Kad ste tek počeli učiti o kvadratnim korijenima i kako rješavati iracionalne jednadžbe (jednadžbe koje uključuju nepoznatu pod znakom korijena), vjerojatno ste ih prvi put okusili. praktičnu upotrebu. Sposobnost vađenja kvadratnog korijena iz brojeva također je neophodna za rješavanje problema korištenjem Pitagorinog teorema. Ovaj teorem povezuje duljine stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta.

Neka su duljine kateta pravokutnog trokuta (one dvije stranice koje se sastaju pod pravim kutom) označene slovima i, a duljina hipotenuze (najduža stranica trokuta koja se nalazi nasuprot pravog kuta) označit će se sa pismo. Tada su odgovarajuće duljine povezane sljedećom relacijom:

Ova jednadžba vam omogućuje da pronađete duljinu stranice pravokutnog trokuta kada je poznata duljina njegove druge dvije stranice. Osim toga, omogućuje vam da odredite je li dotični trokut pravokutan, pod uvjetom da su duljine sve tri stranice unaprijed poznate.

Rješavanje zadataka pomoću Pitagorinog poučka

Za učvršćivanje gradiva sljedeće zadatke rješavat ćemo pomoću Pitagorinog poučka.

Dakle, dano:

1. Duljina jedne od kateta je 48, hipotenuza je 80.
2. Duljina katete je 84, hipotenuza je 91.

Idemo do rješenja:

a) Zamjenom podataka u gornju jednadžbu dobivamo sljedeće rezultate:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 ili b = -64

Budući da se duljina stranice trokuta ne može izraziti negativan broj, druga se opcija automatski odbacuje.

Odgovor na prvu sliku: b = 64.

b) Duljina kraka drugog trokuta nalazi se na isti način:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 ili b = -35

Kao i u prethodnom slučaju, negativna odluka odbačena.

Odgovor na drugu sliku: b = 35

Dato nam je:

1. Duljine manjih stranica trokuta su 45, odnosno 55, a većih stranica 75.
2. Duljine manjih stranica trokuta su 28, odnosno 45, a većih 53.

Riješimo problem:

a) Potrebno je provjeriti je li zbroj kvadrata duljina kraćih stranica zadanog trokuta jednak kvadratu duljine veće:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Dakle, prvi trokut nije pravokutni trokut.

b) Ista operacija se izvodi:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Prema tome, drugi trokut je pravokutni trokut.

Najprije pronađimo duljinu najvećeg segmenta kojeg čine točke s koordinatama (-2, -3) i (5, -2). Da bismo to učinili, koristimo dobro poznatu formulu za pronalaženje udaljenosti između točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu:

Slično, nalazimo duljinu segmenta zatvorenog između točaka s koordinatama (-2, -3) i (2, 1):

Na kraju određujemo duljinu segmenta između točaka s koordinatama (2, 1) i (5, -2):

Budući da vrijedi jednakost:

onda je pripadni trokut pravokutan.

Dakle, možemo formulirati odgovor na problem: budući da je zbroj kvadrata stranica s najkraćom dužinom jednak kvadratu stranice s najvećom duljinom, točke su vrhovi pravokutnog trokuta.

Baza (nalazi se strogo vodoravno), dovratnik (nalazi se strogo okomito) i kabel (ispružen dijagonalno) čine pravokutni trokut, da bi se odredila duljina kabela, može se koristiti Pitagorin teorem:

Tako će duljina kabela biti otprilike 3,6 metara.

Zadano je: udaljenost od točke R do točke P (kraka trokuta) je 24, od točke R do točke Q (hipotenuze) je 26.

Dakle, pomozimo Viti riješiti problem. Budući da bi stranice trokuta prikazanog na slici trebale tvoriti pravokutni trokut, možete upotrijebiti Pitagorin teorem da biste pronašli duljinu treće stranice:

Dakle, širina ribnjaka je 10 metara.

Sergej Valerievič

upute

Ako trebate izračunati pomoću Pitagorinog poučka, upotrijebite sljedeći algoritam: - U trokutu odredite koje su stranice katete, a koje hipotenuza. Dvije strane koje tvore kut od devedeset stupnjeva su noge, preostala trećina je hipotenuza. (cm) - Svaki krak ovog trokuta podigni na drugu potenciju, odnosno pomnoži sam sa sobom. Primjer 1. Pretpostavimo da trebamo izračunati hipotenuzu ako je jedna kateta u trokutu 12 cm, a druga 5 cm Prvo, kvadrati kateta su jednaki: 12 * 12 = 144 cm i 5 * 5 = 25 cm. Zatim odredite zbroj kvadrata nogu. Određeni broj je hipotenuza, trebate se riješiti druge potencije broja da biste je pronašli duljina ovu stranu trokuta. Da biste to učinili, uklonite ispod korijen vrijednost zbroja kvadrata kateta. Primjer 1. 144+25=169. Kvadratni korijen od 169 je 13. Prema tome, duljina ovog hipotenuza jednako 13 cm.

Drugi način za izračunavanje duljine hipotenuza leži u terminologiji sinusa i kutova u trokutu. Po definiciji: sinus kuta alfa - kateta suprotna hipotenuzi. Odnosno, gledajući sliku, sin a = CB / AB. Dakle, hipotenuza AB = CB / sin a. Primjer 2. Neka je kut 30 stupnjeva, a suprotna stranica 4 cm. Trebamo pronaći hipotenuzu. Rješenje: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Odgovor: duljina hipotenuza jednako 8 cm.

Sličan način pronalaženja hipotenuza iz definicije kosinusa kuta. Kosinus kuta je omjer stranice koja mu priliježe i hipotenuza. To jest, cos a = AC/AB, stoga je AB = AC/cos a. Primjer 3. U trokutu ABC AB je hipotenuza, kut BAC je 60 stupnjeva, krak AC je 2 cm.Nađite AB.
Rješenje: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Odgovor: Hipotenuza je duga 4 cm.

Koristan savjet

Pri pronalaženju vrijednosti sinusa ili kosinusa kuta koristite ili tablicu sinusa i kosinusa ili Bradisovu tablicu.

Savjet 2: Kako pronaći duljinu hipotenuze u pravokutnom trokutu

Hipotenuza je najduža stranica u pravokutnom trokutu, pa ne čudi da grčki jezik ova riječ je prevedena kao "tijesno". Ova stranica uvijek leži nasuprot kutu od 90°, a stranice koje čine taj kut nazivaju se krakovi. Poznavajući duljine tih stranica i veličine oštri kutovi u različitim kombinacijama ovih vrijednosti može se izračunati duljina hipotenuze.

upute

Ako su poznate duljine oba trokuta (A i B), onda se poslužite duljinama hipotenuze (C), možda najpoznatijim matematičkim postulatom – Pitagorinim poučkom. Kaže da je kvadrat duljine hipotenuze zbroj kvadrata duljina kateta, iz čega slijedi da treba izračunati korijen zbroja kvadrata duljina dviju stranica: C = √ ( A² + B²). Na primjer, ako je duljina jedne katete 15 i - 10 centimetara, tada će duljina hipotenuze biti približno 18,0277564 centimetara, budući da je √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Ako je poznata duljina samo jedne katete (A) u pravokutnom trokutu, kao i vrijednost kuta nasuprot njoj (α), tada se duljina hipotenuze (C) može koristiti pomoću jedne od trigonometrijskih funkcije - sinus. Da biste to učinili, podijelite duljinu poznata stranka sinusom poznatog kuta: C=A/sin(α). Na primjer, ako je duljina jedne od kateta 15 centimetara, a kut na suprotnom vrhu trokuta 30°, tada će duljina hipotenuze biti jednaka 30 centimetara, budući da je 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Ako je u pravokutnom trokutu poznata veličina jednog od oštrih kutova (α) i duljina susjedne noge (B), tada za izračunavanje duljine hipotenuze (C) možete koristiti drugu trigonometrijska funkcija- kosinus. Duljinu poznatog kraka trebate podijeliti s kosinusom poznatog kuta: C=B/ cos(α). Na primjer, ako je duljina ovog kraka 15 centimetara, a šiljasti kut uz njega je 30°, tada će duljina hipotenuze biti približno 17,3205081 centimetara, budući da je 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17.3205081.

Duljina se obično koristi za označavanje udaljenosti između dviju točaka na segmentu. To može biti ravna, izlomljena ili zatvorena linija. Duljinu možete izračunati vrlo jednostavno ako znate neke druge pokazatelje segmenta.

upute

Ako trebate pronaći duljinu stranice kvadrata, onda to neće biti ako znate njegovu površinu S. Zbog činjenice da sve stranice kvadrata imaju

Jedna stvar u koju možete biti sto posto sigurni je da će svaka odrasla osoba na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata kateta." Ovaj je teorem čvrsto ukorijenjen u glavama svake obrazovane osobe, ali samo trebate zamoliti nekoga da to dokaže i mogu se pojaviti poteškoće. Pa prisjetimo se i razmislimo različiti putevi dokaz Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorin teorem poznat je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ga je donijela na svijet nije toliko popularna. Ovo se može popraviti. Stoga, prije nego što istražite različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema, morate se ukratko upoznati s njegovom osobnošću.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikana. No, kako slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na otoku Samosu. Otac mu je bio običan kamenorezac, a majka je bila iz plemićke obitelji.

Sudeći po legendi, Pitagorino rođenje predvidjela je žena po imenu Pitija, u čiju je čast dječak i dobio ime. Prema njezinom predviđanju, rođeni dječak trebao je donijeti mnogo koristi i dobra čovječanstvu. Što je upravo ono što je učinio.

Rođenje teoreme

U mladosti se Pitagora preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, dopušten mu je studij, gdje je upoznao sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerojatno je u Egiptu Pitagora bio inspiriran veličanstvom i ljepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo bi moglo šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari smatraju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje je znanje samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke izračune.

Bilo kako bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ovog teorema, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su točno stari Grci izvodili svoje izračune, pa ćemo ovdje pogledati različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Pitagorin poučak

Prije nego započnete bilo kakve izračune, morate shvatiti koju teoriju želite dokazati. Pitagorin teorem glasi ovako: "U trokutu u kojem je jedan od kutova 90°, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Postoji ukupno 15 različitih načina da se dokaže Pitagorin teorem. Ovo je prilično velik broj, pa ćemo obratiti pozornost na najpopularnije od njih.

Prva metoda

Prvo, definirajmo što nam je dano. Ovi podaci također će se primijeniti na druge metode dokazivanja Pitagorinog teorema, pa je vrijedno odmah zapamtiti sve dostupne oznake.

Pretpostavimo da nam je dan pravokutni trokut s katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da iz pravokutnog trokuta trebate nacrtati kvadrat.

Da biste to učinili, trebate dodati segment kraku duljine a jednaka nozi u, i obrnuto. To bi trebalo rezultirati s dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije, a kvadrat je spreman.

Unutar dobivene figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova as i sv morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka s. Tako dobivamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza izvornog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na temelju dobivene figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da osim unutarnjeg kvadrata postoje četiri pravokutna trokuta. Površina svakog je 0,5 av.

Stoga je površina jednaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Stoga je (a+c) 2 = 2ab+c 2

I, prema tome, c 2 =a 2 +b 2

Teorem je dokazan.

Druga metoda: slični trokuti

Ova formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena je na temelju izjave iz dijela geometrije o sličnim trokutima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta prosjek proporcionalan njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha kuta od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo isječak CD okomit na stranicu AB. Na temelju gornje tvrdnje stranice trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Da bismo odgovorili na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora dovršiti kvadriranjem obiju nejednakosti.

AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV

Sada trebamo zbrojiti dobivene nejednakosti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdje je AD + DV = AB

Ispostavilo se da:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

I stoga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorinog teorema i razne načine njegova rješenja zahtijevaju višestrani pristup ovom problemu. Međutim, ova je opcija jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračuna

Opisi različitih metoda dokazivanja Pitagorinog teorema možda neće značiti ništa dok sami ne počnete vježbati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke izračune, već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.

U u ovom slučaju Potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut VSD sa stranice BC. Dakle, sada postoje dva trokuta sa zajedničkom krakom BC.

Znajući da površine sličnih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Budući da je od raznih metoda dokazivanja Pitagorinog teorema za 8. razred ova opcija jedva prikladna, možete koristiti sljedeću metodu.

Najlakši način da dokažete Pitagorin teorem. Recenzije

Prema povjesničarima, ova je metoda prvi put korištena za dokazivanje teorema još u drevna grčka. To je najjednostavnije, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako ispravno nacrtate sliku, onda će dokaz tvrdnje da je a 2 + b 2 = c 2 biti jasno vidljiv.

Uvjeti za ovu metoduće se malo razlikovati od prethodnog. Da bismo dokazali teorem, pretpostavimo da je pravokutni trokut ABC jednakokračan.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranicu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne crte u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trokuta.

Također morate nacrtati kvadrat do krakova AB i CB i povući po jednu dijagonalnu ravnu liniju u svakoj od njih. Prvu liniju povlačimo iz vrha A, drugu iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Budući da se na hipotenuzi AC nalaze četiri trokuta jednaka prvotnom, a na stranicama dva, to ukazuje na istinitost ovog teorema.

Usput, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, rođena je poznata fraza: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadaren autodidakt.

Na početku svoje karijere bio je običan učitelj u javnoj školi, ali je ubrzo postao ravnatelj jedne od najviših obrazovne ustanove. Želja za samorazvojem omogućila mu je da ponudi nova teorija dokaz Pitagorine teoreme. Teorem i primjer njegovog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da je krak jednog od njih nastavak drugog. Vrhove ovih trokuta potrebno je spojiti kako bi u konačnici formirali trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako promatramo dobiveni trapez kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njegovo područje može pronaći na sljedeći način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sada moramo izjednačiti dva izvorna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorinom teoremu i metodama njegova dokazivanja moglo bi se napisati više od jednog sveska. pomoć u nastavi. Ali ima li smisla kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorinog poučka

Nažalost, u modernom školski programi Ovaj teorem je namijenjen samo za korištenje u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školu ne znajući kako svoje znanje i vještine mogu primijeniti u praksi.

Zapravo, koristite Pitagorin teorem u svom Svakidašnjica svi mogu. I ne samo u profesionalna djelatnost, ali i u običnim kućanskim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorin teorem i metode njegovog dokazivanja mogu biti iznimno potrebni.

Odnos teorema i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trokuti na papiru mogu povezati. Zapravo, astronomija je znanstveno polje, koji u velikoj mjeri koristi Pitagorin teorem.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosne zrake u prostoru. Poznato je da se svjetlost giba u oba smjera istom brzinom. Nazovimo putanju AB kojom se giba svjetlosna zraka l. I nazovimo pola vremena potrebnog svjetlu da stigne od točke A do točke B t. I brzina snopa - c. Ispostavilo se da: c*t=l

Ako pogledate tu istu zraku iz druge ravnine, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se pri promatranju tijela na ovaj način njihova brzina promijeniti. U tom će se slučaju čak i nepokretni elementi početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da komični brod plovi udesno. Tada će se točke A i B, između kojih juri zraka, početi pomicati ulijevo. Štoviše, kada se zraka pomakne od točke A do točke B, točka A ima vremena za pomicanje i, sukladno tome, svjetlost će već stići u novu točku C. Da biste pronašli polovicu udaljenosti za koju se točka A pomaknula, morate pomnožiti brzinu košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t").

A da biste saznali koliko bi zraka svjetlosti mogla prijeći za to vrijeme, trebate označiti polovicu puta novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i svemirska linija, vrhovi jednakokračnog trokuta, tada će segment od točke A do linije dijeliti na dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući Pitagorinom teoremu, možete pronaći udaljenost koju bi zraka svjetlosti mogla prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrimo svjetovnije primjene ovog teorema.

Domet prijenosa mobilnog signala

Suvremeni život više se ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali bi li bili od velike koristi ako ne bi mogli povezati pretplatnike putem mobilne komunikacije?!

Kvaliteta mobilne komunikacije izravno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Kako biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorin teorem.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja tako da može distribuirati signal unutar radijusa od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (polumjer globusa) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorinog poučka dolazimo do saznanja da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorin teorem u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorin teorem može biti koristan čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih izračuna, jer možete jednostavno izvršiti mjerenja pomoću mjerne trake. Ali mnogi se ljudi pitaju zašto se pojavljuju određeni problemi tijekom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego točno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u vodoravnom položaju i tek onda podiže i postavlja uza zid. Stoga, tijekom procesa podizanja konstrukcije, bočna strana ormarića mora se slobodno kretati i duž visine i dijagonalno prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar dubine 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja reći će da visina ormara treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

S idealnim dimenzijama ormarića, provjerimo djelovanje Pitagorine teoreme:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - sve odgovara.

Recimo da visina ormara nije 2474 mm, već 2505 mm. Zatim:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije prikladan za ugradnju u ovu prostoriju. Budući da ga podizanjem u okomiti položaj može oštetiti tijelo.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema od strane različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je to više nego istinito. Sada možete koristiti dobivene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, već i točni.

Pitagorin poučak- jedan od temeljnih teorema euklidske geometrije, koji uspostavlja relaciju

između stranica pravokutnog trokuta.

Vjeruje se da ju je dokazao grčki matematičar Pitagora, po kojem je i dobila ime.

Geometrijska formulacija Pitagorinog poučka.

Teorem je izvorno formuliran na sljedeći način:

U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata,

izgrađen na nogama.

Algebarska formulacija Pitagorinog teorema.

U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.

Odnosno, označavanje duljine hipotenuze trokuta s c, a duljine krakova kroz a I b:

Obje formulacije Pitagorin poučak su ekvivalentni, ali druga formulacija je elementarnija, nije

zahtijeva koncept područja. Odnosno, druga se izjava može provjeriti bez da se zna nešto o području i

mjerenjem samo duljina stranica pravokutnog trokuta.

Obrnuti Pitagorin teorem.

Ako je kvadrat jedne stranice trokuta jednak zbroju kvadrata druge dvije stranice, tada

pravokutni trokut.

Ili, drugim riječima:

Za svaku trojku pozitivnih brojeva a, b I c, tako da

postoji pravokutni trokut s katetama a I b i hipotenuza c.

Pitagorin poučak za jednakokračni trokut.

Pitagorin poučak za jednakostranični trokut.

Dokazi Pitagorinog teorema.

Trenutno je u znanstvenoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ovog teorema. Vjerojatno teorem

Pitagorin je teorem jedini s tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost

može se objasniti samo temeljnim značenjem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih:

dokaz metoda područja, aksiomatski I egzotične dokaze(Na primjer,

pomoću diferencijalne jednadžbe ).

1. Dokaz Pitagorinog teorema pomoću sličnih trokuta.

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od konstruiranih dokaza

izravno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravokutni trokut s pravim kutom C. Nacrtajmo visinu iz C i označavaju

svoje utemeljenje kroz H.

Trokut ACH sličan trokutu AB C na dva ugla. Isto tako, trokut CBH sličan ABC.

Uvođenjem oznake:

dobivamo:

,

što odgovara -

Preklopljeno a 2 i b 2, dobivamo:

ili , što je trebalo dokazati.

2. Dokaz Pitagorinog teorema metodom površina.

Dolje navedeni dokazi, unatoč njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni

koristiti svojstva površine, čiji su dokazi složeniji od dokaza samog Pitagorinog teorema.

• Dokaz kroz ekvikomplementarnost.

Posložimo četiri jednaka pravokutna

trokut kao što je prikazano na slici

desno.

Četverokut sa stranicama c- kvadrat,

budući da je zbroj dva šiljasta kuta 90°, i

rasklopljeni kut - 180°.

Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane,

površina kvadrata sa stranicom ( a+b), a s druge strane, zbroj površina četiriju trokuta i

Q.E.D.

3. Dokaz Pitagorinog teorema infinitezimalnom metodom.

​

Gledajući crtež prikazan na slici i

promatrajući promjenu stranea, možemo

napišite sljedeću relaciju za beskonačno

mali bočni prirastS I a(koristeći sličnost

trokuta):

Koristeći metodu odvajanja varijabli, nalazimo:

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja s obje strane:

Integracijom ove jednadžbe i korištenjem početni uvjeti, dobivamo:

Tako dolazimo do željenog odgovora:

Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli pojavljuje se zbog linearne

razmjernost između stranica trokuta i prirasta, dok je zbroj povezan s nezavisnim

doprinosi od prirasta različitih nogu.

Jednostavniji dokaz možemo dobiti ako pretpostavimo da jedna od nogu ne doživi povećanje

(u ovom slučaju nogu b). Tada za konstantu integracije dobivamo:

(prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonaptes, ili "tezači užeta", gradili su prave kutove koristeći pravokutne trokute sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmimo konop duljine 12 m i na njega privežimo traku u boji na udaljenosti 3 m s jednog kraja i 4 metra s drugog. Pravi kut će biti između stranica dugih 3 i 4 metra. Harpedonaptovcima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se upotrijebi, na primjer, drveni ugaonik, kojim se služe svi stolari. Doista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolarsku radionicu.

Nešto više se zna o Pitagorinom teoremu kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira još iz vremena Hamurabija, odnosno 2000. pr. e. , dan je približan izračun hipotenuze pravokutnog trokuta. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune s pravokutnim trokutima, prema barem U nekim slučajevima. Na temelju, s jedne strane, trenutne razine znanja o egipatskoj i babilonskoj matematici, a s druge strane, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (nizozemski matematičar) zaključio je da postoji velika vjerojatnost da teorem o kvadratu hipotenuze bio je poznat u Indiji već oko 18. stoljeća pr. e.

Oko 400. pr. Kr., prema Proklu, Platon je dao metodu za pronalaženje Pitagorinih trojki, kombinirajući algebru i geometriju. Oko 300. pr. e. Najstariji aksiomatski dokaz Pitagorinog teorema pojavio se u Euklidovim Elementima.

Formulacije

Geometrijska formulacija:

Teorem je izvorno formuliran na sljedeći način:

Algebarska formulacija:

To jest, označavajući duljinu hipotenuze trokuta s , a duljine kateta s i :

Obje formulacije teorema su ekvivalentne, ali je druga formulacija elementarnija; ne zahtijeva pojam površine. To jest, drugu tvrdnju moguće je provjeriti bez znanja o površini i mjerenjem samo duljina stranica pravokutnog trokuta.

Obratna Pitagorina teorema:

Dokaz

Trenutno je u znanstvenoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ovog teorema. Vjerojatno je Pitagorin teorem jedini teorem s tako impresivnim brojem dokaza. Takva se raznolikost može objasniti samo temeljnim značenjem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, pomoću diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trokute

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od dokaza, konstruiran izravno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravokutni trokut s pravim kutom C. Nacrtajmo visinu iz C a njegovu bazu označimo sa H. Trokut ACH sličan trokutu ABC na dva ugla. Isto tako, trokut CBH sličan ABC. Uvođenjem notacije

dobivamo

Što je ekvivalentno

Zbrajanjem dobivamo

, što je i trebalo dokazati

Dokazi metodom površine

Dolje navedeni dokazi, unatoč njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza samog Pitagorinog teorema.

Dokaz ekvikomplementacijom

1. Posložimo četiri jednaka pravokutna trokuta kao što je prikazano na slici 1.
2. Četverokut sa stranicama c je kvadrat jer je zbroj dva oštra kuta 90°, a ravnog kuta 180°.
3. Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), a s druge strane zbroju površina četiri trokuta i područje unutarnjeg trga.

Q.E.D.

Euklidov dokaz

Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovica površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovica površina kvadrata izgrađenih na katetama, a zatim površine veliki i dva mala kvadrata su jednaki.

Pogledajmo crtež lijevo. Na njemu smo konstruirali kvadrate na stranicama pravokutnog trokuta i povukli zraku s iz vrha pravog kuta C okomito na hipotenuzu AB, ona siječe kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravokutnika - BHJI i HAKJ, odnosno. Ispada da su površine tih pravokutnika točno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim krakovima.

Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK. Da bismo to učinili, poslužit ćemo se pomoćnim opažanjem: Površina trokuta iste visine i baze kao zadani pravokutnik jednak je polovici površine zadanog pravokutnika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao polovice umnoška baze i visine. Iz ovog zapažanja slijedi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazan na slici), koji je pak jednak polovici površine pravokutnika AHJK.

Dokažimo sada da je površina trokuta ACK također jednaka polovici površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (jer je površina trokuta BDA jednaka polovici površine kvadrata prema gornjem svojstvu). Ova jednakost je očita: trokuti su jednaki po objema stranicama i kutu između njih. Naime - AB=AK, AD=AC - jednakost kutova CAK i BAD lako je dokazati metodom gibanja: zakrenemo trokut CAK za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očito da su odgovarajuće stranice dvaju trokuta u pitanje će se podudarati (zbog činjenice da je kut pri vrhu kvadrata 90°).

Obrazloženje jednakosti površina kvadrata BCFG i pravokutnika BHJI potpuno je slično.

Time smo dokazali da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi sastavljena od površina kvadrata izgrađenih na katetama. Ideja iza ovog dokaza dodatno je ilustrirana gornjom animacijom.

Dokaz Leonarda da Vincija

Glavni elementi dokaza su simetrija i gibanje.

Razmotrimo crtež, kao što se vidi iz simetrije, segment reže kvadrat na dva identična dijela (budući da su trokuti jednaki u konstrukciji).

Koristeći rotaciju od 90 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko točke, vidimo jednakost osjenčanih likova i.

Sada je jasno da je površina figure koju smo osjenčali jednaka zbroju polovice površina malih kvadrata (izgrađenih na nogama) i površine izvornog trokuta. S druge strane, jednaka je polovici površine velikog kvadrata (izgrađenog na hipotenuzi) plus površina izvornog trokuta. Dakle, polovica zbroja površina malih kvadrata jednaka je polovici površine velikog kvadrata, pa je stoga zbroj površina kvadrata izgrađenih na nogama jednak površini kvadrata izgrađenog na hipotenuza.

Dokaz infinitezimalnom metodom

Sljedeći dokaz pomoću diferencijalnih jednadžbi često se pripisuje poznatom engleskom matematičaru Hardyju, koji je živio u prvoj polovici 20. stoljeća.

Gledajući crtež prikazan na slici i promatrajući promjenu strane a, možemo napisati sljedeću relaciju za infinitezimalne inkremente strane S I a(koristeći sličnost trokuta):

Metodom razdvajanja varijabli nalazimo

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja s obje strane

Integrirajući ovu jednadžbu i koristeći početne uvjete, dobivamo

Tako dolazimo do željenog odgovora

Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli pojavljuje se zbog linearne proporcionalnosti između stranica trokuta i prirasta, dok je zbroj povezan s neovisnim doprinosima od prirasta različitih krakova.

Jednostavniji dokaz možemo dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast (u ovom slučaju krak). Tada za konstantu integracije dobivamo

Varijacije i generalizacije

Slični geometrijski oblici na tri strane

Generalizacija za slične trokute, površina zelenih oblika A + B = površina plavih C

Pitagorin teorem koji koristi slične pravokutne trokute

Euklid je u svom djelu generalizirao Pitagorin teorem Počeci, proširujući područja kvadrata na stranama na područja sličnih geometrijski oblici :

Ako konstruiramo slične geometrijske figure (vidi Euklidsku geometriju) na stranama pravokutnog trokuta, tada će zbroj dviju manjih figura biti jednak površini veće figure.

Glavna ideja ove generalizacije je da je površina takve geometrijske figure proporcionalna kvadratu bilo koje od njegovih linearnih dimenzija i, posebno, kvadratu duljine bilo koje strane. Stoga, za slične figure s površinama A, B I C izgrađen na stranicama s dužinom a, b I c, imamo:

Ali, prema Pitagorinoj teoremi, a 2 + b 2 = c 2 zatim A + B = C.

Obrnuto, ako to možemo dokazati A + B = C za tri slična geometrijska lika bez korištenja Pitagorinog teorema, tada možemo dokazati sam teorem, krećući se u suprotnom smjeru. Na primjer, početni središnji trokut može se ponovno upotrijebiti kao trokut C na hipotenuzi i dva slična pravokutna trokuta ( A I B), izgrađen na druge dvije stranice, koje nastaju dijeljenjem središnjeg trokuta njegovom visinom. Zbroj površina dva manja trokuta tada je očito jednak površini trećeg, dakle A + B = C i ispunjavajući prethodni dokaz u obrnuti redoslijed, dobivamo Pitagorin poučak a 2 + b 2 = c 2 .

Kosinusni teorem

Pitagorina teorema je poseban slučaj općenitiji teorem o kosinusima, koji povezuje duljine stranica u proizvoljnom trokutu:

gdje je θ kut između stranica a I b.

Ako je θ 90 stupnjeva, tada je cos θ = 0 i formula se pojednostavljuje na uobičajeni Pitagorin teorem.

Slobodni trokut

Na bilo koji odabrani kut proizvoljnog trokuta sa stranicama a, b, c upiši jednakokračni trokut na način da jednaki kutovi na njegovoj bazi θ je bio jednak odabranom kutu. Pretpostavimo da se odabrani kut θ nalazi nasuprot označene stranice c. Kao rezultat, dobili smo trokut ABD s kutom θ, koji se nalazi nasuprot strani a i stranaka r. Drugi trokut tvori kut θ koji se nalazi nasuprot stranice b i stranaka S duljina s, kao što je prikazano na slici. Sabit Ibn Kurra je tvrdio da su stranice u ova tri trokuta povezane na sljedeći način:

Kako se kut θ približava π/2, osnovica jednakokračnog trokuta postaje sve manja, a dvije stranice r i s sve se manje preklapaju. Kada je θ = π/2, ADB postaje pravokutni trokut, r + s = c te dobivamo početni Pitagorin poučak.

Razmotrimo jedan od argumenata. Trokut ABC ima iste kutove kao trokut ABD, ali obrnutim redoslijedom. (Dva trokuta imaju zajednički kut u vrhu B, oba imaju kut θ i također imaju isti treći kut, na temelju zbroja kutova trokuta) Prema tome, ABC je sličan refleksiji ABD trokuta DBA, kao prikazano na donjoj slici. Zapišimo odnos između suprotnih stranica i onih koje graniče s kutom θ,

Također odraz drugog trokuta,

Pomnožimo razlomke i zbrojimo ova dva omjera:

Q.E.D.

Generalizacija za proizvoljne trokute preko paralelograma

Generalizacija za proizvoljne trokute,
zelena površina parcela = površina plava

Dokaz teze da je na gornjoj slici

Napravimo daljnju generalizaciju za nepravokutne trokute korištenjem paralelograma na tri strane umjesto kvadrata. (kvadrati su poseban slučaj.) Gornja slika pokazuje da je za oštrokutni trokut površina paralelograma na dužoj stranici jednaka zbroju paralelograma na druge dvije stranice, pod uvjetom da je paralelogram na dužoj stranici strana je konstruirana kao što je prikazano na slici (dimenzije označene strelicama su iste i određuju stranice donjeg paralelograma). Ova zamjena kvadrata paralelogramima ima jasnu sličnost s početnim Pitagorinim teoremom, za koji se smatra da ga je formulirao Papus iz Aleksandrije 4. godine. e.

Donja slika prikazuje napredak dokaza. Pogledajmo lijevu stranu trokuta. Lijevi zeleni paralelogram ima istu površinu kao lijeva strana plavi paralelogram jer imaju istu bazu b i visine h. Također, lijevi zeleni paralelogram ima istu površinu kao lijevi zeleni paralelogram na gornjoj slici jer dijele zajedničku bazu (gore lijeva strana trokut) i ukupna visina okomita na tu stranicu trokuta. Koristeći slično razmišljanje za desnu stranu trokuta, dokazat ćemo da donji paralelogram ima istu površinu kao dva zelena paralelograma.

Kompleksni brojevi

Pitagorin teorem koristi se za pronalaženje udaljenosti između dviju točaka u kartezijevom koordinatnom sustavu, a ovaj teorem vrijedi za sve prave koordinate: udaljenost s između dvije točke ( a, b) i ( c, d) jednako

Nema problema s formulom ako se kompleksni brojevi tretiraju kao vektori s realnim komponentama x + ja y = (x, g). . Na primjer, udaljenost s između 0 + 1 ja i 1 + 0 ja izračunati kao modul vektora (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), ili

Međutim, za operacije s vektorima sa složenim koordinatama, potrebno je unijeti neka poboljšanja u Pitagorinu formulu. Udaljenost između točaka s kompleksnim brojevima ( a, b) i ( c, d); a, b, c, I d sve složene, formuliramo koristeći apsolutne vrijednosti. Udaljenost s na temelju razlike vektora (a − c, b − d) u sljedećem obliku: neka razlika a − c = str+i q, Gdje str- stvarni dio razlike, q je imaginarni dio, a i = √(−1). Isto tako, neka b − d = r+i s. Zatim:

gdje je kompleksno konjugirani broj za . Na primjer, udaljenost između točaka (a, b) = (0, 1) I (c, d) = (ja, 0) , izračunajmo razliku (a − c, b − d) = (−ja, 1) a rezultat bi bio 0 da se ne koriste kompleksni konjugati. Stoga, korištenjem poboljšane formule, dobivamo

Modul je definiran na sljedeći način:

Stereometrija

Značajna generalizacija Pitagorinog teorema za trodimenzionalni prostor je de Goyev teorem, nazvan po J.-P. de Gois: ako tetraedar ima pravi kut (kao u kocki), tada je kvadrat površine lica nasuprot pravom kutu jednak zbroju kvadrata površina ostala tri lica. Ovaj zaključak može se sažeti kao " n-dimenzionalni Pitagorin teorem":

Pitagorin poučak u trodimenzionalnom prostoru povezuje dijagonalu AD s tri strane.

Još jedna generalizacija: Pitagorin teorem može se primijeniti na stereometriju u sljedećem obliku. Razmotrite pravokutni paralelopiped kao što je prikazano na slici. Nađimo duljinu dijagonale BD koristeći Pitagorin teorem:

gdje tri stranice tvore pravokutni trokut. Koristimo vodoravnu dijagonalu BD i okomiti brid AB da pronađemo duljinu dijagonale AD, za to ponovno koristimo Pitagorin teorem:

ili, ako sve napišemo u jednu jednadžbu:

Ovaj rezultat je trodimenzionalni izraz za određivanje veličine vektora v(dijagonala AD), izražena u smislu njegovih okomitih komponenti ( v k ) (tri međusobno okomite stranice):

Ova se jednadžba može smatrati generalizacijom Pitagorinog poučka za višedimenzionalni prostor. Međutim, rezultat zapravo nije ništa drugo do opetovana primjena Pitagorinog teorema na niz pravokutnih trokuta u uzastopno okomitim ravninama.

Vektorski prostor

U slučaju ortogonalnog sustava vektora postoji jednakost, koja se naziva i Pitagorin teorem:

Ako - to su projekcije vektora na koordinatne osi, tada se ova formula podudara s euklidskom udaljenošću - i znači da je duljina vektora jednaka kvadratnom korijenu zbroja kvadrata njegovih komponenti.

Analog ove jednakosti u slučaju beskonačnog sustava vektora naziva se Parsevalova jednakost.

Neeuklidska geometrija

Pitagorin poučak je izveden iz aksioma Euklidske geometrije i, zapravo, ne vrijedi za neeuklidsku geometriju, u obliku u kojem je gore napisan. (To jest, ispada da je Pitagorin teorem neka vrsta ekvivalenta Euklidovom postulatu o paralelizmu.) Drugim riječima, u neeuklidskoj geometriji odnos između stranica trokuta nužno će biti u obliku različitom od Pitagorinog teorema. Na primjer, u sfernoj geometriji, sve tri stranice pravokutnog trokuta (recimo a, b I c), koji ograničavaju oktant (osmi dio) jedinične sfere, imaju duljinu π/2, što je u suprotnosti s Pitagorinim teoremom, jer a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Razmotrimo ovdje dva slučaja neeuklidske geometrije - sfernu i hiperboličku geometriju; u oba slučaja, kao i za euklidski prostor za pravokutne trokute, rezultat, koji zamjenjuje Pitagorin teorem, slijedi iz kosinusnog teorema.

Međutim, Pitagorin poučak ostaje valjan za hiperboličku i eliptičku geometriju ako se zahtjev da je trokut pravokutan zamijeni uvjetom da zbroj dvaju kutova trokuta mora biti jednak trećem, npr. A+B = C. Tada odnos između stranica izgleda ovako: zbroj površina krugova s ​​promjerima a I b jednaka površini kruga s promjerom c.

Sferna geometrija

Za svaki pravokutni trokut na sferi s polumjerom R(npr. ako je kut γ u trokutu pravi) sa stranicama a, b, c Odnos između strana izgledat će ovako:

Ova se jednakost može izvesti kao poseban slučaj teorem sfernog kosinusa koji vrijedi za sve sferne trokute:

gdje je cosh hiperbolički kosinus. Ova je formula poseban slučaj hiperboličkog kosinusnog teorema koji vrijedi za sve trokute:

gdje je γ kut čiji je vrh nasuprot stranici c.

Gdje g i J naziva se metrički tenzor. To može biti funkcija položaja. Takvi zakrivljeni prostori uključuju Riemannovu geometriju kao opći primjer. Ova je formulacija također prikladna za euklidski prostor kada se koriste krivocrtne koordinate. Na primjer, za polarne koordinate:

Vektorsko umjetničko djelo

Pitagorin poučak povezuje dva izraza za veličinu vektorskog umnoška. Jedan pristup definiranju unakrsnog umnoška zahtijeva da on zadovoljava jednadžbu:

Ova formula koristi točkasti umnožak. Desna strana jednadžbe naziva se Gram determinanta za a I b, što je jednako površini paralelograma koji čine ta dva vektora. Na temelju ovog zahtjeva, kao i zahtjeva da je vektorski produkt okomit na svoje komponente a I b slijedi da je, osim za trivijalne slučajeve iz 0- i 1-dimenzionalnog prostora, križni produkt definiran samo u tri i sedam dimenzija. Koristimo definiciju kuta u n-dimenzionalni prostor:

Ovo svojstvo križnog umnoška daje njegovu veličinu kako slijedi:

Kroz temeljne trigonometrijski identitet Pitagore dobivamo drugi oblik pisanja njegove vrijednosti:

Alternativni pristup definiranju unakrsnog umnoška je korištenje izraza za njegovu veličinu. Zatim, razmišljajući obrnutim redoslijedom, dobivamo vezu sa skalarnim umnoškom:

vidi također

Bilješke

1. Tema iz povijesti: Pitagorin teorem u babilonskoj matematici
2. ( , str. 351) str. 351
3. ( , sv. I, str. 144)
4. Rasprava povijesne činjenice dano u (, str. 351) str. 351
5. Kurt Von Fritz (travanj 1945.). "Otkriće nesamjerljivosti Hipasa iz Metaponta". Anali matematike, druga serija(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, “Priča s čvorovima”, M., Mir, 1985., str. 7
7. Asger Aaboe Epizode iz rane povijesti matematike. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Python prijedlog Elisha Scott Loomisa
9. Euklidova Elementi: Knjiga VI, Propozicija VI 31: “U pravokutnim trokutima lik na stranici koja obuhvaća pravi kut jednak je sličnim i slično opisanim likovima na stranicama koje sadržavaju pravi kut.”
10. Lawrence S. Leff citirano djelo. - Barron's Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...generalizacija Pitagorinog teorema // Veliki trenuci u matematici (prije 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (puno ime Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826.-901. n. e.) bio je liječnik koji je živio u Bagdadu i opširno je pisao o Euklidovim Elementima i drugim matematičkim temama.
13. Aydin Sayili (ožujak 1960.). "Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem." Je je 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Vježba 2.10 (ii) // Citirano djelo. - Str. 62. - ISBN 0821844032
15. Za detalje takve konstrukcije, vidi George Jennings Slika 1.32: Generalizirani Pitagorin poučak // Moderna geometrija s primjenama: sa 150 slika. - 3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Artikal C: Norma za proizvoljno n-torka ... // Uvod u analizu . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vidi također stranice 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderna diferencijalna geometrija krivulja i ploha s Mathematicom. - 3. - CRC Press, 2006. - Str. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Matrična analiza. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking citirano djelo. - 2005. - Str. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC sažeta enciklopedija matematike. - 2. - 2003. - Str. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss