سلسلة فورييه: تاريخ وتأثير الآلية الرياضية على تطور العلوم.

سلسلة فورييه من الدوال الدورية ذات الفترة 2π.

تسمح لنا متسلسلة فورييه بدراسة الدوال الدورية من خلال تحليلها إلى مكونات. تعد التيارات والفولتية المتناوبة والإزاحات وسرعة وتسارع آليات الكرنك والموجات الصوتية أمرًا نموذجيًا أمثلة عمليةتطبيق الوظائف الدورية في الحسابات الهندسية.

يعتمد توسيع متسلسلة فورييه على افتراض أن جميع الدوال ذات الأهمية العملية في الفترة -π ≥x≥ π يمكن التعبير عنها في شكل متسلسلة مثلثية متقاربة (تعتبر السلسلة متقاربة إذا كانت تسلسل المجاميع الجزئية المكونة من حدودها يتقارب):

التدوين القياسي (= العادي) من خلال مجموع sinx وcosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

حيث a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. هي ثوابت حقيقية، أي.

حيث يتراوح النطاق من -π إلى π المعاملات سلسلة فورييهيتم حسابها باستخدام الصيغ:

تسمى المعاملات a o و a n و b n بمعاملات فورييه، وإذا أمكن العثور عليها، فإن السلسلة (1) تسمى متسلسلة فورييه المقابلة للدالة f (x). بالنسبة للمتسلسلة (1)، فإن الحد (a 1 cosx + b 1 sinx) يسمى التوافقي الأول أو الأساسي،

هناك طريقة أخرى لكتابة سلسلة وهي استخدام العلاقة acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=أ o +c 1 خطيئة(x+α 1)+ج 2 خطيئة(2x+α 2)+...+c n خطيئة(nx+α n)

حيث a o ثابت، c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2، c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 هي سعة المكونات المختلفة، ويساوي a n =arctg a n / ب ن.

بالنسبة للمتسلسلة (1)، يُطلق على المصطلح (a 1 cosx+b 1 sinx) أو c 1 sin(x+α 1) التوافقي الأول أو الأساسي، (a 2 cos2x+b 2 sin2x) أو c 2 sin(2x) +α 2) يسمى التوافقي الثاني وهكذا.

يتطلب تمثيل إشارة معقدة بدقة عددًا لا نهائيًا من المصطلحات. ومع ذلك، في العديد من المشاكل العملية، يكفي النظر فقط في المصطلحات القليلة الأولى.

سلسلة فورييه من الدوال غير الدورية ذات الفترة 2π.

توسيع الوظائف غير الدورية.

إذا كانت الدالة f(x) غير دورية، فهذا يعني أنه لا يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه لجميع قيم x. ومع ذلك، فمن الممكن تعريف سلسلة فورييه التي تمثل دالة على أي نطاق بعرض 2π.

بالنظر إلى دالة غير دورية، يمكن إنشاء دالة جديدة عن طريق اختيار قيم f(x) ضمن نطاق معين وتكرارها خارج هذا النطاق بفواصل زمنية 2π. بسبب ال ميزة جديدةدورية بفترة 2π، ويمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه لجميع قيم x. على سبيل المثال، الدالة f(x)=x ليست دورية. ومع ذلك، إذا كان من الضروري توسيعها إلى سلسلة فورييه في الفترة من o إلى 2π، فسيتم إنشاء دالة دورية مع فترة 2π خارج هذه الفترة (كما هو موضح في الشكل أدناه).

بالنسبة للدوال غير الدورية مثل f(x)=x، فإن مجموع متسلسلة فورييه يساوي قيمة f(x) عند جميع النقاط في نطاق معين، ولكنه لا يساوي f(x) للنقاط خارج النطاق. للعثور على متسلسلة فورييه لدالة غير دورية في النطاق 2π، يتم استخدام نفس صيغة معاملات فورييه.

وظائف زوجية وغريبة.

يقولون أن الدالة y=f(x) تكون متساوية إذا كانت f(-x)=f(x) لجميع قيم x. الرسوم البيانية للدوال الزوجية تكون دائمًا متناظرة حول المحور y (أي أنها صور معكوسة). مثالان للدوال الزوجية: y=x2 وy=cosx.

يقال إن الدالة y=f(x) فردية إذا كانت f(-x)=-f(x) لجميع قيم x. دائمًا ما تكون الرسوم البيانية للدوال الفردية متناظرة حول الأصل.

العديد من الوظائف ليست زوجية ولا فردية.

توسيع سلسلة فورييه في جيب التمام.

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الزوجية f(x) مع الفترة 2π على مصطلحات جيب التمام فقط (أي لا توجد مصطلحات جيبية) وقد تتضمن مصطلحًا ثابتًا. لذلك،

أين هي معاملات متسلسلة فورييه،

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الفردية f(x) مع الفترة 2π على مصطلحات ذات جيب التمام فقط (أي أنها لا تحتوي على مصطلحات ذات جيب التمام).

لذلك،

أين هي معاملات متسلسلة فورييه،

سلسلة فورييه في نصف دورة.

إذا تم تعريف دالة لنطاق، على سبيل المثال من 0 إلى π، وليس فقط من 0 إلى 2π، فيمكن توسيعها في سلسلة فقط في جيب التمام أو في جيب التمام فقط. وتسمى متسلسلة فورييه الناتجة متسلسلة فورييه نصف الدورة.

إذا كنت ترغب في الحصول على توسيع فورييه نصف دورة لجيب تمام الدالة f(x) في النطاق من 0 إلى π، فأنت بحاجة إلى إنشاء دالة دورية زوجية. في التين. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. بسبب ال دالة زوجيةمتناظرة حول المحور f(x)، ارسم الخط AB، كما هو موضح في الشكل. أقل. إذا افترضنا أنه خارج الفترة المدروسة، يكون الشكل الثلاثي الناتج دوريًا بفترة 2π، فإن الرسم البياني النهائي يبدو كما يلي: في التين. أقل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على توسع فورييه في جيب التمام، كما كان من قبل، فإننا نحسب معاملات فورييه a o و a n

إذا كنت ترغب في الحصول على توسيع فورييه نصف دورة من حيث جيب الدالة f(x) في النطاق من 0 إلى π، فأنت بحاجة إلى إنشاء دالة دورية فردية. في التين. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. بسبب ال وظيفة غريبةمتناظرة حول الأصل، نقوم ببناء خط CD، كما هو مبين في الشكل. إذا افترضنا أنه خارج الفاصل الزمني المدروس، تكون إشارة سن المنشار الناتجة دورية بفترة 2π، فإن الرسم البياني النهائي له الشكل الموضح في الشكل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على تمديد فورييه لنصف الدورة من حيث الجيوب، كما كان من قبل، فإننا نحسب معامل فورييه. ب

سلسلة فورييه لفترة تعسفية.

توسيع الدالة الدورية بالفترة L.

تتكرر الدالة الدورية f(x) مع زيادة x بمقدار L، أي. و(س+L)=و(خ). يعد الانتقال من الوظائف التي تم النظر فيها سابقًا بفترة 2π إلى وظائف ذات فترة L أمرًا بسيطًا للغاية، حيث يمكن إجراؤه باستخدام تغيير المتغير.

للعثور على متسلسلة فورييه للدالة f(x) في النطاق -L/2≤x≤L/2، نقدم متغيرًا جديدًا u بحيث تكون الدالة f(x) لها فترة 2π بالنسبة إلى u. إذا كانت u=2πx/L، فإن x=-L/2 لـ u=-π وx=L/2 لـ u=π. دع أيضًا f(x)=f(Lu/2π)=F(u). متسلسلة فورييه F(u) لها الشكل

(يمكن استبدال حدود التكامل بأي فترة طولها L مثلا من 0 إلى L)

سلسلة فورييه على نصف دورة للوظائف المحددة في الفاصل الزمني L≠2π.

بالنسبة للاستبدال u=πx/L، فإن الفاصل الزمني من x=0 إلى x=L يتوافق مع الفاصل الزمني من u=0 إلى u=π. وبالتالي، يمكن توسيع الوظيفة إلى سلسلة فقط في جيب التمام أو في الجيوب فقط، أي. في سلسلة فورييه في نصف دورة.

توسيع جيب التمام في النطاق من 0 إلى L له النموذج

سلسلة فورييه من الدوال الدورية ذات الفترة 2π.

تسمح لنا متسلسلة فورييه بدراسة الدوال الدورية من خلال تحليلها إلى مكونات. تعد التيارات والفولتية المتناوبة والإزاحات وسرعة وتسارع آليات الكرنك والموجات الصوتية أمثلة عملية نموذجية لاستخدام الوظائف الدورية في الحسابات الهندسية.

يعتمد توسيع متسلسلة فورييه على افتراض أن جميع الدوال ذات الأهمية العملية في الفترة -π ≥x≥ π يمكن التعبير عنها في شكل متسلسلة مثلثية متقاربة (تعتبر السلسلة متقاربة إذا كانت تسلسل المجاميع الجزئية المكونة من حدودها يتقارب):

التدوين القياسي (= العادي) من خلال مجموع sinx وcosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

حيث a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. هي ثوابت حقيقية، أي.

حيث، بالنسبة للنطاق من -π إلى π، يتم حساب معاملات متسلسلة فورييه باستخدام الصيغ:

تسمى المعاملات a o و a n و b n بمعاملات فورييه، وإذا أمكن العثور عليها، فإن السلسلة (1) تسمى متسلسلة فورييه المقابلة للدالة f (x). بالنسبة للمتسلسلة (1)، فإن الحد (a 1 cosx + b 1 sinx) يسمى التوافقي الأول أو الأساسي،

هناك طريقة أخرى لكتابة سلسلة وهي استخدام العلاقة acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=أ o +c 1 خطيئة(x+α 1)+ج 2 خطيئة(2x+α 2)+...+c n خطيئة(nx+α n)

حيث a o ثابت، c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2، c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 هي سعة المكونات المختلفة، ويساوي a n =arctg a n / ب ن.

بالنسبة للمتسلسلة (1)، يُطلق على المصطلح (a 1 cosx+b 1 sinx) أو c 1 sin(x+α 1) التوافقي الأول أو الأساسي، (a 2 cos2x+b 2 sin2x) أو c 2 sin(2x) +α 2) يسمى التوافقي الثاني وهكذا.

يتطلب تمثيل إشارة معقدة بدقة عددًا لا نهائيًا من المصطلحات. ومع ذلك، في العديد من المشاكل العملية، يكفي النظر فقط في المصطلحات القليلة الأولى.

سلسلة فورييه من الدوال غير الدورية ذات الفترة 2π.

توسيع الوظائف غير الدورية.

إذا كانت الدالة f(x) غير دورية، فهذا يعني أنه لا يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه لجميع قيم x. ومع ذلك، فمن الممكن تعريف سلسلة فورييه التي تمثل دالة على أي نطاق بعرض 2π.

بالنظر إلى دالة غير دورية، يمكن إنشاء دالة جديدة عن طريق اختيار قيم f(x) ضمن نطاق معين وتكرارها خارج هذا النطاق بفواصل زمنية 2π. بما أن الدالة الجديدة دورية مع الفترة 2π، فيمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه لجميع قيم x. على سبيل المثال، الدالة f(x)=x ليست دورية. ومع ذلك، إذا كان من الضروري توسيعها إلى سلسلة فورييه في الفترة من o إلى 2π، فسيتم إنشاء دالة دورية مع فترة 2π خارج هذه الفترة (كما هو موضح في الشكل أدناه).

بالنسبة للدوال غير الدورية مثل f(x)=x، فإن مجموع متسلسلة فورييه يساوي قيمة f(x) عند جميع النقاط في نطاق معين، ولكنه لا يساوي f(x) للنقاط خارج النطاق. للعثور على متسلسلة فورييه لدالة غير دورية في النطاق 2π، يتم استخدام نفس صيغة معاملات فورييه.

وظائف زوجية وغريبة.

يقولون أن الدالة y=f(x) تكون متساوية إذا كانت f(-x)=f(x) لجميع قيم x. الرسوم البيانية للدوال الزوجية تكون دائمًا متناظرة حول المحور y (أي أنها صور معكوسة). مثالان للدوال الزوجية: y=x2 وy=cosx.

يقال إن الدالة y=f(x) فردية إذا كانت f(-x)=-f(x) لجميع قيم x. دائمًا ما تكون الرسوم البيانية للدوال الفردية متناظرة حول الأصل.

العديد من الوظائف ليست زوجية ولا فردية.

توسيع سلسلة فورييه في جيب التمام.

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الزوجية f(x) مع الفترة 2π على مصطلحات جيب التمام فقط (أي لا توجد مصطلحات جيبية) وقد تتضمن مصطلحًا ثابتًا. لذلك،

أين هي معاملات متسلسلة فورييه،

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الفردية f(x) مع الفترة 2π على مصطلحات ذات جيب التمام فقط (أي أنها لا تحتوي على مصطلحات ذات جيب التمام).

لذلك،

أين هي معاملات متسلسلة فورييه،

سلسلة فورييه في نصف دورة.

إذا تم تعريف دالة لنطاق، على سبيل المثال من 0 إلى π، وليس فقط من 0 إلى 2π، فيمكن توسيعها في سلسلة فقط في جيب التمام أو في جيب التمام فقط. وتسمى متسلسلة فورييه الناتجة متسلسلة فورييه نصف الدورة.

إذا كنت ترغب في الحصول على توسيع فورييه نصف دورة لجيب تمام الدالة f(x) في النطاق من 0 إلى π، فأنت بحاجة إلى إنشاء دالة دورية زوجية. في التين. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. بما أن الدالة الزوجية متناظرة حول المحور f(x)، فإننا نرسم الخط AB، كما هو موضح في الشكل. أقل. إذا افترضنا أنه خارج الفترة المدروسة، يكون الشكل الثلاثي الناتج دوريًا بفترة 2π، فإن الرسم البياني النهائي يبدو كما يلي: في التين. أقل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على توسع فورييه في جيب التمام، كما كان من قبل، فإننا نحسب معاملات فورييه a o و a n

إذا كنت ترغب في الحصول على توسيع فورييه نصف دورة من حيث جيب الدالة f(x) في النطاق من 0 إلى π، فأنت بحاجة إلى إنشاء دالة دورية فردية. في التين. فيما يلي الدالة f(x)=x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=π. وبما أن الدالة الفردية متناظرة حول نقطة الأصل، فإننا نبني السطر CD، كما هو موضح في الشكل. إذا افترضنا أنه خارج الفاصل الزمني المدروس، تكون إشارة سن المنشار الناتجة دورية بفترة 2π، فإن الرسم البياني النهائي له الشكل الموضح في الشكل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على تمديد فورييه لنصف الدورة من حيث الجيوب، كما كان من قبل، فإننا نحسب معامل فورييه. ب

سلسلة فورييه لفترة تعسفية.

توسيع الدالة الدورية بالفترة L.

تتكرر الدالة الدورية f(x) مع زيادة x بمقدار L، أي. و(س+L)=و(خ). يعد الانتقال من الوظائف التي تم النظر فيها سابقًا بفترة 2π إلى وظائف ذات فترة L أمرًا بسيطًا للغاية، حيث يمكن إجراؤه باستخدام تغيير المتغير.

للعثور على متسلسلة فورييه للدالة f(x) في النطاق -L/2≤x≤L/2، نقدم متغيرًا جديدًا u بحيث تكون الدالة f(x) لها فترة 2π بالنسبة إلى u. إذا كانت u=2πx/L، فإن x=-L/2 لـ u=-π وx=L/2 لـ u=π. دع أيضًا f(x)=f(Lu/2π)=F(u). متسلسلة فورييه F(u) لها الشكل

(يمكن استبدال حدود التكامل بأي فترة طولها L مثلا من 0 إلى L)

سلسلة فورييه على نصف دورة للوظائف المحددة في الفاصل الزمني L≠2π.

بالنسبة للاستبدال u=πx/L، فإن الفاصل الزمني من x=0 إلى x=L يتوافق مع الفاصل الزمني من u=0 إلى u=π. وبالتالي، يمكن توسيع الوظيفة إلى سلسلة فقط في جيب التمام أو في الجيوب فقط، أي. في سلسلة فورييه في نصف دورة.

توسيع جيب التمام في النطاق من 0 إلى L له النموذج

تميل العديد من العمليات التي تحدث في الطبيعة والتكنولوجيا إلى تكرار نفسها على فترات زمنية معينة. تسمى هذه العمليات دورية ويتم وصفها رياضيًا بواسطة وظائف دورية. وتشمل هذه الوظائف خطيئة(س) , كوس(س) , خطيئة(wx), كوس(wx) . مجموع دالتين دوريتين، على سبيل المثال، دالة النموذج , بشكل عام، لم تعد دورية. ولكن يمكن إثبات أنه إذا كانت العلاقة ث 1 / ث 2 إذا كان رقمًا نسبيًا، فإن هذا المجموع هو دالة دورية.

أبسط العمليات الدورية - التذبذبات التوافقية - موصوفة بالوظائف الدورية خطيئة(wx) و كوس(wx). يتم وصف العمليات الدورية الأكثر تعقيدًا من خلال وظائف تتكون من عدد محدود أو لا حصر له من مصطلحات النموذج خطيئة(wx) و كوس(wx).

3.2. المتسلسلة المثلثية. معاملات فورييه

لنفكر في سلسلة وظيفية من النموذج:

هذه السلسلة تسمى حساب المثاثات; أعداد أ 0 , ب 0 , أ 1 , ب 1 ،أ 2 , ب 2 …, أ ن , ب ن ,… وتسمى معاملاتسلسلة مثلثية. غالبًا ما تتم كتابة السلسلة (1) على النحو التالي:

. (2)

حيث أن أعضاء السلسلة المثلثية (2) لديهم دورة مشتركة
، فإن مجموع المتسلسلة، إذا تقاربت، يكون أيضًا دالة دورية ذات فترة
.

لنفترض أن الدالة F(س) هو مجموع هذه السلسلة:

. (3)

في هذه الحالة يقولون أن الوظيفة F(س) يتم توسيعها إلى سلسلة مثلثية. بافتراض أن هذه المتسلسلة تتقارب بشكل منتظم على الفترة
، يمكنك تحديد معاملاته باستخدام الصيغ:

,
,
. (4)

تسمى معاملات السلسلة التي تحددها هذه الصيغ معاملات فورييه.

تسمى المتسلسلة المثلثية (2)، التي يتم تحديد معاملاتها بواسطة صيغ فورييه (4). بالقرب من فورييه، المقابلة للوظيفة F(س).

وهكذا، إذا كانت وظيفة دورية F(س) هي مجموع متسلسلة مثلثية متقاربة، فهذه المتسلسلة هي متسلسلة فورييه الخاصة بها.

3.3. تقارب متسلسلة فورييه

توضح الصيغ (4) أنه يمكن حساب معاملات فورييه لأي تكامل على الفترة

-الدالة الدورية، أي لمثل هذه الوظيفة يمكنك دائمًا إنشاء سلسلة فورييه. ولكن هل ستتقارب هذه السلسلة مع الدالة؟ F(س) وتحت أي ظروف؟

أذكر أن الدالة F(س), المحددة على الجزء [ أ; ب] ، يُسمى سلسًا متعدد التعريف إذا كان هو ومشتقته لا يحتويان على أكثر من عدد محدود من نقاط الاتصال من النوع الأول.

توفر النظرية التالية شروطًا كافية لتحلل دالة في سلسلة فورييه.

نظرية ديريشليت.يترك
-وظيفة دورية F(س) على نحو سلس على نحو سلس
. ثم تتقارب متسلسلة فورييه إلى F(س) في كل نقطة من نقاط الاستمرارية والقيمة 0,5(F(س+0)+ F(س-0)) عند نقطة الانهيار.

مثال 1.

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه F(س)= س، المحدد في الفاصل الزمني
.

حل.تستوفي هذه الوظيفة شروط ديريشليت، وبالتالي يمكن توسيعها في سلسلة فورييه. استخدام الصيغ (4) وطريقة التكامل بالأجزاء
، نجد معاملات فورييه:

وهكذا، سلسلة فورييه للدالة F(س) لديه نظرة.

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الزوجية f(x) مع الفترة 2p فقط على مصطلحات ذات جيب التمام (أي لا تحتوي على مصطلحات ذات جيب) وقد تتضمن مصطلحًا ثابتًا. لذلك،

أين هي معاملات متسلسلة فورييه،

توسيع سلسلة فورييه في الجيوب

تحتوي سلسلة فورييه للدالة الدورية الفردية f (x) مع الفترة 2p على مصطلحات ذات جيب التمام فقط (أي أنها لا تحتوي على مصطلحات ذات جيب التمام).

لذلك،

أين هي معاملات متسلسلة فورييه،

سلسلة فورييه في نصف دورة

إذا تم تعريف دالة لنطاق، على سبيل المثال من 0 إلى p، وليس فقط من 0 إلى 2p، فيمكن توسيعها إلى سلسلة فقط في جيب التمام أو في جيب التمام فقط. وتسمى متسلسلة فورييه الناتجة متسلسلة فورييه نصف الدورة.

إذا كنت ترغب في الحصول على توسيع فورييه نصف دورة لجيب تمام الدالة f (x) في النطاق من 0 إلى p، فأنت بحاجة إلى إنشاء دالة دورية زوجية. في التين. فيما يلي الدالة f (x) = x، المبنية على الفاصل الزمني من x = 0 إلى x = p. بما أن الدالة الزوجية متناظرة حول المحور f (x)، فإننا نرسم الخط AB، كما هو موضح في الشكل. أقل. إذا افترضنا أنه خارج الفترة المدروسة، يكون الشكل الثلاثي الناتج دوريًا ودورته 2p، فإن الرسم البياني النهائي يبدو كما يلي: في التين. أقل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على توسع فورييه في جيب التمام، كما كان من قبل، فإننا نحسب معاملات فورييه a o و a n

إذا كنت ترغب في الحصول على توسع فورييه على نصف دورة من حيث جيب الدالة f (x) في النطاق من 0 إلى p، فأنت بحاجة إلى إنشاء دالة دورية فردية. في التين. فيما يلي الدالة f (x) =x، المبنية على الفاصل الزمني من x=0 إلى x=p. وبما أن الدالة الفردية متناظرة حول نقطة الأصل، فإننا نبني السطر CD، كما هو موضح في الشكل.

إذا افترضنا أنه خارج الفاصل الزمني المدروس، تكون إشارة سن المنشار الناتجة دورية بفترة 2p، فإن الرسم البياني النهائي له الشكل الموضح في الشكل. وبما أننا نحتاج إلى الحصول على تمديد فورييه لنصف الدورة من حيث الجيوب، كما كان من قبل، فإننا نحسب معامل فورييه. ب

كيفية إدراج الصيغ الرياضية على موقع على شبكة الانترنت؟

إذا كنت بحاجة إلى إضافة واحدة أو اثنتين من الصيغ الرياضية إلى صفحة ويب، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة على الموقع في شكل صور يتم إنشاؤها تلقائيًا بواسطة Wolfram Alpha . بالإضافة إلى البساطة، ستساعد هذه الطريقة العالمية في تحسين ظهور الموقع في محركات البحث. لقد كان يعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنه سيعمل إلى الأبد)، لكنه عفا عليه الزمن بالفعل من الناحية الأخلاقية.

إذا كنت تستخدم الصيغ الرياضية بانتظام على موقعك، فإنني أوصيك باستخدام MathJax - وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض الرموز الرياضية في متصفحات الويب باستخدام علامات MathML أو LaTeX أو ASCIMathML.

هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط، يمكنك توصيل البرنامج النصي MathJax بسرعة بموقعك على الويب، والذي سيتم تحميله تلقائيًا من خادم بعيد في الوقت المناسب (قائمة الخوادم)؛ (2) قم بتنزيل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية - الأكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً - ستعمل على تسريع تحميل صفحات موقعك، وإذا أصبح خادم MathJax الأصلي غير متاح مؤقتًا لسبب ما، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. ورغم هذه المزايا إلا أنني اخترت الطريقة الأولى لأنها أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع مثالي، وفي 5 دقائق فقط ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقعك.

يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خيارين للتعليمات البرمجية مأخوذة من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة الوثائق:

يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقها في التعليمات البرمجية لصفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات و/أو بعد العلامة مباشرة. وفقًا للخيار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبطئ الصفحة بشكل أقل. لكن الخيار الثاني يقوم تلقائيًا بمراقبة وتحميل أحدث إصدارات MathJax. إذا قمت بإدراج الرمز الأول، فسوف تحتاج إلى تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بإدخال الكود الثاني، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

أسهل طريقة للاتصال بـ MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة تحكم الموقع، أضف أداة مصممة لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التنزيل الموضح أعلاه، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على بناء الجملة الترميزي لـ MathML، وLaTeX، وASCIIMathML، وستكون جاهزًا لإدراج الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بموقعك.

يتم إنشاء أي فراكتل وفقًا لـ قاعدة معينة، والذي يتم تطبيقه بالتتابع لعدد غير محدود من المرات. كل مرة من هذا القبيل تسمى التكرار.

الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة Menger بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي ذو الجانب 1 بواسطة مستويات موازية لوجهه إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه. والنتيجة هي مجموعة تتكون من المكعبات العشرين الأصغر المتبقية. وبفعل الشيء نفسه مع كل مكعب من هذه المكعبات، نحصل على مجموعة مكونة من 400 مكعب أصغر. مواصلة هذه العملية إلى ما لا نهاية، نحصل على اسفنجة Menger.