שיטת מטריצה וקטורית. פתרון מטריצות
בחלק הראשון, הסתכלנו על חומר תיאורטי כלשהו, שיטת ההחלפה, וכן שיטת חיבור מונח אחר מונח של משוואות מערכת. אני ממליץ לכל מי שנכנס לאתר דרך עמוד זה לקרוא את החלק הראשון. אולי כמה מבקרים ימצאו את החומר פשוט מדי, אבל כפי שאנו פותרים את המערכות משוואות ליניאריותהערתי מספר הערות ומסקנות חשובות מאוד לגבי פתרון בעיות מתמטיות באופן כללי.
כעת ננתח את הכלל של קריימר, וכן נפתור מערכת של משוואות ליניאריות באמצעות מטריצה הפוכה (שיטת מטריצה). כל החומרים מוצגים בפשטות, בפירוט וברור; כמעט כל הקוראים יוכלו ללמוד כיצד לפתור מערכות באמצעות השיטות לעיל.
ראשית, נסתכל מקרוב על הכלל של קריימר למערכת של שתי משוואות ליניאריות בשני לא ידועים. בשביל מה? – הרי ניתן לפתור את המערכת הפשוטה ביותר שיטת בית הספר, בשיטת הוספת מונחים מונחים!
העובדה היא, אם כי לפעמים, משימה כזו מתרחשת - לפתור מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים באמצעות הנוסחאות של קריימר. שנית, דוגמה פשוטה יותר תעזור לך להבין כיצד להשתמש בכלל של Cramer ליותר מקרה מורכב– מערכות של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים.
בנוסף, ישנן מערכות של משוואות ליניאריות עם שני משתנים, אותן מומלץ לפתור באמצעות כלל קריימר!
שקול את מערכת המשוואות
בשלב הראשון, אנו מחשבים את הקובע, הוא נקרא הקובע העיקרי של המערכת.
שיטת גאוס.
אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי, וכדי למצוא את השורשים עלינו לחשב שני דטרמיננטים נוספים:
ו
בפועל, ניתן לסמן את המוקדמות לעיל גם באות לטינית.
אנו מוצאים את שורשי המשוואה באמצעות הנוסחאות:
,
דוגמה 7
לפתור מערכת משוואות ליניאריות 
פִּתָרוֹן: אנו רואים שהמקדמים של המשוואה די גדולים, בצד ימין יש עשרוניםעם פסיק. הפסיק הוא אורח נדיר למדי במשימות מעשיות במתמטיקה; לקחתי את המערכת הזו מבעיה אקונומטרית.
איך פותרים מערכת כזו? אתה יכול לנסות לבטא משתנה אחד במונחים של משתנה אחר, אבל במקרה הזה אתה כנראה בסופו של דבר עם שברים מפוארים איומים שקשה מאוד לעבוד איתם, והעיצוב של הפתרון ייראה פשוט נורא. אתה יכול להכפיל את המשוואה השנייה ב-6 ולהחסיר איבר אחר איבר, אבל אותם שברים יופיעו גם כאן.
מה לעשות? במקרים כאלה, הנוסחאות של קריימר באות להצלה.
;
;
תשובה: ,
לשני השורשים יש זנבות אינסופיים והם נמצאים בקירוב, וזה די מקובל (ואפילו נפוץ) לבעיות אקונומטריות.
אין צורך בהערות כאן, מכיוון שהמשימה נפתרת באמצעות נוסחאות מוכנות, עם זאת, יש אזהרה אחת. מתי להשתמש השיטה הזאת, חובהחלק מעיצוב המשימה הוא הפרגמנט הבא: "זה אומר שלמערכת יש פתרון ייחודי". אחרת, המבקר עלול להעניש אותך על חוסר כבוד למשפט של קריימר.
לא יהיה מיותר לבדוק, מה שנוח לבצע במחשבון: אנו מחליפים ערכים משוערים ב צד שמאלכל משוואה של המערכת. כתוצאה מכך, עם שגיאה קטנה, אתה אמור לקבל מספרים שנמצאים בצדדים הנכונים.
דוגמה 8
הציגו את התשובה בצורה רגילה שברים לא תקינים. תעשה בדיקה.
זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך (דוגמה לעיצוב הסופי והתשובה בסוף השיעור).
הבה נעבור לשקול את הכלל של קריימר עבור מערכת של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים: 
אנו מוצאים את הקובע העיקרי של המערכת: 
אם , אז למערכת יש אינסוף פתרונות או שהיא לא עקבית (אין לה פתרונות). במקרה זה, הכלל של קריימר לא יעזור; אתה צריך להשתמש בשיטת גאוס.
אם , אז למערכת יש פתרון ייחודי וכדי למצוא את השורשים עלינו לחשב עוד שלושה דטרמיננטים: 
, 
, 
ולבסוף, התשובה מחושבת באמצעות הנוסחאות: 
כפי שאתה יכול לראות, המקרה "שלוש על שלוש" אינו שונה מהותית מהמקרה של "שניים על שניים"; טור המונחים החופשיים "צועד" ברצף משמאל לימין לאורך העמודות של הקובע העיקרי.
דוגמה 9
פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר. 
פִּתָרוֹן: בואו נפתור את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר. 
, כלומר למערכת יש פתרון ייחודי.
תשובה: 
.
למעשה, שוב אין שום דבר מיוחד להגיב עליו, בשל העובדה שהפתרון עוקב אחר נוסחאות מוכנות. אבל יש כמה הערות.
קורה שכתוצאה מחישובים מתקבלים שברים "רעים" בלתי ניתנים לצמצום, למשל:.
אני ממליץ על אלגוריתם ה"טיפול" הבא. אם אין לך מחשב בהישג יד, עשה זאת:
1) ייתכן שיש טעות בחישובים. ברגע שאתה נתקל בשבר "רע", אתה צריך מיד לבדוק האם התנאי משוכתב נכון?. אם התנאי נכתב מחדש ללא שגיאות, עליך לחשב מחדש את הקובעים באמצעות הרחבה בשורה אחרת (עמודה).
2) אם לא זוהו שגיאות כתוצאה מבדיקה, סביר להניח שהייתה שגיאת הקלדה בתנאי המשימה. במקרה זה, בצע את המשימה בשלווה ובזהירות עד הסוף, ולאחר מכן הקפד לבדוקואנחנו משרטטים את זה על דף נקי לאחר ההחלטה. כמובן שבדיקת תשובה חלקית היא משימה לא נעימה, אבל זה יהיה טיעון מנטרל עבור המורה, שבאמת אוהב לתת מינוס על כל שטות כמו . אופן הטיפול בשברים מתואר בפירוט בתשובה לדוגמא 8.
אם יש לך מחשב בהישג יד, השתמש בתוכנית אוטומטית כדי לבדוק אותה, אותה ניתן להוריד בחינם ממש בתחילת השיעור. אגב, הכי משתלם להשתמש בתוכנית מיד (אפילו לפני התחלת הפתרון); מיד תראה את שלב הביניים שבו טעית! אותו מחשבון מחשב אוטומטית את הפתרון למערכת שיטת מטריצה.
הערה שניה. מעת לעת יש מערכות במשוואות שלהן חסרים כמה משתנים, למשל: 
כאן במשוואה הראשונה אין משתנה , בשנייה אין משתנה . במקרים כאלה, חשוב מאוד לרשום בצורה נכונה ובזהירות את הקובע העיקרי: 
- אפסים ממוקמים במקום משתנים חסרים.
אגב, זה רציונלי לפתוח דטרמיננטים עם אפסים לפי השורה (העמודה) שבה נמצא האפס, שכן יש פחות חישובים באופן ניכר.
דוגמה 10
פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר. 
זוהי דוגמה לפתרון עצמאי (דוגמה של העיצוב הסופי והתשובה בסוף השיעור).
במקרה של מערכת של 4 משוואות עם 4 לא ידועים, הנוסחאות של קריימר נכתבות על פי עקרונות דומים. ניתן לראות דוגמה חיה בשיעור מאפיינים של דטרמיננטים. הפחתת הסדר של הקובע - חמישה דטרמיננטים מסדר רביעי ניתנים לפתרון. למרות שהמשימה כבר מזכירה מאוד נעל של פרופסור על החזה של סטודנט בר מזל.
פתרון המערכת באמצעות מטריצה הפוכה
שיטת המטריצה ההפוכה היא בעצם מקרה מיוחד משוואת מטריצה(ראה דוגמה מס' 3 לשיעור שצוין).
כדי ללמוד חלק זה, עליך להיות מסוגל להרחיב את הקובעים, למצוא את היפוך של מטריצה ולבצע כפל מטריצה. קישורים רלוונטיים יסופקו עם התקדמות ההסברים.
דוגמה 11
פתרו את המערכת בשיטת המטריצה 
פִּתָרוֹן: בוא נכתוב את המערכת בצורה מטריצה:
, איפה 
נא להסתכל על מערכת המשוואות והמטריצות. אני חושב שכולם מבינים את העיקרון שלפיו אנו כותבים אלמנטים למטריצות. ההערה היחידה: אם כמה משתנים היו חסרים במשוואות, אז היה צריך למקם אפסים במקומות המתאימים במטריצה.
אנו מוצאים את המטריצה ההפוכה באמצעות הנוסחה:
, היכן היא המטריצה המוטרפת של משלים אלגבריים של האלמנטים המתאימים של המטריצה.
ראשית, בואו נסתכל על הקובע:
כאן מורחב הקובע בשורה הראשונה.
תשומת הלב! אם , אז המטריצה ההפוכה לא קיימת, ואי אפשר לפתור את המערכת בשיטת המטריצה. במקרה זה, המערכת נפתרת בשיטה של ביטול לא ידועים (שיטת גאוס).
כעת עלינו לחשב 9 קטינים ולכתוב אותם למטריצת הקטינים 
התייחסות:כדאי לדעת את המשמעות של כתוביות כפולות באלגברה לינארית. הספרה הראשונה היא מספר השורה שבה האלמנט הזה. הספרה השנייה היא מספר העמודה שבה נמצא האלמנט: 
כלומר, מנוי כפול מציין שהאלמנט נמצא בשורה הראשונה, בעמודה השלישית, ולדוגמה, האלמנט נמצא ב-3 שורות, 2 עמודות
זה מושג שמסכם הכל פעולות אפשריות, מיוצר עם מטריצות. מטריצה מתמטית - טבלת אלמנטים. על שולחן שבו Mקווים ו נעמודות, למטריצה הזו נאמר שיש את הממד Mעַל נ.
תצוגה כללית של המטריצה:
ל פתרונות מטריקסיש צורך להבין מהי מטריצה ולדעת את הפרמטרים העיקריים שלה. המרכיבים העיקריים של המטריצה:
- האלכסון הראשי, המורכב מאלמנטים a 11, a 22…..a mn.
- אלכסון צד המורכב מאלמנטים a 1n , a 2n-1 .....a m1.
סוגים עיקריים של מטריצות:
- ריבוע הוא מטריצה שבה מספר השורות = מספר העמודות ( m=n).
- אפס - כאשר כל רכיבי המטריצה = 0.
- מטריצה טרנספוזית - מטריצה IN, שהתקבל מהמטריצה המקורית אעל ידי החלפת שורות בעמודות.
- אחדות - כל האלמנטים באלכסון הראשי = 1, כל השאר = 0.
- מטריצה הפוכה היא מטריצה שכאשר מוכפלת במטריצה המקורית מביאה למטריצת זהות.
המטריצה יכולה להיות סימטרית ביחס לאלכסון הראשי והמשני. כלומר, אם a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, אז המטריצה סימטרית לגבי האלכסון הראשי. רק מטריצות מרובעות יכולות להיות סימטריות.
שיטות לפתרון מטריצות.
כמעט כל שיטות לפתרון מטריקסמורכבים במציאת הקובע שלו נהסדר ורובם די מסורבלים. כדי למצוא את הקובע של הסדר השני והשלישי ישנן שיטות אחרות, רציונליות יותר.
מציאת דטרמיננטים מסדר 2.
כדי לחשב את הקובע של מטריצה אמסדר שני, יש צורך להחסיר את המכפלה של מרכיבי האלכסון המשני ממכפלת האלמנטים של האלכסון הראשי:
שיטות למציאת דטרמיננטים מסדר שלישי.
להלן הכללים למציאת הקובע מסדר 3.
כלל משולש מפושט כאחד מ שיטות לפתרון מטריקס, ניתן לתאר כך:
במילים אחרות, המכפלה של אלמנטים בקובע הראשון המחוברים בקווים ישרים נלקחת עם סימן "+"; כמו כן, עבור הקובע השני, המוצרים המתאימים נלקחים עם הסימן "-", כלומר, על פי הסכימה הבאה:
בְּ פתרון מטריצות באמצעות הכלל של Sarrus, מימין לקובע, הוסף את 2 העמודות הראשונות ואת התוצרים של האלמנטים המתאימים באלכסון הראשי ובאלכסונים המקבילים לו נלקחים עם סימן "+"; והתוצרים של האלמנטים המתאימים של האלכסון המשני והאלכסונים המקבילים לו, עם הסימן "-":
פירוק הקובע בשורה או בעמודה בעת פתרון מטריצות.
קוֹצֵב שווה לסכוםתוצרים של האלמנטים של המחרוזת הקובעת לפי המשלים האלגבריים שלהם. בדרך כלל השורה/עמודה המכילה אפסים נבחרה. השורה או העמודה שלאורכן מתבצע הפירוק יצוינו בחץ.
הפחתת הקובע לצורה משולשת בעת פתרון מטריצות.
בְּ פתרון מטריצותשיטת הפחתת הקובע לצורה משולשת, הם פועלים כך: באמצעות התמורות הפשוטות ביותר בשורות או עמודות, הקובע הופך למשולש בצורה ואז ערכו, בהתאם לתכונות הקובע, יהיה שווה למכפלה של האלמנטים שנמצאים באלכסון הראשי.
משפט לפלס לפתרון מטריצות.
כאשר פותרים מטריצות באמצעות משפט לפלס, עליך להכיר את המשפט עצמו. משפט לפלס: תן Δ - זה גורם מכריע נהסדר -. אנו בוחרים כל קשורות (או עמודות), מסופקות ק≤ n - 1. במקרה זה, סכום התוצרת של כל הקטינים קהסדר הכלול בבחירה קשורות (עמודות), לפי ההשלמות האלגבריות שלהן יהיו שווים לקובע.
פתרון המטריצה ההפוכה.
רצף פעולות עבור פתרונות מטריצה הפוכה:
- קבע אם מטריצה נתונה היא מרובעת. אם התשובה שלילית, מתברר שלא יכולה להיות לה מטריצה הפוכה.
- אנו מחשבים משלים אלגבריים.
- אנו מרכיבים מטריצת איחוד (הדדית, צמודה). ג.
- אנו מרכיבים את המטריצה ההפוכה מתוספות אלגבריות: כל האלמנטים של המטריצה הצמודה גלחלק בדטרמיננטה של המטריצה הראשונית. המטריצה הסופית תהיה המטריצה ההפוכה הנדרשת ביחס לנתונה.
- אנו בודקים את העבודה שנעשתה: מכפילים את המטריצה הראשונית ואת המטריצה המתקבלת, התוצאה צריכה להיות מטריצת זהות.
פתרון מערכות מטריצות.
ל פתרונות של מערכות מטריצותשיטת גאוס משמשת לרוב.
שיטת גאוס היא שיטה סטנדרטית לפתרון מערכות ליניאריות משוואות אלגבריות(SLAE) והוא טמון בעובדה שמשתנים מסולקים ברצף, כלומר בעזרת שינויים אלמנטריים, מערכת המשוואות מובאת למערכת מקבילה של צורה משולשת וממנה, ברצף, החל מהאחרון (לפי מספר). ), נמצא כל רכיב של המערכת.
שיטת גאוסהוא הכלי הרב-תכליתי והטוב ביותר למציאת פתרונות מטריקס. אם למערכת יש אינסוף פתרונות או שהמערכת אינה תואמת, אז לא ניתן לפתור אותה באמצעות הכלל של Cramer ושיטת המטריצה.
שיטת גאוס מרמזת גם על מהלכים ישירים (הקטנת המטריצה המורחבת לצורה שלבים, כלומר השגת אפסים מתחת לאלכסון הראשי) והיפוך (השגת אפסים מעל האלכסון הראשי של המטריצה המורחבת). המהלך קדימה הוא שיטת גאוס, המהלך ההפוך הוא שיטת גאוס-ירדן. שיטת גאוס-ירדן שונה משיטת גאוס רק ברצף ביטול המשתנים.
השימוש במשוואות נפוץ בחיינו. הם משמשים בחישובים רבים, בניית מבנים ואפילו ספורט. האדם השתמש במשוואות בימי קדם, ומאז השימוש בהן רק גדל. שיטת המטריצה מאפשרת לך למצוא פתרונות ל-SLAEs (מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות) בכל מורכבות. כל התהליך של פתרון SLAE מסתכם בשתי פעולות עיקריות:
קביעת המטריצה ההפוכה על סמך המטריצה הראשית:
הכפלת המטריצה ההפוכה המתקבלת בוקטור עמודה של פתרונות.
נניח שניתן לנו SLAE בצורה הבאה:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
בואו נתחיל לפתור את המשוואה הזו על ידי כתיבת מטריצת המערכת:
מטריצת צד ימין:
בואו נגדיר את המטריצה ההפוכה. אתה יכול למצוא מטריצה מסדר 2 באופן הבא: 1 - המטריצה עצמה חייבת להיות לא יחיד; 2 - האלמנטים שלו שנמצאים באלכסון הראשי מתחלפים, ולמרכיבי האלכסון המשני אנו משנים את הסימן לנגדי, ולאחר מכן אנו מחלקים את האלמנטים המתקבלים בדטרמיננטה של המטריצה. אנחנו מקבלים:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 מטריצות נחשבות שוות אם האלמנטים התואמים להן שווים. כתוצאה מכך, יש לנו את התשובה הבאה עבור פתרון SLAE:
איפה אני יכול לפתור מערכת משוואות בשיטת המטריצה באינטרנט?
אתה יכול לפתור את מערכת המשוואות באתר שלנו. הפותר המקוון החינמי יאפשר לך לפתור משוואות מקוונות בכל מורכבות תוך שניות. כל מה שאתה צריך לעשות הוא פשוט להזין את הנתונים שלך לתוך הפותר. אתה יכול גם לגלות איך לפתור את המשוואה באתר שלנו. ואם עדיין יש לך שאלות, אתה יכול לשאול אותן בקבוצת VKontakte שלנו.
בואו נשקול מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות(SLAU) יחסית נלא ידוע איקס 1 , איקס 2 , ..., איקס נ :
מערכת זו בצורה "ממוטטת" יכולה להיכתב באופן הבא:
ס נ i=1 א ij איקס י = ב אני , i=1,2, ..., n.
בהתאם לכלל הכפל המטריצה, ניתן לכתוב את המערכת הנחשבת של משוואות לינאריות צורת מטריצה Ax=b, איפה
,
,.
מַטרִיצָה א, שהעמודות שלהן הן המקדמים עבור הלא ידועים המתאימים, והשורות הן המקדמים עבור הלא ידועים במשוואה המקבילה נקראת מטריצה של המערכת. מטריצת עמודות ב, שהרכיבים שלה הם צד ימין של משוואות המערכת, נקראת מטריצת צד ימין או פשוט בצד ימין של המערכת. מטריצת עמודות איקס , שהיסודות שלו הם הלא ידועים הלא ידועים, נקרא פתרון מערכת.
מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות הכתובות בצורה Ax=b, הוא משוואת מטריצה.
אם מטריצת המערכת לא מנוון, אז יש לה מטריצה הפוכהואז הפתרון למערכת Ax=bניתן על ידי הנוסחה:
x=A -1 ב.
דוגמאפתור את המערכת 
שיטת מטריצה.
פִּתָרוֹןבואו נמצא את המטריצה ההפוכה עבור מטריצת המקדם של המערכת
הבה נחשב את הקובע על ידי הרחבה לאורך השורה הראשונה:
בגלל ה Δ ≠ 0 , זה א -1 קיים.
המטריצה ההפוכה נמצאה כהלכה.
בואו למצוא פתרון למערכת 
לָכֵן, איקס 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
בְּדִיקָה: 
7. משפט קרונקר-קפלי על תאימות מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות.
מערכת משוואות ליניאריותיש את הצורה:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
כאן ניתנים a i j ו-b i (i = ; j = ), ו-x j הם מספרים ממשיים לא ידועים. באמצעות המושג מכפלה של מטריצות, נוכל לשכתב מערכת (5.1) בצורה:
כאשר A = (a i j) היא מטריצה המורכבת ממקדמים עבור הבלתי ידועים של המערכת (5.1), הנקראת מטריצה של המערכת, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T הם וקטורים עמודים המורכבים בהתאמה מאלמונים x j וממונחים חופשיים b i.
אוסף מוזמן נמספרים ממשיים (c 1, c 2,..., c n) נקראים פתרון מערכת(5.1), אם כתוצאה מהחלפת המספרים הללו במקום המשתנים המתאימים x 1, x 2,..., x n, כל משוואה של המערכת הופכת לזהות אריתמטית; במילים אחרות, אם יש וקטור C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T כך ש- AC B.
המערכת (5.1) נקראת משותף,אוֹ פָּתִיר,אם יש לה לפחותפתרון אחד. המערכת נקראת שאינו עולה בקנה אחד,אוֹ לֹא פָּתִיר, אם אין לו פתרונות.
,
נוצר על ידי הקצאת עמודה של מונחים חופשיים לצד ימין של המטריצה A נקרא מטריצה מורחבת של המערכת.
שאלת התאימות של המערכת (5.1) נפתרת על ידי המשפט הבא.
משפט קרונקר-קפלי . מערכת של משוואות ליניאריות עקבית אם ורק אם דרגות המטריצות A וA חופפות, כלומר. r(A) = r(A) = r.
עבור קבוצת הפתרונות M של המערכת (5.1) יש שלוש אפשרויות:
1) M = (במקרה זה המערכת אינה עקבית);
2) M מורכב מאלמנט אחד, כלומר. למערכת יש פתרון ייחודי (במקרה זה נקראת המערכת מסוים);
3) M מורכב מיותר מאלמנט אחד (ואז המערכת נקראת לֹא בָּטוּחַ). במקרה השלישי, למערכת (5.1) יש מספר אינסופי של פתרונות.
למערכת יש פתרון ייחודי רק אם r(A) = n. במקרה זה, מספר המשוואות אינו פחות מספרלא ידועים (mn); אם m>n, אז משוואות m-nהם תוצאות של האחרים. אם 0 כדי לפתור מערכת שרירותית של משוואות לינאריות, אתה צריך להיות מסוגל לפתור מערכות שבהן מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים - מה שנקרא מערכות מסוג Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . מערכות (5.3) נפתרות באחת מהדרכים הבאות: 1) שיטת גאוס, או שיטת ביטול אלמונים; 2) לפי הנוסחאות של קריימר; 3) שיטת מטריצה. דוגמה 2.12. חקור את מערכת המשוואות ופתור אותה אם היא עקבית: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. פִּתָרוֹן.אנו כותבים את המטריצה המורחבת של המערכת:
בואו לחשב את הדרגה של המטריצה הראשית של המערכת. ברור כי, למשל, הקטין מסדר שני בפינה השמאלית העליונה = 7 0; הקטינים מסדר שלישי המכילים אותו שווים לאפס: כתוצאה מכך, הדרגה של המטריצה הראשית של המערכת היא 2, כלומר. r(A) = 2. כדי לחשב את הדרגה של המטריצה המורחבת A, שקול את המינור הגובל המשמעות היא שדרגת המטריצה המורחבת r(A) = 3. מכיוון ש-r(A) r(A), המערכת אינה עקבית. הוראות. כדי לקבל פתרון בשיטת המטריצה ההפוכה, עליך לציין את מימד המטריצה. לאחר מכן, בתיבת דו-שיח חדשה, מלא את המטריצה A ואת הווקטור של תוצאות B.
.
ההחלטה מתבצעת ישירות באתר האינטרנט (באינטרנט) והיא בחינם. תוצאות החישוב מוצגות בדוח Word (ראה פורמט לדוגמה).
אלגוריתם פתרון
דוגמא. מצא פתרון למערכת בשיטת המטריצה. בוא נכתוב את המטריצה בצורה:
תוספות אלגבריות. A 1,1 = (-1) 1+1 1
2
0
-2
∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2
A 1,2 = (-1) 1+2 3
2
1
-2
∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8
A 1.3 = (-1) 1+3 3
1
1
0
∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1
A 2,1 = (-1) 2+1 -2
1
0
-2
∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4
A 2,2 = (-1) 2+2 2
1
1
-2
∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5
A 2,3 = (-1) 2+3 2
-2
1
0
∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2
A 3.1 = (-1) 3+1 -2
1
1
2
∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5
·
3
-2
-1
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
בְּדִיקָה:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
