Koliki je zbroj svih kutova paralelograma. Kako pronaći oštar kut paralelograma

27.09.2019

KVADAGONI.

§43. PARALELOGRAM.

1. Definicija paralelograma.

Presiječemo li par paralelnih pravaca s drugim parom paralelnih pravaca, dobit ćemo četverokut čije su suprotne stranice u parovima paralelne.

U četverokutima ABC i EFNM (slika 224) VD || AC i AB || CD;
EF || MN i EM || FN.

Četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne naziva se paralelogram.

2. Svojstva paralelograma.

Teorema. Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trokuta.

Neka postoji paralelogram ABC (slika 225), u kojem je AB || CD i AC || VD.

Trebate dokazati da ga dijagonala dijeli na dva jednaka trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu CB u paralelogramu ABC. Dokažimo to /\ KABINA= /\ SDV.

Stranica NE zajednička je ovim trokutima; / ABC = / BCD, kao unutarnji poprečni kutovi s paralelama AB i CD i sekantom CB; / DIA = / SVD, također kao unutarnji poprečni kutovi s paralelnim AC i VD i sekantom CB (§ 38).

Odavde /\ KABINA = /\ SDV.

Na isti se način može dokazati da će dijagonala AD podijeliti paralelogram na dva jednaka trokuta ACD i ABD.

Posljedice. 1 . Nasuprotni kutovi paralelograma međusobno su jednaki.

/ A = / D, to proizlazi iz jednakosti trokuta CAB i CDB.
Također / C = / U.

2. Suprotan stranice paralelograma su međusobno jednaki.

AB = CD i AC = BD jer su to stranice jednakih trokuta i leže nasuprot jednakih kutova.

Teorem 2. Dijagonale paralelograma podijeljene su popola u točki njihova sjecišta.

Neka su BC i AD dijagonale paralelograma ABC (slika 226). Dokažimo da je AO = OD i CO = OB.

Da biste to učinili, usporedite neki par suprotnih trokuta, na primjer /\ AOB i /\ BAKALAR.

U tim trokutima AB = CD, poput suprotnih stranica paralelograma;
/ 1 = / 2, kao unutarnji kutovi koji leže unakrsno s paralelama AB i CD i sekantom AD;
/ 3 = / 4 iz istog razloga, budući da je AB || CD i CB su njihove sekante (§ 38).

Iz toga slijedi da /\ AOB = /\ BAKALAR. I u jednaki trokuti Jednake stranice leže nasuprot jednakih kutova. Prema tome, AO = OD i CO = OB.

Teorem 3. Zbroj kutova uz jednu stranicu paralelograma jednak je 2 d .

Dokažite sami.

3. Znakovi paralelograma.

Teorema. Ako su nasuprotne stranice četverokuta u parovima jednake, tada je taj četverokut paralelogram.

Neka je u četverokutu ABC (Nacrtano 227) AB = CD i AC = BD. Dokažimo da je pod ovim uvjetom AB || CD i AC || VD, odnosno četverokut AVDC je paralelogram.
Spojimo segmentom neka dva suprotna vrha tog četverokuta, na primjer C i B. Četverokut ABCD podijeljen je na dva jednaka trokuta: /\ CAB i /\ SDV. Naime, imaju istu stranicu CB, AB = CD i AC = BD prema uvjetu. Prema tome, tri stranice jednog trokuta jednake su trima stranicama drugog trokuta /\ KABINA = /\ SDV.

U jednakim trokutima jednaki kutovi leže nasuprot jednakim stranicama, dakle
/ 1 = / 2 i / 3 = / 4.

Kutovi 1 i 2 su unutarnji kutovi koji leže unakrsno u sjecištu pravaca AB i CD pravca CB. Prema tome AB || CD.

Na isti način, kutovi 3 i 4 su unutarnji kutovi koji leže unakrsno u sjecištu pravaca CA i BD pravca CB, dakle, CA || VD (§ 35).

Dakle, nasuprotne stranice četverokuta ABCD su u paru paralelne, dakle on je paralelogram, što je i trebalo dokazati.

Teorem 2. Ako su dvije nasuprotne stranice četverokuta jednake i paralelne, tada je četverokut paralelogram.

Neka je AB = CD u četverokutu ABCD i AB || CD. Dokažimo da je pod tim uvjetima četverokut ABC paralelogram (slika 228).

Spojimo odsječkom CB vrhove C i B. Zbog paralelnosti pravaca AB i CD kutovi 1 i 2, kao unutarnji kutovi koji leže unakrsno, jednaki su (§ 38).
Tada je trokut CAB jednak trokutu CDB, jer imaju zajedničku stranicu CB,
AB = CD prema uvjetima teorema i / 1 = / 2 prema dokazanom. Jednakost ovih trokuta podrazumijeva jednakost kutova 3 i 4, budući da oni leže nasuprot jednakih stranica u jednakim trokutima.

No kutovi 3 i 4 unutarnji su poprečni kutovi koji nastaju sjecištem pravaca AC i BD pravca CB, dakle AC || VD (§ 35), tj. četverokut
ABC je paralelogram.

Vježbe.

1. Dokažite da ako su dijagonale četverokuta u točki međusobnog sjecišta podijeljene popola, onda je taj četverokut paralelogram.

2. Dokaži da četverokut čiji je zbroj unutarnji kutovi susjedna svakoj od dvije susjedne stranice jednaka je 2 d, postoji paralelogram.

3. Konstruiraj paralelogram pomoću dviju stranica i kuta između njih:

a) pomoću paralelnosti suprotnih stranica paralelograma;
b) pomoću jednakosti suprotnih stranica paralelograma.

4. Konstruiraj paralelogram pomoću dviju susjednih stranica i dijagonale.

5. Konstruiraj paralelogram pomoću njegovih dviju dijagonala i kuta između njih.

6. Konstruiraj paralelogram pomoću stranice i dviju dijagonala.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, tj. leže na paralelnim pravcima

Svojstva paralelograma:
Teorem 22. Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.
Dokaz. Paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC. Trokuti ACD i ACB su sukladni jer imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednakih kutova. njemu susjedni: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (kao poprečni kutovi s usporednim pravcima AD i BC). To znači da je AB = CD i BC = AD, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta itd. Iz jednakosti ovih trokuta također slijedi da su odgovarajući kutovi trokuta jednaki:
Teorem 23. Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki: ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D.
Jednakost prvog para proizlazi iz jednakosti trokuta ABD i CBD, a drugog - ABC i ACD.
Teorem 24. Susjedni kutovi paralelograma, tj. kutovi uz jednu stranu zbroje do 180 stupnjeva.
To je tako jer su unutarnji jednostrani kutovi.
Teorem 25. Dijagonale paralelograma međusobno se raspolavljaju u sjecištima.
Dokaz. Promotrimo trokute BOC i AOD. Prema prvom svojstvu AD=BC ∠ OAD=∠ OCB i ∠ ODA=∠ OBC unakrsno ležeći za paralelne pravce AD i BC. Prema tome, trokuti BOC i AOD imaju jednake stranice i susjedne kutove. To znači BO=OD i AO=OS, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta, itd.

Znakovi paralelograma
Teorem 26. Ako su nasuprotne stranice četverokuta u parovima jednake, onda je on paralelogram.
Dokaz. Neka četverokut ABCD ima jednake stranice AD i BC, AB i CD (slika 2). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trokuti ABC i ACD jednaki su na tri strane. Tada su kutovi BAC i DCA jednaki pa je AB paralelan s CD. Paralelnost stranica BC i AD slijedi iz jednakosti kutova CAD i ACB.
Teorem 27. Ako suprotni kutovičetverokuti jednaki u parovima, onda je to paralelogram.
Neka je ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D. Jer ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, zatim ∠ A+∠ B=180 o i stranice AD i BC su paralelne (na temelju paralelnosti ravnih pravaca). Također ćemo dokazati paralelnost stranica AB i CD i zaključiti da je ABCD po definiciji paralelogram.
Teorem 28. Ako su susjedni kutovi četverokuta, tj. Kutovi uz jednu stranu zbroje se do 180 stupnjeva, tada je to paralelogram.
Ako zbroj unutarnjih jednostranih kutova iznosi 180 stupnjeva, tada su ravne linije paralelne. Dakle, AB je paralelan s CD, a BC je paralelan s AD. Ispada da je četverokut po definiciji paralelogram.
Teorem 29. Ako se dijagonale četverokuta međusobno raspolovljuju u točki presjeka, tada je četverokut paralelogram.
Dokaz. Ako je AO = OC, BO = OD, tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake (okomite) kutove u vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica. Iz jednakosti trokuta zaključujemo da su AD i BC jednaki. Stranice AB i CD također su jednake, a četverokut se prema kriteriju 1 pokazuje kao paralelogram.
Teorem 30. Ako četverokut ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.
Neka su stranice AB i CD četverokuta ABCD paralelne i jednake. Nacrtajmo dijagonale AC i BD. Iz paralelnosti ovih pravaca slijedi da su poprečni kutovi ABO = CDO i BAO = OCD jednaki. Trokuti ABO i CDO imaju jednake stranice i susjedne kutove. Prema tome AO=OS, VO=OD,tj. Dijagonale su podijeljene napola sjecišnom točkom i četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema kriteriju 4.

U geometriji se razmatraju posebni slučajevi paralelograma.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, odnosno leže na paralelnim pravcima (slika 1).

Teorem 1. O svojstvima stranica i kutova paralelograma. U paralelogramu su nasuprotne stranice jednake, nasuprotni kutovi su jednaki, a zbroj kutova uz jednu stranicu paralelograma je 180°.

Dokaz. U tom paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC i dobijemo dva trokuta ABC i ADC (slika 2).

Ti su trokuti jednaki jer je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (križni kutovi za paralelne pravce), a stranica AC je zajednička. Iz jednakosti Δ ABC = Δ ADC slijedi da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Zbroj kutova koji priliježu jednoj stranici, na primjer kutovi A i D, jednaki su 180° kao jednostrani. za paralelne pravce. Teorem je dokazan.

Komentar. Jednakost suprotnih stranica paralelograma znači da su odsječci paralela odsječeni paralelnima jednaki.

Posljedica 1. Ako su dva pravca paralelna, tada su sve točke na jednom pravcu jednako udaljene od drugog pravca.

Dokaz. Doista, neka || b (slika 3).

Povucimo okomice BA i CD na pravac a iz neke dvije točke B i C pravca b. Budući da je AB || CD, tada je lik ABCD paralelogram, pa je prema tome AB = CD.

Udaljenost između dva paralelna pravca je udaljenost proizvoljne točke na jednom od pravaca do drugog pravca.

Prema onome što je dokazano, jednaka je duljini okomice povučene iz neke točke jednog od usporednih pravaca na drugi pravac.

Primjer 1. Opseg paralelograma je 122 cm. Jedna mu je stranica 25 cm veća od druge. Odredite stranice paralelograma.

Riješenje. Prema teoremu 1, suprotne stranice paralelograma su jednake. Označimo jednu stranu paralelograma s x, a drugu s y. Zatim, prema uvjetu $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x = 43, y = 18 Dakle, stranice paralelograma su 18, 43, 18 i 43 cm.

Primjer 2.

Riješenje. Neka slika 4 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo AB s x, a BC s y. Prema uvjetu, opseg paralelograma je 10 cm, tj. 2(x + y) = 10, odnosno x + y = 5. Opseg trokuta ABD je 8 cm. A kako je AB + AD = x + y = 5 zatim BD = 8 - 5 = 3. Dakle, BD = 3 cm.

Primjer 3. Odredite kutove paralelograma, znajući da je jedan od njih za 50° veći od drugog.

Riješenje. Neka slika 5 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo stupanjsku mjeru kuta A s x. Tada je stupanjska mjera kuta D x + 50°.

Kutovi BAD i ADC su jednostrani unutarnji kutovi s paralelnim pravcima AB i DC i sekantom AD. Tada će zbroj ovih imenovanih kutova biti 180°, tj.
x + x + 50° = 180°, ili x = 65°. Dakle, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primjer 4. Stranice paralelograma su 4,5 dm i 1,2 dm. Iz vrha oštrog kuta povučena je simetrala. Na koje dijelove dijeli veću stranicu paralelograma?

Riješenje. Neka slika 6 ispunjava uvjete zadatka.

AE je simetrala šiljastog kuta paralelograma. Stoga je ∠ 1 = ∠ 2.

Problem 1. Jedan od kutova paralelograma je 65°. Odredite preostale kutove paralelograma.

∠C =∠A = 65° kao suprotni kutovi paralelograma.

∠A +∠B = 180° kao kutovi uz jednu stranicu paralelograma.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° kao suprotni kutovi paralelograma.

Odgovor: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Zadatak 2. Zbroj dvaju kutova paralelograma je 220°. Odredite kutove paralelograma.

Kako paralelogram ima 2 jednaka oštra kuta i 2 jednaka tupa kuta, dan nam je zbroj dvaju tupih kutova, tj. ∠B +∠D = 220°. Tada je ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° kao kutovi uz jednu stranicu paralelograma, pa je ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Tada je ∠C =∠A = 70°.

Odgovor: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Zadatak 3. Jedan od kutova paralelograma je 3 puta veći od drugog. Odredite kutove paralelograma.

Neka je ∠A =x. Tada je ∠B = 3x. Znajući da je zbroj kutova paralelograma uz jednu od njegovih stranica 180°, napravit ćemo jednadžbu.

x = 180 : 4;

Dobivamo: ∠A = x = 45°, i ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki, dakle

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Odgovor: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Zadatak 4. Dokažite da ako četverokut ima dvije paralelne i jednake stranice, onda je taj četverokut paralelogram.

Dokaz.

Nacrtajmo dijagonalu BD i razmotrimo Δ ADB i Δ CBD.

AD = BC prema uvjetu. BD strana je uobičajena. ∠1 = ∠2 kao unutarnje poprečno leže s paralelnim (po uvjetu) pravcima AD i BC i sekantom BD. Dakle, Δ ADB = Δ CBD na dvije stranice i kut između njih (1. znak jednakosti trokuta). U sukladnim trokutima pripadni su kutovi jednaki, što znači ∠3 =∠4. A ovi kutovi su unutarnji kutovi koji leže poprečno s ravnim linijama AB i CD i sekantom BD. To znači da su pravci AB i CD paralelni. Dakle, u ovom četverokutu ABCD nasuprotne stranice su paralelne u parovima, dakle, po definiciji je ABCD paralelogram, što je i trebalo dokazati.

Zadatak 5. Dvije stranice paralelograma su u omjeru 2 : 5, a opseg je 3,5 m. Odredite stranice paralelograma.

∙ (AB + AD).

Označimo jedan dio s x. tada je AB = 2x, AD = 5x metara. Znajući da je opseg paralelograma 3,5 m, stvaramo jednadžbu:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Jedan dio je 0,25 m. Tada je AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Ispitivanje.

Opseg paralelograma P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Kako su nasuprotne stranice paralelograma jednake, onda je CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Odgovor: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Paralelogram je četverokut u kojem su nasuprotne stranice u paru paralelne.

Paralelogram ima sva svojstva četverokuta, ali osim toga ima i svoja razlikovna obilježja. Poznavajući ih, lako možemo pronaći i stranice i kutove paralelograma.

Svojstva paralelograma

Zbroj kutova u svakom paralelogramu, kao iu svakom četverokutu, iznosi 360°.
Srednje crte paralelograma i njegove dijagonale sijeku se u jednoj točki i njome se raspolavljaju. Ta se točka obično naziva središtem simetrije paralelograma.
Nasuprotne stranice paralelograma uvijek su jednake.
Također, ova figura uvijek ima jednake suprotne kutove.
Zbroj kutova koji priliježu bilo kojoj stranici paralelograma uvijek je 180°.
Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbroju kvadrata njegovih dviju susjednih stranica. To se izražava formulom:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, a i b susjedne stranice.
Kosinus tupog kuta uvijek je manji od nule.

Kako pomoću ovih svojstava u praksi pronaći kutove zadanog paralelograma? A koje nam druge formule mogu pomoći u tome? Pogledajmo konkretne zadatke koji zahtijevaju: pronaći kutove paralelograma.

Pronalaženje kutova paralelograma

Slučaj 1. Mjera tupog kuta je poznata, potrebno je pronaći oštar kut.

Primjer: U paralelogramu ABCD kut A iznosi 120°. Odredite mjere preostalih kutova.

Riješenje: Pomoću svojstva br. 5 možemo pronaći mjeru kuta B susjednog kuta zadanog u zadatku. Bit će jednako:

180°-120°= 60°

I sada, koristeći svojstvo br. 4, utvrđujemo da su dva preostala kuta C i D suprotna kutovima koje smo već pronašli. Kut C je nasuprot kutu A, kut D je nasuprot kutu B. Dakle, oni su u paru jednaki.