقة لبناء الاثني عشر وجهًا في كتاب هوغو شتاينهاوس "المشكال الرياضي" *. من الورق المقوى السميك، تحتاج إلى قطع الشكلين الموضحين في الشكل. 95. يجب أن تكون جوانب الخماسي على وشك 2.5-3 سم.باستخدام نصل السكين، قم بقطع الورق المقوى بعناية على طول جانبي الشكل الخماسي الداخلي بحيث يمكن ثني التطوير بسهولة إلى جانب واحد. بعد أن قمنا بإعداد المخرطة الثانية بنفس الطريقة، سنضعها على الأولى بحيث تكون نتوءات المخرطة الثانية مقابل قواطع الأولى. أمسك كلتا المخرطتين بيدك، واربطهما بشريط مطاطي، ثم مررهما بالتناوب فوق الطرف البارز لأحد المخرطتين، ثم تحت الطرف البارز للآخر. من خلال تحرير ضغط يدك على المساحيق، سترى كيف يظهر الاثني عشر وجهًا أمام عينيك، كما لو كان بالسحر.

* (تم تضمين هذه اللعبة فقط في الطبعة الأولى من الكتاب. جي شتاينهاوس. ولا يوجد في طبعات أخرى، بما في ذلك الطبعة الروسية (1949). ملحوظة إد. )

لنقم بتلوين نموذج الاثني عشر وجهًا بحيث يتم رسم كل وجه بلون واحد فقط. ما أقل عدد من الألوان التي يمكن استخدامها لتلوين المجسم الاثني عشري إذا كان من الضروري أن يكون أي وجهين متجاورين بلونين مختلفين؟ الجواب: أصغر عدد من الألوان هو أربعة. من السهل أن نرى أن هناك أربع طرق مختلفة لتلوين الاثني عشر وجهًا بشكل اقتصادي (في هذه الحالة، سيكون اثنان من الاثني عشر وجهًا ملونين بمثابة صور معكوسة للاثنين الآخرين). يتطلب تلوين رباعي السطوح أيضًا أربعة ألوان، ولكن هناك خياران فقط للتلوين، حيث يتحول رباعي السطوح إلى آخر عند عكسه. يمكن تلوين المكعب بثلاثة ألوان والمجسم الثماني بلونين. لكل من هذه الهيئات هناك طريقة واحدة فقط للرسم الأكثر اقتصادا. يمكنك تلوين المجسم العشروني بثلاثة ألوان فقط، ولكن يمكن القيام بذلك بما لا يقل عن 144 طريقة. فقط في 6 منها تتطابق المجسمات العشرونية الملونة مع انعكاساتها في المرآة.

دعونا نفكر في مشكلة أخرى. لنفترض أن ذبابة تسير على طول 12 حافة للمجسم العشريني الوجوه، وتزحف على طول كل واحدة منها على الأقلمرة واحدة. ما هي أقصر مسافة يجب أن تقطعها الذبابة لزيارة جميع حواف الشكل التاسع؟ ليس من الضروري العودة إلى نقطة البداية؛ بعض الحواف التي سيتعين على الذبابة المرور بها مرتين (من بين جميع المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة، فقط المجسم الثماني يتمتع بخاصية أنه يمكن التجول حول حوافه من خلال زيارة كل منها مرة واحدة فقط). يمكن المساعدة في حل المشكلة من خلال إسقاط المجسم العشروني على المستوى (الشكل 96). فقط ضع في اعتبارك أن طول جميع الأضلاع هو نفسه.

وبما أنه حتى يومنا هذا لا يزال هناك سواعد تحاول إيجاد حلول لمشكلتي تثليث الزاوية وتربيع الدائرة، على الرغم من أنه ثبت منذ زمن طويل أن لا هذا ولا ذاك مستحيل، إلا أنه يبدو غريبًا أنه لا أحد يحاول العثور على متعددات الوجوه العادية الجديدة تتجاوز المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة المعروفة بالفعل. أحد أسباب هذا الوضع المتناقض هو أنه من السهل للغاية فهم سبب عدم وجود أكثر من خمس هيئات عادية. الدليل البسيط التالي على وجود خمس أجسام منتظمة على الأكثر يعود إلى إقليدس.

يجب أن تتكون الزاوية متعددة السطوح لجسم منتظم من ثلاثة وجوه على الأقل. دعونا نفكر في أبسط الوجوه: مثلث متساوي الأضلاع. يمكن إنشاء زاوية متعددة السطوح بوضع ثلاثة أو أربعة أو خمسة مثلثات بجانب بعضها البعض. عندما يكون عدد المثلثات أكثر من خمسة، فإن مجموع الزوايا المستوية المجاورة لرأس متعدد السطوح يكون 360 درجة أو أكثر، وبالتالي، لا يمكن لمثل هذه المثلثات أن تشكل زاوية متعددة السطوح. لذا، هناك ثلاث طرق فقط لبناء متعدد السطوح محدب منتظم ذو أوجه مثلثة. عند محاولة بناء زاوية متعددة السطوح من الوجوه المربعة، سنرى أنه يمكن القيام بذلك بثلاثة وجوه فقط. وباستخدام منطق مماثل، ليس من الصعب إثبات أن ثلاثة أو ثلاثة وجوه خماسية فقط يمكن أن تتقارب عند قمة واحدة لمضلع منتظم. لا يمكن أن يكون للوجوه شكل مضلعات بأكثر من 5 جوانب، لأنه من خلال تطبيق ثلاثة أشكال سداسية على بعضها البعض، على سبيل المثال، نحصل على زاوية إجمالية قدرها 360 0.

إن المنطق الذي قدمناه للتو لا يثبت إمكانية بناء خمس هيئات منتظمة، ولكنه يفسر فقط لماذا لا يمكن أن يكون هناك أكثر من خمس هيئات من هذا القبيل. يقودنا التفكير الأكثر دقة إلى استنتاج مفاده أنه في الفضاء رباعي الأبعاد لا يوجد سوى ستة متعددات منتظمة (وتسمى هذه نظائرها من الأجسام العادية ثلاثية الأبعاد). ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه في الفضاء الذي يحتوي على أي عدد من الأبعاد أكبر من 4، لا يوجد سوى ثلاثة متعددات الأوجه العادية: نظائرها من رباعي السطوح، والمكعب، والمجسم الثماني.

الاستنتاج يقترح نفسه بشكل لا إرادي. الرياضيات تحد بشكل كبير من تنوع الهياكل التي يمكن أن توجد في الطبيعة. لا يستطيع السكان البعيدون عن المجرة البعيدة لعب النرد، الذي له شكل متعدد السطوح محدب منتظم غير معروف لنا. اعترف بعض اللاهوتيين بصراحة أنه حتى الله نفسه لم يستطع بناء المجسم الأفلاطوني السادس في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وبنفس الطريقة، تضع الهندسة حدودًا لا يمكن التغلب عليها لتنوع الهياكل البلورية. وربما يأتي اليوم الذي يكتشف فيه الفيزيائيون القيود الرياضية التي يجب استيفاؤها بعدد الجسيمات الأساسية والقوانين الأساسية للطبيعة. وبطبيعة الحال، لا أحد لديه الآن أدنى فكرة عن كيف تجعل الرياضيات من المستحيل إنشاء هذا أو ذاك الهيكل الذي يسمى "الحية" (إذا كانت الرياضيات متورطة في هذا النطاق من الظواهر على الإطلاق). ومن الممكن تماماً، على سبيل المثال، أن يكون وجود مركبات الكربون شرطاً لا غنى عنه لنشوء الحياة. ومهما كان الأمر، فإن البشرية تجهز نفسها مسبقاً لفكرة إمكانية وجود حياة على كواكب أخرى. تعمل المواد الصلبة الأفلاطونية بمثابة تذكير بأن المريخ والزهرة قد لا يحتويان على الكثير مما يفكر فيه حكماؤنا.

الإجابات

المقاومة الكلية للدائرة المتكونة من حواف المكعب (مقاومة كل حافة 1 أوم) يكون 5 / 6 أوم. لنقم بتقصير دائرة القمم الثلاثة للمكعب الأقرب إلى A ونفعل الشيء نفسه مع القمم الثلاثة الأقرب إلى B. نحصل على سلسلتين مثلثتين. لن يكون هناك تيار في أي منها، لأنها تربط نقاط تساوي الجهد. من السهل أن نرى أنه بين الرأس A والدائرة المثلثية الأقرب إليه، هناك ثلاث مقاومات متصلة على التوازي 1 أوم(المقاومة الكلية 1/3 أوم)، بين دائرتين مثلثتين، يتم توصيل 6 مقاومات على التوازي 1 أوم(المقاومة الكلية لهذا القسم من الدائرة 1/6 أوم) وبين الدائرة المثلثية الثانية والنقطة B يوجد 3 موصلات متصلة بالتوازي 1 أوم(أي الإجمالي 1/3 أوم). وبالتالي، فإن المقاومة الكلية للدائرة بين النقطتين A وB تساوي 5 / 6 أوم.

يمكن تعميم حالة المشكلة وطريقة الحل بسهولة على حالة السلسلة المكونة من حواف المواد الصلبة الأفلاطونية الأربعة المتبقية.

دعونا ندرج ثلاث طرق لترقيم وجوه المجسم الثماني التي تحقق الشرط: يجب أن يكون مجموع الأرقام على الوجوه المجاورة لأي قمة يساوي 18. الأرقام التي تتم مواجهتها عند التجول (في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة) لرأس واحد: 6 , 7, 2, 3; عند الالتفاف حول الرأس المقابل: 1، 4، 5، 8 (6 بجوار 1، 7 بجوار 4، وما إلى ذلك)؛ عند الالتفاف حول القمم المتبقية: 1، 7، 2، 8 و 4، 6، 3، 5؛ 4، 7، 2، 5 و 6، 1، 8، 3. دليل بسيط على أن المجسم الثماني هو المجسم الوحيد من المجسمات الخمسة المنتظمة التي يمكن ترقيم وجوهها بحيث مجموع الأرقام على الوجوه المجاورة لأي قمة ثابت يمكن العثور عليه في الكتاب دبليو دبليو روز بول * .

* (دبليو دبليو روس بول,الاستجمام والمقالات الرياضية، لندن، ماكميلان، نيويورك، سانت لويس. مطبعة مارتن، 1956، ص 418.)

أقصر مسافة يجب أن تقطعها الذبابة لزيارة جميع حواف المجسم العشريني هي 35 وحدة (واحدة هي طول حافة المجسم العشريني). عن طريق محو خمس حواف من المجسم العشروني (على سبيل المثال الحواف FM وBE وJA وID وHC في الشكل 96)، نحصل على رسم بياني يتقارب فيه عدد فردي من الحواف فقط عند النقطتين G وK. يمكن لـ fly اجتياز هذا الرسم البياني بأكمله (من خلال بدء المسار إلى النقطة G وإنهائه عند النقطة K)، والمرور على طول كل حافة مرة واحدة فقط. المسافة التي قطعتها الذبابة هي 25 وحدة. هذا هو المسار الأطول، حيث يتم تغطية جميع أقسامه مرة واحدة. إذا واجهت ذبابة حوافًا ممحاة على طول طريقها، فإننا ببساطة نضيفها إلى المسار من G إلى K، على افتراض أن الذبابة تمر بها مرتين (في اتجاهين متعاكسين). خمس حواف تم مسحها، تم اجتيازها مرتين، تعادل إضافة 10 وحدات إلى المسار الذي تم قطعه بالفعل. في المجموع هذا يصل إلى 35 وحدة.

تسمى متعددات الوجوه المنتظمة بالمواد الصلبة الأفلاطونية، وهي تحتل مكانة بارزة في الصورة الفلسفية للعالم التي طورها المفكر العظيم في اليونان القديمة أفلاطون.

لذلك، عرف أفلاطون خمسة متعددات وجوه منتظمة، وكان عدد العناصر (النار والهواء والماء والأرض) أربعة بالضبط. وبالتالي، من بين خمسة متعددات وجوه، يجب اختيار أربعة يمكن مقارنتها بالعناصر.

ما هي الاعتبارات التي وجهت أفلاطون في هذا؟ بادئ ذي بدء، لأن بعض العناصر، كما يعتقد، يمكن أن تتحول إلى بعضها البعض. يمكن أن يتم تحويل بعض متعددات الوجوه إلى أخرى من خلال إعادة هيكلة بنيتها الداخلية. ولكن لهذا كان من الضروري أن نجد في هذه الهيئات العناصر الهيكلية التي ستكون مشتركة بينها. من مظهرمتعددات السطوح العادية، فمن الواضح أن وجوه ثلاثة متعددات السطوح - رباعي السطوح، المجسم الثماني، إيكوساهيدرون - لها شكل مثلث متساوي الأضلاع. تم بناء متعددات الوجوه المتبقية - المكعب والاثني عشر وجهًا: الأول - من المربعات، والثاني - من الخماسي المنتظم، لذلك لا يمكن تحويلهما إلى بعضهما البعض أو إلى الأجسام الثلاثة قيد النظر. وهذا يعني أننا إذا أعطينا جزيئات العناصر الثلاثة شكل رباعي السطوح وثماني وعشروني الوجوه فإن جزيئات العنصر الرابع ستعتبر مكعبات أو اثني عشر وجها، لكن هذا العنصر الرابع لن يتمكن من التحول إلى الثلاثة الأخرى ، ولكنها ستبقى دائمًا على حالها. قرر أفلاطون أن الأرض وحدها هي التي يمكن أن تكون مثل هذا العنصر وأن أصغر الجزيئات التي تتكون منها الأرض يجب أن تكون مكعبات. تمت مقارنة رباعي السطوح وثماني السطوح وعشروني الوجوه بالنار والهواء والماء على التوالي.

أما المجسم الخامس - الاثني عشري - فيظل عاطلاً عن العمل. وفي هذا الصدد، يقتصر أفلاطون في رسالة طيماوس على ملاحظة مفادها أن “الله قد حددها للكون ولجأ إليها عندما رسمها وزينها”.

والسؤال الذي يطرح نفسه: “ما هي الاعتبارات التي وجهت أفلاطون عندما أرجع شكل رباعي الأسطح إلى جزيئات النار، وشكل المكعب إلى جزيئات الأرض، وما إلى ذلك؟” هنا يأخذ في الاعتبار الخصائص الحسية والإدراكية للعناصر المقابلة. النار هي العنصر الأكثر حركة، ولها تأثير مدمر، وتتغلغل في الأجسام الأخرى (حرقها، أو ذوبانها، أو تبخرها)؛ عندما نتلامس معه، نشعر بالألم، كما لو تم وخزنا أو قطعنا.

ما هي الجسيمات التي يمكن أن تسبب كل هذه الخصائص والأفعال؟ من الواضح أن الجزيئات الأكثر حركة وخفيفة الوزن، علاوة على ذلك، لها حواف قطع وزوايا خارقة. من بين متعددات الوجوه الأربعة التي يمكن مناقشتها، فإن رباعي الأسطح هو الأكثر إرضاءً. لذلك، يقول أفلاطون، إن صورة الهرم (أي رباعي السطوح) يجب أن تكون متوافقة مع المنطق الصحيح ومع المحاكاة، المبدأ الأول وبذرة النار، على العكس من ذلك، تظهر الأرض في تجربتنا باعتبارها الأكثر ثباتًا وثباتًا. مستقرة لجميع العناصر. ولذلك، فإن الجسيمات التي تتكون منها يجب أن يكون لها القواعد الأكثر استقرارا. من بين جميع الأجسام الأربعة، يمتلك المكعب هذه الخاصية إلى أقصى حد. لذلك، لن ننتهك المعقولية إذا نسبنا الشكل المكعب إلى جزيئات الأرض. وبطريقة مماثلة، سنربط الجسيمات ذات الخصائص الوسيطة مع العنصرين الآخرين. يمثل المجسم العشري، وهو الأكثر انسيابية، جسيمًا من الماء، والمجسم الثماني - جسيمًا من الهواء.

متعدد السطوح الخامس - الاثني عشري - يجسد "كل ما هو موجود"، يرمز إلى العالم كله ويعتبر الأكثر أهمية.

نرى كيف يتم الجمع بين مبدأ المحاكاة عند أفلاطون مع استخدام البيانات من التجربة اليومية. من الغريب أن أفلاطون لا يتطرق تقريبًا إلى الدوافع الأخرى، التأملية البحتة (على سبيل المثال، المتعلقة بنظرية النسب)، والتي لعبت دورًا حاسمًا في بناء مفهومه الكوني والتي كان من الممكن أن تؤثر على بعض جوانب نظريته من بنية المادة.

صحيح أن طيماوس نفسه تحدث في هذه الحالةبصفته أستاذًا يلقي محاضرة عن بنية العالم، فهو بكل المقاييس ممثل للمدرسة الفيثاغورية. ومع ذلك، لا يزال من غير الواضح ما إذا كان طيماوس موجودًا أم لا معلم تاريخيأو أنه كان شخصية خيالية اخترعها أفلاطون حتى لا يجعل بطله المعتاد، سقراط، مؤلف النظريات الكونية والفيزيائية، لأن هذا سيكون متعارضًا للغاية مع صورة الأخير.

قام أفلاطون "بشكل معقول" بتنظيم صورة العالم. وكانت هذه إحدى المحاولات الأولى لإدخال فكرة التنظيم في العلم، والتي تبين أنها كانت مثمرة للغاية. لقد ساعدت في فصل بعض مجالات المعرفة عن غيرها، مما جعل بحث علميأكثر استهدافا.

يهدف عمل هذه الدورة إلى:

1) توحيد وتعميق وتوسيع المعرفة النظرية في مجال أساليب نمذجة الأسطح والأشياء والمهارات العملية ومهارات تنفيذ البرامج الخاصة بالطرق؛

2) تحسين مهارات العمل المستقل؛

3) تنمية القدرة على صياغة الأحكام والاستنتاجات وعرضها بشكل منطقي ومتسق وواضح.

متعدد السطوح

عدد جوانب الحافة م

عدد الوجوه التي تلتقي في الرأس ن

عدد الوجوه

عدد الأضلاع

عدد الزوايا المسطحة على السطح

رباعي الاسطح

السداسي (المكعب)

عشروني الوجوه

الاثني عشر وجها

المواد الصلبة الأفلاطونية هي متعددات وجوه محدبة، وجميع وجوهها عبارة عن مضلعات منتظمة. جميع الزوايا متعددة السطوح في متعدد السطوح المنتظم متطابقة. على النحو التالي من حساب مجموع الزوايا المستوية عند قمة الرأس، لا يوجد أكثر من خمسة متعددات وجوه منتظمة محدبة. باستخدام الطريقة الموضحة أدناه، يمكن إثبات وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة بالضبط (وهذا ما أثبته إقليدس). وهي رباعي السطوح العادية، والسداسي (المكعب)، والمجسم الثماني، والاثني عشري السطوح. أسماء هذه متعددات الوجوه العادية تأتي من اليونان. تُترجم حرفيًا من اليونانية ، "رباعي السطوح" ، "مثمن السطوح" ، "سداسي السطوح" ، "اثنا عشري الوجوه" ، "عشريني السطوح" يعني: "رباعي السطوح" ، "ثماني السطوح" ، "سداسي السطوح". "الاثني عشر وجهًا" و "عشرون وجهًا".

الجدول رقم 1

الجدول رقم 2

اسم:	نصف قطر الكرة المقيدة	نصف قطر الكرة المنقوشة
رباعي الاسطح
المكعب

الاثني عشر وجها
عشروني الوجوه

رباعي الاسطح- رباعي الوجوه، وجوهه كلها مثلثات، أي. الهرم الثلاثي؛ الشكل الرباعي المنتظم يحده أربعة مثلثات متساوية الأضلاع. (رسم بياني 1).

مكعب أو سداسي منتظم- منشور رباعي الزوايا منتظم، متساوي الأضلاع، محدود بستة مربعات. (رسم بياني 1).

المجسم الثماني- المجسم الثماني. جسم يحده ثمانية مثلثات. المجسم الثماني المنتظم يحده ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع. أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة. (رسم بياني 1).

الاثني عشر وجها- الاثني عشر وجهًا، وهو جسم يحده اثني عشر مضلعًا؛ البنتاغون العادي. (رسم بياني 1).

عشروني الوجوه- جسم ذو عشرين ضلعًا، محدد بعشرين مضلعًا؛ يقتصر الشكل العشروني الوجوه المنتظم على عشرين مثلثًا متساوي الأضلاع. (رسم بياني 1).

المكعب والمجسم الثماني ثنائيان، أي. يتم الحصول عليها من بعضها البعض إذا تم أخذ مراكز ثقل وجوه أحدها كرؤوس للآخر والعكس صحيح. إن الاثني عشري الوجوه والإثني عشري الوجوه مزدوجان بالمثل. رباعي الاسطح مزدوج لذاته. يتم الحصول على الاثني عشر وجهًا منتظمًا من المكعب عن طريق إنشاء "أسقف" على وجوهه (الطريقة الإقليدية)؛ رؤوس رباعي الأسطح هي أي أربعة رؤوس للمكعب غير متجاورة بشكل مزدوج على طول الحافة. هذه هي الطريقة التي يتم بها الحصول على جميع متعددات الوجوه العادية الأخرى من المكعب. إن حقيقة وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة فقط هي حقيقة مثيرة للدهشة - ففي نهاية المطاف، يوجد عدد لا نهائي من المضلعات المنتظمة على المستوى!

جميع متعددات الوجوه العادية كانت معروفة في اليونان القديمة، والكتاب الثالث عشر من كتاب العناصر لإقليدس مخصص لها. وتسمى أيضًا المواد الصلبة الأفلاطونية، لأنها. لقد احتلوا مكانًا مهمًا في مفهوم أفلاطون الفلسفي عن بنية الكون. جسدت الأشكال المتعددة السطوح أربعة جواهر أو "عناصر" فيها. رباعي الاسطح يرمز إلى النار لأنه. قمته موجهة للأعلى. عشروني الوجوه؟ الماء، لأن إنه الأكثر "انسيابية"؛ المكعب - الأرض باعتبارها الأكثر "ثباتًا" ؛ المجسم الثماني؟ الهواء، باعتباره الأكثر "متجدد الهواء". متعدد السطوح الخامس، الاثني عشري، يجسد "كل ما هو موجود"، يرمز إلى الكون بأكمله، وكان يعتبر الرئيسي.

اعتبر اليونانيون القدماء أن العلاقات المتناغمة هي أساس الكون، فارتبطت عناصرها الأربعة بالتناسب التالي: الأرض/الماء = الهواء/النار.

وفيما يتعلق بهذه الهيئات، فمن المناسب أن نقول أن أول نظام من العناصر، والذي تضمن أربعة عناصر؟ الأرض والماء والهواء والنار - تم تقديسها من قبل أرسطو. وظلت هذه العناصر هي الأركان الأربعة للكون لعدة قرون. من الممكن تمامًا التعرف عليها من خلال حالات المادة الأربع المعروفة لدينا - الصلبة والسائلة والغازية والبلازما.

احتلت متعددات الوجوه المنتظمة مكانًا مهمًا في نظام I. Kepler للبنية المتناغمة للعالم. نفس الإيمان بالانسجام والجمال والبنية المنتظمة رياضياً للكون قاد آي كيبلر إلى فكرة أنه بما أن هناك خمسة متعددات وجوه منتظمة، فإن ستة كواكب فقط تتوافق معها. وفي رأيه أن مجالات الكواكب مترابطة من خلال المواد الصلبة الأفلاطونية المنقوشة فيها. وبما أن مراكز المجالات المنقوشة والمحددة تتطابق في كل متعدد وجوه منتظم، فإن النموذج بأكمله سيكون له مركز واحد ستقع فيه الشمس.

بعد أن قام بكمية هائلة من العمل الحسابي، في عام 1596، نشر كيبلر نتائج اكتشافه في كتاب "سر الكون". لقد قام بنقش مكعب في مدار مدار زحل، في مكعب؟ مجال كوكب المشتري، ورباعي السطوح في مجال كوكب المشتري، وما إلى ذلك، هل تتناسب كرة المريخ مع بعضها البعض بالتتابع؟ الاثني عشر وجها ، مجال الأرض؟ Icosahedron، مجال كوكب الزهرة؟ المجسم الثماني، مجال عطارد. يبدو أن سر الكون مفتوح.

اليوم يمكننا أن نقول بثقة أن المسافات بين الكواكب لا ترتبط بأي متعددات الوجوه. ومع ذلك، فمن الممكن أنه لولا "سر الكون"، "انسجام العالم" من تأليف I. Kepler، لم تكن هناك ثلاثة قوانين شهيرة لـ I. Kepler، والتي تلعب دورًا مهمًا في وصف الحركة. من الكواكب.

في أي مكان آخر يمكنك رؤية هذه الأجسام المذهلة؟ في كتاب عالم الأحياء الألماني في بداية القرن الماضي إي هيكل "جمال الأشكال في الطبيعة" يمكنك قراءة السطور التالية: "الطبيعة تغذي في حضنها عددًا لا ينضب من المخلوقات المذهلة التي في الجمال والتنوع يفوقان بكثير كل الأشكال التي خلقها الفن البشري. إن مخلوقات الطبيعة الموضحة في هذا الكتاب جميلة ومتناسقة. هذه خاصية لا تنفصل عن الانسجام الطبيعي. ولكن هل هناك أيضًا كائنات وحيدة الخلية مرئية هنا؟ Feodaria، الذي يعكس شكله بدقة المجسم العشري. ما الذي يسبب هذه الهندسة الطبيعية؟ ربما بسبب أن جميع متعددات الوجوه لها نفس عدد الوجوه، فإن المجسم العشروني هو الذي يمتلك أكبر حجم وأصغر مساحة سطحية. تساعد هذه الخاصية الهندسية الكائنات الحية الدقيقة البحرية على التغلب على ضغط عمود الماء.

ومن المثير للاهتمام أيضًا أن المجسم العشروني هو الذي أصبح محط اهتمام علماء الأحياء في خلافاتهم حول شكل الفيروسات. لا يمكن للفيروس أن يكون مستديرًا تمامًا، كما كان يُعتقد سابقًا. ولتحديد شكله، أخذوا العديد من متعددات الوجوه ووجهوا الضوء إليها بنفس زوايا تدفق الذرات على الفيروس. اتضح أن متعدد السطوح واحد فقط يعطي نفس الظل تمامًا؟ متعدد الوجوه خصائصه الهندسية المذكورة أعلاه تسمح بحفظ المعلومات الوراثية. متعددات الوجوه العادية؟ الأرقام الأكثر ربحية. والطبيعة تستخدم هذا على نطاق واسع. بلورات بعض المواد المألوفة لدينا لها شكل متعددات الوجوه العادية. وهكذا فإن المكعب ينقل شكل بلورات كلوريد الصوديوم NaCl، وبلورة واحدة من شب الألومنيوم والبوتاسيوم (KAlSO4)2 12H2O لها شكل مجسم مثمن، وبلورة من بيريت الكبريت FeS لها شكل اثني عشر وجهًا، وكبريتات الصوديوم الأنتيمون. له شكل رباعي السطوح، والبورون له شكل عشروني الوجوه. تحدد متعددات الوجوه المنتظمة شكل الشبكات البلورية لبعض المواد الكيميائية.

لذلك كشفت لنا متعددات الوجوه المنتظمة محاولات العلماء للتقرب من سر التناغم العالمي وأظهرت جاذبية وجمال هذه الأشكال الهندسية الذي لا يقاوم.

أفلاطون مسؤول عن تطوير بعض المشكلات المنهجية المهمة للمعرفة الرياضية: البناء البديهي للرياضيات، ودراسة العلاقة بين الأساليب الرياضية والديالكتيك، وتحليل الأشكال الأساسية للمعرفة الرياضية. ومن ثم فإن عملية الإثبات تربط بالضرورة مجموعة من الأحكام المثبتة في نظام يقوم على بعض الأحكام غير القابلة للإثبات. إن حقيقة أن بدايات العلوم الرياضية هي "جوهر الافتراض" قد تثير الشكوك حول حقيقة كل الإنشاءات اللاحقة. اعتبر أفلاطون أن هذا الشك لا أساس له من الصحة. على الرغم من تفسيره العلوم الرياضية"إنهم باستخدام الافتراضات يتركونها غير متحركة ولا يستطيعون إعطاء أساس لها،" الافتراضات تجد أسسها من خلال الجدل. كما أعرب أفلاطون عن عدد من المقترحات الأخرى التي تبين أنها كانت مثمرة لتطوير الرياضيات. وهكذا، في حوار "العيد" يتم طرح مفهوم الحد؛ وتظهر الفكرة هنا على أنها الحد الأقصى لتشكل الشيء.

المواد الصلبة لأفلاطون.

الجدول رقم 1

الجدول رقم 2

اسم:	نصف قطر الكرة المقيدة	نصف قطر الكرة المنقوشة	مقدار
رباعي الاسطح	أ\/64	أ\/6 12	a3\/2 12
مكعب	أ\/3 2	2	a3
المجسم الثماني	أ\/22	أ\/66	a3\/2 12
الاثني عشر وجها	أ4\/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
عشروني الوجوه	أ 12(3+\/5)\/3	5 12 أ3(3+\/5)

رباعي السطوح هو رباعي السطوح، جميع وجوهه مثلثات، أي. الهرم الثلاثي؛ الشكل الرباعي المنتظم يحده أربعة مثلثات متساوية الأضلاع. أحد المضلعات المنتظمة الخمسة. (رسم بياني 1).

المكعب أو السداسي المنتظم هو منشور رباعي منتظم ذو حواف متساوية، ويحده ستة مربعات. (الصورة 2).

المجسم الثماني المجسم. جسم يحده ثمانية مثلثات. المجسم الثماني المنتظم يحده ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع. أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة. (تين. 3).

الاثني عشر وجهًا هو اثني عشر وجهًا، وهو جسم يحده اثني عشر مضلعًا؛ البنتاغون العادي أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة. (الشكل 4).

العشروني الوجوه هو جسم ذو عشرين مضلعًا، وهو جسم يحده عشرين مضلعًا. ويقتصر المجسم العشروني المنتظم على عشرين مثلثًا متساوي الأضلاع؛ أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة. (الشكل 5).

المكعب والمجسم الثماني ثنائيان، أي. يتم الحصول عليها من بعضها البعض إذا تم أخذ مراكز ثقل وجوه أحدها كرؤوس للآخر والعكس صحيح. إن الاثني عشري الوجوه والإثني عشري الوجوه مزدوجان بالمثل. رباعي الاسطح مزدوج لذاته. يتم الحصول على الاثني عشر وجهًا منتظمًا من المكعب عن طريق إنشاء "أسقف" على وجوهه (الطريقة الإقليدية)؛ رؤوس رباعي الأسطح هي أي أربعة رؤوس للمكعب غير متجاورة بشكل مزدوج على طول الحافة. هذه هي الطريقة التي يتم بها الحصول على جميع متعددات الوجوه العادية الأخرى من المكعب. إن حقيقة وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة فقط هي حقيقة مثيرة للدهشة - ففي النهاية، يوجد عدد لا حصر له من المضلعات المنتظمة على المستوى!

كانت جميع متعددات الوجوه المنتظمة معروفة في اليونان القديمة، وقد تم تخصيص الكتاب الثاني عشر الأخير لمبادئ إقليدس الشهيرة لها. غالبًا ما تسمى هذه متعددات الوجوه أيضًا بالمواد الصلبة الأفلاطونية في الصورة المثالية للعالم التي قدمها المفكر اليوناني القديم العظيم أفلاطون. أربعة منهم جسدوا العناصر الأربعة: رباعي السطوح النار، ومكعب الأرض، وعشروني الوجوه الماء، وثماني السطوح الهواء؛ متعدد السطوح الخامس، الاثني عشري، يرمز إلى الكون بأكمله، في اللاتينية بدأوا يطلقون عليه quintaessentia ("الجوهر الخامس"). على ما يبدو، لم يكن من الصعب التوصل إلى الشكل الصحيح لرباعي السطوح، المكعب، المجسم الثماني، خاصة وأن هذه الأشكال تحتوي على بلورات طبيعية، على سبيل المثال: بلورة مكعبة واحدة من ملح الطعام (NaCl)، بلورة مثمنة واحدة من شبة البوتاسيوم ((KalSO4 )2*12H2O). هناك افتراض بأن اليونانيين القدماء حصلوا على شكل الاثني عشر وجهًا من خلال فحص بلورات البيريت (بيريت الكبريت FeS). بوجود اثني عشر وجهًا، ليس من الصعب بناء مجسم عشروني الوجوه: ستكون رؤوسه هي مراكز الوجوه الاثني عشر للمجسم الاثني عشري.