מצא פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית; דוגמאות לפתרונות. פתרון משוואות הדיפרנציאליות הפשוטות ביותר מהסדר הראשון

משוואה דיפרנציאלית (DE) - זו המשוואה,
היכן הם המשתנים הבלתי תלויים, y היא הפונקציה והם הנגזרות החלקיות.

משוואת דיפרנציאלית רגילה היא משוואה דיפרנציאלית שיש לה רק משתנה בלתי תלוי אחד, .

משוואה דיפרנציאלית חלקית היא משוואה דיפרנציאלית שיש לה שני משתנים בלתי תלויים או יותר.

ניתן להשמיט את המילים "רגילות" ו"נגזרים חלקיים" אם ברור איזו משוואה נחשבת. בהמשך, נלקחות בחשבון משוואות דיפרנציאליות רגילות.

סדר המשוואה הדיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר.

הנה דוגמה למשוואה מסדר ראשון:

הנה דוגמה למשוואה מסדר רביעי:

לפעמים נכתבת משוואת דיפרנציאל מסדר ראשון במונחים של דיפרנציאלים:

במקרה זה, המשתנים x ו-y שווים. כלומר, המשתנה הבלתי תלוי יכול להיות x או y. במקרה הראשון, y היא פונקציה של x. במקרה השני, x הוא פונקציה של y. במידת הצורך, נוכל לצמצם את המשוואה הזו לצורה הכוללת במפורש את הנגזרת y′.
מחלקים את המשוואה ב-dx נקבל:
.
מאז ו, זה נובע מכך
.

פתרון משוואות דיפרנציאליות

נגזרות של פונקציות אלמנטריות מתבטאות באמצעות פונקציות אלמנטריות. אינטגרלים של פונקציות אלמנטריות לרוב אינם מתבטאים במונחים של פונקציות אלמנטריות. עם משוואות דיפרנציאליות המצב גרוע עוד יותר. כתוצאה מהפתרון אתה יכול לקבל:

• תלות מפורשת של פונקציה במשתנה;

  פתרון משוואה דיפרנציאלית היא הפונקציה y = u (איקס), אשר מוגדר, n פעמים ניתן להבדיל, ו.

• תלות מרומזת בצורה של משוואה מסוג Φ (x, y) = 0או מערכות משוואות;

  אינטגרל של משוואה דיפרנציאלית הוא פתרון למשוואה דיפרנציאלית שיש לה צורה מרומזת.

• תלות המתבטאת באמצעות פונקציות אלמנטריות ואינטגרלים מהן;

  פתרון משוואת דיפרנציאלית בריבועים - זה מציאת פתרון בצורה של שילוב של פונקציות אלמנטריות ואינטגרלים שלהן.

• ייתכן שהפתרון לא יבוא לידי ביטוי באמצעות פונקציות אלמנטריות.

כי הפתרון משוואות דיפרנציאליותמפחית לחישוב אינטגרלים, ואז הפתרון כולל קבוצה של קבועים C 1, C 2, C 3, ... C n. מספר הקבועים שווה לסדר המשוואה. אינטגרל חלקי של משוואה דיפרנציאלית הוא האינטגרל הכללי עבור ערכים נתונים של הקבועים C 1, C 2, C 3, ..., C n.

הפניות:
V.V. סטפנוב, קורס משוואות דיפרנציאליות, "LKI", 2015.
נ.מ. Gunther, R.O. קוזמין, אוסף בעיות במתמטיקה גבוהה יותר, "לאן", 2003.

או שכבר נפתרו ביחס לנגזרת, או שניתן לפתור אותם ביחס לנגזרת .

פתרון כללי של משוואות דיפרנציאליות מהסוג על המרווח איקס, אשר ניתן, ניתן למצוא על ידי לקיחת האינטגרל של שני הצדדים של השוויון הזה.

אנחנו מקבלים .

אם מסתכלים על הנכסים אינטגרל בלתי מוגבל, אז נמצא את הפתרון הכללי הרצוי:

y = F(x) + C,

איפה F(x)- אחת הפונקציות הפרימיטיביות f(x)בין לבין איקס, א עם- קבוע שרירותי.

שימו לב שברוב הבעיות המרווח איקסלא לציין. זה אומר שצריך למצוא פתרון לכולם. איקס, עבורו והפונקציה הרצויה y, והמשוואה המקורית הגיונית.

אם אתה צריך לחשב פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית שעונה מצב התחלתי y(x 0) = y 0, ואז לאחר חישוב האינטגרל הכללי y = F(x) + C, עדיין יש צורך לקבוע את ערכו של הקבוע C = C 0, תוך שימוש בתנאי ההתחלתי. כלומר, קבוע C = C 0נקבע מתוך המשוואה F(x 0) + C = y 0, והפתרון החלקי הרצוי של המשוואה הדיפרנציאלית יקבל את הצורה:

y = F(x) + C 0.

בואו נסתכל על דוגמה:

בוא נמצא פתרון כללי למשוואת הדיפרנציאל ונבדוק את נכונות התוצאה. הבה נמצא פתרון מסוים למשוואה זו שיעמוד בתנאי ההתחלתי.

פִּתָרוֹן:

לאחר שנשלב את המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה, נקבל:

.

בואו ניקח את האינטגרל הזה באמצעות שיטת האינטגרציה לפי חלקים:

זֶה., הוא פתרון כללי למשוואה הדיפרנציאלית.

כדי לוודא שהתוצאה נכונה, בואו נעשה בדיקה. לשם כך, נחליף את הפתרון שמצאנו במשוואה הנתונה:

.

כלומר מתי המשוואה המקורית הופכת לזהות:

לכן, הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית נקבע בצורה נכונה.

הפתרון שמצאנו הוא פתרון כללי למשוואה הדיפרנציאלית לכל ערך אמיתי של הטיעון איקס.

נותר לחשב פתרון מסוים ל-ODE שיעמוד בתנאי ההתחלתי. במילים אחרות, יש צורך לחשב את ערך הקבוע עם, שבו השוויון יהיה נכון:

.

.

לאחר מכן, מחליף C = 2לתוך הפתרון הכללי של ה-ODE, נקבל פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי:

.

משוואת דיפרנציאלית רגילה ניתן לפתור את הנגזרת על ידי חלוקת 2 צלעות המשוואה ב f(x). טרנספורמציה זו תהיה שווה ערך אם f(x)לא פונה לאפס בשום מצב איקסמרווח האינטגרציה של המשוואה הדיפרנציאלית איקס.

ישנם מצבים סבירים כאשר, עבור כמה ערכים של הטיעון איקס ∈ איקספונקציות f(x)ו g(x)הופכים בו זמנית לאפס. לערכים דומים איקסהפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית הוא כל פונקציה y, המוגדר בהם, כי .

אם עבור כמה ערכי ארגומנט איקס ∈ איקסהתנאי מתקיים, מה שאומר שבמקרה זה ל-ODE אין פתרונות.

לכל השאר איקסמהמרווח איקסהפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית נקבע מתוך המשוואה שעברה טרנספורמציה.

בואו נסתכל על דוגמאות:

דוגמה 1.

בואו נמצא פתרון כללי ל-ODE: .

פִּתָרוֹן.

מהמאפיינים של הפונקציות היסודיות הבסיסיות ברור שפונקציית הלוגריתם הטבעית מוגדרת עבור ערכים לא שליליים של הטיעון, ולכן תחום ההגדרה של הביטוי ln(x+3)יש מרווח איקס > -3 . משמעות הדבר היא שהמשוואה הדיפרנציאלית הנתונה הגיונית עבור איקס > -3 . עבור ערכי ארגומנט אלה, הביטוי x+3לא נעלם, אז אתה יכול לפתור את ה-ODE עבור הנגזרת על ידי חלוקת 2 החלקים ב x + 3.

אנחנו מקבלים .

לאחר מכן, אנו משלבים את המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת, שנפתרה ביחס לנגזרת: . כדי לקחת את האינטגרל הזה, אנו משתמשים בשיטה של ​​חיבורו תחת סימן הדיפרנציאלי.

לעתים קרובות רק אזכור משוואות דיפרנציאליותגורם לתלמידים להרגיש אי נוחות. למה זה קורה? לרוב, מכיוון שכאשר לומדים את היסודות של החומר, נוצר פער בידע, שבגללו לימוד נוסף של דיפור הופך פשוט לעינוי. לא ברור מה לעשות, איך להחליט, מאיפה להתחיל?

עם זאת, ננסה להראות לכם שדיפורים אינם קשים כמו שזה נראה.

מושגי יסוד של תורת משוואות דיפרנציאליות

מבית הספר אנו מכירים את המשוואות הפשוטות ביותר בהן עלינו למצוא את ה-x הלא ידוע. למעשה משוואות דיפרנציאליותרק מעט שונה מהם - במקום משתנה איקס אתה צריך למצוא בהם פונקציה y(x) , מה שיהפוך את המשוואה לזהות.

ד משוואות דיפרנציאליותהם בעלי חשיבות מעשית רבה. זו לא מתמטיקה מופשטת שאין לה שום קשר לעולם הסובב אותנו. משוואות דיפרנציאליות משמשות לתיאור אמיתיים רבים תהליכים טבעיים. לדוגמה, תנודות של מיתר, תנועה של מתנד הרמוני, שימוש במשוואות דיפרנציאליות בבעיות מכניקה, מוצאים את המהירות והתאוצה של הגוף. גַם DUלמצוא יישום רחבבביולוגיה, כימיה, כלכלה ומדעים רבים אחרים.

משוואה דיפרנציאלית (DU) היא משוואה המכילה נגזרות של הפונקציה y(x), הפונקציה עצמה, משתנים בלתי תלויים ופרמטרים נוספים בשילובים שונים.

ישנם סוגים רבים של משוואות דיפרנציאליות: משוואות דיפרנציאליות רגילות, ליניאריות ולא ליניאריות, הומוגניות ואי-הומוגניות, משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון ומעלה, משוואות דיפרנציאליות חלקיות וכן הלאה.

הפתרון למשוואה דיפרנציאלית הוא פונקציה שהופכת אותה לזהות. ישנם פתרונות כלליים ומיוחדים של השלט הרחוק.

פתרון כללי למשוואה דיפרנציאלית הוא קבוצה כללית של פתרונות שהופכים את המשוואה לזהות. פתרון חלקי של משוואה דיפרנציאלית הוא פתרון שמספק תנאים נוספים, שצוין בתחילה.

הסדר של משוואת דיפרנציאלית נקבע לפי הסדר הגבוה ביותר של הנגזרות שלה.

משוואות דיפרנציאליות רגילות

משוואות דיפרנציאליות רגילותהן משוואות המכילות משתנה בלתי תלוי אחד.

בואו ניקח בחשבון את המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הפשוטה ביותר מהסדר הראשון. זה נראה כמו:

ניתן לפתור משוואה זו על ידי שילוב פשוט של הצד הימני שלה.

דוגמאות למשוואות כאלה:

משוואות הניתנות להפרדה

IN השקפה כלליתסוג המשוואה הזה נראה כך:

הנה דוגמה:

בעת פתרון משוואה כזו, אתה צריך להפריד את המשתנים, להביא אותם לצורה:

לאחר מכן, נותר לשלב את שני החלקים ולקבל פתרון.

משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר הראשון

משוואות כאלה נראות כך:

כאן p(x) ו-q(x) הן כמה פונקציות של המשתנה הבלתי תלוי, ו-y=y(x) היא הפונקציה הרצויה. הנה דוגמה למשוואה כזו:

כאשר פותרים משוואה כזו, לרוב הם משתמשים בשיטה של ​​שינוי קבוע שרירותי או מייצגים את הפונקציה הרצויה כמכפלה של שתי פונקציות אחרות y(x)=u(x)v(x).

כדי לפתור משוואות כאלה, נדרשת הכנה מסוימת ויהיה די קשה לקחת אותן "במבט חטוף".

דוגמה לפתרון משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה

אז בדקנו את הסוגים הפשוטים ביותר של שלט רחוק. כעת נסתכל על הפתרון לאחד מהם. תן לזה להיות משוואה עם משתנים הניתנים להפרדה.

ראשית, נכתוב מחדש את הנגזרת בצורה יותר מוכרת:

לאחר מכן אנו מחלקים את המשתנים, כלומר בחלק אחד של המשוואה אנו אוספים את כל ה"אני", ובשני - ה"X":

כעת נותר לשלב את שני החלקים:

אנו משלבים ומקבלים פתרון כללי למשוואה זו:

כמובן, פתרון משוואות דיפרנציאליות הוא סוג של אמנות. אתה צריך להיות מסוגל להבין באיזה סוג משוואה מדובר, וגם ללמוד לראות אילו טרנספורמציות צריך לעשות איתה כדי להוביל לצורה כזו או אחרת, שלא לדבר רק על היכולת להבדיל ולהשתלב. וכדי להצליח בפתרון DE, צריך תרגול (כמו בכל דבר). ואם יש לך הרגע הזהאין לך זמן להבין איך נפתרות משוואות דיפרנציאליות, או שבעיית קאוצ'י נתקעה לך כמו עצם בגרון, או שאתה לא יודע, צור קשר עם המחברים שלנו. תוך זמן קצר נספק לכם מוכנה ו פתרון מפורט, שאת פרטיו תוכל להבין בכל עת שנוח לך. בינתיים, אנו מציעים לצפות בסרטון בנושא "כיצד לפתור משוואות דיפרנציאליות":

כיום, אחת המיומנויות החשובות ביותר עבור כל מומחה היא היכולת לפתור משוואות דיפרנציאליות. פתרון משוואות דיפרנציאליות- אף משימה יישומית אחת לא יכולה בלי זה, בין אם זה חישוב של פרמטר פיזי כלשהו או מודלים של שינויים כתוצאה מהמדיניות המאקרו-כלכלית שאומצה. משוואות אלו חשובות גם למספר מדעים אחרים, כגון כימיה, ביולוגיה, רפואה וכו'. להלן ניתן דוגמה לשימוש במשוואות דיפרנציאליות בכלכלה, אך לפני כן נדבר בקצרה על סוגי המשוואות העיקריים.

משוואות דיפרנציאליות - הסוגים הפשוטים ביותר

חז"ל אמרו שחוקי היקום שלנו כתובים בשפה מתמטית. כמובן, יש הרבה דוגמאות באלגברה משוואות שונות, אך אלו הן, לרוב, דוגמאות חינוכיות שאינן ישימות בפועל. באמת מתמטיקה מעניינתמתחיל כאשר אנו רוצים לתאר את התהליכים המתרחשים ב החיים האמיתיים. אבל איך נוכל לשקף את גורם הזמן השולט בתהליכים אמיתיים - אינפלציה, תפוקה או אינדיקטורים דמוגרפיים?

נזכיר הגדרה חשובה אחת מקורס במתמטיקה הנוגעת לנגזרת של פונקציה. הנגזרת היא קצב השינוי של פונקציה, ומכאן שהיא יכולה לעזור לנו לשקף את גורם הזמן במשוואה.

כלומר, אנו יוצרים משוואה עם פונקציה שמתארת ​​את האינדיקטור שאנו מעוניינים בו ומוסיפים למשוואה את הנגזרת של פונקציה זו. זוהי משוואה דיפרנציאלית. כעת נעבור לפשוטים ביותר סוגי משוואות דיפרנציאליות עבור בובות.

למשוואה הדיפרנציאלית הפשוטה ביותר יש את הצורה $y'(x)=f(x)$, כאשר $f(x)$ הוא פונקציה מסוימת, ו-$y'(x)$ הוא הנגזרת או קצב השינוי של הרצוי פוּנקצִיָה. זה יכול להיפתר על ידי אינטגרציה רגילה: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

הסוג השני הפשוט ביותר נקרא משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה. משוואה כזו נראית כך: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. ניתן לראות שהמשתנה התלוי $y$ הוא גם חלק מהפונקציה הבנויה. ניתן לפתור את המשוואה בפשטות רבה - אתה צריך "להפריד את המשתנים", כלומר להביא אותה לצורה $y'(x)/g(y)=f(x)$ או $dy/g(y) =f(x)dx$. נותר לשלב את שני הצדדים $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - זה הפתרון למשוואת הדיפרנציאל של הסוג הניתן להפרדה.

הסוג הפשוט האחרון הוא משוואת דיפרנציאל לינארית מסדר ראשון. יש לו את הצורה $y'+p(x)y=q(x)$. כאן $p(x)$ ו-$q(x)$ הן כמה פונקציות, ו-$y=y(x)$ היא הפונקציה הנדרשת. כדי לפתור משוואה כזו, משתמשים בשיטות מיוחדות (שיטת הווריאציה של לאגראנג' של קבוע שרירותי, שיטת ההחלפה של ברנולי).

ישנם סוגים מורכבים יותר של משוואות - משוואות מסדר שני, שלישי ובדרך כלל שרירותי, משוואות הומוגניות ואי-הומוגניות, וכן מערכות של משוואות דיפרנציאליות. פתרונן דורש הכנה מוקדמת וניסיון בפתרון בעיות פשוטות יותר.

מה שנקרא משוואות דיפרנציאליות חלקיות הן בעלות חשיבות רבה לפיזיקה, ובאופן בלתי צפוי, למימון. המשמעות היא שהפונקציה הרצויה תלויה במספר משתנים בו-זמנית. לדוגמה, משוואת Black-Scholes מתחום ההנדסה הפיננסית מתארת ​​את הערך של אופציה (סוג ניירות ערך) בהתאם לרווחיות שלה, לגודל התשלומים, כמו גם לתאריכי ההתחלה והסיום של התשלומים. פתרון משוואה דיפרנציאלית חלקית הוא מורכב למדי ובדרך כלל דורש שימוש בתוכנות מיוחדות כגון Matlab או Maple.

דוגמה ליישום משוואה דיפרנציאלית בכלכלה

הבה ניתן, כפי שהובטח, דוגמה פשוטה לפתרון משוואה דיפרנציאלית. ראשית, בואו נגדיר את המשימה.

עבור חברה מסוימת, הפונקציה של הכנסה שולית ממכירת מוצריה היא בצורת $MR=10-0.2q$. כאן $MR$ היא ההכנסה השולית של הפירמה, ו$q$ היא נפח הייצור. אנחנו צריכים למצוא את סך ההכנסות.

כפי שניתן לראות מהבעיה, זוהי דוגמה יישומית מהמיקרו-כלכלה. חברות וארגונים רבים מתמודדים כל הזמן עם חישובים כאלה במהלך פעילותם.

נתחיל מהפתרון. כידוע מהמיקרו-כלכלה, הפדיון השולי הוא נגזרת של סך ההכנסות, וההכנסה היא אפס באפס מכירות.

מנקודת מבט מתמטית, הבעיה הצטמצמה לפתרון המשוואה הדיפרנציאלית $R’=10-0.2q$ בתנאי $R(0)=0$.

בואו נשלב את המשוואה על ידי לקיחה פונקציה אנטי-נגזרתמשני החלקים, נקבל את הפתרון הכללי: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

כדי למצוא את הקבוע $C$, זכור את התנאי $R(0)=0$. בוא נחליף: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ אז C=0 ופונקציית ההכנסה הכוללת שלנו לובשת את הצורה $R(q)=10q-0.1q^2$. הבעיה נפתרה.

דוגמאות אחרות מאת סוגים שוניםשלטים רחוקים נאספים בדף: