פרויקט מוצקים אפלטוניים ותכונותיהם. בניית פרימיטיבים גרפיים

מבוא

המוצקים של אפלטון

מהו צופן דה וינצ'י?

מוצקים אפלטוניים

מוצקים ארכימדיים

המסתורין של לוח השנה המצרי

קוואזי-קריסטלים מאת דן שכטמן

אריחי פנרוז

פולרנים

עולמו האמנותי של האמנית הסלובנית Matyushka Teja Krašek

22.09.2019

סטחוב א.פ.

"צופן דה וינצ'י", מוצקים אפלטוניים וארכימדיים, קוואזי-גבישים, פולרנים, סריגי פנרוז ועולמה האמנותי של האם טייה קראשק

ביאור

עבודתה של האמנית הסלובנית מתיושקה טיה קראשק אינה ידועה לקורא דובר הרוסית. במקביל, במערב הוא מכונה "Escher המזרח אירופי" ו"המתנה הסלובנית" לקהילה התרבותית העולמית. היצירות האמנותיות שלה שואבות השראה מהתגליות המדעיות האחרונות (פולרנים, קוואזי-גבישים של דן שכטמן, אריחי פנרוז), אשר, בתורם, מבוססים על מצולעים רגילים וחצי-סדירים (מוצקים אפלטוניים וארכימדיים), יחס הזהב ומספרי פיבונאצ'י.

אין ספק שכל אדם חשב יותר מפעם אחת על השאלה מדוע הטבע מסוגל ליצור מבנים הרמוניים מדהימים כל כך שמשמחים ומשמחים את העין. מדוע אמנים, משוררים, מלחינים, אדריכלים יוצרים יצירות אמנות מדהימות ממאה למאה. מהו סוד ההרמוניה שלהם ואילו חוקים עומדים בבסיס היצורים הרמוניים הללו?

החיפוש אחר החוקים הללו, "חוקי ההרמוניה של היקום", החל במדע העתיק. בתקופה זו של ההיסטוריה האנושית הגיעו מדענים למספר תגליות מדהימות שמחלחלות לכל ההיסטוריה של המדע. הראשון שבהם נחשב בצדק לפרופורציה מתמטית נפלאה המבטאת הרמוניה. קוראים לזה אחרת: "יחס הזהב" מספר זהב", "אמצעי זהב", "יחס הזהב"ואפילו "פרופורציה אלוהית"יחס הזהב נקרא גם מספר PHIלכבודו של הפסל היווני הקדום הגדול פידיאס, שהשתמש במספר זה בפסליו.

מותחן "צופן דה וינצ'י", שכתב הסופר האנגלי הפופולרי דן בראון, הפך לרב מכר של המאה ה-21. אבל מה המשמעות של צופן דה וינצ'י? ישנן תשובות שונות לשאלה זו. זה ידוע כי "חתך הזהב" המפורסם היה נושא תשומת הלב והקסם של לאונרדו דה וינצ'י. יתר על כן, עצם השם "חתך הזהב" הוכנס לתרבות האירופית על ידי לאונרדו דה וינצ'י. ביוזמתו של לאונרדו, פרסם המתמטיקאי והנזיר המדעי האיטלקי המפורסם לוקה פאציולי, חבר ויועץ מדעי של ליאונרדו דה וינצ'י, את הספר "דיווינה פרופורציונלית", היצירה המתמטית הראשונה בספרות העולמית על חתך הזהב, שהמחבר כינה "אלוהי". פּרוֹפּוֹרצִיָה". ידוע גם שליאונרדו עצמו אייר את הספר המפורסם הזה, וצייר עבורו 60 רישומים נפלאים. עובדות אלו, שאינן מוכרות היטב לקהילה המדעית הכללית, הן שנותנות לנו את הזכות להעלות את ההשערה ש"צופן דה וינצ'י" אינו אלא "יחס הזהב". ואישור להשערה זו ניתן למצוא בהרצאה לסטודנטים באוניברסיטת הרווארד, שמזכירה דמות ראשיתספרים "צופן דה וינצ'י" מאת פרופ. לנגדון:

"למרות המקורות הכמעט מיסטיים שלו, מספר PHI שיחק תפקיד ייחודי בדרכו שלו. תפקידה של לבנה ביסוד בניית כל החיים על פני כדור הארץ. כל הצמחים, החיות ואפילו בני האדם ניחנים בפרופורציות פיזיקליות השוות בקירוב לשורש היחס בין מספר PHI ל-1. נוכחות זו של PHI בטבע... מעידה על הקשר של כל היצורים החיים. בעבר האמינו שמספר ה-PHI נקבע מראש על ידי בורא היקום. מדענים מהעת העתיקה כינו נקודה אחת שש מאות ושמונה עשרה אלפיות "הפרופורציה האלוהית".

לפיכך, המספר האי-רציונלי המפורסם PHI = 1.618, אשר לאונרדו דה וינצ'י כינה "יחס הזהב", הוא "צופן דה וינצ'י"!

תגלית מתמטית נוספת של המדע העתיק היא פוליהדרה רגילה שנקראו בשמות "מוצקים אפלטוניים"ו "פוליהדרה רגילה למחצה", שקוראים לו "מוצקים ארכימדיים".הדמויות הגיאומטריות המרחביות היפות להפליא הללו הן שעומדות בבסיס שתיים מהתגליות המדעיות הגדולות ביותר של המאה ה-20 - קוואזי-גבישים(מחבר התגלית הוא הפיזיקאי הישראלי דן שכטמן) ו פולרנים(פרס נובל 1996). שתי התגליות הללו הן האישור המשמעותי ביותר לעובדה שפרופורציית הזהב היא הקוד האוניברסלי של הטבע ("צופן דה וינצ'י"), העומד בבסיס היקום.

גילוי הקוואזי-גבישים והפולרנים נתן השראה לאמנים עכשוויים רבים ליצור יצירות המתארות בצורה אמנותית את התגליות הפיזיקליות החשובות ביותר של המאה ה-20. אחד מהאמנים הללו הוא האמן הסלובני אמא טייה קראשק. המאמר הזהמציג את עולמה האמנותי של אמא טייה קראשק דרך הפריזמה של התגליות המדעיות האחרונות.

אדם מגלה עניין במצולעים רגילים ובפוליהדרות לאורך כל פעילותו המודעת - מילד בן שנתיים המשחק עם קוביות עץ ועד למתמטיקאי בוגר. חלק מהנכונים והחצי הגופים הנכוניםנמצאים בטבע בצורת גבישים, אחרים - בצורת וירוסים הניתנים לבדיקה באמצעות מיקרוסקופ אלקטרונים.

מהו פולידרון רגיל? פולידרון רגיל הוא פולידרון כזה, שכל פניו שוות (או חופפות) זה לזה ובו בזמן הם מצולעים רגילים. כמה פוליהדרות רגילות יש? במבט ראשון, התשובה לשאלה זו פשוטה מאוד – ישנם מצולעים רגילים כמו שיש. עם זאת, זה לא. באלמנטים של אוקלידס אנו מוצאים הוכחה קפדנית לכך שיש רק חמש פולי-הדרות רגילות קמורות, והפנים שלהן יכולות להיות רק שלושה סוגים של מצולעים רגילים: משולשים, ריבועיםו מחומשים (מחומשים רגילים).

ספרים רבים מוקדשים לתורת הפוליהדרה. אחד המפורסמים ביותר הוא ספרו של המתמטיקאי האנגלי M. Wenniger "Models of Polyhedra". ספר זה פורסם בתרגום לרוסית על ידי הוצאת מיר בשנת 1974. האפיגרף לספר הוא הצהרה של ברטרנד ראסל: "למתמטיקה יש לא רק אמת, אלא גם יופי גבוה - יופי מחודד וקפדני, טהור לעילא ושואף לשלמות אמיתית, האופיינית רק לדוגמאות הגדולות ביותר של אמנות."

הספר מתחיל בתיאור של מה שנקרא פוליהדרה רגילה, כלומר, פולי-הדרה שנוצרו על ידי המצולעים הרגילים הפשוטים ביותר מאותו סוג. הפוליהדרות הללו נקראות בדרך כלל מוצקים אפלטוניים(איור 1) , נקרא על שמו של הפילוסוף היווני הקדום אפלטון, שהשתמש בפוליהדרות רגילות שלו קוסמולוגיה.

תמונה 1.מוצקים אפלטוניים: (א) אוקטהדרון ("אש"), (ב) משושה או קובייה ("כדור הארץ"),

(ג) אוקטהדרון ("אוויר"), (ד) איקוסהדרון ("מים"), (ה) דודקהדרון ("מוח אוניברסלי")

נתחיל את השיקול שלנו עם פוליהדרה רגילה, שפניהם הם משולשים שווי צלעות.הראשון הוא אַרְבָּעוֹן(איור 1-א). בארבעהדרון, שלושה משולשים שווי צלעות נפגשים בקודקוד אחד; באותו זמן, הבסיסים שלהם יוצרים משולש שווה צלעות חדש. לטטרהדרון יש את מספר הפנים הקטן ביותר מבין המוצקים האפלטוניים והוא אנלוגי תלת מימדי לזה השטוח. משולש רגיל, בעל מספר הצלעות הקטן ביותר מבין מצולעים רגילים.

הגוף הבא, שנוצר על ידי משולשים שווי צלעות, נקרא אוקטהדרון(איור 1-ב). באוקטדרון נפגשים ארבעה משולשים בקודקוד אחד; התוצאה היא פירמידה עם בסיס מרובע. אם מחברים שתי פירמידות כאלה עם הבסיס שלהן, מקבלים גוף סימטרי עם שמונה פרצופים משולשים - אוקטהדרון.

עכשיו אתה יכול לנסות לחבר חמישה משולשים שווי צלעות בנקודה אחת. התוצאה תהיה דמות עם 20 פרצופים משולשים - איקוסהדרון(איור 1-ד).

צורת המצולע הרגילה הבאה היא: כיכר.אם נחבר שלושה ריבועים בנקודה אחת ואז נוסיף עוד שלושה, נקבל צורה מושלמת עם שש צלעות שנקראות משושהאוֹ קוּבִּיָה(איור 1-ג).

לבסוף, ישנה אפשרות נוספת לבניית פוליידרון רגיל, המבוססת על השימוש במצולע הרגיל הבא - מְחוּמָשׁ. אם נאסוף 12 מחומשים בצורה כזו ששלושה מחומשים נפגשים בכל נקודה, נקבל מוצק אפלטוני נוסף, שנקרא דודקהדרון(איור 1-ה).

המצולע הרגיל הבא הוא מְשׁוּשֶׁה. אולם אם נחבר שלושה משושים בנקודה אחת, נקבל משטח, כלומר אי אפשר לבנות ממשושים דמות תלת מימדית. כל מצולע רגיל אחר מעל משושה אינו יכול ליצור מוצקים כלל. משיקולים אלה עולה שיש רק חמש רב-הידרות רגילות, שפניהן יכולות להיות רק משולשים שווי צלעות, ריבועים ומחומשים.

יש קשרים גיאומטריים מדהימים בין כולם פוליהדרה רגילה. לדוגמה, קוּבִּיָה(איור 1-ב) ו אוקטהדרון(איור 1-ג) הם כפולים, כלומר. מתקבלים זה מזה אם לוקחים את מרכזי הכובד של הפנים של אחד כקודקודים של השני ולהיפך. באופן דומה כפול איקוסהדרון(איור 1-ד) ו דודקהדרון(איור 1-ה) . אַרְבָּעוֹן(איור 1-א) הוא כפול לעצמו. דודקהדרון מתקבל מקוביה על ידי בניית "גגות" על פניה (שיטה אוקלידית); קודקודי הטטרהדרון הם כל ארבעה קודקודים של הקובייה שאינם סמוכים בזוגיות לאורך קצה, כלומר, כל שאר הפוליהדרות הרגילות יכולות להיות מתקבל מהקובייה. עצם קיומן של רק חמש פולי-הדרות סדירות באמת מפתיעה - אחרי הכל, יש אינסוף מצולעים סדירים במישור!

מאפיינים מספריים של מוצקים אפלטוניים

מאפיינים מספריים עיקריים מוצקים אפלטונייםהוא מספר הצדדים של הפנים M,מספר הפרצופים הנפגשים בכל קודקוד, M,מספר פרצופים G, מספר קודקודים IN,מספר צלעות רומספר זוויות שטוחות Uעל פני השטח של פולידרון, אוילר גילה והוכיח את הנוסחה המפורסמת

B P + G = 2,

מספר חיבורים של קודקודים, קצוות ופנים של כל פוליהדרון קמור. המאפיינים המספריים לעיל ניתנים בטבלה. 1.

שולחן 1

מאפיינים מספריים של מוצקים אפלטוניים

יחס הזהב בדודקהדרון ובאיקוסהדרון

הדודקהדרון והאיקוסהדרון הכפול שלו (איור 1-d,e) תופסים מקום מיוחד בין מוצקים אפלטוניים. קודם כל, יש להדגיש כי הגיאומטריה דודקהדרוןו איקוסהדרוןקשור ישירות ליחס הזהב. אכן, קצוות דודקהדרון(איור 1-ה) הם מחומשים, כלומר מחומשים רגילים המבוססים על יחס הזהב. אם מסתכלים מקרוב על איקוסהדרון(איור 1-ד), אז אתה יכול לראות שבכל אחד מקודקודיו מתכנסים חמישה משולשים, שצלעותיהם החיצוניות נוצרות מְחוּמָשׁ. עובדות אלו לבדן מספיקות כדי לשכנע אותנו שיחס הזהב משחק תפקיד משמעותי בעיצוב של שני אלה מוצקים אפלטוניים.

אבל יש ראיות מתמטיות עמוקות יותר לתפקיד הבסיסי שמילא יחס הזהב ב איקוסהדרוןו דודקהדרון. ידוע שלגופים אלה יש שלושה ספירות ספציפיות. הכדור (הפנימי) הראשון כתוב בגוף ונוגע בפניו. הבה נסמן את הרדיוס של הכדור הפנימי הזה ב ר i. הכדור השני או האמצעי נוגע בצלעותיו. הבה נסמן את הרדיוס של כדור זה ב רמ.לבסוף, הכדור השלישי (החיצוני) מתואר סביב הגוף ועובר דרך קודקודיו. בואו נסמן את הרדיוס שלו ב Rc. בגיאומטריה הוכח כי ערכי הרדיוסים של הספירות המצוינות עבור דודקהדרוןו איקוסהדרון, בעל קצה של יחידת אורך, מתבטא דרך פרופורציית הזהב t (טבלה 2).

שולחן 2

יחס הזהב בספירות של הדודקהדרון והאיקוסהדרון


איקוסהדרון
דודקהדרון

שימו לב שהיחס בין רדיוסים = זהה לזה של איקוסהדרון, ועבור דודקהדרון. לפיכך, אם דודקהדרוןו איקוסהדרוןיש להם כדורים חרוטים זהים, אז גם הספירות המוקפות שלהם שווים זה לזה. ההוכחה לתוצאה מתמטית זו ניתנת ב התחלותאוקלידס.

בגיאומטריה ידועים יחסים אחרים דודקהדרוןו איקוסהדרון, המאשר את הקשר שלהם עם יחס הזהב. למשל, אם ניקח איקוסהדרוןו דודקהדרוןעם אורך הצלעות, שווה לאחד, ומחשבים את השטח והנפח החיצוניים שלהם, ואז הם באים לידי ביטוי באמצעות פרופורציית הזהב (טבלה 3).

שולחן 3

יחס הזהב בשטח החיצוני ובנפח של הדודקהדרון והאיקוסהדרון

	איקוסהדרון	דודקהדרון
אזור חיצוני

לפיכך, יש מספר עצום של מערכות יחסים שהושגו על ידי מתמטיקאים עתיקים, המאשרים את העובדה המדהימה שבדיוק יחס הזהב הוא החלק העיקרי של הדודקהדרון והאיקוסהדרון, ועובדה זו מעניינת במיוחד מנקודת המבט של מה שנקרא "דוקטרינה דודקהדרלית-איקוסהדרלית"אשר נבחן להלן.

הקוסמולוגיה של אפלטון

הפוליהדרות הרגילות שנדונו לעיל נקראות מוצקים אפלטוניים, שכן הם תפסו מקום חשוב בתפיסה הפילוסופית של אפלטון לגבי מבנה היקום.

אפלטון (427-347 לפנה"ס)

ארבעה רב-הדרונים גילמו בו ארבע מהויות או "יסודות". אַרְבָּעוֹןמְסוּמָל אֵשׁ, כיוון שהחלק העליון שלו מכוון כלפי מעלה; איקוסהדרון מים, כיוון שזהו הפולידרון "המיועל" ביותר; קוּבִּיָה כדור הארץ, כפולידרון ה"יציב" ביותר; אוקטהדרון אוויר, בתור הפולידרון הכי "אוורירי". הפוליהדרון החמישי דודקהדרון, גילם "כל מה שקיים", "מוח אוניברסלי", סימל את היקום כולו ונחשב הדמות הגיאומטרית העיקרית של היקום.

היוונים הקדמונים ראו ביחסים הרמוניים את הבסיס של היקום, ולכן ארבעת היסודות שלהם היו מחוברים בפרופורציה הבאה: אדמה/מים = אוויר/אש. האטומים של "היסודות" כוונו על ידי אפלטון בעיצורים מושלמים, כמו ארבעת המיתרים של לירה. הבה נזכור שהעיצור הוא עיצור נעים. בהקשר לגופים אלו, מן הראוי לומר שמערכת יסודות כזו, שכללה ארבעה יסודות – אדמה, מים, אוויר ואש, הוכרזה על ידי אריסטו. יסודות אלו נותרו ארבע אבני היסוד של היקום במשך מאות שנים. אפשר בהחלט לזהות אותם עם ארבעת מצבי החומר המוכרים לנו: מוצק, נוזלי, גזי ופלזמה.

לפיכך, היוונים הקדמונים קשרו את הרעיון של ההרמוניה "מקצה לקצה" של הקיום עם התגלמותו במוצקים האפלטוניים. גם השפעתו של ההוגה היווני המפורסם אפלטון השפיעה התחלותאוקלידס. ספר זה, שבמשך מאות שנים היה ספר הלימוד היחיד בגיאומטריה, מתאר קווים "אידיאליים" ודמויות "אידיאליות". השורה הכי "אידיאלית" היא יָשָׁר, והמצולע הכי "אידיאלי" הוא שווה צלעות,בעל צלעות שוות וזוויות שוות. ניתן לשקול את המצולע הרגיל הפשוט ביותר משולש שווה צלעות,מכיוון שיש לו את המספר הקטן ביותר של צדדים שיכולים להגביל חלק מהמטוס. אני תוהה מה התחלותאוקלידס מתחיל בתיאור הבנייה משולש רגילולסיים בלימוד של חמישה מוצקים אפלטוניים.שים לב ש מוצקים אפלטונייםהגמר, כלומר, הספר ה-13 מוקדש התחילאוקלידס. אגב, עובדה זו, כלומר, מיקום התיאוריה של פוליהדרה רגילה בספר האחרון (כלומר, כאילו החשוב ביותר) התחילאוקלידס, הוליד את המתמטיקאי היווני הקדום פרוקלוס, שהיה פרשן על אוקלידס, להעלות השערה מעניינת לגבי המטרות האמיתיות שאאוקלידס חתר אליהן בעת יצירתו. התחלות. לפי פרוקלוס, אוקלידס יצר התחלותלא למטרת הצגת הגיאומטריה ככזו, אלא לתת תיאוריה שיטתית שלמה של בניית דמויות "אידיאליות", בפרט חמש מוצקים אפלטוניים, בו זמנית מדגיש כמה מההישגים האחרונים במתמטיקה!

זה לא מקרי שאחד המחברים של גילוי הפולרנים, חתן פרס נובלהרולד קרוטו, בהרצאת נובל שלו, מתחיל את דבריו על סימטריה כ"בסיס התפיסה שלנו את העולם הפיזי" ו"תפקידה בניסיונות להסביר אותה באופן מקיף" עם מוצקים אפלטונייםו"אלמנטים של כל הדברים": "המושג של סימטריה מבנית מתחיל עוד בימי קדם..." את הדוגמאות המפורסמות ביותר ניתן למצוא כמובן ב"טימאוס" של אפלטון, שם בסעיף 53, המתייחס ליסודות, הוא כותב: "ראשית, לכל (! ) "כמובן, ברור שאש ואדמה, מים ואוויר הם גופים, וכל גוף מוצק" (!!) אפלטון דן בבעיות הכימיה בשפת ארבעת היסודות הללו ומחבר אותן עם ארבעת האפלטונים. מוצקים (באותה תקופה רק ארבעה, עד שהיפרכוס לא גילה את החמישי - הדודקהדרון). למרות שבמבט ראשון פילוסופיה כזו עשויה להיראות תמימה במקצת, היא מעידה על הבנה עמוקה של איך הטבע פועל בפועל."

פוליהדרה רגילה למחצה

ידועים עוד הרבה גופים מושלמים, הנקראים פוליהדרה סדירה למחצהאוֹ גופות ארכימדיות.יש להם גם את כל הזוויות הפולידריות שוות וכל הפנים הם מצולעים רגילים, אבל כמה סוגים שונים. ישנן 13 פולי-הדרות סדירות למחצה, שגילוין מיוחס לארכימדס.

ארכימדס (287 לפנה"ס - 212 לפנה"ס)

חבורה של מוצקים ארכימדייםניתן לחלק למספר קבוצות. הראשון שבהם מורכב מחמש פולי-הדרות, שמתקבלות מהן מוצקים אפלטונייםכתוצאה מהם גְמִימָה.גוף קטום הוא גוף שהחלק העליון נחתך. ל מוצקים אפלטונייםניתן לבצע חיתוך בצורה כזו שגם הפנים החדשות שיתקבלו וגם החלקים הנותרים של הישנים יהיו מצולעים רגילים. לְמָשָׁל, אַרְבָּעוֹן(איור 1-א) ניתן לקצץ כך שארבעת פניו המשולשים יהפכו לארבעה משושים, ונוסף אליהם ארבעה פנים משולשים רגילים. בדרך זו ניתן להשיג חמישה מוצקים ארכימדיים: טטרהדרון קטום, משושה קטום (קוביה), אוקטהדרון קטום, דודקהדרון קטוםו איקוסהדרון קטום(איור 2).


(א)	(ב)	(V)


(ז)	(ד)

איור 2. מוצקים ארכימדיים: (א) טטרהדרון קטום, (ב) קובייה קטומה, (ג) אוקטהדרון קטום, (ד) דודקהדרון קטום, (ה) איקוסהדרון קטום

בהרצאת נובל שלו, המדען האמריקני סמלי, אחד ממחברי הגילוי הניסיוני של פולרנים, מדבר על ארכימדס (287-212 לפנה"ס) בתור החוקר הראשון של פולידרות קטומות, במיוחד, איקוסהדרון קטוםעם זאת, עם הסתייגות שאולי ארכימדס לוקח קרדיט על כך ואולי, איקוסהדרונים נקטעו הרבה לפניו. די להזכיר את אלה שנמצאו בסקוטלנד ומתוארכים בסביבות שנת 2000 לפני הספירה. מאות חפצי אבן (ככל הנראה למטרות פולחן) בצורת כדורים ושונים polyhedra(גופים תחום מכל הצדדים על ידי שטוח קצוות), כולל איקוסהדרונים ודודקהדרונים. העבודה המקורית של ארכימדס, למרבה הצער, לא שרדה, ותוצאותיה הגיעו אלינו, כמו שאומרים, "יד שנייה". בתקופת הרנסנס הכל מוצקים ארכימדייםבזה אחר זה "התגלו" שוב. אחרי הכל, קפלר בשנת 1619 בספרו "הרמוניה עולמית" ("Harmonice Mundi") נתן תיאור מקיף של כל הסט של המוצקים הארכימדיים - פוליהדרות, שכל פנים שלה מייצגות שווה צלעות, וכל פסגותנמצאים במיקום שווה ערך (כמו אטומי פחמן במולקולת C 60). מוצקים ארכימדיים מורכבים משניים לפחות סוגים שוניםמצולעים, בניגוד ל-5 מוצקים אפלטוניים, שכל פניהם זהים (כמו במולקולת C 20, למשל).

איור 3. בניית האיקוסהדרון הקטום הארכימדי
מהאיקוסהדרון האפלטוני

אז איך לעצב ארכימדס קטוע איקוסהדרוןמ איקוסהדרון אפלטוני? התשובה מומחשת באמצעות איור. 3. אכן, כפי שניתן לראות מטבלה. 1, 5 פרצופים מתכנסים בכל אחד מ-12 הקודקודים של האיקוסהדרון. אם בכל קודקוד מנותקים 12 חלקים מהאיקוסהדרון באמצעות מטוס, אז נוצרים 12 פנים מחומשים חדשים. יחד עם 20 הפנים הקיימים, שאחרי חיתוך כזה הפכו ממשולשים למשושים, הם יהוו 32 פנים של האיקוסהדרון הקטום. במקרה זה, יהיו 90 קצוות ו-60 קודקודים.

עוד קבוצה מוצקים ארכימדייםמורכב משני גופים הנקראים כמעט רגיל polyhedra. החלקיק ה"מעין" מדגיש כי פניהם של רב-הידרים הללו הם מצולעים רגילים משני סוגים בלבד, כאשר כל פנים מסוג אחד מוקפים במצולעים מסוג אחר. שני הגופים האלה נקראים rhombicuboctahedronו איקוסידודקהדרון(איור 4).

איור 5. מוצקים ארכימדיים: (א) rhombocuboctahedron, (ב) rhombicosidodecahedron

לבסוף, ישנם שני שינויים שנקראים "סנוב" - אחד עבור הקובייה ( קוביית סנוב), השני עבור הדודקהדרון ( דודקהדרון עקום) (איור 6).


(א)	(ב)

איור 6.מוצקים ארכימדיים: (א) קוביית סבוב, (ב) דודקהדרון עטוי

בספרו הנ"ל של Wenniger, Models of Polyhedra (1974), הקורא יכול למצוא 75 דגמים שונים של פוליהדרות רגילות. "התיאוריה של הפוליהדרות, בפרט הפוליהדרות הקמורות, היא אחד הפרקים המרתקים ביותר בגיאומטריה"זו דעתו של המתמטיקאי הרוסי L.A. ליוסטרק, שעשה הרבה בתחום זה של המתמטיקה. התפתחות התיאוריה הזו קשורה לשמות של מדענים מצטיינים. יוהנס קפלר (1571-1630) תרם תרומה רבה לפיתוח תורת הפוליהדרה. פעם הוא כתב מערכון "על פתית שלג", שבו העיר את ההערה הבאה: "בין הגופים הרגילים, הראשון, ההתחלה והאב של השאר הוא הקובייה, ואם יורשה לי לומר, בן זוגה הוא האוקטהדרון, כי לאוקטהדרון יש כמה זוויות כמו לקובייה יש פנים."קפלר היה הראשון לפרסם רשימה מלאהשְׁלוֹשׁ עֶשׂרֵה מוצקים ארכימדייםונתן להם את השמות שבהם הם ידועים היום.

קפלר היה הראשון שחקר את מה שנקרא פוליהדרת כוכבים,שבניגוד למוצקים האפלטוניים והארכימדיים, הם פוליהדרות קמורות רגילות. בתחילת המאה הקודמת פיתח המתמטיקאי והמכונאי הצרפתי ל' פוינסו (1777-1859), שעבודותיו הגיאומטריות קשורות לפוליהדרות כוכביות, את עבודתו של קפלר וגילה את קיומם של שני סוגים נוספים של רב-הידרות רגילות שאינן קמורות. אז, הודות לעבודתם של קפלר ופוינסו, נודעו ארבעה סוגים של דמויות כאלה (איור 7). בשנת 1812, O. Cauchy הוכיח שאין פולי-הדרה רגילה אחרת.

איור 7.פוליהדרת כוכבים רגילה (מוצקי פוינסוט)

קוראים רבים עשויים לשאול: "מדוע ללמוד פוליהדרה רגילה בכלל? מה התועלת בהם? ניתן לענות על שאלה זו: "מה התועלת של מוזיקה או שירה? האם הכל יפה מועיל? מודלים של polyhedra המוצגים באיור. 1-7, מעל הכל, עושים עלינו רושם אסתטי ויכולים לשמש כקישוטים דקורטיביים. אבל למעשה, המראה הנרחב של פולידרות רגילות במבנים טבעיים גרמה לעניין עצום בענף הגיאומטריה הזה. מדע מודרני.

מהו לוח שנה?

פתגם רוסי אומר: "הזמן הוא עין ההיסטוריה". כל מה שקיים ביקום: השמש, כדור הארץ, כוכבים, כוכבי לכת, עולמות ידועים ולא ידועים, וכל מה שקיים בטבע של יצורים חיים ושאינם חיים, לכל דבר יש ממד מרחב-זמן. זמן נמדד על ידי התבוננות בתהליכים שחוזרים על עצמם מעת לעת למשך זמן מסוים.

אפילו בימי קדם, אנשים שמו לב שהיום תמיד מפנה את מקומו ללילה, והעונות חולפות ברצף קפדני: אחרי החורף בא האביב, אחרי האביב בא הקיץ, אחרי הקיץ בא הסתיו. בחיפוש אחר פתרון לתופעות אלו, האדם שם לב לגופים השמימיים - השמש, הירח, הכוכבים - ולמחזוריות הקפדנית של תנועותיהם על פני השמים. אלו היו התצפיות הראשונות שקדמו להולדתו של אחד המדעים העתיקים ביותר - האסטרונומיה.

האסטרונומיה מבססת את מדידת הזמן על תנועת גרמי השמיים, המשקפת שלושה גורמים: סיבוב כדור הארץ סביב צירו, סיבוב הירח סביב כדור הארץ ותנועת כדור הארץ סביב השמש. מושגי הזמן השונים תלויים על איזו מהתופעות הללו מבוססת מדידת הזמן. האסטרונומיה יודעת כּוֹכָבִיזְמַן, שִׁמשִׁיזְמַן, מְקוֹמִיזְמַן, מוֹתֶןזְמַן, חופשת לידהזְמַן, אָטוֹמִיזמן וכו'.

השמש, כמו כל מאורות אחרים, משתתפת בתנועה על פני השמים. בנוסף לתנועה היומית, לשמש יש מה שנקרא תנועה שנתית, וכל נתיב התנועה השנתית של השמש על פני השמים נקרא אקליפטיקה.אם, למשל, נבחין במיקום קבוצות הכוכבים בשעה ערב מסוימת, ולאחר מכן נחזור על התצפית זו מדי חודש, אז תופיע לפנינו תמונה אחרת של השמים. מראה השמים זרועי הכוכבים משתנה ללא הרף: לכל עונה יש תבנית משלה של קבוצות ערב, וכל תבנית כזו חוזרת על עצמה מדי שנה. כתוצאה מכך, לאחר שנה, השמש חוזרת למקומה המקורי ביחס לכוכבים.

כדי להקל על ההתמצאות בעולם המכוכב, אסטרונומים חילקו את כל השמים ל-88 קבוצות כוכבים. לכל אחד מהם יש שם משלו. מתוך 88 קבוצות הכוכבים, מקום מיוחד באסטרונומיה תופסים אלו שדרכם עובר האקליפטיקה. לקבוצות הכוכבים הללו, בנוסף לשמות שלהן, יש גם שם כללי - גַלגַל הַמַזָלוֹת(מהמילה היוונית "זופ" = חיה), וכן סמלים (סימנים) המוכרים ברחבי העולם ודימויים אלגוריים שונים הכלולים במערכות לוח שנה.

ידוע שבתהליך התנועה לאורך האקליפטיקה, השמש חוצה 13 קבוצות כוכבים. עם זאת, אסטרונומים מצאו צורך לחלק את נתיב השמש לא ל-13, אלא ל-12 חלקים, תוך שילוב של קבוצות הכוכבים עקרב ואופיוצ'וס לאחד תחת השם הכללי עקרב (למה?).

הבעיות של מדידת זמן מטופלות על ידי מדע מיוחד שנקרא כרונולוגיה.זה עומד בבסיס כל מערכות לוח השנה שנוצרו על ידי האנושות. יצירת לוחות שנה בימי קדם הייתה אחת המשימות החשובות ביותר של האסטרונומיה.

מהו "לוח שנה" ואילו סוגים קיימים? מערכות לוח שנה? מִלָה לוּחַ שָׁנָהמגיע מהמילה הלטינית קלנדריום, שפירושו המילולי הוא "פנקס חובות"; בספרים כאלה צוינו הימים הראשונים של כל חודש - קאלנדס,שבו ברומא העתיקה שילמו חייבים ריבית.

מאז ימי קדם במדינות מזרח ודרום מזרח אסיה בעת הידור לוחות שנה חשיבות רבהנתן מחזוריות לתנועות השמש, הירח וגם צדקו שַׁבְתַאִי, שני כוכבי לכת ענקיים של מערכת השמש. יש סיבה להאמין שהרעיון של יצירה לוח שנה ג'וביאניעם סמליות שמימית של מחזור החיות בן 12 השנים הקשור לסיבוב צדקסביב השמש, שעושה מהפכה שלמה סביב השמש תוך כ-12 שנים (11.862 שנים). מצד שני, כוכב הלכת הענק השני של מערכת השמש הוא שַׁבְתַאִיעושה מהפכה שלמה סביב השמש תוך כ-30 שנה (29.458 שנים). מתוך רצון ליצור הרמוניה בין מחזורי התנועה של כוכבי הלכת הענקיים, הסינים הקדמונים העלו את הרעיון להציג מחזור של 60 שנה של מערכת השמש. במהלך מחזור זה, שבתאי עושה 2 סיבובים מלאים סביב השמש, וצדק 5 סיבובים.

בעת יצירת לוחות שנה שנתיים, נעשה שימוש בתופעות אסטרונומיות: שינוי היום והלילה, שלבי הירח משתנים ושינוי עונות השנה. השימוש בתופעות אסטרונומיות שונות הוביל ליצירת שלושה סוגי לוחות שנה בקרב עמים שונים: יְרֵחִי,מבוסס על תנועת הירח, שִׁמשִׁי,מבוסס על תנועת השמש, ו lunisolar.

מִבְנֶה לוח שנה מצרי

אחד מלוחות השנה הסולאריים הראשונים היה מִצרִי, נוצר באלף הרביעי לפני הספירה. שנת הקלנדר המצרית המקורית כללה 360 ימים. השנה חולקה ל-12 חודשים של 30 ימים בדיוק. עם זאת, מאוחר יותר התגלה כי אורך זה של השנה הקלנדרית אינו מתאים לזה האסטרונומי. ואחר כך הוסיפו המצרים עוד 5 ימים לשנה הקלנדרית, שאמנם לא היו ימי החודש. זה היה 5 חגים, חיבור בין שנים קלנדריות שכנות. לפיכך, לשנת הלוח המצרי היה המבנה הבא: 365 = 12ґ 30 + 5. שימו לב שהלוח המצרי הוא אב הטיפוס של הלוח המודרני.

נשאלת השאלה: מדוע חילקו המצרים את השנה הקלנדרית ל-12 חודשים? הרי היו לוחות שנה עם מספר שונה של חודשים בשנה. לדוגמה, בלוח המאיה, השנה כללה 18 חודשים עם 20 ימים בחודש. השאלה הבאה לגבי לוח השנה המצרי: מדוע בכל חודש היו בדיוק 30 ימים (ליתר דיוק, ימים)? אפשר להעלות כמה שאלות גם לגבי מערכת מדידת הזמן המצרית, במיוחד לגבי הבחירה של יחידות זמן כמו שעה, דקה, שניה.בפרט נשאלת השאלה: מדוע נבחרה יחידת השעות בצורה כזו שהיא מתאימה בדיוק 24 פעמים ליום, כלומר, מדוע יום אחד = 24 (2½ 12) שעות? הבא: למה שעה אחת = 60 דקות, ודקה אחת = 60 שניות? אותן שאלות חלות על בחירת יחידות של כמויות זוויתיות, בפרט: מדוע מחולק המעגל ל-360°, כלומר למה 2p =360° =12ґ 30°? לשאלות אלו מתווספות אחרות, במיוחד: מדוע אסטרונומים מצאו לנכון להאמין שיש 12 גַלגַל הַמַזָלוֹתסימנים, אם כי למעשה, במהלך תנועתה לאורך האקליפטיקה, השמש חוצה 13 קבוצות כוכבים? ועוד שאלה "מוזרה": מדוע למערכת המספרים הבבלית היה בסיס מאוד יוצא דופן - המספר 60?

הקשר בין לוח השנה המצרי לבין המאפיינים המספריים של הדודקהדרון

בניתוח הלוח המצרי, כמו גם את המערכות המצריות למדידת זמן וערכי זווית, אנו מוצאים שארבעה מספרים חוזרים על עצמם בקביעות מדהימה: 12, 30, 60 והמספר הנגזר מהם 360 = 12ґ 30. נשאלת השאלה: הוא האם יש אז רעיון מדעי בסיסי שיכול לספק הסבר פשוט והגיוני לשימוש במספרים אלה במערכות מצריות?

כדי לענות על שאלה זו, הבה נפנה שוב דודקהדרון, מוצג באיור. 1-ד. נזכיר שכל היחסים הגיאומטריים של הדודקהדרון מבוססים על יחס הזהב.

האם המצרים הכירו את הדודקהדרון? היסטוריונים של מתמטיקה מודים שלמצרים הקדמונים היה מידע על פולי-הדרה רגילה. אבל האם הם הכירו את כל חמשת הפוליהדרות הרגילות, במיוחד דודקהדרוןו איקוסהדרוןמהם הקשים ביותר? המתמטיקאי היווני הקדום פרוקלוס מייחס לפיתגורס את בניית הפוליהדרות הרגילות. אבל משפטים ותוצאות מתמטיים רבים (במיוחד משפט פיתגורס) פיתגורס שאל מהמצרים הקדמונים במהלך "נסיעת העסקים" הארוכה מאוד שלו למצרים (לפי מידע מסוים, פיתגורס חי במצרים 22 שנים!). לכן, אפשר להניח שגם פיתגורס שאל ידע על פולי-הדרות רגילות מהמצרים הקדמונים (ואולי מהבבלים הקדמונים, כי לפי האגדה, פיתגורס חי בבבל הקדומה 12 שנים). אבל יש ראיות אחרות ומשכנעות יותר לכך שלמצרים היה מידע על כל חמש הפוליהדרות הרגילות. בפרט, המוזיאון הבריטי מכיל קובייה מתקופת תלמי, שיש לה את הצורה איקוסהדרון, כלומר, ה"סוליד האפלטוני", הכפול דודקהדרון. כל העובדות הללו נותנות לנו את הזכות להעלות את ההשערה ש הדודקהדרון היה ידוע למצרים.ואם זה כך, הרי שמערכת הרמונית מאוד נובעת מהשערה זו, המאפשרת לנו להסביר את מקור הלוח המצרי, ובמקביל את מקורה של המערכת המצרית של מדידת מרווחי זמן וזוויות גיאומטריות.

בעבר, קבענו שלדודקהדרון יש 12 פנים, 30 קצוות ו-60 זוויות שטוחות על פני השטח שלו (טבלה 1). על סמך ההשערה שהמצרים ידעו דודקהדרוןוהמאפיינים המספריים שלו הם 12, 30. 60, אז מה הייתה ההפתעה שלהם כשהם גילו שאותם מספרים מבטאים את המחזורים של מערכת השמש, כלומר, מחזור 12 השנים של צדק, מחזור 30 השנים של שבתאי ו, לבסוף, מחזור הקיץ בן 60 השנים של מערכת השמש. לפיכך, בין דמות מרחבית מושלמת כמו דודקהדרון, ומערכת השמש, יש קשר מתמטי עמוק! מסקנה זו נעשתה על ידי מדענים עתיקים. זה הוביל לעובדה ש דודקהדרוןאומצה כ"דמות הראשית" שסימלה הרמוניה של היקום. ואז החליטו המצרים שכל המערכות העיקריות שלהם (מערכת לוח שנה, מערכת מדידת זמן, מערכת מדידת זווית) צריכות להתאים לפרמטרים מספריים דודקהדרון! מאחר שלטענת הקדמונים, תנועת השמש לאורך האקליפטיקה הייתה מעגלית לחלוטין, אז, על ידי בחירת 12 סימני גלגל המזלות, שמרחק הקשת ביניהם היה בדיוק 30°, המצרים תיאמו בצורה מפתיעה את התנועה השנתית של השמש. לאורך האקליפטיקה עם מבנה השנה הקלנדרית שלהם: חודש אחד התאים לתנועת השמש לאורך האקליפטיקה בין שני המזלות השכנים של גלגל המזלות!יתרה מכך, תנועת השמש במעלה אחת תאמה ליום אחד בשנת הקלנדר המצרי! במקרה זה, האקליפטיקה חולקה אוטומטית ל-360°. לאחר שחילקו כל יום לשני חלקים, בעקבות הדודקהדרון, חילקו המצרים כל חצי יום ל-12 חלקים (12 פרצופים דודקהדרון) ובכך הוצג שָׁעָה- יחידת הזמן החשובה ביותר. חלוקת שעה אחת ל-60 דקות (60 זוויות מישור על פני השטח דודקהדרון), הציגו המצרים בדרך זו דַקָה- יחידת הזמן החשובה הבאה. באותו אופן שהם הציגו תן לי שנייה- יחידת הזמן הקטנה ביותר לאותה תקופה.

לפיכך, בחירה דודקהדרוןכדמות ה"הרמונית" הראשית של היקום, ובאופן קפדני לפי המאפיינים המספריים של הדודקהדרון 12, 30, 60, הצליחו המצרים לבנות לוח שנה הרמוני ביותר, כמו גם מערכות למדידת זמן וערכי זווית. מערכות אלו היו עקביות לחלוטין עם "תורת ההרמוניה" שלהן, בהתבסס על פרופורציית הזהב, שכן פרופורציה זו היא העומדת בבסיס דודקהדרון.

אלו המסקנות המפתיעות הנובעות מההשוואה: דודקהדרוןעם מערכת השמש. ואם ההשערה שלנו נכונה (שמישהו ינסה להפריך אותה), אז מכאן נובע שבמשך אלפי שנים האנושות חיה תחת הסימן של יחס הזהב! ובכל פעם שאנו מסתכלים על החוגה של השעון שלנו, שבנוי גם הוא על שימוש במאפיינים מספריים דודקהדרון 12, 30 ו -60, אנחנו נוגעים ב"תעלומת היקום" הראשית - יחס הזהב, אפילו בלי לדעת את זה!

ב-12 בנובמבר 1984, מאמר קצר שפורסם בכתב העת היוקרתי Physical Review Letters מאת הפיזיקאי הישראלי דן שכטמן סיפק עדויות ניסיוניות לקיומה של סגסוגת מתכת בעלת תכונות יוצאות דופן. כאשר נחקרה על ידי שיטות עקיפה של אלקטרונים, סגסוגת זו הראתה את כל הסימנים של גביש. דפוס העקיפה שלו מורכב מנקודות בהירות וברווחים קבועים, ממש כמו גביש. עם זאת, תמונה זו מאופיינת בנוכחות של סימטריה "איקוסהדרלית" או "חומשת", האסורה בהחלט בגביש מסיבות גיאומטריות. סגסוגות יוצאות דופן כאלה נקראו קוואזי-גבישים.תוך פחות משנה התגלו סגסוגות רבות אחרות מסוג זה. היו כל כך הרבה כאלה שהמצב הכמו-גבישי התברר כנפוץ הרבה יותר ממה שאפשר לדמיין.

הפיזיקאי הישראלי דן שכטמן

המושג קוואזי-גביש הוא בעל עניין מהותי מכיוון שהוא מכליל ומשלים את ההגדרה של גביש. התיאוריה המבוססת על מושג זה מחליפה את הרעיון הוותיק של "יחידה מבנית שחוזרת על עצמה במרחב באופן תקופתי בהחלט" במושג המפתח הזמנה לטווח ארוך.כפי שהודגש במאמר "קוואזיקריסטלים" מאת הפיזיקאי המפורסם D. Gratia, "המושג הזה הוביל להתרחבות הקריסטלוגרפיה, שאת עושרה החדש שהתגלה אנחנו רק מתחילים לחקור. ניתן להשוות את חשיבותו בעולם המינרלים לתוספת המושג של מספרים אי-רציונליים למספרים רציונליים במתמטיקה".

מהו קוואזי-קריסטל? מהן תכונותיו וכיצד ניתן לתאר אותה? כאמור לעיל, לפי החוק הבסיסי של הקריסטלוגרפיהמגבלות קפדניות מוטלות על מבנה הגביש. על פי מושגים קלאסיים, גביש מורכב עד אינסוף מתא בודד, שאמור "לכסות" בחוזקה (פנים אל פנים) את כל המישור ללא כל הגבלה.

כידוע, מילוי צפוף של המטוס יכול להתבצע באמצעות משולשים(איור 7-א), ריבועים(איור 7-ב) ו משושים(איור 7-ד). על ידי שימוש ב מחומשים (מחומשים) מילוי כזה הוא בלתי אפשרי (איור 7-ג).


א)	ב)	V)	ז)

איור 7.מילוי צפוף של המישור יכול להיעשות באמצעות משולשים (א), ריבועים (ב) ומשושים (ד)

אלה היו הקנונים של הקריסטלוגרפיה המסורתית, שהתקיימה לפני גילויה של סגסוגת יוצאת דופן של אלומיניום ומנגן, הנקראת קוואזי-גביש. סגסוגת כזו נוצרת על ידי קירור מהיר במיוחד של ההיתוך בקצב של 10 6 K לשנייה. יתרה מכך, במהלך מחקר עקיפה של סגסוגת כזו, מופיעה תבנית מסודרת על המסך, האופיינית לסימטריה של איקוסהדרון, בעלת צירי הסימטריה האסורים המפורסמים מסדר 5.

במהלך השנים הבאות, כמה קבוצות מדעיות ברחבי העולם חקרו סגסוגת יוצאת דופן זו באמצעות מיקרוסקופ אלקטרוני ברזולוציה גבוהה. כולם אישרו את ההומוגניות האידיאלית של החומר, שבה נשמרה סימטריה מסדר חמישי באזורים מקרוסקופיים עם ממדים קרובים לאלו של אטומים (כמה עשרות ננומטרים).

על פי השקפות מודרניות, פותח המודל הבא לקבלת מבנה הגבישי של קוואזי-גביש. מודל זה מבוסס על הרעיון של "אלמנט בסיסי". לפי מודל זה, איקוסהדרון פנימי של אטומי אלומיניום מוקף באיקוסהדרון חיצוני של אטומי מנגן. איקוזהדרונים מחוברים על ידי אוקטהדרה של אטומי מנגן. "יסוד הבסיס" מכיל 42 אטומי אלומיניום ו-12 אטומי מנגן. במהלך תהליך ההתמצקות מתרחשת היווצרות מהירה של "אלמנטים בסיסיים", המחוברים במהירות זה לזה על ידי "גשרים" אוקטהדרלים נוקשים. נזכיר שהפנים של האיקוסהדרון הם משולשים שווי צלעות. על מנת שייווצר גשר מנגן אוקטהדרלי, יש צורך ששני משולשים כאלה (אחד בכל תא) יתקרבו מספיק זה לזה ויסתדרו במקביל. כתוצאה מכך תהליך פיזיונוצר מבנה קוואזי-גבישי עם סימטריה "איקוסהדרלית".

בעשורים האחרונים התגלו סוגים רבים של סגסוגות קוואזי-גבישיות. בנוסף לאלו שיש להם סימטריה "איקוסהדרלית" (מסדר 5), ישנן גם סגסוגות בעלות סימטריה עשרונית (סדר 10) וסימטריה דודקגונלית (סדר 12). התכונות הפיזיקליות של קוואזי-גבישים החלו להיחקר רק לאחרונה.

מהי המשמעות המעשית של גילוי קוואזי-גבישים? כפי שצוין במאמרו של גרטיה שהוזכר לעיל, "החוזק המכני של סגסוגות קוואזי-גבישיות עולה בחדות; היעדר מחזוריות מוביל להאטה בהתפשטות הנקעים בהשוואה למתכות קונבנציונליות... לתכונה זו חשיבות מעשית רבה: השימוש בשלב האיקוסהדרלי יאפשר להשיג סגסוגות קלות וחזקות מאוד על ידי החדרת חלקיקים קטנים של קוואזי-גבישים לתוך מטריצת האלומיניום."

מהי המשמעות המתודולוגית של גילוי קוואזי-גבישים? קודם כל, גילוי הקוואזי-גבישים הוא רגע של ניצחון גדול של "דוקטרינת הדודקהדרלית-יקוזהדרלית", שמחלחלת לכל ההיסטוריה של מדעי הטבע ומהווה מקור לרעיונות מדעיים עמוקים ושימושיים. שנית, קוואזי-גבישים הרסו את הרעיון המסורתי של פער בלתי עביר בין עולם המינרלים, שבו נאסרה סימטריה "מחומשת", לבין עולם הטבע החי, שבו הסימטריה ה"מחומשת" היא אחת הנפוצות ביותר. ואסור לשכוח שהחלק העיקרי של האיקוסהדרון הוא "יחס הזהב". וגילוי הקוואזי-גבישים הוא אישור מדעי נוסף לכך שאולי "פרופורציית הזהב", המתבטאת הן בעולם הטבע החי והן בעולם המינרלים, היא החלק העיקרי של היקום.

כאשר דן שכטמן נתן הוכחה ניסיונית לקיומם של קוואזי-גבישים עם סימטריה איקוסהדרלית, פיזיקאים בחיפוש אחר הסבר תיאורטי לתופעת הקוואזי-גבישים, משכו את תשומת הלב לתגלית מתמטית שעשה 10 שנים קודם לכן המתמטיקאי האנגלי רוג'ר פנרוז. כ"אנלוגי שטוח" של קוואזי-גבישים, בחרנו אריחי פנרוז, שהם מבנים סדירים א-מחזוריים הנוצרים על ידי מעוינים "עבים" ו"דקים", המצייתים לפרופורציות של "חתך הזהב". בְּדִיוּק אריחי פנרוזאומצו על ידי קריסטלוגרפים כדי להסביר את התופעה קוואזי-גבישים. במקביל, התפקיד יהלומי פנרוזבמרחב של תלת מימד החלו לשחק איקוסהדרונים, בעזרתו מתבצע מילוי צפוף של חלל תלת מימדי.

בואו נסתכל מקרוב על המחומש באיור. 8.

הספרה 8.מְחוּמָשׁ

לאחר ציור אלכסונים בו, ניתן לייצג את המחומש המקורי כשילוב של שלושה סוגים צורות גיאומטריות. במרכז יש מחומש חדש שנוצר על ידי נקודות החיתוך של האלכסונים. בנוסף, הפנטגון באיור. 8 כולל חמישה משולשים שווה שוקיים בצבע צהוב וחמישה משולשים שווה שוקיים בצבע אדום. משולשים צהובים הם "זהובים" כי היחס בין הירך לבסיס שווה ליחס הזהב; יש להם זוויות חדות של 36° בקודקוד וזוויות חדות של 72° בבסיס. משולשים אדומים הם גם "זהובים", שכן היחס בין הירך לבסיס שווה ליחס הזהב; יש להם זווית קהה של 108° בקודקוד וזווית חדה של 36° בבסיס.

כעת נחבר שני משולשים צהובים ושני משולשים אדומים עם הבסיסים שלהם. כתוצאה מכך נקבל שניים מעוין "זהוב".. לראשון (צהוב) יש פינה חדהב-36° ובזווית קהה ב-144° (איור 9).


(א)	(ב)

איור 9."מעוינים זהובים: א) מעוינים "דקים"; (ב) מעוין "עבה".

יהלום באיור. נקרא לזה 9 מעוין דק,והמעוין באיור. 9-ב - מעוין עבה.

המתמטיקאי והפיזיקאי האנגלי רוג'רס פנרוז השתמש ביהלומים "זהובים" באיור. 9 לבניית פרקט "זהוב", אשר נקרא אריחי פנרוז.אריחי פנרוז הם שילוב של יהלומים עבים ודקים, המוצגים באיור. 10.

איור 10. אריחי פנרוז

חשוב להדגיש זאת אריחי פנרוזיש סימטריה "מחומשת" או סימטריה מסדר 5, והיחס בין מספר המעוינים העבים לרזים נוטה ליחס הזהב!

עכשיו בואו נדבר על עוד תגלית מודרנית יוצאת דופן בתחום הכימיה. תגלית זו התגלתה בשנת 1985, כלומר מספר שנים לאחר קוואזי-גבישים. אנחנו מדברים על מה שנקרא "פולרנים". המונח "פולרנים" מתייחס למולקולות סגורות מסוג C 60, C 70, C 76, C 84, שבהן כל אטומי הפחמן ממוקמים על משטח כדורי או כדורי. במולקולות אלו, אטומי הפחמן מסודרים בקודקודים של משושים רגילים או מחומשים המכסים את פני השטח של כדור או כדור. המקום המרכזי בין פולרנים תופס על ידי מולקולת C 60, המאופיינת בסימטריה הגדולה ביותר וכתוצאה מכך, ביציבות הגדולה ביותר. במולקולה זו, הדומה לצמיג של כדור כדורגל ובעלת מבנה של איקוסהדרון קטום רגיל (איור 2-e ואיור 3), אטומי הפחמן ממוקמים על משטח כדורי בקודקודים של 20 משושים רגילים. 12 מחומשים רגילים כך שכל משושה גובל בשלושה משושים ושלושה מחומשים, וכל מחומש גובל במשושים.

המונח "פולרן" מקורו בשמו של האדריכל האמריקאי באקמינסטר פולר, אשר, מסתבר, השתמש במבנים כאלה בעת בניית כיפות מבנים (שימוש נוסף באיקוסהדרון הקטום!).

"פולרנים" הם בעצם מבנים "מעשה ידי אדם" הנובעים ממחקר פיזיקה בסיסי. הם סונתזו לראשונה על ידי המדענים ג'י קרוטו ור' סמלי (שקיבלו את פרס נובל ב-1996 על תגלית זו). אבל הם התגלו באופן בלתי צפוי בסלעים מהתקופה הקדם-קמבריית, כלומר, התברר שהפולרנים הם לא רק "מעשה ידי אדם", אלא תצורות טבעיות. פולרנים נחקרים כעת באופן אינטנסיבי במעבדות. מדינות שונות, מנסים לקבוע את תנאי היווצרותם, המבנה, המאפיינים ותחומי היישום האפשריים שלהם. הנציג הנחקר ביותר של משפחת הפולרן הוא פולרן-60 (C 60) (הוא נקרא לפעמים Buckminster fullerene. ידועים גם פולרן C 70 ו-C 84. פולרן C 60 מתקבל על ידי אידוי גרפיט באווירת הליום. זה מייצר אבקה עדינה דמוית פיח, המכילה 10% פחמן; כאשר היא מומסת בבנזן, האבקה נותנת תמיסה אדומה, ממנה גדלים גבישי C 60. לפולרנים יש כימיקלים יוצאי דופן תכונות גשמיות. כן מתי לחץ דם גבוהמגיל 60 זה הופך להיות קשה כמו יהלום. המולקולות שלו יוצרות מבנה גבישי, כאילו מורכב מכדורים חלקים לחלוטין, המסתובבים בחופשיות בסריג מעוקב במרכז הפנים. הודות לתכונה זו, C 60 יכול לשמש כחומר סיכה מוצק. לפולרנים יש גם תכונות מגנטיות ומוליכות-על.

המדענים הרוסים A.V. אלצקי וב.מ. סמירנוב במאמרו "Fullerenes", שפורסם בכתב העת "Uspekhi Fizicheskikh Nauk" (1993, כרך 163, מס' 2), ציין כי "פולרנים, שקיומם התקבע באמצע שנות ה-80, וטכנולוגיית בידוד יעילה שעבורה פותחה ב-1990, הפכה כעת לנושא של מחקר אינטנסיבי של עשרות קבוצות מדעיות. תוצאות מחקרים אלו מנוטרות מקרוב על ידי חברות יישומים. מכיוון ששינוי זה של פחמן הציג בפני מדענים מספר הפתעות, לא יהיה זה חכם לדון בתחזיות ו השלכות אפשריותלומדים פולרנים בעשור הבא, אבל אנחנו צריכים להיות מוכנים להפתעות חדשות".

Matjuska Teja Krasek קיבלה תואר ראשון בציור מהמכללה לאמנויות חזותיות (לובליאנה, סלובניה) והיא אמנית עצמאית. חי ועובד בלובליאנה. התיאורטי שלה ו עבודה מעשיתמתמקד בסימטריה כמושג מחבר בין אמנות למדע. עבודותיה האמנותיות הוצגו בתערוכות בינלאומיות רבות ופורסמו במגזינים בינלאומיים (לאונרדו ג'ורנל, לאונרדו און ליין).

מ.ט. קראשק בתערוכתו 'ניחוחות קלידוסקופיים', לובליאנה, 2005

היצירתיות האמנותית של אמא טייה קראשק קשורה לסוגים שונים של סימטריה, אריחי פנרוז ומעוינים, קוואזי-גבישים, יחס הזהב כמרכיב העיקרי של סימטריה, מספרי פיבונאצ'י וכו'. בעזרת השתקפות, דמיון ואינטואיציה היא מנסה בחר מערכות יחסים חדשות, רמות חדשות של מבנה, סוגים חדשים ושונים של סדר באלמנטים ובמבנים אלה. בעבודותיה היא משתמשת באופן נרחב בגרפיקה ממוחשבת כמאוד תרופה שימושיתליצור יצירות אמנות שמגשרות על הפער בין מדע, מתמטיקה ואמנות.

באיור. 11 מציג את ההרכב של ת.מ. קראשק קשור למספרי פיבונאצ'י. אם נבחר באחד ממספרי פיבונאצ'י (לדוגמה, 21 ס"מ) עבור אורך הצלע של היהלום פנרוז בקומפוזיציה הלא יציבה המוחשית הזו, נוכל לראות כיצד האורכיים של חלק מהקטעים בהרכב יוצרים רצף פיבונאצ'י.

איור 11.אמא טייה קראשק "מספרי פיבונאצ'י", בד, 1998.

חלק גדול מהחיבורים האמנותיים של האמן מוקדשים לקוואזי-גבישים שכטמן ולסריגים של פנרוז (איור 12).


(א)	(ב)


(V)	(ז)

איור 12.עולמו של טייה קראשק: (א) עולם הקוואזי-גבישים. גרפיקה ממוחשבת, 1996.
(ב) כוכבים. גרפיקה ממוחשבת, 1998 (ג) 10/5. קנבס, 1998 (ד) קוואזי-קובייה. קנבס, 1999

החיבור של אמא תייה קראשק וקליפורד פיקובר Biogenesis, 2005 (איור 13) כולל דקאגון המורכב מיהלומי פנרוז. ניתן לראות את היחסים בין המעוינים של פטרוז; כל שני יהלומי פנרוז סמוכים יוצרים כוכב מחומש.

איור 13.אמא תייה קראשק וקליפורד פיקובר. ביוגנזה, 2005.

בתמונה כוכב כפול GA(איור 14) אנו רואים כיצד אריחי פנרוז משתלבים ויוצרים ייצוג דו-ממדי של עצם בעל פוטנציאל היפר-ממדי עם בסיס עשר-גוני. כאשר תיאר את הציור, האמן השתמש בשיטת הקצה הנוקשה שהציע לאונרדו דה וינצ'י. שיטת תיאור זו היא המאפשרת לראות בהקרנה של התמונה על מטוס מספר רב של מחומשים ומחומשים, שנוצרים על ידי הקרנות של קצוות בודדים של מעוינים פנרוז. בנוסף, בהקרנה של התמונה על מטוס אנו רואים דקאגון שנוצר על ידי קצוות של 10 מעוינים סמוכים של פנרוז. בעיקרו של דבר, בתמונה זו, אמא טייה קראשק מצאה פולידרון רגיל חדש, אשר בהחלט קיים בטבע.

איור 14.אמא טייה קראשק. כוכב כפול GA

בקומפוזיציה של קראשק "כוכבים לדונלד" (איור 15) אנו יכולים לצפות באינטראקציה האינסופית של מעוינים פנרוז, מחומשים, מחומשים, הולכים ופוחתים לכיוון הנקודה המרכזית של הקומפוזיציה. יחסי הזהב מיוצגים בדרכים רבות ושונות בסולמות שונים.

איור 15.אמא תיאה קראשק "כוכבים לדונלד", גרפיקה ממוחשבת, 2005.

היצירות האמנותיות של האם טייה קראשק משכו תשומת לב רבה מצד נציגי המדע והאמנות. האמנות שלה משולה לאמנותו של מאוריט Escher והאמן הסלובני נקרא "Escher Escher" ו"המתנה הסלובנית" לאמנות העולם.

סטחוב א.פ. "צופן דה וינצ'י", מוצקים אפלטוניים וארכימדיים, קוואזיסטלים, פולרנים, סריג פנרוז ועולמה האמנותי של האם טייה קראשק // "האקדמיה לטריניטריות", מ', אל מס' 77-6567, פאב 12561, 07.11. 2005

מצולע רגיל הוא דמות שטוחה התחום בקווים ישרים בעלי צלעות שוות וזוויות פנימיות שוות. ברור שיש אינסוף דמויות כאלה. אנלוגי של מצולע רגיל במרחב תלת מימדי הוא פוליהדרון רגיל: דמות מרחבית בעלת פנים זהות בצורת מצולעים רגילים וזוויות פוליהדרליות זהות בקודקודים. במבט ראשון, אולי נראה שיש גם אינסוף של פולי-הדרות, אבל למעשה הם, כפי שניסח זאת לואיס קרול פעם, "מעטים בהתרסה". ישנן רק חמש פוליהדרות קמורות רגילות: טטרהדרון רגיל, קובייה, אוקטהדרון, דודקהדרון ואיקוסהדרון (איור 90).

המחקר השיטתי הראשון של חמשת הגופים הרגילים נערך ככל הנראה בימי קדם על ידי הפיתגוראים. לפי השקפותיהם, הטטרהדרון, הקובייה, האוקטהדרון והאיקוסהדרון עומדים בבסיס ארבעת היסודות המסורתיים: אש, אדמה, אוויר ומים. מסיבות לא ידועות, הפיתגוראים זיהו את דודקאר עם היקום כולו. מכיוון שהשקפותיהם של הפיתגוראים מפורטות בפירוט בדיאלוג של אפלטון טימאוס, פולי-הדרות רגילות נקראות בדרך כלל מוצקים אפלטוניים. היופי והתכונות המתמטיות המדהימות של חמשת הגופים הרגילים משכו שוב ושוב את תשומת לבם של מדענים גם אחרי אפלטון. הניתוח של המוצקים האפלטוניים הוא שיאו של הספר האחרון של היסודות של אוקלידס. בצעירותו האמין יוהנס קפלר שניתן להשיג את המרחקים בין מסלוליהם של ששת כוכבי הלכת הידועים בתקופתו על ידי רישום של חמישה גופים רגילים בסדר מסוים למסלולו של שבתאי. כיום, מתמטיקאים אינם מייחסים למוצקים אפלטוניים תכונות מיסטיות, אלא חוקרים את תכונות הסימטריה של רב-הידרות הרגילות באמצעות שיטות תורת הקבוצות. גם למוצקים אפלטוניים יש תפקיד משמעותי ב מתמטיקה משעשעת. הבה נבחן, לפחות בקצרה, כמה בעיות קשורות.

ישנן ארבע דרכים שונות לחתוך מעטפה סגורה ולקפל אותה לטטרהדרון. הנה הפשוטה מביניהם. משני צידי המעטפה באותו קצה, ציירו משולש שווה צלעות (איור 91) וחתכו את המעטפה לאורך הקו המקווקו. אנחנו לא צריכים את החצי הימני שלו, אבל נכופף את החצי השמאלי לאורך צלעות המשולש המצויר (משני צידי המעטפה) ונשלב את נקודות A ו-B. הטטרהדרון מוכן!

הפאזל המוצג באיור. 92, קשור גם לטטרהדרון. הסריקה המוצגת באיור. 92 משמאל, ניתן לחתוך מפלסטיק או מנייר עבה. בצע שתי סריקות כאלה. (בציור, כל הקווים המקווקוים, למעט אחד, הארוך במידה ניכרת מהאחרים, הם בעלי אותו אורך.) הבה נקפל את הסריקה, נכופף אותה לאורך הקווים המצוינים בציור. הקצוות המצטלבים זה עם זה לאורך הקצוות המוצגים בשרטוט כקו אחיד מודבקים יחד עם סרט דבק. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הגוף הגיאומטרי המוצג באיור. 92 מימין. אתה צריך לנסות ליצור טטרהדרון משני גופים כאלה. מתמטיקאי שאני מכיר אוהב להציק לחבריו בבדיחה די שטוחה. הוא מרכיב שני דגמים משתי דגמים, מכין מהם טטרהדרון ומניח אותו על השולחן, ומחזיק בדיסקרטיות את התבנית השלישית בידו. ואז, במכת ידו, הוא משטח את הטטרהדרון ובמקביל מניח את הפיתוח השלישי על השולחן. די ברור שחבריו אינם יכולים להרכיב טטרהדרון משלושה בלוקים.

ממגוון משימות משעשעותהקשור לקובייה, אזכיר רק את הפאזל של חישוב העכבה של מעגל חשמלי שנוצר בקצוות של קוביית חוט, ואת העובדה המדהימה שהקוביה יכולה לעבור דרך חור בקובייה קטנה יותר. למעשה, אם תיקחו את הקוביה כך שאחד מקודקודיה מכוון ישירות אליכם, והקצוות יוצרים משושה רגיל, תראו שבקטע הניצב לקו הראייה יש מספיק מקום לחור מרובע. הוא מעט גדול מהקצה של הקובייה עצמה. הפאזל החשמלי כולל את המעגל המוצג באיור. 93. ההתנגדות של כל קצה של קובייה היא אוהם אחד. מהי ההתנגדות של המעגל כולו אם זרם זורם מ-A ל-B? מהנדסי חשמל מיצו הרבה נייר בניסיון לפתור את הבעיה הזו, אם כי בגישה הנכונה לא קשה למצוא פתרון.

כל חמשת המוצקים האפלטוניים שימשו כקוביות. לאחר הקובייה, קוביות בצורת אוקטהדרון הפכו לפופולריות ביותר. כיצד להכין עצם כזו מוצג באיור. 94. לאחר שצייר וגזר את הרצועה ומספר את הקצוות, היא מקופלת לאורך הקצוות, והקצוות ה"פתוחים" מודבקים יחד עם סרט שקוף. כתוצאה מכך נוצר אוקטהדרון מיניאטורי. סכום הנקודות על פניים מנוגדים של קובייה אוקטהדרלית, כמו קובייה רגילה, הוא שבע. אם תרצה, תוכל להשתמש בקוביות חדשות כדי לבצע טריק מצחיק עם ניחוש המספר המיועד. בקשו ממישהו לנחש מספר כלשהו מ-0 עד 7. הניחו את האוקטהדרון על השולחן כך שהמנחש יוכל לראות רק את הצדדים עם המספרים 1, 3, 5 ו-7, ושאלו אם הוא יכול לראות את המספר שחשב עליו. אם הוא עונה בחיוב, אתם זוכרים לעצמכם את הספרה 1. לאחר מכן אתם הופכים את האוקטהדרון כדי שהאדם המנחש יוכל לראות את הפרצופים עם המספרים 2, 3, 6 ו-7, ושואלים שוב את אותה שאלה. הפעם, תשובה חיובית פירושה שעליך לזכור את הספרה 2. בפעם השלישית (והאחרונה), אתה חוזר על השאלה שלך, מסובב את האוקטהדרון כך שהאדם המנחש יוכל לראות את הפרצופים עם המספרים 4, 5, 6 ו 7. התשובה החיובית במקרה זה מוערכת ב-4. על ידי חיבור הציונים של כל שלוש התשובות, תקבל את המספר שחשב לחברך. הטריק הזה יכול להיות מוסבר בקלות על ידי כל מי שמכיר את מערכת המספרים הבינארית. כדי שיהיה קל יותר למצוא הוראות נחוצותאוקטהדרון, סמן איכשהו את שלושת הקודקודים שצריכים לעמוד מולך כשאתה עומד מול הצופה (שיש לו את המספר בראש).

יש עוד דרכים מעניינות לא פחות למספור פני קוביות אוקטדרלית. לדוגמה, ניתן לסדר את המספרים 1 עד 8 כך שסכום המספרים על ארבעת הפרצופים המתכנסים בקודקוד משותף יהיה קבוע. סכום זה תמיד שווה ל-18, אך ישנן שלוש דרכים שונות למספר את הפרצופים (איננו מחשיבים עצמות שהופכות זו לזו במהלך סיבובים והשתקפויות) כשונות, המקיימות את התנאי לעיל.

דרך אלגנטית לבנות דודקהדרון מוצעת בספרו של הוגו שטיינהאוס "קליידוסקופ מתמטי" *. מקרטון עבה אתה צריך לגזור שתי צורות המוצגות באיור. 95. הצדדים של המחומשים צריכים להיות בערך 2.5-3 ס"מ.בעזרת להב של סכין, חותכים בזהירות את הקרטון לאורך צידי המחומש הפנימי כך שניתן יהיה לכופף את הפיתוח בקלות לצד אחד. לאחר שהכנו את הפורץ השני באותו אופן, נניח אותו על הראשון כך שהבליטות של הקוטר השני יהיו מול הגזרות של הראשון. החזק את שני החורצים בידך, הדק אותם עם רצועה אלסטית, העביר אותו לסירוגין מעל הקצה הבולט של החורר אחד, ואז מתחת לקצה הבולט של השני. על ידי שחרור לחץ ידך על הסוויפים, תראה כיצד דודקהדרון מופיע לנגד עיניך, כמו בקסם.

* (צעצוע זה נכלל רק במהדורה הראשונה של הספר. ג' שטיינהאוס. הוא לא נמצא במהדורות נוספות, כולל זו הרוסית (1949). הערה ed. )

בואו נצבע את דגם הדודקהדרון כך שכל פנים צבועים בצבע אחד בלבד. מהו המספר המינימלי של צבעים שניתן להשתמש בהם כדי לצבוע דודקהדרון אם כל שני פנים צמודים נדרשים להיות בצבעים שונים? תשובה: המספר הקטן ביותר של צבעים הוא ארבעה. קל לראות שיש ארבע דרכים שונות לצבוע דודקהדרון בצורה הכלכלית ביותר (במקרה זה, שני דודקהדרונים צבעוניים יהיו תמונות מראה של השניים האחרים). צביעת טטרהדר דורשת גם ארבעה צבעים, אך ישנן רק שתי אפשרויות צביעה, כאשר טטרהדר אחד הופך לאחר בעת שיקוף. ניתן לצבוע קובייה עם שלושה צבעים, ואוקטהדרון עם שני צבעים. לכל אחד מהגופים הללו יש רק דרך אחת לצייר בצורה הכלכלית ביותר. ניתן לצבוע את האיקוסהדרון בשלושה צבעים בלבד, אך ניתן לעשות זאת בלא פחות מ-144 דרכים. רק ב-6 מהם האיקוסהדרונים הצבעוניים עולים בקנה אחד עם השתקפויות המראה שלהם.

בוא נשקול עוד בעיה אחת. נניח שזבוב, שהולך לאורך 12 קצוות האיקוסהדרון, זוחל לאורך כל אחד מהם. לפחותפַּעַם. מהו המרחק הקצר ביותר שזבוב צריך לעבור כדי לבקר בכל הקצוות של ה-ixahedron? אין צורך לחזור לנקודת ההתחלה; כמה קצוות שהזבוב יצטרך לעבור דרכם פעמיים (מכל חמשת המוצקים האפלטוניים, רק לאוקטהדרון יש את התכונה שניתן להסתובב בקצוות שלו על ידי ביקור בכל אחד מהם רק פעם אחת). פתרון הבעיה יכול להיעזר בהקרנה של האיקוסהדרון על מישור (איור 96). רק קחו בחשבון שאורך כל הצלעות זהה.

מכיוון שעד היום ישנם תמהונים שעדיין מנסים למצוא פתרונות לבעיות של חיתוך של זווית וריבוע מעגל, למרות שכבר מזמן הוכח שלא זה ולא זה בלתי אפשרי, זה נראה מוזר שאף אחד לא מנסה למצוא פוליהדרה רגילה חדשה מעבר לחמשת המוצקים האפלטוניים הידועים כבר. אחת הסיבות למצב הפרדוקסלי הזה היא שקל מאוד להבין מדוע אין יותר מחמישה גופים רגילים. ההוכחה הפשוטה הבאה לקיומם של חמישה גופים רגילים לכל היותר חוזרת לאוקלידס.

זווית פוליהדרלית של גוף רגיל חייבת להיווצר על ידי לפחות שלושה פנים. בואו ניקח בחשבון את הפרצופים הפשוטים ביותר: משולש שווה צלעות. ניתן לבנות זווית פוליהדרלית על ידי הצבת שלושה, ארבעה או חמישה משולשים כאלה זה ליד זה. כאשר מספר המשולשים הוא יותר מחמישה, סכום זוויות המישור הסמוכות לקודקוד הפוליהדרון הוא 360° או אפילו יותר, ולכן, משולשים כאלה אינם יכולים ליצור זווית פוליהדרלית. אז, יש רק שלוש דרכים לבנות פולידרון קמור רגיל עם פרצופים משולשים. בניסיון לבנות זווית פוליהדרלית מפרצופים מרובעים, נראה שניתן לעשות זאת עם שלושה פנים בלבד. באמצעות נימוק דומה, לא קשה להראות ששלושה ורק שלושה פנים מחומשים יכולים להתכנס בקודקוד אחד של מצולע רגיל. הפרצופים לא יכולים לקבל צורה של מצולעים עם יותר מ-5 צלעות, שכן על ידי החלת, למשל, שלושה משושים זה על זה, נקבל זווית כוללת של 360 0.

הנימוק שהובא זה עתה אינו מוכיח את האפשרות לבנות חמישה גופים רגילים; הוא רק מסביר מדוע לא יכולים להיות יותר מחמישה גופים כאלה. נימוקים עדינים יותר מובילים אותנו למסקנה שבמרחב הארבע-ממדי יש רק שישה פוליטופים רגילים (אלה נקראים אנלוגים של גופים רגילים תלת-ממדיים). מעניין לציין שבמרחב של כל מספר ממדים הגדול מ-4, ישנם רק שלושה פוליטופים רגילים: אנלוגים של הטטרהדרון, הקובייה והאוקטהדרון.

המסקנה מעלה את עצמה באופן בלתי רצוני. המתמטיקה מגבילה מאוד את מגוון המבנים שיכולים להתקיים בטבע. תושבים רחוקים מהגלקסיה הרחוקה ביותר אינם יכולים לשחק בקוביות, בעלות צורה של פוליידרון קמור רגיל שאינו ידוע לנו. כמה תיאולוגים הודו בכנות שאפילו אלוהים עצמו לא יכול היה לבנות את המוצק האפלטוני השישי במרחב תלת מימדי. באותו אופן, הגיאומטריה מציבה גבולות בלתי עבירים למגוון מבני הקריסטל. אולי יבוא היום שבו פיזיקאים יגלו את האילוצים המתמטיים שחייבים לעמוד בהם במספר החלקיקים הבסיסיים וחוקי הטבע הבסיסיים. כמובן, לאף אחד אין כעת שמץ של מושג כיצד מתמטיקה לא מאפשרת מבנה זה או אחר שנקרא "חי" (אם מתמטיקה מעורבת בכלל במעגל התופעות הזה). זה בהחלט אפשרי, למשל, שנוכחות של תרכובות פחמן היא תנאי הכרחי להופעתם של חיים. כך או כך, האנושות מכינה את עצמה מראש לרעיון של אפשרות קיומם של חיים על כוכבי לכת אחרים. המוצקים האפלטוניים משמשים תזכורת לכך שמאדים ונוגה עשויים שלא להכיל הרבה ממה שחכמינו חושבים עליו.

תשובות

ההתנגדות הכוללת של המעגל שנוצר על ידי קצוות הקוביה (ההתנגדות של כל קצה 1 אוהם) הוא 5/6 אוהם. נקצר את שלושת הקודקודים של הקוביה הקרובה ביותר ל-A ונעשה את אותו הדבר עם שלושת הקודקודים הקרובים ביותר ל-B. נקבל שתי שרשראות משולשות. לא יהיה זרם באף אחד מהם, מכיוון שהם מחברים נקודות שווי פוטנציאל. קל לראות שבין קודקוד A למעגל המשולש הקרוב אליו, שלוש התנגדויות מחוברות במקביל 1 אומ(התנגדות מוחלטת 1/3 אוהם), בין שני מעגלים משולשים, 6 התנגדויות מחוברות במקביל 1 אומ(ההתנגדות הכוללת של חלק זה של המעגל 1/6 אוהם) ובין המעגל המשולש השני לנקודה B יש 3 מוליכים המחוברים במקביל לאורך 1 אומ(כלומר, סך הכל 1/3 אוהם). לפיכך, ההתנגדות הכוללת של המעגל בין נקודות A ו-B שווה ל 5/6 אוהם.

ניתן להכליל בקלות גם את מצב הבעיה וגם את שיטת הפתרון למקרה של שרשרת שנוצרה על ידי הקצוות של ארבעת המוצקים האפלטוניים הנותרים.

נרשום שלוש דרכים למספור פני אוקטהדרון המקיימות את התנאי: סכום המספרים על הפרצופים הסמוכים לכל קודקוד חייב להיות שווה ל-18. המספרים שנתקלים בהם כאשר מסתובבים (בכיוון השעון או נגד כיוון השעון) קודקוד אחד: 6 , 7, 2, 3; כאשר מסתובבים בקודקוד הנגדי: 1, 4, 5, 8 (6 ליד 1, 7 ליד 4 וכו'); כאשר מקיפים את הקודקודים הנותרים: 1, 7, 2, 8 ו-4, 6, 3, 5; 4, 7, 2, 5 ו-6, 1, 8, 3. הוכחה פשוטה לכך שהאוקטהדרון הוא היחיד מבין חמשת המוצקים הרגילים שניתן למספר את פניהם כך שסכום המספרים על הפרצופים הסמוכים לכל קודקוד הוא קבוע ניתן למצוא בספר W. W. Rose Ball * .

* (W.W. Rose Ball,בילויים ומאמרים מתמטיים, לונדון, מקמילן, ניו יורק, St. הוצאת מרטין, 1956, עמ' 418.)

המרחק הקצר ביותר שעל זבוב לעבור כדי לבקר בכל קצוות האיקוסהדרון הוא 35 יחידות (אחת היא אורך קצה האיקוסהדרון). על ידי מחיקת חמישה קצוות של האיקוסהדרון (לדוגמה, קצוות FM, BE, JA, ID ו-HC באיור 96), נקבל גרף שבו מספר אי זוגי של קצוות מתכנס רק בשתי נקודות G ו-K. לכן, א זבוב יכול לחצות את כל הגרף הזה (על ידי התחלת הדרך שלך לנקודה G וסיומו בנקודה K), ולעבור לאורך כל קצה רק פעם אחת. המרחק שעובר הזבוב הוא 25 יחידות. זהו השביל הארוך ביותר, שכל חלקיו מכוסים פעם אחת. אם זבוב נתקל בקצוות מחוקים לאורך דרכו, אנו פשוט מוסיפים אותם לנתיב מ-G ל-K, בהנחה שהזבוב עובר אותם פעמיים (בכיוונים מנוגדים). חמישה קצוות מחוקים, שנחצו פעמיים, מסתכמים בתוספת של 10 יחידות לנתיב שכבר עבר. בסך הכל מדובר ב-35 יחידות.

פוליהדרות רגילות נקראות מוצקים אפלטוניים; הם תופסים מקום נכבד בתמונה הפילוסופית של העולם שפותחה על ידי ההוגה הגדול של יוון העתיקה, אפלטון.

אז, אפלטון הכיר חמש פולי-הדרות רגילות, ומספר היסודות (אש, אוויר, מים ואדמה) היה בדיוק ארבעה. כתוצאה מכך, מתוך חמש פולי-הדרות, יש לבחור ארבע שניתן להשוות עם האלמנטים.

אילו שיקולים הנחו את אפלטון בכך? קודם כל, כי כמה אלמנטים, כפי שהוא האמין, יכולים להפוך זה לזה. ניתן לבצע את ההפיכה של חלק מהפוליהדרות לאחרות על ידי מבנה מחדש של המבנה הפנימי שלהן. אך לשם כך היה צורך למצוא בגופים הללו אלמנטים מבניים כאלה שיהיו משותפים להם. מ מראה חיצוניפולי-הדרה רגילה, ברור שלפנים של שלוש פולי-הדרות - טטרהדרון, אוקטהדרון, איקוסהדרון - יש צורה של משולש שווה צלעות. שתי הפוליהדרות הנותרות - הקובייה והדודקהדרון - בנויות: הראשון - מריבועים, והשני - מחומשים רגילים, כך שלא ניתן להפוך אותם זה לזה או לשלושת הגופים הנחשבים. המשמעות היא שאם ניתן לחלקיקים של שלושת היסודות צורה של טטרהדרון, אוקטהדרון ואיקוסהדרון, אזי חלקיקי היסוד הרביעי ייחשבו לקוביות או לדודקהדרונים, אך היסוד הרביעי הזה לא יוכל להפוך לשלושת האחרים. , אבל תמיד יישאר עצמו. אפלטון החליט שרק כדור הארץ יכול להיות יסוד כזה ושהחלקיקים הקטנים ביותר מהם מורכב כדור הארץ חייבים להיות קוביות. הטטרהדרון, האוקטהדרון והאיקוסהדרון הושוו לאש, אוויר ומים, בהתאמה.

באשר לפוליהדרון החמישי - הדודקהדרון, הוא נותר ללא עבודה. לגבי זה, אפלטון מגביל את עצמו ב"טימאוס" להערה ש"אלוהים קבע זאת עבור היקום ופנה אליו כאשר צייר וקישט אותו".

נשאלת השאלה: "אילו שיקולים הנחו את אפלטון כאשר ייחס צורת טטרהדרון לחלקיקי אש, צורת קובייה לחלקיקי אדמה וכו'?" כאן הוא לוקח בחשבון את המאפיינים התחושתיים של היסודות המקבילים. אש היא היסוד הנייד ביותר; יש לה השפעה הרסנית, חודרת לתוך גופים אחרים (שורפים או נמסים, או מתאדים); כשאנו באים איתו במגע, אנו חווים תחושת כאב, כאילו דקרו אותנו או חתכו אותנו.

אילו חלקיקים יכולים לגרום לכל התכונות והפעולות הללו? ברור, החלקיקים הניידים והקלים ביותר, ויתרה מכך, בעלי קצוות חיתוך וזוויות פירסינג. מבין ארבע הפוליהדרות שניתן לדון בהן, הטטרהדרון הוא המספק ביותר. לכן, אומר אפלטון, הדימוי של פירמידה (כלומר, טטרהדרון) צריך להיות בהתאם להיגיון נכון ועם אמת, העיקרון הראשון וזרע האש, להיפך, כדור הארץ נראה בניסיון שלנו כחסר תנועה וחסר תנועה ביותר. יציב של כל האלמנטים. לכן, לחלקיקים מהם הוא מורכב חייבים להיות הבסיסים היציבים ביותר. מכל ארבעת הגופים, לקובייה יש תכונה זו במידה המרבית. לכן, לא נפר את הסבירות אם נייחס צורה מעוקבת לחלקיקי כדור הארץ. באופן דומה, נתאם חלקיקים בעלי תכונות ביניים עם שני היסודות האחרים. האיקוסהדרון, בהיותו היעיל ביותר, מייצג חלקיק מים, האוקטהדרון - חלקיק אוויר.

הפוליהדרון החמישי - הדודקהדרון - גילם את "כל מה שקיים", סימל את העולם כולו ונחשב החשוב ביותר.

אנו רואים כיצד עיקרון האמת משולב באפלטון עם שימוש בנתונים מהחוויה היומיומית. זה מוזר שאפלטון כמעט ואינו נוגע במניעים אחרים, ספקולטיביים גרידא, (למשל, הקשורים לתורת הפרופורציות), שמילאו תפקיד מכריע בבניית המושג הקוסמולוגי שלו ואשר יכלו להשפיע על כמה היבטים של התיאוריה שלו. של מבנה החומר.

נכון, טימאוס עצמו, מדבר פנימה במקרה הזהכפרופסור שנותן הרצאה על מבנה העולם, הוא, לכל הדעות, נציג של האסכולה הפיתגורית. עם זאת, עדיין לא ברור אם טימאוס היה קיים כ דמות היסטוריתאו שהוא היה דמות פיקטיבית שהומצאה על ידי אפלטון כדי לא להפוך את הגיבור הרגיל שלו, סוקרטס, למחבר התיאוריות הקוסמולוגיות והפיזיקליות, כי זה לא יעלה בקנה אחד עם דמותו של האחרון.

אפלטון ביצע "באופן סביר" את תמונת העולם. זה היה אחד הניסיונות הראשונים להכניס את עצם רעיון הסיסטמטיזציה למדע, שהתברר כפורה מאוד. היא עזרה להפריד תחומי ידע מסוימים מאחרים, תוך יצירת מחקר מדעיממוקד יותר.

עבודת קורס זה נועדה:

1) לגבש, להעמיק ולהרחיב את הידע התיאורטי בתחום השיטות למידול משטחים ואובייקטים, מיומנויות מעשיות ומיומנויות יישום תוכנה של שיטות;

2) לשפר מיומנויות עבודה עצמאית;

3) לפתח את היכולת לנסח שיפוטים ומסקנות, להציגם באופן הגיוני, עקבי ומוכח.

מספר דפנות הקצוות M

מספר הפרצופים הנפגשים בקודקוד נ

מספר פרצופים

מספר קודקודים

מספר צלעות

מספר זוויות שטוחות על פני השטח

אַרְבָּעוֹן

משושה (קוביה)

איקוסהדרון

מוצקים אפלטוניים הם פולידרים קמורים, שכל פניהם הם מצולעים רגילים. כל הזוויות הפוליהדרליות של פולידרון רגיל חופפות. כדלקמן מחישוב סכום זוויות המישור בקודקוד, אין יותר מחמש פולי-הדרות רגילות קמורות. באמצעות השיטה המצוינת להלן, ניתן להוכיח שיש בדיוק חמש פולי-הדרות רגילות (הדבר הוכח על ידי אוקלידס). הם טטרהדרון רגיל, משושה (קוביה), אוקטהדרון, דודקהדרון ואיקוסהדרון. שמות הפוליהדרות הרגילות הללו מגיעים מיוון. בתרגום מילולי מיוונית, "טטרהדרון", "אוקטהדרון", "הקסהדרון", "דודקהדרון", "יקוזהדרון" פירושו: "טטרהדרון", "אוקטהדרון", "הקסהדרון". "דודקהדרון", "עשרים-הדרון".

טבלה מס' 1

טבלה מס' 2

שֵׁם:	רדיוס של כדור מוקף	רדיוס הכדור הכתוב
אַרְבָּעוֹן
משושה

דודקהדרון
איקוסהדרון

אַרְבָּעוֹן- טטרהדרון, שכל פניו משולשים, כלומר. פירמידה משולשת; טטרהדרון רגיל תחום על ידי ארבעה משולשים שווי צלעות. (איור 1).

קובייה או משושה רגילה- פריזמה מרובעת רגילה בעלת קצוות שווים, מוגבלת בשישה ריבועים. (איור 1).

אוקטהדרון- אוקטהדרון; גוף התחום בשמונה משולשים; אוקטהדרון רגיל תחום בשמונה משולשים שווי צלעות; אחת מחמש הפוליהדרות הרגילות. (איור 1).

דודקהדרון- דודקהדרון, גוף התחום על ידי שנים עשר מצולעים; מחומש רגיל. (איור 1).

איקוסהדרון- עשרים צדדים, גוף התחום בעשרים מצולעים; האיקוסהדרון הרגיל מוגבל על ידי עשרים משולשים שווי צלעות. (איור 1).

הקובייה והאוקטהדרון הם כפולים, כלומר. מתקבלים זה מזה אם לוקחים את מרכזי הכובד של הפנים של אחד כקודקודים של השני ולהיפך. הדודקהדרון והאיקוסהדרון דואלי באופן דומה. הטטרהדרון הוא כפול לעצמו. דודקהדרון רגיל מתקבל מקובייה על ידי בניית "גגות" על פניה (שיטה אוקלידית); קודקודי הטטרהדרון הם כל ארבעת קודקודים של הקובייה שאינם סמוכים זה לזה לאורך קצה. כך מתקבלות כל שאר הפוליהדרות הרגילות מהקובייה. עצם קיומן של רק חמש פולי-הדרות סדירות באמת מפתיעה - אחרי הכל, יש אינסוף מצולעים סדירים במישור!

כל הפוליהדרות הרגילות היו ידועות עוד ביוון העתיקה, והספר ה-13 של היסודות של אוקלידס מוקדש להן. הם נקראים גם מוצקים אפלטוניים, כי. הם תפסו מקום חשוב בתפיסה הפילוסופית של אפלטון לגבי מבנה היקום. ארבעה רב-הדרונים גילמו בו ארבע מהויות או "יסודות". הטטרהדרון סימל אש, כי. החלק העליון שלו מופנה כלפי מעלה; איקוזהדרון? מים, כי זה הכי "מיועל"; קובייה - כדור הארץ, כ"יציב" ביותר; אוקטהדרון? אוויר, בתור הכי "אוורירי". הפוליהדרון החמישי, הדודקהדרון, גילם את "כל מה שקיים", סימל את היקום כולו, ונחשב לעיקרי.

היוונים הקדמונים ראו ביחסים הרמוניים את הבסיס של היקום, ולכן ארבעת היסודות שלהם היו מחוברים בפרופורציה הבאה: אדמה/מים = אוויר/אש.

בקשר לגופים אלו, מן הראוי לומר שמערכת היסודות הראשונה, שכללה ארבעה יסודות? אדמה, מים, אוויר ואש - הוכרז על ידי אריסטו. יסודות אלו נותרו ארבע אבני היסוד של היקום במשך מאות שנים. אפשר בהחלט לזהות אותם עם ארבעת מצבי החומר המוכרים לנו - מוצק, נוזלי, גזי ופלזמה.

פוליהדרות רגילות תפסו מקום חשוב במערכת של I. Kepler של המבנה ההרמוני של העולם. אותה אמונה בהרמוניה, יופי ובמבנה הסדיר מתמטית של היקום הובילה את I. קפלר לרעיון שמכיוון שיש חמש פולי-הדרות רגילות, רק שישה כוכבי לכת תואמים להם. לדעתו, הספירות של כוכבי הלכת קשורות זו בזו על ידי המוצקים האפלטוניים הרשומים בהם. מכיוון שלכל פוליהדרון רגיל, מרכזי הספירות הכתובות והתחום המוקפות חופפים, לדגם כולו יהיה מרכז בודד שבו תמוקם השמש.

לאחר שעשה כמות אדירה של עבודה חישובית, בשנת 1596 פרסם I. Kepler את תוצאות תגליתו בספר "תעלומת היקום". הוא רושם קובייה בכדור מסלולו של שבתאי, לתוך קובייה? הכדור של צדק, הטטרהדרון בכדור צדק וכן הלאה, האם הכדור של מאדים משתלב זה בזה ברצף? דודקהדרון, כדור הארץ? איקוזהדרון, כדור נוגה? אוקטהדרון, כדור של מרקורי. מסתורין היקום נראה פתוח.

כיום אנו יכולים לומר בביטחון שהמרחקים בין כוכבי לכת אינם קשורים לפוליהדרה כלשהי. עם זאת, ייתכן שללא "תעלומת היקום", "הרמוניה של העולם" מאת I. Kepler, polyhedra רגיל, לא היו קיימים שלושה חוקים מפורסמים של I. Kepler, הממלאים תפקיד חשוב בתיאור התנועה של כוכבי לכת.

איפה עוד אפשר לראות את הגופים המדהימים האלה? בספרו של הביולוג הגרמני של תחילת המאה הקודמת, E. Haeckel, "יופי הצורות בטבע", ניתן לקרוא את השורות הבאות: "הטבע מטפח בחיקו מספר בלתי נדלה של יצורים מדהימים, אשר ב היופי והגיוון עולים בהרבה על כל הצורות שנוצרו על ידי האמנות האנושית." יצורי הטבע המוצגים בספר זה יפים וסימטריים. זהו תכונה בלתי נפרדת של הרמוניה טבעית. אבל האם יש כאן גם אורגניזמים חד-תאיים? feodaria, שצורתה משקפת במדויק את האיקוסהדרון. מה גורם לגיאומטריזציה הטבעית הזו? אולי בגלל כל הפוליהדרות עם אותו מספר פנים, האיקוסהדרון הוא בעל הנפח הגדול ביותר ושטח הפנים הקטן ביותר. תכונה גיאומטרית זו מסייעת למיקרואורגניזם הימי להתגבר על הלחץ של עמוד המים.

מעניין גם שהאיקוסהדרון הוא שהפך למוקד תשומת הלב של הביולוגים במחלוקות שלהם בנוגע לצורת הנגיפים. הנגיף לא יכול להיות עגול לחלוטין, כפי שחשבו בעבר. כדי לבסס את צורתו, הם לקחו פוליהדרות שונות וכיוונו אליהם אור באותן זוויות כמו זרימת האטומים בנגיף. התברר שרק פולידרון אחד נותן בדיוק את אותו הצל? איקוסהדרון תכונותיו הגיאומטריות, שהוזכרו לעיל, מאפשרות שמירת מידע גנטי. פוליהדרה רגילה? הנתונים הרווחיים ביותר. והטבע עושה בזה שימוש רב. הגבישים של כמה חומרים המוכרים לנו הם בעלי צורה של פולי-הדרה רגילה. לפיכך, הקוביה מעבירה צורה של גבישים של נתרן כלורי NaCl, גביש יחיד של אלומיניום-אשלגן אלום (KAlSO4)2 12H2O יש צורה של אוקטהדרון, גביש של פיריט גופרית FeS יש צורה של דודקהדרון, אנטימון נתרן גופרתי יש צורה של טטרהדרון, ולבורון יש צורה של איקוסהדרון. פוליהדרות רגילות קובעות את הצורה של סריגי הגביש של כמה חומרים כימיים.

אז, פוליהדרה רגילה גילתה לנו את ניסיונותיהם של מדענים להתקרב אל סוד ההרמוניה העולמית והראתה את האטרקטיביות והיופי שאין לעמוד בפניהן של דמויות גיאומטריות אלה.

אפלטון אחראי לפיתוח של כמה בעיות מתודולוגיות חשובות של ידע מתמטי: הבנייה האקסיומטית של מתמטיקה, חקר הקשר בין שיטות מתמטיות ודיאלקטיקה, ניתוח הצורות הבסיסיות של ידע מתמטי. לפיכך, תהליך ההוכחה מקשר בהכרח אוסף של הוראות מוכחות למערכת, המבוססת על כמה הוראות בלתי ניתנות להוכחה. העובדה שתחילתם של המדעים המתמטיים הם "מהות ההנחה" עשויה לעורר ספקות לגבי אמיתותם של כל המבנים הבאים. אפלטון ראה ספק כזה מופרך. לפי ההסבר שלו, אם כי מדעים מתמטיים, "באמצעות הנחות, הן משאירות אותן חסרות תנועה ואינן יכולות לתת להן בסיס", ההנחות מוצאות יסודות באמצעות דיאלקטיקה. אפלטון גם הביע מספר הצעות אחרות שהתבררו כפוריות לפיתוח המתמטיקה. כך, בדיאלוג "המשתה" מובא מושג הגבול; הרעיון מופיע כאן כגבול היווצרותו של דבר.

המוצקים של אפלטון.

טבלה מס' 1

טבלה מס' 2

שֵׁם:	רדיוס של כדור מוקף	רדיוס הכדור הכתוב	כרך
אַרְבָּעוֹן	a\/6 4	a\/6 12	a3\/2 12
קוּבִּיָה	a\/3 2	א 2	a3
אוקטהדרון	a\/2 2	a\/6 6	a3\/2 12
דודקהדרון	a 4\/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
איקוסהדרון	a 12(3+\/5)\/3	5 12 a3(3+\/5)

טטרהדרון הוא טטרהדרון, שכל פניו משולשים, כלומר. פירמידה משולשת; טטרהדרון רגיל תחום על ידי ארבעה משולשים שווי צלעות; אחד מחמשת המצלעים הרגילים. (איור 1).

קובייה או משושה רגילה היא פריזמה מרובעת רגילה בעלת קצוות שווים, תחומה בשישה ריבועים. (איור 2).

אוקטהדרון-אוקטהדרון; גוף התחום בשמונה משולשים; אוקטהדרון רגיל תחום בשמונה משולשים שווי צלעות; אחת מחמש הפוליהדרות הרגילות. (איור 3).

דודקהדרון הוא דודקהדרון, גוף התחום על ידי שנים עשר מצולעים; מחומש רגיל; אחת מחמש הפוליהדרות הרגילות. (איור 4).

איקוסהדרון הוא עשרים טהדרון, גוף התחום בעשרים מצולעים; האיקוסהדרון הרגיל מוגבל בעשרים משולשים שווי צלעות; אחת מחמש הפוליהדרות הרגילות. (איור 5).

הקובייה והאוקטהדרון הם כפולים, כלומר. מתקבלים זה מזה אם לוקחים את מרכזי הכובד של הפנים של אחד כקודקודים של השני ולהיפך. הדודקהדרון והאיקוסהדרון הם כפולים באופן דומה. הטטרהדרון הוא כפול לעצמו. דודקהדרון רגיל מתקבל מקובייה על ידי בניית "גגות" על פניה (שיטה אוקלידית); קודקודי הטטרהדרון הם כל ארבעת קודקודים של הקובייה שאינם סמוכים בזוגות לאורך קצה. כך מתקבלות כל יתר הפוליהדרות הרגילות מהקובייה. עצם קיומן של רק חמש פולי-הדרות סדירות באמת מפתיעה - אחרי הכל, יש מספר אינסופי של מצולעים רגילים במישור!

כל הפוליהדרות הרגילות היו ידועות עוד ביוון העתיקה, והספר האחרון, ה-12 של עקרונותיו המפורסמים של אוקלידס, מוקדש להם. הפוליהדרות הללו נקראות לעתים קרובות גם מוצקים אפלטוניים בתמונה האידיאליסטית של העולם שניתנה על ידי ההוגה היווני הקדום הגדול אפלטון. ארבעה מהם גילמו את ארבעת היסודות: אש-טטרהדרון, קוביית-אדמה, איקוסהדרון-מים ואוקטהדרון-אוויר; הפוליהדרון החמישי, הדודקהדרון, סימל את היקום כולו; בלטינית החלו לקרוא לו quintaessentia ("מהות חמישית"). ככל הנראה, לא היה קשה למצוא את הטטרהדרון, הקובייה, האוקטהדרון הנכון, במיוחד מכיוון שלצורות אלו יש גבישים טבעיים, למשל: קובייה-מונו-גביש של מלח שולחן (NaCl), אוקטהדרון-מונו-גביש של אלום אשלגן ((KalSO4)2 *12H2O). ישנה הנחה שהיוונים הקדמונים השיגו את צורת הדודקהדרון על ידי בחינת גבישים של פיריט (פיריט גופרית FeS). אם יש לך דודקהדרון, לא קשה לבנות איקוסהדרון: הקודקודים שלו יהיו מרכזים של שנים עשר הפנים של הדודקהדרון.